精品课件-复变函数 2.3初等多值解析函数
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复变函数课件2-3
re
w 2 = →
θ →θ + 2× ( n − 1)π
θ → θ + 2× 2 π
re
iϕ 2
θ → θ 2× k π L + w k = →
n
r e iϕ k L
w n − 1 = →
n
re
iϕ n−1
产生多值的原因是:当 取定后 其辐角不固定， 取定后， 产生多值的原因是 当z取定后，其辐角不固定，可 以连续改变2π的整数倍， 以连续改变 π的整数倍，对应的函数值连续改变到 下一个值
′ = 1 , (Lnz )′ = 1 . (ln z ) z z
19
例：
Bernoulli 悖论
2 2
原因
(3) ⇒(4) 错了 Lnz是集合 是集合 2 2 ⇒ (2)Lnz = Ln ( − z ) 记号， 记号，应该 理解为两个 ⇒(3)Lnz + Lnz = Ln( −z) + Ln( −z) 集合相加 荒谬透 ⇒ (4)2Lnz = 2Ln ( − z ) 顶！！！ A={0,1} ⇒ (5)Lnz = Ln ( − z ) 决不会相 A+A={0,1,2} 因为 Ln(−1) = (2k + 1)π i k = 0, ±1, ±2,L 2A={0,2} 等！！！ Ln(1) = 2kπ i k = 0, ±1, ±2,L A+A≠2A ≠
注意: 在实变函数中, 负数无对数, 注意 在实变函数中 负数无对数 而复变数对 数函数是实变数对数函数的拓广. 数函数是实变数对数函数的拓广
15
例5 解
解方程 e z − 1 − 3i = 0.
因为 e z = 1 + 3i ,
复变函数课件 2.3初等多值函数
幂函数的基本性质：
6、当是无理数或复数时，幂 函数是无穷 多值函数； 事实上，当是无理数时，有
z e e e 当 a bi(b 0)时，有 Lnz [ln|z| i (arg z 2 k )] ( abi )[ln|z| i (arg z 2 k )] z e e e e( ab)[ln|z| (arg z2k )]i[b ln|z| a (arg z2k )] 例如 2 k i iLni i[ln 1i (arg i 2 k )] 2 i e e e (k 0,1,2,)
( arg z , k Z )
这是一个n值函数。
在复平面上以负实轴（包括0）为割线而得的区 域D内，它有n个不同的解析分支：
幂函数的基本性质:
1 i (arg z 2 k ) n
w n | z |e
( arg z ; k 0,1,..., n 1)
(1i ) Ln2
(1i )[ln 2i (arg 22 k )]
(1i )[ln 22 ki )]
2
2
e e 2 2 2ki 2 e
2Ln2
2[ln 2i (arg 22 k )]
e (k 0,1,2,)
2 ln 22 2ki
7、幂函数在 C \ {Im z 0, Re z 0}上解析，
的整数，q 0）： p p p p Lnz [ln | z | i (arg z 2 k )] ln z 1 i 2 pk q q q q q z e e e 由于p与q为互素，所以不难看到 ，当k取 0， 1， 2， , q 1时，得到q个不同的值，即这 时幂函数是一个 q值的函数；
Lnz
[ln|z| i (arg z 2 k )]
第2章复变函数与解析函数精品PPT课件
①在 z
(分母在 z 0
0不连为续0的)在两z个0 处函连数续f(z;)与g(z)的和,差,积,商
②若函数 hg(z)在点 z 0 处连续，函数 w f(h)
在 h0 g(z0连) 续，则复合函数 wf[g(z)]
在 z 0 处连续（证略）.
例3 求 lim z 1 zi z 2
解: 因为 z 1 在点zi 处连续，故 z2
注:连续的条件:
(1) 在z 0处有定义;
(2) z 0 处的极限值等于该点的函数值.
2)连续充要条件: 定理 函数 f(z) u (x ,y ) i(v x ,y ),在 z0 x0iy0 处连续的充要条件是u(x, y) 和 v(x, y) 都 在点(x0, y0)处连续.
3)连续函数性质:
x2 y2
x2 y2
化为一个复变函数.
解 设 zxiy ，wuiv， 则 wuiv 2xiy x2 y2
将 x 1 (z z) ，y 1 (z z) 以及 x2 y2 zz 得 2 w312i (z0)
2z 2z
二.复变函数的极限与连续性 1.极限:
1)定义 设函数f(z) 在 z 0 的去心邻域内有定义，若对任
2. 可导与连续的关系
若函数wf(z)在点z 0 处可导，则 f (z)在点 z 0 处必
连续.反之不一定.
3.用定义求导的步骤 1)求增量比; 2)求增量比的极限.
例1 求 f ( z) z 2 的导数.
二.解析函数的概念及求导法则
1. 解析函数的定义
1) 点处解析: 如果f(z)不仅在点 z 0处可导,且在点 z 0 的某邻域内的处处可导,则称f(z)在点 z 0处解析;
3)运算法则:类似于实函数极限的运算法则. 例
初等解析函数和多值函数.ppt
(vi) lim ez不存在。
z
证明：(iv) w' lim ezz ez
ez lim
ez 1
z0 z
z0 z
lim ez ex cos y i sin y 1
z0
z
lim ez 1 x1 iy 1 ez
z 0
z
(3) 三角函数 sin z 1 eiz eiz , cos z 1 eiz eiz
点，则连续Байду номын сангаас变的幅角回到原来
的值，而w的值也回到w1。但如
果曲线包含原点，则旋转一周后，w的值不再回到w1，而
是回到w2：
w re 3
i
0 3
2 3
2
我们称z=0为w 3 z 的支点。
定义(支点)：若z绕某点旋转一周回到初始点，多值函数 w=f(z)由一个分支变到另外一个分支，我们称这样的点 为多值函数的支点。
bn zn
(2) 指数函数 w ez exeiy ex (cos y i sin y)
指数函数的性质：
(i) ez 0
(ii) 对于实数z=x来说，复数域中的指数定义与实数域中
的定义一致。
(iii) ez1ez2 ez1z2
(iv) 指数函数处处解析，且：w' ez
(v) ezi2k ez
所以：w l n z ln r iarg(z)
显然：w Lnz l n z i2n , n 0, 1,
如在w平面上用平行于实轴 的直线画出一个宽为2的条 带，例如图中的I，则z与w 为一一对应的关系。I为z=ew 的单叶性区域。
同样，对数函数也存在两个 支点：z=0和z=。两个支点间的任意连线就构成了支割线。 支割线映射为w平面上的单值分支之间的端线：
复变函数 2.3初等多值解析函数
w L n z l n r i ( 2 k ) ( k E )
z
L n zln |z|iA rgz
的
由于Argz的多值性导致w=Lnz
主
是一个具有无穷多值的多值函数
辐
规定： ln zln r i ln z ia r g z.
角
为对数函数Lnz的主值
于是： w L n z ln z 2 ki(k E )
角 2kn域 T n n: n n π 映 映 射 射 成 2成 kn负 负 实 实 n轴 轴 的 的 下 上 角 2岸 k岸 域 G nπ :k 2k
y
z
v
w
n
o
n
W=zn x
从原点起沿负实轴剪开的精选w课平件 面
上岸
G0 o
下岸
u
5
映射特点: 把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点 的角形域, 但张角变成为原来的 n 倍.
Ln2ln22ki,
因 为arg(-1),
L n ( 1 ) ln 1 ii.
L n ( 1 ) ln 1 2 k i
(2k1)i (k为整 ) 数
注意: 在实对数函数中, 零和负数无对数, 这一点 在复对数函数中不再成立.
精选课件
15
例5 解方 ez 1 程 3 i 0 . 解 因ez为 13 i,
显然,区域D到区域G的单叶满变换w=f(z) 就是D 到G的一一变换.
f(z)=z2不是C上的单叶函数. f(z)=z3是C上的单叶函数
精选课件
2
2.3.0幂函数的变换性质及其单叶性区域
设有幂函数: w=zn
令z=rei, w=ei ,则： w=zn ei = rnein= rn, =n
复变函数 2.3初等多值解析函数ppt课件
p ln a i p(arga2k)
ab eq
eq q
e
p q
ln
a
cos
p q
(arga
2kπ)
i
sin
p q
(arga
2kπ)
ab具有 q 个值, 即取 k 0,1,2,,(q 1)时相应的值.
25
特殊情况: 1)当 b n (正整数)时,
an enLna eLnaLnaLna
的
由于Argz的多值性导致w=Lnz
主
是一个具有无穷多值的多值函数
辐
角
规定： ln z ln r i ln z i arg z.
为对数函数Lnz的主值
于是： w Lnz ln z 2k i(k E)
13
对于每一个固定的k, 上式确定一个单值函数, 称为Lnz 的一个分支. 特殊地, 当 z x 0时, Lnz 的主值 ln z ln x, 是实变数对数函数.
从原点起沿负实轴剪开的w平面
上岸
G0 o
下岸
u
5
映射特点: 把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点
的角形域, 但张角变成为原来的 n 倍.
角域Tn
:
2k
n
n
2k
n
n
k 0,1,
n1
是幂函数的单叶性区域的一种分法
总之：幂函数w=zn (n>1) 单叶性区域是顶点 在原点，张度不超过2/n的角形区域
n1
w0 n rei0 2 w1 n rei1
22 w2 n rei2
复变函数-2.3 初等函数共26页
解 析 函 数
25/25
休息一下 ……
数
2
eiwz z21, iw L(zn z2 1),
w A cz r o i c L s( z n z 2 1 ) .
同理可得 A sr z i n c iL (iz n 1 z 2 );
Artcazni Ln iz. 2 iz
§2.3 初等函数
事实上，在无穷远点有
当 y0,x 时，ez ;
当 y0,x 时，ez 0.
(3) ez 0. 因为 e x 0 ,co y is siy n 0 .
§2.3 初等函数
5/25
第 一、指数函数
二 章
性质
解
事实上，
析 函
e z 1 e z 2 e x 1 (y c 1 i s o y 1 ) i e x s 2 n (y c 2 i s o y 2 ) is n
解 析
|w| ex,
Aw r y g 2 k π ,
由 z 的实部得到 w 的模； 由 z 的虚部得到 w 的辐角。
函 数
(k0 ,1 ,2 , )
y
(z)
v
(w)
y4π
y2π y
z xx
wez
zLnw
w
ex
y
u
§2.3 初等函数
7/25
第 二、对数函数
二 章
对数函数定义为指数函数的反函数。
析
函
主值 ln (1)πi.
数
可见，在复数域内，负实数是可以求对数的。
12/25
§2.3 初等函数
第 ▲例 求对数 Ln2 以及它的主值。 二 章 解 L 2 l n |2 n | ia2 r 2 k π g iln 22kπi;
25/25
休息一下 ……
数
2
eiwz z21, iw L(zn z2 1),
w A cz r o i c L s( z n z 2 1 ) .
同理可得 A sr z i n c iL (iz n 1 z 2 );
Artcazni Ln iz. 2 iz
§2.3 初等函数
事实上，在无穷远点有
当 y0,x 时，ez ;
当 y0,x 时，ez 0.
(3) ez 0. 因为 e x 0 ,co y is siy n 0 .
§2.3 初等函数
5/25
第 一、指数函数
二 章
性质
解
事实上，
析 函
e z 1 e z 2 e x 1 (y c 1 i s o y 1 ) i e x s 2 n (y c 2 i s o y 2 ) is n
解 析
|w| ex,
Aw r y g 2 k π ,
由 z 的实部得到 w 的模； 由 z 的虚部得到 w 的辐角。
函 数
(k0 ,1 ,2 , )
y
(z)
v
(w)
y4π
y2π y
z xx
wez
zLnw
w
ex
y
u
§2.3 初等函数
7/25
第 二、对数函数
二 章
对数函数定义为指数函数的反函数。
析
函
主值 ln (1)πi.
数
可见，在复数域内，负实数是可以求对数的。
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§2.3 初等函数
第 ▲例 求对数 Ln2 以及它的主值。 二 章 解 L 2 l n |2 n | ia2 r 2 k π g iln 22kπi;
2.3初等多值函数
arg z arg z0 L Argz
z 0 点并指定初值arg z0 的前提下,终值 arg z 唯一,即辐角函数可单值化，
必须使辐角改变量仅与起点和终点有关而与曲线的形状无关.
L1 Argz L2 Argz L L Argz 0 (即原点在闭曲线 L1 L2 的外部). 1 2
1 i L Argz n
,
k
| z |e
n
e
i L Argz n
（4 ） z G : arg z , k Z .
,
或
wk
z
n
k
n | z|e
i
arg z 2 k n
z G : arg z , k Z .
（6）
,
（5 ）
定理2 在上述区域内各单值分值函数 ( n z ) k 解析, 且 d n 1 ( n z )k k 0,1,, n 1 . z k dz n z
2.2 由已知的某单值解析分支的初值求终值
2.2 由已知的某单值解析分支的初值求终值
wk
或
z
n
k
（4） n | z |e i arg w0 e , z G : arg z , k Z .
w n z n | z |e
i
Argz n
, z 0, .
(2)
2.1分出根式函数 w n z 的单值解析分支
(1) w n z 在某区域 D 内可单值化的充要条件及单值化方法 定理1 多值函数F z 可单值化的充要条件是对任意简单闭曲线L, 有
L n z 0.
L F z 0
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值域T-1:
w
30
T0
w0
3
i
re n
3
y
z
o
3
T2 5
5 G2
3
u 例: w 3 z
wk
3
i 2k
re n
k 0,1, 2
o
3
x w2
3
i4
re n
11
2.3.2 对数函数
1. 定义 若 :e w z(z 0 )则 称 w 为 z对 数 函 数 ,记 为 : w L n z
2 (n 1 ) w n 1 nre in 1
产生多值的原因是:当z取定后，其辐角不固定，可 以连续改变2的整数倍，对应的函数值连续改变到 下一个值
8
2) 解决的办法.
限制z的辐角的变换，使其辐角的该变量argz<2
理论上的的做法：
从原点O起到点∞任意引一条射线将z平面割破，该
直线称为割线，在割破了的平面(构成以此割线为边
界的区域，记为G)上，argz<2，从而可将其转化
为单值函数来研究
y
z
常用的做法：
从原点起沿着负实轴将z平 面割破：
z
G
o
x
9
结论：
从原点起沿着负实轴将z平面割破,即可将根式函数:
w n z 分成如下的n个单值函数：
复变函数 2.3初等多值解析函数
定义2.8(单叶函数）
设函数f(z)在区域D内有定义,且对D内任意不 同的两点z1及z2都有f(z1)≠f(z2),则称函数 f(z)在D内 是单叶的.并且称区域D为f(z)的单叶性区域.
显然,区域D到区域G的单叶满变换w=f(z) 就是D 到G的一一变换.
f(z)=z2不是C上的单叶函数. f(z)=z3是C上的单叶函数
i(z)2k
wknz
nr(z)e
k
n
定义域为 G k:2 k 2 k
值 域 T n: 2 k n n k2 k n n
wk在Gk上解析,且
wk
nz 1 kn
nz z
k
10
ww2 03 3ryeriein34 z
原点，张度不超过2/n的角形区域
角 域 T n :2 k n n 2 k n nk 0 ,1 , n 1
6
2.3.1根式函数
• 定义2.9 若z=wn,则称w为z的n次根式函数，记为：
wnz
i.e. 根式函数 w n z 为幂函数z=wn 的反函数.
(1) 根式函数的多值性.
说明： w=Lnz是指数函数ew=z的反函数 Lnz一般不能写成lnz
eLnz z
2.计算公式及多值性说明：
zei,wuiv
12
w = ln z e w = z e u iv = r e i
eu = r,v 2 k (k E )
u = l n r ( 实 对 数 ) , v 2 k ( k E ) A r g z
k n 2 k = a r g zn 2 k k 0 ,1 , n 1
w 0 n r e i 0 2 w 1 n r e i1
2 2 w 2nrei2 2 k w knre ik
定 义 定 域 义 G 3域 2 G :3 0 : G 1 4 5
值 值 域 域 TT20::o-3 25 33x
w1Leabharlann 3i2re n
T1
v
y
z
定 义 w域 1G 1 -:3r oei G322 03 x
3
z平面
射线 =0
圆周r=r0
角域0<<0
w平面
射线 =n0 圆周= r0n 射线0< <n0
y
z
0 0
o
W=zn x
v
w
nn00
o
u
4
z平面
角 角域 域T00:<n<0n
w平面
角角 域域 G 0<0: <n 0
角 2kn域 T n n: n n π 映 映 射 射 成 2成 kn负 负 实 实 n轴 轴 的 的 下 上 角 2岸 k岸 域 G nπ :k 2k
13
对于每一个k固 ,上定式的确定一个单 , 值 称为 Lnz的一个分 . 支 特殊地, 当 zx0时 ,Lz的 n 主 ln zl值 n x, 是实变.数对数函数
w L n z l n r i ( 2 k ) ( k E )
z
L n zln |z|iA rgz
的
由于Argz的多值性导致w=Lnz
主
是一个具有无穷多值的多值函数
辐
规定： ln zln r i ln z ia r g z .
角
为对数函数Lnz的主值
于是： w L n z ln z 2 ki(k E )
2
2.3.0幂函数的变换性质及其单叶性区域
设有幂函数: w=zn
令z=rei,w=ei ,则： w=zn ei = rnein= rn, =n
于是得到幂函数有如下的变换性质：
z平面
射线 =0
正 实 轴 0
圆周r=r0
w平面 射线 =n0
正 实 轴0 圆周= r0n
z0 wn00
i2k
z0 w knzkn|z|e n k0 ,1 , n 1
a r g z z 的 主 辐 角
7
(2) 分出根式函数的单值解析分支.
1) 产生多值的原因.
z 0 w knzk nre i n 2 k nre ik
y
z
v
w
n
o
n
W=zn x
从原点起沿负实轴剪开的w平面
上岸
G0 o
下岸
u
5
映射特点: 把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点 的角形域, 但张角变成为原来的 n 倍.
角 域 T n :2 k n n 2 k n nk 0 ,1 , n 1
是幂函数的单叶性区域的一种分法 总之：幂函数w=zn (n>1) 单叶性区域是顶点在