L.03 命题逻辑公式的范式和主范式
命题公式的范式
由小项和大项的性质，容易得到下面用A=A(P1,P2, …,Pn )的真值表来求A的主范式的方法:
(1) A的主析取范式为所有与A在同一组关于P1,P2, …,Pn 的真值指派下都取值为1的由P1,P2, …,Pn 所 产生的小项所构成的析取范式。 (2) A的主合取范式为所有与A在同一组关于P1,P2, …,Pn 的真值指派下都取值为0的由P1,P2, …,Pn 所 产生的大项所构成的合取范式。
证明 (构造性证明) 首先由定理1.5.2，可以得到A的 析取范式和合取范式。继续进行构造，便可得到 A关于P1,P2, …,Pn的主析取范式和主合取范式。 我们在此仅就(1)进行构造证明，(2)的证明是类 似的。设A*是A的析取范式。 (1) 扩展: Pi 如果A*的某个简单合取式B不含命题变元 及其否定﹁Pi, 那么利用臵换规则, 用 B∧Pi∨(B∧﹁Pi)臵换B。 (2) 削去: 将重复出现的命题变元，矛盾式和重复出 现的小项都削去。 (3) 排序: 将小项按下标从小到大的顺序排列。
00
M
01
M 10
小项和大项之间有如下的关系，有兴趣的读者可以 自己给出其证明： (1) m i M i , M i m i 0 i 2 n 1 (2) 设A=A(P1,P2, …,Pn)为命题公式， A 和 A 为集合 {0,1,2, ... , 2n-1}的两个子集。如果
定理1.5.1 (1)简单合取式是矛盾式的充要条件是它 包含两个分别为某个命题变元及其否定的合取项。 (2)简单析取式是重言式的充要条件是它包含两个分 别为某个命题变元及其否定的析取项。
证明 我们只证(2), (1)的证明是类似的。 充分性 对命题变元P, P∨﹁P为重言式。所以如果 简单析取式中含有P∨﹁P, 那么此简单析取式必 是重言式。 必要性 假设某简单析取式是重言式，并设其所含 的命题变元为P1,P2, …,Pn。如果此简单析取式中 不存在两个析取项分别为某个命题变元及其否定， 那么它等价于P1*∨P2*∨…∨Pn*, 其中每个Pi*都为 文字 Pi或﹁Pi。显然, 有个真值指派使每个Pi*取值 都为0, 那么在此真值指派下, 此简单析取式取值为 0, 矛盾于它是重言式。
离散数学第三讲-范式与主范式
Mj mj
n 2 k
n 2 k
17
极小项与极大项之间的关系
3.
主析取范式与主合取范式的关系
例题： A (P Q ) R m1 m3 m5 m 6 m7 主合取范式 3 5 6 7 （ 1，，，，） 主析取范式
M0 M2 M4 （ 0 ，，） 2 4
(0,2,4) 其中表示合取.
16
极小项与极大项之间的关系
1.
极小项与极大项的关系
一个命题公式的主析取范式和主合取范式紧密相关, 在它们的简 记式中, 代表极小项和极大项的足标是互补的,
mi Mi,
2.
M i m i.
原命题A与其否命题A的关系
设命题公式A中含n个命题变元，且设A的主析取范式中含k个极 小项mil,mi2,…,mik则 A的主析取范式中必含2n-k个极小项,设为 mjl,mj2, …, ,
则称它为A 的合取范式。 合取式---称为积 析取式---称为和
3
1、范式---析取范式与合取范式
析取范式:
A A 1 A 2 A n ( n 1), n 1时，单个质合取式也是 A ：质合取式 i
析取范式
合取范式:
A B 1 B 2 B m ( m 1) m 1时，单个质析取式也是 B ：质析取式 i
(1)求出A的主析取范式中没包含的极小项mj1,mj2,··m j ·, (2)求出与(1)中极小项下标相同的极大项Mj1,Mj2,··M j ·, (3)由以上极大项构成的合取式为A的主合取范式.
n
n 2 k
.
.
2 k
18
2、主范式
命题逻辑ppt课件
按从左到右的顺序运算; 2:假设遇有括号时，应该先进展括号中的运算.
留意: 本书中运用的 括号全为圆括号〔〕.
2.2 命题公式
命题变项与合式公式 公式的赋值 真值表 命题的分类
重言式 矛盾式 可满足式
命题变项与合式公式
随堂练习
1：写出命题、简单命题的定义。 2：用符号定义五个结合词及其各自取值情况。 3：写出蕴涵式的定义，分析前件与后件的关系，
列出对应的言语表达方式。 4：写出遇到析取结合词二义性时的判别方式及对应
符号表示。 5：列出下面公式的真值表，阐明各公式的层次
(p q) ((p q) (q p)) (p q) (p q) 6：写出命题公式的定义
pq r
pq
000
0
001
0
010
1
011
1
100
1
101
1
110
1
111
1
r (pq)r
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
公式的类型
定义2.9 设A为一个命题公式 (1) 假设A在它的各种赋值下取值均为真，那么称A为重言 式(也称永真式) (2) 假设A在它的各种赋值下取值均为假，那么称A为矛盾 式(也称永假式) (3) 假设A至少存在一组赋值是成真赋值，那么称A为可满 足式
3.析取式与析取结合词“∨〞
定义2.3 设 p,q为二命题，复合命题“p或q 〞称作p与q的析取式，记作p∨q，∨称作 析取结合词，并规定
p∨q为假当且仅当p与q同时为假. 例即将:p以∨下命q题为符真号化当且仅当p与q至少有一个为真。 此处(1)定2或义4是的素析数.取式p∨q表示的是一种相容性
命题逻辑公式的范式和主范式
计算机科学M O O C课程群离散数学基础本单元内容比较多，视频分割成三个部分：范式的概念、主范式及其应用和主范式的编码PART 1 范式的概念•范式的一些基本定义−文字：原子命题及其否定式统称为文字（形）。
»例：对变量表 {p, q}，p, ¬p, q, ¬q 都是文字。
»例：把 F 称为空文字，记作 NIL。
−基本积：由有限个文字的合取构成。
(简单合取式)»例：对变量表 {p, q, r}，基本积有 p, ¬p, q∧¬p, ¬q∧¬p∧r 等等。
−基本和：由有限个文字的析取构成。
(简单析取式)»例：对变量表 {p, q, r}，基本和有 p, ¬p, q∨¬p, ¬q∨¬p∨r 等等。
•定理6−一个基本和是永真的当且仅当其中含有某个原子的互补对；»由排中律和零律：α∨p∨¬p ⇔ α∨1 ⇔ 1−一个基本积是矛盾的当且仅当其中含有某个原子的互补对。
»由矛盾律和零律： α∧p∧¬p ⇔ α∧0 ⇔ 0•定义：析取范式−一个命题公式称为是一个析取范式当且仅当其具有形式 A1∨A2∨ …∨A n(1≤n<∞)，其中 A i 是基本积 (1≤i≤n)。
−例1：¬p ∨ (q∧¬r) ∨ s， (n=3)−例2：¬p， (n=1)−例3：¬p ∧ q ∧ ¬r， (n=1)−例4：¬p ∨ q ∨ ¬r， (n=3)•定义：合取范式−一个命题公式称为是一个合取范式当且仅当其具有形式 A1∧A2∧…∧A n(1≤n<∞)，其中 A i 是基本和 (1≤i≤n)。
−例1：(¬p∨q∨s)∧(¬p∨¬r∨s)， (n=2)−例2：¬p， (n=1)−例3：¬p ∧ q ∧ ¬r， (n=3)−例4：¬p ∨ q ∨ ¬r， (n=1)•定理7(1) 一个合取范式是永真的当且仅当其中含有的基本和都是永真的；(2) 一个析取范式是矛盾的当且仅当其中含有的基本积都是矛盾的。
离散数学试题及答案1(理工大学)
离散数学试题及答案1（计算机科学与技术）一、单选题（题数：25，共 50.0 分）1不是可满足的公式必永（）。
（2.0分）A、假B、真C、负D、正正确答案：A2方法简单但是里面充满了（）（2.0分）A、方法论B、推广C、推理D、公式正确答案：A3在联结词的集合Ω中如果一个联结词可以用集合Ω中的其它联结词（）,则该联结词在Ω中被称为是冗余的,否则该联结词被称为是独立的。
（2.0分）A、表示B、代言C、规划D、条件正确答案：A4在一阶谓词逻辑的（）中,所有命题逻辑的推理规则都要继承下来（2.0分）A、推理B、公式C、检查D、发展正确答案：A5首先求出公式G的无ヨ前束型（）（2.0分）A、公式B、实数C、分数D、结构正确答案：A6对()中出现的个体常项,指定一个D中的元素（2.0分）A、AB、FC、GD、V正确答案：A7个体常元:通常用排在前面的小写字毋及其下标（）（2.0分）A、表示B、发展C、位置D、幅度正确答案：A8谓词逻辑的任一()A,都可化为和应的ヨ前束范式,并且A是普有效的当且仅当其前東范式是普遍有效的。
（2.0分）A、公式B、检查C、发展D、规划正确答案：A9方法简单但是里面充满了（）（2.0分）A、方法论B、推广C、推理D、公式正确答案：A10度为（）的顶点称为悬点,与悬点关联的边称为悬边（2.0分）A、1B、2C、3D、4正确答案：A11A,B是命题（）,若A→B是永真式,则称A永真蕴含B（2.0分）A、公式B、证明C、发展D、研究正确答案：A12命题公式的主范式包括主（）范式和主合取范式两种。
（2.0分）A、析取B、完整C、大众D、发展正确答案：A13在一阶谓词逻辑的（）中,所有命题逻辑的推理规则都要继承下来（2.0分）A、推理B、公式C、检查D、发展正确答案：A14如果命题公式A在任意的真值赋值（）下的真值都为0,则称A为永假式(或称矛盾式）（2.0分）A、函数B、结果C、大小D、位置正确答案：A15A,B是命题公式,若A→B是（）,则称A永真蕴含B（2.0分）A、永真式B、不等式C、法线D、结构式正确答案：A16设公式（）和B都是限制性公式（2.0分）A、AB、BC、CD、D正确答案：A17{0,1}上的n元函数f:{0,1}n→{0,1}称为一个n元()函数。
最新左孝凌离散数学课件1.3命题公式与翻译1.4真值表与等价公式PPT课件
• 例2. 证明: PQ (P→Q)(Q→P)
P Q PQ Q→P P→Q (P→Q)(Q→P)
00 1 1 1
1
01 0 0 1
0
10 0 1 0
0
11 1 1 1
1
30
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
➢ 2. 等值演算法(Equivalent Caculation)（利用P15表1-4.8)
• 定义1.4.4 子公式：如果X是wff A的一部分,且X本身也是wff， 则称X是A的子公式。 例如, P(PQ)为Q (P(PQ))的子公式。
• 定理1.4.1 置换定理：设X是wff A的子公式，若XY，则若将A 中的X用Y来置换，所得公式B与A等价，即AB。
• 定义1.4.5 等值演算：根据已知的等价公式,推演出另外一些等 价公式的过程称为等值演算.
(P∧Q)∨(┐P∧┐Q) T F F T
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
1.4.2 等价公式
• 定义1.4.3: 给定两个命题公式A和B,设P1 , P2 ,…,Pn为出现
于真A值和指B派中, 的A和所B有的原真子值变都元相,若同给,则P称1 ,AP和2 ,B…是,P等n任价一. 组 记作A B。
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
1.4.2 等价公式
从真值表中可以看到，有些命题公式在分量的不同指派 下，其对应的真值与另一命题公式完全相同，如┐P∨Q与 P→Q的对应真值相同，如表1-4.5所示。
表1-4.5
我们说┐P∨Q和P→Q 是等价的，这在以 后的推理中特别有 用。
《离散数学》命题逻辑
例如：
和 e 都是无理数。 6和8至少有一个是合数。 说刘老师讲课不好是不正确的。 不下雨我就去买书。
7
命题与命题联结词
将命题连接起来的方式叫做命题联结词
（ proposition connective ） 或 命 题 运 算 符
3
命题与命题联结词
逻辑
如何表示？ 如何“操作”？
非真即假的陈述句称为命题（proposition）。 一个命题如果是对的或正确的，则称为真命
题，其真值为“真”（true），常用T或1表示； 一个命题如果是错的或不正确的，则称为假
命题，其真值为“假”（false），常用F或0表示。
4
命题与命题联结词
32
命题公式及其分类
为简化公式的形式，作如下规定：
(1) 优先级 , (∧, ∨), (, ) (2) 公式 (~p) 的括号可以省略，写成 ~p (3) 整个公式最外层的括号可以省略
例1
(((p)∧q)(q∨p)) p∧q q∨p
例2
p∧q∨r 不是 命题公式 应写作 (p∧q)∨r 或 p∧(q∨r)
例 判断下列句子哪些是命题，哪些不是
这门课程题为“离散数学”。 这门“离散数学”讲得好吗？ X 这门“离散数学”讲得真好！ X 请学习“离散数学” 。 X 5是素数。 太阳从西方升起。 如果明天晴，而且我有空，我就去踢球。 天王星上没有生命。 x + 3 > 5。 X 5 本命题是假的。X
俞伯牙和钟子期是好朋友。 俞伯牙是好朋友 ∧ 钟子期是好朋友 俞伯牙 ∧ 钟子期是好朋友 Friend (俞伯牙,钟子期)
23
逻辑学知识点及公式
逻辑学知识点及公式逻辑学是一门研究思维形式、思维规律和思维方法的科学。
它对于我们正确地思考、表达和论证具有重要的意义。
下面为您介绍一些常见的逻辑学知识点及公式。
一、命题逻辑1、命题命题是具有真假值的陈述句。
例如，“今天是晴天”“2 ＋ 3 ＝5”等。
2、逻辑连接词（1）“且”（用“∧”表示）：两个命题都为真时，其组合命题才为真。
例如：命题 P：今天是晴天；命题 Q：我心情很好。
P∧Q 只有在今天是晴天并且我心情很好时才为真。
（2）“或”（用“∨”表示）：两个命题中至少有一个为真时，其组合命题为真。
例如：命题 P：我吃苹果；命题 Q：我吃香蕉。
P∨Q 在我吃苹果或者我吃香蕉或者两者都有时为真。
（3）“非”（用“¬”表示）：对原命题的否定。
例如：命题 P：今天下雨。
¬P 则表示今天不下雨。
3、命题公式的真值表通过列出命题中变量的所有可能取值，并计算出整个命题公式的真假值，可以得到真值表。
4、等价式（1）双重否定律：¬¬P ＝ P（2）交换律：P∧Q ＝ Q∧P，P∨Q ＝ Q∨P（3）结合律：（P∧Q)∧R ＝ P∧（Q∧R)，（P∨Q)∨R ＝ P∨（Q∨R)5、蕴含式如果 P 则 Q，记作P → Q。
只有当 P 为真且 Q 为假时，P → Q 为假。
二、谓词逻辑1、个体、谓词和量词个体是指可以独立存在的事物，谓词是描述个体性质或关系的词语，量词包括全称量词（“所有”，用“∀”表示）和存在量词（“存在”，用“∃”表示）。
2、公式例如，∀x （P(x) → Q(x)）表示对于所有的 x，若 P(x) 成立则 Q(x) 成立。
三、推理规则1、假言推理如果P → Q 为真，且 P 为真，那么可以推出 Q 为真。
2、选言推理（1）否定肯定式：P∨Q，¬P ，则 Q。
（2）肯定否定式：P∨Q，P ，则¬Q （这种情况在不相容选言中成立）3、三段论推理例如：所有的人都会思考，张三是人，所以张三会思考。
最新第二章命题逻辑的等值和推理演算PPT
Venn图实例
1. P∨(P∧Q) = P 2. P∧(P∨Q) = P
3. (P∨Q) = P∧Q
第二章命题逻辑的等值和推理演算
Venn图可以用来理解 集合间、命题逻辑中、 部分信息量间的一些 关系。
第二章命题逻辑的等值和推理演算
2.2.2 若干常用的等值公式
等值演算中，由于人们对、∨、∧更为熟 悉，常将含有和的公式化成仅含有、 ∨、∧的公式。这也是证明和理解含有， 的公式的一般方法。但后面的推理演算 中，更希望见到和.
6. 吸收律 P∨(P∧Q) = P P∧(P∨Q) = P
7. 摩根律 (P∨Q) = P∧Q (P∧Q) = P∨Q
对蕴涵词、双条件词作否定有 (PQ) = P∧Q (PQ) = PQ = PQ = (P∧Q)∨(P∧Q)
第二章命题逻辑的等值和推理演算
8. 同一律 P∨F = P P∧T = P TP = P TP = P
PQ = (P∧Q)∨(P∧Q)
15.从取假来描述双条件词
PQ = (P∨Q)∧(P∨Q)
16. 从蕴涵词描述双条件词 PQ = (PQ)∧(QP)
第二章命题逻辑的等值和推理演算
2.2.3 置换规则 (注意与代入规则p8的区别)
置换定义：对公式A的子公式, 用与之等值的 公式来代换便称置换。
置换规则：将公式A的子公式置换后，A化为 公式B, 必有A = B。
还有 PF = P FP = P
第二章命题逻辑的等值和推理演算
9. 零律 P∨T = T P∧F = F
还有
PT = T
FP = T 10. 补余律
P∨P = T P∧P = F 还有
PP = P
(优选)第一篇数理逻辑
称对命题变元进行指派
对任意给定的命题变元p1,…,pn的一种取值
状况，称为指派或赋值（assignments） ，
用字母，等表示
当A对取值状况 为真时，称指派弄真A或
是A的成真赋值，记为(A) = 1；
反之称指派弄假A或是A的成假赋值，记为
(A) = 0。
（自然语言中的单句,P-2的(1)、(2)、(4)）
把由原子命题和逻辑联结词共同组成的
命题称为复合命题（compositive
propositions or compound statements） （自然语言中的复句， P-2的(9)、(10)）。
命题的符号化（标示符）： 可以用以下两种形式将命题符号化： .用（带下标的）大写字母； 例如：P：今天下雨。 .用数字。 例如：[12]：今天下雨。 上例中的“P”和“[12]”称为命题标示符。
（优选）第一篇数理 逻辑
第一章 命题逻辑
第一章 命题逻辑
1-1 命题及其表示法 1-2 联结词 1-3 命题公式与翻译 1-4 真值表与等价公式
1-5 重言式与蕴涵式 1-6 其他联结词 1-7 对偶与范式 1-8 推理理论
第一章 命题演算及其形式系统
1-1 命题及其表示法
把对确定的对象作出判断的陈述句
定义1-2.3 两个命题P和Q的析取是一个复合
命题，记作P ∨ Q。当且仅当P、Q同时为F时， P
∨ Q 为F，其他情况下， P ∨ Q的真值都是T。 析取联结词 “∨ ”表示自然语言中的 “ 或”
（or ）。 表 1-2.3 析取词“∨”的意
义p
q
p ∨q
F（0） F（0） F（0） 见真为真， F（0） T（1） T（1） 全假为假。
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离散数学基础2017-11-17本单元内容比较多，视频分割成三个部分：范式的概念、主范式及其应用和主范式的编码PART 1 范式的概念•范式的一些基本定义−文字：原子命题及其否定式统称为文字（形）。
»例：对变量表 {p, q}，p, ¬p, q, ¬q 都是文字。
»例：把 F 称为空文字，记作 NIL。
−基本积：由有限个文字的合取构成。
(简单合取式)»例：对变量表 {p, q, r}，基本积有 p, ¬p, q∧¬p, ¬q∧¬p∧r 等等。
−基本和：由有限个文字的析取构成。
(简单析取式)»例：对变量表 {p, q, r}，基本和有 p, ¬p, q∨¬p, ¬q∨¬p∨r 等等。
•定理6−一个基本和是永真的当且仅当其中含有某个原子的互补对；»由排中律和零律：α∨p∨¬p ⇔ α∨1 ⇔ 1−一个基本积是矛盾的当且仅当其中含有某个原子的互补对。
»由矛盾律和零律： α∧p∧¬p ⇔ α∧0 ⇔ 0•定义：析取范式−一个命题公式称为是一个析取范式当且仅当其具有形式 A1∨A2∨ …∨A n(1≤n<∞)，其中 A i 是基本积 (1≤i≤n)。
−例1：¬p ∨ (q∧¬r) ∨ s，(n=3)−例2：¬p，(n=1)−例3：¬p ∧ q ∧ ¬r，(n=1)−例4：¬p ∨ q ∨ ¬r，(n=3)•定义：合取范式−一个命题公式称为是一个合取范式当且仅当其具有形式 A1∧A2∧…∧A n(1≤n<∞)，其中 A i 是基本和 (1≤i≤n)。
−例1：(¬p∨q∨s)∧(¬p∨¬r∨s)， (n=2)−例2：¬p， (n=1)−例3：¬p ∧ q ∧ ¬r， (n=3)−例4：¬p ∨ q ∨ ¬r， (n=1)•定理7(1) 一个合取范式是永真的当且仅当其中含有的基本和都是永真的；(2) 一个析取范式是矛盾的当且仅当其中含有的基本积都是矛盾的。
−证明：留作思考。
•定理8（范式存在基本定理）−任一命题公式都有与之等值的析取范式和合取范式。
−构造性证明−以求合取范式为例，重复施行如下的等值变形：①联结词化归：应用联结词消去等值式，消去→ 和 ↔ ；②否定词深入：应用德‐摩根律，使否定词直接作用于原子命题变量；③重复利用 ∧ 和 ∨ 之间的分配律求得析取范式或合取范式。
−例： (p∧(q→r))→s⇔ ¬(p∧(¬q∨r))∨s 联结词化归⇔ ¬p∨¬(¬q∨r)∨s 德‐摩根律⇔ ¬p∨(q∧¬r)∨s 德‐摩根律⇔ (¬p∨q∨s)∧(¬p∨¬r∨s) 分配律⇔ (¬p∨q∨s)∧(¬p∨¬r∨s)∧(¬p∨¬r∨s) 幂等律•讨论：一个命题公式的合取（析取）范式不是唯一的。
PART 2 主范式及其应用•定义：极小项−设命题公式 A(p1, p2, …, p n)，又设 A k∈{p k, ¬p k}, k =1..n, 则称 A1∧A2∧…∧A n 为公式 A 的一个极小项。
−极小项也称布尔积。
(1) 关于 A(p1, p2, …, p n) 或原子变量集合 {p1, p2, …, p n} 的极小项有 2n 个。
»例：对 {p, q}，可以构造 22 =4 个极小项 ¬p∧¬q，¬p∧q，p∧¬q，p∧q 。
(2) 对变量表的任一解释有且仅有一个极小项的值为1，其余的值为0，称该极小项为该解释所对应的极小项。
»例：对 {p, q} 的一个解释 t(p)=1, t(q)=0，有且仅有 p∧¬q=1, 对其他的三个极小项，每个极小项中至少有一个文字的值是0，所以这三个极小项的值都是0 。
(3) 任何一对不同极小项的合取为0。
所有极小项的析取为1。
»由(2), 对变量表的任一解释，任何一对极小项中最多有一个极小项取值为1，另外的取值为0，所以合取为0；所有极小项中恰有一个极小项取值为1，所以析取为1。
•定义：极大项−设命题公式 A(p1, p2, …, p n)，又设 A k∈{p k, ¬p k}, k =1..n, 则称 A1∨A2∨…∨A n 为公式 A 的一个极大项。
−极大项也称布尔和。
(1) 关于 A(p1, p2, …, p n) 或原子变量集合 {p1, p2, …, p n} 的极大项有 2n 个。
»例：对 {p, q}，可以构造极大项 ¬p∨¬q，¬p∨q，p∨¬q，p∨q 。
(2) 对任一解释有且仅有一个极大项的值为0，其余的值为1，称该极大项为该解释所对应的极大项。
(3) 任何一对不同极大项的析取为1。
所有极大项的合取为0。
•定义：主析取范式−一个命题公式 B(p1, p2, …, p n) 称为是一个主析取范式(形的)，当且仅当其具有形式B1∨B2∨…∨B m (1≤m≤ 2n)，其中 B i (1≤i≤m) 为公式 B 的一个极小项，且 B i≠B j (对i≠j)。
•定义：主合取范式−一个命题公式 B(p1, p2, …, p n) 称为是一个主合取范式(形的)，当且仅当其具有形式B1∧B2 ∧ …∧B m (1≤m≤ 2n)，其中 B i (1≤i≤m) 为公式 B 的一个极大项，且 B i≠B j (对i≠j)。
•定理9（主范式存在和唯一性定理）−任一命题公式都有与之等值的主析取范式和主合取范式。
考虑到在交换律下等值的公式形态的同一性，主范式的形态是唯一的。
−证明：留作思考。
•例：利用真值表求公式 A 的主析取范式。
p q A000011101111−在命题公式 A 的真值表中，令 A 的取值为1的所有解释所对应的极小项的析取，构成其主析取范式。
因此：A = (¬p∧q)∨(p∧¬q)∨(p∧q)−上述过程的正确性证明：»设该析取式为 B，显然 B 为主析取范式的形态。
»当 A=1 时，其解释对应于一个取值为1的极小项，且该极小项为构成 B 的极小项之一，故此时B=1；»当 A=0 时，其解释所对应的极小项不在构成 B 的极小项中，故此时B中所有极小项取值0，即B=0。
»综上可得 B⇔A，即 B 是 A 的主析取范式。
•范式的应用−例1： 一个双稳态（高、低电平）控制线路，有 A，B，C 三路输入和分别对应的 F A，F B，F C 三路输出。
要求：输入均为低电平时，没有高电平输出；至多有一路高电平输出；有高电平输入时，只有按 A，B，C 的次序检测到的第一个高电平输入才有效，其对应的输出获得高电平，此时其他输出被抑制。
要求：(1) 写出分别描述上述三路输出的逻辑表达式；(2) 用与非门搭建实现上述控制要求的逻辑电路。
A B C F A F B F C000000001001010010011010100100101100110100111100−由真值表容易写出 FA、FB 和 FC 的主析取范式。
FA = (A∧¬B∧¬C)∨(A∧¬B∧C)∨(A∧B∧¬C)∨(A∧B∧C)；FB = (¬A∧B∧¬C)∨(¬A∧B∧C)FC = ¬A∧¬B∧C−经过化简后的表达式为FA = A = (A↑A)↑(A↑A)；FB = ¬A∧B = (A↑A)∧B= ((A↑A)↑B)↑((A↑A)↑B)；FC = ¬A∧¬B∧C = (A↑A)∧(B↑B)∧C= ……•范式的应用−例2：一个会议室有4个门，1盏灯，每个门旁边各有一个双稳态开关。
要求：任何一个开关状态的改变都能导致灯的亮、灭状态的改变。
写出实现上述控制要求的逻辑表达式。
−解：设初始灯是开路的，而且所有开关处于0状态。
则只要令灯在有奇数个开关处于1状态时接通，即满足题目的要求。
真值表如下页，A、B、C、D 分别表示4个开关的状态，一共有 24=16 个逻辑解释。
由真值表可以写出 L 的主析取范式。
请你自行完成。
A B C D L0000000011001010011001001010100110001111A B C D L1000110010101001011111000110111110111110•等值演算构造主析取范式（1）构造析取范式并化简合并。
（2）在每一个基本积中利用同一律填满所有的原子命题文字形式，利用分配律构造布尔积（称为基本积的扩展）。
（3）重复第2步直到所有基本积都扩展成布尔积。
（4）合并同类布尔积，经适当排列得到最后结果。
−例：第2步对于 A(p, q, r) 扩展基本积− p∧q ⇔ p∧q∧(r∨¬r) ⇔ (p∧q∧r)∨(p∧q∧¬r)− p ⇔ p∧(q∨¬q)∧(r∨¬r)− ⇔ ((p∧q)∨(p∧¬q))∧(r∨¬r)− ⇔ ((p∧q)∧(r∨¬r))∨((p∧¬q)∧(r∨¬r))− ⇔ ((p∧q∧r)∨(p∧q∧¬r))∨((p∧¬q∧r)∨(p∧¬q∧¬r))− ⇔ (p∧¬q∧¬r)∨(p∧¬q∧r)∨(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)PART 3 主范式的编码•定义：极小项的成真编码−对关于 n 个原子的极小项 B i = A1∧A2∧…∧A n (1≤i≤ 2n)， A k∈{p k, ¬p k}, k =1..n，令 B i 为真的原子的真值序列 (v1v2…v n) 是唯一的，称之为 B i 的成真编码。
以二进制数1表示真值T，0表示真值F，则可构造 B i 的成真 n 位二进制编码 C，记为 m C。
−例：命题公式 A(p, q) 有4个极小项¬p∧¬q 对应 m00 或 m0当 t(p)=0, t(q)=0 时 ¬p∧¬q=1¬p∧q 对应 m01 或 m1当 t(p)=0, t(q)=1 时 ¬p∧q=1p∧¬q 对应 m10 或 m2当 t(p)=1, t(q)=0 时 p∧¬q=1p∧q 对应 m11 或 m3当 t(p)=1, t(q)=1 时 p∧q=1•定义：极大项的成假编码−对关于 n 个原子的极大项 B i = A1∨A2∨…∨A n (1≤i≤ 2n)， A k∈{p k, ¬p k}, k =1..n，令 B i 为假的原子的真值序列 (v1v2…v n) 是唯一的，称之为 B i 的成假编码。