运筹学复习
一、填空题1、线性规划问题中，如果在约束条件中出现等式约束，我们通常用增加___的方法来产生初始可行基。
2、线性规划模型有三种参数，其名称分别为价值系数、___和___。
3、原问题的第1个约束方程是“=”型，则对偶问题相应的变量是___变量。
4、求最小生成树问题，常用的方法有：避圈法和 ___。
5、原问题的变量取值是0，则其对偶问题对应的约束条件是 。
6、目标规划单纯形法的最优性检验规则是 。
7、表上作业法包括有 、 、 。
8、目标规划克服了线性规划只能解 个目标的问题。
9、运输问题初始方案的确定的方法有 、 、 10、在目标规划问题中，约束条件分为 和 。
二、判断题：1、在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原问题是求极大还是极小，原问题可行解的目标函数值一定超过其对偶问题可行解的目标函数值。
（ ）2、如线性规划问题存在可行域，则可行域一定包含坐标的原点。
（ ）3、含n 个变量m 个约束的标准型线性规划问题，基解数恰好为m C n 个。
（ ）4、若1X ,2X 分别是某一线性规划的最优解，则21)1(X X X λλ-+=也是该线性规划问题的最优解，其中10≤≤λ。
（ ）5、如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解。
（ ）6、任何线性规划问题具有唯一的对偶问题。
（ ）7、单纯形法计算中选取最大正检验数k σ对应的变量k x 作为换入基的变量，将使迭代后的目标函数得到最快的增长。
（ ）8、如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解。
（ ）9、原问题求最大值，第i 个约束是“≥”，则该约束条件对应的对偶变量y i =010、对取值无约束的变量j x ，通常令j j x x ''-''=j x ，其中 0,0≥''≥'j j x x ，在用单纯形法求得的最优解中，有可能同时出现0,0>''>'j j x x （ ）11、线性规划问题标准形式的数学模型的目标函数是求最小值。
（）12、如线性规划问题存在可行域，则可行域是一个凸集。
（）13、对偶单纯形法就是求解对偶问题的单纯形法。
（）14、构成运输问题初始方案的基变量的个数是m个。
（）15、如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解。
（）16、运输问题中的非基变量的闭回路是存在而且是唯一的。
（）17、在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，如果一问题的变量取值非0，则其对偶问题的约束条件取严格的不等式。
（）18、分配问题效率表中某一行元素分别加上（减去）一个常数，则最优解不变。
（）19、原问题求最大值，某约束是“≥”约束，则该约束条件对应的对偶变量≤（）20、目标规划问题中的约束条件有刚性约束和柔性约束。
（）21、完全图是既连通图，也是简单图。
（）22、树图是部分图，也是子图。
（）23、任何图中，点的次数之和等于边的2倍。
（）24、图中任一个点i，若j是与i相邻点中距离最近的，则边[i,j]一定含在该图的最小部分树内。
（）25、自由时差是指不影响它的各项紧后作业最早开工时间条件下，该项作业可以推迟的开工的最大时间限度。
（）三、单项选择题：1、互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系（）A.原问题具有无界解，则对偶问题无可行解B.对偶问题无可行解，原问题具有无界解C.若最优解存在，则最优解相同D.一个问题无可行解，则另一个问题也无可行解2、线性规划具有唯一最优解是指（）A.最优表中存在常数项为零B.最优表中非基变量检验数全部非零C.最优表中存在非基变量的检验数为零D.可行解集合有界3、原问题有6个变量4个约束，其对偶问题（）A.有4个变量6个约束B.有6个变量4个约束C.有6个变量6个约束D.有4个变量4个约束4、具有n个顶点的树的边数恰好为（）A.(n-1) 条B.n 条C.(n+1)条D.(n+2) 条5、有4个产地5个销地的平衡运输问题模型具有特征（）A.有9个变量B.有20个约束C.有8约束D.有8个基变量6、X是线性规划的基本可行解则有（）A.X中的基变量非零，非基变量为零B.X不一定满足约束条件C.X中的基变量非负，非基变量为零D.X是最优解7、互为对偶的两个线性规划问题的变量存在关系（）A.在一个问题中是变量，则在另一问题中也是变量B.在一问题中是基变量，则在另一问题中也是基变量C.在一问题中是非基变量，则在另一问题中也是非基变量D.在一问题中是基解变量，则在另一问题中是非基解变量8、线性规划具有多个最优解是指（）A.可行解集合有界B.最优表中非基变量检验数全部非零C.最优表中存在常数项为零D.最优表中存在非基变量的检验数为零9、原问题有5个变量4个约束，其对偶问题（）A.有4个变量4个约束B.有5个变量5个约束C.有4个变量5个约束D.有5个变量4个约束10、μ是关于可行流f的一条增广链，则在μ上有（）A.对任意B.对任意C.对任意D.对任意,),(≥∈-ij f j i 有μ11、关于树的性质，不正确的有 （ ） A.树图是连通图 B.具有n 个顶点的树图的边数恰好为（n-1）条 C.具有n 个顶点的树图的边数恰好为n 条 D.任何树图中必存在次为1的点 12、有4个产地4个销地的平衡运输问题模型具有特征 （ ） A.有8个变量 B.有16个约束 C.有4个约束 D.有7个基变量13、互为对偶的两个线性规划若存在最优解，则存在关系 （ ） A.Z > W B.Z = W C.Z ≥ W D.Z ≤W 14、线性规划的约束条件为则初始基可行解为 （ ）A.(0, 2, 3, 2)B.(3, 0, -1, 0)C.(0, 0, 5, 6)D.(2, 0, 1, 2) 15、（ ）A.无可行解B.有唯一最优解C.有多重最优解D.有无界解16、X 是线性规划的基本可行解则有 （ ） A.X 中的基变量非零，非基变量为零 B.X 不一定满足约束条件 C.X 中的基变量非负，非基变量为零 D.X 是最优解17、使用人工变量法求解极大化线性规划问题时，当所有的检验数在基变量中仍含有非零的人工变量，表明该线性规划问题 （ ） A.有唯一的最优解 B.有无穷多最优解 C.为无界解 D.无可行解18、对偶单纯形法解最大化线性规划问题时，每次迭代要求单纯形表中 （ ） A.b 列元素不小于零 B.检验数都大于零 C.检验数都不小于零 D.检验数都不大于零19、已知某个含10个结点的树图，其中9个结点的次为1，1，3，1，1，1，3，1，3，则另一个结点的次为 （ ）A.3B.2C.1D.以上三种情况均有可能20、如果要使目标规划实际实现值不超过目标值，则相应的偏离变量应满足（ ） A.d +›0 B.d +=0 C.d -=0 D.d -›0,d +›021、在运输方案中出现退化现象，是指数字格的数目 （ ） A.等于 m+n B.等于m+n-1 C.小于m+n-1 D.大于m+n-122、关于线性规划的原问题和对偶问题，下列说法正确的是 （ ） A.若原问题为元界解，则对偶问题也为无界解B.若原问题无可行解，其对偶问题具有无界解或无可行解C.若原问题存在可行解，其对偶问题必存在可行解D.若原问题存在可行解，其对偶问题无可行解 23、下列说法正确的是 （ ） A.线性规划问题的基本解对应可行域的顶点B.若21,x x 是某线性规划问题的可行解，则2211x λ+x λ=x （其中121=+λλ）也必是该问题的可行解C.单纯形法解标准的线性规划问题时，当所有检验0≤-j j Z C 时，即可判定表中解为最优解D.单纯形法解标准的线性规划问题时，按最小比值原则确定换出基变量是为了保证迭代计算后的解仍为基本可行解四、简答题：1、简述单纯形法的基本思路。
2、简述对偶单纯形法的基本思路。
3、简述运输问题求解的基本思路。
4、写出下列线性规划问题的对偶问题。
5、将下列线性规划问题化为标准形式五、计算题：1、有份说明书，要分别译成英、日、德、俄四种文字，交给甲、乙、丙、丁四个人去完成，应如何分配，使四个人分别完成这四项任务总的时间为最小？人 甲 乙 丙 丁 工作 译英 2 10 9 7 译日 15 4 14 8 译德 13 14 16 11 译俄4151392、请用破圈法或避圈法求下图的最小部分树。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤++=0,1551641222..3221212121x x x x x x t s xx MaxZ ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥+++=0,,352242..1516123213121321y y y y y y y t s y y y MinW3、已知线性规划MaxZ=3X 1+4X 2X 1+X 2≤5 2X 1+4X 2≤12 其最优解为： 3X 1+2X 2≤8 X 1,X 2≥01）写出该线性规划的对偶问题。
2）若C 2从4变成5，最优解是否会发生改变，为什么？3）若b 2的量从12上升到15，最优解是否会发生变化，为什么？4）如果增加一种产品X 6，其P 6=(2,3,1)T ，C 6=4该产品是否应该投产？为什么？4、已知运输问题的调运和运价表如下，求最优调运方案和最小总费用。
销地 产地 B 1 B 2 B 3 产量 A 1 5 9 2 15 A 2 3 1 7 11 A 3 6 2 8 20 销量 18 12 165、某公司要把4个有关能源工程项目承包给4个互不相关的外商投标者，规定每个承包商只能且必须承包一个项目，试在总费用最小的条件下确定各个项目的承包者，总费用为多少？各承包商对工程的报价如表2所示： 项目投标者A B C D甲 15 18 21 24 乙 19 23 22 18 丙 26 17 16 19 丁 19 21 23 176、求解下列线性规划问题。
7、用匈牙利法求解下列分配问题。
基变量 X 1X 2 X 3 X 4 X 5 X 3 3/20 0 1 -1/8 -1/4 X 2 5/2 0 1 0 3/8 -1/4 X 1 11 0 0 -1/4 1/2 σj 0-3/4-1/28、用标号法算法求下图中s至t的最大流量，并找出该网络的最小割。
（每弧旁的数字是（cij ,（fij））。
9、请用破圈法或避圈法求下图的最小部分树。
10、已知运输问题的产销地的供需量与单位运价表（如表所示），试用表上作业法求出其最优解。
BjAiB1 B2 B3 B4 B5 产量A1 5 7 2 4 1 5A2 9 1 3 5 6 7A3 2 4 8 1 3 6需量 2 2 5 4 5 1811、用图解法求解下列线性规划问题。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+≥+≥++=0,63463..2min 2121212121x x x x x x x x t s x x Z 12、将下列线性规划模型的一般形式转化为标准形式。
运筹学复习资料
一、单选题1.排队系统的状态转移速度矩阵中（）元素之和等于零A、每一列B、每一行C、对角线D、次对角线答案： B2.设有一单人打字室，顾客的到达为普阿松流，平均到达时间间隔为20分钟，打字时间服从指数分布，平均时间为15分钟，顾客在打字室内平均等待时间为（）.A、1.5小时B、0.75小时C、2.5小时D、3小时答案： B3.以下哪项是面向决策结果的方法的程序（）.A、收集信息→确定目标→提出方案→方案优化→决策B、确定目标→收集信息标→决策→提出方案→优化方案C、确定目标→收集信息标→提出方案→方案优化→决策D、确定目标→提出方案→收集信息标→优化方案→决策答案： C4.某人要从上海搭乘汽车去重庆，他希望选择一条线路，经过转乘，使得车费最少。
此问题可以转化为（）.A、最大流量问题求解B、最短路问题求解C、最小树问题求解D、最小费用最大流问题求解答案： B5.为了使各因素之间进行两两比较得到量化的判断矩阵，引入（）的标度.A、1～7B、1～8C、1～9D、随便答案： C6.设有一单人打字室，顾客的到达为普阿松流，平均到达时间间隔为20分钟，打字时间服从指数分布，平均时间为15分钟，若顾客在打字室内的平均逗留时间超过1.25小时，则主人将考虑增加设备及打字员，问顾客的平均到达概率为（）时，主人才会考虑这样做？A、小于2B、大于2C、小于1.25D、大于1.25答案： D7.动态规划求解的一般方法是什么A、图解法B、单纯形法C、逆序求解D、标号法答案： C8.整数规划数学模型的组成部分不包括（）.A、决策变量B、目标函数C、约束条件D、计算方法答案： D二、判断题1.风险情况下采用EMV决策准则的前提是决策应重复相当大的次数.A、正确B、错误答案：正确2.正偏差变量应取正值，负偏差变量应取负值.A、正确B、错误答案：错误3.部分变量要求是整数的规划问题称为纯整数规划.A、正确B、错误答案：错误4.方案层在层次模型的最底层.A、正确B、错误答案：错误5.排队系统中，等待时间=逗留时间+服务时间.A、正确B、错误答案：错误6.银行储蓄所有四个服务窗口，到达顾客自选窗口排队，后该储蓄所改为按顾客到达先后发号排队等待，这种改变将有助于缩短顾客的平均等待时间.A、正确B、错误答案：正确7.判断矩阵的维数n越大，判断的一致性将越差，应放宽对高维判断矩阵一致性要求.A、正确B、错误答案：正确8.用层次分析法解决问题，构造好问题的层次结构图是解决问题的关键.A、正确B、错误答案：正确9.不平衡运输问题不一定有最优解.A、正确B、错误答案：错误10.根据决策者对物体之间两两相比的关系，主观做出比值的判断，这样得到的矩阵称作判断矩阵.A、正确B、错误答案：正确三、名词解释1.人工变量答案：亦称人造变量.求解线性规划问题时人为加入的变量。
运筹学必考知识点总结
运筹学必考知识点总结在运筹学中，有一些必考的知识点是非常重要的。
这些知识点涵盖了运筹学的基本概念、方法和模型，对于考生来说，掌握这些知识点是至关重要的。
本文将对运筹学的一些必考知识点进行总结，帮助考生更好地备考。
1. 线性规划线性规划是运筹学中的重要方法之一，它通过建立数学模型来解决各种决策问题。
在线性规划中，目标是最大化或最小化一个线性函数，同时满足一系列线性约束条件。
考生需要掌握线性规划的基本理论，包括线性规划模型的建立、单纯形法和对偶理论等内容。
2. 整数规划整数规划是线性规划的扩展，它要求决策变量取整数值。
整数规划在实际应用中有着广泛的用途，因此对于考生来说，掌握整数规划的基本理论和解题方法是必不可少的。
3. 动态规划动态规划是一种用于求解多阶段决策问题的优化方法。
在动态规划中，问题被分解为多个子问题，并且这些子问题之间存在重叠。
考生需要了解动态规划的基本原理、状态转移方程的建立以及动态规划算法的实现。
4. 网络流问题网络流问题是运筹学中的一个重要领域，它涉及到图论和优化算法等多个方面的知识。
在网络流问题中，主要考察最大流、最小割、最短路等问题的求解方法。
5. 效用理论效用理论是运筹学中的一个重要分支，它研究人们在做出决策时的偏好和选择。
效用函数、期望效用、风险偏好等概念是考试中的热点内容。
6. 排队论排队论是研究排队系统的运作规律和性能指标的数学理论。
在排队论中，考生需要了解排队系统的稳定性条件、平衡方程、性能指标的计算方法等。
7. 多目标决策多目标决策是指在考虑多个目标时的决策问题。
在多目标决策中，往往需要考虑到多个目标之间的矛盾和权衡，因此考生需要掌握多目标规划的基本原理和解题方法。
8. 随机规划随机规划是考虑到不确定因素的决策问题。
在随机规划中，目标函数、约束条件等参数都是随机变量，因此需要考虑到风险和概率的因素。
以上是一些运筹学中的必考知识点，考生在备考过程中需要重点关注这些知识点。
运筹学复习考点
整理课件
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• （4）动态规划的基本方程是将一个多阶段的决策问题转化为一系列具 有递推关系的单阶段决策问题。
• 正确。 • （5）建立动态规划模型时，阶段的划分是最关键和最重要的一步。 • 错误。 • （6）动态规划是用于求解多阶段优化决策的模型和方法，这里多阶段
• 错误。
• 唯一最优解时，最优解是可行域顶点，对应基本可行解；无穷多最优 解时，除了其中的可行域顶点对应基本可行解外，其余最优解不是可 行域的顶点。
• （12）若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划 问题最多具有有限个数的最优解。
• 错误。
• 如果在不止一个可行解上达到最优，它们的凸组合仍然是最优解，
结束时间不允许有任何延迟。 • 正确。 • （10）网络关键路线上的所有作业，其总时差和自由时差均为零。 • 正确。 • （11）任何非关键路线上的作业，其总时差和自由时差均不为零。 • 错误。
整理课件
57
• （12）若一项作业的总时差为零，则其自由时差一定为零。 • 正确。 • （13）若一项作业的自由时差为零，则其总时差比为零。 • 错误。 • （14）当作业时间用a,m,b三点估计时，m等于完成该项作业的期
既可以是时间顺序的自然分段，也可以是根据问题性质人为地将决策 过程划分成先后顺序的阶段。
• 正确。
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5 3 6 -6 0
0
801001
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-6
4 0 1 -1 1 0
运筹学复习
3.用单纯形表求解LP问题
例、用单纯形表求解LP问题
max Z 2x1 x2
5x2 15
s.t
6
x1 2x2 x1 x2
24 5
x1, x2 0
解：化标准型
max Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
5x2 x3
约束系数矩阵A 约束系数矩阵转置A'
6. 弱对偶性 设X 为原问题的可行解,Y '为对偶问题的可行解,则恒有
CX Y 'b
证明: 设X ,Y '分别为原问题和对偶问题的可行解.
AX b AX b Y ' AX Y 'b
A'Y C ' Y ' A C Y 'A C Y 'AX C X
CX Y ' AX Y 'b
CX Y 'b 证毕
推论： (1) max问题(原问题)任一可行解的目标值为min问题(对 偶问题)目标值的一个下界；min问题(对偶问题)任一可行 解的目标值为max问题(原问题)目标值的一个上界。
(2)（无界性）若原问题(对偶问题)为无界解，则对偶问题 (原问题)为无可行解。
15
6
x1 2x2 x1 x2
x4 24 x5 5
x1, , x5 0
单纯形表
单纯形表结构
c j
CX
B
B
b
c1 x1 b '1
cm xm bm'
cj zj
x x x x C c12 c21 0 cm 0 0cn
1
2
m
n min
—
《运筹学》复习资料整理总结
《运筹学》复习资料整理总结1. 建立线性规划模型的步骤。
确定决策变量 确定目标函数 确定约束条件方程2. 线性规划问题的特征。
都有一个追求的目标，这个目标可表示为一组变量的线性函数，按照问题的不同，追求的目标可以为最大，也可以为最小。
问题中有若干个约束条件，用来表示问题中的限制或要求，这些约束条件可以用线性等式或线性不等式表示。
问题中用一组决策变量来表示一种方案。
3. 线性规划问题标准型的特征。
4. 化标准型的方法。
123123123123min z 2+223-8340,0,x x x x x x x x x x x x =+-+=⎧⎪-+-≤⎨⎪≤≥⎩为自由变量123123123123min z 2+223-634,0,x x x x x x x x x x x x =+-+=⎧⎪-+-≥⎨⎪≥⎩为自由变量5. 基本解：令其余的变量取值为0，则得到Ax=b 的一个解y,称此解为线性规划问题的基本解。
6. 基本可行解：若基本解y 满足y ≥0,则称这个解为基本可行解。
7. 可行解：满足约束条件的解x=（x1、x2、……xn ）T 称为线性规划问题的可行解。
8. 最优解：函数达到最优的可行解叫做最优解。
9.图解法适合于变量个数为2个的线性规划问题。
10.单纯形法解线性规划问题如何确定初始基本可行解。
（1）约束条件为≤，先加入松弛变量x1、x2……xm后变为等式，取松弛变量为基本变量（2）约束条件为=，先加入人工变量xm+1、xm+2……xm+n，人工变量价值系数为m（3）约束条件为≥，先加入多于变量xn+1、xn+2……xm+n后变为等式，在添加人工变量xn+m+111.单纯形法最优解的检验准则。
（1）若基本可行解x’对应的典式的目标函数中非基变量的系数全部满足cN-cBB-1Pj≤0,则基本可行解x’为原问题的最优解。
（2）若基本可行解x’对应的典式的目标函数中所有非基变量的系数满足cN-cBB-1Pj≤0,且有一非基变量的系数满足Ck-Zk=0,则原问题有无穷多组最优解12.对目标函数为极小（min）型的线性规划问题，用单纯形法解的三种处理方法。
运筹学复习资料
试题结构：1、判断题（10×2`）2、单选题（10×2`）3、多选题（5 ×2`）4、计算题（5×10`）（第三、五、七、十一、十三章有计算题）第一张：绪论1.定义：运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为管理者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
2.研究内容：线性规划、整数线性规划、目标规划、图与网络模型、存储论、排队论、对策论、排序与统筹方法、决策分析、动态规划、预测3.运用运筹学解决问题的一般过程（课件答案）（课本答案）规定目标和明确问题认清问题收集数据和建立模型找出一些可供选择的方案求解模型和优化方案确定目标或评估方案的标准检验模型和评价方案评估各个方案方案实施和不断改进选出一个最优的方案执行此方案进行最后评估：问题是否得到圆满解决第二章：线性规划的图解方法1.怎样辨别一个模型是线性模型？其特征是：（1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值；（2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。
2.线性规划三个要素建模步骤决策变量、目标函数、约束条件3.LP 问题的标准型11max .1,2,,0,1,2,,nj jj nij ji j j Z c x a x b s t i m x j n ===⎧=⎪=⎨⎪≥=⎩∑∑ 特点：(1)目标函数求最大值(2)约束条件都为等式方程，且右端常数项b i 都大于或等于零 (3)决策变量x j 为非负。
一般形式目标函数： max （min ） z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + … + c n x n约束条件： s.t. a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n ≤ （ =, ≥ ）b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n ≤ （ =, ≥ ）b 2…… …… a m1 x 1 + a m2 x 2 + … + a mn x n ≤ （ =, ≥ ）b mx 1 ，x 2 ，… ，x n ≥ 0 标准形式目标函数： max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + … + c n x n 约束条件： s.t. a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n = b 2 …… …… a m1 x 1 + a m2 x 2 + … + a mn x n = b mx 1 ，x 2 ，… ，x n ≥ 0，b i ≥04.线性问题的性质与判断 （1 ）线性规划可行域为凸集（2）最优解在凸集上某一顶点达到（特殊情况下为凸集的某条边）（3 ）可行域有界，则一定有最优解5.图解法与解的状况（1）图解法使用范围：仅有两个决策变量的LP（2）基本步骤：a.建立平面直角坐标系；b.将约束条件图解，求得满足约束条件的解的集合；c.作出目标函数的等值线，并根据优化要求，平移目标函数等值线，求出最优解。
运筹学复习重点
二、表解形式的单纯形法 千里之行，始于足下。
(1)建立初始单纯形表：包括决策变量、基变量及其价值系数，以
及约束方程组的增广矩阵。
(2)找出初始可行基：在增广矩阵中寻找单位子矩阵形式的可行
基，进而得到相应的基变量。
(3)计算
zj
=
m
∑ ciaij
,其中ci
是基变量的价值系数,进而计算检验数
σ j = z j − ci=j1。
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千里之行，始于足下。
对称形式下原问题和对偶问题在形式上的对比
原问题：
对偶问题：
用矩阵形式表示，对称形式下原问题与其对偶问题
的对比如下：
max z = CX
min ω = Y ′b
AX ≤ b
A′Y ≥ C′
≥ 0 第 10 页源 /共 37 页 10
千里之行，始于足下。
四、工作指派问题
工作指派问题是这样一类问题： 有n个人和n件事，已知第i个人做第j件事的 费用为cij (i, j = 1, 2,", n),要求确定人和事之间的 一一对应的指派方案，使完成这n件事的总 费用最少。
对于工作指派问题，一般用匈牙利法进行求解。
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千里之行，始于足下。
令始点 vs的标号为[0, ∞] 。
标号规则：
1)若从已标号顶点 vi 顶点vj 标号为 [vi , β
出发的弧是正向弧，当
{ (v j )] ，其中β (vj ) = min β (vi
fij ),
< cij
cij时，
} − fij ;
2)若从已标号顶点 vi出发的弧是反向弧，当 f ji > 0 时，
运筹学复习整理(保准管用)
1. 简答题（1） 运筹学的工作步骤提出和形成问题：即要弄清问题的目标，可能的约束，问题的可控变量以及相关的参数，搜集相关资料；建立模型：即把问题中可控变量，参数，目标与约束之间的关系用模型表示出来；求解：用各种手段将模型求解，解可以是最优解，次优解，满意解。
复杂模型的求解需用计算机，解得精度要求可有决策者提出；解的检验：首先检查求解步骤和程序有无错误，然后检查解是否反映现实问题；解的控制：通过控制解的变化过程决定对解是否做一定的改变； 解的实施：是指将解用到实际中必须考虑的实际问题，如向实际部门讲清解的用法，在实施中可能产生的问题和修改。
（2）退化产生原因及解决办法单纯形法计算中用θ规则确定换出变量时，有时存在两个以上相同的最小比值，这样在下一次迭代中就有一个或几个基变量等于零，这就出现退化解。
勃兰特规则：1.选取cj-zj ＞0中下标最小的非基变量xk 为换入变量，即k=min(j ｜cj-zj ＞0)2. 当按θ规则计算存在两个和两个以上最小比值时，选取下标最小的基变量为换出变量。
（3）对偶问题的经济解释• 这说明yi 是右端项bi 每增加一个单位对目标函数Z 的贡献。
• 对偶变量 yi 在经济上表示原问题第i 种资源的边际价值。
• 对偶变量的值 yi*所表示的第i 种资源的边际价值，称为影子价值。
∑∑=====n j mi i i j j y b x c Z 11ωiiy b Z=∂∂若原问题的价值系数Cj 表示单位产值，则yi 称为影子价格； 若原问题的价值系数Cj 表示单位利润，则yi 称为影子利润。
影子价格不是资源的实际价格，而是资源配置结构的反映，是在其它数据相对稳定的条件下某种资源增加一个单位导致的目标函数值的增量变化。
（4）分枝定界法步骤a) 先求出整数规划相应的LP(即不考虑整数限制)的最优解， b) 若求得的最优解符合整数要求，则是原IP 的最优解； c) 若不满足整数条件，则任选一个不满足整数条件的变量来构造新的约束，在原可行域中剔除部分非整数解。
管理运筹学期末复习权威资料
运筹学（Operational Research）复习资料第一章绪论一、名词解释1.运筹学：运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中的人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
二、选择题1.运筹学的主要分支包括（ABDE ）A图论B线性规划C非线性规划D整数规划E目标规划2. 最早运用运筹学理论的是（ A ）A . 二次世界大战期间，英国军事部门将运筹学运用到军事战略部署B . 美国最早将运筹学运用到农业和人口规划问题上C . 二次世界大战期间，英国政府将运筹学运用到政府制定计划D . 50年代，运筹学运用到研究人口，能源，粮食，第三世界经济发展等问题上第二章线性规划的图解法一、选择题/填空题1.线性规划标准式的特点：（1）目标函数最大化（2）约束条件为等式（3 决策变量为非负（4 ) 右端常数项为非负2. 在一定范围内，约束条件右边常数项增加一个单位：（1）如果对偶价格大于0，则其最优目标函数值得到改进，即求最大值时，最优目标函数值变得更大，求最小值时最优目标函数值变得更小。
（2）如果对偶价格小于0，则其最优目标函数值变坏，即求最大值时，最优目标函数值变小了；求最小值时，最优目标函数值变大了。
（3）如果对偶价格等于0，则其最优目标函数值不变。
3.LP（1）决策变量（2）约束条件（3）目标函数4. 数学模型中，“s·t”表示约束条件。
5. 将线性规划模型化成标准形式时，“≤”的约束条件要在不等式左端加上松弛变量。
6. 将线性规划模型化成标准形式时，“≥”的约束条件要在不等式左端减去剩余变量。
7．下列图形中阴影部分构成的集合是凸集的是A【解析】：如何判断是凸集？凸集：两点之间连线在图内凹集：两点之间连线在图外8. 线性规划问题有可行解且凸多边形无界，这时CA没有无界解 B 没有可行解 C 有无界解 D 有有限最优解9. 对于线性规划问题，下列说法正确的是（ D ）A. 线性规划问题可能没有可行解B. 在图解法上，线性规划问题的可行解区域都是“凸”区域C. 线性规划问题如有最优解，则最优解可在可行解区域顶点上到达D. 上述说法都正确第三章线性规划问题的计算机求解一、名词解释1.相差值：相应的决策变量的目标系数需要改进的数量，使得决策变量为正值。
运筹学复习
例如:max z=3x1+4x2-2x3+5x4 s.t 4x1-x2+2x3-x4=4
x1+x2+3x3-x4≤14 -2x1+3x2-x3+2x4≥3 x1≥0,x2≥2,x3≤0,x4:unr
线性规划的图解
– 画约束直线 – 确定满足约束条件的半平面 – 所有半平面的交集—凸多边形—线性规划的
• Max z=4x1+5x2+x3 S.t 3x1+2x2+x3≥18
2x1+x2 ≤ 4 x1+x2-x3 =5
X1,x2,x3 ≥0
线形规划问题的应用
• 某车间有一批长度为180cm的钢管,且数量充足.为制造 零件的需要,要将其截成三种不同长度的管料,分别为 72cm,52cm,35cm.生产任务规定这三种不同的需要量分 别不少于100,150和100根.问如何下料才能使消耗的钢 管数量最少?试建立此问题的线形规划模型.
单纯形表的运算
Step 0 获得一个初始的单纯形表，确定基变量和非基变量
Step 1 检查基变量在目标函数中的系数是否等于0，在约束条件 中的系数是否是一个单位矩阵
Step 2 如果表中非基变量在目标函数中的系数全为负数，则已得 到最优解。停止。否则选择系数为正数且绝对值最大的变 量进基。
Step 3 如果进基变量在约束条件中的系数全为负数或0，可行域 开放，目标函数无界。停止。否则选取右边常数和正的系 数的最小比值，对应的基变量离基。
x4=0 6
x2=0 9
最优解（x1,x2,x3,x4）=（8,2,0,0）