2019年湖南省岳阳市中考数学试卷附分析答案
A．c＜﹣3
B．c＜﹣2
C．c＜
D．c＜1
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分）
9．（4 分）因式分解：ax﹣ay＝
．
10．（4 分）2018 年 12 月 26 日，岳阳三荷机场完成首航．至此，岳阳“水陆空铁”四位一
体的交通格局全面形成．机场以 2020 年为目标年，计划旅客年吞吐量为 600000 人次．数
3．（3 分）下列立体图形中，俯视图不是圆的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：A、圆柱的俯视图是圆；故本项不符合题意；
B、圆锥的俯视图是圆；故本项不符合题意；
C、立方体的俯视图是正方形；故本项符合题意；
D、球的俯视图是圆；故本项不符合题意．
故选：C．
4．（3 分）如图，已知 BE 平分∠ABC，且 BE∥DC，若∠ABC＝50°，则∠C 的度数是（ ）
第 4页（共 22页）
23．（10 分）操作体验：如图，在矩形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 AD、BC 上，将矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠，使点 D 恰好与点 B 重合，点 C 落在点 C′处．点 P 为直线 EF 上一动点（不与 E、F 重合），过点 P 分别作直线 BE、BF 的垂线，垂足分别为点 M 和 N， 以 PM、PN 为邻边构造平行四边形 PMQN． （1）如图 1，求证：BE＝BF； （2）特例感知：如图 2，若 DE＝5，CF＝2，当点 P 在线段 EF 上运动时，求平行四边 形 PMQN 的周长； （3）类比探究：若 DE＝a，CF＝b． ①如图 3，当点 P 在线段 EF 的延长线上运动时，试用含 a、b 的式子表示 QM 与 QN 之 间的数量关系，并证明； ②如图 4，当点 P 在线段 FE 的延长线上运动时，请直接用含 a、b 的式子表示 QM 与 QN 之间的数量关系．（不要求写证明过程）
B．同角（或等角）的余角相等；真命题；
第 8页（共 22页）
C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；真命题； D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分；真命题； 故选：A． 8．（3 分）对于一个函数，自变量 x 取 a 时，函数值 y 也等于 a，我们称 a 为这个函数的不 动点．如果二次函数 y＝x2+2x+c 有两个相异的不动点 x1、x2，且 x1＜1＜x2，则 c 的取值 范围是（ ）
24．（10 分）如图 1，△AOB 的三个顶点 A、O、B 分别落在抛物线 F1：y x2 x 的图象 上，点 A 的横坐标为﹣4，点 B 的纵坐标为﹣2．（点 A 在点 B 的左侧） （1）求点 A、B 的坐标； （2）将△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°得到△A'OB'，抛物线 F2：y＝ax2+bx+4 经过 A'、 B'两点，已知点 M 为抛物线 F2 的对称轴上一定点，且点 A'恰好在以 OM 为直径的圆上， 连接 OM、A'M，求△OA'M 的面积； （3）如图 2，延长 OB'交抛物线 F2 于点 C，连接 A'C，在坐标轴上是否存在点 D，使得 以 A、O、D 为顶点的三角形与△OA'C 相似．若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在， 请说明理由．
A．x≠0
B．x＞﹣2
C．x＞0
D．x≥﹣2 且 x≠0
6．（3 分）甲、乙、丙、丁四人各进行了 10 次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别
是 S 甲 2＝1.2，S 乙 2＝1.1，S 丙 2＝0.6，S 丁 2＝0.9，则射击成绩最稳定的是（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
7．（3 分）下列命题是假命题的是（ ）
据 600000 用科学记数法表示为
．
11．（4 分）分别写有数字 、 、﹣1、0、π的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽
取一张，抽到无理数的概率是
．
12．（4 分）若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为
．
13．（4 分）分式方程
的解为 x＝
．
14．（4 分）已知 x﹣3＝2，则代数式（x﹣3）2﹣2（x﹣3）+1 的值为
切点为 M，过 A、B 两点分别作 PE 的垂线 AC、BD，垂足分别为 C、D，连接 AM，则下
列结论正确的是
．（写出所有正确结论的序号）
①AM 平分∠CAB； ②AM2＝AC•AB；
③若 AB＝4，∠APE＝30°，则 的长为 ；
④若 AC＝3，BD＝1，则有 CM＝DM ．
第 2页（共 22页）
A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．同角（或等角）的余角相等
C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分
8．（3 分）对于一个函数，自变量 x 取 a 时，函数值 y 也等于 a，我们称 a 为这个函数的不
第 1页（共 22页）
动点．如果二次函数 y＝x2+2x+c 有两个相异的不动点 x1、x2，且 x1＜1＜x2，则 c 的取值 范围是（ ）
∴S 丙 2＜S 丁 2＜S 乙 2＜S 甲 2，
∴射击成绩最稳定的是丙，
故选：C．
7．（3 分）下列命题是假命题的是（ ）
A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．同角（或等角）的余角相等
C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分
【解答】解：A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；假命题；
故选：A．
2．（3 分）下列运算结果正确的是（ ）
A．3x﹣2x＝1
B．x3÷x2＝x
C．x3•x2＝x6
D．x2+y2＝（x+y）2
【解答】解：A、3x﹣2x＝x，故此选项错误；
B、x3÷x2＝x，正确；
C、x3•x2＝x5，故此选项错误；
D、x2+2xy+y2＝（x+y）2，故此选项错误；
故选：B．
分数段
频数 频率
第 3页（共 22页）
74.5～79.5
2
0.05
79.5～84.5
m
0.2
84.5～89.5
12
0.3
89.5～94.5
14
n
94.5～99.5
4
0.1
（1）表中 m＝
，n＝
；
（2）请在图中补全频数直方图；
（3）甲同学的比赛成绩是 40 位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在
第 7页（共 22页）
A．20°
B．25°
C．30°
【解答】解：∵BE 平分∠ABC，∠ABC＝50°，
∴∠ABE＝∠EBC＝25°，
∵BE∥DC，
∴∠EBC＝∠C＝25°．
故选：B．
D．50°
5．（3 分）函数 y A．x≠0
中，自变量 x 的取值范围是（ ）
B．x＞﹣2
C．x＞0
D．x≥﹣2 且 x≠0
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2019 年湖南省岳阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分.在每道小题给出的四个选项中，选 出符合要求的一项） 1．（3 分）﹣2019 的绝对值是（ ）
A．2019
B．﹣2019
C．
D．
【解答】解：﹣2019 的绝对值是：2019．
2019 年湖南省岳阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分.在每道小题给出的四个选项中，选 出符合要求的一项） 1．（3 分）﹣2019 的绝对值是（ ）
A．2019
B．﹣2019
C．
D．
2．（3 分）下列运算结果正确的是（ ）
A．3x﹣2x＝1
B．x3÷x2＝x
分
数段内；
（4）选拔赛中，成绩在 94.5 分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定 2 名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．
22．（8 分）慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图， 小亮的目高 CD 为 1.7 米，他站在 D 处测得塔顶的仰角∠ACG 为 45°，小琴的目高 EF 为 1.5 米，她站在距离塔底中心 B 点 a 米远的 F 处，测得塔顶的仰角∠AEH 为 62.3°．（点 D、B、F 在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9） （1）求小亮与塔底中心的距离 BD；（用含 a 的式子表示） （2）若小亮与小琴相距 52 米，求慈氏塔的高度 AB．
【解答】解：根据题意得：
，
解得：x≥﹣2 且 x≠0．
故选：D．
6．（3 分）甲、乙、丙、丁四人各进行了 10 次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别
是 S 甲 2＝1.2，S 乙 2＝1.1，S 丙 2＝0.6，S 丁 2＝0.9，则射击成绩最稳定的是（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【解答】解：∵S 甲 2＝1.2，S 乙 2＝1.1，S 丙 2＝0.6，S 丁 2＝0.9，
20．（8 分）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放 40 年地方改革创新 40 案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地 1200 亩用于复耕和 改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多 600 亩． （1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？ （2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要
2019年湖南省岳阳市中考数学试题(原卷+解析)
2019年湖南省岳阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）1．【解答】解：﹣2019的绝对值是：2019．故选：A．2．【解答】解：A、3x﹣2x＝x，故此选项错误；B、x3÷x2＝x，正确；C、x3•x2＝x5，故此选项错误；D、x2+2xy+y2＝（x+y）2，故此选项错误；故选：B．3．【解答】解：A、圆柱的俯视图是圆；故本项不符合题意；B、圆锥的俯视图是圆；故本项不符合题意；C、立方体的俯视图是正方形；故本项符合题意；D、球的俯视图是圆；故本项不符合题意．故选：C．4．【解答】解：∵BE平分∠ABC，∠ABC＝50°，∴∠ABE＝∠EBC＝25°，∵BE∥DC，∴∠EBC＝∠C＝25°．故选：B．5．【解答】解：根据题意得：，解得：x≥﹣2且x≠0．故选：D．6．【解答】解：∵S甲2＝1.2，S乙2＝1.1，S丙2＝0.6，S丁2＝0.9，∴S丙2＜S丁2＜S乙2＜S甲2，∴射击成绩最稳定的是丙，故选：C．7．【解答】解：A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；假命题；B．同角（或等角）的余角相等；真命题；C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；真命题；D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分；真命题；故选：A．8．【解答】解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个实数根，且x1＜1＜x2，整理，得：x2+x+c＝0，则．解得c＜﹣2，故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）9．【解答】解：原式＝a（x﹣y）．故答案是：a（x﹣y）．10．【解答】解：将600000用科学记数法表示为：6×105．故答案为：6×105．11．【解答】解：∵写有数字、、﹣1、0、π的五张大小和质地均相同的卡片，、π是无理数，∴从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是：．故答案为：．12．【解答】解：设多边形的边数为n，则（n﹣2）×180°＝360°，解得：n＝4，故答案为：4．13．【解答】解：方程两边同乘x（x+1），得x+1＝2x，解得x＝1．将x＝1代入x（x+1）＝2≠0．所以x＝1是原方程的解．14．【解答】解：∵x﹣3＝2，∴代数式（x﹣3）2﹣2（x﹣3）+1＝（x﹣3﹣1）2＝（2﹣1）2＝1．故答案为：1．15．【解答】解：设第一天织布x尺，则第二天织布2x尺，第三天织布4x尺，第四天织布8x尺，第五天织布16x尺，根据题意可得：x+2x+4x+8x+16x＝5，解得：x＝，即该女子第一天织布尺．故答案为：．16．【解答】解：连接OM，∵PE为⊙O的切线，∴OM⊥PC，∵AC⊥PC，∴OM∥AC，∴∠CAM＝∠AMO，∵OA＝OM，∠OAM＝∠AMO，∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB，故①正确；∵AB为⊙O的直径，∴∠AMB＝90°，∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB，∴△ACM∽△AMB，∴，∴AM2＝AC•AB，故②正确；∵∠APE＝30°，∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝4，∴OB＝2，∴的长为，故③错误；∵BD⊥PC，AC⊥PC，∴BD∥AC，∴，∴PB＝，∴，BD＝，∴PB＝OB＝OA，∴在Rt△OMP中，OM＝＝2，∴∠OPM＝30°，∴PM＝2，∴CM＝DM＝DP＝，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共8小题，满分64分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解答】解：原式＝1﹣2×+3﹣1＝1﹣1+3﹣1＝2．18．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠1＝∠2．19．【解答】解：（1）∵双曲线y＝经过点P（2，1），∴m＝2×1＝2；（2）∵双曲线y＝与直线y＝kx﹣4（k＜0）有两个不同的交点，∴＝kx﹣4，整理为：kx2﹣4x﹣2＝0，∴△＝（﹣4）2﹣4k•（﹣2）＞0，∴k＞﹣2，∴k的取值范围是﹣2＜k＜0．20．【解答】解：（1）设改造土地面积是x亩，则复耕土地面积是（600+x）亩，由题意，得x+（600+x）＝1200解得x＝300．则600+x＝900．答：改造土地面积是300亩，则复耕土地面积是900亩；（2）设休闲小广场总面积是y亩，则花卉园总面积是（300﹣y）亩，由题意，得y≤（300﹣y）．解得y≤75．故休闲小广场总面积最多为75亩．答：休闲小广场总面积最多为75亩．21．【解答】解：（1）m＝40×0.2＝8，n＝14÷40＝0.35，故答案为：8，0.35；（2）补全图形如下：（3）由于40个数据的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在89.5～94.5，∴测他的成绩落在分数段89.5～94.5内，故答案为：89.5～94.5．（4）选手有4人，2名是男生，2名是女生．，恰好是一名男生和一名女生的概率为＝．22．【解答】解：（1）由题意得，四边形CDBG、HBFE为矩形，∴GB＝CD＝1.7，HB＝EF＝1.5，∴GH＝0.2，在Rt△AHE中，tan∠AEH＝，则AH＝HE•tan∠AEH≈1.9a，∴AG＝AH﹣GH＝1.9a﹣0.2，在Rt△ACG中，∠ACG＝45°，∴CG＝AG＝1.9a﹣0.2，∴BD＝1.9a﹣0.2，答：小亮与塔底中心的距离BD（1.9a﹣0.2）米；（2）由题意得，1.9a﹣0.2+a＝52，解得，a＝18，则AG＝1.9a﹣0.2＝34.4，∴AB＝AG+GB＝36.1，答：慈氏塔的高度AB为36.1米．23．【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB，由翻折可知：∠DEF＝∠BEF，∴∠BEF＝∠EFB，∴BE＝BF．（2）解：如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，EH＝AB．∵DE＝EB＝BF＝5，CF＝2，∴AD＝BC＝7，AE＝2，在Rt△ABE中，∵∠A＝90°，BE＝5，AE＝2，∴AB＝＝，∵S△BEF＝S△PBE+S△PBF，PM⊥BE，PN⊥BF，∴•BF•EH＝•BE•PM+•BF•PN，∵BE＝BF，∴PM+PN＝EH＝，∵四边形PMQN是平行四边形，∴四边形PMQN的周长＝2（PM+PN）＝2．（3）①证明：如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H．∵ED＝EB＝BF＝a，CF＝b，∴AD＝BC＝a+b，∴AE＝AD﹣DE＝b，∴EH＝AB＝，∵S△EBP﹣S△BFP＝S△EBF，∴BE•PM﹣•BF•PN＝•BF•EH，∵BE＝BF，∴PM﹣PN＝EH＝，∵四边形PMQN是平行四边形，∴QN﹣QM＝（PM﹣PN）＝．②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM﹣QN＝PN﹣PM＝．24．【解答】解：（1）当x＝﹣4时，y＝×（﹣4）2+×（﹣4）＝﹣4 ∴点A坐标为（﹣4，﹣4）当y＝﹣2时，x2+x＝﹣2解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6∵点A在点B的左侧∴点B坐标为（﹣1，﹣2）（2）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B'作B'G⊥x轴于点G ∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90°∴∠B'OG＝∠OBE在△B'OG与△OBE中∴△B'OG≌△OBE（AAS）∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1∵点B'在第四象限∴B'（2，﹣1）同理可求得：A'（4，﹣4）∴OA＝OA'＝∵抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过点A'、B'∴解得：∴抛物线F2解析式为：y＝x2﹣3x+4∴对称轴为直线：x＝﹣＝6∵点M在直线x＝6上，设M（6，m）∴OM2＝62+m2，A'M2＝（6﹣4）2+（m+4）2＝m2+8m+20∵点A'在以OM为直径的圆上∴∠OA'M＝90°∴OA'2+A'M2＝OM2∴（4）2+m2+8m+20＝36+m2解得：m＝﹣2∴A'M＝∴S△OA'M＝OA'•A'M＝＝8（3）在坐标轴上存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．∵B'（2，﹣1）∴直线OB'解析式为y＝﹣x解得：（即为点B'）∴C（8，﹣4）∵A'（4，﹣4）∴A'C∥x轴，A'C＝4∴∠OA'C＝135°∴∠A'OC＜45°，∠A'CO＜45°∵A（﹣4，﹣4），即直线OA与x轴夹角为45°∴当点D在x轴负半轴或y轴负半轴时，∠AOD＝45°，此时△AOD不可能与△OA'C相似∴点D在x轴正半轴或y轴正半轴时，∠AOD＝∠OA'C＝135°（如图2、图3）①若△AOD∽△OA'C，则＝1∴OD＝A'C＝4∴D（4，0）或（0，4）②若△DOA∽△OA'C，则∴OD＝OA'＝8∴D（8，0）或（0，8）综上所述，点D坐标为（4，0）、（8，0）、（0，4）或（0，8）时，以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．。
(完整版)2019年岳阳市中考数学试题、答案(解析版)
2019 年岳阳市中考数学试题、答案（解析版）出符合要求的一项） 1. 2019 的绝对值是 4.如图，已知 BE 平分∠ABC ，且BE∥DC ，若∠ABC 50 ，则∠C 的度数是A . x 0B . x>- 2C. x>0D. x≥- 2 且 x 06. 甲、乙、丙、丁四人各进行了 10 次射击测试， 他们的平均成绩相同， 方差分别是 S 甲2S 乙2 1.1， S 丙2 0.6 ， S 丁20.9 ，则射击成绩最稳定的是（ ） A. 甲7. 下列命题是假命题的是A. 平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形B. 同角（或等角）的余角相等C. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等D. 正方形的对角线相等，且互相垂直平分8. 对于一个函数， 自变量 x 取 a 时，函数值 y 也等于 a ，我们称 a 为这个函数的不动点 . 如果二次函数 y x 22x c 有两个相异的不动点 x 1、 x 2，且 x 1<1<x 2 ，则 c 的取值范围是（）1 A . c< - 3B . c< - 2C . c<D . c<1D.丁（）、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3分，满分 24 分。
在每道小题给出的四个选项中，选 A . 2019 B. 2 0192. 下列运算结果正确的是A . 3x 2 x 13 2 63. 下列立体图形中，俯视图不是圆的是D.1 2A . 205. 函数y xx2中， xD . 50（）1.2，C.丙A12y4、填空题（本大题共 8小题，每小题 4分，满分 32 分）9. 因式分解： ax ay2018 年 12 月 26 日，岳阳三荷机场完成首航。
至此，岳阳“水陆空铁”四位一体的交通格局全面形成。
机场以 2020 年为目标年，计划旅客年吞吐量为 600 000人次.数据 600 000 用科学记数法表示为 。
1分别写有数字 1、 2 、 1、0、π的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张， 3 抽到无理数的概率是 。
2019年湖南省岳阳中考数学试卷(含答案与解析)
_ --------------------019 的绝对值是 （ ）__ A .2019B . -2 019C . 1D . -__ __ --------------------x 3 g x 2 = x 6D . x 2 + y 2＝(x + y )2_号 生 __ __ __ __ __ __ __ __名__ 姓 __ 答 __ __ __ __ __题 5.函数 y = x + 2 __ x 中，自变量 x 的取值范围是 （ ）A . x ≠ 0B . x ＞-2C . x ＞0D . x ≥-2 且 x ≠ 0 4D . c ＜111.分别写有数字 、 2 、 -1、0、 π 的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取13.分式方程 1 x = x + 16.甲、乙、丙、丁四人各进行了 10 次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是 S2= 1.2 ，3 ；S 2 （ -------------绝密★启用前-------------在--------------------湖南省岳阳市 2019 年中考试卷数学B .同角（或等角）的余角相等C .线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等D .正方形的对角线相等，且互相垂直平分8.对于一个函数，自变量 x 取 a 时，函数值 y 也等于 a ，我们称 a 为 这个函数的不动点.如果二次函数 y = x 2 + 2x + c 有两个相异的不动点 x 、 x ，且 x ＜1＜x ，则 c 的取值1 2 1 2_ __ 2.下列运算结果正确的是（）__ _ 卷A . 3x - 2x = 1B . x 3 ÷ x 2 = x考 __3.下列立体图形中，俯视图不是圆的是（）__ _____A B C D_ _ （）_ _ _ _ __校学 业 毕一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分。
在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）此12 019 2 019C .上 --------------------4.如图，已知 BE 平分∠ABC ，且 BE ∥DC ，若∠ABC = 50︒ ，则∠C 的度数是_ --------------------A . 20 ︒B . 25︒C . 30︒D . 50︒--------------------无 甲-------------------- = 1.1 ， S 2 = 0.6 ， S 2 = 0.9 ，则射击成绩最稳定的是 （ ）乙 丙 丁A .甲B .乙C .丙D .丁7.下列命题是假命题的是 （ ） A .平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形效 范围是 （ ） A . c ＜-3 B . c ＜-2 C . c ＜1二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分）9.因式分解： ax - ay = .10.2018 年 12 月 26 日，岳阳三荷机场完成首航。
湖南省岳阳市2019年中考[数学]考试真题与答案解析
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湖南省岳阳市2019年中考[数学]考试真题与答案解析一、选择题1.-2020的相反数是（ ）A. 2020B. -2020C. D. －1202012020答案：A2.2019年以来，我国扶贫攻坚取得关键进展，农村贫困人口减少11090000人，数据11090000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 80.110910⨯611.0910⨯81.10910⨯71.10910⨯答案：D3.如图，由4个相同正方体组成的几何体，它的左视图是（）A. B.C. D.答案：A4.下列运算结果正确的是（）A. B. 33()a a-=933a a a ÷=C. D. 23a a a +=22a a a ⋅=答案：C5.如图，，，，则的度数是（ ）DA AB ⊥CD DA ⊥56B ∠=︒C ∠A. B. 154︒144︒C. D. 134︒124︒答案：D6.今年端午小长假复课第一天，学校根据疫情防控要求，对所有进入校园的师生进行体温检测，其中7名学生的体温（单位：）如下：36.5，36.3，36.8，℃36.3，36.5，36.7，36.5，这组数据的众数和中位数分别是（ ）A. 36.3，36.5B. 36.5，36.5C. 36.5，36.3D. 36.3，36.7答案：B7.下列命题是真命题的是（）A. 一个角的补角一定大于这个角B. 平行于同一条直线的两条直线平行C. 等边三角形是中心对称图形D. 旋转改变图形的形状和大小答案：B8.对于一个函数，自变量取时，函数值等于0，则称为这个函数的零点．若x c y c 关于的二次函数有两个不相等的零点，关于的x 210y x x m =--+(0)m ≠1212,()x x x x <x 方程有两个不相等的非零实数根，则下列关系式一定21020x x m +--=3434,()x x x x <正确的是（）A. B. C. D. 1301x x <<131x x >2401x x <<241x x >答案：B二、填空题9.因式分解：_________29a -=答案：(3)(3)a a +-10.函数中，自变量的取值范围是_____．y =x 答案：2x ≥11.不等式组的解集是_______________．3010x x +≥⎧⎨-<⎩答案：31x -≤<12.如图：在中，是斜边上的中线，若，则_________．Rt ABC ∆CD AB 20A ∠=︒BDC ∠=答案：40︒13.在，，1，2，3五个数中随机选取一个数作为二次函数中3-2-242y ax x =+-a的值，则该二次函数图象开口向上的概率是_____________．答案：3514.已知，则代数式的值为___________．221x x +=-5(2)x x ++答案：415.《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x 斗，行酒为y 斗，则可列二元一次方程组为_____．答案：2501030x y x y +=⎧⎨+=⎩16.如图，为半⊙O 的直径，，是半圆上的三等分点，，与半AB M C 8AB =BD ⊙O 相切于点，点为上一动点（不与点，重合），直线交于点B P ¼AM A M PC BD ，于点，延长交于点，则下列结论正确的是D BE OC ⊥E BE PCF ______________．（写出所有正确结论的序号）①；②的长为；③；④；⑤为定PB PD = BC43π45DBE ∠=︒BCF PFB △∽△CF CP ⋅值．答案：②⑤三、解答题17.计算：101(2cos 60(4)2π-+--°答案：．2答案解析：原式．12212=+⨯-211=+-+2=+18.如图，点，在的边，上，，，连接，E F ABCD BC AD 13BE BC =13FD AD =BF ．求证：四边形是平行四边形．DE BEDF答案解析：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC ，∵，，13BE BC =13FD AD =∴BE=FD，∴四边形是平行四边形．BEDF 19.如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象5y x =+ky x=k 0k ≠相交于，两点．(1,)A m -B （1）求反比例函数的表达式；（2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位，使平移后的图象5y x =+y b (0)b >与反比例函数的图象有且只有一个交点，求的值．ky x=b 答案：（1）；（2）b 的值为1或9．4y x=-答案解析：（1）由题意，将点代入一次函数得：(1,)A m -5y x =+154m =-+=(1,4)A -∴将点代入得：，解得则反比例函数的表达式为；(1,4)A -k y x=41k =-4k =-4y x =-（2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位得到的一次函数的解析5y x =+y b 式为5y x b=+-联立54y x by x =+-⎧⎪⎨=-⎪⎩整理得：2(5)40x b x +-+=一次函数的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点 5y x b =+-4y x=-关于x 的一元二次方程只有一个实数根∴2(5)40x b x +-+=此方程的根的判别式，解得∴2(5)440b ∆=--⨯=121,9b b ==则b 的值为1或9．20.我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：（1）本次随机调查的学生人数为 人；（2）补全条形统计图；（3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数；（4）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率．答案：（1）50；（2）见详解；（3）288人；（4）．16答案解析：解：（1）根据题意，本次随机调查的学生人数为：（人）；故答案为：50；1530%50÷=（2）选择编织的人数为：（人），501518962----=补全条形图如下：（3）该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数为：（人）；1880028850⨯=（4）根据题意，“园艺、电工、木工、编织”可分别用字母A ，B ，C ，D 表示，则列表如下：∵共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“园艺、编织”类的有2种结果，∴恰好抽到“园艺、编织”类的概率为：；21126=21.为做好复工复产，某工厂用、两种型号机器人搬运原料，已知型机器人A B A 比型机器人每小时多搬运，且型机器人搬运所用时间与型机器人B 20kg A 1200kg B搬运所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料．1000kg答案：A 型号机器人每小时搬运原料，B 型号机器人每小时搬运原120kg 100kg 料．答案解析：设A 型号机器人每小时搬运原料，则B 型号机器人每小时搬运xkg 原料(20)x kg -由题意得：，解得1200100020x x =-120()x kg =经检验，是所列分式方程的解，则120x =2012020100()x kg -=-=答：A 型号机器人每小时搬运原料，B 型号机器人每小时搬运原料．120kg 100kg 22.共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图，两地向地新建，两条笔直的污水收集管道，现A B C AC BC 测得地在地北偏东方向上，在地北偏西方向上，的距离为，C A 45︒B 68︒AB 7km 求新建管道的总长度．（结果精确到，，，0.1km sin 220.37︒≈cos 220.93︒≈）tan 220.40︒≈ 1.41≈答案：新建管道的总长度约为．8.2km答案解析：如图，过点C 作于点DCD AB ⊥由题意得：，904545,906822CAD CBD ∠=︒-︒=︒∠=︒-︒=︒7AB km =设，则AD xkm =(7)BD x km=-,45CD AB CAD ⊥∠=︒是等腰直角三角形Rt ACD ∴△,CD AD xkm AC ∴====在中，，即Rt BCD tan CD CBD BD∠=tan 227xx =︒-解得7tan 2270.402()1tan 2210.40x km ︒⨯=≈=+︒+经检验，是所列分式方程的解7tan 221tan 22x ︒=+︒，2.82()AC km ∴=≈2CD km=在中，，即Rt BCD sin CD CBD BC∠=2sin 22BC =︒解得225.41()sin 220.37BC km =≈≈︒则 2.82+5.418.238.2()AC BC km +≈=≈答：新建管道的总长度约为．8.2km23.如图1，在矩形中，，动点，分别从点，点同时以ABCD 6,8AB BC ==P Q C A 每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边上沿，的方向运动，,CA AB C A →A B →当点运动到点时，两点同时停止运动，设点运动的时间为，连接Q B ,P Q P ()t s ，过点作，与边相交于点，连接．PQ P PE PQ ⊥PE BC E QE（1）如图2，当时，延长交边于点．求证：；5t s =EP AD F AF CE =（2）在（1）的条件下，试探究线段三者之间的等量关系，并加以证,,AQ QE CE 明；（3）如图3，当时，延长交边于点，连接，若平分，94t s >EP AD F FQ FQ AFP ∠求的值．AFCE 答案：（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3）．222AQ CE QE +=65答案解析：（1）由题意得：155CP =⨯=四边形ABCD 是矩形//,90AD BC BAD B ∴∠=∠=︒，FAP ECP ∴∠=∠AFP CEP∠=∠，，6,8AB BC == 10AC ∴==5AP AC CP ∴=-=在和中，AFP CEP △5FAP ECPAFP CEPAP CP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪==⎩()AFP CEP AAS ∴≅ ；AF CE ∴=（2），证明如下：222AQ CE QE +=如图，连接FQ由（1）已证：AFP CEP≅FP EP∴=，PQ 是线段EF 的垂直平分线，PE PQ ⊥ ∴QF QE∴=在中，由勾股定理得：，则；Rt AFQ 222AQ AF QF +=222AQ CE QE +=（3）如图，设FQ 与AC 的交点为点O由题意得：，，AQ t =CP t =10AP AC CP t=-=-平分， FQ AFP ∠,QA AD PE PQ⊥⊥（角平分线的性质）AQ PQ ∴=是等腰三角形APQ ∴△在和中，，AFQ △PFQ △AQ PQ FQ FQ =⎧⎨=⎩()AFQ PFQ HL ∴≅ ，即是的角平分线AQF PQF ∴∠=∠OQ AQP ∠（等腰三角形的三线合一）110,22t OA OP AP OQ AP -∴===⊥在中，Rt ABC 63cos 105AB BAC AC ∠===在中，，即，解得Rt AOQ cos OA OAQ AQ ∠=1032cos 5t BAC t -=∠=50()11t s =505060,10111111CP AP ∴==-=，即//AD BC //AF CE65AF AP CE CP ∴==故的值为．AF CE 6524.如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点21264:(515F y a x =-+x 和点，与轴交于点．6(,0)5A -B yC （1）求抛物线的表达式；1F （2）如图2，将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛1F 物线，若抛物线与抛物线相交于点，连接，，．2F 1F 2F D BD CD BC ①求点的坐标；D ②判断的形状，并说明理由；BCD （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角2F P BDP △形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．P答案：（1）；（2）①点的坐标；②是等腰直角三254433y x x =-++D (1,1)D -BCD角形，理由见解析；（3）或．(2,2)P --(1,3)P -答案解析：（1）将点代入抛物线的表达式得：6(,0)5A -1F 26264(05515a --+=解得53a =-则抛物线的表达式为1F 22526454()4351533y x x x =--+=-++故抛物线的表达式为；1F 254433y x x =-++（2）①由二次函数的平移规律得：抛物线的表达式为2F 25264(1)33515y x =--++-即222531952:()2351533y x x x F =-++=--+联立，解得225443352233y x x y x x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩11x y =-⎧⎨=⎩则点的坐标为；D (1,1)D -②对于22526454()4351533y x x x =--+=-++当时，，解得或0y =25264(03515x --+=2x =65x =-则点B 的坐标为(2,0)B 当时，，则点C 的坐标为0x =254004433y =-⨯+⨯+=(0,4)C由两点之间的距离公式得：BC ==BD ==CD ==则，BD CD =222BD CD BC +=故是等腰直角三角形；BCD（3）抛物线的表达式为2F 22531952(2351533y x x x =-++=--+设点P 的坐标为(,)P m n 由题意，分以下三种情况：①当时，为等腰直角三角形90,PDB PD BD ∠=︒=BDP △是等腰直角三角形，，BCD 90BDC ∠=︒BD CD=∴PD CD=点D 是CP 的中点∴则，解得012412m n +⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩22m n =-⎧⎨=-⎩即点P 的坐标为(2,2)P --对于抛物线的表达式2F 252233y x x =--+当时，2x =-252(2)2(2)233y =-⨯--⨯-+=-即点在抛物线上，符合题意(2,2)P --2F ②当时，为等腰直角三角形90,PBD PB BD ∠=︒=BDP △，90BDC ∠=︒ BD CD=，//CD PB ∴PB CD=四边形BCDP 是平行四边形∴点C 至点B 的平移方式与点D 至点P 的平移方式相同∴(0,4),(2,0)C B 点C 至点B 的平移方式为先向下平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度∴(1,1),(,)D P m n -121143m n =-+=⎧∴⎨=-=-⎩即点P 的坐标为(1,3)P -对于抛物线的表达式2F 252233y x x =--+当时，1x =252121333y =-⨯-⨯+=-即点在抛物线上，符合题意(1,3)P -2F ③当时，为等腰直角三角形90,BPD PB PD ∠=︒=BDP △则点P 在线段BD 的垂直平分线上设直线BD 的解析式y kx b=+将点代入得：，解得(2,0),(1,1)B D -201k b k b +=⎧⎨-+=⎩1323k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则直线BD 的解析式1233y x =-+设BD 的垂线平分线所在直线的解析式为3y x c =+点的中点的坐标为，即(2,0),(1,1)B D -2101(,)22-+11(,)22将点代入得：，解得11(,)223y x c =+3122c +=1c =-则BD 的垂线平分线所在直线的解析式为31y x =-因此有，即点P 的坐标为31m n -=(,31)P m m -由两点之间的距离公式得：PB==又，为等腰直角三角形BD = BDP△PB BD ∴===解得或0m =1m =当时，，即点P 的坐标为0m =313011m -=⨯-=-(0,1)P -当时，，即点P 的坐标为1m =313112m -=⨯-=(1,2)P 对于抛物线的表达式2F 252233y x x =--+当时，0x =2522020333y =-⨯-⨯+=即点不在抛物线上，不符合题意，舍去(0,1)P -2F 当时，1x =252121333y =-⨯-⨯+=-即点不在抛物线上，不符合题意，舍去(1,2)P 2F 综上，符合条件的点P 的坐标为或．(2,2)P --(1,3)P -。
2019年湖南省岳阳市中考数学试卷以及解析版
2019年湖南省岳阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）1．（3分）2019-的绝对值是( ) A ．2019B ．12019C ．2019-D ．12019-2．（3分）下列运算结果正确的是( ) A ．321x x -=B ．32x x x ÷=C ．326x x x =D ．222()x y x y +=+3．（3分）下列立体图形中，俯视图不是圆的是( )A ．B ．C ．D ．4．（3分）如图，已知BE 平分ABC ∠，且//BE DC ，若50ABC ∠=︒，则C ∠的度数是()A ．20︒B ．25︒C ．30︒D ．50︒5．（3分）在函数y =中，自变量x 的取值范围为( ) A ．2x …B ．2x >-C ．2x -…且0x ≠D ．2x <-且0x ≠6．（3分）甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是2 1.2S =甲，2 1.1S =乙，20.6S =丙，20.9S =丁，则射击成绩最稳定的是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁7．（3分）下列命题是假命题的是( )A ．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形B ．同角（或等角）的余角相等C ．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等D ．正方形的对角线相等，且互相垂直平分8．（3分）对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点．如果二次函数22y x x c =++有两个相异的不动点1x 、2x ，且121x x <<，则c 的取值范围是( ) A ．3c <-B ．2c <-C ．14c <D ．1c <二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）9．（4分）因式分解：ax ay -= ．10．（4分）2018年12月26日，岳阳三荷机场完成首航．至此，岳阳“水陆空铁”四位一体的交通格局全面形成．机场以2020年为目标年，计划旅客年吞吐量为600000人次．数据600000用科学记数法表示为 ．11．（4分）分别写有数字131-、0、π的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是 ．12．（4分）若一个多边形的内角和等于外角和，那么这个多边形的边数是 ． 13．（4分）分式方程121x x =+的解是x = ． 14．（4分）已知32x -=，则代数式2(3)2(3)1x x ---+的值为 ．15．（4分）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺．问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布 尺． 16．（4分）如图，AB 为O 的直径，点P 为AB 延长线上的一点，过点P 作O 的切线PE ，切点为M ，过A 、B 两点分别作PE 的垂线AC 、BD ，垂足分别为C 、D ，连接AM ，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ①AM 平分CAB ∠； ②2AM AC AB =；③若4AB =，30APE ∠=︒，则BM 的长为3π；④若3AC =，1BD =，则有CM DM =三、解答题（本大题共8小题，满分64分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：01201911)2sin30()(1)3--︒++-18．（6分）如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别为AD 、CD 边上的点，DE DF =，求证：12∠=∠．19．（8分）如图，双曲线my x=经过点(2,1)P ，且与直线4(0)y kx k =-<有两个不同的交点． （1）求m 的值． （2）求k 的取值范围．20．（8分）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩． （1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的13，求休闲小广场总面积最多为多少亩？21．（8分）为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．（1）表中m=，n=；（2）请在图中补全频数直方图；（3）甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在分数段内；（4）选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．22．（8分）慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角ACG∠为45︒，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角AEH∠为62.3︒．（点D、B、︒≈F在同一水平线上，参考数据：sin62.30.89︒≈，tan62.3 1.9)︒≈，cos62.30.46（1）求小亮与塔底中心的距离BD；（用含a的式子表示）（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB．23．（10分）操作体验：如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、BC 上，将矩形ABCD 沿直线EF 折叠，使点D 恰好与点B 重合，点C 落在点C '处．点P 为直线EF 上一动点（不与E 、F 重合），过点P 分别作直线BE 、BF 的垂线，垂足分别为点M 和N ，以PM 、PN 为邻边构造平行四边形PMQN ． （1）如图1，求证：BE BF =；（2）特例感知：如图2，若5DE =，2CF =，当点P 在线段EF 上运动时，求平行四边形PMQN 的周长；（3）类比探究：若DE a =，CF b =．①如图3，当点P 在线段EF 的延长线上运动时，试用含a 、b 的式子表示QM 与QN 之间的数量关系，并证明；②如图4，当点P 在线段FE 的延长线上运动时，请直接用含a 、b 的式子表示QM 与QN 之间的数量关系．（不要求写证明过程）24．（10分）如图1，AOB ∆的三个顶点A 、O 、B 分别落在抛物线2117:33F y x x =+的图象上，点A 的横坐标为4-，点B 的纵坐标为2-．（点A 在点B 的左侧） （1）求点A 、B 的坐标；（2）将A O B ∆绕点O 逆时针旋转90︒得到△A OB ''，抛物线22:4F y ax bx =++经过A '、B '两点，已知点M 为抛物线2F 的对称轴上一定点，且点A '恰好在以OM 为直径的圆上，连接OM 、A M '，求△OA M '的面积；（3）如图2，延长OB'交抛物线F于点C，连接A C'，在坐标轴上是否存在点D，使得以2A、O、D为顶点的三角形与△OA C'相似．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．2019年湖南省岳阳市中考数学试卷答案与解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项） 1．（3分）【分析】直接利用绝对值的定义进而得出答案． 【解答】解：2019-的绝对值是：2009． 故选：A ．【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键． 2．（3分）【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、完全平方公式分别分析得出答案．【解答】解：A 、32x x x -=，故此选项错误；B 、32x x x ÷=，正确；C 、325x x x =，故此选项错误；D 、2222()x xy y x y ++=+，故此选项错误；故选：B ．【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3．（3分）【分析】俯视图是从几何体的上面看物体，所得到的图形，分析每个几何体，解答出即可． 【解答】解：A 、圆柱的俯视图是圆；故本项不符合题意；B 、圆锥的俯视图是圆；故本项不符合题意；C 、立方体的俯视图是正方形；故本项符合题意；D 、球的俯视图是圆；故本项不符合题意．故选：C ．【点评】本题主要考查了简单几何体的俯视图，锻炼了学生的空间想象能力． 4．（3分）【分析】直接利用角平分线的定义结合平行线的性质分析得出答案． 【解答】解：BE 平分ABC ∠，50ABC ∠=︒，25ABE EBC ∴∠=∠=︒， //BE DC ， 25EBC C ∴∠=∠=︒．故选：B ．【点评】此题主要考查了平行线的性质，得出25EBC ∠=︒是解题关键． 5．（3分）【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x 的范围．【解答】解：根据题意得：200x x +⎧⎨≠⎩…，解得：2x -…且0x ≠． 故选：C ．【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 6．（3分）【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：2 1.2S =甲，2 1.1S =乙，20.6S =丙，20.9S =丁， 2222S S S S ∴<<<乙丙丁甲，∴射击成绩最稳定的是丙，故选：C ．【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 7．（3分）【分析】由平行四边形的性质得出A 是假命题； 由同角（或等角）的余角相等，得出B 是真命题；由线段垂直平分线的性质和正方形的性质得出C 、D 是真命题，即可得出答案． 【解答】解：A ．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；假命题；B ．同角（或等角）的余角相等；真命题；C ．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；真命题；D ．正方形的对角线相等，且互相垂直平分；真命题；故选：A ．【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 8．（3分）【分析】由函数的不动点概念得出1x 、2x 是方程22x x c x ++=的两个实数根，由121x x <<知140110c c ->⎧⎨++<⎩，解之可得．【解答】解：由题意知二次函数22y x x c =++有两个相异的不动点1x 、2x 是方程22x x c x ++=的两个实数根， 且121x x <<，整理，得：20x x c ++=， 则140110c c ->⎧⎨++<⎩．解得2c <-， 故选：B ．【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于c 的不等式．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）9．（4分）因式分解：ax ay -= ()a x y - ． 【分析】通过提取公因式a 进行因式分解即可． 【解答】解：原式()a x y =-． 故答案是：()a x y -．【点评】本题考查了因式分解-提公因式法：：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．10．（4分）2018年12月26日，岳阳三荷机场完成首航．至此，岳阳“水陆空铁”四位一体的交通格局全面形成．机场以2020年为目标年，计划旅客年吞吐量为600000人次．数据600000用科学记数法表示为 5610⨯ ．【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <…，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数． 【解答】解：将600000用科学记数法表示为：5610⨯． 故答案为：5610⨯．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <…，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．11．（4分）分别写有数字131-、0、π的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是25． 【分析】直接利用无理数的定义结合概率求法得出答案．【解答】解：写有数字13、1-、0、ππ是无理数，∴从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是：25． 故答案为：25． 【点评】此题主要考查了概率公式以及无理数的定义，正确把握相关定义是解题关键． 12．（4分）若一个多边形的内角和等于外角和，那么这个多边形的边数是 4 ． 【分析】设多边形的边数为n ，根据题意得出方程(2)180360n -⨯︒=︒，求出即可． 【解答】解：设多边形的边数为n ， 则(2)180360n -⨯︒=︒， 解得：4n =， 故答案为：4．【点评】本题考查了多边形的内角和和外角和定理，能根据题意列出方程是解此题的关键．13．（4分）分式方程121x x =+的解是x = 1 ． 【分析】观察可得最简公分母为(1)x x +．去分母，转化为整式方程求解．结果要检验．【解答】解：方程两边同乘(1)x x +，得12x x +=，解得1x =．将1x =代入(1)20x x +=≠．所以1x =是原方程的解．【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．14．（4分）已知32x -=，则代数式2(3)2(3)1x x ---+的值为 1 ．【分析】直接利用完全平方公式将原式变形，进而将已知代入求出答案．【解答】解：32x -=，∴代数式22(3)2(3)1(31)x x x ---+=--2(21)=-1=．故答案为：1．【点评】此题主要考查了代数式求值，正确运用公式是解题关键．15．（4分）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺．问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布531 尺． 【分析】直接根据题意表示出5天每天织布的尺数，进而得出方程求出答案．【解答】解：设第一天织布x 尺，则第二天织布2x 尺，第三天织布4x 尺，第四天织布8x 尺，第五天织布16x 尺，根据题意可得：248165x x x x x ++++=， 解得：531x =， 即该女子第一天织布531尺． 故答案为：531．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确表示出5天每天织布的尺数是解题关键．16．（4分）如图，AB 为O 的直径，点P 为AB 延长线上的一点，过点P 作O 的切线PE ，切点为M ，过A 、B 两点分别作PE 的垂线AC 、BD ，垂足分别为C 、D ，连接AM ，则下列结论正确的是 ①②④ ．（写出所有正确结论的序号）①AM 平分CAB ∠；②2AM AC AB =；③若4AB =，30APE ∠=︒，则BM 的长为3π；④若3AC =，1BD =，则有CM DM =【分析】连接OM ，可证//OM AC ，得出CAM AMO ∠=∠，由O A O M =可得O A M A M O ∠=∠，故①正确；证明ACM AMB ∆∆∽，则可得出②正确；求出60MOP ∠=︒，2OB =，则用弧长公式可求出BM 的长为23π，故③错误；由//BD AC 可得13PB PA =，则P B O B O A ==，得出30OPM ∠=︒，则PM =，可得出CM DM DP ==④正确．【解答】解：连接OM ，PE 为O 的切线，OM PC ∴⊥，AC PC ⊥，//OM AC ∴，CAM AMO ∴∠=∠，OA OM =，OAM AMO ∠=∠，CAM OAM ∴∠=∠，即AM 平分CAB ∠，故①正确； AB 为O 的直径，90AMB ∴∠=︒，CAM MAB ∠=∠，ACM AMB ∠=∠，ACM AMB ∴∆∆∽， ∴AC AM AM AB=， 2AM AC AB ∴=，故②正确；30APE ∠=︒，903060MOP OMP APE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，4AB =，2OB ∴=，∴BM 的长为60221803ππ⨯=，故③错误； BD PC ⊥，AC PC ⊥，//BD AC ∴， ∴13PB BD PA AC ==， 13PB PA ∴=， ∴12PB AB =，12BD OM =， PB OB OA ∴==，∴在Rt OMP ∆中，122OM OP ==， 30OPM ∴∠=︒，PM ∴=，CM DM DP ∴===④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查圆知识的综合应用，涉及切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质、弧长公式、含30度直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题．三、解答题（本大题共8小题，满分64分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：01201911)2sin30()(1)3--︒++-【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质和零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式112312=-⨯+-1131=-+-2=．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（6分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE DF=，求证：12∠=∠．【分析】由菱形的性质得出AD CD=，由SAS证明ADF CDE∆≅∆，即可得出结论．【解答】证明：四边形ABCD是菱形，AD CD∴=，在ADF∆和CDE∆中，AD CDD DDF DE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADF CDE SAS∴∆≅∆，12∴∠=∠．【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．19．（8分）如图，双曲线myx=经过点(2,1)P，且与直线4(0)y kx k=-<有两个不同的交点．（1）求m的值．（2）求k 的取值范围．【分析】（1）根据反比例函数系数k 的几何意义即可求得；（2）联立方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，求出方程的根的判别式，进而即可求得k 的取值范围．【解答】解：（1）双曲线m y x=经过点(2,1)P ， 212m ∴=⨯=； （2）双曲线2y x =与直线4(0)y kx k =-<有两个不同的交点， ∴24kx x=-，整理为：2420kx x --=， ∴△2(4)4(2)0k =--->，2k ∴>-，k ∴的取值范围是20k -<<．【点评】本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点问题，解答本题的关键是熟练掌握根的判别式的求法，此题难度不大．20．（8分）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩．（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的13，求休闲小广场总面积最多为多少亩？ 【分析】（1）设改造土地面积是x 亩，则复耕土地面积是(600)x +亩．根据“复耕土地面积+改造土地面积1200=亩”列出方程并解答；（2）设休闲小广场总面积是y 亩，则花卉园总面积是(300)y -亩，根据“休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的13”列出不等式并解答．【解答】解：（1）设改造土地面积是x亩，则复耕土地面积是(600)x+亩，由题意，得(600)1200x x++=解得300x=．则600900x+=．答：改造土地面积是300亩，则复耕土地面积是900亩；（2）设休闲小广场总面积是y亩，则花卉园总面积是(300)y-亩，由题意，得1(300)3y y-…．解得75y…．故休闲小广场总面积最多为75亩．答：休闲小广场总面积最多为75亩．【点评】考查了一元一次不等式的应用和一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．21．（8分）为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．（1）表中m=8，n=；（2）请在图中补全频数直方图；（3）甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在分数段内；（4）选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．【分析】（1）根据频率=频数÷总数求解可得；（2）根据所求结果即可补全图形；（3）根据中位数的概念求解可得；（4）首先根据题意画出树状图，然后由表格即可求得所有等可能的结果与挑选的两位学生恰好是一男一女的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）400.28m=⨯=，14400.35n=÷=，故答案为：8，0.35；（2）补全图形如下：（3）由于40个数据的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在89.5~94.5，∴测他的成绩落在分数段89.5~94.5内，故答案为：89.5~94.5．（4）选手有4人，2名是男生，2名是女生．， 恰好是一名男生和一名女生的概率为82123=． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率、频数分布直方图、扇形统计图以及众数与中位数的定义．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．（8分）慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD 为1.7米，他站在D 处测得塔顶的仰角ACG ∠为45︒，小琴的目高EF 为1.5米，她站在距离塔底中心B 点a 米远的F 处，测得塔顶的仰角AEH ∠为62.3︒．（点D 、B 、F 在同一水平线上，参考数据：sin62.30.89︒≈，cos62.30.46︒≈，tan 62.3 1.9)︒≈（1）求小亮与塔底中心的距离BD ；（用含a 的式子表示）（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB ．【分析】（1）根据正切的定义用a 表示出AH ，根据等腰直角三角形的性质计算；（2）根据题意列方程求出a ，结合图形计算，得到答案．【解答】解：（1）由题意得，四边形CDBG 、HBFE 为矩形，1.7GB CD ∴==， 1.5HB EF ==，0.2GH ∴=，在Rt AHE ∆中，tan AH AEH HE∠=， 则tan 1.9AH HE AEH a =∠≈，1.90.2AG AH GH a ∴=-=-，在Rt ACG ∆中，45ACG ∠=︒，1.90.2CG AG a ∴==-，1.90.2BD a ∴=-，答：小亮与塔底中心的距离(1.90.2)BD a-米；（2）由题意得，1.90.252-+=，a a解得，18a=，则 1.90.234.4=-=，AG a∴=+=，36.1AB AG GB答：慈氏塔的高度AB为36.1米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23．（10分）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD 沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C'处．点P为直线EF上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN 为邻边构造平行四边形PMQN．（1）如图1，求证：BE BF=；（2）特例感知：如图2，若5CF=，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形DE=，2PMQN的周长；（3）类比探究：若DE a=．=，CF b①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系．（不要求写证明过程）【分析】（1）证明BEF BFE∠=∠即可解决问题（也可以利用全等三角形的性质解决问题即可）．（2）如图2中，连接BP，作EH BC⊥于H，则四边形ABHE是矩形．利用面积法证明PM PN EH +=，利用勾股定理求出AB 即可解决问题．（3）①如图3中，连接BP ，作E H B C ⊥于H ．由E B P B F P E B S S S ∆∆∆-=，可得111222BE PM BF PN BF EH -=，由B E B F =，推出PM PN EH -==由此即可解决问题．②如图4，当点P 在线段FE 的延长线上运动时，同法可证：QM QN PN PM -=-=【解答】（1）证明：如图1中，四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，DEF EFB ∴∠=∠，由翻折可知：DEF BEF ∠=∠， BEF EFB ∴∠=∠，BE BF ∴=．（2）解：如图2中，连接BP ，作EH BC ⊥于H ，则四边形ABHE 是矩形，EH AB =．5DE EB BF ===，2CF =， 7AD BC ∴==，2AE =， 在Rt ABE ∆中，90A ∠=︒，5BE =，2AE =，AB ∴=， BEF PBE PBF S S S ∆∆∆=+，PM BE ⊥，PN BF ⊥，∴111222BF EH BE PM BF PN =+， BE BF =，PM PN EH ∴+=，四边形PMQN 是平行四边形，∴四边形PMQN 的周长2()PM PN =+=（3）①证明：如图3中，连接BP ，作EH BC ⊥于H ．ED EB BF a ===，CF b =，AD BC a b ∴==+，AE AD DE b ∴=-=，EH AB ∴==EBP BFP EBF S S S ∆∆∆-=，∴111222BE PM BF PN BF EH -=， BE BF =，PM PN EH ∴-==四边形PMQN 是平行四边形，()QN QM PM PN ∴-=-=②如图4，当点P 在线段FE 的延长线上运动时，同法可证：QM QN PN PM -=-=【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，翻折变换，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，学会利用面积法证明线段之间的关系，属于中考压轴题．24．（10分）如图1，AOB ∆的三个顶点A 、O 、B 分别落在抛物线2117:33F y x x =+的图象上，点A 的横坐标为4-，点B 的纵坐标为2-．（点A 在点B 的左侧）（1）求点A 、B 的坐标；（2）将A O B ∆绕点O 逆时针旋转90︒得到△A OB ''，抛物线22:4F y ax bx =++经过A '、B '两点，已知点M 为抛物线2F 的对称轴上一定点，且点A '恰好在以OM 为直径的圆上，连接OM 、A M '，求△OA M '的面积；（3）如图2，延长OB '交抛物线2F 于点C ，连接A C '，在坐标轴上是否存在点D ，使得以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA C '相似．若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把4x =-代入抛物线1F 解析式求得y 即得到点A 坐标；把2y =-代入抛物线1F 解析式，解方程并判断大于4-的解为点B 横坐标．（2）根据旋转90︒的性质特点可求点A '、B '坐标（过点作x 轴垂线，构造全等得到对应边相等）及OA '的长，用待定系数法求抛物线2F 的解析式，进而求得对称轴．设点M 纵坐标为m ，则能用m 表示A M '、OM 的长度．因为点A '恰好在以OM 为直径的圆上，即OA M '∠为圆周角，等于90︒，故能根据勾股定理列得关于m 的方程，解方程求得m 的值即求得A M'的长，12OA A M ''即求得△OA M '的面积． （3）求直线OB '解析式，与抛物线2F 解析式联立方程组，求解即求得点C 坐标，发现A '与C 纵坐标相同，即//A C x '轴，故135OA C '∠=︒．以A 、O 、D 为顶点的三角形要与△OA C '相似，则AOD ∆必须有一角为135︒．因为点(4,4)A --得直线OA 与x 轴夹角为45︒，所以点D 不能在x 轴或y 轴的负半轴，在x 轴或y 轴的正半轴时，刚好有135AOD ∠=︒．由于AOD ∠的两夹边对应关系不明确，故需分两种情况讨论：AOD ∆∽△OA C '或DOA ∆∽△OA C '．每种情况下由对应边成比例求得OD 的长，即得到点D 坐标．【解答】解：（1）当4x =-时，217(4)(4)433y =⨯-+⨯-=- ∴点A 坐标为(4,4)--当2y =-时，217233x x +=- 解得：11x =-，26x =-点A 在点B 的左侧∴点B 坐标为(1,2)--（2）如图1，过点B 作BE x ⊥轴于点E ，过点B '作B G x '⊥轴于点G90BEO OGB '∴∠=∠=︒，1OE =，2BE =将AOB ∆绕点O 逆时针旋转90︒得到△A OB ''OB OB '∴=，90BOB '∠=︒90BOE B OG BOE OBE '∴∠+∠=∠+∠=︒B OG OBE '∴∠=∠在△B OG '与OBE ∆中OGB BEO B OG OBE B O OB '∠=∠⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩∴△()B OG OBE AAS '≅∆2OG BE ∴==，1B G OE '==点B '在第四象限(2,1)B '∴-同理可求得：(4,4)A '-OA OA '∴===抛物线22:4F y ax bx =++经过点A '、B '∴164444241a b a b ++=-⎧⎨++=-⎩ 解得：143a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴抛物线2F 解析式为：21344y x x =-+ ∴对称轴为直线：36124x -=-=⨯ 点M 在直线6x =上，设(6,)M m2226OM m ∴=+，2222(64)(4)820A M m m m '=-++=++点A '在以OM 为直径的圆上90OA M '∴∠=︒222OA A M OM ''∴+=22282036m m m ∴+++=+解得：2m =-A M '∴=11822OA M S OA A M '''∴==⨯（3）在坐标轴上存在点D ，使得以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA C '相似． (2,1)B '-∴直线OB '解析式为12y x =- 2121344y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ 解得：1121x y =⎧⎨=-⎩（即为点228)4x B y =⎧'⎨=-⎩ (8,4)C ∴-(4,4)A '-//A C x '∴轴，4A C '=135OA C '∴∠=︒45A OC '∴∠<︒，45A CO '∠<︒(4,4)A --，即直线OA 与x 轴夹角为45︒∴当点D 在x 轴负半轴或y 轴负半轴时，45AOD ∠=︒，此时AOD ∆不可能与△OA C '相似 ∴点D 在x 轴正半轴或y 轴正半轴时，135AOD OA C '∠=∠=︒（如图2、图3)①若AOD ∆∽△OA C '，则1OD OA A C OA=='' 4OD A C '∴== (4,0)D ∴或(0,4)②若DOA ∆∽△OA C '，则DO OA OA A C ==''8OD '∴== (8,0)D ∴或(0,8)综上所述，点D 坐标为(4,0)、(8,0)、(0,4)或(0,8)时，以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA C '相似．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程，相似三角形的判定和性质．题目条件较多，图形有点复杂，需要细心根据条件逐步解决问题．第（2）题求点旋转90︒后对应点的坐标，第（3）题相似三角形存在性问题中确定一角对应再分两种情况讨论，属于常考题型。
2019年湖南省岳阳市中考数学试卷-解析版
2019年湖南省岳阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1. −2019的绝对值是( )A. 2019B. −2019C. 12019D. −12019 2. 下列运算结果正确的是( )A. 3x −2x =1B. x 3÷x 2=xC. x 3⋅x 2=x 6D. x 2+y 2=(x +y)23. 下列立体图形中，俯视图不是圆的是( )A. B. C. D.4. 如图，已知BE 平分∠ABC ，且BE//DC ，若∠ABC =50°，则∠C 的度数是( )A. 20°B. 25°C. 30°D. 50°5. 函数y =√x+2x 中，自变量x 的取值范围是( )A. x ≠0B. x >−2C. x >0D. x ≥−2且x ≠06. 甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是S 甲2=1.2，S 乙2=1.1，S 丙2=0.6，S 丁2=0.9，则射击成绩最稳定的是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁7. 下列命题是假命题的是( )A. 平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形B. 同角(或等角)的余角相等C. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等D. 正方形的对角线相等，且互相垂直平分8. 对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点．如果二次函数y =x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1、x 2，且x 1<1<x 2，则c 的取值范围是( )A. c <−3B. c <−2C. c <14D. c <1二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）9. 因式分解：ax −ay =______．10. 2018年12月26日，岳阳三荷机场完成首航．至此，岳阳“水陆空铁”四位一体的交通格局全面形成．机场以2020年为目标年，计划旅客年吞吐量为600000人次．数据600000用科学记数法表示为______．11. 分别写有数字13、√2、−1、0、π的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是 ．12. 若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为______．13. 分式方程1x =2x+1的解为x =______．14. 已知x −3=2，则代数式(x −3)2−2(x −3)+1的值为______．15. 我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺．问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布______尺．16. 如图，AB 为⊙O 的直径，点P 为AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线PE ，切点为M ，过A 、B 两点分别作PE 的垂线AC 、BD ，垂足分别为C 、D ，连接AM ，则下列结论正确的是______.(写出所有正确结论的序号)①AM 平分∠CAB ；②AM 2=AC ⋅AB ；③若AB =4，∠APE =30°，则BM ⏜的长为π3； ④若AC =3，BD =1，则有CM =DM =√3．三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）17. 计算：(√2−1)0−2sin30°+(13)−1+(−1)201918. 如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别为AD 、CD边上的点，DE =DF ，求证：∠1=∠2．19.如图，双曲线y=m经过点P(2,1)，且与直线y=kx−x4(k<0)有两个不同的交点．(1)求m的值．(2)求k的取值范围．20.岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩．(1)求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？(2)该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，，求休闲小广场总面积最多为多少要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的13亩？21.为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩(满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分)分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．分数段频数频率74.5～79.520.0579.5～84.5m0.284.5～89.5120.389.5～94.514n94.5～99.540.1(2)请在图中补全频数直方图；(3)甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在______分数段内；(4)选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．22.慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°.(点D、B、F在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9)(1)求小亮与塔底中心的距离BD；(用含a的式子表示)(2)若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB．23.操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为直线EF上一动点(不与E、F重合)，过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN．(1)如图1，求证：BE=BF；(2)特例感知：如图2，若DE=5，CF=2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；(3)类比探究：若DE=a，CF=b．①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系．(不要求写证明过程)24.如图1，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1：y=13x2+73x的图象上，点A的横坐标为−4，点B的纵坐标为−2.(点A在点B的左侧)(1)求点A、B的坐标；(2)将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A′OB′，抛物线F2：y=ax2+bx+4经过A′、B′两点，已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点，且点A′恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、A′M，求△OA′M的面积；(3)如图2，延长OB′交抛物线F2于点C，连接A′C，在坐标轴上是否存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA′C相似．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：−2019的绝对值是：2019．故选：A ．直接利用绝对值的定义进而得出答案．此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．2.【答案】B【解析】解：A 、3x −2x =x ，故此选项错误；B 、x 3÷x 2=x ，正确；C 、x 3⋅x 2=x 5，故此选项错误；D 、x 2+2xy +y 2=(x +y)2，故此选项错误；故选：B ．直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、完全平方公式分别分析得出答案．此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．3.【答案】C【解析】解：A 、圆柱的俯视图是圆；故本项不符合题意；B 、圆锥的俯视图是圆；故本项不符合题意；C 、立方体的俯视图是正方形；故本项符合题意；D 、球的俯视图是圆；故本项不符合题意．故选：C ．俯视图是从几何体的上面看物体，所得到的图形，分析每个几何体，解答出即可． 本题主要考查了简单几何体的俯视图，锻炼了学生的空间想象能力．4.【答案】B【解析】解：∵BE 平分∠ABC ，∠ABC =50°，∴∠ABE =∠EBC =25°，∵BE//DC ，∴∠EBC =∠C =25°．故选：B ．直接利用角平分线的定义结合平行线的性质分析得出答案．此题主要考查了平行线的性质，得出∠EBC =25°是解题关键．5.【答案】D【解析】解：根据题意得：{x +2≥0x ≠0， 解得：x ≥−2且x ≠0．故选：D ．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x 的范围．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．6.【答案】C【解析】解：∵S 甲2=1.2，S 乙2=1.1，S 丙2=0.6，S 丁2=0.9，∴S 丙2<S 丁2<S 乙2<S 甲2，∴射击成绩最稳定的是丙，故选：C ．根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．7.【答案】A【解析】解：A.平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；假命题；B .同角(或等角)的余角相等；真命题；C .线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；真命题；D .正方形的对角线相等，且互相垂直平分；真命题；故选：A ．由平行四边形的性质得出A 是假命题；由同角(或等角)的余角相等，得出B 是真命题；由线段垂直平分线的性质和正方形的性质得出C 、D 是真命题，即可得出答案．本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．8.【答案】B【解析】解：由题意知二次函数y =x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1、x 2是方程x 2+2x +c =x 的两个实数根，且x 1<1<x 2，整理，得：x 2+x +c =0，则{1−4c >01+1+c <0． 解得c <−2，故选：B ．由函数的不动点概念得出x 1、x 2是方程x 2+2x +c =x 的两个实数根，由x 1<1<x 2知{1−4c >01+1+c <0，解之可得． 本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于c 的不等式．9.【答案】a(x −y)【解析】解：原式=a(x −y)．故答案是：a(x −y)．通过提取公因式a 进行因式分解即可．本题考查了因式分解−提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．10.【答案】6×105【解析】解：将600000用科学记数法表示为：6×105．故答案为：6×105．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．11.【答案】25【解析】【分析】此题主要考查了概率公式以及无理数的定义，正确把握相关定义是解题关键，属于基础题．直接利用无理数的定义结合概率求法得出答案．【解答】、√2、−1、0、π的五张大小和质地均相同的卡片，√2、π是无理数，解：∵写有数字13∴从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是：2．5．故答案为：2512.【答案】4【解析】解：设多边形的边数为n，则(n−2)×180°=360°，解得：n=4，故答案为：4．设多边形的边数为n，根据题意得出方程(n−2)×180°=360°，求出即可．本题考查了多边形的内角和和外角和定理，能根据题意列出方程是解此题的关键．13.【答案】1【解析】解：方程两边同乘x(x+1)，得x+1=2x，解得x=1．将x=1代入x(x+1)=2≠0．所以x=1是原方程的解．观察可得最简公分母为x(x+1).去分母，转化为整式方程求解．结果要检验．(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．(2)解分式方程一定注意要验根．14.【答案】1【解析】解：∵x−3=2，∴代数式(x−3)2−2(x−3)+1=(x−3−1)2=(2−1)2=1．故答案为：1．直接利用完全平方公式将原式变形，进而将已知代入求出答案．此题主要考查了代数式求值，正确运用公式是解题关键．15.【答案】531【解析】解：设第一天织布x尺，则第二天织布2x尺，第三天织布4x尺，第四天织布8x尺，第五天织布16x尺，根据题意可得：x+2x+4x+8x+16x=5，解得：x=531，即该女子第一天织布531尺．故答案为：531．直接根据题意表示出5天每天织布的尺数，进而得出方程求出答案．此题主要考查了一元一次方程的应用，正确表示出5天每天织布的尺数是解题关键．16.【答案】①②④【解析】解：连接OM，∵PE为⊙O的切线，∴OM⊥PC，∵AC⊥PC，∴OM//AC，∴∠CAM=∠AMO，∵OA=OM，∠OAM=∠AMO，∴∠CAM=∠OAM，即AM平分∠CAB，故①正确；∵AB为⊙O的直径，∴∠AMB=90°，∵∠CAM=∠MAB，∠ACM=∠AMB，∴△ACM∽△AMB，∴ACAM =AMAB，∴AM2=AC⋅AB，故②正确；∵∠APE=30°，∴∠MOP =∠OMP −∠APE =90°−30°=60°，∵AB =4，∴OB =2，∴BM ⏜的长为60⋅π×2180=2π3，故③错误；∵BD ⊥PC ，AC ⊥PC ，∴BD//AC ，∴PB PA =BD AC=13， ∴PB =13PA ，∴PB =12AB ，BD =12OM ， ∴PB =OB =OA ，∴在Rt △OMP 中，OM =12OP =2，∴∠OPM =30°，∴PM =2√3，∴CM =DM =DP =√3，故④正确．故答案为：①②④．连接OM ，可证OM//AC ，得出∠CAM =∠AMO ，由OA =OM 可得∠OAM =∠AMO ，故①正确；证明△ACM∽△AMB ，则可得出②正确；求出∠MOP =60°，OB =2，则用弧长公式可求出BM ⏜的长为2π3，故③错误；由BD//AC 可得PB =13PA ，则PB =OB =OA ，得出∠OPM =30°，则PM =2√3，可得出CM =DM =DP =√3，故④正确．本题考查圆知识的综合应用，涉及切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质、弧长公式、含30度直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题． 17.【答案】解：原式=1−2×12+3−1=1−1+3−1=2．【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质和零指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18.【答案】证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD =CD ，在△ADF 和△CDE 中，{AD =CD ∠D =∠D DF =DE ，∴△ADF≌△CDE(SAS)，∴∠1=∠2．【解析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．由菱形的性质得出AD =CD ，由SAS 证明△ADF≌△CDE ，即可得出结论．19.【答案】解：(1)∵双曲线y=m经过点P(2,1)，x∴m=2×1=2；(2)∵双曲线y=2与直线y=kx−4(k<0)有两个不同的交点，x=kx−4，整理为：kx2−4x−2=0，∴2x∴△=(−4)2−4k⋅(−2)>0，∴k>−2，∴k的取值范围是−2<k<0．【解析】(1)根据反比例函数系数k的几何意义即可求得；(2)联立方程，消去y得到关于x的一元二次方程，求出方程的根的判别式，进而即可求得k的取值范围．本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点问题，解答本题的关键是熟练掌握根的判别式的求法，此题难度不大．20.【答案】解：(1)设改造土地面积是x亩，则复耕土地面积是(600+x)亩，由题意，得x+(600+x)=1200解得x=300．则600+x=900．答：改造土地面积是300亩，则复耕土地面积是900亩；(2)设休闲小广场总面积是y亩，则花卉园总面积是(300−y)亩，(300−y)．由题意，得y≤13解得y≤75．故休闲小广场总面积最多为75亩．答：休闲小广场总面积最多为75亩．【解析】(1)设改造土地面积是x亩，则复耕土地面积是(600+x)亩．根据“复耕土地面积+改造土地面积=1200亩”列出方程并解答；(2)设休闲小广场总面积是y亩，则花卉园总面积是(300−y)亩，根据“休闲小广场总”列出不等式并解答．面积不超过花卉园总面积的13考查了一元一次不等式的应用和一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．21.【答案】(1)8，0.35；(2)补全图形如下：(3)84.5～89.5；(4)选手有4人，2名是男生，2名是女生．，恰好是一名男生和一名女生的概率为812=23．【解析】【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率、频数分布直方图、扇形统计图以及众数与中位数的定义．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．(1)根据频率=频数÷总数求解可得；(2)根据所求结果即可补全图形；(3)根据中位数的概念求解可得；(4)首先根据题意画出树状图，求得所有等可能的结果与挑选的两位学生恰好是一男一女的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：(1)m=40×0.2=8，n=14÷40=0.35，故答案为：8，0.35；(2)见答案；(3)由于40个数据的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在84.5～89.5，∴测他的成绩落在分数段84.5～89.5内，故答案为：84.5～89.5；(4)见答案．22.【答案】解：(1)由题意得，四边形CDBG、HBFE为矩形，∴GB=CD=1.7，HB=EF=1.5，∴GH=0.2，在Rt△AHE中，tan∠AEH=AHHE，则AH=HE⋅tan∠AEH≈1.9a，∴AG=AH−GH=1.9a−0.2，在Rt△ACG中，∠ACG=45°，∴CG=AG=1.9a−0.2，∴BD=1.9a−0.2，答：小亮与塔底中心的距离BD(1.9a−0.2)米；(2)由题意得，1.9a−0.2+a=52，解得，a=18，则AG=1.9a−0.2=34，∴AB=AG+GB=35.7，答：慈氏塔的高度AB为35.7米．【解析】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．(1)根据正切的定义用a表示出AH，根据等腰直角三角形的性质计算；(2)根据题意列方程求出a，结合图形计算，得到答案．23.【答案】(1)证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∠DEF=∠EFB，由翻折可知：∠DEF=∠BEF，∴∠BEF=∠EFB，∴BE=BF．(2)解：如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，EH=AB．∵DE=EB=BF=5，CF=2，∴AD=BC=7，AE=2，在Rt△ABE中，∵∠A=90°，BE=5，AE=2，∴AB=√52−22=√21，∵S△BEF=S△PBE+S△PBF，PM⊥BE，PN⊥BF，∴12⋅BF⋅EH=12⋅BE⋅PM+12⋅BF⋅PN，∵BE=BF，∴PM+PN=EH=√21，∵四边形PMQN是平行四边形，∴四边形PMQN的周长=2(PM+PN)=2√21．(3)①证明：如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H．∵ED=EB=BF=a，CF=b，∴AD=BC=a+b，∴AE=AD−DE=b，∴EH=AB=√a2−b2，∵S△EBP−S△BFP=S△EBF，∴12BE⋅PM−12⋅BF⋅PN=12⋅BF⋅EH，∵BE=BF，∴PM−PN=EH=√a2−b2，∵四边形PMQN是平行四边形，∴QN−QM=(PM−PN)=√a2−b2．②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM−QN=PN−PM=√a2−b2．【解析】(1)证明∠BEF=∠BFE即可解决问题(也可以利用全等三角形的性质解决问题即可)．(2)如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形．利用面积法证明PM+ PN=EH，利用勾股定理求出AB即可解决问题．(3)①如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H.由S△EBP−S△BFP=S△EBF，可得12BE⋅PM−1 2⋅BF⋅PN=12⋅BF⋅EH，由BE=BF，推出PM−PN=EH=√a2−b2，由此即可解决问题．②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM−QN=PN−PM=√a2−b2．本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，翻折变换，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，学会利用面积法证明线段之间的关系，属于中考压轴题．24.【答案】解：(1)当x=−4时，y=13×(−4)2+73×(−4)=−4∴点A坐标为(−4,−4)当y=−2时，13x2+73x=−2解得：x1=−1，x2=−6∵点A在点B的左侧∴点B坐标为(−1,−2)(2)如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B′作B′G⊥x轴于点G ∴∠BEO=∠OGB′=90°，OE=1，BE=2∵将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到△A′OB′∴OB =OB′，∠BOB′=90°∴∠BOE +∠B′OG =∠BOE +∠OBE =90°∴∠B′OG =∠OBE在△B′OG 与△OBE 中{∠OGB′=∠BEO ∠B′OG =∠OBE B′O =OB∴△B′OG≌△OBE(AAS)∴OG =BE =2，B′G =OE =1∵点B′在第四象限∴B′(2,−1)同理可求得：A′(4,−4)∴OA =OA′=√42+42=4√2 ∵抛物线F 2：y =ax 2+bx +4经过点A′、B′∴{16a +4b +4=−44a +2b +4=−1 解得：{a =14b =−3∴抛物线F 2解析式为：y =14x 2−3x +4∴对称轴为直线：x =−−32×14=6 ∵点M 在直线x =6上，设M(6,m)∴OM 2=62+m 2，A′M 2=(6−4)2+(m +4)2=m 2+8m +20∵点A′在以OM 为直径的圆上∴∠OA′M =90°∴OA′2+A′M 2=OM 2∴(4√2)2+m 2+8m +20=36+m 2解得：m =−2∴A′M =√m 2+8m +20=√4−16+20=2√2∴S △OA′M =12OA′⋅A′M =12×4√2×2√2=8(3)在坐标轴上存在点D ，使得以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA′C 相似．∵B′(2,−1)∴直线OB′解析式为y =−12x{y =−12x y =14x 2−3x +4 解得：{x 1=2y 1=−1(即为点B′){x 2=8y 2=−4 ∴C(8,−4)∵A′(4,−4)∴A′C//x 轴，A′C =4∴∠OA′C =135°∴∠A′OC <45°，∠A′CO <45°∵A(−4,−4)，即直线OA 与x 轴夹角为45°∴当点D 在x 轴负半轴或y 轴负半轴时，∠AOD =45°，此时△AOD 不可能与△OA′C 相似 ∴点D 在x 轴正半轴或y 轴正半轴时，∠AOD =∠OA′C =135°(如图2、图3)①若△AOD∽△OA′C，则ODA′C =OAOA′=1∴OD=A′C=4∴D(4,0)或(0,4)②若△DOA∽△OA′C，则DOOA′=OAA′C=4√24=√2∴OD=√2OA′=8∴D(8,0)或(0,8)综上所述，点D坐标为(4,0)、(8,0)、(0,4)或(0,8)时，以A、O、D为顶点的三角形与△OA′C 相似．【解析】(1)把x=−4代入抛物线F1解析式求得y即得到点A坐标；把y=−2代入抛物线F1解析式，解方程并判断大于−4的解为点B横坐标．(2)根据旋转90°的性质特点可求点A′、B′坐标(过点作x轴垂线，构造全等得到对应边相等)及OA′的长，用待定系数法求抛物线F2的解析式，进而求得对称轴．设点M纵坐标为m，则能用m表示A′M、OM的长度．因为点A′恰好在以OM为直径的圆上，即∠OA′M 为圆周角，等于90°，故能根据勾股定理列得关于m的方程，解方程求得m的值即求得A′M的长，12OA′⋅A′M即求得△OA′M的面积．(3)求直线OB′解析式，与抛物线F2解析式联立方程组，求解即求得点C坐标，发现A′与C纵坐标相同，即A′C//x轴，故∠OA′C=135°.以A、O、D为顶点的三角形要与△OA′C 相似，则△AOD必须有一角为135°.因为点A(−4,−4)得直线OA与x轴夹角为45°，所以点D不能在x轴或y轴的负半轴，在x轴或y轴的正半轴时，刚好有∠AOD=135°.由于∠AOD的两夹边对应关系不明确，故需分两种情况讨论：△AOD∽△OA′C或△DOA∽△OA′C.每种情况下由对应边成比例求得OD的长，即得到点D坐标．本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程，相似三角形的判定和性质．题目条件较多，图形有点复杂，需要细心根据条件逐步解决问题．第(2)题求点旋转90°后对应点的坐标，第(3)题相似三角形存在性问题中确定一角对应再分两种情况讨论，属于常考题型．。
2019年湖南岳阳中考数学试题含详解
2019年湖南省岳阳市中考数学试卷考试时间：90分钟满分：120分{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，合计24分．{题目}1．（2019年岳阳T1）－2019的绝对值是（）A．2019 B．－2019 C．12019D．12019{答案}A{}本题考查了绝对值，根据一个负数的绝对值等于它的相反数，得：|－2019|＝2019，，因此本题选A．{分值}3{章节:[1-1-2-4]绝对值}{考点:绝对值的性质}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}2．（2019年岳阳T2）下列运算结果正确的是（）A．3x－2x＝1 B．x3÷x2＝x C．x3·x2＝x6 D．x2＋y2＝(x＋y)2{答案}B{}本题考查了整式的运算，选项A：3x－2x＝x；选项B正确；选项C ：x3·x2＝x5；选项D：x2＋y2＝(x＋y)2－2xy，因此本题选B．{分值}3{章节:[1-14-2]乘法公式}{考点:合并同类项}{考点:整式加减}{考点:同底数幂的除法}{考点:同底数幂的乘法}{考点:完全平方公式}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}3．（2019年岳阳T3）下列立体图形中，俯视图不是圆的是（）A．B． C． D．{答案}C{}本题考查了立体图形的三视图，正方体的俯视图与正方形，其它三个的俯视图都是圆，因此本题选C．{分值}3{章节:[1-29-2]三视图}{考点:简单几何体的三视图}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}4．（2019年岳阳T4）如图，已知BE平分∠ABC，且BE∥DC，若∠ABC＝50°，则∠C的度数是（）A ．20ºB ．25ºC ．30ºD ．50º{答案}B {}本题考查了平行线的性质，∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBC ＝12∠ABC ＝12×50º＝25º．∵BE ∥DC ，∴∠C ＝∠EBC ＝25º．，因此本题选B ．{分值}3{章节:[1-5-3]平行线的性质}{考点:两直线平行内错角相等}{考点:角平分线的定义}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}5．（2019年岳阳T5）函数y =x 的取值范围是（ ） A ．x ≠0 B ．x ≥－2 C ．x ＞0 D ．x ≥－2且x ≠0{答案}D{}本题考查了函数自变量的取值范围，由题意可知：x ＋2≥0，解得x ≥－2，又因为x 为分母，故x ≠0，所以x ≥－2且x ≠0，因此本题选D ．{分值}3{章节:[1-19-1-1]变量与函数}{考点:函数自变量的取值范围}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}6．（2019年岳阳T6）甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是2 1.2S =甲，2 1.1S =乙，20.6S =丙，20.9S =丁则射击成绩最稳定的是（ ）A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁{答案}C{}本题考查了方差，根据方差越小越稳定可知丙的方差最小，故丙的射击成绩最稳定，因此本题选C ．{分值}3{章节:[1-20-2-1]方差}{考点:方差}{考点:方差的性质}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}7．（2019年岳阳T7）下列命题是假命题．．．的是（ ） A ．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形B ．同角（或等角）的余角相等C ．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等D ．正方形的对角线相等，且互相垂直平分{答案}A{}本题考查了真假命题的判断，因为平行四边形一定是中心对称图形，但不一定是轴对称图形，选项A 是假命题，因此本题选A ．{分值}3{章节:[1-5-4] 命题、定理、证明}{考点:命题}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}8．（2019年岳阳T8）对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点．如果二次函数y ＝x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，则c 的取值范围是（ ）A ．c ＜－3B ．c ＜－2C ．14c <D ．c ＜1{答案}B{}本题考查了二次函数与一元二次方程，当y ＝x 时，x ＝x 2+2x +c ，即为x 2+x +c ＝0，由题意可知：x 1、x 2是该方程的两个实数根，所以：12121x x x x c+=-⎧⎨⋅=⎩ ∵x 1＜1＜x 2，∴（x 1－1）（x 2－1）＜0即x 1x 2－(x 1＋x 2) ＋1＜0∴c －(－1) ＋1＜0∴c ＜－2又知方程有两个不相等的实数根，故Δ＞0即12－4c ＞0，解得：c ＜14∴c 的取值范围为c ＜－2 ，因此本题选B ．{分值}3{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程}{考点:抛物线与一元二次方程的关系}{考点:抛物线与不等式（组）}{考点:代数选择压轴}{类别:高度原创}{类别:易错题}{类别:新定义}{难度:4-较高难度}{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，合计32分．{题目}9．（2019年岳阳T9）因式分解：ax －ay ＝ ．{答案}a (x －y ){}本题考查了多项式的因式分解，提公因式a ，得ax －ay ＝a (x －y )，因此本题答案为a (x －y )． {分值}4{章节:[1-14-3]因式分解}{考点:因式分解－提公因式法}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}10．（2019年岳阳T10）2018年12月26日，岳阳三荷机场完成首航．至此，岳阳 “水陆空铁”四位一体的交通格局全面形成．机场以2020年为目标年，计划旅客年吞吐量为，600000人次．数据600000用科学记数法表示为 ．{答案}6×105{}本题考查了用科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同． 600000＝6×105，因此本题答案为6×105．{分值}4{章节:[1-1-5-2]科学计数法}{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}11．（2019年岳阳T11）分别写有数字131，0，π的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是 .{答案}25{}π是无理数，故从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是25，因此本题答案为25． {分值}4{章节:[1-25-1-2]概率}{考点:一步事件的概率}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}12．（2019年岳阳T12）若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为 .{答案}4{}本题考查了多边形的内角和与外角和，设这个多边形的边数为n ，根据题意得：(n －2) ·180º＝360º，解得：n ＝4．所以这个多边形的边数为4，因此本题答案为4．{分值}4{章节:[1-11-3]多边形及其内角和}{考点:多边形的内角和}{考点:多边形的外角和}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}13．（2019年岳阳T13）分式方程121x x =+的解为x ＝ .{答案}1{}本题考查了分式方程的解法，去分母，得：x+1＝2x ，解得x ＝1，经检验x ＝1是原方程的解，因此本题答案为1．{分值}4{章节:[1-15-3]分式方程}{考点:解含两个分式的分式方程}{类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}14．（2019年岳阳T14）已知x－3＝2，则代数式(x－3)2－2(x－3) ＋1的值为．{答案}1{}本题考查了求代数式的值，把“x－3＝2”整体代入，可得22－2×2＋1＝1，因此本题答案为1．{分值}4{章节:[1-2-1]整式}{考点:代数式求值}{类别:思想方法}{类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}15．（2019年岳阳T15）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺，问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布尺．{答案}5 31{}本题考查了一元一次方程的应用，设该女子第一天织布x尺，根据题意得：x＋2x＋4x＋8x＋16x＝5，解得：531x=，所以，该女子第一天织布531尺.因此本题答案为531．{分值}4{章节:[1-3-3]实际问题与一元一次方程}{考点:一元一次方程的应用（其他问题）}{类别:数学文化}{类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}16．（2019年岳阳T16）如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O 的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①AM平分∠CAB；②AM2＝AC·AB；③若AB＝4，∠APE＝30°，则¼BM的长为3π；④若AC＝3，BD＝1，则有CM＝DM{答案}①②④{}本题考查了圆的基本性质，切线的性质，弧长计算，相似三角形的判定和性质，连接OM ，BM∵PE 是⊙O 的切线，∴OM ⊥PE ．∵AC ⊥PE ，∴AC ∥OM ．∴∠CAM ＝∠AMO ．∵OA ＝OM ，∴∠AMO ＝∠MAO ．∴∠CAM ＝∠MAO ．∴AM 平分∠CAB ．选项①正确；∵AB 为直径，∴∠AMB ＝90º＝∠ACM ．∵∠CAM ＝∠MAO ，∴△AMC ∽△ABM ． ∴AC AM AM AB=． ∴AM 2＝AC ·AB ．选项②正确；∵∠P ＝30°，∴∠MOP ＝60°．∵AB ＝4，∴半径r ＝2．∴¼60221803BM l ππ⨯==．选项③错误； ∵BD ∥OM ∥AC ，OA ＝OB ，∴CM ＝MD ．∵∠CAM ＋∠AMC ＝90°，∠AMC ＋∠BMD ＝90°，∴∠CAM ＝∠BMD ．∵∠ACM ＝∠BDM ＝90°，∴△ACM ∽△MDB ． ∴AC CM DM BD=． ∴CM ·DM ＝3×1＝3．∴CM ＝DM ．选项④正确；综上所述，结论正确的有①②④，因此本题答案为①②④．{分值}4{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}{考点:切线的性质}{考点:弧长的计算}{考点:相似三角形的判定（两角相等）}{考点:几何填空压轴}{类别:常考题}{难度:4-较高难度}{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共8小题，合计64分．{题目}17．（2019年岳阳T17）计算：01201911)2sin 30()(1)3--︒++-{}本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握任何不等于0的数的零次方都等于1，特殊角的三角比，负指数幂的意义．{答案}解：01201911)2sin 30()(1)3--︒++-1123(1)22=-⨯++-= {分值}6{章节:[1-28-3]锐角三角函数}{难度:2-简单}{类别:常考题}{考点:特殊角的三角函数值}{考点:零次幂}{考点:负指数参与的运算}{题目}18．（2019年岳阳T18）如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别为AD 、CD 边上的点，DE ＝DF ．求证：∠1＝∠2．{}本题考查了菱形的性质及全等三角形判定和性质，根据菱形的性质得AD ＝CD ，运用“SAS ”证明△ADF ≌△CDE 即可．{答案}解：∵四边形ABCD 为菱形，∴AD ＝CD ．∵∠D ＝∠D ，DE ＝DF ，∴△ADF ≌△CDE ．∴∠1＝∠2．{分值}6{章节:[1-18-2-2]菱形}{难度:2-简单}{类别:常考题}{考点:菱形的性质}{考点:全等三角形的判定SAS}{考点:全等三角形的性质}{题目}19．（2019年岳阳T19）如图，双曲线m y x=经过点P （2，1），且与直线y ＝kx －4（k ＜0）有两个不同的交点．（1）求m 的值；（2）求k 的取值范围．{}本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，（1）把点P 的坐标代入反比例函数式可求出m ；（2）联立两个函数关系式，得到一个关于x 的一元二次方程，根据有两个不同的交点，令Δ＞0即可求出k 的取值范围．{答案}解： （1）把点P （2，1）代入反比例函数m y x=，得： 12m =，m ＝2； （2）由（1）可知反比例函数式为2y x =， ∴24kx x=-， 整理得：2420kx x --=， ∵双曲线与直线有两个不同的交点，∴△＞0．即：2(4)4(2)0k --⨯->．解得：k ＞－2．又∵k ＜0，∴k 的取值范围为－2＜k ＜0．{分值}8{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}{难度:3-中等难度}{类别:常考题}{考点:反比例函数的式}{考点:反比例函数与一次函数的综合}{考点:其他反比例函数综合题}{题目}20．（2019年岳阳T20）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩．（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的13，求休闲小广场总面积最多为多少亩？{}本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，（1）设复耕土地面积为x 亩，改造土地面积为y 亩，根据“总共1200亩”和“复耕面积比改造面积多600亩”列方程组求解；（2）设休闲小广场的面积为m 亩，则花卉园的面积为（300－m ）亩，根据“休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的13”列不等式求解． {答案}解： （1）设复耕土地面积为x 亩，改造土地面积为y 亩，根据题意，得：1200600x y x y +=⎧⎨-=⎩解得：900300x y =⎧⎨=⎩ 答：复耕土地面积为900亩，改造土地面积为300亩．（2）设休闲小广场的面积为m 亩，则花卉园的面积为（300－m ）亩，根据题意，得：1(300)3m m ≤- 解得：m ≤75答：休闲小广场总面积最多为75亩．{分值}8{章节:[1-9-2]一元一次不等式}{难度:3-中等难度}{类别:常考题}{考点:一元一次不等式的应用}{考点:二元一次方程组的应用}{题目}21．（2019年岳阳T21）为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩（满分100分，得分为正整数且无满分，最低75分）分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．（1）表中m ＝ ，n ＝ ．（2）请在图中补全频数直方图；（3）甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在 分数段内；（4）选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．{}本题考查了统计图表与概率的计算．（1）根据选手总数40和频率、频数求m ，n 的值；（2）根据m 的值补全图形即可；（3）确定40名选手最中间两名的位置，即可确定中位数的分数段；（4）列举出所有等可能的结果，从中找出一男一女的个数计算概率或先画出树状图，再求概率．{答案}解：（1）m＝40×0.2＝8，n＝14÷40＝0.35（2）补全频数直方图如下：（3）成绩从小到大排序后，第20名和第21名同学的成绩都落在84.5~89.5之间，故甲的成绩落在84.5~89.5分数段内．（4）成绩在94.5分以上的选手共有4名，故男生两名、女生两名列举如下：（男1，男2）、（男1，女1）、（男1，女2）、（男2，女1）、（男2，女2）、（女1，女2）共6种可能，恰好一名男生和一名女生的有4种情况，所以P（一男一女）＝42 63 =．或列树状图如下：由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好选中1男1女的结果共有8种，故P＝82. 123={分值}8{章节:[1-25-2]用列举法求概率}{难度:3-中等难度}{类别:常考题}{考点:两步事件不放回}{考点:中位数}{考点:频数（率）分布表}{考点:频数（率）分布直方图}{考点:统计表}{题目}22．（2019年岳阳T22）慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF 为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°．（点D、B、F 在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9）（1）求小亮与塔底中心的距离BD；（用含a的式子表示）（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB．{}本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题．（1）先解Rt△AEH求出AH长度，从而求出AG的长度，再Rt△ACG求出AG的长度即为BD的长度；（2）根据DF的长度求出a的值，根据AB＝AH+HB代入求塔高．{答案}解：（1）在Rt△AEH中，∠AEH＝62.3°，tan62.3AH EH︒=．∴AH＝EH·tan62.3°＝BF·tan62.3°＝1.9a．∵GH＝GB－HB＝CD－EF＝1.7－1.5＝0.2，∴AG＝AH－GH＝1.9a－0.2．在Rt△ACG中，∵∠ACG＝45°，∴CG＝AG＝1.9a－0.2．∴BD＝CG＝1.9a－0.2．所以小亮与塔底中心的距离BD为（1.9a－0.2）米．（2）∵DF＝BD+BF，∴1.9a－0.2＋a＝52．解得：a＝18∴AB＝AH＋BH＝1.9a＋1.5＝1.9×18＋1.5＝35.7（米）．所以慈氏塔的高度AB为35.7米．{分值}8{章节:[1-28-2-2]非特殊角}{难度:3-中等难度}{类别:常考题}{考点:解直角三角形的应用－仰角}{题目}23．（2019年岳阳T23）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为直线EF上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和点N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN．（1）如图1，求证：BE＝BF；（2）特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；（3）类比探究：若DE＝a，CF＝b．①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系．（不要求写证明过程）{}本题考查了矩形的折叠及角平分线的性质．（1）由两直线平行内错角相等和折叠对应角相等，得到∠BFE＝∠BEF，从而结论可得；（2）延长NP交AD于点G，根据角平分线的性质可得PG＝PM，从而□PNQM的周长转化为矩形宽的2倍，在Rt△ABE中利用勾股定理求出AB，则问题解决．（3）①延长PN交AD于点H，运用角平分线性质得到PM－PN＝HN＝AB，运用勾股定理求出AB结合平行四边形的性质，结论可得；②方法与①完全相同，只不过本题变为了PN－PM＝AB，故结论QM与QN的位置互换．{答案}解：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE．由折叠可知：∠BEF＝∠DEF∴∠BFE＝∠BEF．∴BE＝BF．（2）延长NP交AD于点G．由折叠可知：BE＝DE＝5，∵BF＝BE，∴BF＝DE．∵AD＝BC，∴AE＝CF＝2．在Rt△ABE中，AB=．∵AB∥CD，PN⊥BC，∴PN⊥AD．即PG⊥AD．∵∠BEF＝∠DEF，PM⊥BE，∴PM＝PG．∴PM＋PN＝NG＝AB．□PNQM 的周长＝2（PM ＋PN ）＝2AB ＝（3）①QN －QM ．证明：延长PN 交AD 于点H ．由（2）可知BE ＝DE ＝a ，AE ＝CF ＝b ，∴AB∵∠BEP ＝∠DEP ，PM ⊥BE ，PH ⊥AD ，∴PM ＝PH ．∴PM －PN ＝HN ＝AB∵四边形PNQM 是平行四边形，∴QM ＝PN ，QN ＝PM ．∴QN －QM ．②QM －QN ．{分值}10{章节:[1-18-2-1]矩形}{难度:4-较高难度}{类别:高度原创}{类别:发现探究}{考点:等角对等边}{考点:角平分线的性质}{考点:平行四边形边的性质}{考点:矩形的性质}{考点:轴对称的性质}{考点:几何综合}{题目}24．（2019年岳阳T24）如图1，△AOB 的三个顶点A 、O 、B 分别落在抛物线F 1：21733y x x =+的图象上，点A 的横坐标为－4，点B 的纵坐标为－2．（点A 在点B 的左侧） （1）求点A 、B 的坐标；（2）将△AOB 绕点O 逆时针转90°得到△A ′OB ′，抛物线F 2：24y ax bx =++经过A ′、B ′两点，已知点M 为抛物线F 2的对称轴上一定点，且点A ′恰好在以OM 为直径的圆上，连接OM 、A ′M ，求△OA ′M 的面积；（3）如图2，延长OB ′交抛物线F 2于点C ，连接A ′C ，在坐标轴上是否存在点D ，使得以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA ′C 相似．若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．{}本题考查了二次函数与几何图形的综合运用．（1）分别将A 点横坐标和B 点纵坐标代入抛物线F 1可得；（2）通过A ′、B ′的坐标求出抛物线F 2的函数关系式，根据点M 在对称轴上求出点M 的横坐标；延长A ′M 交x 轴于点N ，则△A ′MN 为等腰直角三角形，求出N 点坐标，进一步求出直线A ′N 的式，得到点M 的坐标，最后利用S A ′OM ＝ S A ′′ON －S OMN 求解．（3）根据点在直线OB ′和抛物线F 2上求出点C 的坐标，得到A ′C 的长度及∠OA ′C 的度数，根据两边成比例并且夹角相等证明三角形相似，分两种情况讨论求点D 的坐标．{答案}解： （1）将x ＝－4代入21733y x x =+，得：217(4)(4)433y =⨯-+⨯-=-， ∴A （－4，－4）．将y ＝－2代入21733y x x =+，得：217233x x +=-， 解得：x 1＝－1，x 2＝－6∵点A 在点B 的左侧，∴B （－1，－2）·（2）由旋转可知：A ′（4，－4），B ′（2，－1）代入抛物线24y ax bx =++，得：164444241a b a b ++=⎧⎨++=-⎩ 解得：143a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴抛物线F 2：21344y x x =-+． 对称轴为：36124x -=-=⨯ 延长A ′M 交x 轴于点N ，∵点A′恰好在以OM为直径的圆上，∴∠OA′M＝90°．∵A′（4，－4），∴∠A′ON＝45º．∴△A′ON为等腰直角三角形．∴ON＝4×2＝8．∴N（8，0）设直线A′N：y＝mx＋n则44 80 m nm n+=-⎧⎨+=⎩解得：18 mn=⎧⎨=-⎩∴y＝x－8．当x＝6时，y＝－2．∴M（6，－2）∴S A′OM＝S A′′ON－S OMN＝118482 22⨯⨯-⨯⨯＝8．所以，△OA′M的面积为8．（3）设直线OB′式为：y＝kx，代入B′（2，－1），得：2k＝－112k=-．设直线OB′式为：12y x =-．解方程组：2134412y x xy x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：112 1x y =⎧⎨=-⎩，2284xy=⎧⎨=-⎩∵B′（2，－1）∴C （8，－4）．∵A （4，－4），∴A ′C ∥x 轴，A ′C ＝8－4＝4，∴∠OA ′C ＝135º．若以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA ′C 相似则△AOD 必有一个钝角135°，故点O 与点A ′是对应顶点．所以点D 在x 轴或y 轴正半轴上．OA ＝OA ′=．①若△AOD ∽△OA ′C ，则''OA ODA O A C =∴OD ＝A ′C ＝4．此时点D 的坐标为（4，0）或（0，4）．②若△AOD ∽△CA ′O ，则'C 'OAODA A O =4=∴OD ＝8．此时点D 的坐标为（8，0）或（0，8）．由①②可知，坐标轴上存在点D ，其坐标分别为（4，0）、（0，4）、（8，0）或（0，8）．{分值}10{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}{难度:5-高难度}{类别:思想方法}{类别:高度原创}{类别:发现探究}{考点:二次函数中讨论相似}{考点:其他二次函数综合题}{考点:坐标系内的旋转}{考点:代数综合}。
2019年岳阳市中考数学试卷(解析版)
2019年岳阳市中考数学试卷（解析版）一、选择题（每小题3分，满分24分）1．（3分）﹣2019的绝对值是（）A．2019 B．﹣2019 C．D．﹣2．（3分）下列运算结果正确的是（）A．3x﹣2x＝1 B．x3÷x2＝x C．x3•x2＝x6 D．x2+y2＝（x+y）23．（3分）下列立体图形中，俯视图不是圆的是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，已知BE平分∠ABC，且BE∥DC，若∠ABC＝50°，则∠C的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．50°5．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≠0 B．x＞﹣2 C．x＞0 D．x≥﹣2且x≠06．（3分）甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是S甲2＝1.2，S乙2＝1.1，S丙2＝0.6，S丁2＝0.9，则射击成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁7．（3分）下列命题是假命题的是（）A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形B．同角（或等角）的余角相等C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分8．（3分）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（）A．c＜﹣3 B．c＜﹣2 C．c＜D．c＜1二、填空题（每小题4分，满分32分）9．（4分）因式分解：ax﹣ay＝．10．（4分）2018年12月26日，岳阳三荷机场完成首航．至此，岳阳“水陆空铁”四位一体的交通格局全面形成．机场以2020年为目标年，计划旅客年吞吐量为600000人次．数据600000用科学记数法表示为．11．（4分）分别写有数字、、﹣1、0、π的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是．12．（4分）若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为．13．（4分）分式方程的解为x＝．14．（4分）已知x﹣3＝2，则代数式（x﹣3）2﹣2（x﹣3）+1的值为．15．（4分）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺．问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布尺．16．（4分）如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①AM平分∠CAB；②AM2＝AC•AB；③若AB＝4，∠APE＝30°，则的长为；④若AC＝3，BD＝1，则有CM＝DM＝．三、解答题（本大题共8小题，满分64分）17．（6分）计算：（﹣1）0﹣2sin30°+（）﹣1+（﹣1）201918．（6分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2．19．（8分）如图，双曲线y＝经过点P（2，1），且与直线y＝kx﹣4（k＜0）有两个不同的交点．（1）求m的值．（2）求k的取值范围．20．（8分）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩．（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的，求休闲小广场总面积最多为多少亩？21．（8分）为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．分数段频数频率74.5～79.5 2 0.0579.5～84.5 m0.284.5～89.5 12 0.389.5～94.5 14 n94.5～99.5 4 0.1（1）表中m＝，n＝；（2）请在图中补全频数直方图；（3）甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在分数段内；（4）选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．22．（8分）慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°．（点D、B、F在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9）（1）求小亮与塔底中心的距离BD；（用含a的式子表示）（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB．23．（10分）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为直线EF上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN．（1）如图1，求证：BE＝BF；（2）特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；（3）类比探究：若DE＝a，CF＝b．①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系．（不要求写证明过程）24．（10分）如图1，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1：y＝x2+x的图象上，点A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2．（点A在点B的左侧）（1）求点A、B的坐标；（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，已知点M 为抛物线F2的对称轴上一定点，且点A'恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、A'M，求△OA'M的面积；（3）如图2，延长OB'交抛物线F2于点C，连接A'C，在坐标轴上是否存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．解析一、选择题（每小题3分，满分24分）1．【解答】解：﹣2019的绝对值是：2019．故选：A．2．【解答】解：A、3x﹣2x＝x，故此选项错误；B、x3÷x2＝x，正确；C、x3•x2＝x5，故此选项错误；D、x2+2xy+y2＝（x+y）2，故此选项错误；故选：B．3．【解答】解：A、圆柱的俯视图是圆；故本项不符合题意；B、圆锥的俯视图是圆；故本项不符合题意；C、立方体的俯视图是正方形；故本项符合题意；D、球的俯视图是圆；故本项不符合题意．故选：C．4．【解答】解：∵BE平分∠ABC，∠ABC＝50°，∴∠ABE＝∠EBC＝25°，∵BE∥DC，∴∠EBC＝∠C＝25°．故选：B．5．【解答】解：根据题意得：，解得：x≥﹣2且x≠0．故选：D．6．【解答】解：∵S甲2＝1.2，S乙2＝1.1，S丙2＝0.6，S丁2＝0.9，∴S丙2＜S丁2＜S乙2＜S甲2，∴射击成绩最稳定的是丙，故选：C．7．【解答】解：A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；假命题；B．同角（或等角）的余角相等；真命题；C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；真命题；D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分；真命题；故选：A．8．【解答】解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个实数根，且x1＜1＜x2，整理，得：x2+x+c＝0，则．解得c＜﹣2，故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）9．【解答】解：原式＝a（x﹣y）．故答案是：a（x﹣y）．10．【解答】解：将600000用科学记数法表示为：6×105．故答案为：6×105．11．【解答】解：∵写有数字、、﹣1、0、π的五张大小和质地均相同的卡片，、π是无理数，∴从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是：．故答案为：．12．【解答】解：设多边形的边数为n，则（n﹣2）×180°＝360°，解得：n＝4，故答案为：4．13．【解答】解：方程两边同乘x（x+1），得x+1＝2x，解得x＝1．将x＝1代入x（x+1）＝2≠0．所以x＝1是原方程的解．14．【解答】解：∵x﹣3＝2，∴代数式（x﹣3）2﹣2（x﹣3）+1＝（x﹣3﹣1）2＝（2﹣1）2＝1．故答案为：1．15．【解答】解：设第一天织布x尺，则第二天织布2x尺，第三天织布4x尺，第四天织布8x尺，第五天织布16x尺，根据题意可得：x+2x+4x+8x+16x＝5，解得：x＝，即该女子第一天织布尺．故答案为：．16．【解答】解：连接OM，∵PE为⊙O的切线，∴OM⊥PC，∵AC⊥PC，∴OM∥AC，∴∠CAM＝∠AMO，∵OA＝OM，∠OAM＝∠AMO，∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB，故①正确；∵AB为⊙O的直径，∴∠AMB＝90°，∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB，∴△ACM∽△AMB，∴，∴AM2＝AC•AB，故②正确；∵∠APE＝30°，∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝4，∴OB＝2，∴的长为，故③错误；∵BD⊥PC，AC⊥PC，∴BD∥AC，∴，∴PB＝，∴，BD＝，∴PB＝OB＝OA，∴在Rt△OMP中，OM＝＝2，∴∠OPM＝30°，∴PM＝2，∴CM＝DM＝DP＝，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共8小题，满分64分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解答】解：原式＝1﹣2×+3﹣1＝1﹣1+3﹣1＝2．18．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠1＝∠2．19．【解答】解：（1）∵双曲线y＝经过点P（2，1），∴m＝2×1＝2；（2）∵双曲线y＝与直线y＝kx﹣4（k＜0）有两个不同的交点，∴＝kx﹣4，整理为：kx2﹣4x﹣2＝0，∴△＝（﹣4）2﹣4k•（﹣2）＞0，∴k＞﹣2，∴k的取值范围是﹣2＜k＜0．20．【解答】解：（1）设改造土地面积是x亩，则复耕土地面积是（600+x）亩，由题意，得x+（600+x）＝1200解得x＝300．则600+x＝900．答：改造土地面积是300亩，则复耕土地面积是900亩；（2）设休闲小广场总面积是y亩，则花卉园总面积是（300﹣y）亩，由题意，得y≤（300﹣y）．解得y≤75．故休闲小广场总面积最多为75亩．答：休闲小广场总面积最多为75亩．21．【解答】解：（1）m＝40×0.2＝8，n＝14÷40＝0.35，故答案为：8，0.35；（2）补全图形如下：（3）由于40个数据的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在89.5～94.5，∴测他的成绩落在分数段89.5～94.5内，故答案为：89.5～94.5．（4）选手有4人，2名是男生，2名是女生．，恰好是一名男生和一名女生的概率为＝．22．【解答】解：（1）由题意得，四边形CDBG、HBFE为矩形，∴GB＝CD＝1.7，HB＝EF＝1.5，∴GH＝0.2，在Rt△AHE中，tan∠AEH＝，则AH＝HE•tan∠AEH≈1.9a，∴AG＝AH﹣GH＝1.9a﹣0.2，在Rt△ACG中，∠ACG＝45°，∴CG＝AG＝1.9a﹣0.2，∴BD＝1.9a﹣0.2，答：小亮与塔底中心的距离BD（1.9a﹣0.2）米；（2）由题意得，1.9a﹣0.2+a＝52，解得，a＝18，则AG＝1.9a﹣0.2＝34.4，∴AB＝AG+GB＝36.1，答：慈氏塔的高度AB为36.1米．23．【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB，由翻折可知：∠DEF＝∠BEF，∴∠BEF＝∠EFB，∴BE＝BF．（2）解：如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，EH＝AB．∵DE＝EB＝BF＝5，CF＝2，∴AD＝BC＝7，AE＝2，在Rt△ABE中，∵∠A＝90°，BE＝5，AE＝2，∴AB＝＝，∵S△BEF＝S△PBE+S△PBF，PM⊥BE，PN⊥BF，∴•BF•EH＝•BE•PM+•BF•PN，∵BE＝BF，∴PM+PN＝EH＝，∵四边形PMQN是平行四边形，∴四边形PMQN的周长＝2（PM+PN）＝2．（3）①证明：如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H．∵ED＝EB＝BF＝a，CF＝b，∴AD＝BC＝a+b，∴AE＝AD﹣DE＝b，∴EH＝AB＝，∵S△EBP﹣S△BFP＝S△EBF，∴BE•PM﹣•BF•PN＝•BF•EH，∵BE＝BF，∴PM﹣PN＝EH＝，∵四边形PMQN是平行四边形，∴QN﹣QM＝（PM﹣PN）＝．②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM﹣QN＝PN﹣PM＝．24．【解答】解：（1）当x＝﹣4时，y＝×（﹣4）2+×（﹣4）＝﹣4 ∴点A坐标为（﹣4，﹣4）当y＝﹣2时，x2+x＝﹣2解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6∵点A在点B的左侧∴点B坐标为（﹣1，﹣2）（2）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B'作B'G⊥x轴于点G ∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90°∴∠B'OG＝∠OBE在△B'OG与△OBE中∴△B'OG≌△OBE（AAS）∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1∵点B'在第四象限∴B'（2，﹣1）同理可求得：A'（4，﹣4）∴OA＝OA'＝∵抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过点A'、B'∴解得：∴抛物线F2解析式为：y＝x2﹣3x+4∴对称轴为直线：x＝﹣＝6∵点M在直线x＝6上，设M（6，m）∴OM2＝62+m2，A'M2＝（6﹣4）2+（m+4）2＝m2+8m+20∵点A'在以OM为直径的圆上∴∠OA'M＝90°∴OA'2+A'M2＝OM2∴（4）2+m2+8m+20＝36+m2解得：m＝﹣2∴A'M＝∴S△OA'M＝OA'•A'M＝＝8（3）在坐标轴上存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．∵B'（2，﹣1）∴直线OB'解析式为y＝﹣x解得：（即为点B'）∴C（8，﹣4）∵A'（4，﹣4）∴A'C∥x轴，A'C＝4∴∠OA'C＝135°∴∠A'OC＜45°，∠A'CO＜45°∵A（﹣4，﹣4），即直线OA与x轴夹角为45°∴当点D在x轴负半轴或y轴负半轴时，∠AOD＝45°，此时△AOD不可能与△OA'C相似∴点D在x轴正半轴或y轴正半轴时，∠AOD＝∠OA'C＝135°（如图2、图3）①若△AOD∽△OA'C，则＝1∴OD＝A'C＝4∴D（4，0）或（0，4）②若△DOA∽△OA'C，则∴OD＝OA'＝8∴D（8，0）或（0，8）综上所述，点D坐标为（4，0）、（8，0）、（0，4）或（0，8）时，以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C 相似．。
【2019中考数学】湖南岳阳数学中考真题(含解析)【2019中考真题+数学】
2019年湖南省岳阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）1．（3分）﹣2019的绝对值是（）A．2019 B．﹣2019 C．D．﹣2．（3分）下列运算结果正确的是（）A．3x﹣2x＝1 B．x3÷x2＝xC．x3•x2＝x6D．x2+y2＝（x+y）23．（3分）下列立体图形中，俯视图不是圆的是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，已知BE平分∠ABC，且BE∥DC，若∠ABC＝50°，则∠C的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．50°5．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≠0 B．x＞﹣2 C．x＞0 D．x≥﹣2且x≠0 6．（3分）甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是S甲2＝1.2，S乙2＝1.1，S丙2＝0.6，S丁2＝0.9，则射击成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁7．（3分）下列命题是假命题的是（）A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形B．同角（或等角）的余角相等C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分8．（3分）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（）A．c＜﹣3 B．c＜﹣2 C．c＜D．c＜1二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）9．（4分）因式分解：ax﹣ay＝．10．（4分）2018年12月26日，岳阳三荷机场完成首航．至此，岳阳“水陆空铁”四位一体的交通格局全面形成．机场以2020年为目标年，计划旅客年吞吐量为600000人次．数据600000用科学记数法表示为．11．（4分）分别写有数字、、﹣1、0、π的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是．12．（4分）若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为．13．（4分）分式方程的解为x＝．14．（4分）已知x﹣3＝2，则代数式（x﹣3）2﹣2（x﹣3）+1的值为．15．（4分）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺．问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布尺．16．（4分）如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①AM平分∠CAB；②AM2＝AC•AB；③若AB＝4，∠APE＝30°，则的长为；④若AC＝3，BD＝1，则有CM＝DM＝．三、解答题（本大题共8小题，满分64分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：（﹣1）0﹣2sin30°+（）﹣1+（﹣1）201918．（6分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2．19．（8分）如图，双曲线y＝经过点P（2，1），且与直线y＝kx﹣4（k＜0）有两个不同的交点．（1）求m的值．（2）求k的取值范围．20．（8分）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩．（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的，求休闲小广场总面积最多为多少亩？21．（8分）为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．（1）表中m＝，n＝；（2）请在图中补全频数直方图；（3）甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在分数段内；（4）选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．22．（8分）慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°．（点D、B、F在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9）（1）求小亮与塔底中心的距离BD；（用含a的式子表示）（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB．23．（10分）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD 沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为直线EF上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN．（1）如图1，求证：BE＝BF；（2）特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；（3）类比探究：若DE＝a，CF＝b．①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系．（不要求写证明过程）24．（10分）如图1，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1：y＝x2+x的图象上，点A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2．（点A在点B的左侧）（1）求点A、B的坐标；（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点，且点A'恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、A'M，求△OA'M的面积；（3）如图2，延长OB'交抛物线F2于点C，连接A'C，在坐标轴上是否存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．2019年湖南省岳阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）1．【解答】解：﹣2019的绝对值是：2019．故选：A．2．【解答】解：A、3x﹣2x＝x，故此选项错误；B、x3÷x2＝x，正确；C、x3•x2＝x5，故此选项错误；D、x2+2xy+y2＝（x+y）2，故此选项错误；故选：B．3．【解答】解：A、圆柱的俯视图是圆；故本项不符合题意；B、圆锥的俯视图是圆；故本项不符合题意；C、立方体的俯视图是正方形；故本项符合题意；D、球的俯视图是圆；故本项不符合题意．故选：C．4．【解答】解：∵BE平分∠ABC，∠ABC＝50°，∴∠ABE＝∠EBC＝25°，∵BE∥DC，∴∠EBC＝∠C＝25°．故选：B．5．【解答】解：根据题意得：，解得：x≥﹣2且x≠0．故选：D．6．【解答】解：∵S甲2＝1.2，S乙2＝1.1，S丙2＝0.6，S丁2＝0.9，∴S丙2＜S丁2＜S乙2＜S甲2，∴射击成绩最稳定的是丙，故选：C．7．【解答】解：A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；假命题；B．同角（或等角）的余角相等；真命题；C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；真命题；D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分；真命题；故选：A．8．【解答】解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个实数根，且x1＜1＜x2，整理，得：x2+x+c＝0，则．解得c＜﹣2，故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）9．【解答】解：原式＝a（x﹣y）．故答案是：a（x﹣y）．10．【解答】解：将600000用科学记数法表示为：6×105．故答案为：6×105．11．【解答】解：∵写有数字、、﹣1、0、π的五张大小和质地均相同的卡片，、π是无理数，∴从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是：．故答案为：．12．【解答】解：设多边形的边数为n，则（n﹣2）×180°＝360°，解得：n＝4，故答案为：4．13．【解答】解：方程两边同乘x（x+1），得x+1＝2x，解得x＝1．将x＝1代入x（x+1）＝2≠0．所以x＝1是原方程的解．14．【解答】解：∵x﹣3＝2，∴代数式（x﹣3）2﹣2（x﹣3）+1＝（x﹣3﹣1）2＝（2﹣1）2＝1．故答案为：1．15．【解答】解：设第一天织布x尺，则第二天织布2x尺，第三天织布4x尺，第四天织布8x尺，第五天织布16x尺，根据题意可得：x+2x+4x+8x+16x＝5，解得：x＝，即该女子第一天织布尺．故答案为：．16．【解答】解：连接OM，∵PE为⊙O的切线，∴OM⊥PC，∵AC⊥PC，∴OM∥AC，∴∠CAM＝∠AMO，∵OA＝OM，∠OAM＝∠AMO，∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB，故①正确；∵AB为⊙O的直径，∴∠AMB＝90°，∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB，∴△ACM∽△AMB，∴，∴AM2＝AC•AB，故②正确；∵∠APE＝30°，∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝4，∴OB＝2，∴的长为，故③错误；∵BD⊥PC，AC⊥PC，∴BD∥AC，∴，∴PB＝，∴，BD＝，∴PB＝OB＝OA，∴在Rt△OMP中，OM＝＝2，∴∠OPM＝30°，∴PM＝2，∴CM＝DM＝DP＝，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共8小题，满分64分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解答】解：原式＝1﹣2×+3﹣1＝1﹣1+3﹣1＝2．18．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠1＝∠2．19．【解答】解：（1）∵双曲线y＝经过点P（2，1），∴m＝2×1＝2；（2）∵双曲线y＝与直线y＝kx﹣4（k＜0）有两个不同的交点，∴＝kx﹣4，整理为：kx2﹣4x﹣2＝0，∴△＝（﹣4）2﹣4k•（﹣2）＞0，∴k＞﹣2，∴k的取值范围是﹣2＜k＜0．20．【解答】解：（1）设改造土地面积是x亩，则复耕土地面积是（600+x）亩，由题意，得x+（600+x）＝1200解得x＝300．则600+x＝900．答：改造土地面积是300亩，则复耕土地面积是900亩；（2）设休闲小广场总面积是y亩，则花卉园总面积是（300﹣y）亩，由题意，得y≤（300﹣y）．解得y≤75．故休闲小广场总面积最多为75亩．答：休闲小广场总面积最多为75亩．21．【解答】解：（1）m＝40×0.2＝8，n＝14÷40＝0.35，故答案为：8，0.35；（2）补全图形如下：（3）由于40个数据的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在89.5～94.5，∴测他的成绩落在分数段89.5～94.5内，故答案为：89.5～94.5．（4）选手有4人，2名是男生，2名是女生．，恰好是一名男生和一名女生的概率为＝．22．【解答】解：（1）由题意得，四边形CDBG、HBFE为矩形，∴GB＝CD＝1.7，HB＝EF＝1.5，∴GH＝0.2，在Rt△AHE中，tan∠AEH＝，则AH＝HE•tan∠AEH≈1.9a，∴AG＝AH﹣GH＝1.9a﹣0.2，在Rt△ACG中，∠ACG＝45°，∴CG＝AG＝1.9a﹣0.2，∴BD＝1.9a﹣0.2，答：小亮与塔底中心的距离BD（1.9a﹣0.2）米；（2）由题意得，1.9a﹣0.2+a＝52，解得，a＝18，则AG＝1.9a﹣0.2＝34.4，∴AB＝AG+GB＝36.1，答：慈氏塔的高度AB为36.1米．23．【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB，由翻折可知：∠DEF＝∠BEF，∴∠BEF＝∠EFB，∴BE＝BF．（2）解：如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，EH＝AB．∵DE＝EB＝BF＝5，CF＝2，∴AD＝BC＝7，AE＝2，在Rt△ABE中，∵∠A＝90°，BE＝5，AE＝2，∴AB＝＝，∵S△BEF＝S△PBE+S△PBF，PM⊥BE，PN⊥BF，∴•BF•EH＝•BE•PM+•BF•PN，∵BE＝BF，∴PM+PN＝EH＝，∵四边形PMQN是平行四边形，∴四边形PMQN的周长＝2（PM+PN）＝2．（3）①证明：如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H．∵ED＝EB＝BF＝a，CF＝b，∴AD＝BC＝a+b，∴AE＝AD﹣DE＝b，∴EH＝AB＝，∵S△EBP﹣S△BFP＝S△EBF，∴BE•PM﹣•BF•PN＝•BF•EH，∵BE＝BF，∴PM﹣PN＝EH＝，∵四边形PMQN是平行四边形，∴QN﹣QM＝（PM﹣PN）＝．②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM﹣QN＝PN﹣PM＝．24．【解答】解：（1）当x＝﹣4时，y＝×（﹣4）2+×（﹣4）＝﹣4 ∴点A坐标为（﹣4，﹣4）当y＝﹣2时，x2+x＝﹣2解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6∵点A在点B的左侧∴点B坐标为（﹣1，﹣2）（2）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B'作B'G⊥x轴于点G ∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90°∴∠B'OG＝∠OBE在△B'OG与△OBE中∴△B'OG≌△OBE（AAS）∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1∵点B'在第四象限∴B'（2，﹣1）同理可求得：A'（4，﹣4）∴OA＝OA'＝∵抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过点A'、B'∴解得：∴抛物线F2解析式为：y＝x2﹣3x+4∴对称轴为直线：x＝﹣＝6∵点M在直线x＝6上，设M（6，m）∴OM2＝62+m2，A'M2＝（6﹣4）2+（m+4）2＝m2+8m+20∵点A'在以OM为直径的圆上∴∠OA'M＝90°∴OA'2+A'M2＝OM2∴（4）2+m2+8m+20＝36+m2解得：m＝﹣2∴A'M＝∴S△OA'M＝OA'•A'M＝＝8（3）在坐标轴上存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．∵B'（2，﹣1）∴直线OB'解析式为y＝﹣x解得：（即为点B'）∴C（8，﹣4）∵A'（4，﹣4）∴A'C∥x轴，A'C＝4∴∠OA'C＝135°∴∠A'OC＜45°，∠A'CO＜45°∵A（﹣4，﹣4），即直线OA与x轴夹角为45°∴当点D在x轴负半轴或y轴负半轴时，∠AOD＝45°，此时△AOD不可能与△OA'C相似∴点D在x轴正半轴或y轴正半轴时，∠AOD＝∠OA'C＝135°（如图2、图3）①若△AOD∽△OA'C，则＝1∴OD＝A'C＝4∴D（4，0）或（0，4）②若△DOA∽△OA'C，则∴OD＝OA'＝8∴D（8，0）或（0，8）综上所述，点D坐标为（4，0）、（8，0）、（0，4）或（0，8）时，以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．。
2019湖南岳阳中考数学解析
2019年湖南省岳阳市初中毕业、升学考试数学（满分120分，考试时间90分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．1．（2019湖南省岳阳市，1，3分）－2019的绝对值是（）A．2019 B．－2019 C．12019D．12019【答案】A【解析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数，得：|－2019|=2019，故选择A．【知识点】有理数，绝对值2．（2019湖南省岳阳市，2，3分）下列运算结果正确的是（）A．3x－2x＝1 B．x3÷x2=x C．x3·x2＝x6D．x2＋y2=(x＋y)2【答案】B【解析】选项A：3x－2x＝x；选项B正确；选项C ：x3·x2＝x5；选项D：x2＋y2=(x＋y)2－2xy，故选择B．【知识点】整式的运算，合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，完全平方公式3．（2019湖南省岳阳市，3，3分）下列立体图形中，俯视图不是圆的是（）A B C D【答案】C【解析】正方体的俯视图与正方形，其它三个的俯视图都是圆，故选择C．【知识点】物体的三视图4．（2019湖南省岳阳市，4，3分）如图，已知BE平分∠ABC，且BE∥DC，若∠ABC=50°，则∠C的度数是（）A．20ºB．25ºC．30ºD．50º【答案】B【解析】∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=12∠ABC=12×50º=25º．∵BE∥DC，∴∠C＝∠EBC=25º．故选择B．【知识点】平行线的性质，角平分线的定义5．（2019湖南省岳阳市，5，3分）函数2x y x+=中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≠0 B ．x ≥－2 C ．x ＞0 D ．x ≥－2且x ≠0 【答案】D【解析】由题意可知：x ＋2≥0，解得x ≥－2，又因为x 为分母，故x ≠0，所以x ≥－2且x ≠0 故选择B ．【知识点】函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件6．（2019湖南省岳阳市，6，3分）甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是2 1.2S =甲，2 1.1S =乙，20.6S =丙，20.9S =丁则射击成绩最稳定的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 【答案】C【解析】根据方差越小越稳定可知丙的方差最小，故丙的射击成绩最稳定，故选择C ． 【知识点】因式分解，提公因式法，运用公式法7．（2019湖南省岳阳市，7，3分）下列命题是假命题．．．的是（ ） A ．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 B ．同角（或等角）的余角相等C ．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等D ．正方形的对角线相等，且互相垂直平分 【答案】A【解析】平行四边形一定是中心对称图形，但不一定是轴对称图形，选项A 是假命题；故选择A ． 【知识点】命题8．（2019湖南省岳阳市，8，3分）对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点．如果二次函数y =x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，则c 的取值范围是（ ） A ．c ＜－3 B ．c ＜－2 C ．14c <D ．c ＜1 【答案】B【思路分析】根据不动点定义，得出x 1，x 2满足的一元二次方程，利用根与系数的关系及根的判别式列出不等式求解即可.【解题过程】当y =x 时，x =x 2+2x +c ，即为x 2+x +c =0，由题意可知：x 1、x 2是该方程的两个实数根，所以：12121x x x x c +=-⎧⎨⋅=⎩ ∵x 1＜1＜x 2，∴（x 1－1）（x 2－1）＜0即x 1x 2－(x 1＋x 2) ＋1＜0 ∴c －(－1) ＋1＜0 ∴c ＜－2又知方程有两个不相等的实数根，故Δ＞0 即12－4c ＞0， 解得：c ＜14∴c 的取值范围为c ＜－2【知识点】二次函数与一元二次方程，根与系数的关系二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32 分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．9．（2019湖南省岳阳市，9，4分）因式分解：ax－ay= ．【答案】a(x－y)【解析】提公因式a可得：ax－ay=a(x－y)【知识点】因式分解，提公因式法10．（2019湖南省岳阳市，10，4分）2018年12月26日，岳阳三荷机场完成首航．至此，岳阳“水陆空铁”四位一体的交通格局全面形成．机场以2020年为目标年，计划旅客年吞吐量为，600000人次，数据600000用科学记数法表示为．【答案】6×105【解析】600000=6×105．【知识点】科学记数法——表示较大的数，11．（2019湖南省岳阳市，11，4分）分别写有数字13，2，－1，0，π的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是.【答案】2 5【解析】五个数中2和π是无理数，故从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是25．【知识点】概率的计算12．（2019湖南省岳阳市，12，4分）若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为. 【答案】4【解析】设这个多边形的边数为n，根据题意得：(n－2) ·180º=360º，解得：n=4．所以这个多边形的边数为4．【知识点】多边形的内角和与外角和13．（2019湖南省岳阳市，13，4分）分式方程121x x=+的解为x= .【答案】1【解析】去分母，得：x+1=2x，解得x=1，经检验x=1是原方程的解．【知识点】分式方程14．（2019湖南省岳阳市，14，4分）已知x－3=2，则代数式(x－3)2－2(x－3) ＋1的值为．【答案】1【解析】把“x－3=2”代入，可得22－2×2＋1=1．【知识点】求代数式的值15．（2019湖南省岳阳市，15，4分）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺，问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布尺．【答案】5 31【解析】设该女子第一天织布x尺，根据题意得：x＋2x＋4x＋8x＋16x=5解得：531 x=所以，该女子第一天织布531尺.【知识点】一元一次方程的应用16．（2019湖南省岳阳市，16，4分）如图，AB 为⊙O 的直径，点P 为AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线PE ，切点为M ，过A 、B 两点分别作PE 的垂线AC 、BD ，垂足分别为C 、D ，连接AM ，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ①AM 平分∠CAB ； ②AM 2=AC ·AB ；③若AB =4，∠APE =30°，则BM 的长为3π； ④若AC =3，BD =1，则有CM =DM =3．【答案】①②④【思路分析】①连接OM ，运用平行线的性质和等腰三角形的性质进行证明；②连接BM ，证明△AMC ∽△ABM ，则结论可证；③分别求出圆心角和半径，利用弧长公式进行计算；④先运用平行线等分线段定理证明CM =DM ，再证明△ACM ∽△MDB ，利用比例式进行计算． 【解题过程】连接OM ，BM∵PE 是⊙O 的切线， ∴OM ⊥PE ． ∵AC ⊥PE ， ∴AC ∥OM ．∴∠CAM ＝∠AMO ． ∵OA ＝OM ，∴∠AMO ＝∠MAO ． ∴∠CAM =∠MAO ．∴AM 平分∠CAB ．选项①正确； ∵AB 为直径，∴∠AMB =90º=∠ACM ． ∵∠CAM =∠MAO ， ∴△AMC ∽△ABM ． ∴AC AMAM AB=．∴AM 2=AC ·AB ．选项②正确； ∵∠P =30°， ∴∠MOP =60°． ∵AB =4， ∴半径r =2． ∴60221803BM l ππ⨯==．选项③错误； ∵BD ∥OM ∥AC ，OA =OB ，∴CM =MD ．∵∠CAM ＋∠AMC =90°，∠AMC ＋∠BMD =90°， ∴∠CAM ＝∠BMD ． ∵∠ACM =∠BDM =90°， ∴△ACM ∽△MDB ． ∴AC CMDM BD=． ∴CM ·DM =3×1=3．∴CM =DM =3．选项④正确；综上所述，结论正确的有①②④．【知识点】圆的基本性质，切线的性质，弧长计算，相似三角形的判定和性质三、解答题（本大题共8小题，满分64分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（2019湖南省岳阳市，17，6分）计算：0120191(21)2sin 30()(1)3---︒++-【思路分析】任何不等于0的数的零次方都等于1，sin30°=12，11()3-表示13的倒数，－1的奇数次方是－1．【解题过程】0120191(21)2sin 30()(1)3---︒++-1123(1)22=-⨯++-=【知识点】实数的运算，零指数幂，负指数幂，特殊角的三角函数值18．（2019湖南省岳阳市，18，6分）如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别为AD 、CD 边上的点，DE =DF ．求证：∠1=∠2．【思路分析】根据菱形的性质得AD =CD ，运用“SAS ”证明△ADF ≌△CDE 即可． 【解题过程】∵四边形ABCD 为菱形， ∴AD =CD ．∵∠D =∠D ，DE =DF ， ∴△ADF ≌△CDE ． ∴∠1＝∠2．【知识点】菱形的性质，全等三角形的判定和性质19．（2019湖南省岳阳市，19，8分）如图，双曲线my x=经过点P （2，1），且与直线y =kx －4（k ＜0）有两个不同的交点． （1）求m 的值；（2）求k 的取值范围．【思路分析】（1）把点P 的坐标代入反比例函数解析式可求出m ；（2）联立两个函数关系式，得到一个关于x 的一元二次方程，根据有两个不同的交点，令Δ＞0即可求出k 的取值范围． 【解题过程】（1）把点P （2，1）代入反比例函数my x=，得： 12m=，m =2； （2）由（1）可知反比例函数解析式为2y x=， ∴24kx x=-， 整理得：2420kx x --=， ∵双曲线与直线有两个不同的交点， ∴△＞0．即：2(4)4(2)0k --⨯->．解得：k ＞－2． 又∵k ＜0，∴k 的取值范围为－2＜k ＜0．【知识点】一次函数与反比例函数综合20．（2019湖南省岳阳市，20，8分）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩．（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的13，求休闲小广场总面积最多为多少亩？ 【思路分析】（1）设复耕土地面积为x 亩，改造土地面积为y 亩，根据“总共1200亩”和“复耕面积比改造面积多600亩”列方程组求解；（2）设休闲小广场的面积为m 亩，则花卉园的面积为（300－m ）亩，根据“休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的13”列不等式求解．【解题过程】（1）设复耕土地面积为x 亩，改造土地面积为y 亩，根据题意，得：1200600x y x y +=⎧⎨-=⎩ 解得：900300x y =⎧⎨=⎩答：复耕土地面积为900亩，改造土地面积为300亩．（2）设休闲小广场的面积为m 亩，则花卉园的面积为（300－m ）亩，根据题意，得：1(300)3m m ≤-解得：m ≤75答：休闲小广场总面积最多为75亩．【知识点】二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用21．（2019湖南省岳阳市，21，8分）为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩（满分100分，得分为正整数且无满分，最低75分）分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．（1）表中m = ，n = ． （2）请在图中补全频数直方图；（3）甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在 分数段内；（4）选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率． 【思路分析】（1）根据选手总数40和频率、频数求m ，n 的值；（2）根据m 的值补全图形即可；（3）确定40名选手最中间两名的位置，即可确定中位数的分数段；（4）列举出所有等可能的结果，从中找出一男一女的个数计算概率或先画出树状图，再求概率． 【解题过程】（1）m =40×0.2=8，n =14÷40=0.35 （2）补全频数直方图如下：（3）成绩从小到大排序后，第20名和第21名同学的成绩都落在84.5~89.5之间，故甲的成绩落在84.5~89.5分（4）成绩在94.5分以上的选手共有4名，故男生两名、女生两名列举如下：（男1，男2）、（男1，女1）、（男1，女2）、（男2，女1）、（男2，女2）、（女1，女2）共6种可能，恰好一名男生和一名女生的有4种情况，所以P（一男一女）=42 63 =．或列树状图如下：由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好选中1男1女的结果共有8种，故P=82. 123=【知识点】统计与概率，统计表，频数直方图，中位数22．（2019湖南省岳阳市，22，8分）慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°．（点D、B、F在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9）（1）求小亮与塔底中心的距离BD；（用含a的式子表示）（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB．【思路分析】（1）先解Rt△AEH求出AH长度，从而求出AG的长度，再Rt△ACG求出AG的长度即为BD的长度；（2）根据DF的长度求出a的值，根据AB=AH+HB代入求塔高．【解题过程】（1）在Rt△AEH中，∠AEH=62.3°，tan62.3AH EH︒=．∴AH=EH·tan62.3°=BF·tan62.3°=1.9a．∵GH=GB－HB=CD－EF=1.7－1.5=0.2，∴AG=AH－GH=1.9a－0.2．在Rt△ACG中，∵∠ACG=45°，∴CG=AG=1.9a－0.2．∴BD= CG=1.9a－0.2．所以小亮与塔底中心的距离BD为（1.9a－0.2）米．（2）∵DF=BD+BF，∴1.9a－0.2＋a=52．∴AB=AH＋BH=1.9a＋1.5=1.9×18＋1.5=35.7（米）．所以慈氏塔的高度AB为35.7米．【知识点】解直角三角形的应用，仰角俯角问题23．（2019湖南省岳阳市，23，10分）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为直线EF上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和点N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN．（1）如图1，求证：BE=BF；（2）特例感知：如图2，若DE=5，CF=2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；（3）类比探究：若DE=a，CF=b．①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系．（不要求写证明过程）【思路分析】（1）由两直线平行内错角相等和折叠对应角相等，得到∠BFE=∠BEF，从而结论可得；（2）延长NP 交AD于点G，根据角平分线的性质可得PG=PM，从而□PNQM的周长转化为矩形宽的2倍，在Rt△ABE中利用勾股定理求出AB，则问题解决．（3）①延长PN交AD于点H，运用角平分线性质得到PM－PN=HN=AB，运用勾股定理求出AB结合平行四边形的性质，结论可得；②方法与①完全相同，只不过本题变为了PN－PM=AB，故结论QM与QN的位置互换．【解题过程】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE．由折叠可知：∠BEF=∠DEF∴∠BFE=∠BEF．∴BE=BF．（2）延长NP交AD于点G．由折叠可知：BE=DE=5，∵BF=BE，∴BF=DE．∵AD=BC，∴AE=CF=2．在Rt△ABE中，AB =22225221BE AE -=-=． ∵AB ∥CD ，PN ⊥BC ， ∴PN ⊥AD ． 即PG ⊥AD ．∵∠BEF =∠DEF ，PM ⊥BE ， ∴PM =PG ．∴PM ＋PN =NG =AB ．□PNQM 的周长=2（PM ＋PN ）=2AB =221．（3）①QN －QM =22a b -． 证明：延长PN 交AD 于点H ．由（2）可知BE =DE =a ，AE =CF =b ， ∴2222AB BE AE a b =-=-．∵∠BEP =∠DEP ，PM ⊥BE ，PH ⊥AD ， ∴PM =PH ．∴PM －PN =HN =AB =22a b -． ∵四边形PNQM 是平行四边形， ∴QM =PN ，QN =PM ． ∴QN －QM =22a b -． ②QM －QN =22a b -．【知识点】图形的折叠，矩形，平行四边形，角平分线的性质，勾股定理24．（2019湖南省岳阳市，24，10分）如图1，△AOB 的三个顶点A 、O 、B 分别落在抛物线F 1：21733y x x =+的图象上，点A 的横坐标为－4，点B 的纵坐标为－2．（点A 在点B 的左侧） （1）求点A 、B 的坐标；（2）将△AOB 绕点O 逆时针转90°得到△A ′OB ′，抛物线F 2：24y ax bx =++经过A ′、B ′两点，已知点M 为抛物线F 2的对称轴上一定点，且点A ′恰好在以OM 为直径的圆上，连接OM 、A ′M ，求△OA ′M 的面积； （3）如图2，延长OB ′交抛物线F 2于点C ，连接A ′C ，在坐标轴上是否存在点D ，使得以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA ′C 相似．若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【思路分析】（1）分别将A 点横坐标和B 点纵坐标代入抛物线F 1可得；（2）通过A ′、B ′的坐标求出抛物线F 2的函数关系式，根据点M 在对称轴上求出点M 的横坐标；延长A ′M 交x 轴于点N ，则△A ′MN 为等腰直角三角形，求出N 点坐标，进一步求出直线A ′N 的解析式，得到点M 的坐标，最后利用S A ′OM ＝ S A ′′ON －S OMN 求解．（3）根据点在直线OB ′和抛物线F 2上求出点C 的坐标，得到A ′C 的长度及∠OA ′C 的度数，根据两边成比例并且夹角相等证明三角形相似，分两种情况讨论求点D 的坐标．【解题过程】（1）将x =－4代入21733y x x =+，得：217(4)(4)433y =⨯-+⨯-=-， ∴A （－4，－4）．将y =－2代入21733y x x =+，得：217233x x +=-， 解得：x 1=－1，x 2=－6∵点A 在点B 的左侧，∴B （－1，－2）·（2）由旋转可知：A ′（4，－4），B ′（2，－1）代入抛物线24y ax bx =++，得： 164444241a b a b ++=⎧⎨++=-⎩ 解得：143a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴抛物线F 2：21344y x x =-+． 对称轴为：36124x -=-=⨯ 延长A ′M 交x 轴于点N ，∵点A′恰好在以OM为直径的圆上，∴∠OA′M=90°．∵A′（4，－4），∴∠A′ON=45º．∴△A′ON为等腰直角三角形．∴ON=4×2=8．∴N（8，0）设直线A′N：y=mx＋n则44 80 m nm n+=-⎧⎨+=⎩解得：18 mn=⎧⎨=-⎩∴y=x－8．当x=6时，y=－2．∴M（6，－2）∴S A′OM＝S A′′ON－S OMN＝118482 22⨯⨯-⨯⨯＝8．所以，△OA′M的面积为8．（3）设直线OB′解析式为：y=kx，代入B′（2，－1），得：2k=－112k=-．设直线OB′解析式为：12y x =-．解方程组：2134412y x xy x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：112 1x y =⎧⎨=-⎩，2284xy=⎧⎨=-⎩∵B ′（2，－1）∴C （8，－4）．∵A （4，－4），∴A ′C ∥x 轴，A ′C =8－4=4，∴∠OA ′C =135º．若以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA ′C 相似则△AOD 必有一个钝角135°，故点O 与点A ′是对应顶点． 所以点D 在x 轴或y 轴正半轴上．OA =OA ′=224442+=．①若△AOD ∽△OA ′C ，则''OA OD A O A C= ∴OD =A ′C =4．此时点D 的坐标为（4，0）或（0，4）．②若△AOD ∽△CA ′O ，则'C 'OA OD A A O= 42442OD = ∴OD =8．此时点D 的坐标为（8，0）或（0，8）．由①②可知，坐标轴上存在点D ，其坐标分别为（4，0）、（0，4）、（8，0）或（0，8）．【知识点】二次函数综合，图形的旋转，求二次函数解析式，相似三角形的判定，存在性问题，分类讨论思想。