密码学的理论基础
密码学中的数学原理
密码学中的数学原理密码学是研究如何在通信过程中保护信息安全的学科，它涉及到许多数学原理和算法。
在密码学中，数学原理起着至关重要的作用，它们为加密和解密提供了坚实的理论基础。
本文将介绍密码学中一些重要的数学原理，包括模运算、RSA算法、离散对数问题等。
一、模运算模运算是密码学中常用的数学运算之一，它在加密算法中扮演着重要的角色。
在模运算中，我们需要计算一个数除以另一个数的余数。
例如，对于整数a和b，a mod b的结果就是a除以b的余数。
模运算在密码学中广泛应用于数据加密和密钥生成过程中，能够保证数据的安全性和可靠性。
二、RSA算法RSA算法是一种非对称加密算法，它是基于大数分解的数学原理。
RSA算法的安全性建立在两个大素数相乘的难解性上。
在RSA算法中，用户生成一对公钥和私钥，公钥用于加密数据，私钥用于解密数据。
RSA算法被广泛应用于数字签名、数据加密等领域，是当前最常用的加密算法之一。
三、离散对数问题离散对数问题是密码学中的一个重要数学难题，它是许多加密算法的基础。
在离散对数问题中，给定一个素数p、一个整数a和一个整数b，要求找到满足a^x ≡ b (mod p)的x值。
离散对数问题的难解性保证了许多加密算法的安全性，如Diffie-Hellman密钥交换算法和椭圆曲线密码算法等。
四、椭圆曲线密码算法椭圆曲线密码算法是一种基于椭圆曲线数学原理的加密算法，它具有高效性和强安全性的特点。
椭圆曲线密码算法利用椭圆曲线上的点运算来实现数据加密和数字签名，被广泛应用于移动通信、物联网等领域。
椭圆曲线密码算法是当前密码学领域研究的热点之一，具有很高的研究和应用价值。
五、费马小定理费马小定理是密码学中常用的数学原理之一，它可以用来验证素数和进行模幂运算。
费马小定理表明，对于任意素数p和整数a，a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
费马小定理在RSA算法、Miller-Rabin素性测试等算法中发挥着重要作用，是密码学中不可或缺的数学工具之一。
密码学的理论基础
码学和密码分析学的统称。
使消息保密的技术和科学叫做密码编码学（cryptography) 破译密文的科学和技术就是密码分析学（cryptanalysis） – 明文：是作为加密输入的原始信息，即消息的原始形 式，通常用m或p表示。所有可能明文的有限集称为明 文空间，通常用M或P来表示。
– 在第一次世界大战期间，敌对双方都使用加密系统（Cipher System），主要用于战术通信，一些复杂的加密系统被用于高级 通信中，直到战争结束。而密码本系统（Code System）主要用于 高级命令和外交通信中。 – 到了20世纪20年代，随着机械和机电技术的成熟，以及电报和无 线电需求的出现，引起了密码设备方面的一场革命——发明了转 轮密码机（简称转轮机，Rotor），转轮机的出现是密码学发展的 重要标志之一。美国人Edward Hebern认识到：通过硬件卷绕实 现从转轮机的一边到另一边的单字母代替，然后将多个这样的转 轮机连接起来，就可以实现几乎任何复杂度的多个字母代替。转 轮机由一个键盘和一系列转轮组成，每个转轮是26个字母的任意 组合。转轮被齿轮连接起来，这样就能实现当一个齿轮转动
• 近代密码（计算机阶段）
– 密码形成一门新的学科是在20世纪70年代，这是受计算机科学蓬 勃发展刺激和推动的结果。快速电子计算机和现代数学方法一方 面为加密技术提供了新的概念和工具，另一方面也给破译者提供 了有力武器。计算机和电子学时代的到来给密码设计者带来了前 所未有的自由，他们可以轻易地摆脱原先用铅笔和纸进行手工设 计时易犯的错误，也不用再面对用电子机械方式实现的密码机的 高额费用。总之，利用电子计算机可以设计出更为复杂的密码系
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– 密文：是明文经加密变换后的结果，即消息被加密处 理后的形式，通常用c表示。所有可能密文的有限集称 为密文空间，通常用C来表示。 – 密钥：是参与密码变换的参数，通常用k表示。一切可 能的密钥构成的有限集称为密钥空间，通常用K表示。 – 加密算法：是将明文变换为密文的变换函数，相应的 变换过程称为加密，即编码的过程（通常用E表示，即 c=Ek(p)）。 – 解密算法：是将密文恢复为明文的变换函数，相应的 变换过程称为解密，即解码的过程（通常用D表示，即 p=Dk(c)）。
第2章 密码学基础
明文是原始的信息（Plain text，记为P） 密文是明文经过变换加密后信息（Cipher（塞佛） text，记为C） 加密是从明文变成密文的过程（Enciphering，记为E） 解密是密文还原成明文的过程（Deciphering，记为D） 密钥是控制加密和解密算法操作的数据（Key，记为K）
非对称密钥体制
在非对称加密中，加密密钥与解密密钥不同，此时不需要通 过安全通道来传输密钥，只需要利用本地密钥发生器产生解密密 钥，并以此进行解密操作。由于非对称加密的加密和解密不同， 且能够公开加密密钥，仅需要保密解密密钥，所以不存在密钥管 理问题。非对称加密的另一个优点是可以用于数字签名。但非对 称加密的缺点是算法一般比较复杂，加密和解密的速度较慢。在 实际应用中，一般将对称加密和非对称加密两种方式混合在一起 来使用。即在加密和解密时采用对称加密方式，密钥传送则采用 非对称加密方式。这样既解决了密钥管理的困难，又解决了加密 和解密速度慢的问题。
2.2
密码破译
密码破译是在不知道密钥的情况下，恢复出密文中隐藏 的明文信息。密码破译也是对密码体制的攻击。 密码破译方法
1. 穷举攻击 破译密文最简单的方法，就是尝试所有可能的密码组合。经 过多次密钥尝试，最终会有一个钥匙让破译者得到原文，这个过 程就称为穷举攻击。
逐一尝试解密 密 文
解 密
错误报文
对称密钥体制
对称加密的缺点是密钥需要通过直接复制或网络传输的方式 由发送方传给接收方，同时无论加密还是解密都使用同一个密钥 ，所以密钥的管理和使用很不安全。如果密钥泄露，则此密码系 统便被攻破。另外，通过对称加密方式无法解决消息的确认问题 ，并缺乏自动检测密钥泄露的能力。对称加密的优点是加密和解 密的速度快。
2.3.1 对称加密技术
密码学专业主干课程
密码学专业主干课程摘要：一、引言二、密码学概述1.密码学定义2.密码学发展历程三、密码学专业主干课程1.密码学基础课程2.密码学进阶课程3.密码学应用课程四、课程举例与介绍1.密码学基础课程举例与介绍2.密码学进阶课程举例与介绍3.密码学应用课程举例与介绍五、结论正文：【引言】密码学是一门研究信息加密与解密、保证信息安全的学科，随着信息化时代的到来，密码学在信息安全、电子商务等领域具有重要的应用价值。
密码学专业因此应运而生，培养具备密码学理论基础和实践能力的高级人才。
本文将介绍密码学专业的主干课程，以帮助大家了解该专业的学习内容。
【密码学概述】密码学是研究加密与解密方法、破译与防护手段的一门学科。
其发展历程可追溯到古代的密码传递，如古希腊的斯巴达加密法。
随着科技的发展，现代密码学涉及到数字、编码、序列、图像等多个领域。
【密码学专业主干课程】密码学专业主干课程可以分为三类：密码学基础课程、密码学进阶课程和密码学应用课程。
【密码学基础课程】密码学基础课程主要包括：1.数学基础：高等数学、线性代数、概率论与数理统计等。
2.计算机科学基础：计算机原理、数据结构、算法分析等。
3.密码学基础：密码学原理、对称加密、非对称加密、哈希函数等。
【密码学进阶课程】密码学进阶课程主要包括：1.密码学分支：分组密码、序列密码、公钥密码、量子密码等。
2.安全协议：身份认证、加密协议、签名协议等。
3.密码学理论：信息论、复杂度理论、密码学数学基础等。
【密码学应用课程】密码学应用课程主要包括：1.网络安全：网络攻防、入侵检测、安全体系结构等。
2.应用密码学：数字签名、电子商务、移动通信安全等。
3.密码学实践：密码学实验、密码算法实现、安全系统设计等。
【课程举例与介绍】【密码学基础课程举例与介绍】1.高等数学：为密码学提供必要的数学基础，如代数、微积分等。
2.密码学原理：介绍密码学基本概念、加密解密方法等。
【密码学进阶课程举例与介绍】1.分组密码：研究将明文分成固定长度组进行加密的方法。
密码学基础与应用
密码学基础与应用密码学是一门研究如何保证信息安全的学科。
在数字化的今天，信息的传输和存储已经成为我们日常生活中必不可少的一部分。
然而，随着技术的不断进步，信息安全面临着诸多威胁，如黑客攻击、数据泄露等。
密码学的基础理论和应用技术，为保障信息的机密性、完整性和可用性提供了有效的解决方案。
一、密码学的基础理论密码学的基础理论主要包括对称加密、非对称加密和哈希算法。
1. 对称加密对称加密是指发送方和接收方使用相同的密钥进行加密和解密操作。
常见的对称加密算法有DES、AES等。
在对称加密中，数据的加密和解密过程迅速而高效，但密钥的管理和分发较为困难。
2. 非对称加密非对称加密使用一对密钥，即公钥和私钥。
公钥用于加密数据，私钥用于解密数据。
非对称加密算法常用的有RSA、ECC等。
相比对称加密，非对称加密提供了更高的安全性，但加密和解密的过程相对较慢。
3. 哈希算法哈希算法是将任意长度的输入通过散列函数变换成固定长度的输出，常见的哈希算法有MD5、SHA-1、SHA-256等。
哈希算法主要用于验证数据的完整性和一致性，具备不可逆和唯一性的特点。
二、密码学的应用技术密码学的应用技术广泛应用于网络安全、电子支付、数字版权保护等领域。
1. 网络安全在网络通信中，密码学技术被广泛应用于保护数据的隐私和完整性。
比如，SSL/TLS协议使用非对称加密算法对通信双方进行身份认证，并使用对称加密算法对数据进行加密，确保通信的机密性和完整性。
2. 电子支付在电子支付领域，密码学技术能够确保交易的安全性。
支付过程中使用非对称加密算法对交易信息进行加密，防止黑客窃取银行账户信息和交易金额。
此外，数字签名技术的应用，也能够验证交易的真实性和完整性。
3. 数字版权保护对于数字版权保护，密码学技术可以实现数字内容的加密和解密。
通过对数字内容进行加密，只有获得授权的用户才能解密并获得内容，有效防止盗版和非法传播。
三、密码学的发展趋势随着计算机运算能力的提高和攻击手段的不断演进，密码学也在不断发展和改进。
数学与密码学的联系
数学与密码学的联系数学和密码学是两个看似截然不同的领域，但实际上它们之间存在着紧密的联系。
数学提供了密码学的理论基础和工具，而密码学则为数学提供了实际应用的场景。
本文将探讨数学与密码学之间的联系，并介绍它们在实际应用中的一些例子。
一、数学在密码学中的应用1.1 离散数学离散数学是密码学的基础，它涵盖了离散结构、逻辑、图论、集合论等内容。
在密码学中，离散数学被广泛应用于代数密码、密码分析、密码破解等方面。
比如，在代数密码中，离散数学的群论和模运算理论为密码算法的设计和分析提供了重要的数学工具。
图论则被用于构建密码系统的结构和网络拓扑。
1.2 数论数论是研究整数性质和整数运算规律的数学分支。
在密码学中，数论被广泛用于公钥密码算法的设计和分析。
公钥密码算法是基于数论中的数论问题，如大整数的因子分解、离散对数问题等。
其中，RSA算法就是利用数论中大整数的乘法和求模运算性质，构建出了一个强大的公钥密码系统。
1.3 概率论与统计学概率论和统计学也在密码学中发挥着重要作用。
在密码分析中，概率论的随机过程理论被用于分析密码算法的安全性和破解概率。
统计学则可以通过统计分析来检测密码算法中的弱点，破译密码系统。
1.4 计算复杂性论在实际应用中，密码学需要考虑到算法的计算复杂性和效率。
计算复杂性论研究了算法的运行时间和空间资源需求。
在密码学中，计算复杂性论被用于分析密码算法的安全性和可行性，帮助选择合适的算法。
二、密码学在数学中的应用2.1 奇偶校验奇偶校验是一种简单的错误检测方法，它基于二进制数的奇偶性。
在计算机科学中，奇偶校验常常用于数据传输的可靠性检测。
而奇偶校验的理论基础正是由密码学中的异或运算和校验码概念发展而来。
2.2 编码理论编码理论是研究如何将信息用更少的比特数来表示的数学分支。
在密码学中，编码理论被应用于错误检测、纠错编码等方面。
通过编码理论的方法，可以提高数据传输的可靠性和安全性。
2.3 图论密码学中的一些问题可以转化为图论中的问题。
密码学导论
计算机单机，专人操作
网络时代 • 需要自动工具来保护存储在计算机
中的文件及其它信息
• 需要可靠措施来保护网络和通信链
接中的数据传输
计算机安全：单机数据安全
网络安全：传输过程中的数据安全
密码学导论--中国互科联学技网术安大全学 ：全网络上的数据安全
4
一个通信安全的例子
❖ Alice与Bob通信
Alice
密码编码学与网络安全：原理与实践(第六版 •William Stallings, 电子工业出版社，2006年
❖ 参考书：
)
应用密码学——协议、算法与C源程序
•Bruce Schneier, 机械工业出版社，2001
密码编码学和密码分析
•机械工业出版社，吴世忠等译，2001年
密码学与计算机网络安全
•卿斯汉，清华大学出版社，2001年
密码学导论中国科学技术大学绪论经典技术与理论经典密码密码学理论基础密码算法分组密码流密码公开密钥密码媒体内容安全基础安全技术消息认证及其算法数字签名与认证密码应用密钥管理与应用密码协议
本章目录
第一节 复杂的信息安全
• 信息安全的复杂性 • 安全框架与模型
第二节 密码学的历史
第三节 密码学基本概念
• 基本术语、基本模型、基本原则、基本参数 • 安全的种类、密码分析基本类型 • 密码体制分类
多方协议，……
密码学导论--中国科学技术大学
10
网络访问安全模型
用户
访问通道
看门 函数
❖ 使用网络访问安全模型需要：
选择合适的看门函数识别用户 实现安全控制，确保仅授权用户可以使用指定信息或资源
❖ 可信计算机系统有助于实现此模型
信息系统
第13章 密码学基础
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13.1.1 密码学发展历史
• 古典密码算法有:替代加密、置换加密； • 对称加密算法包括DES和AES； • 非对称加密算法包括RSA、背包密码、Rabin、 椭圆曲线等。 • 目前在数据通信中使用最普遍的算法有DES算法 和RSA算法等。 • 除了以上这些密码技术以外，一些新的密码技 术如辫子密码、量子密码、混沌密码、DNA密码 等近年来也发展起来，但是它们距离真正的实用 还有一段距离。
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13.1 密码学概述
• 小小的密码还可以导致一场战争的胜负。例如，计算机时 代的到来使得美国在1942年制造出了世界上第一台计算 机。二战期间，日本采用的最高级别的加密手段是采用 M-209转轮机械加密改进型—紫密，在手工计算的情况下 不可能在有限的时间破解，美国利用计算机轻松地破译了 日本的紫密密码，使日本在中途岛海战中一败涂地，日本 海军的主力损失殆尽。1943年，在解密后获悉日本山本 五十六将于4月18日乘中型轰炸机，由6架战斗机护航， 到中途岛视察时，罗斯福总统亲自做出决定截击山本，山 本乘坐的飞机在去往中途岛的路上被美军击毁，山本坠机 身亡，日本海军从此一蹶不振。密码学的发展直接影响了 二战的战局！
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13.1.1 密码学发展历史
• 经典密码学(Classical Cryptography)。其两大类别
分别为：
• (1).
• • 经典加密法的资讯很易受统计的攻破，资料越多，解破就 更容易，使用分析频率就是好办法。经典密码学现在仍未 消失，常被用于考古学上，还经常出现在智力游戏之中。 在20世纪早期,包括转轮机的一些机械设备被发明出来用 于加密,其中最著名的是用于第二次世界大战的密码机 “迷”(Enigma)，如图13.2所示。 这些机器产生的密码 相当大地增加了密码分析的难度。比如针对Enigma的各 种各样的攻击，在付出了相当大的努力后才得以成功。
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– 在第一次世界大战期间，敌对双方都使用加密系统（Cipher System），主要用于战术通信，一些复杂的加密系统被用于高级 通信中，直到战争结束。而密码本系统（Code System）主要用 于高级命令和外交通信中。 – 到了20世纪20年代，随着机械和机电技术的成熟，以及电报和无 线电需求的出现，引起了密码设备方面的一场革命——发明了转 轮密码机（简称转轮机，Rotor），转轮机的出现是密码学发展的 重要标志之一。美国人Edward Hebern认识到：通过硬件卷绕实 现从转轮机的一边到另一边的单字母代替，然后将多个这样的转 轮机连接起来，就可以实现几乎任何复杂度的多个字母代替。转 轮机由一个键盘和一系列转轮组成，每个转轮是26个字母的任意 组合。转轮被齿轮连接起来，这样就能实现当一个齿轮转动
• 近代密码（计算机阶段）
– 密码形成一门新的学科是在20世纪70年代，这 是受计算机科学蓬勃发展刺激和推动的结果。 快速电子计算机和现代数学方法一方面为加密 技术提供了新的概念和工具，另一方面也给破 译者提供了有力武器。计算机和电子学时代的 到来给密码设计者带来了前所未有的自由，他 们可以轻易地摆脱原先用铅笔和纸进行手工设 计时易犯的错误，也不用再面对用电子机械方 式实现的密码机的高额费用。总之，利用电子 计算机可以设计出更为复杂的密码系统。
引言 密码学简介
• 密码学是一门古老而年轻的科学，在当今的信息 时代，大量敏感信息如法庭记录、私人文档、软 件源代码、银行交易、保险单据等常常通过公共 通信设施或计算机网络来进行交换。 • 为了保证这些信息的私密性、完整性、真实性， 必须使用技术手段对其进行处理。
– 私密性:对信息处理后，保证让他人不能读懂。 – 真实性:对信息处理后，保证他人不能篡改信息（改了 之后会被接收者发觉）。 – 完整性:对信息处理后，保证他人不能从原始信息中删 除或插入其它信息（删除或插入后会被接收者发觉）。
– 传输密文的发明地是古希腊，一个叫Aeneas Tacticus 的希腊人 ,他使用了一个称为Polybius的校验表，这个 表中包含许多后来在加密系统中非常常见的成分，如 代替与换位。Polybius校验表由一个5×5的网格组成 （如表1-1所示），网格中包含26个英文字母，其中I和 J在同一格中。每一个字母被转换成两个数字，第一个 是字母所在的行数，第二个是字母所在的列数。如字 母A就对应着11，字母B就对应着12，以此类推。使用 这种密码可以将明文“message”置换为密文“32 15 43 43 11 22 15”。在古代，这种棋盘密码被广泛 使用。
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– 密文：是明文经加密变换后的结果，即消息被加密处 理后的形式，通常用c表示。所有可能密文的有限集称 为密文空间，通常用C来表示。 – 密钥：是参与密码变换的参数，通常用k表示。一切可 能的密钥构成的有限集称为密钥空间，通常用K表示。 – 加密算法：是将明文变换为密文的变换函数，相应的 变换过程称为加密，即编码的过程（通常用E表示，即 c=Ek(p)）。 – 解密算法：是将密文恢复为明文的变换函数，相应的 变换过程称为解密，即解码的过程（通常用D表示，即 p=Dk(c)）。
第一章 密码学的发展历史
密码学的发展历程大致经历了三个阶段：古代加密方法、 古典密码和近代密码
• 古代加密方法（手工阶段）
源于应用的无穷需求总是推动技术发明和进步的直接 动力。存于石刻或史书中的记载表明，许多古代文明，包 括埃及人、希伯来人、亚述人都在实践中逐步发明了密码 系统。从某种意义上说，战争是科学技术进步的催化剂。 人类自从有了战争，就面临着通信安全的需求，密码技术 源远流长。 – 古代加密方法大约起源于公元前440年出现在古希腊战 争中的隐写术。当时为了安全传送军事情报，奴隶主 剃光奴隶的头发，将情报写在
当一个转轮转动时，可以将一个字母转换成另一个字母。 照此传递下去，当最后一个转轮处理完毕时，就可以得到 加密后的字母。为了使转轮密码更安全，人们还把几种转 轮和移动齿轮结合起来，所有转轮以不同的速度转动，并 且通过调整转轮上字母的位置和速度为破译设置更大的障 碍。 – 典型的密码机Hagelin C-48型（即M-209 )是哈格林对 C-36改进后的产品 ,共由6个共轴转轮组成，每个转轮 外边缘分别有17, 19, 21, 23, 25, 26个齿，它们互为素 数，从而使它的密码周期达到了 26×25×23×21×19×17 = 101 405 850(数量级达到了 亿)。
密码学常识
– 密码学（cryptology）作为数学的一个分支，是密码编
码学和密码分析学的统称。
使消息保密的技术和科学叫做密码编码学（cryptography) 破译密文的科学和技术就是密码分析学（cryptanalysis） – 明文：是作为加密输入的原始信息，即消息的原始形 式，通常用m或p表示。所有可能明文的有限集称为明 文空间，通常用M或P来表示。
– 奴隶的光头上，待头发长长后将奴隶送到另一个部落， 再次剃光头发，原有的信息复现出来，从而实现这两 个部落之间的秘密通信。 – 密码学用于通信的另一个记录是斯巴达人于公元前400 年应用Scytale加密工具在军官间传递秘密信息。 Scytale实际上是一个锥形指挥棒，周围环绕一张羊皮 纸，将要保密的信息写在羊皮纸上。解下羊皮纸，上 面的消息杂乱无章、无法理解，但将它绕在另一个同 等尺寸的棒子上后，就能看到原始的消息。 – 我国古代也早有以藏头诗、藏尾诗、漏格诗及绘画等 形式，将要表达的真正意思或“密语”隐藏在诗文或 画卷中特定位置的记载，一般人只注意诗或画的表面 意境，而不会去注意或很难发现隐藏其中的“话外之 音”。
– 表1-1 Polybius校验表
1 1 2 3 4 5 A F L Q V
2 B G M R W
3 C H N S X
4 D I/J O T 典密码（机械阶段）
– 古典密码的加密方法一般是文字置换，使用手工或机械变换的方 式实现。古典密码系统已经初步体现出近代密码系统的雏形，它 比古代加密方法复杂，其变化较小。古典密码的代表密码体制主 要有：单表代替密码、多表代替密码及转轮密码。Caesar密码就 是一种典型的单表加密体制；多表代替密码有Vigenere密码、Hill 密码；著名的Enigma密码就是第二次世界大战中使用的转轮密码。