河北省石家庄市第二中学2020届高三模拟考试数学(理)试题
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数学（理科）试卷 第3 页（共 4 页）
19.（12
分）如图，椭圆 E :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的离心率为
2 ，点 P(0,1) 在短轴 CD 上，且 PC PD 1. 2
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）设 O 为坐标原点，过点 P 的动直线与椭圆交于 A, B 两点，是否存在常数 ，
如图分别以 AB, PO 所在的直线为 x 轴和 z 轴，
以底面内 AB 的中垂线为 y 轴建立空间直角坐标系 O xyz ，
则 P(0,0, 3), B(1,0,0),C(1,2,0), D(1,4,0) ，
PC (1,2, 3), BC (0,2,0), CD (2,2,0), ..................................................................................................6 分
述．（如第二次排序时的序号为1,3,2,4, 则 X 2 ）．
（1）写出 X 的所有可能取值构成的集合(不用证明)；
（2）假设 a1, a2, a3, a4 的排列等可能地为1,2,3,4 的各种排列，求 X 的分布列和数学期望；
（3）某调味品品评师在相继进行的三轮测试中，都有 X 2 .
（i）试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）； （ⅱ）请判断该调味品品评师的品味鉴别能力如何？并说明理由．
使得 OAOB PA PB 为定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．
20.（12 分）调味品品评师的重要工作是对各种品牌的调味品进行品尝，分析，鉴定，调配与研发，周而复
始、反复对比．调味品品评师需定期接受品味鉴别能力测试，一种常用的测试方法如下：拿出 n 瓶外观相同
但品质不同的调味品让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其
命题：
①存在唯一点 P 使得 k 1； ②对于任意点 P 都有 k 0 ； ③对于任意点 P 都有 k 1； ④存在点 P 使得 k 1，
则所有正确的命题的序号为（ ）
A．①②
B．③
C．①④
D．①③
数学（理科）试卷 第2 页（共 4 页）
第 II 卷 非选择题（共 90 分）
二．填空题（共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）
C． y 3 x 2
D． y x
9.正四面体 A BCD 中， E 是棱 AD 的中点， P 是棱 AC 上一动点，若 BP PE 的最小值为 14 ，则该正
四面体的外接球的表面积为（ ）
A． 32
B． 24
C．12
D． 8
10．已知点 G 在 ABC 内，且满足 2GA 3GB 4GC 0 ，若在 ABC 内随机取一点，此点取自 GAB,
21.（12 分）已知函数 f (x) x ln x.
（1）求曲线 y f (x) 在 x e2 处的切线方程；
（2）关于 x 的不等式 f (x) (x 1) 在 (0,) 上恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若 f (x1) a f (x2 ) a 0 ，且 x1 x2 ，证明： (x2 x1 1)e2 1 2ae2 .
2 （1）证明：直线 CE // 平面 PAB ； （2）求二面角 B PC D 的余弦值.
18.（12 分）甲、乙两同学在高三一轮复习时发现他们曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条
件看不清，具体如下：
等比数列an的前 n 项和为 Sn ，已知
，
（1）判断 S1, S2 , S3 的关系并给出证明；
百度文库
GAC, GBC 的概率分别记为 P1, P2, P3, 则（ ）
A． P1 P2 P3
B． P1 P2 P3
C． P1 P2 P3
11.《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多•达芬奇创作的油画，
现收藏于法国罗浮宫博物馆．该油画规格为：纵 77cm ，横 53cm ．油画挂
在墙壁上的最低点处 B 离地面 237cm （如图所示）．有一身高为175cm 的
（二）选考题（共 10 分）请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（10
分）已知曲线 C1
:
x
y
1 1
2 cos t （ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极
2 sin t
坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2sin ．
（1）求曲线 C1 的极坐标方程；（2）求曲线 C1 与 C2 交点的极坐标 ( 0,0 2 ) .
在这个问题中，甲比戊多得（ ）钱？
A． 1 3
B． 2 3
C． 1 6
D． 5 6
7．将函数 f (x) cos 2x 图象上所有点向左平移 个单位长度后得到函数 g(x) 的图象，若 g(x) 在区间 4
[0, a] 上单调递减，则实数 a 的最大值为（ ）
A． 8
B． 4
C． 2
D． 3 4
二．填空题 13. 6 三．解答题
14. 10
15. 2 2
16. （2分）3（3分）
6
2
17.解：（1）取 PA 的中点 F ，连接 FE, FB ，
∵ E 是 PD 的中点，∴ FE // 1 AD ， 2
又 BC // 1 AD ，∴ BC //FE ， 2
∴四边形 EFBC 是平行四边形，∴ CE // BF ，
4
10
A．[2,2]
B． (1,)
C． (1,2]
D． (,1] (2,)
2．已知复数 z 在复平面内对应的点的坐标为 (1,2) ，则 z （ ） 1 i
A． 1 3 i 22
B． 1 3 i 22
C． 3 1 i 22
3．设 a,b 是向量，则“| a || b | ”是“| a b || a b | ”的（ ）
设平面 PBC 的法向量为 m (x, y, z) ，平面 PDC 的法向量为 n (a, b, c) ，
m PC x 2 y 则
3z 0 ，令 z 1，则 m (
3,0,1) .................................................................................8 分
游客从正面观赏它（该游客头顶T 到眼睛 C 的距离为15cm ），设该游客离
墙距离为 xcm ，视角为 ．为使观赏视角 最大， x 应为（ ）
D． P2 P1 P3
A． 77
B． 80
C．100
D． 77 2
12．已知点 P 是曲线 y sin x ln x 上任意一点，记直线 OP ( O 为坐标原点)的斜率为 k ，给出下列四个
23.（10 分）已知绝对值不等式：| x 1| | x 1| a2 5a 4 .
（1）当 a 0 时，求 x 的取值范围；（2）若对任意实数 x ，上述不等式恒成立，求 a 的取值范围．
数学（理科）试卷 第4 页（共 4 页）
石家庄二中高三教学质量检测数学（理科）答案
一．选择题 1-6 CAD ABB 7-12 BAC CDD
品尝这 n 瓶调味品，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程
度的高低为其评分．现设 n 4 ，分别以 a1, a2, a3, a4 表示第一次排序时被排为1,2,3,4 的四种调味品在第二次
排序时的序号，并令 X |1 a1 | | 2 a2 | | 3 a3 | | 4 a4 | ，则 X 是对两次排序的偏离程度的一种描
x y 2 0 13. 若实数 x, y 满足约束条件 x 2 y 0 ，则 x y 的最小值为
x 2 y 4 0
1
10 14. 已知 m 1
1 x2 dx ，则 (
1
x)m 的展开式中 x2 的系数为
x
（用数字表示）
15.
已知点
P
是椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 上一点，点 P 在第一象限且点 P 关于原点 O 的对称点为 Q ，
数学（理科）试卷 第1 页（共 4 页）
8．已知双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0) ， O 为坐标原点， F1, F2 为其左、右焦点，点 G
在C
的渐近线
上， F2G OG ， 6 | OG || GF1 | ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． y 2x
B． y 2 x 2
石家庄二中2020届高三教学质量检测
数学（理科）试卷
（时间：120 分钟 分值：150 分）
第 I 卷 选择题（共 60 分）
一．选择题（共 12 小题，每题 5 分，共 60 分）
1．已知集合 A {x | 1 2x 4}, B {y | y lg x, x 1 } ，则 A B （ ）
D． 3 3 i 22
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．函数
f
(x)
ex ex
1 cos 1
x
的部分图象大致为（
）
5. 右侧茎叶图记录的是甲、乙两个班级各 5 名同学在一次数学小题训练测试
中的成绩（单位：分，每题 5 分，共 16 题）．已知两组数据的平均数相等，
则 x、y 的值分别为（ ）
A．0，0
B．0，5
C．5，0
D．5，5
6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，
问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相
同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种质量单位），
m BC 0x 2 y 0z 0
n PC a 2b
3c 0 ，令 a 1，则 n (1,1,
当
x1
,
x2
[
12
,
3
]
时，
|
g
(
x1
)
g
(
x2
)
|
的最大值为
．
三．解答题（共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17—21 题为必考题，每个试题
考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求选择其中一个作答.）
（一）必考题（共 60 分）
17.（12 分）如图，四棱锥 P ABCD 中侧面 PAB 为等边三角形且垂 直于底面 ABCD ,AB BC ， BC // AD, AB BC 1 AD ， E 是 PD 的中点．
2
PO 3 ，..................................................................................................................................................................5 分
（2）若
a1
a3
3 ，设 bn
n 12
|
an
| ，{bn}
的前
n
项和为 Tn
，证明： Tn
4 3
.
甲同学记得缺少的条件是首项 a1 的值，乙同学记得缺少的条件是公比 q 的值，并且他俩都记得第（1）
问的答案是 S1, S3, S2 成等差数列．
如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题．
又 CE 不在平面 PAB 内， BF 在平面 PAB 内，
∴ CE // 平面 PAB ．....................................................................................................................................................4 分 （2）在平面 PAB 内作 PO⊥AB 于 O，又面 PAB 面 ABCD ，面 PAB 面 ABCD AB PO 面 ABCD 不妨令 AB BC 1 AD 2 ，则 AD 4 ，由 PAB 是等边三角形，则 PA PB 2 ， O 为 AB 的中点，
点 P 在 x 轴上的投影为 E ，直线 QE 与椭圆 C 的另一个交点为 G ，若 PQG 为直角三角形，则椭圆 C 的离
心率为
16. 若函数 f (x) 的导函数 f '(x) Acos(x )(A 0, 0,| | ) ， 2
f '(x) 部分图象如图所示，则
，函数 g(x) f (x ) ， 12
19.（12
分）如图，椭圆 E :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的离心率为
2 ，点 P(0,1) 在短轴 CD 上，且 PC PD 1. 2
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）设 O 为坐标原点，过点 P 的动直线与椭圆交于 A, B 两点，是否存在常数 ，
如图分别以 AB, PO 所在的直线为 x 轴和 z 轴，
以底面内 AB 的中垂线为 y 轴建立空间直角坐标系 O xyz ，
则 P(0,0, 3), B(1,0,0),C(1,2,0), D(1,4,0) ，
PC (1,2, 3), BC (0,2,0), CD (2,2,0), ..................................................................................................6 分
述．（如第二次排序时的序号为1,3,2,4, 则 X 2 ）．
（1）写出 X 的所有可能取值构成的集合(不用证明)；
（2）假设 a1, a2, a3, a4 的排列等可能地为1,2,3,4 的各种排列，求 X 的分布列和数学期望；
（3）某调味品品评师在相继进行的三轮测试中，都有 X 2 .
（i）试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）； （ⅱ）请判断该调味品品评师的品味鉴别能力如何？并说明理由．
使得 OAOB PA PB 为定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．
20.（12 分）调味品品评师的重要工作是对各种品牌的调味品进行品尝，分析，鉴定，调配与研发，周而复
始、反复对比．调味品品评师需定期接受品味鉴别能力测试，一种常用的测试方法如下：拿出 n 瓶外观相同
但品质不同的调味品让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其
命题：
①存在唯一点 P 使得 k 1； ②对于任意点 P 都有 k 0 ； ③对于任意点 P 都有 k 1； ④存在点 P 使得 k 1，
则所有正确的命题的序号为（ ）
A．①②
B．③
C．①④
D．①③
数学（理科）试卷 第2 页（共 4 页）
第 II 卷 非选择题（共 90 分）
二．填空题（共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）
C． y 3 x 2
D． y x
9.正四面体 A BCD 中， E 是棱 AD 的中点， P 是棱 AC 上一动点，若 BP PE 的最小值为 14 ，则该正
四面体的外接球的表面积为（ ）
A． 32
B． 24
C．12
D． 8
10．已知点 G 在 ABC 内，且满足 2GA 3GB 4GC 0 ，若在 ABC 内随机取一点，此点取自 GAB,
21.（12 分）已知函数 f (x) x ln x.
（1）求曲线 y f (x) 在 x e2 处的切线方程；
（2）关于 x 的不等式 f (x) (x 1) 在 (0,) 上恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若 f (x1) a f (x2 ) a 0 ，且 x1 x2 ，证明： (x2 x1 1)e2 1 2ae2 .
2 （1）证明：直线 CE // 平面 PAB ； （2）求二面角 B PC D 的余弦值.
18.（12 分）甲、乙两同学在高三一轮复习时发现他们曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条
件看不清，具体如下：
等比数列an的前 n 项和为 Sn ，已知
，
（1）判断 S1, S2 , S3 的关系并给出证明；
百度文库
GAC, GBC 的概率分别记为 P1, P2, P3, 则（ ）
A． P1 P2 P3
B． P1 P2 P3
C． P1 P2 P3
11.《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多•达芬奇创作的油画，
现收藏于法国罗浮宫博物馆．该油画规格为：纵 77cm ，横 53cm ．油画挂
在墙壁上的最低点处 B 离地面 237cm （如图所示）．有一身高为175cm 的
（二）选考题（共 10 分）请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（10
分）已知曲线 C1
:
x
y
1 1
2 cos t （ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极
2 sin t
坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2sin ．
（1）求曲线 C1 的极坐标方程；（2）求曲线 C1 与 C2 交点的极坐标 ( 0,0 2 ) .
在这个问题中，甲比戊多得（ ）钱？
A． 1 3
B． 2 3
C． 1 6
D． 5 6
7．将函数 f (x) cos 2x 图象上所有点向左平移 个单位长度后得到函数 g(x) 的图象，若 g(x) 在区间 4
[0, a] 上单调递减，则实数 a 的最大值为（ ）
A． 8
B． 4
C． 2
D． 3 4
二．填空题 13. 6 三．解答题
14. 10
15. 2 2
16. （2分）3（3分）
6
2
17.解：（1）取 PA 的中点 F ，连接 FE, FB ，
∵ E 是 PD 的中点，∴ FE // 1 AD ， 2
又 BC // 1 AD ，∴ BC //FE ， 2
∴四边形 EFBC 是平行四边形，∴ CE // BF ，
4
10
A．[2,2]
B． (1,)
C． (1,2]
D． (,1] (2,)
2．已知复数 z 在复平面内对应的点的坐标为 (1,2) ，则 z （ ） 1 i
A． 1 3 i 22
B． 1 3 i 22
C． 3 1 i 22
3．设 a,b 是向量，则“| a || b | ”是“| a b || a b | ”的（ ）
设平面 PBC 的法向量为 m (x, y, z) ，平面 PDC 的法向量为 n (a, b, c) ，
m PC x 2 y 则
3z 0 ，令 z 1，则 m (
3,0,1) .................................................................................8 分
游客从正面观赏它（该游客头顶T 到眼睛 C 的距离为15cm ），设该游客离
墙距离为 xcm ，视角为 ．为使观赏视角 最大， x 应为（ ）
D． P2 P1 P3
A． 77
B． 80
C．100
D． 77 2
12．已知点 P 是曲线 y sin x ln x 上任意一点，记直线 OP ( O 为坐标原点)的斜率为 k ，给出下列四个
23.（10 分）已知绝对值不等式：| x 1| | x 1| a2 5a 4 .
（1）当 a 0 时，求 x 的取值范围；（2）若对任意实数 x ，上述不等式恒成立，求 a 的取值范围．
数学（理科）试卷 第4 页（共 4 页）
石家庄二中高三教学质量检测数学（理科）答案
一．选择题 1-6 CAD ABB 7-12 BAC CDD
品尝这 n 瓶调味品，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程
度的高低为其评分．现设 n 4 ，分别以 a1, a2, a3, a4 表示第一次排序时被排为1,2,3,4 的四种调味品在第二次
排序时的序号，并令 X |1 a1 | | 2 a2 | | 3 a3 | | 4 a4 | ，则 X 是对两次排序的偏离程度的一种描
x y 2 0 13. 若实数 x, y 满足约束条件 x 2 y 0 ，则 x y 的最小值为
x 2 y 4 0
1
10 14. 已知 m 1
1 x2 dx ，则 (
1
x)m 的展开式中 x2 的系数为
x
（用数字表示）
15.
已知点
P
是椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 上一点，点 P 在第一象限且点 P 关于原点 O 的对称点为 Q ，
数学（理科）试卷 第1 页（共 4 页）
8．已知双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0) ， O 为坐标原点， F1, F2 为其左、右焦点，点 G
在C
的渐近线
上， F2G OG ， 6 | OG || GF1 | ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． y 2x
B． y 2 x 2
石家庄二中2020届高三教学质量检测
数学（理科）试卷
（时间：120 分钟 分值：150 分）
第 I 卷 选择题（共 60 分）
一．选择题（共 12 小题，每题 5 分，共 60 分）
1．已知集合 A {x | 1 2x 4}, B {y | y lg x, x 1 } ，则 A B （ ）
D． 3 3 i 22
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．函数
f
(x)
ex ex
1 cos 1
x
的部分图象大致为（
）
5. 右侧茎叶图记录的是甲、乙两个班级各 5 名同学在一次数学小题训练测试
中的成绩（单位：分，每题 5 分，共 16 题）．已知两组数据的平均数相等，
则 x、y 的值分别为（ ）
A．0，0
B．0，5
C．5，0
D．5，5
6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，
问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相
同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种质量单位），
m BC 0x 2 y 0z 0
n PC a 2b
3c 0 ，令 a 1，则 n (1,1,
当
x1
,
x2
[
12
,
3
]
时，
|
g
(
x1
)
g
(
x2
)
|
的最大值为
．
三．解答题（共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17—21 题为必考题，每个试题
考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求选择其中一个作答.）
（一）必考题（共 60 分）
17.（12 分）如图，四棱锥 P ABCD 中侧面 PAB 为等边三角形且垂 直于底面 ABCD ,AB BC ， BC // AD, AB BC 1 AD ， E 是 PD 的中点．
2
PO 3 ，..................................................................................................................................................................5 分
（2）若
a1
a3
3 ，设 bn
n 12
|
an
| ，{bn}
的前
n
项和为 Tn
，证明： Tn
4 3
.
甲同学记得缺少的条件是首项 a1 的值，乙同学记得缺少的条件是公比 q 的值，并且他俩都记得第（1）
问的答案是 S1, S3, S2 成等差数列．
如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题．
又 CE 不在平面 PAB 内， BF 在平面 PAB 内，
∴ CE // 平面 PAB ．....................................................................................................................................................4 分 （2）在平面 PAB 内作 PO⊥AB 于 O，又面 PAB 面 ABCD ，面 PAB 面 ABCD AB PO 面 ABCD 不妨令 AB BC 1 AD 2 ，则 AD 4 ，由 PAB 是等边三角形，则 PA PB 2 ， O 为 AB 的中点，
点 P 在 x 轴上的投影为 E ，直线 QE 与椭圆 C 的另一个交点为 G ，若 PQG 为直角三角形，则椭圆 C 的离
心率为
16. 若函数 f (x) 的导函数 f '(x) Acos(x )(A 0, 0,| | ) ， 2
f '(x) 部分图象如图所示，则
，函数 g(x) f (x ) ， 12