高三数学一轮总复习第四章三角函数解三角形第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式课件文
∴tan α＝－43.
法二：∵sin α＋cos α＝15， ∴(sin α＋cos α)2＝512， 即1＋2sin αcos α＝215，∴2sin αcos α＝－2254， ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2245＝4295. ∵sin αcos α＝－1225＜0且0＜α＜π， ∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0. ∴sin α－cos α＝75.
则 sin α＝________.
sin2α＋cos2α＝1，
解析：由题意得sin cos
αα＝－185，
解得 sin α＝±187.
因为 α 为第二象限角，所以 sin α>0，所以 sin α＝187. 答案：187
2．(教材习题改编)已知 tan θ＝2，则ssiinnπ2π2＋＋θθ－－csionsππ－－θθ＝ ________. 解析：原式＝cocsoθs－θ－－sicnosθθ ＝cos2θc－ossθin θ＝1－t2an θ＝－2. 答案：－2
－sin α －cos α tan α
－sin α sin α cos α _－__c_o_s_α__ －tan α _－__ta_n__α__
cos α sin α
_c_o_s__α_ －sin α
口诀
函数名不变 符号看象限
函数名改变 符号看象限
记忆 规律
奇变偶不变，符号看象限
[小题体验] 1．(教材习题改编)若 α 是第二象限角，tan α＝－185，
已知 α 是三角形的内角，且 sin α＋cos α＝15.求 tan α 的值．
[解] 法一： 联立方程sin α＋cos α＝15，
①
2α＋cos2α＝1， ②
由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得 25sin2α－5sin α－12＝0.∵α是三角形的内角，
sin ∴
cos
α＝45 α＝－35，
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系
sin2α＋cos2α＝ 1 ； (2)商数关系 sin α
tan α＝__c_o_s_α___.
2．诱导公式
组序 一
二
三
四
五
六
2kπ＋
角
π＋α
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
α(k∈Z)
－α
π－α
π2－α
π2＋α
正弦 余弦 正切
sin α cos α tan α
所以s＝in－α＝sin－siαn－α1c－soinscoαπs－2α＝α＝－s－i2n3.2αscionsαα
＝－co2s α＝－4.
(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sin
答案：(1)
3 2
(2)－4
α＝
3 2.
考点一 三角函数的诱导公式基础送分型考点——自主练透 [题组练透]
四象限，所以 cos α＝ 1－sin2α＝
2 3
2，则
tan α＝csions αα＝2－132＝－
2 4.
3
1－－132＝
答案：－
2 4
2．若sin(3π＋θ)＝13，则sin θ＝________. 答案：－13
3．已知cos(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算： (1)sin(2π－α)＝________； (2)sin[α＋sin2nα＋＋12nππ]＋cosisnα[α－－2n2πn＋1π](n∈Z)＝______.
1．sin 210°cos 120°的值为________．
解析：sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)
＝12×12＝14
答案：14
2．(2016·淮安模拟)已知角α终边上一点M的坐标为( 3 ，1)， 则cosα＋π3的值是________．
解析：由题可知，cos α＝ 23，sin α＝12，所以 cosα＋π3 ＝12cos α－ 23sin α＝0. 答案：0
3．已知tanπ6－α＝ 33，则tan56π＋α＝________.
解析：tan56π＋α＝tanπ－π6＋α
＝tanπ－π6－α
＝－tanπ6－α＝－
3 3.
答案：－
3 3
4．(易错题)设 f(α)＝12＋sinsinπ2＋α＋αccooss32ππ－＋αα－－csoins2ππ2＋＋αα
sin
2 2
(2) 3
1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角 函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐． 特别注意函数名称和符号的确定．
2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判 断符号．
3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
[小题纠偏]
1．已知 α 为第四象限角，且 sin(π－α)＝－13，则 tan α＝_____. 解析：由 sin(π－α)＝－13，得 sin α＝－13.因为 α 在第
解析：(2因)si为n[αco＋s(iπn2＋nα＋＋α)1＝2nπ－π]＋12c，osisnα[α－－2n2πn＋1π]
所以－＝csoins α2＝sniπn－＋212nπ，π＋＋cαoαs＋αc＝osisn12－.－22nnππ＋－απ ＋α 又因为＝αs是in第π＋四sα象in＋限αcs角oins，α－π＋α
α≠－12，则
f
－236π＝________.
解析：∵f(α)＝－1＋2ssininα2α＋－scinosαα－＋cocso2sα α
＝2s2insiαnc2αo＋s αs＋incαos
α＝cos sin
α1＋2sin α1＋2sin
α α
＝tan1 α，
∴f －236π＝tan－1 236π＝tan－14π＋π6＝ta1nπ6＝ 3. 答案： 3
[谨记通法] 1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三 角函数的步骤
也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．” 2．利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形； (2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能 简单，能求值的要求出值，如“题组练透”第4题．
考点二 同角三角函数的基本关系题点多变型考点——纵引横联 [典型母题]
3．若 sin θcos θ＝12，则 tan θ＋csions θθ的值是________．
解析：tan
θ＋csoins
θθ＝csions
θθ＋csions
θθ＝cos
1 θsin
θ＝2.
答案：2
4．(1)sin－314π＝________；
(2)tan－263π＝________.
答案：(1)
第二讲+同角三角函数的基本关系与诱导公式课件-2025届高三数学一轮复习
正弦 sin α
－sin α
－α －sin αFra bibliotekπ－α sin α
π2－α π2＋α cos α cos α
余弦 cos α
－cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 口诀
tan α
tan α －tan α －tan α — —
函数名不变，符号看象限
函数名改变， 符号看象限
【常用结论】
)
1 A.3
22 B. 3
C.－13
D.－2 3 2
解析：由 sinα－1π2＝31，得 cosα＋1172π＝cosα＋32π－1π2＝ sinα－1π2＝13.故选 A.
答案：A
考点三 同角三角函数基本关系式和诱导 公式的综合应用
[例 3](1)已知角 θ 的终边在第三象限，tan 2θ＝－2 2，则 sin2θ ＋sin(3π－θ)cos (2π＋θ)－ 2cos2θ 等于( )
1.已知 sin x＋cos x＝ 32－1，x∈(0，π)，则 tan x＝(
)
A.－
3 3
3 B. 3
C. 3
D.－ 3
解析：因为 sin x＋cos x＝ 32－1，且 x∈(0，π)，所以 1＋ 2sin x cos x＝1－ 23，所以 2sin x cos x＝－ 23<0，所以 x 为钝角， 所以 sin x－cos x＝ (sin x－cos x)2＝1＋2 3，结合已知解得 sin x＝ 23，cos x＝－21，则 tan x＝csoins xx＝－ 3.故选 D.
A.－
2 6
2 B. 6
C.－23
2 D.3
解析：由 tan 2θ＝－2 2可得 tan 2θ＝1－2tatnanθ2θ＝－2 2， 即 2tan2θ－tanθ－ 2＝0，
第四章三角函数解三角形第2讲同角三角函数基本关系式与诱导公式试题 理 新人教版 2018版高考数学大一轮复习
2018版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第2讲 同角三角函数基本关系式与诱导公式试题 理 新人教版基础巩固题组 (建议用时：30分钟)一、选择题1.(2017²长沙模拟)已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan α＝( ) A.－513B.513C.－125D.125解析 因为α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2α＝513， 故tan α＝sin αcos α＝－125.答案 C2.已知tan α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin α＝( )A.－55B.55C.255D.－255解析 ∵tan α＝12＞0，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴sin α＜0，∴sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1＝1414＋1＝15， ∴sin α＝－55. 答案 A3.1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝( ) A.sin 2－cos 2B.sin 2＋cos 2C.±(sin 2－cos 2)D.cos 2－sin 2解析1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝1－2sin 2cos 2＝（sin 2－cos 2）2＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2. 答案 A4.(2017²甘肃省质检)向量a ＝⎝⎛⎭⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝( ) A.－13B.13C.－23D.－223解析 ∵a ＝⎝⎛⎭⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，∴13³1－tan αcos α＝0，∴sin α＝13， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α＝－13.答案 A5.(2017²广州二测)cos ⎝⎛⎭⎫π12－θ＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋θ＝( ) A.13B.223C.－13D.－223解析 sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π12－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12－θ＝13. 答案 A6.(2017²孝感模拟)已知tan α＝3，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( ) A.12B.2C.－12D.－2解析 原式＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝（sin α＋cos α）2（sin α＋cos α）（sin α－cos α）＝sin α＋cos αsin α－cos α ＝tan α＋1tan α－1＝3＋13－1＝2.答案 B 7.已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A.－15B.－35C.15D.35解析 sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝－35.答案 B8.(2017²西安模拟)已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为( ) A.－1B.1C.3D.－3解析 ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β ＝－3. 答案 D 二、填空题9.(2016²四川卷)sin 750°＝________.解析 sin 750°＝sin(720°＋30°)＝sin 30°＝12.答案1210.已知α为钝角，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝34，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝________. 解析 因为α为钝角，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－74，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－74. 答案 －7411.化简：sin 2（α＋π）²cos （π＋α）²cos （－α－2π）tan （π＋α）²sin 3⎝⎛⎭⎫π2＋α²sin （－α－2π）＝________.解析 原式＝sin 2α²（－cos α）²cos αtan α²cos 3α²（－sin α）＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1. 答案 112.(2016²全国Ⅰ卷)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________.解析 由题意，得cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45，∴tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝34.∴tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－43.答案 －43能力提升题组 (建议用时：15分钟)13.已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A.－π6B.－π3C.π6D.π3解析 ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－3cos θ， ∴tan θ＝3，∵|θ|＜π2，∴θ＝π3. 答案 D14.若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A.1＋ 5 B.1－ 5 C.1± 5D.－1－ 5解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ²cos θ＝m4.又()sin θ＋cos θ2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1± 5.又Δ＝4m 2－16m ≥0， ∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5. 答案 B15.sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析 sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912.答案91216.已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝________. 解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 答案 0。
高中数学-第四章-三角函数、解三角形-第二节-同角三角函数的基本关系与诱导公式
第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式[基本知识] 1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tan α＝sin αcos α()α≠kπ＋π2，k∈Z.2．同角三角函数基本关系式的应用技巧一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.()(2)若α∈R，则tan α＝sin αcos α恒成立．()答案：(1)×(2)×二、填空题1．已知α∈()π2，π，sin α＝35，则tan α＝________.解析：∵α∈()π2，π，sin α＝35，∴cos α＝－45，于是tan α＝－34.答案：－342．已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为________．解析：原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.答案：3[全析考法]考法一知弦求弦、切或知切求弦利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．[例1] (1)(2019·成都龙泉中学月考)设cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( ) A.1－k 2k B ．－1－k 2k C.k 1－k 2D ．－k1－k 2 (2)(2019·甘肃诊断)已知tan x ＝43，且角x 的终边落在第三象限，则cos x ＝( )A.45 B ．－45C.35D ．－35[解析] (1)∵cos(－80°)＝cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－cos 280°＝1－k 2， ∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k.故选B. (2)因为角x 的终边落在第三象限，所以cos x <0，因为tan x ＝43，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x ＝43，cos x <0，解得cos x ＝－35，故选D.[答案] (1)B (2)D [易错提醒]知弦求弦、切或知切求弦时要注意判断角所在的象限，不要弄错切、弦的符号． 考法二 知切求f (sin α、cos α)的值[例2] (2019·保定三校联考)已知tan(3π＋α)＝3，则3sin α－cos α2sin α＋3cos α＝( )A.13B.89C.23D ．2[解析] ∵tan(3π＋α)＝3，∴tan α＝3，∴3sin α－cos α2sin α＋3cos α＝3tan α－12tan α＋3＝3×3－12×3＋3＝89.故选B.[答案] B [方法技巧]利用“切弦互化”的技巧(1)弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有： ①sin α，cos α的二次齐次式(如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α)的问题常采用“切”代换法求解； ②sin α，cos α的齐次分式()如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α的问题常采用分式的基本性质进行变形．(2)切化弦：利用公式tan α＝sin αcos α，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切、余切的时候，采用此技巧． 考法三 sin α±cos α与sin αcos α关系的应用[例3] (1)已知sin αcos α＝38，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值为( )A.12B ．±12C ．－14D ．－12(2)已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α＝( )A.75 B.257 C.725D.2425[解析] (1)因为sin αcos α＝38，所以(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α ＝1－2sin αcos α＝1－2×38＝14，因为π4<α<π2，所以cos α<sin α，即cos α－sin α<0， 所以cos α－sin α＝－12.(2)∵sin α＋cos α＝15，∴1＋2sin αcos α＝125， ∴2sin αcos α＝－2425，(cos α－sin α)2＝1＋2425＝4925. 又∵－π2<α<0，∴cos α>0>sin α，∴cos α－sin α＝75，∴1cos 2α－sin 2α＝1(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝115×75＝257. [答案] (1)D (2)B [方法技巧]正弦、余弦“sin α±cos α，sin α·cos α”的应用sin α±cos α与sin α·cos α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，sin αcos α＝(sin α＋cos α)2－12，sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22.因此在解题中已知1个可求另外2个．[集训冲关]1.[考法一]已知α∈(0，π)，cos α＝－35，则tan α＝( )A.34 B ．－34C.43D ．－43解析：选D ∵cos α＝－35且α∈(0，π)，∴sin α＝1－cos 2α＝45，∴tan α＝sin αcos α＝－43.故选D.2.[考法三]已知sin α＋cos α＝13，则sin αcos α的值为________．解析：∵sin α＋cos α＝13，∴(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋2sin αcos α＝19，解得sin αcos α＝－49.答案：－493.[考法二]已知tan α＝－43，求：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α的值； (2)1cos 2α－sin 2α的值； (3)sin 2α＋2sin αcos α的值．解：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2＝－43－45×()－43＋2＝87.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝()－432＋11－()－432＝－257. (3)sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝169－83169＋1＝－825. 突破点二 三角函数的诱导公式[基本知识]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )(2)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍、偶数倍，变与不变指函数名称是否变化．( )答案：(1)× (2)√ 二、填空题1．已知cos(π＋α)＝－35，则sin ()3π2＋α等于________．解析：cos(π＋α)＝－cos α＝－35，则cos α＝35，sin ()3π2＋α＝－sin ()π2＋α＝－cos α＝ －35.答案：－352．已知sin ()α＋π6＝45，则sin ()α＋7π6等于________．解析：sin ()α＋7π6＝sin []()α＋π6＋π＝－sin ()α＋π6＝－45.答案：－453．已知tan ()π6－α＝33，则tan ()5π6＋α＝________.解析：tan ()5π6＋α＝tan ()π－π6＋α＝tan [ π－( π6－α ) ] ＝－tan ()π6－α＝－33.答案：－331．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角为终了．” 2．利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．[典例感悟](2019·武威六中第一次阶段性检测)已知f (α)＝[]sin ()π2－αtan (π＋α)－cos (π－α)2－14sin ()3π2＋α＋cos (π－α)＋cos (2π－α).(1)化简f (α)；(2)若－π3<α<π3，且f (α)<14，求α的取值范围．解：(1)f (α)＝(cos αtan α＋cos α)2－1－4cos α－cos α＋cos α＝(sin α＋cos α)2－1－4cos α＝2sin αcos α－4cos α＝－12sin α.(2)由已知得－12sin α<14，∴sin α>－12，∴2k π－π6<α<2k π＋7π6，k ∈Z.∵－π3<α<π3，∴－π6<α<π3.故α的取值范围为()－π6，π3.[方法技巧]应用诱导公式化简求值的常见问题及注意事项(1)已知角求值问题．关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．(2)对给定的式子进行化简或求值问题．要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．[针对训练]1．(2018·玉林陆川中学期中)sin 570°的值是( ) A ．－12B.12C.32D ．－32解析：选A sin 570°＝sin(720°－150°)＝－sin 150°＝－12.故选A.2．(2019·湖北八校联考)已知sin(π＋α)＝－13，则tan ()π2－α＝( )A ．2 2B ．－22 C.24D ．±22解析：选D ∵sin(π＋α)＝－13，∴sin α＝13，∴tan ()π2－α＝cos αsin α＝±22，故选D.3．(2019·南充模拟)设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数．若f (2 019)＝－1，则f (2 020)＝( )A ．1B ．2C ．0D ．－1解析：选A ∵f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－1，∴a sin α＋b cos β＝1，∴f (2 020)＝a sin(2 020π＋α)＋b cos(2 020π＋β)＝a sin α＋b cos β＝1.故选A.4．化简：sin 2(α＋π)·cos (π＋α)·cos (－α－2π)tan (π＋α)·sin 3()π2＋α·sin (－α－2π)＝________.解析：原式＝sin 2α·(－cos α)·cos αtan α·cos 3α·(－sin α)＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1.答案：1[课时跟踪检测][A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(2019·新疆普通高中学业水平考试)已知x ∈()－π2，0，cos x ＝45，则tan x 的值为( )A.34 B ．－34C.43D ．－43解析：选B 因为x ∈()－π2，0，所以sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，所以tan x ＝sin x cos x ＝－34.故选B. 2．(2019·淮南十校联考)已知sin ()α－π3＝13，则cos ()α＋π6的值是( )A ．－13B.13C.223D ．－223解析：选A ∵sin ()α－π3＝13，∴cos ()α＋π6＝cos []π2＋()α－π3＝－sin ()α－π3＝－13，故选A.3．(2019·重庆一模)log 2()cos 7π4的值为( )A ．－1B ．－12C.12D.22解析：选B log 2()cos 7π4＝log 2()cos π4＝log 222＝－12.故选B.4．(2019·遵义模拟)若sin ()π2＋α＝－35，且α∈( π2，π )，则sin(π－2α)＝( )A ．－2425B ．－1225解析：选A ∵sin ()π2＋α＝cos α＝－35，α∈()π2，π，∴sin α＝45，∴sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×()－35＝－2425.故选A.5．(2019·沈阳模拟)若1＋cos αsin α＝2，则cos α－3sin α＝( ) A ．－3 B ．3 C ．－95D.95解析：选C ∵1＋cos αsin α＝2，∴cos α＝2sin α－1，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋(2sin α－1)2＝1,5sin 2α－4sin α＝0，解得sin α＝45或sin α＝0(舍去)，∴cos α－3sin α＝－sin α－1＝－95.故选C.6．(2019·庄河高中期中)已知sin ()α－π12＝13，则cos ()α＋17π12等于( )A.13B.223C ．－13D ．－223解析：选A cos ()α＋17π12＝cos []3π2＋()α－π12＝sin ()α－π12＝13.故选A. [B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·宝鸡金台区质检)已知sin 2α＝23，则tan α＋1tan α＝( )A. 3B.2 C ．3D ．2解析：选C tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝2sin 2α＝223＝3.故选C.2．(2019·常德一中月考)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34D ．－43解析：选C 因为sin α＋2cos α＝102，sin 2α＋cos 2α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝31010，cos α＝1010或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－1010，cos α＝31010.所以tan α＝3或－13.所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×31－32＝－34或tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×()－131－()－132＝－34.故选C.3．(2019·株洲醴陵二中、四中期中联考)已知2sin α－cos α＝0，则sin 2α－2sin αcos α的值为( ) A ．－35B ．－125解析：选A 由已知2sin α－cos α＝0得tan α＝12，所以sin 2α－2sin αcos α＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－2tan αtan 2α＋1＝－35.故选A. 4．(2019·大庆四地六校调研)若α是三角形的一个内角，且sin ()π2＋α＋cos ()3π2＋α＝15，则tan α的值是( )A ．－43B ．－34C ．－43或－34D ．不存在解析：选A 由sin ()π2＋α＋cos ()3π2＋α＝15，得cos α＋sin α＝15，∴2sin αcos α＝－2425<0.∵α∈(0，π)，∴α∈()π2，π，∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝75，∴sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43，故选A.5．(2019·平顶山、许昌联考)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是( )A.35 B ．－35C ．－3D ．3解析：选A 由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，解得tan α＝2，∴cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋tan αtan 2α＋1＝1＋222＋1＝35. 6．(2019·河南中原名校联考)已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x 的方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R)的两根，则sin θ－cos θ＝( )A.1－32B.1＋32C. 3D ．－3解析：选B ∵sin θ，cos θ是方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R)的两根，∴sin θ＋ cos θ＝1－32，sin θ·cos θ＝m2，可得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝1＋m ＝2－32，解得m ＝－32.∵θ为第二象限角，∴sin θ>0，cos θ<0，即sin θ－cos θ>0，∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1－m ＝1＋32，∴sin θ－cos θ＝ 1＋32＝1＋32，故选B. 7．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( )A.15B.55C.255D ．1解析：选B 由cos 2α＝23，得cos 2α－sin 2α＝23，∴cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝23，即1－tan 2α1＋tan 2α＝23，∴tan α＝±55， 即b －a 2－1＝±55，∴|a －b |＝55.故选B.8．(2019·武邑中学调研)已知sin α＝13，0<α<π，则sin α2＋cos α2＝________.解析：()sin α2＋cos α22＝1＋sin α＝43，又0<α<π，∴sin α2＋cos α2>0，∴sin α2＋cos α2＝233. 答案：2339．(2019·广西桂林等五市联考)已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈()π2，π，则tan θ＝________.解析：∵sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θ＝1＋2sin θcos θ＝125，∴sin θcos θ＝－1225，又π2<θ<π，∴sin θ－cos θ>0，∴(sin θ－cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θcos θ＝4925，∴sin θ－cos θ＝75， 由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝15，sin θ－cos θ＝75，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝45，cos θ＝－35.∴tan θ＝sin θcos θ＝－43.答案：－4310．(2019·浙江名校协作体检测)已知sin ()－π2－α·cos ()－7π2＋α＝1225，且0<α<π4，则 sin α＝________，cos α＝________.解析：sin ()－π2－αcos ()－7π2＋α＝－cos α(－sin α)＝sin αcos α＝1225.又∵0<α<π4，∴0<sin α<cos α.解⎩⎨⎧sin αcos α＝1225，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝35，cos α＝45.答案：35 4511．(2019·惠安惠南中学月考)已知cos α－sin α＝5213，α∈()0，π4. (1)求sin αcos α的值；(2)求sin ()π2－2αcos ()π4＋α的值． 解：(1)∵cos α－sin α＝5213，α∈()0，π4， 平方可得1－2sin αcos α＝50169，∴sin αcos α＝119338.(2)sin α＋cos α＝(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝12213， ∴原式＝cos 2αcos ()π4＋α＝(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)22(cos α－sin α)＝2(cos α＋sin α)＝2413.12．在△ABC 中，(1)求证：cos 2A ＋B 2＋cos 2C2＝1；(2)若cos ()π2＋A sin ()3π2＋B tan(C －π)＜0，求证：△ABC 为钝角三角形． 证明：(1)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，所以A ＋B 2＝π2－C2， 所以cos A ＋B 2＝cos ()π2－C 2＝sin C2，所以cos 2A ＋B 2＋cos 2C2＝1.(2)因为cos ()π2＋A sin ()3π2＋B tan(C －π)＜0， 所以(－sin A )(－cos B )tan C ＜0， 即sin A cos B tan C ＜0.因为在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，0＜C ＜π且sin A ＞0，所以⎩⎨⎧ cos B ＜0，tan C ＞0或⎩⎨⎧cos B ＞0，tan C ＜0，所以B 为钝角或C 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形.。
数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式学案理
4。
2同角三角函数的基本关系及诱导公式必备知识预案自诊知识梳理1。
同角三角函数的基本关系（1）平方关系:sin2α+cos2α=。
(2)商数关系:sinαcosα=(α≠π2+kπ,k∈Z)。
2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-απ2-απ2+α正弦sin α余弦cos α正切tan α续表公式一二三四五六口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限1。
特殊角的三角函数值2.同角三角函数基本关系式的常用变形(1)（sin α±cos α）2=1±2sin αcos α；（2)sin α=tan αcos αα≠π2+kπ,k∈Z；(3）sin2α=sin2αsin2α+cos2α=tan2αtan2α+1;（4）cos 2α=cos 2αsin 2α+cos 2α=1tan 2α+1。
考点自诊1.判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”。
（1）对任意的角α，β有sin 2α+cos 2β=1。
( ） （2)若α∈R ，则tan α=sinαcosα恒成立.（ ）（3)sin （π+α）=-sin α成立的条件是α为锐角。
( )(4）若cos(n π—θ）=13(n ∈Z )，则cos θ=13.（ ）2。
(2020河北衡水中学模拟一,理3)已知cos α-π2=-2√55，α∈π，3π2,则tan α=（ ）A 。
2B 。
32C.1D.123。
(2020河北唐山模拟，理4）已知角α的顶点在原点,始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点A (2sin α，3）（sin α≠0），则cos α=( ）A.12B 。
-12C 。
√32D.-√324。
函数f (x )=15sin x+π3+cos x —π6的最大值为（ ) A.65B.1C.35D.15关键能力学案突破考点同角三角函数基本关系式的应用【例1】（1)若tan(α-π）=12，则sin 2α+1cos 2α-sin 2α=( )A。
高考数学第一轮复习：《同角三角函数的基本关系与诱导公式》
高考数学第一轮复习：《同角三角函数的基本关系与诱导公式》最新考纲1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin xcos x ＝tan x .2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.【教材导读】1．同角三角函数的基本关系中，对任意角均成立吗？提示：在tan α＝sin αcos α的关系中，须保证tan α有意义，所以须使α≠π2＋k π，k ∈Z . 2．诱导公式的功能是什么？提示：负角化正角，大角化小角，再求值．1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系 sin 2 α＋cos 2 α＝1； (2)商数关系 tan α＝sin αcos α. 2．诱导公式 组序 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α(k ∈Z )π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos_α 余弦 cos α －cos α cos α －cos_α sin α －sin α 正切tan αtan α－tan α－tan_α诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”与“偶”指的是诱导公式k ·π2＋α中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k ·π2＋α中，将α看成锐角时k ·π2＋α所在的象限．1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( ) (A)－32 (B)32 (C)－12(D)12D 解析：因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )．又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.故选D.2．已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3的值为( )(A)12 (B)－12 (C)32(D)－32A 解析：∵f (α)＝sin αcos α(－cos α)·(－tan α)＝sin αtan α＝cos α，∴f (－25π3)＝cos(－25π3)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝12.故选A.3．若α＝11π3，则tan α·cos α等于( ) (A)12 (B)－12 (C)－32(D)32C 解析：若α＝113π，tan α·cos α＝sin αcos α·cos α＝sin α＝sin 113π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π3＝－sin π3＝－32.故选C.4．已知a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，则tan α＝________.解析：因为a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝－43. 答案：－435．已知sin x cos x ＝38，且x ∈π4，π2，则cos x －sin x ＝________. 解析：因为x ∈π4，π2， 所以sin x >cos x ， 即cos x －sin x <0，所以(cos x －sin x )2＝1－2sin x cos x ＝14，所以cos x －sin x ＝－12. 答案：－12考点一 同角三角函数的基本关系(1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________.(2)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2 α－sin αcos α的值是( )(A)25 (B)－25 (C)－2(D)2解析：(1)依题意得⎩⎨⎧tan α＝sin αcosα＝2，sin 2 α＋cos 2 α＝1，由此解得cos 2 α＝15；又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，因此cos α＝－55.(2)由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2.所以sin2α－sin αcos α＝sin2α－sin αcos αsin2α＋cos2α＝tan2α－tan αtan α＋1＝25.答案：(1)－55(2)A【反思归纳】同角三角函数关系式的应用技巧(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)关系式的逆用及变形用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.(3)sin α，cos α的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式，或含有sin2α，cos2α及sin αcos α的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转化为“切”后求解．【即时训练】已知角α的始终与x轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P(3,4)，则sin α＋2cos αsin α－cos α＝________.答案：10考点二三角函数的诱导公式(1)化简sin(kπ－α)·cos[(k－1)π－α]sin[(k＋1)π＋α]·cos(kπ＋α)，k∈Z；(2)已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos⎝⎛⎭⎪⎫5π2－α；(3)化简tan(π－α)cos(2π－α)sin⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2 cos(－α－π)sin(－π－α).解：(1)当k＝2n＋1(n∈Z)时，原式＝sin(2nπ＋π－α)·cos(2nπ－α)sin(2nπ＋2π＋α)·cos(2nπ＋π＋α)＝sin(π－α)·cos αsin α·cos(π＋α)＝sin α·cos αsin α·(－cos α)＝－1；当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin (2n π－α)·cos (2n π－π－α)sin (2n π＋π＋α)·cos (2n π＋α)＝－sin α·(－cos α)－sin α·cos α＝－1.所以原式＝sin (k π－α)·cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]·cos (k π＋α)＝－1.(2)∵sin α＝255＞0，∴α为第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2 α＝55，tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝52.当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2 α＝－55，原式＝1sin αcos α＝－52.(3)方法一：原式＝(－tan α)·cos[π＋(π－α)]·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2－αcos (π＋α)·[－sin (π＋α)]＝(－tan α)·[－cos (π－α)]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α(－cos α)·sin α＝－tan α·cos α·(－cos α)－cos α·sin α＝－tan α·cos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.方法二：原式＝－tan α·cos (－α)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－π2cos (π－α)·sin (π－α)＝tan α·cos α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2－cos α·sin α＝sin αcos α·cos α－sin α＝－1.【反思归纳】 利用诱导公式化简三角函数的思路和要求(1)思路方法：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．【即时训练】 已知sin(3π＋θ)＝13， 求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．答案：18考点三 诱导公式与同角关系的综合应用 (高频考点)已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R )的两个根．求： (1)cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ的值；(2)tan(π－θ)－1tan θ的值． 解：由已知原方程判别式Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0，∴a ≥4或a ≤0.又⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝a ，sin θcos θ＝a ，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，即a 2－2a －1＝0， ∴a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)， ∴sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2. (1)cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝sin 3 θ＋cos 3 θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2 θ－sin θcos θ＋cos 2 θ) ＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.(2)tan(π－θ)－1tan θ＝－tan θ－1tan θ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫tan θ＋1tan θ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos θ＋cos θsin θ＝－1sin θcos θ＝－11－2＝2＋1.答案：(1)2－2 (2)2＋1【反思归纳】 熟练运用诱导公式和同角三角函数基本关系，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．【即时训练】 (1)若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( ) (A)正三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形(D)钝角三角形(2)若sin α＋π6＝－513，且α∈π2，π，则sin α＋2π3＝________. 解析：(1)因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝49， 所以sin αcos α＝－518<0，所以α为钝角．故选D. (2)因为π2<α<π，所以2π3<α＋π6<7π6， cos α＋π6＝－1－－5132＝－1213，而sin α＋2π3＝sin π2＋α＋π6＝cos α＋π6＝－1213. 答案：(1)D (2)－1213同角关系与诱导公式结合解题教材源题：化简： (1)cos α－π2sin 52π＋α·sin(α－2π)·cos(2π－α)；(2)cos 2(－α)－tan (360°＋α)sin (－α).解：(1)原式＝cos π2－αsin π2＋α·sin α·cos α＝sin αcos α·sin α·cos α＝sin 2α.(2)原式＝cos 2α－tan α－sin α＝cos 3α＋1cos α.【规律总结】 三角函数式化简目标方向 (1)用同角关系中切弦互化，统一函数名． (2)用诱导公式统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简．【源题变式】已知f (x )＝sin (2π－x )·cos 32π＋xcos (3π－x )·sin 112π－x ，则f －21π4＝________.解析：因为f (x )＝sin (－x )·sin xcos (π－x )·sin6π－π2＋x＝sin 2xcos x －sin π2＋x ＝sin 2x －cos 2x ＝－tan 2x . 所以f －214π＝－tan 2－214π＝－tan 2－5π－π4＝－tan 2－π4＝－1.答案：－1课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，tan(α＋π)＝43，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )(A)210 (B)－210 (C)7210(D)－7210A 解析：由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，tan(α＋π)＝43，即tan α＝43，得sin α＝－45，cos α＝－35∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22(cos α－sin α)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝210.故选A.2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( ) (A)－25(B)－15(C)15 (D)25答案：C3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝( )(A)45 (B)35 (C)－45(D)－35 D 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－35，故选D.4．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2(π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝( )(A)916 (B)－916 (C)－34 (D)34答案：B5．已知α是第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α·1＋1tan 2α的值为( ) (A)－2 (B)2 (C)0(D)3C 解析：原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α|cos α|＋sin α|sin α|，∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0，∴cos α|cos α|＋sin α|sin α|＝－1＋1＝0.故选C.6．在△ABC 中，3sin π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则C 等于( ) (A)π3 (B)π4 (C)π2(D)2π3C 解析：因为3sin π2－A ＝3sin(π－A )， 所以3cos A ＝3sin A ，所以tan A ＝33， 又0<A <π，所以A ＝π6.又因为cos A ＝－3cos(π－B )， 即cos A ＝3cos B ， 所以cos B ＝13cos π6＝12，又0<B <π， 所以B ＝π3.所以C ＝π－(A ＋B )＝π2.故选C. 7．设f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝________. 解析：方法一：f (cos x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x＝3－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝3－cos(π－2x )＝3＋cos 2x .方法二：f (sin x )＝3－(1－2sin 2 x )＝2＋2sin 2 x ， ∴f (x )＝2＋2x 2，∴f (cos x )＝2＋2cos 2x ＝3＋2cos 2x －1＝3＋cos 2x . 答案：3＋cos 2x8．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －14π－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π－α(n ∈Z )的结果为________． 解析：n 为偶数时，原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝0. n 为奇数时，原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝0. 答案：09．已知cos π6－α＝23，则sin α－2π3＝________.解析：sin α－2π3＝sin －π2－π6－α＝－sin π2＋π6－α＝－cos π6－α＝－23.答案：－2310．已知f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋π2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α·tan (α＋5π)tan (－α－π)·sin (α－3π)(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝cos α·(－sin α)·tan α(－tan α)·(－sin α)＝－cos α；(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α， ∴sin α＝－15，cos α＝－52－15＝－25 6.∴f (α)＝25 6.(3)∵－31π3＝－6×2π＋5π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.11．已知2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2α＝75，求tan α的值．解：由题意得2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝75， 所以2tan 2α＋tan α－3tan 2α＋1＝75， 所以10tan 2α＋5tan α－15＝7tan 2α＋7，所以3tan 2α＋5tan α－22＝0，所以(3tan α＋11)(tan α－2)＝0，所以tan α＝－113或tan α＝2.能力提升练(时间：15分钟)12．设f (x )＝⎩⎨⎧ s in πx ， (x ＜0)，f (x －1)＋1， (x ≥0)和g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cosπx ，(x ＜12)，g (x －1)＋1，(x ≥12)，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的值为( ) (A)2(B)3 (C)4 (D)5 B 解析：∵g (14)＝22，g (56)＝cos(－16π)＋1＝32＋1，f (13)＝sin(－23π)＋1＝－32＋1，f (34)＝sin(－π4)＋1＝－22＋1，∴原式＝3.故选B.13．已知sin θ＝13，θ∈(－π2，π2)，则sin(π－θ)·sin(32π－θ)的值为( )(A)229(B)－229 (C)19(D)－19B 解析：∵θ∈(－π2，π2)，∴cos θ＝1－sin 2θ＝223， ∴sin(π－θ)sin(3π2－θ)＝－sin θcos θ＝－13×223 ＝－229.故选B.14．在△ABC 中，已知2cos 2A －3cos(B ＋C )＝2，则A ＝________. 解析：由2cos 2A －3cos(B ＋C )＝2，得2cos 2A －3cos(π－A )＝2，即2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)，则在△ABC 中，A ＝π3.答案：π315．在三角形ABC 中，求cos 2A ＋B 2＋cos 2C 2的值． 解：在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，所以A ＋B 2＝π2－C 2， 所以cos A ＋B 2＝cos π2－C 2＝sin C 2，所以cos 2A ＋B 2＋cos 2C 2＝sin 2C 2＋cos 2C 2＝1. 16．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值． 解：(1)由根与系数的关系可知⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＋cos θ＝3＋12 ①sin θcos θ＝m 2 ②而sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2 θsin θ－cos θ＋cos 2 θcos θ－sin θ ＝sin 2 θ－cos 2 θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12. (2)由①式平方得1＋2sin θcos θ＝2＋32.∴sin θcos θ＝34.由②得m 2＝34，∴m ＝32. (3)当m ＝32时，原方程变为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝32cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ＝32sin θ＝12. 又∵θ∈(0,2π)，∴θ＝π3或θ＝π6.。
高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第二节同角三角函数基本关系式与诱导公式课件文
典例2
A. 3
5
(1)已知sin 2
α
= 53,α∈ 0, 2
,则sin(π+α)等于
(
B.- 3 C. 4 D.- 4
5
5
5
考点突破
)
(2)若sin
α是方程5x2-7x-6=0的根,则
sin
α
cos
2
3 2
sin
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3-2
tan(
α)
cos(2
α) sin
α
3 2
3
β=sin[(2k+1)π-α]=sin α= 1 .
3
栏目索引
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5.已知sin
θ+cos
θ= 43 ,θ∈ 0, 4
,则sin
θ-cos
θ的值为
-
2 3
.
答案 - 2 3
解析 由题易知(sin θ+cos θ)2= 16 ,∴1+2sin θcos θ= 16 ,
9
9
∴2sin θcos θ= 7 ,∴(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1-7 2= ,可得sin θ-cos θ=±
5
α= 1 ,从而sin
5
α=- 1 .
5
又α为第三象限角,∴cos α=- 1 sin2α =- 2 6 , 5
∴f(α)= 2 6 . 5
考点突破
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考点突破
方法技巧 1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤 任意负角的三
2025版高考数学总复习第4章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式
sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin x cos x 之间的关系(2024·北京东城模拟)已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝ －125 .[解析] 解法一：因为sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，sin θcos θ＝－60169.由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，所以x 1＝1213，x 2＝－513.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0.所以sin θ＝1213，cos θ＝－513，tan θ＝sin θcos θ＝－125.解法二：同解法一，得sin θcos θ＝－60169，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝－60169，弦化切，得 tan θtan 2θ＋1＝－60169，解得tan θ＝－125或tan θ＝－512.又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝713>0，sin θcos θ＝－60169<0.∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin θ>|cos θ|，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θcos θ＝|tan θ|>1，∴tan θ＝－125.解法三：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713，sin 2θ＋cos 2θ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1213，cos θ＝－513或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－513，cos θ＝1213.(舍去)故tan θ＝－125.名师点拨：sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin x cos x 之间的关系为(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cosx ，(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ，(sin x ＋cos x )2＋(sin x －cos x )2＝2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值． 【变式训练】1．已知sin 2θ＝14，且π4<θ<π2，则cos θ－sin θ＝( B )A ．32B ．－32C ．12D ．－12[解析] ∵(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－sin 2θ＝34，∴要求cos θ－sin θ，只需判断cos θ－sin θ的符号． ∵π4<θ<π2，∴cos θ<sin θ，即cos θ－sin θ<0. ∴cos θ－sin θ＝－cos θ－sin θ2＝－32. 2．(2024·山东师大附中模拟)已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α的值为( C )A ．75 B ．725 C ．257D ．2425[解析] 解法一：∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝125，∴sin αcos α＝－1225，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin α<0，cos α>0，∴cos α－sin α＝sin α－cos α2＝1－2sin αcos α＝75.∴1cos 2α－sin 2α＝1cos α－sin αcos α＋sin α＝257，故选C ． 解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝－75，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝45，sin α＝－35.∴tan α＝sin αcos α＝－34.∴1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝1＋tan 2α1－tan 2α ＝1＋9161－916＝257，故选C ．。
高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件新人教A版(文)
(方法二)由
即( 2cos α+1) =0,所以 cos α=2
3π
4
又 α∈(0,π),所以 α= ,
3π
所以 tan α=tan 4 =-1.
2
.
2
-21考点1
考点2
考点3
(方法三)因为 sin α-cos α= 2,
π
所以 2sin - 4 = 2,
解析: (1)(方法一)因为 sin α-cos α= 2,所以(sin α-cos α)2=2,
所以 sin 2α=-1.
3π
2
因为 α∈(0,π),2α∈(0,2π),所以 2α= .
3π
所以 α= 4 ,所以 tan α=-1.
sin-cos = 2,
sin2 + cos 2 = 1,
1
解 (1)联立方程
sin + cos = ,
5
sin2 + cos 2 = 1.②
1
由①得 cos α=5-sin α,将其代入②,
整理得 25sin2α-5sin α-12=0.
①
-12考点1
考点2
考点3
∵α 是三角形内角,
4
sin = 5 ,
∴
3
4
∴tan α=-3.
cos = - 5 ,
对点训练 2(1)已知 sin α-cos α= 2,α∈(0,π),则 tan α=( A )
2
A.-1
π
B.- 2
2
C. 2
D.1
1
1
5
cos -sin
(2)已知- <α<0,sin α+cos α=- ,则
高考数学总复习 第四章4.2 同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式教案 理 北师大版
2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第四章4.2 同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式考纲要求1．理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝πtan π2k αα⎛⎫≠ ⎪⎝⎭＋(k ∈Z ))．2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2α±，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，并能灵活运用．知识梳理1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：__________； (2)商数关系：__________； (3)倒数关系：__________. 2．诱导公式总口诀为：奇变偶不变，符号看象限，其中“奇”“偶”是指“k ·π2±α(k ∈Z )”中k 的奇偶性；“符号”是指把任意角α看作锐角时，原函数值的符号．即α＋k ·2π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成__________时原函数值的符号；π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．1．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin α＝( )．A ．－1213B ．1213C ．±1213D ．5122．已知sin x ＝2cos x ，则sin 2x ＋1＝( )．A ．65B ．95C ．43D ．533．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于( )．A ．15B ．－15C ．513D ．－5134．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是________．思维拓展1．有人说sin(k π－α)＝sin(π－α)＝sin α(k ∈Z )，你认为正确吗？提示：不正确．当k ＝2n (n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin(2n π－α)＝sin(－α)＝－sin α；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin[(2n ＋1)·π－α]＝sin(2n π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α.2．“符号看象限”中，符号是否与α的大小有关？提示：无关，只是把α从形式上看作锐角，从而2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α，π2－α，π2＋α分别是第一，三，四，二，一，二象限的角．一、同角三角函数关系式的应用【例1－1】已知tan α＝14，则cos 2α＋sin 2α的值为__________．【例1－2】已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值． 方法提炼1．利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z 可以实现角α的弦切互化．2．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.请做[针对训练]1二、诱导公式的应用 【例2－1】化简：sin(540°－x )tan(900°－x )·1tan(450°－x )tan(810°－x )·cos(360°－x )sin(－x )＝__________.【例2－2】化简：cos(π＋θ)cos θ[cos(π－θ)－1]＋cos(θ－2π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos(θ－π)－sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋θ.【例2－3】已知cos(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算：sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin(α＋2n π)·cos (α－2n π)(n ∈Z )．方法提炼利用诱导公式化简求值时的原则为：1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．请做[针对训练]2三、sin x ±cos x 与方程思想【例3】已知sin θ－cos θ＝12，求：(1)sin θcos θ；(2)sin 3θ－cos 3θ；(3)sin 4θ＋cos 4θ.方法提炼1．已知a sin x ＋b cos x ＝c 可与sin 2x ＋cos 2x ＝1联立，求得sin x ，cos x ，一般此法不常用，原因是计算麻烦．2．sin x ＋cos x ，sin x －cos x ，sin x cos x 之间的关系为：(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ，(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ，(sin x ＋cos x )2＋(sin x －cos x )2＝2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值可求其余两个代数式的值．请做[针对训练]3考情分析从近几年的高考试题来看，同角三角函数的基本关系和诱导公式中是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题．主要考查诱导公式在三角函数式求值，化简的过程中与同角三角函数的关系式，和差角公式及倍角公式的综合应用，在考查基本运算的同时，注重考查等价转化的思想方法．预测2013年高考仍将以诱导公式为主要考点，重点考查考生的运算能力与恒等变形能力．针对训练 1．(2011重庆高考，文12)若cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，则tan α＝__________.2．已知A ＝sin(k π＋α)sin α＋cos(k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是__________．3．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求m 的值．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．(1)sin 2α＋cos 2α＝1(2)tan α＝sin αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z(3)tan α·cot α＝12．sin α －sin α －sin α sin α cos αcos α cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α tan α tan α －tan α －tan α 锐角3．0 π6 π4 π3 π2 2π3 56ππ 3π2 0 12 22 32 1 32 120 －1 132 22 12 0 －12－32 －1 0 0 331 3 不存在 － 3 －33不存在基础自测1．A 解析：cos(α－π)＝－cos α＝－513，cos α＝513.sin α＝±1－cos 2α＝±1213，∵α是第四象限角，∴sin α＝－1213.2．B 解析：∵sin 2x ＋cos 2x ＝1，∴sin 2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x 2＝1，∴sin 2x ＝45，∴sin 2x ＋1＝95.3．D 解析：由tan α＝sin αcos α＝－512，sin 2α＋cos 2α＝1及α是第四象限角，解得sin α＝－513.4．25 解析：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得，tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2.所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝25. 考点探究突破【例1－1】1617 解析：cos 2α＋sin 2α＝1－2sin 2α＋sin 2α＝cos 2α＝cos 2αcos 2α＋sin 2α＝11＋tan 2α＝1617. 【例1－2】解：(1)联立方程 ⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1.①②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②.整理得25sin 2α－5sin α－12＝0. ∵α是三角形的内角，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35.∴tan α＝－43.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α.∵tan α＝－43， ∴1cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝－257. 【例2－1】sin x 解析：原式＝sin(180°－x )tan(180°－x )·1tan(90°－x )tan(90°－x )·cos x－sin x＝sin x－tan x ·ta n x ·tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1tan x ＝sin x . 【例2－2】解：原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ(－cos θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝2sin 2θ. 【例2－3】解：∵cos(π＋α)＝－12.∴－cos α＝－12，cos α＝12.则sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin(a ＋2n π)·cos (α－2n π)＝sin(2n π＋π＋α)＋sin(－2n π－π＋α)sin(2n π＋α)·cos (－2n π＋α)＝sin(π＋α)＋sin(－π＋α)sin α·cos α＝－sin α－sin(π－α)sin α·cos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.【例3】解：(1)∵sin θ－cos θ＝12，∴(sin θ－cos θ)2＝14，即sin 2θ－2sin θcos θ＋cos 2θ＝14.由平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得sin θcos θ＝38.(2)sin 3θ－cos 3θ＝(sin θ－cos θ)(sin 2θ＋cos θsin θ＋cos 2θ)．由平方关系及sin θ－cos θ＝12，可得sin 3θ－cos 3θ＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1＋38＝1116.(3)由(sin 2θ＋cos 2θ)2＝sin 4θ＋2sin 2θ·cos 2θ＋cos 4θ＝1，可得sin 4θ＋cos 4θ＝1－2sin 2θ·cos 2θ＝1－2×964＝2332.演练巩固提升 针对训练1．43 解析：由1＋tan 2α＝1cos 2α，则tan 2α＝169.又因α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，故tan α＞0，则tan α＝43.2．{－2,2} 解析：当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.3．解：由韦达定理可知⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m 2.①②由①式平方得1＋2sin θcos θ＝2＋32，∴sin θcos θ＝34，由②得m 2＝34.∴m ＝32.。
第4章第四章三角函数、解三角形第2节同角三角函数的基本关系式与诱导公式课件 高考数学一轮复习
cos2α＝1－sin2α. 4. 同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对
于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组， 通过解方程组达到解决问题的目的．
第四章 三角函数、解三角形
第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
内容索引
学习目标 核心体系 活动方案 备用题
内容索引
学习目标 1. 能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α 的正弦、 余弦、正切的诱导公式.2. 理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋ cos2α＝1，csoinsαα＝tanα.3. 能利用同角三角函数的基本关系式及三角函 数的诱导公式进行求值、化简、证明．
内容索引
诱导公式第一类π2的偶数倍：－α、π±α 第二类π2的奇数倍：π2±α、32π±α 平方关系：sin2α＋cos2α＝1
同角关系商数关系：csoinsαα＝tanα
内容索引
内容索引
活动一 基础训练
1. (2023贵溪实验中学高三校考)设sin23°＝m，则tan67°等于( )
A. －
【解析】 因为 θ∈0，π2，所以 sinθ>0，cosθ>0.因为 tanθ＝csoinsθθ＝12， 所以 cosθ＝2sinθ，所以 cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得 sinθ
＝
55或
sinθ＝－
55(舍去)，所以
sinθ－cosθ＝sinθ－2sinθ＝－sinθ＝－
【答案】 D