行列式解法小结 数学毕业论文
行列式的计算与技巧 毕业论文
江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文行列式的计算与技巧The calculation of determinantand the skill姓名：* ***学号：090*0*0**2学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学指导老师：*完成时间：2013-3-11行列式的计算与技巧【摘要】行列式是代数的一个重要的内容，也是讨论线性方程组的一个非常有力的工具,在数学的许多分支上有着极其广泛的应用。
同时，行列式的计算非常的灵活多变，有很强的技巧和规律性。
本文则主要讨论行列式的一些常用的方法，并坚持从实例出发，在以上几种常用方法的基础上，探讨并给出行列式的其他几种计算方法。
如：三角形法、升阶法、数学归纳法、递推法、提取因子法、范德蒙行列式法、拆行法等等，通过以上这些方法基本可以解决一般的n阶行列式的计算问题。
【关键词】行列式递推法范德蒙行列式降阶法The calculation of determinant and the skill【Abstract】Determinant is an important content of algebra, and discussthe system of linear equations is a very powerful tool, many branches of mathematics has the extremely widespread application. At the same time, the determinant calculation is very flexible, strong skills and regularity. This article mainly discuss some commonly used methods of the determinant, and proceed from the instance and on the basis of the above several kinds of commonly used method, and gives several calculation methods of the determinant are discussed. Such as: the triangle method, order method, mathematical induction, recursive method, extraction factor method, vandermonde determinant method, the split line method, and so on, through the above these methods can solve the general basic n-th-order determinant calculation problem.【Key words】：The determinant, Recursive method, Vandermonde determinant，Order reduction method目录1 引言 (1)2行列式的定义 (1)2.1 用定义法计算行列式 (1)3 行列式的相关性质 (3)3.1利用相关性质得到几种特殊解法 (3)3.1.1对角线法则计算行列式 (3)3.1.2 三角形法计算行列式 (3)3.1.2.1箭形(或爪形)行列式 (4)3.1.3加边法（升阶法）计算行列式 (5)3.1.4 分解行列法(又称拆项法)计算行列式 (6)3.1.5降阶法计算行列式 (7)4递推法计算行列式 (9)5 特征值法计算行列式 (10)6 数学归纳法计算行列式 (10)7 提取因子法计算行列式 (11)8 利用范德蒙行列式计算行列式 (12)9 利用拉普拉斯展开定理计算行列式 (14)10 因式分解法计算行列式 (15)11 乘法定理法（行列式乘积法）计算行列式 (16)12 小结 (17)参考文献 (18)1 引言行列式是一个基本的数学工具，是线性代数的重要研究对象，无论是在高精尖端科学领域，还是在日常工业生产、工程施工或经济管理中都有着广泛的应用。
行列式的计算方法小论文
行列式的计算方法行列式计算方法总结及简单应用摘要：行列式的计算方法，并举例说明了它们的应用，同时对若干特殊例子进行推广。
并举出了几种常见的行列式应用。
关键词：排列 行列式 行列式计 行列式计算的基本方法：基本的行列式解法包括：性质法、化三角形法、代数余子式法等1、利用行列式的性质计算例1： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称n D 为反对称行列式,证明：奇数阶反对称行列式为零.证：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式n D 可表示为1213112232132331230000n nn n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----， 由行列式的性质A A '=，1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300(1)0n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------ =n n D )1(-当n 为奇数时，得n D =n D ，因而得n D = 0.2、 化三角形法此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表为一个非零数与一个三角形行列式之积，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式.三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的n 阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带符号例2 计算n 阶行列式n ab b ba b D bb a=解：()[]a b b a bbb n a D n1111-+=()[]ba b a bbb n a ---+=000011()[])1()(1---+=n b a b n a3、代数余子式法在一个n 级行列式D 中,把元素ij a 所在的行与列划去后，剩下的2)1(-n 个元素按照原来的次序组成的一个)1(-n 阶行列式ij M ,称为元ij a 的余子式，ij M 带上符号)()1(j i +-称为的ij a 代数余子式,记作ij j i ij M A )()1(+-=定理1: 行列式等于其第 i 行诸元素与各自代数余子式的乘积之和 , 即ij nj ij nn nn ij ij A a A a A a A a A a A a D ∑==+++++=1131312121111证：先证特殊情况元素11a 位于第一行、第一列，而该行其余元素均为零;1121222120n n n nna a a a D a a a =1212121211()()121211(1)(1)n n n n j j j j j j j j nj j j nj j j a a a a a a ττ=≠=-+-∑∑2223()112()(1)n n n j j j nj j j j a a a τ=-∑1111a M =而11111111(1)A M M +=-=,故1111D a A =;（2）111110j n ij n njnna a a a D a a a = 将D 中第i 行依次与前1i -行对调，调换1i -次后位于第一行; 将D 中第j 列依次与前1j -列对调，调换1j -次后位于第一列; 经(1)(1)2i j i j -+-=+-次对调后，ij a 就位于第一行、第一列，即2(1)(1)i j i j ij ij ij ij ij ij D a M a M a A +-+=-=-=.(3) 一般地111211212000000ni iinn n nna a a D a a a a a a =+++++++++111211112111121121212120000nn n i i in n n nnn n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++ 1122i i i i in in a A a A a A =++同理有:nj nj j j j j A a A a A a D +++= 2211.例3 计算四阶行列式 4000000a ba b a b a b D a b a b a ba b+-+-=-+-+.证: 按第1行展开，有1114400()(1)0()(1)000a b a ba b a bD a b a b a ba b a b a b a ba b +++-+-=+--++---++-, 对等式右端的两个3阶行列式都按第3行展开，得22[()()]a b a b D a b a b a b a b+-=+---+4222a b =.4、范德蒙得行列式法根据行列式的特点，适当变形（利用行列式的性质——如：提取公因式；互换两行（列）；一行乘以适当的数加到另一行（列）去;把所求行列式化成已知的或简单的形式.其中范德蒙行列式就是一种.这种变形法是计算行列式最常用的方法.例1 计算行列式1222211221212121122111111n n nn n n n n n n nx x x D x x x x x x x x x x x x ------+++=++++++解 把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第1-n 行的－1倍加到第n 行，便得范德蒙行列式1222212111112111()n n i j n i j n n n nx x x D x x x x x x x x ≥>≥---==-∏参考文献[1] 蒋省吾． 杨辉三角中的行列式[J]，教学通报，1988，5：8-10 [2] 张禾瑞．郝新高等代数[M]．北京：人民教育出版社,1996. [3] 王品超.高等代数新方法[M].济南,山东教育出版社，1989.[4] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数(第三版)[M]. 北京: 高等教育出社,2003.[5] 同济大学数学教研室．工程数学线性代数(第三版) [M]．北京：高等教育出版社，1999. [6] 王萼芳, 石生明修订. 高等代数(第三版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003. [7] 李宇寰.组合数学[M].北京：北京师范大学出版社，1988. [8] 杨振声.组合数学及其算法[M].北京：中国科学技术出版社，1997. [9] 陈景润.组合数学简介[M].天津：天津科学技术出版社，1988.。
行列式的计算技巧及其应用毕业论文【范本模板】
本科生毕业论文(设计)题目: 行列式的计算技巧及应用学生姓名：谢芳学号: 201210010133专业班级：数学与应用数学12101班指导教师：颜亮完成时间： 2016 年 5 月目录摘要.。
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1 0、前言。
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1 1、基础知识及预备引理.。
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2 1.1行列式的由来及定义。
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..2 1.2行列式的性质。
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3 1。
3拉普拉斯定理及范德蒙德行列式的定义....。
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4 2、行列式的计算方法。
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1定义法。
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..4 2.2利用行列式的性质（化三角型）计算.。
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5 2.3拆行(列）法...。
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4加边法（升阶法）。
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5范德蒙德行列式的应用。
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.7 3、n阶行列式的计算。
行列式计算方法论文
本科生毕业论文（设计）题目：行列式计算及其应用研究系部数学系学科门类理学专业数学与应用数学学号**********姓名张大儒指导教师王吟2011年 5 月15 日行列式计算及其应用研究摘要行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学和现实生活中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要.本文阐述行列式的定义及基本性质，介绍了利用行列式的性质计算、化三角形法、代数余子式法、加边法（升阶法）、范德蒙得行列式法等5种基本计算方法和数学归纳法、递推法、利用矩阵特征值计算、拆项法、因式分解法等5种特殊计算方法.本文也介绍了行列式在解析几何、代数中的理论应用和在工程建设、经济管理中的实践应用.这些行列式的计算方法及其应用可以提高我们对行列式的认识，有利于把行列式的研究推向深入.关键词：行列式；因式分解；化三角形法；解析几何ABSTRACTDeterminant of higher algebra curriculum content of basic and important one in mathematics and real life has a wide range of applications, know how to calculate the determinant is very important. This paper describes the definition and basic properties of determinant, the determinant of the nature described by calculation of the triangle method, algebraic method, adding edge method (Ascending Order), Vandermonde determinant method of 5 basic calculation methods and mathematical induction, recursion, the use of eigenvalue calculation, the dissolution of entry method, such as the factorization method of 5 special calculation methods. This article also describes the determinant in analytic geometry, algebra theory is applied and engineering construction, the practical application of economic management. The determinant of the calculation method and its applications can improve our understanding of the determinant, to facilitate the determinant of research depth.Key words: determinant; factorization; triangle method; analytic geometry.目录1 行列式的定义及性质 (1)1.1 行列式的定义 (1)1.1.1排列 (1)1.1.2定义 (1)1.2 行列式的相关性质 (2)2 行列式的计算方法 (4)2.1 行列式计算的基本方法 (4)2.1.1 利用行列式的性质计算 (4)2.1.2 化三角形法 (5)2.1.3 代数余子式法 (5)2.1.4 加边法（升阶法） (7)2.1.5 范德蒙得行列式法 (9)2.2 行列式计算特殊方法 (12)2.2.1 数学归纳法 (12)2.2.2 递推法 (13)2.2.3 利用矩阵特征值计算 (16)2.2.4拆项法 (17)2.2.5 因式分解法 (18)3 行列式的应用 (19)3.1 行列式的理论应用 (19)3.1.1在解析几何中的应用 (19)3.1.2在代数中的应用 (21)3.2 行列式在实践中的应用 (24)参考文献 (1)1 行列式的定义及性质行列式的定义及性质是计算行列式的基础有必要进行介绍.1.1 行列式的定义 1.1.1排列]4[在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序.一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列.如2431中，21，43，41，31是逆序，逆序数是4，为偶排列.1.1.2定义]6[n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a (1-1)的代数和，这里n j j j j 321是n 2,1的一个排列，每一项（1-1）都按下列规则带有符号：当n j j j j 321是偶排列时，（1-1）带有正号，当n j j j j 321是奇排列时，（1-1）带有负号.这一定义可以写成12121211121()212221212(1)n n nn j j j n j j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑(1-2)这里表示对所有n 级排列求和.1.2 行列式的相关性质]2[记111212122212n n n n nn a a a a a a D a a a =，112111222212n n nnnna a a a a a D a a a '=，行列式D '称为行列式D 的转置行列式. 性质1 行列式与它的转置行列式相等.证: 记111212122212n n n n nnb b b b b b D b b b '=，即ij ij b a = ),2,1,(n j i =，按行列式定义121212()12(1)n n nj j j j j nj j j j D b b b τ'=-∑121212()12(1)n n nj j j j j j n j j j b b b D τ=-=∑.性质2:互换行列式的两行(列)，行列式反号.证:11111212221pq n p q n n npnqnna a a a a a a a D a a a a =，交换第q p ,两列得行列式111112122211q p n q p n n nqnpnna a a a a a a a D a a a a =.将D 与1D 按(1.6)式计算，对于D 中任一项1212(1)p q n I i i i p i q i n a a a a a -其中I 为排列1pqn i i i i 的逆序数，在1D 中必有对应一项11212(1)q p n I i i i q i p i n a a a a a -（当q p j ,≠时，第j 列元素取ij a ，第p 列元素取q i q a ，第q 列元素取p i p a )，其中1I 为排列1qpn i i i i 的逆序数，而1pqn i i i i与1qpn i i i i只经过一次对换，由定理1知，(1)I -与1(1)I -相差一个符号，又因12121212(1)q p n p q n I i i i q i pi n i i i p i q i n a a a a a a a a a a =-,所以对于D 中任一项，1D 中必定有一项与它的符号相反而绝对值相等，又D 与1D 的项数相同，所以1D D -=.交换行列式j i ,两行记作),(j i r ，交换行列式j i ,两列，记作),(j i c .推论 若行列式有两行(列)元素对应相等，则行列式为零.性质3:行列式的某一行(列)中所有元素都乘以同一个数k ，等于用数k 乘以此行列式. 第i 行(列)乘以数k ，记作.))((k i r ))](([k i c .性质4:行列式中若有两行元素对应成比例，则此行列式为零. 性质5:若行列式的某行(列)的元素都是两个数之和，例如1112121222112212n n i i i i in inn n nna a a a a a D a a a a a a a a a ='''+++，则行列式D 等于下列两个行列式之和：1112111121212222122212121212n n n n i i in i i in n n nnn n nna a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a =+'''.性质6:把行列式某一行(列)的元素乘以数k ，加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.例如，以数k 乘以第i 行上的元素加到第j 行对应元素上记作)]([k i j r +，有111211112112121211221211[()]()n n i i ini i inj j jn j j j j jn jnn n nnn n nna a a a a a a a a a a a r j i k i j a a a a ka a ka a ka a a a a a a +≠+++2 行列式的计算方法这一部分阐述两个方面内容:2.1行列式计算的基本方法， 2.2 行列式计算特殊方法.2.1 行列式计算的基本方法基本的行列式解法包括：性质法、化三角形法、代数余子式法、升阶法、范德蒙的行列式法.2.1.1 利用行列式的性质计算例1： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称n D 为反对称行列式,证明：奇数阶反对称行列式为零. 证：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式n D 可表示为1213112232132331230000n nn n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----， 由行列式的性质A A '=，121311223213233123000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300(1)0n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------ =n n D )1(-当n 为奇数时，得n D =n D ，因而得n D = 0.2.1.2 化三角形法此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表为一个非零数与一个三角形行列式之积，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式.三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的n 阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带符号例2 计算n 阶行列式n ab b b a b D bb a=解：()[]a b b a bbb n a D n1111-+=()[]ba b a bbb n a ---+=000011()[])1()(1---+=n b a b n a2.1.3 代数余子式法在一个n 级行列式D 中,把元素ij a 所在的行与列划去后，剩下的2)1(-n 个元素按照原来的次序组成的一个)1(-n 阶行列式ij M ,称为元ij a 的余子式，ij M 带上符号)()1(j i +-称为的ij a 代数余子式,记作ij j i ij M A )()1(+-=定理1: 行列式等于其第 i 行诸元素与各自代数余子式的乘积之和 , 即ij nj ij nn nn ij ij A a A a A a A a A a A a D ∑==+++++=1131312121111证：先证特殊情况元素11a 位于第一行、第一列，而该行其余元素均为零;1121222120n n n nna a a a D a a a =1212121211()()121211(1)(1)n n n n j j j j j j j j nj j j nj j j a a a a a a ττ=≠=-+-∑∑2223()112()(1)n n n j j j nj j j j a a a τ=-∑1111a M =而11111111(1)A M M +=-=,故1111D a A =;（2）111110j n ij n njnna a a a D a a a = 将D 中第i 行依次与前1i -行对调，调换1i -次后位于第一行; 将D 中第j 列依次与前1j -列对调，调换1j -次后位于第一列; 经(1)(1)2i j i j -+-=+-次对调后，ij a 就位于第一行、第一列，即2(1)(1)i j i j ij ij ij ij ij ij D a M a M a A +-+=-=-=.(3) 一般地111211212000000ni iin nn nna a a D a a a a a a =+++++++++111211112111121121212120000n n n i i in n n nnn n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++ 1122i i i i in in a A a A a A =++同理有:nj nj j j j j A a A a A a D +++= 2211.例3 计算四阶行列式 4000000a ba b a b a b D a b a b a ba b+-+-=-+-+.证: 按第1行展开，有1114400()(1)0()(1)000a b a ba b a b D a b a b a ba b a b a b a ba b +++-+-=+--++---++-, 对等式右端的两个3阶行列式都按第3行展开，得22[()()]a b a b D a b a b a b a b+-=+---+4222a b =.2.1.4 加边法（升阶法）加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法.它要求：1 保持原行列式的值不变； 2 新行列式的值容易计算.根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列.加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，例4计算n 阶行列式nn n nn a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x D ++++=321321321321. 解：110nn na a D D =1211002,,11001n i a a a x i n x x-=+--第行减第1行1211000000nj nj a a a a xx x x=+=∑11nj n j a x x =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑例5]3[ 计算)2(≥n n 阶行列nn a a a a D ++++=1111111111111111321，其中12n a a a ≠.解： 先将n D 添上一行一列，变成下面的1+n 阶行列式：nn a a a D +++=+1110111011101111211显然，n n D D =+1.将1+n D 的第一行乘以1-后加到其余各行，得nn a a a D 0010010011111211---=+ 因0≠i a ，将上面这个行列式第一列加第)1,,2(+=n i i 列的11-i a 倍，得：111122111111111100000100 00010ni in n nna a a D D a a a a =++-==-=-∑121211000011 1 10nnn i i i ina a a a a a a a ==⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑.2.1.5 范德蒙得行列式法根据行列式的特点，适当变形（利用行列式的性质——如：提取公因式；互换两行（列）；一行乘以适当的数加到另一行（列）去;把所求行列式化成已知的或简单的形式.其中范德蒙行列式就是一种.这种变形法是计算行列式最常用的方法.例1 计算行列式1222211221212121122111111n n nn n n n n n n nx x x D x x x x x x x x x x x x ------+++=++++++解 把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第1-n 行的－1倍加到第n 行，便得范德蒙行列式1222212111112111()n n i j n i j n n n nx x x D x x x x x x x x ≥>≥---==-∏例2 计算1n +阶行列式122111111111122122222222122111111111n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n a a b a b a b b a a b a b a b b D a a b a b a b b ---------++++++++=．其中1210n a a a +≠．解 这个行列式的每一行元素的形状都是k i k n i b a -，k =0，1，2，…，n ．即i a 按降幂排列，i b 按升幂排列，且次数之和都是n ，又因0i a ≠，若在第i 行（i =1，2，…，n ）提出公因子n i a ，则D 可化为一个转置的范德蒙得行列式∏∏+≤≤≤+=+++++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111112111122222221121111121111n i j j j i i n i n i nn n n n n n nnn n n na b a b a a b a b a b a b a b a b a b a b a b aa a D()∏+≤≤≤-=11n i j j i jib a ab例3 计算行列式xyxzyzz y x z y xD 222=.解：))()()((222222)1()3(22222)1)(()3(y z x z x y xz yz xy xzyz xy z xz yz xy y xz yz xy x z y x z y xxyz yz xz yz y yz xz xy z y x z y x D x z y ---++=+++++++++=++++++=+++例4 计算行列式n nn n n n n n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=解：作如下行列式,使之配成范德蒙行列式nn nn n n n n n n n n n n n nny x x x y x x x y x x x y x x x y x x x y P21111211222221222221211111)(--------= = ∏∏≤<≤=--ni j j ini i x xx y 11)()(易知n D 等于)(y P 中1-n y 的系数的相反数,而)(y P 中1-n y 的系数为∏∑≤<≤=--ni j j i nk kx x x 11)( ,因此,∑∏==≤<≤-=nk ni j j ikn x xx D 11)(例5 计算n 阶行列式11112222(1)(2)(1)(1)(2)(1)1211111n n n n n n n n n a n a n a a a n a n a a D a n a n a a ---------+-+--+-+-=-+-+-解：显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型.先将的第n 行依次与第1-n 行，2-n 行，…,2行，1行对换，再将得到到的新的行列式的第n 行与第1-n 行，2-n 行，…, 2行对换，继续仿此作法，直到最后将第n 行与第1-n 行对换，这样，共经过2)1(12)2()1(-=+++-+-n n n n 次行对换后，得到(1)2222211111111121(1)(1)(2)(1)(1)(2)(1)n n n n n n n n n n n a n a n a a D a n a n a a a n a n a a ----------+-+-=--+-+--+-+-上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得：∏∏≤<≤≤<≤----=+--+--=ni j ni j n n n n n j i j n a i n a D 112)!(2)1()()1()]()[()1(2.2 行列式计算特殊方法在2.1中介绍了一些行列式基本计算方法，但基本方法只能处理一些较为简单的行列式，不能满足实际应用的需要.下面将在基本方法的基础上介绍一些较为复杂的方法.2.2.1 数学归纳法当n D 与 1+n D 是同型的行列式时，可考虑用数学归纳法求之. 一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明.因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式.例6 计算行列式 xa a a a a x xx D n n n +---=--1232100000100001. 解：结合行列式的性质与次行列式本身的规律，可以采用数学归纳法对此行列式进行求解当2=n 时，21221222)(1a x a x a a x x a x a x D ++=++=+-=假设k n =时，有k k k k k k a x a x a x a x D +++++=---12211则当1+=k n 时，把1+k D 按第一列展开，得11221111)(+---++++++++=+=k k k k k k k k k a a x a x a x a x x a xD D12111k k k k k x a x a x a x a +-+=+++++由此，对任意的正整数n ，有n n n n n n a x a x a x a x D +++++=---12211 .2.2.2 递推法 2.2.2.1基本概念定义1]7[： 形为02211=++++---r n r n n n d k d k d k d (2-1) 的关系式称为r 阶齐次线性递推关系式，其中n k k k k 321,,，均为常数，并且r k ≠0，对应的方程02211=++++--n r r r k x k x k x (2-2)称为(2-1)的特征方程. 定义2：对于序列 ,,,210a a a 定义 +++=2210)(x a x a a x G ,为序列 ,,,210a a a 的母函数.2.2.2.2 二阶常系数齐次递推表达式的解]8[已知递推表达式021=++--n n n qd pd d (p ，q 为常数且q 不为零) (2-3)对应的特征方程为02=++q px x (2-4)10,d d 的值已知.下面来解递推表达式(2-3)满足初始条件的特解： 对于序列 3210,,,d d d d令 332210)(t d t d t d d t G +++= 为序列 3210,,,d d d d 的母函数则 t pd d d t G qt pt )()()21(010++=++ 从而 21)()(010qtpt tpd d d t G ++++=再令 211)(qt pt t H ++=以下分三种情况来讨论：a) 特征方程02=++q px x 有两个相异实根:21,r r 时tr Bt r A t r t r t H 212111)1)(1(1)(-+-=--=n n n n nn n nt Br Ar t r B t r A)()()(2010201+=+=∑∑∑∞=∞=∞=其中212211,r r r B r r r A --=-= 所以)(])([)(010t H t pd d d t G ++=nn n n n n n n n n n nn n n t r r pd d t r r d r r d t r r r r pd d t r r r r d )])(()([1)()(2101121100210112110210112110210-++--+=--++--=++∞=+++∞=++∞=∑∑∑故=n d 211r r -)])(()(210112110n n n n n r r pd d t r r d -++-++ )2(≥n 特征方程02=++q px x 有两个共轭复根:21,r r 时这种情况下(5)式也正确，但其中含有复数形式，以下来消除复数形式)sin (cos 2,1θθi r r ±=，其中pp q b aq b a r --===+=2224arctanarctan ,θ 根据欧拉公式得 θ)1sin(2211211+=-+++n iqr r n n n （2-5）θn iq r r n n n sin 2)(221=- （2-6）把（2-6）、（2-7）代入（2-5）得]sin )()1sin([sin 1210120θθθn q pd d n q d d n n n -+++= （2-7）特征方程02=++q px x 有两个相等实根:221pr r -==时)()11()1(1)1(1)(02121∑∞==-=-=-=n nu du d udu d u t r u t r t H111111-∞=-∞=-∑∑==n n n n n t nr nu)(])([)(010t H t pd d d t G ++=nn n n nn n n n n t r pd d n r d n d t r pd d n tnr d ])()1[()(110111001101111110-∞=-∞=∞=--++++=++=∑∑∑故 110110)()1(-+++=n n n r pd d n r d n d （2-8）2.2.2.3 举例例7求n 阶行列式5000005100015100015100015的值解：利用行列式的性质，按第一行展开得递推关系式0521=+---n n n d d d )2(>n (2-9)对应的1,5=-=q p .计算21,d d 得24,521==d d 对于（2-10）令2=n ,得0d =1,( 0d 无实际意义) 递推关系（2-10）对应的特征方程为0152=+-x x (2-10)得两个不同实特征解为2215,221521-=+=r r 代入（2-5）得212)215()215(111+++--+=n n n n d例2]9[ 求n 阶行列式2000002100012100012100012的值解 利用行列式的性质用第一行展开得递推关系式0221=+---n n n d d d )2(>n (2-11)对应的1,2=-=q p .计算21,d d 得3,221==d d 对于（2-11）令2=n ,得0d =1,( 0d 无实际意义) 递推关系（2-11）对应的特征方程为0122=+-x x (2-12)得两个相同实特征解为121==r r把1,2=-=q p ,0d =1,21=d 以及121==r r 代入（2-9）得1+=n d n2.2.3 利用矩阵特征值计算1.特征值的定义]5[设 A 是n 阶方阵，如果存在数λ和非零n 维列向量x ，使得 x Ax λ= 成立，则称λ是A 的一个特征值.非零n 维列向量x 称为矩阵A 的属于（对应于）特征值λ的特征向量，简称A 的特征向量.求矩阵特征值的方法：x Ax λ=，等价于求λ，使得0)(=-A E λ其中E 是单位阵，0为零矩阵，0=-A E λ求得的λ值即为A 值.定理2:如果n 阶矩阵A 的全部特征值为n λλλλ 321,,，则n A λλλλ⋅⋅⋅⋅= 321. 定理3:设λ为方阵A 的特征值，)(A ϕ为A 的多项式，则)(λϕ为)(A ϕ的特征值. 利用特征值的求法及定理2可以计算行列式的值，举例如下例8 已知三阶矩阵A 特征值为-1,1,2.设(),523A A A -=Φ求：EA A A 5,)(,-Φ]3[解 ① 由定理2得： 22)1(1-=⨯-⨯=A② 因为(),523A A A -=Φ由定理3得)(A Φ的特征值为：1,6,4321-=-=-=λλλ 所以24)1()6()4()(-=-⨯-⨯-=ΦA③A 的特征多项式为)1)(2)(1()()(+--=-=λλλλA E x f令5=λ，得72)15)(25)(15()5()5(=+--=-=A E f故725)1(53-=--=-A E E A例9 求n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110A 的特征值及行列式． 解 ααμλλ'-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=-E E A E 111111111)1( ，其中1+=λμ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111 α．由以上讨论ααμ'-E 的根是0=μ（1-n 重）和n ='=ααμ.于是A 的特征值中有1-n 个满足01=+λ，另一个满足n =+1λ.所以A 的特征值为111-===-n λλ 和1-=n n λ．又=A )1()1(121--=-n n n λλλ2.2.4拆项法拆项法是将给定的行列式的某一行（列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，把一个复杂的行列式简化成两个较为简单的，使问题简化以利计算.例10 计算行列式 nn n n n a a a a a a a a a D λλλ+++=21221211.解： nn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a D λλλλλ+++++=212212121221211122100-+=n nnnD a a a a λλλ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∑=-ni i in n n a D a 12111211λλλλλλλ . 2.2.5 因式分解法如果行列式D 是某个变数x 的多项式)(x f ，可对行列式施行某些变换，求出)(x f 的互不相同的一次因式，设这些一次因式的乘积为)(x g ，则)()(x cg x f D ==，再比较)(x f 与)(x g 的某一项的系数，求出c 值.例11计算行列式1321321311321+++=x n x n x n D n.解：时1=x ,,0=n D 所以，n D x |1-.同理)1(,,2---n x x 均为n D 的因式,又因为i x -与)(j i j x ≠-各不相同n D n x x x |)1()2)(1(+--- 所以 ，但n D 的展开式中最高次项1-n x 的系数为1，故)1()2)(1(+---=n x x x D n .计算行列式的方法很多，也比较灵活，上面介绍了计算行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法.总的原则是：充分利用所求行列式的特点，运用行列式性质及上述常用的方法，有时综合运用以上方法可以更简便的求出行列式的值；有时也可用多种方法求出行列式的值.学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算.3 行列式的应用3.1 行列式的理论应用 3.1.1在解析几何中的应用例12 设),(11y x A ,),(22y x B 是平面上两个不同的点，那么过A ，B 的直线方程是1112211y x y x y x ＝0. 设直线的方程为， 0321=++a y a x a (1) 这里321,,a a a 不全为零. 由于A ，B 在直线上，故它们满足方程(1)，代入后得⎩⎨⎧=++=++.003222131211a y a x a a y a x a (2)将(1)与(2)合并，得到方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.0003221232111321a a y a x a a y a x a ya xa (3)这是一个关于待定系数321,,a a a 的齐次线性方程组，由于321,,a a a 不全为零，所以(3)有非零解. 于是方程组的系数行列式为零，即 1112211y x y x y x (4)凡是在直线上的点必须满足(4)，反之，满足方程(4)的每一点必在经过A ，B 两点的直线上. 因此，方程(4)是通过平面上两定点),(11y x A ,),(22y x B 的直线方程.类似地有例13 设通过几何空间中不在同一直线上三点),,(111z y x ,),,(222z y x 与),,(333z y x 的平面方程为04321=+++a z a y a x a .把上述三点的坐标代入方程，得到关于4321,,,a a a a 的齐次线性方程组，它有非零解，因此系数行列式应等于零，即1111333222111z y x z y x z y x z y x ＝0. (5) 这是一个由行列式表示的平面方程.例14 设,0:,0:,0:321=++=++=++αγββαγγβαy x L y x L y x L 是三条不同的直线，若1L ,2L ,3L 交于一点，试证0=++γβα设交点为),(b a ，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.000αγββαγγβαb a b a b a (6)由于齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000z y x z y x z y x αγββαγγβα (7)有非零解1,,===z b y a x ，故系数行列式D ＝αγββαγγβα＝0.根据行列式的性质D=αγββαγγβα＝αγγβαβαγβαγβγβα++++++＝)(γβα++αγβαγβ111＝)(γβα++γαβγγββαγβ----001＝])())()[((2γβγαβαγβα-+--++＝])()())[((21222αγγββαγβα-+-+-++. 由于1L ,2L ,3L 是三条不同的直线，所以 αγγββα---,, 不全为零. 且均为实数，因此，由0=D 知0=++γβα.3.1.2在代数中的应用]10[3.1.2.1分解因式利用行列式分解因式的关键, 是把所给的多项式写成行列式的形式, 并注意行列式的排列规则. 下面列举几个例子来说明.例15ab c c ab bc a ＝abc c b a 3222-++ 而a b c c a b b c a ＝a b c b a c a c b a b c c b a ++++++＝)(c b a ++ab c a b c 111＝)(c b a ++ba cb bc c a bc ----001＝))((222bc ac ab c b a c b a ---++++.故有分解因式))((3222222bc ac ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++.例16 分解因式 b a bc ac bc ab c a 222222---++. 原式＝)()()(222222b a ab c a ac c b bc -+---=22c c b b -22c c a a ＋22b b aa ＝222111c c b b a a=222111c b a c b a ＝))()((b c a c a b ---. (范德蒙行列式) 所以))()((222222b c a c a b b a bc ac bc ab c a ---=---++.3.1.2.2 证明不等式和恒等式我们知道, 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上, 行列式不变; 如果行列式中有一行（列）的元素全部是零, 那么这个行列式等于零. 利用行列式的这些性质, 我们可以构造行列式来证明等式和不等式.例17]10[ 已知0=++c b a , 求证abc c b a 3333=++. 证明 令abc c b a D 3333-++=, 则0000321==++++++==++ac b b a c acbb ac c b a c b a c b a a cb b a cc b a D r r r .命题得证.例18已知0≥≥≥c b a , 求证a c c b b a c a b c a b 333333++≤++. 证明 令)(333333c a b c a b a c c b b a D ++-++=, 则21312222222222221111c c c c ab bc caab bc ab ca abbc ab ca ab D cb ac a c b c a c b c ------==--=--()()()()()()b c a b c b c a c b a c a c =-+---+-()()()()b c a c a b c a c =--++-而0≥≥≥c b a , 则0≥D , 命题得证.例19]1[“杨辉三角形”中的行列式问题. 考察下面的行列式D ＝2010411063143211111,它的结果等于1，同时不难发现1＝1,2111＝1, 631321111＝1. 这一现象并非偶然. 经观察，发现这些行列式的元素从某一角度看构成“杨辉三角”的一部分，现表示如下：1 1 1 12 1 13 3 1 1 46 4 1 1 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 217 1… … … … … … … … … … … … … … … … …规定00C ＝1，上面的三角形可写成下面的形式： 00C01C11C 02C 12C 22C03C13C 23C 33C 04C 14C 24C 34C 44C … … …… … … … … … 01-n C 11-n C … … … … … 21--n n C 11--n n C 0n C 1n C … …… r n C… … ⋯ 1-n n C n n C于是，猜想有如下命题：n D ＝1222322110113224221102121231211122221100----+--------------n n n n n nn n n n n n n n n nn n n n n n C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C＝1.下面证明这个猜想是对的.我们用数学归纳法来证明.(1)1D ＝|00C |＝1，命题成立； (2)假设k D ＝1，即k D ＝1222322110113224221102121231211122221100----+--------------k k k k k kk k k k k k k k k k k k k k k k C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C＝1.对1+k D 讲，1+k D ＝k kk k k k k kk k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k kk k k k k C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C 2112222110121222321012213224211021121120111221100----+-------------+-------.从最后一行起，每一行减去相邻的上一行，并根据组合数的性质m n C 1+-m n C ＝1-m nC 得 1+kD =1122221101222321011121302121120111221100001----+------+------k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C.按照第1列展开1+k D ，得=+1k D 11222211012223210111213021211201----+------+----k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k C C C C C C C C C C C C C C C C从最后一列起，每一列减去它相邻的前1列，并根据组合数的性质m n C 1+-1-m nC ＝mn C 得 1+k D ＝122232101322421101121120211221101-----------------k k k k kkk k k k k k k kk k k k k k C C C C C C C C C C C C C C C C＝k D ＝1.因此，由数学归纳法原理知n D =1.3.2 行列式在实践中的应用例18]11[江堤边一洼地发生了管涌，江水不断的涌出，假定每分钟涌出的水量相等.如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完.如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机多少台？解：设开始抽水前管涌已经涌出的水量为a 立方米，管涌每分钟涌出的水量为b 立方米，每台抽水机每分钟可抽水c 立方米（0≠c ），由此再设x 台抽水机抽完水需t 分钟，则依题意，即得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=-+00641608040xtc tb a c b a c b a 这是一个关于c b a ,,为未知数的三元齐次线性方程组，因为它有非零解，所以系数行列式D ＝016416180401=---xtt展开，得:23160-=x t ∵ 10≤t ，∴ 1023160≤-x ，解之得:6≥x ，所以如果在10分钟内抽完水，至少需要抽水机6台.行列式在诸如建筑小区的楼房排列、单片机设计等工程中，都有很大的用途.合肥师范学院2011届本科生毕业论文（设计）参考文献[1] 蒋省吾．杨辉三角中的行列式[J]，教学通报，1988，5：8-10[2] 张禾瑞．郝新高等代数[M]．北京：人民教育出版社,1996.[3] 王品超.高等代数新方法[M].济南,山东教育出版社，1989.[4] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数(第三版)[M]. 北京: 高等教育出社,2003.[5]同济大学数学教研室．工程数学线性代数(第三版) [M]．北京：高等教育出版社，1999.[6] 王萼芳, 石生明修订. 高等代数(第三版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003.[7] 李宇寰.组合数学[M].北京：北京师范大学出版社，1988.[8] 杨振声.组合数学及其算法[M].北京：中国科学技术出版社，1997.[9] 陈景润.组合数学简介[M].天津：天津科学技术出版社，1988.[10] 汤茂林. 行列式在初等代数中的巧用[J]. 廊坊师范学院学报, 2008，3：9-10.[11] [美]David y.Linear Algebra and Its Applications[M].电子工业出版社，2004.1。
行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用毕业论文
ANAMtm tJhi・I TV本科生毕业论文题目：姓名：学号：系别：年级：专业：指导教师：指导教师：行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用2008020230462008 级数学职称:副教授职称：讲师2012年4月20日安顺学院毕业论文任务书数学与计算机科学系数学与应用数学专业2008年级学生姓名韦诚毕业论文题目：行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用任务下达日期：2011年9月5日毕业论文写作日期：20H年9月5日至2012年4月20指导老师签字:学生签字:《高等代数》是数学专业学生的一门必修基础课程。
行列式的计算是高等代数中的重点、难点，特别是n阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握。
讣算n阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特征，选取适当的方法求解。
当看到一个貌似非常复朵的n阶行列式时，仔细观察, 会发现其实它们的元素在行或列的排列方式上都有某些规律。
掌握住这些规律, 选择合适的il•算方法，能使我们在极短的时间内达到事半功倍的效果！本文首先介绍n阶行列式的定义、性质，再归纳总结行列式的各种汁算方法、技巧及其在线性方程组中的初步应用。
行列式是线性方程组理论的一个组成部分，是中学数学有关内容的提高和推广。
它不仅是解线性方程组的重要工具，而且在其它一些学科分支中也有广泛的应用。
关键词：n阶行列式计算方法归纳线性方程组ABST RACTAlgebra is a courses of mathematics specialized coinpulsory of the basic mathematic- The determinant's calculation is the most difficulty in higher algebra, especially, the n order determinant's calculation , alway is student's difficulty in the learning process, so ,it is difficult to master for ours • There are a lot of calculations of n order determinant in method , but when we say a problem of the calculation of n order determinant, according to its characteristics, selecting the appropriate method to solving is a very good idea. When you see a seemingly so complex n order determinant, we should observe them carefully,“nd we will find that their elements are arranged in row s or columns have some regularity. Grasping of these laws, finding a appropriate calculation method can help us to achieve a multiplier effect in a very short time! This paper mainly introduces the definition of n order determinant, nature, and calculation methods, the skills of calculation of n order determinant and application in linear equation group. Determinant is an importanf theory in linear equations and it is an indis pensable part of linear equations, determinant is also the middle school mathematics' content raise and proinotion. It is not only the solution of linear equations of the important took but also in some other branch has a wide range of app lications.Key words: n order determinant calculation method induce linear equations引言1屛介行列式的定义 2屛介行列式的性质 3计算屛介行列式的具体方法与技巧利用行列式定义直接计算 利用行列式的性质计算 化为三角形行列式逆推公式法拆开法3.4 降阶法 3.6 利用范德蒙德行列式 3.7 加边法（升阶法） 3.8数学归纳法 10 4行列式在线性方程组中的初步应用 11 4.1克拉默（Gramer ）法则 12 4.2克拉默（Gramer ）法则的应用1211421用克拉默（Gramer）法则解线性方程组13 422克拉默法则及其推论在几何上的应用14 结论16 参考文献17 致谢1817解方程是代数中一个基本问题，特别是在中学中所学的代数中，解方程占有重要的地位•因此这个问题是读者所熟悉的.比如说，如果我们知道了一段导线的电阻r它的两端的电位差y,那么通过这段导线的电流强度八就可以有关系式ir = V求出来•这就是所谓解一元一次方程的问题•在中学所学代数中，我们解过一元、二元、三元以至四元一次方程组.线性方程组的理论在数学中是基本的也是®要的内容.对于二元线性方程组当4心22-如佝*0时，次方程组有惟一解，即”•…“ _ “山一如勺Aj — * ---------------- —^*11^22 -如切如“处-0皿21我们称5如-mSl为二级行列式，用符号表示为于是上述解可以用二级行列式叙述为：当二级行列式时，该方程组有惟一解，即对于三元线性方程组有相仿的结论•设有三元线性方程组«21(»2 2«11 %“21 ©2勺心22你如一竹S I =«21如5內+如兀2+"/3=久+"22X2 +^23^3 =®， «3 內 +432大2 +"33X3 =%利'彳弋 工弋 1^22^^33 + ^12^23^^31 + ^13^21^^321^23^32 ^12^^21^^33 ^^13^^22^31 丿7^5行列式，用符号表示为:"H "22"33 +“12°23"刃 +«)3«21^32 "^^11^23^32 "如①心彳 _'WWsi =我们有：当三级行列式«11 «12 "|3«21 «22 «23“31 ^32 “33时，上述三元线性方程组有惟一解，解为4厶X 严+，尤2=〒，a a其中S «12 勺3«H 勺"|3£ =■■■«23,J,="21 勺 “23，〃3 =5 U" b 、妇"32 “33«31 % "33如］“32 S在本论文中我们将把这个结果推广到畀元线性方程组4内+4胪2+…+你忑=勺 “2 內+"22兀2+…+ “2届=2弘内+0小：2+…+ 4汁為="/<的情形•为此，我们首先要给出〃阶行列式的定义并讨论它的性质，这就是 本论文的主要内容.«11 ®2 ®3"21 ^22 "23 "31 “32 “33cl =1 n阶行列式的定义“21 “22.... -^211"川...... 弘"等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积仙几（1）的代数和，这里jj2…h是12…，”的一个排列，每一项（5）都按下列规则带有符号：当j|j2…人是偶排列时，（1）带正号，当是奇排列时，（1）带有负号•这一定义可以写成二2（_严"5畑..％恥…人这里X表示对所有阶排列求和・丿"2・・・人定义表明，为了计算《阶行列式，首先作所有有可能山位于不同行不同列元素构成的乘积。
论文行列式解法及应用
毕业论文题目：行列式的解法技巧及应用系别：数理系专业：数学与应用数学姓名：李银学号：1 7 1 4 0 8 133指导教师：李德英河南城建学院年月日目录摘要 (4)Abstract (4)引言 (5)1 行列式的定义和性质 (5)1.1行列式的定义 (5)1.2行列式的性质 (6)2求解行列式的技巧 (8)2.1定义法 (8)2.2化三角形法 (9)2.3析因法 (10)2.4连加法 (12)2.5按行按列展开（降阶法） (13)2.6递推法 (14)2.7数学归纳法 (15)2.8加边法（升阶法） (16)2.9拆项法 (18)2.10拉普拉斯法 (20)2.11利用范德蒙行列式法 (21)3行列式的应用 (22)3.1 行列式在线性方程组中的应用 (23)3.2 行列式在初等代数中的应用 (24)3.2.1 用行列式分解因式 (24)3.2.2 用行列式证明不等式和恒等式 (25)3.3 行列式在解析几何中的几个应用 (26)3.3.1 用行列式表示公式 (27)3.3.2 行列式在平面几何中的一些应用 (29)3.3.3行列式在三维空间中的应用 (31)4参考文献 (39)5致谢 (40)摘要 :行列式又是高等代数课程里基本而重要的内容，在数学中有着广泛的应用，因此懂得如何计算行列式显得尤为重要。
本文将行列式的计算方法进行归纳总结，共论述了13种方法，并通过一些典型的例题介绍计算行列式的一些技巧。
同时，本文从以下三个方面对行列式的应用进行了论述: 探讨了行列式与线性方程组的关系以及在解线性方程组中的应用; 举例说明了行列式在初等代数中的应用, 如在因式分解中应用, 证明不等式以及恒等式; 最后综述了行列式在解析几何中的若干应用.关键词：行列式;计算方法;范德蒙行列式;解析矩阵; 线性方程组;秩;因式分解; 平面组;点组Abstract: Determinant of higher algebra is that basic and important curriculum content . It ,meanwhile, has been widely used in mathematics. So it is highly necessary for us to grasp to calculate the determinant . There are 13 methods of calculating the determinant are summarized.And we introduce some techniques of Calculate the determi nant by some typical examples. In this paper, we have been to discuss from the following three aspects of the applications of the determinants: To explore the relationship between the determinant and linear equations and the application in the solution of linear equations; examples of the application of the determinant in algebra, such as the application of factorization, to prove that inequality and identity; in the final, we have made overview of the number of applications of the determinants in analytic geometry.Key Words: Determinant;calculation skill ;Vander Mongoliadeterminant ; analysis Matrix; Linear equations; Rank; Factorization; Plane group; Point group引言行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。
行列式的计算 毕业论文
行列式的计算摘要: 行列式是研究许多学科的重要工具,因此行列式的计算是大家共同关注的问题.本文介绍了几种特殊而且行之有效的行列式的计算方法.关键词: 范德蒙行列式; 降阶法; 升阶法; 递推法; 数学归纳法; 代数余子式的计算; 拉普拉斯定理展开符号说明: i r 表示第 i 行j c 表示第j 列ij M 表示行列式元素ij a 的余子式 ij A 表示行列式元素ij a 的代数余子式i j kr r + 表示第 i 行的k 倍加到第j 行 i j kc c + 表示第 i 列的k 倍加到第j 列The Calculation of the DeterminantMA Zhi-e(College of Mathematics and Statistics, Northwest Normal University,Lanzhou 730070, Gansu, China)Abstract: The determinant is an important tool to study many disciplines, so the calculation of thedeterminant is a commonly concerned problem. Several particular and effective methods of calculating the determinant are introduced in this paper.Key words: Vandermonde determinant; reducing order method; ascending order method; recursive methods;mathematical induction; calculation of algebraic complement; method of Laplace expansion;引言使用行列式按行（列）展开,可以将行列式写成低一阶的行列式的代数和,从而将行列式降一阶.但是,由于展开式是n 项代数和,因此计算量任很大,可以考虑一些减少计算量的方法,并且选择最佳计算方法.行列式是研究许多学科的重要工具,因此行列式的计算是大家共同关注的问题.课本中只介绍了几种计算方法,本文主要介绍几种特殊而且行之有效的行列式的计算方法,具有针对性.一、化行列式为三角行列式使用行列式的性质将行列式化为三角行列式 ㈠ 箭形行列式例1.1 计算行列式11111201030100n D n= 解 1212,3,111110200030000j nj c c jn j njD n=+-=-=∑ 21!(1)nj n j==-∑ ㈡ 可化为箭形的行列式例1.2 计算n 阶行列式()123123123123,1,2,n nn n i i nx a a a a x a a D a a x a x a i n a a a x =≠=解 ()112311222,1133110000,2,in r r n i ni i n n x a a a a x x a D a x x a x a i n a x x a -+=--=--≠=--箭形行列式()()31211223311100=,2,10101001n n nni i i i i a a x a x a x a x a x a x a x a i n =------≠=--∏()()132122332,110100=,2,001001j nk n k k k n nnc c j niii i i x a a a x a x a x a x a x a x a i n =+==+-----≠=∑∏()111nnk i i k i k k x x a x a ==⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭∑∏㈢ 行（列）和相等的行列式例1.3 计算n 阶行列式n x aa axa D a ax=解 ()()()()12,1111111j c cn j nx n a a a aa x n a xa x a D x n a x n a axax+=+-+-==+-⎡⎤⎣⎦+-()12,1010i r r i naa x a a x n a x a-+=-=+-⎡⎤⎣⎦-()()()11n x n a x a -=+--⎡⎤⎣⎦㈣ 相邻行（列）元素差1的行列式 以数字1,2n 为（大部分）元素,且相邻两行（列）元素相差1的n 阶行列式可如下计算:自第一行（列）开始,前行（列）减去后行（列）,或自第n 行（列）开始,后行（列）减去前行（列）,即可出现大量元素为1或1-的行列式.例1.4.1 计算n 阶行列式,=n ij ij D a a i j =-其中 解 由=ij a i j -得11,2,101221111111013211111214311111=2340111111123101231i i r r n i n n n n n n n D n n n n n n n nn+-+=-------------=-------------12,3,10000120001220012220123241jc cj nn n n nn +=------=--------()()12121n n n --=--例1.4.2 计算n 阶行列式1231234134512=11321221n n n n D n n n n nn n ------解 1,1,2123111*********111111111i ir r n i n n n n n n D n n--+=----=--()12,3,1231201111011110111101111j c cj nn n n n n n n n+=+---=-- ()11111111111211111111c n n n n n nn ---+=--按展开()12,3,1111111111211111111j c c j nn n n n n n+=-----+=---()12,3,1100100121001000jc cj nn n n n n n +=-----+=---()()()()()121221112n n n n n n n ----+=--()()112112n n n n n --+=-二、利用范德蒙行列式结果计算当行列式各行（列）都是某元素的不同次幂的形式,使用行列式的性质将行列式整理成范德蒙行列式.例2 计算行列式12222122221212111n n n n n n n nnnn x x x x x x D x x x x x x ---=解 考虑1n +阶范德蒙行列式()()()()()12222122221212122222121212222121111121211111111n n n n n n n nnnn n n n i j j i nn n n n n n n n n n nnnn n n x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---≤<≤--------+===----∏()1,1n n n n D f x x -+显然,就是辅助行列式中元素的余子式M ,即 ()1,1,1,1==1.n n n n n n n n n D +++++-=-M A A()()()1,1121n n n n ijj i nf x x x x x x x -+≤<≤=-++-∏而由的表达式知,的系数为A()()121n n ijj i nD x x x x x ≤<≤∴=++-∏三、降阶法使用行列式的性质将行列式的某行（列）化为只有一个非零元素,然后按这一行（列）展开,这样就可以将行列式降一阶,每展开一次,行列式的次数可以降低一阶,如此继续进行直到将行列式降到二阶行列式并求其值.这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用.例3 计算n 阶行列式0000000000000000n x y x y x D y x y yx=解 ()110000001000000n c n xy y xx y D xy y xxy+=+-按展开()()111nn n n n n x y x y +=--=+-四、升阶法升阶法（也称加边法或镶边法）,是在原行列式的基础上增加一行一列（即升一阶）且保持原行列式不变的情况下计算行列式的一种方法.可用升阶法计算的行列式一般应满足各行列含有共同元素的特点,且化简后常变成箭形行列式.例4.1 计算n 阶行列式()11212212120n n n n n na b a a a a b a D b b b a a a b ++=≠+解 1121211211222,3,212111101000=100010r r inn n n n i nn nnn n a a a a a a a b a a b D a a b a b a a a b b -+=+++-=+-+-加边1112111,2211000000000j jnjn j jc c b j nnn a a a a b b b b +=+=++=∑1211n jn j j a b b b b =⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭∑例4.2 计算n 阶行列式2112122122212111nn nn n n n x x x x x x x x x x D x x x x x ++=+解 12211212212221211010101n n n nn n n n x x x x x x x x D x x x x x x x x x x ++=++加边111212,3,12110001001i inx r r i n nx x x x x x --+=+-=-- 1121212,3,11010001001j jni n i xc c j n x x x x -=+=++=∑211ni i x ==+∑五、递推法使用行列式的性质,将所求的n 阶行列式n D 用同样形式的1n -阶行列式1n D -表示出来,建立n D 与1n D -之间的递推关系,有时还可以将n D 用同样形式的比1n -阶更低阶的行列式表示,建立他们之间的递推关系,从而找到递推公式,最终求出n 阶行列式的值.例5.1 证明112211111nn i n i i nn n xxxD a x xa a a a a -=----==--∑证明 ()11111111n n n nn n x D xD a xD a x+----=+-=+-按c 展开()121n n n n n n D xD a x xD a a ---∴=+=++ 221n n n x D a x a --=++ 32321n n nn x D a x a x a ---=+++ =12121n n n n a x a x a x a ---=++++例5.2 计算n 阶行列式000n a aa b aa Db b a b b b= 解 n D n 将中第列元素表示成两数之和,然后拆成两个行列式相加,即()000000n a a a b a a b b a D b b ba a +++=+- 00000000a aa a ab aa b a b b a b b b b bab b ba=+- ()1n -将上式等号右边第一个行列式从第二行起,每一行的倍加到上一行,将第二个行列式按第列展开,得,1000000n n b a b a D aD b bbba---=--n 将上式等号右边第一个行列式按第列展开，得()11n n n D a b aD --=-- … ①a b 由字母与的对称性显然有()11n n n D b a bD --=-- … ②联立①②得,()()1111n n n n n n D aD a b D bD b a ----⎧⎫+=-⎪⎪⎨⎬+=-⎪⎪⎩⎭()()123321n n n n n n a b ab a a b ab b -----≠=-+++当时,可解得D ,()()111n n n a b n a -==--当时,易算出D六、数学归纳法当已知一个n 阶行列式的结果,要证明其等式对于任意的自然数都成立,常使用数学归纳法证明.如果未知n 阶行列式的结果,也可以先计算当1,2,3n =时的行列式值,推导出n 阶行列式的结果,然后使用数学归纳法证明结论的正确性.这种方法通常用在证明n 阶行列式的等于某个值的题目中.例6 证明1212111111111111111111111nn n i i n na a D a a a a a a =-++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭++∑ 证明 1111111,.n n D a a a ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭当时，所以结论成立12111kk k i in k D a a a a =⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑假设时结论成立,即 11k n k D +=+那么当时,将按最后一列拆开,有1122111110111111101111+11101111111111111k kkk a a a a D a a a ++++++=++121121000000=00011111k k k k k k a a a D a a a a D a +++=+12121111kk k k i i a a a a a a a a +=⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∑1121111k k i i a a a a ++=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑ 1n k ∴=+当时,结论亦成立.综上可知, 1212111111111111111111111nn n i i n na a D a a a a a a =-++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭++∑.七、代数余子式的计算n ij n D a 设阶行列式=,则有结论1,0,nn ik jk k D i j a A i j ==⎧⎫=⎨⎬≠⎩⎭∑ 或1,0,nn ki kj k D i j a A i j==⎧⎫=⎨⎬≠⎩⎭∑ 利用上述表达式有时可以简化代数余子式的有关计算问题.例7 设n 阶行列式1231201030100n nD n=,求第一行各元素的代数余子式之和11121.n A A A +++解 显然第一行各元素的代数余子式之和可以表示成1112111111201030100n A A A n+++= 1212,3,21111102001!10030000j nj n c c jj nj jn j n=-+==-⎛⎫==- ⎪⎝⎭∑∑八、利用拉普拉斯展开定理计算拉普拉斯定理是行列式按一行或一列展开定理的推广.为了灵活应用拉普拉斯展开定理,必须正确理解其含义.该定理是说在n 阶行列式n D 中任意选定k 个行（列）（1,k n <<且这k 个行（列）不一定相连）,位于这k 行（列）中所有k 阶子式i M （共k n C 个）与其相应的代数余子式i A 的乘积之和等于原行列式,即1knc n i i i D M A ==∑需要提醒的是i A 是i M 的代数余子式,计算i A 时不要遗漏其符号,即()111k ki i j j i i A N ++++=-11k k i i i i i j j M N M 其中,和,是所在行和列的序号,是的余子式.在利用拉普拉斯定理进行计算时,为使计算简便,一般选含零多的k 个行（列）展开. 例8 利用拉普拉斯定理计算2n 阶行列式22111324213n nn n n D nn n n +-+=+++解 2n D n n 因为的第1和2两行中不为0的2阶子式只有一个,因此按第1和2行展开,得()1212211213113242n nn n n n n D n n nn +++-++=-+++()()()()()21221222222n nn n D D D ---=-=-==-=-九、一题多解例9 计算n 阶行列式123123123123nn n n n a b a a a a a b a a D a a a ba a a a a b++=++解法1 n D 显然是一个各行和相同的行列式,故将各列都加到第一列上. 然后提取第一个公因子,可得,2323231231111nn nn i n i n a a a a b a a D b a a a ba a a a b=+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭+∑12,3110001100100i i na c c i ni i b b a bb-+==⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑ 11nn i i bb a -=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑解法2 11232,300000in r r n i na b a a a b b D b b bb-+=+-=--箭形12312,3000000i nin i c c i nb a a a a b b b=+=+=∑11nn i i bb a -=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑解法3 n D 用加边法构造以下与相等的n+1阶行列式1121212122,3,121101000100010inn n r r n n i nn a a a a a a a b a a b D a a ba b a a a bb-+=+-=+=-+- 0n b D=若=0,显然b ≠不妨设0,112112,3110000000j nin i c c bn j na a a ab b D b b=+=+=∑111n ni i b a b =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑11nn i i bb a -=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑解法4 12312312312300n n n n n a b a a a a a b a a D a a a ba a a a a b++++=+++12312312312312312312312300n n n na b a a a a b a a a a b a a a a b a a a a ba a a ab a a a a a a a b++++=+++ n n 将上式等号右边的第一个行列式的各行都减去第行，将第二个行列式按第列展开,得11112300000000n n n n n nbb D b bD b a bD a a a a ---=+=+ ()1212n n n n n b a b b a bD ----=++11212n n n n n b a b a b D ----=++=()11121n n n n b a a a b D ---=++++ ()()11121n n n n b a a a b a b ---=+++++11nn i i bb a -=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑参考文献【1】徐仲.线性代数典型题分析解集.2版.西北工业大学出版社,1997【2】赵慧斌,高旅瑞.线性代数专题分析与解题指导.北京大学出版社,2007,8【3】张天德,蒋晓芸.线性代数习题精选精解.山东科学技术出版社, 2009,12【4】上海交通大学数学系编. 线性代数习题与精解.2版. 上海交通大学出版社, 2004,6【5】刘书田,王中良编. 线性代数学习辅导与解题方法.高等教育出版社, 2003,7【6】徐仲,陆全等.高等代数考研教案. 2版.西北工业大学出版社, 2009,6【7】北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数.第3版.高等教育出版社, 2003,2 【8】张禾瑞.高等代数同步辅导及习题全解.第5版.中国矿业大学出版社, 2009,2。
数学毕业论文《行列式计算的若干种方法及算法实现》
山西师范大学本科毕业论文行列式计算的若干种方法及算法实现姓名系别专业班级学号指导教师答辩日期成绩行列式计算的若干种方法及算法实现内容摘要行列式是高等数学中基本而又重要的内容之一，那么认识行列式，并且掌握行列式的性质就显得尤为重要，在此基础上，我们还需要搞清楚行列式的若干种计算方法，这不仅仅是用于高等数学中的计算，行列式也可用于解决许多实际问题。
本文通过行列式的定义，把握行列式的性质，透彻全面的概括了6种行列式的计算方法，包括定义法，化三角法，应用一行（列）展开公式，范德蒙行列式，递推公式法以及加边，本文还提出运用MATLAB来帮助计算行列式，正确的选择计算行列式的方法，使计算更为快捷。
通过这一系列的方法进一步提高我们对行列式的认识，为我们以后的学习带来十分有益的帮助。
【关键词】行列式性质计算方法 MATLABThe determinant of several kinds of calculating method andalgorithmAbstractThe determinant of higher mathematics is the basic and important content of, then know the determinant, and grasps the nature of the determinant is particularly important, based on this, we also need to figure out some kind of calculation method of the determinant, it is not used in the calculation of higher mathematics, the determinant can also be used to solve many problems. In this paper the determinant do understand after, grasp the nature of the determinant, thoroughly comprehensive summary six kinds of determinant calculation method, including definition method, the triangle method, the application of row(column) on a formula, Vander monde determinants, recursive formula method and add edge method. This paper also puts forward to help with MATLAB calculation determinants; the right choice calculation method of the determinant, making the calculation is more quickly. Through this a series of methods to future improve our understanding of the determinant, for the rest of learning brings very useful help.【Keywords】Determinant Properties Calculation method MATLAB目录一、行列式概念的提出 (1)二、行列式的定义 (1)（一）定义1 (2)（二）定义2 (2)（三）定义3 (2)三、行列式的性质 (2)四、行列式的若干种计算方法 (4)（一）定义法 (4)（二）化三角形法 (5)（三）应用一行（列）展开公式 (5)（四）范德蒙行列式 (5)（五）递推公式法 (6)（六）加边法 (7)五、运用MATLAB来解决行列式的问题 (8)六、结束语 (13)参考文献 (13)致谢 (14)行列式计算的若干种方法及算法实现学生姓名： 指导老师： 一、行列式概念的提出我们知道，行列式是高等代数中的一个计算工具，无论是数学中的高深领域，还是现实生活中的实际问题，都或多或少的与行列式有着直接或间接地关系。
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行列式的解法小结摘要：本文列举了行列式的几种计算方法：如化三角形法，提取公因式法等，并指明了这几种方法的使用条件。
关键词：行列式 三角形行列式 范德蒙行列式 循环行列式行列式的计算是一个很重要的问题，也是一个复杂的问题，阶数不超过3的行列式可直接按行列式的定义求值，零元素很多的行列式（三角形行列式）也可按行列式的定义求值。
对于一般n 阶行列式，特别是当n 较大时，直接用定义计算行列式几乎是不可能的事。
因此，研究一般n 阶行列式的计算方法是十分必要的。
由于不存在计算n 阶行列式的一般方法，所以，本文只给出八种特殊的计算方法，基本上可解决一般n 阶行列式的计算问题。
1 升阶法在计算行列式时，我们往往先利用行列式的性质变换给定的行列式，再用展 开定理使之降阶，从而使问题得到简化。
有时与此相反，即在原行列式的基础上 添行加列使其升阶构造一个容易计算的新行列式，进而求出原行列式的值。
这种 计算行列式的方法称为升阶法。
凡可利用升阶法计算的行列式具有的特点是：除 主对角线上的元素外，其余的元素都相同，或任两行（列）对应元素成比例。
升 阶时，新行（列）由哪些元素组成？添加在哪个位置？这要根据原行列式的特点 作出选择。
例1计算n 阶行列式 2212221212121nn n n nn a c a a a a a a a c a a a a a a a c D +++=，其中0≠c解 2212221212121210001n n n n n n n a c a a a a a a a c a a a a a a a c a a a D +++= ca c a c a a a a nn00000012121---= 将最后一个行列式的第j 列的11--j a c 倍加到第一列（)13,2+=n j ，就可以变为上三角形行列式，其主对角线上的元素为1+∑=-ni ic c c ac121,,,,故 ∑=++=ni in nn ac c D 121例2 计算n 阶行列式n nnnn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=解 好象范德蒙行列式，但并不是，为了利用范德蒙行列式的结果，令nnnn nn n nn n n n nn n n nn y x x x y x x x y x x x y x x x y x x x D21111211222221222221211111--------= 按第1+n 列展开，则得到一个关于y 的多项式，1-n y 的系数为n n nn D D -=-++1)1(。
另一方面∏∏≤≤≤=+--=ni j ni i j i n x y x x D 111)(*)(显然，1+n D 中1-n y 的系数为[]∏≤≤≤+++--ni j n j ix x x x x121)()(所以∑∏=≤≤≤-=ni ni j j ii n x xx D 11)(*2利用递推关系法所谓利用递推关系法，就是先建立同类型n 阶与n-1阶（或更低阶）行列式之间的关系——递推关系式，再利用递推关系求出原行列式的值。
例3计算n 阶行列式 accb ac b b a D n=，其中0,≠≠bc c b解 将n D 的第一行视为,0,0,)(c c c c a +++- 据行列式的性质，得accb ac b b c a cb a b bc a a ccb ac b b cc a D n+-=+++-=00011)()(---+-=n n n b a c D c a D )1(于b 与c 的对称性，不难得到11)()(---+-=n n n c a b D b a D )2( 联立（1），(2）解之，得[]n n n b a c c a b c b D )()()(1----=-例4计算n 阶行列式 ba ab ba b a abb a ab b a D n +++++=000001001000解将n D 按第一行展开，得()ba ab b a b a ab ab D b a D n n +++-+=-10000000011于是得到一个递推关系式21)(---+=n n n abD D b a D ，变形得)(111----=-n n n n bD D a bD D易知 )()(4333221------=-=-n n n n n n bD D a bD D a bD D[]n n n a b a b ab b a a bD D a =+--+=-==--)()()(22122所以1-+=n n n bD a D ，据此关系式在递推，有22121)(----++=++=n n n n n n n D b b a a bD a b a Dn n n n n n n n b ab b a a D b b a b a a ++++=++++==-----1111221如果我们将n D 的第一列元素看作b a +,1+0,……0+0,按第一列坼成两个行 列式的和，那么可直接得到递推关系式1-+=n n n bD a D ，同样可得n D 的值。
3 化三角形法此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表为一个非零数与一个三角形行列式之积，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式。
三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的N 阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带符号例5计算N 阶行列式ab b b a b b b aD n=解 ()[]ab b a b b b n a D n1111-+=()[]ba b a b b b n a ---+=00011[]1)()1(---+n b a b n a4 利用范德蒙（Vandermonde ）行列式法著名的范德蒙行列式，在线性代数中占有重要地位，研究它的应用引起了一些数学家的兴趣，因此在计算行列式时，可直接用其结果。
例6 计算n 阶行列式)1()1()1()1()1()1()1()1()1(111121211122221212211---------=---n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x D解 将第一行可视为)1(),1(),1(2211------n n x x x x x x ，再由行列式的性质，得)1()1()1()1()1()1(1212111221121------=---n n n n n n n nn x x x x x x x x x x x x x x x D)1()1()1()1()1()1(1111212111221121-------------n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x把第一个行列式从第一行起依次将i 行加到1+i 行；第二个行列式的第i 列提取),3,2,1(1n i x i =-得∏=-----------=n i n n n n n n n i n nn nn nn x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x D 112121112211212222121)1()1()1()1()1()1(111)1(=∏∏∏≤≤≤==-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--ni j j i n i ni i i x x x x 111)(*)1(5 利用乘法定理法在计算行列式时，有时可以用乘法定理，将给定的行列式表为两个容易计算的或已知的行列式的乘积，从而求出给定行列式的值；有时不直接计算给定的行列式，而是选一个适当的与给定行列式同阶的行列式，计算两行列式的乘积，由此求出给定行列式的值，这样也可使问题简单。
例7计算n 阶行列式nn n n nnn b a b a b a b a b a b a b a b a b a D +++++++++=111111111212221212111解 000001110010010012121n n n b b b a a a D *= 所以，当2>n 时，0=n D ；当2=n 时，))((12122b b a a D --= 当1=n 时，1111b a D +=6 利用拉普拉斯（Laplace ）定理法拉普拉斯定理，在计算行列式时，主要应用k=1的情形，而很少用一般形式，不过当行列式里零元素很多时，运用一般情形的拉普拉斯定理，往往会给行列式的计算带来方便。
例8 计算2n 阶行列式()n a b a b b a ba D n=2解 ()1)1(221212-*-=+++n a b a b b a ba ab b a D n n n()2)1(2)1(21)1(21--=-++-+n ab a b b a b a ab ba n nn n b a ab b a ab b a )(*221-===-7 提取公因式法若行列式满足下列条件之一，则可以用此法：（1）有一行（列）元素相同，称为“a a a ,,, 型”；（2）有两行（列）的对应元素之和或差相等，称为“邻和型”；（3）各行（列）元素之和相等，称为“全和型”。
满足条件（1）的行列式可直接提取公因式a 变为“1，1，…，1型”，于是应用按行（列）展开定理，使行列式降一阶。
满足（2）和（3）的行列式都可以根据行列式的性质变为满足条件（1）的行列式，间接使用提取公因式法。
例9计算N 阶行列式 nn n n a x a a a a x a a a a x D +++=212121解 该行列式各行元素之和都等于 ∑=+ni i a x 1，属于“全和型”，所以∑=+++=ni nn n i n a x a a a x a a a x D 1222111)(∑=+=ni n i xx a a a x 120001)(∑=-+=ni i n a x x11)(总结:计算行列式的方法很多,除了以上常见的方法外还有一些特殊的方法,如n 阶轮换行列式的初等计算方法、极限法、导数法、积分法等。
对于一个给定的行列式可以有多种方法求解，这是则要求我们注意方法的灵活性，要在众多方法中选取一种最简便的方法。