二次函数的解析式

教学内容
一、二次函数解析式的三种形式 1、一般式： y = ax 2 + bx + c( a ≠ 0) ，图像的顶点坐标为（ 2、配方式： y = a ( x + m) 2 + k ( a ≠ 0) ，图像的顶点坐标为（ ） ，对称轴是直线
） ，对称轴是直线
3、分解式： y = a ( x − x1 )( x − x 2 ) ，图像与 x 轴的交点坐标是 A（x1,0） 、B（x2,0） ，对称轴是直线 x =
小结： 在坐标平面上含有几何背景的条件下，要求函数解析式，一般是先根据几何图形的条件求出相关点的坐标，再 用待定系数法求函数解析式。注意数形结合在这里的运用。 “三点确定一个二次函数的解析式”这句话对不对？看看下面的问题。 2-1、已知平面直角坐标系中两点 A（1，2）和 B（0，3） ，点 C 在 x 轴上，线段 AC 的长是 2 2 。 （1）求点 C 的坐标； （2）如果一个二次函数的图像经过 A、B、C 三点，求这个二次函数的解析式。
第1题
第2题
2、小强从如图所示的二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图像中，观察得出了下面六条信息： （1）a<0;（2）c>1;（3）b>0;（4）a＋b＋c>0;（5）a－b＋c>0;(6)2a＋b>0 你认为其中正确的信息有 （填序号）
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中国领先的个性化教育品牌 2-2、已知抛物线 y = ax + 4ax + t ( a ≠ 0) 与 x 轴的一个交点为 A（-1，0） 。
2
（1）求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标； （2）设 D 是抛物线与 y 轴的交点，点 C 是抛物线上的一点，且以 AB 为一底的梯形 ABCD 的面积为 9，求此抛物 线的表达式。
3-2、如果二次函数 y = ax 2 + bx + c( a ≠ 0) 的图像如图所示， 那么点（ab, b-c）第 象限。
y
O 3-3、二次函数 y = ax + x + a − 1 的图像可能是（
2 2
x
）
（缺图 P123）
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x1 + x 2 ，从而采用配方式； 2
（3）已知抛物线的对称轴方程以及在 x 轴上截得的线段长，可求出与 x 轴两交点的坐标，从而采用分解式；或 已知抛物线在 x 轴上截得的线段长及 x 轴一个交点的坐标，可求出与 x 轴的另一个交点的坐标（注意有两解） ， 从而采用分解式，等等。
12+1： 精练 12+1： 1、若二次函数 y = ax 2 + bx 的图像如图所示，则 a 0,b 0.
（2）已知抛物线的顶点为（1,-3） ，且与 y 轴交于点（0,1） ；
（3）已知抛物线经过 A（-3,0） 、B（5,0） 、C（0,-3）三点。
1-2、求分别满足以下条件的二次函数的解析式。 （1）函数图像的对称轴是直线 x = −2 ，与 x 轴的一个交点坐标是（-5，0） ，与 y 轴的交点坐标是（0，
小结：根据图像的特征，分析条件的作用，灵活确定解析式形式的选取，是解此类题的关键所在。
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中国领先的个性化教育品牌 二、几何背景下的二次函数的解析式 （一）二次函数与直线经常出现在同一个坐标平面上。 二次函数与直线经常出现在同一个坐标平面上。 ，点 B、C 在 y 轴上（点 B 在点 C 的上方） ，BC=8，AB=AC，直 例 2、在坐标平面上，O 为原点，已知点 A（2，2） 线 AB 交 x 轴于点 D。 （1）求点 C、D 的坐标； （2）求图像经过 A、C、D 三点的二次函数的解析式。
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精锐教育学科教师辅导讲义
讲义编号 学员编号： 学员编号： 学员姓名： 学员姓名： 课 题 年 级：九年级 课 时 数： 3 学科教师： 学科教师：陈松
辅导科目： 辅导科目：数学 二次函数（4-2）--二次函数的解析式
授课时间 1、三种形形式：一般式、配方式（顶点式） 、分解式（相交式） ； 教学目标 2、怎样根据不同的已知条件确定解析式的选取；在不同的几何背景下怎样寻找确定解 析式的条件；怎样根据二次函数的图像特征确定解析式的系数特征。
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中国领先的个性化教育品牌 11、已知二次函数 y = x + bx + c 的图像经过点（0，3）和（1，3） 。
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（1）求此函数的解析式； （2）将此函数的图像沿 y 轴方向平移（向上或向下）多少个单位可以使其图像经过坐标原点？
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中国领先的个性化教育品牌 三、解析式系数特征的确定 根据函数图像的特征来确定系数 a、b、c，以及由 a、b、c 组成的代数式的符号，是对二次函数解析式的进 一步解读。 例 3、已知二次函数 y = ax + bx + c( a ≠ 0) 的图像如图所示，试确定以下各式的符号：
5 ） ； 3
（2）函数图像经过（-1，1）（0，1）两点，且函数图像最高点的纵坐标为 、
5 。 4
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中国领先的个性化教育品牌 小结： １、本题的解题关键是充分利用二次函数图像的对称性，由对称点确定对称轴方程，或由对称轴确定对称点坐 标，从面挖掘出新的条件。 ２、顶点是抛物线中的特殊点，起到“一个顶俩”的作用。 在下面的题目中，是否隐藏了顶点为已知点？ 1-3、已知抛物线 y = x 2 + bx + c 与 x 轴只有一个公共点 A（2，0） ，它与 y 轴的交点为 B。 （1）求 b、c 的值； （2）点 M 为线段 AB 的中点，某二次函数的图像经过点 M、A 和原点 O，求这个二次函数的解析式。
2 、C（0，-3） ，与 x 轴的另一个交点为点 B，△ABC 12、已知二次函数 y = ax + bx + c 的图像经过点 A（1，0）
的面积为 6，求二次函数的解析式。
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中国领先的个性化教育品牌 +1、 +1、如图，二次函数 y =
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中国领先的个性化教育品牌 3、已知二次函数 y = ax + bx + c 的 y 与 x 的部分对应值如下表：
2
x y
… …
-1 -5
0 1 （填序号）
1 3
2 1
… …
下列判断中，正确的有 （1）抛物线开口向下； （2）抛物线的顶点为（1，3） ； （3）当 x>3 时，y<0;
（4）方程 ax + bx + c = 0 有两个相等的实数根。
2 2 4、已知 y = ( a + 1) x + ax 是二次函数，a 的取值范围是
5、若某二次函数图像的顶点在原点，且经过点（2，1） ，则此二次函数的解析式是 6、已知抛物线 y = − x 2 + bx + c 的对称轴为直线 x=1，且与 x 轴的一个交点为（3，0） ，则此抛物线的 表达式是 7、已知抛物线 y = − x 2 + bx + c 经过点（2，0） ，且与 y 轴交于点 B，若 OB=1，则该二次函数解析式中，一次项 系数 b 为 8、抛物线 y = x 2 − mx + m + 1 的对称轴是直线 x=2,则该抛物线的顶点坐标是 9、对于任意实数 x，二次函数 y = x 2 − 8 x + m 的值总满足 y≥1,则 m 的值至少等于 10、已知二次函数的图像经过（0，-1）（1，-3）（-1，3）三点，求这个二次函数的解析式、顶点坐标，并画 、 、 出图像。
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小结：利用二次函数图像的对称性可知，如果横坐标分别为 x1 和 x2 的两点 A、B 关于直线 x=m 对称，那么
x1 + x 2 = m .若已知 x1，则 x 2 = 2m − x1 。因此在 A、B 两点中，可以从其中一点的坐标求出它的对称点的坐标 2
（其中纵坐标不变） 。 （二）二次函数的图像与锐角三角比
中国领先的个性化教育品牌 本节内容小结： 本节内容小结： 1、二次函数的解析式的三种形式 2、在特殊情况下，二次函数的解析式可采用简化形式，如： （1）已知抛物线对称轴是 y 轴（或顶点在 y 轴上） ，可设解析式为 （2）已知抛物线顶点在 x 轴上，可设解析式为 （3）已知抛物线经过原点，可设解析式为 （4）若抛物线顶点在原点，可设解析式为 3、可以根据图像性质，适当转化条件，确定最佳求解析式的方案，如： （1）已知抛物线的对称轴以及与 x 轴一个交点的坐标，可根据对称性求出抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标， 从而采用分解式； （2）已知抛物线上有两点的纵坐标相同，若设为（x1,y）（x2,y）,则这两点肯定是关于抛物线的对称轴对称， 、 因而可以得到抛物线的对称轴方程为 x = （一般式）或 （分解式）
x1 + x 2 2
下面这道题恰好可以采用三种不同形式的二次函数解析式来解，是难得一见的代数多解题。 ，求此二次函数的解析式。 例 1、已知二次函数的图像与 x 轴两交点之间的距离是 4，且顶点 M 为（－1，4）
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中国领先的个性化教育品牌 小结： 选择何种形式的解析式要根据题目的条件而定。 （1）已知图像所经过的三点坐标，用一般式； （2）已知图像顶点坐标或对称轴，用配方式； （3）已知图像与 x 轴的两个交点坐标，用分解式。 选择适当形式的解析式是求解二次函数解析式的关键。 1-1、根据下列条件，分别求出函数的解析式。 （1）已知二次函数的图像经过点 A（0,-1） 、B（1,0） 、C（-1,2） ；