确定二次函数的解析式 - 教师版

2.6确定二次函数的解析式
学习目标
1.利用三元一次方程组确定二次函数的表达式；(重点)
2．能灵活根据条件恰当地选择表达式，体会二次函数表达式之间的转化．(难点)知识点一、抛物线位置与系数a，b，c的关系：
知识点二、用待定系数法求二次函数的解析式：
【类型一】已知三点求二次函数的解析式设一般式：y＝ax2＋bx＋c
例1、已知一个二次函数的图象过(0，-3)，(4，5)，(-1，0)三点，求这个函数的解析式.
例2.已知一个二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点,求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．
练习：
1.二次函数图象过点（1，0）、（0，-2）和（2，3）求二次函数的解析式。

2.二次函数图象过点（2，5）和（－2，13）（0，1）求二次函数的解析式
总结：确定二次函数一般式的“四步骤”
①设：设二次函数解析式为y=ax²+bx+c(a≠0). ②列：根据题意列方程组.
③解：解方程组. ④定：确定二次函数解析式.
【类型二】利用顶点式确定二次函数解析式设顶点式y＝a(x－h)2＋k
1.已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点（1，10）求二次函数的解析式
2.已知抛物线的顶点坐标为M(1，－2)且经过点N(2，3)求此二次函数的解析式．
练习：
1.、已知抛物线的顶点为(1，-4)，且过点(0，-3)，求抛物线的解析式.
2.已知抛物线的顶点坐标是(－2，3)，且过点(－1，5)；求抛物线的解析式
总结：利用顶点式确定二次函数解析式：
用顶点式求解析式的“三种情况”①已知顶点坐标. ②已知对称轴或顶点的横坐标. ③已知二次函数的最大(小)值或顶点的纵坐标.
【类型三】利用交点式确定二次函数解析式：设抛物线的解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)
1.已知抛物线图象与x轴交点的横坐标为－2和4，且经过点(0，5)．求抛物线的解析式
2.已知抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)且过点C(0，-3).求抛物线的解析式
【练习】
1.已知抛物线与x轴交于点A(2，0)，B(5，0)且过点C(0，2).求抛物线的解析式
2.已知抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)且过点C(0，-5).求抛物线的解析式
总结：利用交点式确定二次函数解析式
当已知抛物线与 x 轴的交点坐标(x 1，0)，(x 2，0)时，则设抛物线的解析式为y ＝a (x －x 1)(x
－x 2)，再根据其他条件求出a 的值。

★规律总结：若x 1，x 2分别是抛物线与 x 轴的两个交
【总结】确定二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式常用的三种方法:
1.已知抛物线过三点,设一般式为y ＝ax 2
＋bx ＋c. 2.已知抛物线顶点坐标及一点,设顶点式y ＝a(x －h)2＋k.
3.已知抛物线与x 轴有两个交点(或已知抛物线与x 轴交点的横坐标),设交点式:y ＝a(x －x 1)(x －x 2) .(其中x 1.x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标)
随堂练习
1..已知抛物线c bx ax y ++=2的对称轴为2=x ，且经过点（1，4）和（5，0），试求该抛物线的表达式。

2.已知二次函数c bx x y ++=2的图象经过(1，1)与(2，3)两点.
3.已知抛物线经过两点A(1，0)，B(0，－3)，且对称轴是直线x ＝2；
4已知抛物线与x 轴交于(－2，0)，(4，0)两点，且该抛物线的顶点为(1，－9
2)．
总结归纳：(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、
的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)
(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：
（a≠0）.
(由此得根与系数的关系：).
课后作业
x=-时，函数有最小值为－9，求抛物线的解1.抛物线经过点（0，－8），当1
析式。

2.已知抛物线经过（－1，0），（3，0），且过（2，6）三点，求二次函数的表达式。

3.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，B，C三点，当x≥0时，其图象如图所示．求抛物线的解析式，并求出抛物线的对称轴、顶点坐标。

【课后拓展】
1.已知：抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为x=1，交x 轴于点A 、B(A 在B 的左侧)，且AB=4，交y 轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M 的坐标. 【答案】∵对称轴x=1，且AB=4
∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)
∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ∴M(1，-4)∵对称轴x=1，且AB=4
∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)
∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ∴M(1，-4).
2.．已知二次函数的图象经过原点及点，且图象与x 轴的另一交点到
原点的距离为1，则该二次函数的解析式为____ ____．
【答案】 或．
【解析】 正确找出图象与x 轴的另一交点坐标是解题关键．
由题意知另一交点为(1，0)或(-1，0)． 因此所求抛物线的解析式有两种． 设二次函数解析式为．
则有，或
解之，或
因此所求二次函数解析式为或．
b
b=-21
2c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨
⎩⎪-+=⎩b
b=-21
2c=-31b c 0
⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩11,24⎛⎫
-- ⎪⎝⎭211
33
y x x =-+2y x x =+2y ax bx c =++0,1114420c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪++=⎪⎩0,111,44
20,
c a b c a b c =⎧⎪⎪
-=-+⎨⎪-+=⎪⎩13130
a b c ⎧=-⎪⎪
⎪=⎨⎪
=⎪⎪⎩
1,1,0.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩211
33
y x x =-+2y x x =+。