河北省衡水中学2019～2020届高三上学期第14周周测数学(理)试题
周日测试
第Ⅰ卷
一、选择题
1、如图所示的韦恩图中，,A B 是非空集合，定义A B *表示阴影部分集合，
若,{|x y RA x y ∈= {|3,0}x B y y x ==>，则A B *=
A ．(2,)+∞
B ．[0,1)(2,)+∞
C ．[0,1](2,)+∞
D ．[0,1][2,)+∞
2、如右图，在ABC ∆中，1,3AN NC P =
是BN 上的一点，若29AP mAB AC =+，则实数m 的值为
A ．19
B ．13
C ．1
D ．3 3、设,x y 满足约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则231x y x +++ 的的取值范围是 A ．[]1,5 B ．[]2,6 C ．[]3,10 D ．[]3,11
4、定义在R 上的可导函数()f x ，已知()f x y e
=的图像如图所示， 则()y f x = 的增区间是
A ．(,1)-∞
B ．(,2)-∞
C ．()0,1
D ．()1,2
5、如右图过抛物线24y x =焦点的直线依次交抛物线与圆22(1)1x y -+= 于,,,A B C D ，则AB CD ⋅=
A ．4
B ．2
C ．1
D ．12
6、已知12,F F 分别是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆上，且满足0(OA OB O += 为坐标原点，
，则直线AB 的方程是
A ．2y x =
B ．2y x =-
C ．2y x =-
D ．2
y x = 7、如图所示是一个几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，
且斜边BD 长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，
且1AB BC ==，则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是
A ．1
B
C ．2
D ．12
8、数字“2016”中，各位数字相加和为9，称该数为“长久四位数”，则数字0,1,2,3,4,5,6组成的无重复数字且大于2016的“长久四位数”有（ ）个
A ．39
B ．40
C ．41
D ．42
9、已知12,F F 分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点，P 为双曲线上除顶点外的任意一点，且12PF F ∆的内切圆交实轴于点M ，则12F M F M ⋅的值为
A ．2b
B ．2a
C ．2
c D ． 10、已知正方形123APP P 的边长为4，点,B C 位于边1223,PP P P 的中点，沿,,AB CB CA 折叠成一个三棱锥P ABC -，（使123,,P P P 重合于点P ）
，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为 A ．24π B ．12π C ．8π D ．4π
11、已知()y f x = 是偶函数，x R ∈，若将()y f x =的图象向右平移一个单位又得到一个奇函数，又()21f =-，则()()()()1232011f f f f +++
+=
A ．1003-
B ．1003
C ．1
D ．1-
12、设函数()f x x x bx c =++，给出以下四个命题：
①当0c = 时，有()()f x f x -=-成立；
②当0,0b c =>时，方程()0f x =只有一个实数根；
③函数()y f x =的图象关于点(0,)c 对称；
④当0x >时，函数()f x x x bx c =++，()f x 有最小值是
A ．①②④
B ．①③④
C ．②③④
D ．①②③
第Ⅱ卷
二、填空题：
13、甲与其四位朋友各有一辆私家车，车牌尾数分别是0,0,2,1,5 ，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定（技术日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案总数为
14、椭圆22221(0)x y a b a b +=>>且满足a ≤，若离心率为e ，则221e e
+的最小值为 15、设函数()2sin()25f x x ππ
=+，若对任意x R ∈，都有12()()()f x f x f x ≤≤成立， 则12x x -的最小值为
16、设函数()222()(ln 2)f x x a x a =-+-，其中0,x a R >∈，若存在0x 使得()045f x ≤成立，则实数a 的值是
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（本小题满分10分）
在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边的长分别为,,a b c ，已知向量(1,cos 1),m A =- (cos ,1)n A =且满足m n ⊥ .
（1）求A 的大小；
（2）若3a b c =+=，求,b c 的值.
18、（本小题满分12分）
如图所示，在三棱锥V ABC -中，VC ⊥底面,,ABC AC BC D ⊥是AB 的
中点， 且,(0)2AC BC a VDC π
θθ==∠=<<.
（1）求证：平面VAB ⊥平面VCD ;
（2）当角θ变化时，求直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围.
19、（本小题满分12分）
已知数列{}n a 满足1242,8a a a =+=，且对任意n N *
∈，函数()12()n n n f x a a a x ++=-+ 12cos sin n n a x a x -++-满足()02
f π'=. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若12()2
n n n a b a =+
，求数列{}n b 的前n 项和n S .
20、（本小题满分12分） 已知直线1y x =-+与椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>相较于两点.
（1）若椭圆的离心率为3
，焦距为2，求线段AB 的长；
（2）若向量OA 与向量OB 乎互相垂直（其中O 为坐标原点），当椭圆的离心率1
[,
22e ∈时，求椭圆的长轴长的最大值.
21、（本小题满分12分）
已知函数()2
ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠ （1）求函数()f x 在点(0(0))f 处的切线方程；
（2）求函数()f x 单调递增区间；
（3）若存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()1(f x f x e e -≥-是自然对数的底数），求实数a 的取值范围.
二选一
22、（选修4-4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系xOy
中，直线32(2
x l y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩的参数方程为为参数），在极坐标系（与直角
坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程
为ρθ=.
（1）求圆C 的圆心到直线l 的距离；
（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P
的坐标为，求PA PB +.
23、设函数()22f x x a a =-+.
（1）若不等式()6f x ≤的解集为{|64}x x -≤≤，求实数a 的值；
（2）在（1）的条件下，若不等式()2(1)5f x k x ≤--的解集非空，求实数k 的取值范围.
附加题：
24、已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于,A B 两点，A 点关于x 轴的对称点为D.
（1）判断点F 是否在直线BD 上；
（2）设89FA FB ⋅=
,，求BDK ∆的内切圆M 的方程.
附加题2：已知函数()()21ln(1)(0),12
x f x ax x b x a g x e x =--+>=--，曲线()y f x =与()y g x =在原点处有公共切线.
（1）若0x =为函数()f x 的极大值点，求()f x 的单调区间（用a 表示）；
（2）若()()210,2
x g x f x x ∀≥≥+，求a 的取值范围.。
河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学（理科）试卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知集合(){}|10A x x x =-≤，(){}|ln B x y x a ==-，若A B A =I ，则实数a 的取值范围为（ ） A. (),0-∞ B. (],0-∞C. ()1,+∞D. [)1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】分别求出集合A 集合B 范围，根据A B A =I 得到A 是B 子集，根据范围大小得到答案. 【详解】(){}|1001A x x x x =-≤⇒≤≤(){}|ln B x y x a x a ==-⇒>A B A A B ⋂=⇒⊆所以0a < 故答案选A【点睛】本题考查了集合的包含关系求取值范围，属于简单题.2.已知AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，4AB =，则AB 中点C 的横坐标是 ( )A. 2B.32C.12D.52【答案】B 【解析】 【分析】先设A B ，两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标. 【详解】设()()1122A ,B ,x y x y ，，C 的横坐标为0x ，则1202x x x +=， 因为AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，所以121214AB x x p x x =++=++=，所以123x x +=，故120322x x x +==. 故选B【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于基础题型.3.如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧»BC的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（ ）A.3B.C.6D.6【答案】D 【解析】 【分析】取BC 的中点H ，连接,,?EH AH ED ，则异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠，再利用余弦定理求cos EAD ∠得解.【详解】取BC 的中点H ，连接,,90,EH AH EHA ∠=o设2,AB =则1,BH HE AH ===所以AE =连接,ED ED =因为//,BC AD所以异面直线AE 与BC 所成角即为,EAD ∠在EAD V 中cosEAD ∠== 故选:D【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.4.已知α、β都为锐角，且7sin α=、cos β=α﹣β＝（ ）A. 3π-B.3π C. 6π-D.6π 【答案】C 【解析】 【分析】由同角三角函数的关系以及两角和与差的公式即可求解.【详解】因α、β都为锐角，且7sin α=、14cos β=，所以cos α=sin β=，由()491sin sin cos cos sin 714714982αβαβαβ-=-=⋅-⋅=-=-， 且α、β都为锐角， 所以6παβ-=-故选：C【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系以及两角和与差的正弦公式，属于基础题. 5.设a R ∈，[0,2]b π∈.若对任意实数x 都有sin(3)=sin()3x ax b π-+，则满足条件的有序实数对（a,b ）的对数为（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】试题分析：5sin(3)sin(32)sin(3)333x x x ππππ-=-+=+，，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x x ππππ-=--=-+，4(,)(3,)3a b π=-， 注意到[0,2)b π∈，只有这两组．故选B ． 【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到,a b 的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等. 【此处有视频，请去附件查看】6.已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为（ ） A.32B.52C.72D.92【答案】B 【解析】 【分析】设()00,P x y ，因为=OP OF 再结合双曲线方程可解出0y ，再利用三角形面积公式可求出结果.【详解】设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又3OP OF ===，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =，即053y =， 0115532232OPFS OF y ∆∴==⨯⨯=g ， 故选B ．【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅． 7.已知等差数列{}n a 的公差不为零，其前n 项和为n S ，若3S ，9S ，27S 成等比数列，则93S S =（） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12【答案】C 【解析】 【分析】由题意，得29327S S S =⨯，利用等差数列的求和公式，列出方程求得12d a =，即可求解93S S 的值，得到答案.【详解】由题意，知3S ，9S ，27S 成等比数列，所以29327S S S =⨯，即219131279()3()27()222a a a a a a +++⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭， 整理得2521437821a a a =⨯，所以2111(4)()(13)a d a d a d +=++，解得12d a =，所以919135329()3()9223S a a a a a S a ++=÷=＝11113(4)2793a d a a d a +==+， 故选C.【点睛】本题主要考查了等比中项公式，以及等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.在ABC ∆中，点P 满足3BP PC =uu v uu u v，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若AM AB λ=u u u u r u u u r ，()0,0AN AC μλμ=>>uuur uu u r ，则λμ+的最小值为（ ）A.12+ B.1+ C.32D.52【答案】B 【解析】 【分析】由题意得出1344AP AB AC =+uu u r uu u r uuu r ，再由AM AB λ=u u u u r u u u r ，AN AC μ=u u ur u u u r ，可得出1344AP AM AN λμ=+uu u r uuu r uuu r ，由三点共线得出13144λμ+=，将代数式λμ+与1344λμ+相乘，展开后利用基本不等式可求出λμ+的最小值.【详解】如下图所示：3BP PC =uu r uu u rQ ，即()3AP AB AC AP -=-uu u r uu u r uuu r uu u r ，1344AP AB AC ∴=+uu u r uu u r uu u r ，AM AB λ=uuu r uu u r Q ，()0,0AN AC μλμ=>>uuur uu u r ，1AB AM λ∴=uu u r uuu r ，1AC AN μ=uuu r uuu r ，1344AP AM AN λμ∴=+uu u r uuu r uuu r ，M Q 、P 、N 三点共线，则13144λμ+=.()133********λμλμλμλμμλ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭，当且仅当μ=时，等号成立，因此，λμ+1+，故选B. 【点睛】本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解题时要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题.9.如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论：①三棱锥1A D PC -的体积不变；1//A P ②平面1ACD ； 1DP BC ⊥③；④平面1PDB ⊥平面1ACD ．其中正确的结论的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【详解】对于①，由题意知11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，故BC 1上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，所以以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，故①正确； 对于②，连接1A B ，11A C ，111//AC AD 且相等，由于①知：11//AD BC ， 所以11//BA C 面1ACD ，从而由线面平行的定义可得，故②正确； 对于③，由于DC ⊥平面11BCB C ，所以1DC BC ⊥， 若1DP BC ⊥，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 为动点矛盾，故③错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，从而由面面垂直的判定知，故④正确． 故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．10.过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于（ ）A. B. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为圆心在弦AC 的中垂线上，所以设圆心P 坐标为（a ，-2），再利用222r AP BP =+，求得1a =，确定圆的方程.又直线过定点Q ，则可以得到弦长最短时圆心与直线的定点Q 与弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦长.【详解】解：设圆心坐标P 为（a,-2），则r 2＝()()()()2222132422a a -++=-++，解得a=1，所以P （1，-2）.又直线过定点Q （-2，0），当直线PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长20x ay ++=被圆截得的弦长为故选B ．11.如图，三棱柱111ABC A B C -的高为6，点D ，E 分别在线段11A C ，1B C 上，111A C 3DC =，11B C 4B =E.点A ，D ，E 所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面ABC V 的面积为6，则较大部分的体积为( )A. 22B. 23C. 26D. 27【答案】B 【解析】 【分析】延长AD 与CC 1的交点为P ，连接PE 与C 1B 1的交点为N ，延长PE 交B 1B 为M ，与面ABC 交于点Q ，得到截面为DNMA ，由题意得A 1D ＝2DC 1，由此能求出较大部分的体积． 【详解】如图，延长AD 与1CC 的交点为P ，连接PE 与11C B 的交点为N ， 延长PE 交1B B 为M ，与面ABC 交于点Q ， 得到截面为DNMA ，111A C 3DC =Q ，11B C 4B E =，M ∴，N 分别为11C B ，1B B 的中点，下部分体积11P AQC P DNC M ABQ AQC ABQ DNC 11111h V V V V S h h S h S 23323232---⎛⎫=--=⨯⨯+-⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭V V 下． 故选B ．【点睛】本题考查几何体中两部分体积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间不规则几何体体积的求解方法的培养．12.设D2a=+,其中 2.71828e≈，则D的最小值为( )11【答案】C【解析】表示两点(,)xC x e与点(,A a距离，而点A在抛物线24y x=上，抛物线的焦点(1,0)F，准线为1x=-，则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和加上1，画出图象，当,,F A C三点共线时，可求得最小值.详解：由题意0a≥，2D a=+，表示两点(,)xC x e与点(,A a的距离，而点A在抛物线24y x=上，抛物线的焦点(1,0)F，准线为1x=-，则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和加上1，由图象可知,,F A C三点共线时，且QF为曲线xy e=的垂线，此时D取得最小值，即Q为切点，设(,)mm e，由11mmeem-⋅=--，可得21mm e+=，设()2mg m m e=+，则()g m递增，且(0)1g=，可得切点(0,1)Q，即有FQ D1，故选C.点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解答中注意运用两点间的距离公式和抛物线的定义，以及的三点共线等知识综合运用，着重考查了转化与化归思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知函数()2log ,042,0x x x f x x ->⎧=⎨-≤⎩，则18f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 【答案】-4【解析】【分析】 先求18f ⎛⎫⎪⎝⎭，再求18f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【详解】因为函数()2log ,042,0x x x f x x ->⎧=⎨-≤⎩， 则211log 388f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ()1348f f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为-4. 【点睛】本题考查了分段函数求值，属于简单题型.14.已知1F ，2F 分别为椭圆22:1259x y C +=的左、右焦点，且点A 是椭圆C 上一点，点M 的坐标为(2,0)，若AM 为12F AF ∠的角平分线，则2AF =___________. 【答案】52【解析】【分析】由题意可知：A 在y 轴左侧，1122AF F M AF MF ==3，根据椭圆的性质可知：|AF 1|+|AF 2|＝2a ＝10，即可求得|AF 2|的值．【详解】解：由题意可知：∠F 1AM ＝∠MAF 2，设A 在y 轴左侧， ∴1122AF F M AF MF ==3，由|AF 1|+|AF 2|＝2a ＝10，A 在y 轴右侧时，|AF 2|10542==， 故答案为：52．【点睛】本题考查椭圆的几何性质及角平分线的性质，属于基本知识的考查．15.如图（1），在等腰直角ABC ∆中，斜边4AB =，D 为AB 的中点，将ACD ∆沿CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥C A BD '-，若三棱锥C A BD '-A DB '∠=_________.图（1） 图（2） 【答案】23π 【解析】【分析】【详解】解：球是三棱锥C ﹣A 'BD 的外接球，所以球心O 到各顶点的距离相等，如图．根据题意，CD ⊥平面A 'BD ，取CD 的中点E ，A 'B 的中点G ，连接CG ，DG ，因为A 'D ＝BD ，CD ⊥平面A 'BD ，所以A '和B 关于平面CDG 对称，在平面CDG 内，作线段CD 的垂直平分线，则球心O 在线段CD 的垂直平分线上，设为图中的O 点位置，过O 作直线CD 的平行线，交平面A 'BD 于点F ，则OF ⊥平面A 'BD ，且OF ＝DE ＝1，因为A 'F 在平面A 'BD 内，所以OF ⊥A 'F ，即三角形A 'OF 为直角三角形，且斜边OA '＝R =∴A 'F ==2，所以，BF ＝2，所以四边形A 'DBF 为菱形，又知OD ＝R ，三角形ODE 为直角三角形，∴OE ==2，∴三角形A 'DF 为等边三角形，∴∠A 'DF 3π=，故∠A 'DB 23π=， 故填：23π．【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于中档题． 16.设定义在D 上的函数()y h x =在点00(,())P x h x 处的切线方程为:()l y g x =，当0x x ≠时，若0()()0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 点为函数()y h x =的“类对称中心点”，则函数22()ln 2x f x x e=+的“类对称中心点”的坐标是________.【答案】3(,)2e【解析】【分析】由求导公式求出函数f （x ）的导数，由导数的几何意义和条件求出切线方程，再求出y ＝g （x ），设F （x ）＝f （x ）﹣g （x ），求出导数化简后利用分类讨论和导数与函数单调性的关系，判断出F （x ）的单调性和最值，从而可判断出()()0f x g x x x --的符号，再由“类对称中心点”的定义确定“类对称中心点”的坐标．【详解】解：由题意得，f ′（x ）21x e x =+，f （x 0）20022x lnx e=+（x ＞0）， 即函数y ＝f （x ）的定义域D ＝（0，+∞），所以函数y ＝f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线方程l 方程为：y ﹣（20022x lnx e +）＝（0201x e x +）（x ﹣x 0）， 则g （x ）＝（0201x e x +）（x ﹣x 0）+（20022x lnx e+）， 设F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）222x e =+lnx ﹣[（0201x e x +）（x ﹣x 0）+（20022x lnx e +）]， 则F （x 0）＝0，所以F ′（x ）＝f ′x ）﹣g ′（x ）21x e x =+-（0201x e x +）02011x x e x x -=+- ()()0002200111x x x x x x x e xx x e x ⎛⎫-=-+=-- ⎪⎝⎭当0＜x 0＜e 时，F （x ）在（x 0，2e x ）上递减， ∴x ∈（x 0，20e x ）时，F （x ）＜F （x 0）＝0，此时()()00f x g x x x --＜， 当x 0＞e 时，F （x ）在（2e x ，x 0）上递减；∴x ∈（20e x ，x 0）时，F （x ）＞F （x 0）＝0，此时()()00f x g x x x --＜， ∴y ＝F （x ）在（0，e ）∪（e ，+∞）上不存在“类对称点”．若x 0＝e ，()22211()x x e x e x e e xe -⎛⎫--= ⎪⎝⎭＞0，则F （x ）在（0，+∞）上是增函数， 当x ＞x 0时，F （x ）＞F （x 0）＝0，当x ＜x 0时，F （x ）＜F （x 0）＝0，故()()00f x g x x x --＞，即此时点P 是y ＝f （x ）的“类对称点”，综上可得，y ＝F （x ）存在“类对称点”，e 是一个“类对称点”的横坐标，又f （e ）22322e lne e =+=，所以函数f （x ）的“类对称中心点”的坐标是32e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 故答案为：32e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【点睛】本题考查利用导数求函数的单调增区间，求函数的最值问题、新定义的问题，考查了分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，以及化简变形能力，此题是难题． 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.在平面四边形ABCD 中，A C π∠+∠=，1AB =，3BC =，2CD DA ==.（1）求C ∠；（2）若E 是BD 的中点，求CE .【答案】（1）60C =o ；（2）2CE =【解析】【分析】（1）利用余弦定理进行化简，求出C ；（2）利用向量法求出CE ．【详解】（1）由题设及余弦定理得：2222cos BD BC CD BC CD =+-⋅1312cos C C =-， BD 2＝AB 2+DA 2﹣2AB •DA cos A ＝5+4cos C ，所以cos C 12=，60C ∴=o ；（2）由1()2CE CD CB =+u u u r u u u r u u u r ，得2221(2)4CE CD CB CD CB =++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1119(49223)424=++⨯⨯⨯=所以2CE =.【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查了向量数量积运算，属于中档题．18. 如图，已知正三棱锥P-ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连结PE 并延长交AB 于点G.（Ⅰ）证明：G 是AB 的中点；（Ⅱ）在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）作图见解析，体积为43. 【解析】试题分析：证明.AB PG ⊥由PA PB =可得G 是AB 的中点.（Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA =，可得2,==DE PE 在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF 四面体PDEF 的体积114222.323V =⨯⨯⨯⨯= 试题解析：（Ⅰ）因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以.AB PD ⊥因为D 在平面PAB 内的正投影为E ，所以.AB DE ⊥所以AB ⊥平面PED ，故.AB PG ⊥又由已知可得，PA PB =，从而G 是AB 的中点.（Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影. 理由如下：由已知可得PB PA ⊥，PB PC ⊥，又EF PB P ,所以EF PA EF PC ⊥⊥，,因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.连结CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心.由（Ⅰ）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故2.3=CD CG 由题设可得PC ⊥平面PAB ，DE ⊥平面PAB ，所以DE PC P ，因此21,.33==PE PG DE PC由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA =，可得2,==DE PE在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF所以四面体PDEF 的体积114222.323V =⨯⨯⨯⨯= 【考点】线面位置关系及几何体体积计算【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,注意防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.【此处有视频，请去附件查看】19.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为BAB = ，1）求椭圆方程；，2，设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ V 面积的2倍，求k 的值．【答案】，1，22194x y +=，(2)12-， 【解析】分析：，I ）由题意结合几何关系可求得3,2a b ==.则椭圆的方程为22194x y +=. ，II ）设点P 的坐标为()11,x y ，点M 的坐标为()22,x y ，由题意可得215x x =.易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩可得2632x k =+.由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩可得1x =结合215x x =，可得89k =-，或12k =-.经检验k 的值为12-. 详解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由||AB ==,从而3,2a b ==． 所以，椭圆的方程为22194x y +=． （II ）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>，点Q 的坐标为11(,)x y --．由BPM △的面积是BPQ V 面积的2倍，可得||=2||PM PQ ，从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =．易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组的221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y ，可得1x =．由215x x =，5(32)k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-． 当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意． 所以，k 的值为12-． 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20.如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，//EF AB ，2AB =，3DE =，1BC EF ==，AE =60BAD ︒∠=，G 为BC 的中点.（1）求证：平面BED ⊥平面AED ；（2）求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2【解析】【分析】 （1）根据余弦定理求出BD =BD ⊥AD ，再根据面面垂直的判定定理即可证明；（2）先判断出直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角，再根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案． 的【详解】（1）证明：在ABD ∆中，1AD =，2AB =，60BAD ︒∠=，由余弦定理可得BD =90ADB ︒∠=，即BD AD ⊥，又∵平面AED ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，平面AED I 平面ABCD AD =，∴BD ⊥平面AED ，∵BD ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面AED .（2）∵//EF AB ，∴直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角， 过点A 作AH DE ⊥于点H ，连接BH ，又平面BED I 平面AED ED =，由（1）知AH ⊥平面BED ，∴直线AB 与平面BED 所成的角为ABH ∠，在ADE ∆，1AD =，3DE =，AE =2cos 3ADE ∠=，∴sin ADE ∠=，∴AH AD =Rt AHB ∆中，sin AH ABH AB ∠==∴直线EF 与平面BED 所成角的正弦值6.【点睛】本题考查了平面与平面的垂直，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题．21.设抛物线Γ的方程为22y px =，其中常数0p >，F 是抛物线Γ的焦点.（1）设A 是点F 关于顶点O 的对称点，P 是抛物线Γ上的动点，求||||PA PF 的最大值； （2）设2p =，1l ，2l 是两条互相垂直，且均经过点F 的直线，1l 与抛物线Γ交于点A ，B ，2l 与抛物线Γ交于点C ，D ，若点G 满足4FG FA FB FC FD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，求点G 的轨迹方程.【答案】（1；（2）23y x =-【解析】【分析】（1）求得A 的坐标，设出过A 的直线为y ＝k （x 2p +），k ＝tan α，联立抛物线方程，运用判别式为0，求得倾斜角，可得所求最大值；（2）求得F （1，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），G （x ，y ），设l 1：y ＝k （x ﹣1），联立抛物线方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合向量的坐标表示，以及消元，可得所求轨迹方程．【详解】（1）A 是点(,0)2p F 关于顶点O 的对称点，可得(,0)2p A -， 设过A 的直线为()2p y k x =+，tan k α=， 联立抛物线方程可得22222(2)04k p k x k p p x +-+=， 由直线和抛物线相切可得2242(2)0k p p k p ∆=--=，解得1k =±，可取1k =，可得切线的倾斜角为45°， 由抛物线的定义可得||11||sin(90)cos PA PF αα︒==-，而α的最小值为45°， ||||PA PF ； （2）由24y x =，可得(1,0)F ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，()G x y ,， 设1:(1)l y k x =-，联立抛物线24y x =，可得2222(24)0k x k x k -++=， 即有12242x x k+=+，12124()2y y k x x k k +=+-=， 由两直线垂直的条件，可将k 换为1k-，可得23424x x k +=+，344y y k +=-， 点G 满足4FG FA FB FC FD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，可得123412344(1,)(4,)x y x x x x y y y y -=+++-+++， 即为2123424444x x x x x k k =+++=++，1234444y y y y y k k =+++=-+， 可得222211()23y k k x k k=-=+-=-，则G 的轨迹方程为23y x =-. 【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用判别式和韦达定理，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，属于中档题．22.设,a b ∈R ，||1a ….已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()()xg x e f x =.（1）求()f x 的单调区间；（2）已知函数()y g x =和x y e =的图象在公共点00(,)x y 处有相同的切线，（i ）求()f x 在0x x =处的导数；（ⅱ）若关于x 的不等式()x g x e „在区间[]001,1x x -+上恒成立，求b 的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，单调递减区间为(,4)a a -；（2）（ⅰ）0，（ⅱ）[7,1]-【解析】【分析】（1）求出函数f （x ）的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，列表后可得f （x ）的单调区间；（2）（i ）求出g （x ）的导函数，由题意知()()0000'x x g x e g x e ⎧=⎪⎨=⎪⎩，求解可得()()001'0f x f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩．得到f （x ）在x ＝x 0处的导数等于0；（ii ）由（I ）知x 0＝a ．且f （x ）在（a ﹣1，a ）内单调递增，在（a ，a +1）内单调递减，故当x 0＝a 时，f （x ）≤f （a ）＝1在[a ﹣1，a +1]上恒成立，从而g （x ）≤e x 在[x 0﹣1，x 0+1]上恒成立．由f （a ）＝a 3﹣6a 2﹣3a （a ﹣4）a +b ＝1，得b ＝2a 3﹣6a 2+1，﹣1≤a ≤1．构造函数t （x ）＝2x 3﹣6x 2+1，x ∈[﹣1，1]，利用导数求其值域可得b 的范围．【详解】（1）由32()63(4)f x x x a a x b =---+，可得2()3123(4)3()((4))f x x x a a x a x a '=---=---，令()0f x '=，解得x a =，或4x a =-.由||1a „，得4a a <-.当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：∴()f x 的单调递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，单调递减区间为(,4)a a -；（2）（ⅰ）∵()(()())xg x e f x f x ''=+，由题意知0000()()x x g x e g x e ⎧'=⎪⎨=⎪⎩， ∴0000000()(()())x x x x f x e e e f x f x e'⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得00()1()0f x f x =='⎧⎨⎩.∴()f x 在0x x =处的导数等于0； （ⅱ）∵()x g x e „，00[1,1]x x x ∈-+，由0x e >，可得()1f x „.又∵0()1f x =，0()0f x '=，故0x 为()f x 的极大值点，由（1）知0x a =.另一方面，由于||1a „，故14a a +<-，由（1）知()f x 在(1,)a a -内单调递增，在(,1)a a +内单调递减，故当0x a =时，()()1f x f a =„在[1,1]a a -+上恒成立，从而()x g x e „在[]001,1x x -+上恒成立.由32()63(4)1f a a a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -剟. 令32()261t x x x =-+，[1,1]x ∈-，∴2()612t x x x '=-，令()0t x '=，解得2x =（舍去），或0x =. ∵(1)7t -=-，(1)3t =-，(0)1t =，故()t x 的值域为[7,1]-.∴b 的取值范围是[7,1]-.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用研究过曲线上某点处的切线方程，训练了恒成立问题的求解方法，体现了数学转化思想方法，是压轴题．。
2019-2020学年人教A版河北省衡水中学高三(上)期中理科数学试卷(解析版)
2019-2020学年高三上学期期中（理科）数学试卷一、选择题1．已知曲线f（x）＝x cos x+3x在点（0，f（0））处的切线与直线ax+4y+1＝0垂直，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．42．已知各项不为0的等差数列{a n}满足a5﹣2a72+2a8＝0，数列{b n}是等比数列且b7＝a7，则b2b12等于（）A．B．C．D．3．对于函数f（x），若存在区间A＝[m，n]使得{y|y＝f（x），x∈A}＝A则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）＝cos x；②f（x）＝x2﹣1；③f（x）＝|x2﹣1|；④f（x）＝log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（）A．①②B．①②③C．②③D．①②④4．设θ为两个非零向量的夹角，已知对任意实数t，|的最小值为1，则（）A．若|确定，则θ唯一确定B．若|确定，则θ唯一确定C．若θ确定，则|唯一确定D．若θ确定，则|唯一确定5．已知点P（x，y）是直线y＝2x﹣4上一动点，PM与PN是圆C：x2+（y﹣1）2＝1的两条切线，M，N为切点，则四边形PMCN的最小面积为（）A．B．C．D．6．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则＝（）A．B．C．﹣1 D．7．已知函数，若f（x﹣a）＝﹣f（x+a）恒成立，则实数a的最小正值为（）A．2πB．πC．D．8．设S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，a n+1＝2S n，则数列{}的前20项和为（）A．B．C．D．9．椭圆的左右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．已知函数的图象的一条对称轴为直线，且f（x1）•f（x2）＝﹣4，则|x1+x2|的最小值为（）A．B．0 C．D．11．若函数f（x）＝e x（x﹣3）﹣kx3+kx2只有一个极值点，则k的取值范围为（）A．（﹣∞，e）B．[0，e] C．（﹣∞，2）D．（0，2]12．双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交曲线左支于A，B两点，△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°．若该双曲线的离心率为e，则e2＝（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上）13．已知向量，，||＝1，||＝2，且|2+|＝，则•＝．14．已知抛物线E：y2＝12x的焦点为F，准线为l，过F的直线m与E交于A，B两点，过A作AM⊥l，垂足为M，AM的中点为N，若AM⊥FN，则|AB|＝．15．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）e x﹣1，若当x＞1时，f（x）﹣mx+l+m≤0有解，则m的取值范围为．16．数列{a n}为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出a1＝1，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是a2＝1，a3＝2，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是a4＝1，a5＝1，a6＝2，a7＝3，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则a2019＝．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图为一块边长为2km的等边三角形地块ABC，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D出发引出两条成60°角的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设∠BDE＝α．（1）当α＝60o时，求绿化面积；（2）试求地块的绿化面积S（α）的取值范围．18．已知等差数列{a n}前n项和S n，等比数列{b n}前n项和为T n，a1＝1，b1＝1，a2+b2＝4．（1）若a3+b3＝7，求数列{b n}的通项公式；（2）若T3＝13，求S5．19．已知圆D：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，点A在抛物线C：y2＝4x上，O为坐标原点，直线OA与圆D有公共点．（1）求点A横坐标的取值范围；（2）如图，当直线OA过圆心D时，过点A作抛物线的切线交y轴于点B，过点B引直线l交抛物线C于P、Q两点，过点P作x轴的垂线分别与直线OA、OQ交于M、N，求证：M为PN中点．20．已知等差数列{a n}的公差d∈（0，π]，数列{b n}满足b n＝sin（a n），集合S＝{x|x＝b n，n∈N*}．（1）若a1＝0，d＝，求集合S；（2）若a1＝，求d使得集合S恰有两个元素；（3）若集合S恰有三个元素，b n+T＝b n，T是不超过5的正整数，求T的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列{a n}的通项公式及集合S．21．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx，．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令h（x）＝mf（x）+g（x）（m＞0）两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：．22．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过定点M（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y＝kx﹣（k∈R）与椭圆C交于A、B两点，试问在y轴上是否存在定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过P点？若存在，求出P点的坐标和△PAB的面积的最大值，若不存在，说明理由．参考答案一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有-项符合题意．请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知曲线f（x）＝x cos x+3x在点（0，f（0））处的切线与直线ax+4y+1＝0垂直，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a的方程，解方程可得所求值．解：f（x）＝x cos x+3x的导数为f′（x）＝cos x﹣x sin x+3，可得在点（0，f（0））处的切线斜率为cos0﹣0+3＝4，由切线与直线ax+4y+1＝0垂直，可得﹣＝﹣，即a＝1．故选：C．2．已知各项不为0的等差数列{a n}满足a5﹣2a72+2a8＝0，数列{b n}是等比数列且b7＝a7，则b2b12等于（）A．B．C．D．【分析】由条件利用等差数列的性质可得3a7＝2，求得a7的值，再根据b2b12＝计算．解：由a5﹣2a72+2a8＝0，得a5+2a8＝2a72，即3（a1+6d）＝2a72，即3a7＝2a72，∵a7≠0，∴a7＝＝b7，则b2b12＝＝．故选：C．3．对于函数f（x），若存在区间A＝[m，n]使得{y|y＝f（x），x∈A}＝A则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）＝cos x；②f（x）＝x2﹣1；③f（x）＝|x2﹣1|；④f（x）＝log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（）A．①②B．①②③C．②③D．①②④【分析】解题思路：对于每一个选项找到其“同域区间”就判定为“同域函数”．逐项寻找就可以了！解：对于函数①，当x∈[0，1]，则有f（x）∈[0，1]，符合题意；对于函数②f（x）＝x2﹣1，当x∈[﹣1，0]时，则有f（x）∈[﹣1，0]，符合题意；对于函数③，当x∈[0，1]时，则有f（x）∈[0，1]，符合题意；由选项可知，应选B，故选：B．4．设θ为两个非零向量的夹角，已知对任意实数t，|的最小值为1，则（）A．若|确定，则θ唯一确定B．若|确定，则θ唯一确定C．若θ确定，则|唯一确定D．若θ确定，则|唯一确定【分析】由题意可得，（）2＝，则令g（t）＝，可得判别式△＜0，运用二次函数的性质，求出最小值，结合向量的数量积的性质，即可得到答案．解：（）2＝，则令g（t）＝，可得判别式△＝4（）2﹣4＝4﹣4＝﹣4sin2θ＜0，由二次函数的性质，可得g（t）＞0恒成立．且当t＝﹣＝﹣cosθ时，g（t）最小，且为1．即g（﹣cosθ）＝﹣||2cos2θ+||2＝||2sin2θ＝1，故当θ唯一确定时，||唯一确定．故选：D．5．已知点P（x，y）是直线y＝2x﹣4上一动点，PM与PN是圆C：x2+（y﹣1）2＝1的两条切线，M，N为切点，则四边形PMCN的最小面积为（）A．B．C．D．【分析】四边形PMCN的面积是两个三角形的面积的和，因为CM⊥PM，CM＝1，显然PM 最小时，四边形面积最小，此时PC最小，由此可得结论．解：圆C：x2+（y﹣1）2＝1圆心坐标为（0，1），半径为1；由题意过点P作圆C的两条切线，切点分别为M，N，可知四边形PMCN的面积是两个三角形的面积的和，因为CM⊥PM，CM＝1，显然PM最小时，四边形面积最小，此时PC最小．∵P是直线y＝2x﹣4上的动点，∴PC最小值＝＝，∴PM最小值＝＝，∴四边形PMCN面积的最小值为：2×＝．故选：A．6．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则＝（）A．B．C．﹣1 D．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得f（）的值．解：由函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象，可得A＝2，由2sinφ＝，求得φ＝．再根据五点法作图，可得ω•+＝，∴ω＝2，∴f（x）＝2sin（2x+），∴f（）＝2sin（+）＝﹣2cos＝﹣1，故选：C．7．已知函数，若f（x﹣a）＝﹣f（x+a）恒成立，则实数a的最小正值为（）A．2πB．πC．D．【分析】将函数式f（x）进行化简求出最小正周期，并将恒成立问题转化为周期问题即可．解：∵f（x）＝﹣4sin x cos x＝﹣2sin2x∴f（x）的最小正周期为T＝π；又∵f（x﹣a）＝﹣f（x+a）恒成立，∴f（x）＝﹣f（x+2a）⇒﹣f（x）＝f（x+2a），而﹣f（x）＝f（x﹣2a），∴f（x+2a）＝f（x﹣2a）⇒f（x）＝f（x+4a），∴f（x）是以4a为周期的函数，∴4a＝π，⇒a＝；故选：D．8．设S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，a n+1＝2S n，则数列{}的前20项和为（）A．B．C．D．【分析】根据数列的递推公式可得数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，即可得到＝（）n﹣1，再根据等比数列的求和公式即可求出．解：设S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，a n+1＝2S n，∴a n＝2S n﹣1，∴a n+1﹣a n＝2a n，∴a n+1＝3a n，∴数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，∴a n＝3n﹣1，当n＝1时也满足，∴＝（）n﹣1，∴数列{}的前20项和为＝﹣故选：A．9．椭圆的左右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用已知条件以及椭圆的性质列出关系式，求解椭圆的离心率即可．解：椭圆的左右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，可得（2a﹣c）2+c2＝4c2，可得2a2﹣2ac＝c2，所以e2+2e﹣2＝0，e∈（0，1），解得e＝＝．故选：A．10．已知函数的图象的一条对称轴为直线，且f（x1）•f（x2）＝﹣4，则|x1+x2|的最小值为（）A．B．0 C．D．【分析】首先通过三角函数的恒等变换把函数关系式变性成正弦型函数，进一步利用对称轴确定函数的解析式，再利用正弦型函数的最值确定结果．解：函数＝sin（x+θ）的图象的一条对称轴为直线，∴f（）＝+＝±，解得a＝±1．当a＝1时，f（x）＝sin x﹣cos x＝2sin（x﹣），∵f（x1）•f（x2）＝﹣4，则f（x1）和f（x2）一个为﹣2，另一个为2，∴x1＝2kπ﹣，x2＝2kπ+，则|x1+x2|＝|4kπ+|，k∈Z．故当k＝0时，|x1+x2|取得最小值为．当a＝﹣1时，同理求得，|x1+x2|取得最小值为，故选：D．11．若函数f（x）＝e x（x﹣3）﹣kx3+kx2只有一个极值点，则k的取值范围为（）A．（﹣∞，e）B．[0，e] C．（﹣∞，2）D．（0，2]【分析】利用函数求导函数f′（x）＝e x（x﹣2）﹣kx2+2kx＝（x﹣2）（e x﹣kx），只有一个极值点时f′（x）＝0只有一个实数解有e x﹣kx≥0，设新函数设u（x）＝e x，v （x）＝kx，等价转化数形结合法即可得出结论，解：函数f（x）＝e x（x﹣3）﹣kx3+kx2只有一个极值点，f′（x）＝e x（x﹣2）﹣kx2+2kx＝（x﹣2）（e x﹣kx），若函数f（x）＝e x（x﹣3）﹣kx3+kx2只有一个极值点，f′（x）＝0只有一个实数解，则：e x﹣kx≥0，从而得到：e x≥kx，当k＝0 时，成立．当k≠0时，设u（x）＝e x，v（x）＝kx如图：当两函数相切时，k＝e，此时得到k的最大值，但k＜0时不成立．故k的取值范围为：（0，e]综上：k的取值范围为：[0，e]故选：B．12．双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交曲线左支于A，B两点，△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°．若该双曲线的离心率为e，则e2＝（）A．B．C．D．【分析】设|BF2|＝2m，根据△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°，以及双曲线的性质可得|AF2|＝2a（3﹣），|AF1|＝2a（2﹣），再根据勾股定理即可求出解：设|BF2|＝2m，∵△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°，∴|AB|＝|BF2|＝m，|AF2|＝|BF2|＝m，由|AF2|﹣|AF1|＝2a，∴|AF1|＝m﹣2a，由|BF2|﹣|BF1|＝2a，∴|BF1|＝2m﹣2a，∴|AF1|+|BF1|＝AB，∴m﹣2a+2m﹣2a＝m，∴m＝2a（﹣1），∴|AF2|＝•2a（﹣1）＝2a（3﹣）|AF1|＝2a（3﹣）﹣2a＝2a（2﹣）又在Rt△F1AF2中|AF1|2+|AF2|2＝4c2，即4a2（3﹣）2+4a2（2﹣）2＝4c2，即（19﹣10）a2＝c2，∴e2＝19﹣10，故选：D．二、填空题（每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上）13．已知向量，，||＝1，||＝2，且|2+|＝，则•＝．【分析】根据，对两边平方即可得出，从而可求出．解：∵||＝1，||＝2，且|2+|＝，∴＝，∴．故答案为：．14．已知抛物线E：y2＝12x的焦点为F，准线为l，过F的直线m与E交于A，B两点，过A作AM⊥l，垂足为M，AM的中点为N，若AM⊥FN，则|AB|＝16 ．【分析】由题意画出图形，得到直线AB的斜率，进一步求得直线AB的方程，与抛物线方程联立求解即可得答案．解：由题意画出图形如图，∵AF＝AM，N为AM的中点，且FN⊥AM，∴∠AFN＝30°，则直线AB的倾斜角为60°，斜率为．由抛物线y2＝12x，得F（3，0），则直线AB的方程为y＝（x﹣3）．联立，得x2﹣10x+9＝0．则x A+x B＝10，∴|AB|＝x A+x B+p＝16．故答案为：16．15．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）e x﹣1，若当x＞1时，f（x）﹣mx+l+m≤0有解，则m的取值范围为（﹣1，+∞）．【分析】先求导，判断出函数的单调性，可得函数值的情况，即可求出m的取值范围．解：∵f（x）﹣mx+1+m≤0，∴f（x）≤m（x﹣1）﹣1，∵y＝m（x﹣1）﹣1且过定点（1，﹣1），∵当x＞1时，f（x）﹣mx+1+m≤0有解，∴当x＞1时，存在y＝f（x）在y＝m（x﹣1）﹣1的下方，∵f'（x）＝（x2﹣2）e x﹣1，令f'（x）＝0，解得x＝，当1＜x＜时，f'（x）＜0，当x＞时，f'（x）＞0，∴f（x）在（1，）上递减，在（）上递增，∵当x＞2时，f（x）＞0，又f（1）＝﹣1，f（）＜﹣1，f（2）＝0，∴m＞﹣1，故答案为：（﹣1，+∞）16．数列{a n}为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出a1＝1，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是a2＝1，a3＝2，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是a4＝1，a5＝1，a6＝2，a7＝3，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则a2019＝ 1 ．【分析】由数列{a n}的构造方法可知a1＝1，a3＝2，a7＝3，a15＝4，可得＝n，即＝a k（1≤k＜2n﹣1），进而得出结论．解：由数列{a n}的构造方法可知a1＝1，a3＝2，a7＝3，a15＝4，可得＝n，即＝a k（1≤k＜2n﹣1），故a2019＝a996＝a485＝a230＝a103＝a40＝a9＝a2＝1．故答案为：1．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图为一块边长为2km的等边三角形地块ABC，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D出发引出两条成60°角的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设∠BDE＝α．（1）当α＝60o时，求绿化面积；（2）试求地块的绿化面积S（α）的取值范围．【分析】（1）当α＝60o时，DE∥AC，DF∥AB，四边形AEDF为平行四边形，△BDE和△CDF都为边长为1km的等边三角形，结合已知即可求解；（2）由题意可得，30°＜α＜90°，在△BDE中，由正弦定理可表示BE，同理可得CF，然后结合和差角公式及同角平方关系对BE+CF进行化简，而s（α）＝s△ABC﹣s△BDE﹣s CDF ＝，代入结合正弦函数的性质可求．解：（1）当α＝60o时，DE∥AC，DF∥AB，四边形AEDF为平行四边形，△BDE和△CDF 都为边长为1km的等边三角形，面积，绿化面积＝km2；（2）由题意可得，30°＜α＜90°，在△BDE中，∠BED＝120°﹣α，由正弦定理可得，，∴BE＝，△CDF中，∠CDF＝120°﹣α，∠CFD＝α，由正弦定理可得，，∴CF＝，∴BE+CF＝+＝，＝═＝1＝1，∴s（α）＝s△ABC﹣s△BDE﹣s CDF＝＝（30°＜α＜90°），，，∴，∴，答：地块的绿化面积S（α）的取值范围（]18．已知等差数列{a n}前n项和S n，等比数列{b n}前n项和为T n，a1＝1，b1＝1，a2+b2＝4．（1）若a3+b3＝7，求数列{b n}的通项公式；（2）若T3＝13，求S5．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由已知列关于d 和q的方程组，求得q，可得数列{b n}的通项公式；（2）由b1＝1，T3＝13列式求得q，然后分类求解S5．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a1＝1，b1＝1，a2+b2＝4，a3+b3＝7，得，解得q＝2．∴；（2）由b1＝1，T3＝13，得1+q+q2＝13，即q＝﹣4或q＝3．当q＝﹣4时，b2＝﹣4，此时a2＝4﹣b2＝8，d＝a2﹣a1＝7，；当q＝3时，b2＝3，此时a2＝4﹣b2＝1，d＝a2﹣a1＝0，S5＝5a1＝5．综上，S5＝75或5．19．已知圆D：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，点A在抛物线C：y2＝4x上，O为坐标原点，直线OA与圆D有公共点．（1）求点A横坐标的取值范围；（2）如图，当直线OA过圆心D时，过点A作抛物线的切线交y轴于点B，过点B引直线l交抛物线C于P、Q两点，过点P作x轴的垂线分别与直线OA、OQ交于M、N，求证：M为PN中点．【分析】（1）根据题意设出直线OA的方程，联立抛物线方程可表示出交点A的坐标，再根据圆心到直线的距离小于半径可以求得OA斜率范围，继而算出A点横坐标的范围；（2）对抛物线求导，可求出AB的斜率，继而写出AB的方程，可以求得B点坐标，设出直线l及交点坐标，联立直线与抛物线方程可以推得y P+y N＝2y M，得出结论．解：（1）由题意直线OA斜率存在且不为零，设l OA：y＝kx，则由'解得，又D（2，1）到l OA：kx﹣y＝0的距离为，即，所以．（2）证明：当直线OA过圆心D（2，1）时，，＝16，A（16，8），由y2＝4x（y＞0）可得，所以，所以，所以，即，所以B（0，4），设l：y＝mx+4，P（），Q（），由，l OQ：，得，y N＝，由，解得my2﹣4y+16＝0，所以，，所以＝，即M为PN中点．20．已知等差数列{a n}的公差d∈（0，π]，数列{b n}满足b n＝sin（a n），集合S＝{x|x＝b n，n∈N*}．（1）若a1＝0，d＝，求集合S；（2）若a1＝，求d使得集合S恰有两个元素；（3）若集合S恰有三个元素，b n+T＝b n，T是不超过5的正整数，求T的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列{a n}的通项公式及集合S．【分析】（1）根据等差数列的通项公式写出a n，进而求出b n，再根据周期性求解；（2）由集合S的元素个数，分析数列b n的周期，进而可求得答案；（3）分别令T＝1，2，3，4，5进行验证，判断T的可能取值，并写出与之相应的一个等差数列a n的通项公式及集合S．解：（1）∵等差数列{a n}的公差d∈（0，π]，数列{b n}满足b n＝sin（a n），集合S＝{x|x＝b n，n∈N*}，∴a1＝0，d＝，，∴b n＝sin（a n）＝0，，故S＝{0，}；（2）a1＝，，d∈（0，π]，根据题意，集合S恰有两个元素；当d＝π时，sin（）＝，故成立，因为a1＝，要使a n（n≥2）的值唯一，在一个周期内，角的终边关于y轴对称，且值相等如图3d＝2π，d＝，故d＝π或；（3）①当T＝3时，b n+3＝b n，集合S＝{b1，b2，b3}，符合题意．与之相应的一个等差数列a n的通项公式为，此时．②当T＝4时，b n+4＝b n，sin（a n+4d）＝sin a n，或a n+4d＝2kπ﹣a n，等差数列a n的公差d∈（0，π]，故，，又k＝1或2，∴当k＝1时满足条件，此时S＝{0，1，﹣1}与之相应的一个等差数列a n的通项公式为，此时S＝{0，1，﹣1}21．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx，．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令h（x）＝mf（x）+g（x）（m＞0）两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，求出单调区间；（Ⅱ）求出h（x）＝mf（x）+g（x）（m＞0）的导数，求解函数的最小值，通过零点判断定理，转化两个零点x1，x2（x1＜x2），所在位置，即可证明：．解：（Ⅰ）由题可知，f'（x）单调递增，且f'（1）＝0，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，当x≥1时，f'（x）≥0；因此f（x）在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．（Ⅱ）证明：由有两个零点可知由且m＞0可知，当0＜x＜1时，h'（x）＜0，当x≥1时，h'（x）≥0；即h（x）的最小值为，因此当时，，可知h（x）在上存在一个零点；当x＝e时，，可知h（x）在（1，e）上也存在一个零点；因此，即．22．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过定点M（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y＝kx﹣（k∈R）与椭圆C交于A、B两点，试问在y轴上是否存在定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过P点？若存在，求出P点的坐标和△PAB的面积的最大值，若不存在，说明理由．【分析】（1）运用离心率公式和点M满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，设P（0，p），求得向量PA，PB和数量积，再由直径所对的圆周角为直角，结合向量垂直的条件，即可得到结论．解：（1）由已知可得，∴椭圆C的方程为；（2）由得：9（2k2+4）x2﹣12kx﹣43＝0①设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程①的两根，∴，设P（0，p），则，＝假设在y轴上存在定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过P点，则，即．即（18p2﹣45）k2+36p2+24p﹣39＝0对任意k∈R恒成立，∴，此方程组无解，∴不存在定点满足条件．。
河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学(理)试题(答案解析版)
2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学（理科）试卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知集合(){}|10A x x x =-≤，(){}|ln B x y x a ==-，若A B A = ，则实数a 的取值范围为（）A.(),0-∞ B.(],0-∞ C.()1,+∞ D.[)1,+∞【答案】A 【解析】【分析】分别求出集合A 集合B 范围，根据A B A = 得到A 是B 子集，根据范围大小得到答案.【详解】(){}|1001A x x x x =-≤⇒≤≤(){}|lnB x y x a x a ==-⇒>A B A A B⋂=⇒⊆所以0a <故答案选A【点睛】本题考查了集合的包含关系求取值范围，属于简单题.2.已知AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，4AB =，则AB 中点C 的横坐标是()A.2B.32C.12D.52【答案】B 【解析】【分析】先设A B ，两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标.【详解】设()()1122A ,B ,x y x y ，，C 的横坐标为0x ，则1202x x x +=，因为AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，所以121214AB x x p x x =++=++=，所以123x x +=，故120322x x x +==.故选B【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于基础题型.3.如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧 BC的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（）A.3B.5C.306D.6【答案】D 【解析】【分析】取BC 的中点H ，连接,, EH AH ED ，则异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠，再利用余弦定理求cos EAD ∠得解.【详解】取BC 的中点H ，连接,,90,EH AH EHA ∠=设2,AB =则1,BH HE AH ===所以AE =连接,ED ED =因为//,BC AD 所以异面直线AE 与BC 所成角即为,EAD ∠在EAD 中cos6EAD ∠==故选:D【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.4.已知α、β都为锐角，且217sin α=、2114cos β=，则α﹣β＝（）A.3π-B.3π C.6π-D.6π【答案】C 【解析】【分析】由同角三角函数的关系以及两角和与差的公式即可求解.【详解】因为α、β都为锐角，且217sin α=、2114cos β=，所以7cos 7α=，57sin 14β=，由()212177491sin sin cos cos sin 714714982αβαβαβ-=-=⋅-=-，且α、β都为锐角，所以6παβ-=-故选：C【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系以及两角和与差的正弦公式，属于基础题.5.设a R ∈，[0,2]b π∈.若对任意实数x 都有sin(3)=sin()3x ax b π-+，则满足条件的有序实数对（a,b ）的对数为（）.A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】试题分析：5sin(3sin(32)sin(3)333x x x ππππ-=-+=+，，又4sin(3sin[(3)]sin(3333x x x ππππ-=--=-+，4(,)(3,)3a b π=-，注意到[0,2)b π∈，只有这两组．故选B ．【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到,a b 的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.【此处有视频，请去附件查看】6.已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为（）A.32 B.52C.72D.92【答案】B 【解析】【分析】设()00,P x y ，因为=OP OF 再结合双曲线方程可解出0y ，再利用三角形面积公式可求出结果.【详解】设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又3OP OF ===，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =，即053y =，0115532232OPFS OF y ∆∴==⨯⨯= ，故选B ．【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅．7.已知等差数列{}n a 的公差不为零，其前n 项和为n S ，若3S ，9S ，27S 成等比数列，则93S S =（）A.3 B.6C.9D.12【答案】C 【解析】【分析】由题意，得29327S S S =⨯，利用等差数列的求和公式，列出方程求得12d a =，即可求解93S S 的值，得到答案.【详解】由题意，知3S ，9S ，27S 成等比数列，所以29327S S S =⨯，即219131279()3()27()222a a a a a a +++⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，整理得2521437821a a a =⨯，所以2111(4)()(13)a d a d a d +=++，解得12d a =，所以919135329()3()9223S a a a a a S a ++=÷=＝11113(4)2793a d a a d a +==+，故选C.【点睛】本题主要考查了等比中项公式，以及等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.在ABC ∆中，点P 满足3BP PC =uuv uuu v，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若AM AB λ= ，()0,0AN AC μλμ=>>uuur uuu r ，则λμ+的最小值为（）A.212+ B.312+ C.32D.52【答案】B 【解析】【分析】由题意得出1344AP AB AC =+uuu r uuu r uuu r ，再由AM AB λ= ，AN AC μ=，可得出1344AP AM AN λμ=+uuu r uuur uuu r ，由三点共线得出13144λμ+=，将代数式λμ+与1344λμ+相乘，展开后利用基本不等式可求出λμ+的最小值.【详解】如下图所示：3BP PC =uur uuu rQ ，即()3AP AB AC AP -=-uuu r uuu r uuu r uuu r ，1344AP AB AC ∴=+uuu r uuu r uuu r ，AM AB λ=uuur uuu r Q ，()0,0AN AC μλμ=>>uuur uuu r ，1AB AM λ∴=uuu r uuur ，1AC AN μ=uuu r uuu r ，1344AP AM AN λμ∴=+uuu r uuur uuu r ，M 、P 、N 三点共线，则13144λμ+=.()133331114444442λμλμλμλμλμμλμλ⎛⎫∴+=++=++≥⋅+=+ ⎪⎝⎭，当且仅当3μλ=时，等号成立，因此，λμ+的最小值为312+，故选B.【点睛】本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解题时要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题.9.如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论：①三棱锥1A D PC -的体积不变；1//A P ②平面1ACD ；1DP BC ⊥③；④平面1PDB ⊥平面1ACD ．其中正确的结论的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C 【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【详解】对于①，由题意知11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，故BC 1上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，所以以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，故①正确；对于②，连接1A B ，11A C ，111//A C AD 且相等，由于①知：11//AD BC ，所以11//BA C 面1ACD ，从而由线面平行的定义可得，故②正确；对于③，由于DC ⊥平面11BCB C ，所以1DC BC ⊥，若1DP BC ⊥，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 为动点矛盾，故③错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，从而由面面垂直的判定知，故④正确．故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．10.过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于（）A. B. C.D.【答案】B 【解析】【分析】因为圆心在弦AC 的中垂线上，所以设圆心P 坐标为（a ，-2），再利用222r AP BP =+，求得1a =，确定圆的方程.又直线过定点Q ，则可以得到弦长最短时圆心与直线的定点Q 与弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦长.【详解】解：设圆心坐标P 为（a,-2），则r 2＝()()()()2222132422a a -++=-++，解得a=1，所以P （1，-2）.又直线过定点Q （-2，0），当直线PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长∴直线20x ay ++=被圆截得的弦长为．故选B ．11.如图，三棱柱111ABC A B C -的高为6，点D，E 分别在线段11A C ，1B C 上，111A C 3DC =，11B C 4B = E.点A，D，E 所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面ABC 的面积为6，则较大部分的体积为()A.22B.23C.26D.27【答案】B 【解析】【分析】延长AD 与CC 1的交点为P ，连接PE 与C 1B 1的交点为N ，延长PE 交B 1B 为M ，与面ABC 交于点Q ，得到截面为DNMA ，由题意得A 1D ＝2DC 1，由此能求出较大部分的体积．【详解】如图，延长AD 与1CC 的交点为P，连接PE 与11C B 的交点为N，延长PE 交1B B 为M，与面ABC 交于点Q，得到截面为DNMA，111A C 3DC = ，11B C 4B E =，M ∴，N 分别为11C B ，1B B 的中点，下部分体积11P AQC P DNC M ABQ AQC ABQ DNC 11111h V V V V S h h S h S 23323232---⎛⎫=--=⨯⨯+-⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭ 下．故选B．【点睛】本题考查几何体中两部分体积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间不规则几何体体积的求解方法的培养．12.设D 2a =+,其中 2.71828e ≈，则D 的最小值为()A.B.C.1+ D.1+【答案】C 【解析】表示两点(,)x C x e 与点(,A a 的距离，而点A 在抛物线24y x =上，抛物线的焦点(1,0)F ，准线为1x =-，则D 表示A 与C 的距离和A 与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D 表示A 与C 的距离和加上1，画出图象，当,,F A C 三点共线时，可求得最小值.详解：由题意0a ≥，2D a =++，表示两点(,)x C x e 与点(,A a 的距离，而点A 在抛物线24y x =上，抛物线的焦点(1,0)F ，准线为1x =-，则D 表示A 与C 的距离和A 与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D 表示A 与C 的距离和加上1，由图象可知,,F A C 三点共线时，且QF 为曲线x y e =的垂线，此时D 取得最小值，即Q 为切点，设(,)m m e ，由011m m e e m -⋅=--，可得21m m e +=，设()2mg m m e=+，则()g m 递增，且(0)1g =，可得切点(0,1)Q ，即有FQ D 1+，故选C.点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解答中注意运用两点间的距离公式和抛物线的定义，以及三点共线等知识综合运用，着重考查了转化与化归思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知函数()2log ,042,0x x x f x x ->⎧=⎨-≤⎩，则18f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______.【答案】-4【解析】【分析】先求18f ⎛⎫⎪⎝⎭，再求18f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【详解】因为函数()2log ,042,0x x x f x x ->⎧=⎨-≤⎩，则211log 388f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()1348f f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为-4.【点睛】本题考查了分段函数求值，属于简单题型.14.已知1F ，2F 分别为椭圆22:1259x y C +=的左、右焦点，且点A 是椭圆C 上一点，点M 的坐标为(2,0)，若AM 为12F AF ∠的角平分线，则2AF =___________.【答案】52【解析】【分析】由题意可知：A 在y 轴左侧，1122AF F M AF MF ==3，根据椭圆的性质可知：|AF 1|+|AF 2|＝2a ＝10，即可求得|AF 2|的值．【详解】解：由题意可知：∠F 1AM ＝∠MAF 2，设A 在y 轴左侧，∴1122AF F M AF MF ==3，由|AF 1|+|AF 2|＝2a ＝10，A 在y 轴右侧时，|AF 2|10542==，故答案为：52．【点睛】本题考查椭圆的几何性质及角平分线的性质，属于基本知识的考查．15.如图（1），在等腰直角ABC ∆中，斜边4AB =，D 为AB 的中点，将ACD ∆沿CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥C A BD '-，若三棱锥C A BD '-A DB '∠=_________.图（1）图（2）【答案】23π【解析】【分析】【详解】解：球是三棱锥C ﹣A 'BD 的外接球，所以球心O 到各顶点的距离相等，如图．根据题意，CD ⊥平面A 'BD ，取CD 的中点E ，A 'B 的中点G ，连接CG ，DG ，因为A 'D ＝BD ，CD ⊥平面A 'BD ，所以A '和B 关于平面CDG 对称，在平面CDG 内，作线段CD 的垂直平分线，则球心O 在线段CD 的垂直平分线上，设为图中的O 点位置，过O 作直线CD 的平行线，交平面A 'BD 于点F ，则OF ⊥平面A 'BD ，且OF ＝DE ＝1，因为A 'F 在平面A 'BD 内，所以OF ⊥A 'F ，即三角形A 'OF 为直角三角形，且斜边OA '＝R =，∴A 'F ===2，所以，BF ＝2，所以四边形A 'DBF 为菱形，又知OD ＝R ，三角形ODE 为直角三角形，∴OE ===2，∴三角形A 'DF 为等边三角形，∴∠A 'DF 3π=，故∠A 'DB 23π=，故填：23π．【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于中档题．16.设定义在D 上的函数()y h x =在点00(,())P x h x 处的切线方程为:()l y g x =，当0x x ≠时，若0()()0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 点为函数()y h x =的“类对称中心点”，则函数22()ln 2x f x x e=+的“类对称中心点”的坐标是________.【答案】3(,)2e 【解析】【分析】由求导公式求出函数f （x ）的导数，由导数的几何意义和条件求出切线方程，再求出y ＝g （x ），设F （x ）＝f （x ）﹣g （x ），求出导数化简后利用分类讨论和导数与函数单调性的关系，判断出F （x ）的单调性和最值，从而可判断出()()0f x g x x x --的符号，再由“类对称中心点”的定义确定“类对称中心点”的坐标．【详解】解：由题意得，f ′（x ）21x e x =+，f （x 0）20022x lnx e=+（x ＞0），即函数y ＝f （x ）的定义域D ＝（0，+∞），所以函数y ＝f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线方程l 方程为：y ﹣（20022x lnx e +）＝（0201x e x +）（x ﹣x 0），则g （x ）＝（0201x e x +）（x ﹣x 0）+（20022x lnx e+），设F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）222x e =+lnx ﹣[（0201x e x +）（x ﹣x 0）+（20022x lnx e+）]，则F （x 0）＝0，所以F ′（x ）＝f ′x ）﹣g ′（x ）21x e x =+-（0201x e x +）02011x x e x x -=+-()()0002200111x x x x x x x e xx x e x ⎛⎫-=-+=-- ⎪⎝⎭当0＜x 0＜e 时，F （x ）在（x 0，2e x ）上递减，∴x ∈（x 0，20e x ）时，F （x ）＜F （x 0）＝0，此时()()00f x g x x x --＜，当x 0＞e 时，F （x ）在（2e x ，x 0）上递减；∴x ∈（20e x ，x 0）时，F （x ）＞F （x 0）＝0，此时()()00f x g x x x --＜，∴y ＝F （x ）在（0，e ）∪（e ，+∞）上不存在“类对称点”．若x 0＝e ，()22211()x x e x e x e e xe -⎛⎫--= ⎪⎝⎭0，则F （x ）在（0，+∞）上是增函数，当x ＞x 0时，F （x ）＞F （x 0）＝0，当x ＜x 0时，F （x ）＜F （x 0）＝0，故()()00f x g x x x --，即此时点P 是y ＝f （x ）的“类对称点”，综上可得，y ＝F （x ）存在“类对称点”，e 是一个“类对称点”的横坐标，又f （e ）22322e lne e =+=，所以函数f （x ）的“类对称中心点”的坐标是32e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，故答案为：32e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【点睛】本题考查利用导数求函数的单调增区间，求函数的最值问题、新定义的问题，考查了分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，以及化简变形能力，此题是难题．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在平面四边形ABCD 中，A C π∠+∠=，1AB =，3BC =，2CD DA ==.（1）求C ∠；（2）若E 是BD 的中点，求CE .【答案】（1）60C = ；（2）2CE =【解析】【分析】（1）利用余弦定理进行化简，求出C ；（2）利用向量法求出CE ．【详解】（1）由题设及余弦定理得：2222cos BD BC CD BC CD =+-⋅1312cos C C =-，BD 2＝AB 2+DA 2﹣2AB •DA cos A ＝5+4cos C ，所以cos C 12=，60C ∴=o ；（2）由1()2CE CD CB =+ ，得2221(2)4CE CD CB CD CB =++⋅ 1119(49223424=++⨯⨯⨯=所以2CE =.【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查了向量数量积运算，属于中档题．18.如图，已知正三棱锥P-ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D，D 在平面PAB 内的正投影为点E，连结PE 并延长交AB 于点G.（Ⅰ）证明：G 是AB 的中点；（Ⅱ）在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）作图见解析，体积为43.【解析】试题分析：证明.AB PG ⊥由PA PB =可得G 是AB 的中点.（Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA =，可得2,==DE PE 在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF 四面体PDEF 的体积114222.323V =⨯⨯⨯⨯=试题解析：（Ⅰ）因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以.AB PD ⊥因为D 在平面PAB 内的正投影为E ，所以.AB DE ⊥所以AB ⊥平面PED ，故.AB PG ⊥又由已知可得，PA PB =，从而G 是AB 的中点.（Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.理由如下：由已知可得PB PA ⊥，PB PC ⊥，又EF PB ,所以EF PA EF PC ⊥⊥，,因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.连结CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心.由（Ⅰ）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故2.3=CD CG 由题设可得PC ⊥平面PAB ，DE ⊥平面PAB ，所以DE PC ，因此21,.33==PE PG DE PC 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA =，可得2,2 2.==DE PE 在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF 所以四面体PDEF 的体积114222.323V =⨯⨯⨯⨯=【考点】线面位置关系及几何体体积的计算【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,注意防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.【此处有视频，请去附件查看】19.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B．已知椭圆的离心率为3，AB =．（1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ V 面积的2倍，求k 的值．【答案】（1）22194x y +=；(2)12-．【解析】分析：（I ）由题意结合几何关系可求得3,2a b ==.则椭圆的方程为22194x y +=.（II ）设点P 的坐标为()11,x y ，点M 的坐标为()22,x y ，由题意可得215x x =.易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩可得2632x k =+.由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩可得1x =.结合215x x =，可得89k =-，或12k =-.经检验k 的值为12-.详解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由||AB ==,从而3,2a b ==．所以，椭圆的方程为22194x y +=．（II ）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>，点Q 的坐标为11(,)x y --．由BPM △的面积是BPQ V 面积的2倍，可得||=2||PM PQ ，从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =．易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y ，可得1x =．由215x x =，5(32)k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-．当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意．所以，k 的值为12-．点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20.如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，//EF AB ，2AB =，3DE =，1BC EF ==，AE =，60BAD ︒∠=，G 为BC 的中点.（1）求证：平面BED ⊥平面AED ；（2）求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）6【解析】【分析】（1）根据余弦定理求出BD =BD ⊥AD ，再根据面面垂直的判定定理即可证明；（2）先判断出直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角，再根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案．【详解】（1）证明：在ABD ∆中，1AD =，2AB =，60BAD ︒∠=，由余弦定理可得BD =，进而90ADB ︒∠=，即BD AD ⊥，又∵平面AED ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，平面AED 平面ABCD AD =，∴BD ⊥平面AED ，∵BD ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面AED .（2）∵//EF AB ，∴直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角，过点A 作AH DE ⊥于点H ，连接BH ，又平面BED 平面AED ED =，由（1）知AH ⊥平面BED ，∴直线AB 与平面BED 所成的角为ABH ∠，在ADE ∆，1AD =，3DE =，AE =，由余弦定理得2cos 3ADE ∠=，∴sin 3ADE ∠=，∴3AH AD =⋅，在Rt AHB ∆中，sin 6AH ABH AB ∠==，∴直线EF 与平面BED 所成角的正弦值6.【点睛】本题考查了平面与平面的垂直，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题．21.设抛物线Γ的方程为22y px =，其中常数0p >，F 是抛物线Γ的焦点.（1）设A 是点F 关于顶点O 的对称点，P 是抛物线Γ上的动点，求||||PA PF 的最大值；（2）设2p =，1l ，2l 是两条互相垂直，且均经过点F 的直线，1l 与抛物线Γ交于点A ，B ，2l 与抛物线Γ交于点C ，D ，若点G 满足4FG FA FB FC FD =+++，求点G 的轨迹方程.【答案】；（2）23y x =-【解析】【分析】（1）求得A 的坐标，设出过A 的直线为y ＝k （x 2p +），k ＝tan α，联立抛物线方程，运用判别式为0，求得倾斜角，可得所求最大值；（2）求得F （1，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），G （x ，y ），设l 1：y ＝k （x ﹣1），联立抛物线方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合向量的坐标表示，以及消元，可得所求轨迹方程．【详解】（1）A 是点(,0)2p F 关于顶点O 的对称点，可得(,0)2p A -，设过A 的直线为()2p y k x =+，tan k α=，联立抛物线方程可得22222(2)04k p k x k p p x +-+=，由直线和抛物线相切可得2242(2)0k p p k p ∆=--=，解得1k =±，可取1k =，可得切线的倾斜角为45°，由抛物线的定义可得||11||sin(90)cos PA PF αα︒==-，而α的最小值为45°，||||PA PF ；（2）由24y x =，可得(1,0)F ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，()G x y ,，设1:(1)l y k x =-，联立抛物线24y x =，可得2222(24)0k x k x k -++=，即有12242x x k +=+，12124()2y y k x x k k +=+-=，由两直线垂直的条件，可将k 换为1k -，可得23424x x k +=+，344y y k +=-，点G 满足4FG FA FB FC FD =+++ ，可得123412344(1,)(4,)x y x x x x y y y y -=+++-+++，即为2123424444x x x x x k k =+++=++，1234444y y y y y k k=+++=-+，可得222211(23y k k x k k=-=+-=-，则G 的轨迹方程为23y x =-.【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用判别式和韦达定理，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，属于中档题．22.设,a b ∈R ，||1a .已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()()x g x e f x =.（1）求()f x 的单调区间；（2）已知函数()y g x =和x y e =的图象在公共点00(,)x y 处有相同的切线，（i）求()f x 在0x x =处的导数；（ⅱ）若关于x 的不等式()x g x e 在区间[]001,1x x -+上恒成立，求b 的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，单调递减区间为(,4)a a -；（2）（ⅰ）0，（ⅱ）[7,1]-【解析】【分析】（1）求出函数f （x ）的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，列表后可得f （x ）的单调区间；（2）（i ）求出g （x ）的导函数，由题意知()()0000'x x g x e g x e ⎧=⎪⎨=⎪⎩，求解可得()()001'0f x f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩．得到f （x ）在x ＝x 0处的导数等于0；（ii ）由（I ）知x 0＝a ．且f （x ）在（a ﹣1，a ）内单调递增，在（a ，a +1）内单调递减，故当x 0＝a 时，f （x ）≤f （a ）＝1在[a ﹣1，a +1]上恒成立，从而g （x ）≤e x 在[x 0﹣1，x 0+1]上恒成立．由f （a ）＝a 3﹣6a 2﹣3a （a ﹣4）a +b ＝1，得b ＝2a 3﹣6a 2+1，﹣1≤a ≤1．构造函数t （x ）＝2x 3﹣6x 2+1，x ∈[﹣1，1]，利用导数求其值域可得b 的范围．【详解】（1）由32()63(4)f x x x a a x b =---+，可得2()3123(4)3()((4))f x x x a a x a x a '=---=---，令()0f x '=，解得x a =，或4x a =-.由||1a ，得4a a <-.当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x(,)a -∞(,4)a a -(4,)a -+∞()f x '+-+()f x∴()f x 的单调递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，单调递减区间为(,4)a a -；（2）（ⅰ）∵()(()())x g x e f x f x ''=+，由题意知0000()()x x g x e g x e⎧'=⎪⎨=⎪⎩，∴0000000()(()())x x x x f x e e e f x f x e'⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得00()1()0f x f x =='⎧⎨⎩.∴()f x 在0x x =处的导数等于0；（ⅱ）∵()x g x e ，00[1,1]x x x ∈-+，由0x e >，可得()1f x .又∵0()1f x =，0()0f x '=，故0x 为()f x 的极大值点，由（1）知0x a =.另一方面，由于||1a ，故14a a +<-，由（1）知()f x 在(1,)a a -内单调递增，在(,1)a a +内单调递减，故当0x a =时，()()1f x f a = 在[1,1]a a -+上恒成立，从而()x g x e 在[]001,1x x -+上恒成立.由32()63(4)1f a a a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a - .令32()261t x x x =-+，[1,1]x ∈-，∴2()612t x x x '=-，令()0t x '=，解得2x =（舍去），或0x =.∵(1)7t -=-，(1)3t =-，(0)1t =，故()t x 的值域为[7,1]-.∴b 的取值范围是[7,1]-.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用研究过曲线上某点处的切线方程，训练了恒成立问题的求解方法，体现了数学转化思想方法，是压轴题．。
河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学(理)试题(解析版)
连接 ED , ED 6, 因为 BC / / AD ,
所以异面直线 AE 与 BC 所成角即为 EAD ,
在 VEAD 中 cos EAD 6 4 6
6,
22 6 6
故选 : D
x1 x2 ， 2
因为 AB 是抛物线 y2 2 x 的一条焦点弦，所以 AB x1 x2 p x1 x2 1 4 ，
所以 x1 x2 3 ，故 x0
x1 x2
3
.
22
故选 B
【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于
基础题型 .
3.如图，圆柱的轴截面 ABCD 为正方形， E 为弧 ?BC 的中点，则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为 （ ）
A. 3 3
B. 5 5
30
C.
6
D. 6 6
【答案】 D
【解析】 【分析】
取 BC 的中点 H ，连接 EH , AH ,?ED，则异面直线 AE 与 BC 所成角即为 cos EAD 得解 . 【详解】取 BC 的中点 H ，连接 EH , AH , EHA 90o,
EAD ，再利用余弦定理求
设 AB 2, 则 BH HE 1, AH 5, 所以 AE 6,
A.
,0
B.
,0
Hale Waihona Puke C. 1,D. 1,
【答案】 A 【解析】 【分析】
分别求出集合 A 集合 B 范围，根据 A I B A 得到 A 是 B 子集，根据范围大小得到答案 .
【详解】 A x | x x 1 0 0 x 1
B x | y ln x a ABA A B
所以 a 0 故答案选 A
2019-2020学年河北省衡水中学高三(上)四调数学试卷试题及答案(解析版)(理科)
2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知集合A＝{x|x（x﹣1）≤0}，B＝{x|y＝ln（x﹣a）}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（1，+∞）D．[1，+∞）2．AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是（）A．2B．C．D．3．如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．4．已知α、β都为锐角，且、，则α﹣β＝（）A．B．C．D．5．设a∈R，b∈[0，2π]，若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）A．1B．2C．3D．46．已知F是双曲线C：﹣＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为（）A．B．C．D．7．已知等差数列{a n}的公差不为零，其前n项和为S n，若S3，S9，S27成等比数列，则＝（）A．3B．6C．9D．128．在△ABC中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若，（λ＞0，μ＞0），则λ+μ的最小值为（）A．B．C．D．9．如图，点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论：①三棱锥A﹣D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1．其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．过三点A（1，3）、B（4，2）、C（1，﹣7）的圆截直线x+ay+2＝0所得弦长的最小值等于（）A．2B．4C．D．211．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为6，点D，E分别在线段A1C1，B1C上，A1C1＝3DC1，B1C＝4B1E．点A，D，E所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面△ABC的面积为6，则较大部分的体积为（）A．22B．23C．26D．2712．设D＝+a+2．其中e≈2.71828，则D的最小值为（）A．B．C．+1D．+1二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．已知函数，则＝．14．已知F1，F2分别为椭圆C：+＝1的左、右焦点，且点A是椭圆C上一点，点M 的坐标为（2，0），若AM为∠F1AF2的角平分线，则|AF2|＝．15．如图（1），在等腰直角△ABC中，斜边AB＝4，D为AB的中点，将△ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥C﹣A'BD，若三棱锥C﹣A'BD的外接球的半径为，则∠A'DB＝．16．设定义在D上的函数y＝h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y＝g（x），当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P点为函数y＝h（x）的“类对称中心点”，则函数f（x）＝+lnx的“类对称中心点”的坐标是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．在平面四边形ABCD中，∠A+∠C＝π，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2（1）求∠C；（2）若E是BD的中点，求CE．18．如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，P A＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面P AB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面P AC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．19．设椭圆+＝1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，|AB|＝．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y＝kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，直线l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．20．如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，DE＝3，BC＝EF＝1，AE＝，∠BAD＝60°，G为BC的中点．（1）求证：FG∥平面BED；（2）求证：平面BED⊥平面AED；（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．21．设抛物线Γ的方程为y2＝2px，其中常数p＞0，F是抛物线Γ的焦点．（1）若直线x＝3被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p的值；（2）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线Γ上的动点，求的最大值；（3）设p＝2，l1，l2是两条互相垂直，且均经过点F的直线，l1与抛物线Γ交于点A，B，l2与抛物线Γ交于点C，D，若点G满足4＝+++，求点G的轨迹方程．22．设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）＝x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）＝e x f（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y＝g（x）和y＝e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x＝x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知集合A＝{x|x（x﹣1）≤0}，B＝{x|y＝ln（x﹣a）}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：A＝{x|0≤x≤1}，B＝{x|x＞a}；∵A∩B＝A；∴A⊆B；∴a＜0；∴实数a的取值范围为（﹣∞，0）．故选：A．2．AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是（）A．2B．C．D．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）根据抛物线的定义可知|AB|＝x1+x2+p＝x1+x2+1＝4，∴＝，故选：C．3．如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：取BC的中点H，连接EH，AH，∠EHA＝90°，设AB＝2，则BH＝HE＝1，AH＝，所以AE＝，连接ED，ED＝，因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成角即为∠EAD，在△EAD中cos∠EAD＝＝，故选：D．4．已知α、β都为锐角，且、，则α﹣β＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵、，∴cosα＝＝，sinβ＝＝，∵sinα＜sinβ且α，β均为锐角，∴0＜α＜β＜，∴﹣＜α﹣β＜0，又sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ＝﹣＝﹣，∴α﹣β＝﹣．故选：C．5．设a∈R，b∈[0，2π]，若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵，∴或，k∈Z，∴a＝3，b＝或a＝﹣3，b＝，k∈Z．∵a∈R，b∈[0，2π]，∴当k＝﹣1时，b＝或k＝0时，b＝，满足条件，∴满足条件的有序实数对（a，b）为（3，）和（﹣3，），共2对．故选：B．6．已知F是双曲线C：﹣＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，不妨设F为双曲线C：﹣＝1的右焦点，P为第一象限点．由双曲线方程可得，a2＝4，b2＝5，则，则以O为圆心，以3为半径的圆的方程为x2+y2＝9．联立，解得P（，）．∴．故选：B．7．已知等差数列{a n}的公差不为零，其前n项和为S n，若S3，S9，S27成等比数列，则＝（）A．3B．6C．9D．12【解答】解：设等差数列{a n}的公差d不为零，S3，S9，S27成等比数列，可得S92＝S3S27，即有（9a1+36d）2＝（3a1+3d）（27a1+351d），化为d＝2a1，则＝＝＝9，故选：C．8．在△ABC中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若，（λ＞0，μ＞0），则λ+μ的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC中，，点P满足，∴∴∵，（λ＞0，μ＞0），∴因为B，P，C三点共线，所以，，λ＞0，μ＞0∴λ+μ＝（λ+μ）（）＝1+≥1+＝当且仅当μ＝λ时取“＝”，则λ+μ的最小值为故选：B．9．如图，点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论：①三棱锥A﹣D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1．其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：对于①，由题意知AD1∥BC1，从而BC1∥平面AD1C，故BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等，所以以P为顶点，平面AD1C为底面，则三棱锥A﹣D1PC的体积不变，故①正确；对于②，连接A1B，A1C1，A1C1∥AD1且相等，由于①知：AD1∥BC1，所以BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得，故②正确；对于③，由于DC⊥平面BCB1C1，所以DC⊥BC1，若DP⊥BC1，则BC1⊥平面DCP，BC1⊥PC，则P为中点，与P为动点矛盾，故③错误；对于④，连接DB1，由DB1⊥AC且DB1⊥AD1，可得DB1⊥面ACD1，从而由面面垂直的判定知，故④正确．故选：C．10．过三点A（1，3）、B（4，2）、C（1，﹣7）的圆截直线x+ay+2＝0所得弦长的最小值等于（）A．2B．4C．D．2【解答】解：根据三点A（1，3）、B（4，2）、C（1，﹣7）坐标，设圆心的坐标为P（a，﹣2），利用r2＝（1﹣a）2+（3+2）2＝（4﹣a）2+（2+2）2，解得a＝1，所以P（1，﹣2，）由于直线x+ay+2＝0经过定点Q（﹣2，0），当直线PQ与弦垂直时，弦长最短，所以l ＝2，所以最小弦长为4．故选：B．11．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为6，点D，E分别在线段A1C1，B1C上，A1C1＝3DC1，B1C＝4B1E．点A，D，E所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面△ABC的面积为6，则较大部分的体积为（）A．22B．23C．26D．27【解答】解：如图，延长AD与CC1的交点为P，连接PE与C1B1的交点为N，延长PE交B1B为M，与面ABC交于点Q，得到截面为DNMA，∵A1C1＝3DC1，B1C＝4B1E，∴M，N分别为C1B1，B1B的中点，下部分体积V下＝V P﹣AQC﹣V﹣V M﹣ABQ＝﹣＝23．故选：B．12．设D＝+a+2．其中e≈2.71828，则D的最小值为（）A．B．C．+1D．+1【解答】解：由题意可得a≥0，D＝+a+2，由表示两点C（x，e x）与点A（a，2）的距离，而A在抛物线y2＝4x（x≥0）上，抛物线的焦点F（1，0），准线为x＝﹣1，则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和再加上1，由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和A与F的距离的和再加上1，由图象可得当F，A，C三点共线，且QF为曲线y＝e x的法线，D取得最小值，即Q为切点，设为（m，e m），由•e m＝﹣1，可得m+e2m＝1，设g（m）＝m+e2m，则g（m）递增，且g（0）＝1，可得切点Q（0，1），即有|FQ|＝＝，则D的最小值为+1．故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．已知函数，则＝﹣4．【解答】解：∵，∴f（）＝＝﹣3∴．故答案为：﹣4．14．已知F1，F2分别为椭圆C：+＝1的左、右焦点，且点A是椭圆C上一点，点M 的坐标为（2，0），若AM为∠F1AF2的角平分线，则|AF2|＝．【解答】解：由题意可知：∠F1AM＝∠MAF2，设A在y轴左侧，∴＝3，由|AF1|+|AF2|＝2a＝10，A在y轴右侧时，|AF2|＝＝，故答案为：．15．如图（1），在等腰直角△ABC中，斜边AB＝4，D为AB的中点，将△ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥C﹣A'BD，若三棱锥C﹣A'BD的外接球的半径为，则∠A'DB＝．【解答】解：球是三棱锥C﹣A'BD的外接球，所以球心O到各顶点的距离相等，如图．根据题意，CD⊥平面A'BD，取CD的中点E，A'B的中点G，连接CG，DG，因为A'D＝BD，CD⊥平面A'BD，所以A'和B关于平面CDG对称，在平面CDG内，作线段CD的垂直平分线，则球心O在线段CD的垂直平分线上，设为图中的O点位置，过O作直线CD的平行线，交平面A'BD于点F，则OF⊥平面A'BD，且OF＝DE＝1，因为A'F在平面A'BD内，所以OF⊥A'F，即三角形A'OF为直角三角形，且斜边OA'＝R＝，∴A'F＝＝＝2，所以，BF＝2，所以四边形A'DBF为菱形，又知OD＝R，三角形ODE为直角三角形，∴OE＝＝＝2，∴三角形A'DF为等边三角形，∴∠A'DF＝，故∠A'DB＝，故填：．16．设定义在D上的函数y＝h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y＝g（x），当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P点为函数y＝h（x）的“类对称中心点”，则函数f（x）＝+lnx的“类对称中心点”的坐标是．【解答】解：由题意得，f′（x）＝，f（x0）＝（x＞0），即函数y＝f（x）的定义域D＝（0，+∞），所以函数y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程l方程为：y﹣（）＝（）（x﹣x0），则g（x）＝（）（x﹣x0）+（），设F（x）＝f（x）﹣g（x）＝+lnx﹣[（）（x﹣x0）+（）]，则F（x0）＝0，所以F′（x）＝f′x）﹣g′（x）＝﹣（）＝＝＝当0＜x0＜e时，F（x）在（x0，）上递减，∴x∈（x0，）时，F（x）＜F（x0）＝0，此时，当x0＞e时，F（x）在（，x0）上递减；∴x∈（，x0）时，F（x）＞F（x0）＝0，此时，∴y＝F（x）在（0，e）∪（e，+∞）上不存在“类对称点”．若x0＝e，＝＞0，则F（x）在（0，+∞）上是增函数，当x＞x0时，F（x）＞F（x0）＝0，当x＜x0时，F（x）＜F（x0）＝0，故，即此时点P是y＝f（x）的“类对称点”，综上可得，y＝F（x）存在“类对称点”，e是一个“类对称点”的横坐标，又f（e）＝＝，所以函数f（x）的“类对称中心点”的坐标是，故答案为：．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．在平面四边形ABCD中，∠A+∠C＝π，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2（1）求∠C；（2）若E是BD的中点，求CE．【解答】解：（1）由余弦定理得：BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD cos C＝13﹣12cos C，BD2＝AB2+DA2﹣2AB•DA cos A＝5+4cos C，所以cos C＝，故C＝60°．（2）由，＝，所以CE＝18．如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，P A＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面P AB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面P AC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，又E为D在平面P AB内的正投影，∴DE⊥面P AB，则DE⊥AB，∵PD∩DE＝D，∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则AB⊥PG，又P A＝PB，∴G是AB的中点；（Ⅱ）在平面P AB内，过点E作PB的平行线交P A于点F，F即为E在平面P AC内的正投影．∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，∴PB⊥P A，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥P A，EF⊥PC，因此EF⊥平面P AC，即点F为E在平面P AC内的正投影．连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD＝CG．由题设可得PC⊥平面P AB，DE⊥平面P AB，所以DE∥PC，因此PE＝PG，DE＝PC．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且P A＝6，可得DE＝2，PG＝3，PE＝2．在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2．所以四面体PDEF的体积V＝×DE×S△PEF＝×2××2×2＝．19．设椭圆+＝1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，|AB|＝．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y＝kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，直线l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c，由已知可得，又a2＝b2+c2，解得a＝3，b＝2，∴椭圆的方程为：，（Ⅱ）设点P（x1，y1），M（x2，y2），（x2＞x1＞0）．则Q（﹣x1，﹣y1）．∵△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，∴|PM|＝2|PQ|，从而x2﹣x1＝2[x1﹣（﹣x1）]，∴x2＝5x1，易知直线AB的方程为：2x+3y＝6．由，可得＞0．由，可得，⇒，⇒18k2+25k+8＝0，解得k＝﹣或k＝﹣．由＞0．可得k，故k＝﹣，20．如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，DE＝3，BC＝EF＝1，AE＝，∠BAD＝60°，G为BC的中点．（1）求证：FG∥平面BED；（2）求证：平面BED⊥平面AED；（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．【解答】证明：（1）BD的中点为O，连接OE，OG，在△BCD中，∵G是BC的中点，∴OG∥DC，且OG＝DC＝1，又∵EF∥AB，AB∥DC，∴EF∥OG，且EF＝OG，即四边形OGEF是平行四边形，∴FG∥OE，∵FG⊄平面BED，OE⊂平面BED，∴FG∥平面BED；（2）证明：在△ABD中，AD＝1，AB＝2，∠BAD＝60°，由余弦定理可得BD＝，仅而∠ADB＝90°，即BD⊥AD，又∵平面AED⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，平面AED∩平面ABCD＝AD，∴BD⊥平面AED，∵BD⊂平面BED，∴平面BED⊥平面AED．（Ⅲ）∵EF∥AB，∴直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，过点A作AH⊥DE于点H，连接BH，又平面BED∩平面AED＝ED，由（2）知AH⊥平面BED，∴直线AB与平面BED所成的角为∠ABH，在△ADE，AD＝1，DE＝3，AE＝，由余弦定理得cos∠ADE＝，∴sin∠ADE＝，∴AH＝AD•，在Rt△AHB中，sin∠ABH＝＝，∴直线EF与平面BED所成角的正弦值21．设抛物线Γ的方程为y2＝2px，其中常数p＞0，F是抛物线Γ的焦点．（1）若直线x＝3被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p的值；（2）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线Γ上的动点，求的最大值；（3）设p＝2，l1，l2是两条互相垂直，且均经过点F的直线，l1与抛物线Γ交于点A，B，l2与抛物线Γ交于点C，D，若点G满足4＝+++，求点G的轨迹方程．【解答】解：（1）由x＝3可得y＝±，可得2＝6，解得p＝；（2）A是点F（，0）关于顶点O的对称点，可得A（﹣，0），设过A的直线为y＝k（x+），k＝tanα，联立抛物线方程可得k2x2+（k2p﹣2p）x+＝0，由直线和抛物线相切可得△＝（k2p﹣2p）2﹣k4p2＝0，解得k＝±1，可取k＝1，可得切线的倾斜角为45°，由抛物线的定义可得＝＝，而α的最小值为45°，的最大值为；（3）由y2＝4x，可得F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），G（x，y），设l1：y＝k（x﹣1），联立抛物线y2＝4x，可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，即有x1+x2＝2+，y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k＝，由两直线垂直的条件，可将k换为﹣，可得x3+x4＝2+4k2，y3+y4＝﹣4k，点G满足4＝+++，可得4（x，y）＝（x1+x2+x3+x4﹣4，y1+y2+y3+y4），即为4x＝x1+x2+x3+x4﹣4＝4k2+，4y＝y1+y2+y3+y4＝﹣4k+，可得y2＝（k﹣）2＝k2+﹣2＝x﹣2，则G的轨迹方程为y2＝x﹣2．22．设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）＝x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）＝e x f（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y＝g（x）和y＝e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x＝x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）＝x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，可得f'（x）＝3x2﹣12x﹣3a（a ﹣4）＝3（x﹣a）（x﹣（4﹣a）），令f'（x）＝0，解得x＝a，或x＝4﹣a．由|a|≤1，得a＜4﹣a．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，a）（a，4﹣a）（4﹣a，+∞）f'（x）+﹣+f（x）↗↘↗∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，a），（4﹣a，+∞），单调递减区间为（a，4﹣a）；（Ⅱ）（i）证明：∵g'（x）＝e x（f（x）+f'（x）），由题意知，∴，解得．∴f（x）在x＝x0处的导数等于0；（ii）解：∵g（x）≤e x，x∈[x0﹣1，x0+1]，由e x＞0，可得f（x）≤1．又∵f（x0）＝1，f'（x0）＝0，故x0为f（x）的极大值点，由（I）知x0＝a．另一方面，由于|a|≤1，故a+1＜4﹣a，由（Ⅰ）知f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当x0＝a时，f（x）≤f（a）＝1在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤e x在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．由f（a）＝a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b＝1，得b＝2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．令t（x）＝2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，∴t'（x）＝6x2﹣12x，令t'（x）＝0，解得x＝2（舍去），或x＝0．∵t（﹣1）＝﹣7，t（1）＝﹣3，t（0）＝1，故t（x）的值域为[﹣7，1]．∴b的取值范围是[﹣7，1]．。
2019-2020学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)
2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合P={x|log2x＜﹣1}，Q={x||x|＜1}，则P∩Q=（）A． B． C．（0，1） D．2．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）2z=1﹣i3，则|z|为（）A．B．C．D．3．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（）A．8 B．12 C．18 D．244．（5分）已知命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根；命题q：函数f（x）=x+的最小值为4．给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧￢q；④￢p∨￢q．则其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．66．（5分）函数f（x）=（﹣1）cosx的图象的大致形状是（）A．B．C．D．7．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．8．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）9．（5分）若实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．2 C．2 D．810．（5分）已知f（x）=，存在x2＞x1≥0使得f（x1）=f （x2），则x1?f（x2）的取值范围（）A．[，2）B．[，2）C．[，）D．[，2）11．（5分）设函数f（x）=x3+x2﹣3x，若方程|f（x）|2+t|f（x）|+1=0有12个不同的根，则实数t的取值范围为（）A．（﹣，﹣2）B．（﹣∞，﹣2）C．﹣＜t＜﹣2 D．（﹣1，2）12．（5分）设曲线f（x）=﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g（x）=3ax+2cosx上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．（3，+∞）C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值等于2，则m=．14．（5分）函数y=e x﹣mx在区间（0，3]上有两个零点，则m的取值范围是．15．（5分）已知函数f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=﹣1时有极值0，则m+n=．16．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）+f（x）=x2，当x＜0时，f′（x）＜x，则不等式f（x）+≥f（1﹣x）+x的解集为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且==．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为3，求a的值．18．（12分）函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若?a∈（﹣1，+∞），?x∈（1，e），有f（x）﹣b＜0，求实数b的取值范围．19．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且4bsinA=a．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）若a，b，c成等差数列，且公差大于0，求cosA﹣cosC的值．20．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣4bx+2alnx（a，b∈R）（Ⅰ）若函数y=f（x）存在极大值和极小值，求的取值范围；（Ⅱ）设m，n分别为f（x）的极大值和极小值，若存在实数，b∈（a，a），使得m﹣n=1，求a的取值范围．（e为自然对数的底）21．（12分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=．（Ⅰ）记F（x）=f（x）﹣g（x），判断F（x）在区间（1，2）内零点个数并说明理由；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的F（x）在（1，2）内的零点为x0，m（x）=min{f（x），g（x）}，若m（x）=n（n∈R）在（1，+∞）有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），判断x1+x2与2x0的大小，并给出对应的证明．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD⊥OE于D，割线EC交圆O 于B、C两点．（Ⅰ）证明：O，D，B，C四点共圆；（Ⅱ）设∠DBC=50°，∠ODC=30°，求∠OEC的大小．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴+2=0．的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ（Ⅰ）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）将直线l向右平移h个单位，所得直线l′与圆C相切，求h．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a，a∈R，g（x）=|2x﹣1|．（Ⅰ）若当g（x）≤5时，恒有f（x）≤6，求a的最大值；（Ⅱ）若当x∈R时，恒有f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2019秋?龙泉驿区校级期中）已知集合P={x|log2x＜﹣1}，Q={x||x|＜1}，则P∩Q=（）A． B． C．（0，1） D．【分析】利用绝对值表达式的解法求出集合Q，对数不等式的解法求出P，然后求解交集．【解答】解：log2x＜﹣1，即log2x＜log2，解得0＜x＜，即P=（0，），Q={x||x|＜1}=（﹣1，1）则P∩Q=（0，），故选：A．2．（5分）（2019?衡阳校级模拟）已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）2z=1﹣i3，则|z|为（）A．B．C．D．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵（1+i）2z=1﹣i3，∴z=，∴|z|===．故选：C．3．（5分）（2019秋?衡水校级月考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（）A．8 B．12 C．18 D．24【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个底面为矩形的斜四棱柱，切去看一半．求出底面面积，代入棱柱体积公式，可得几何体的体积．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个底面为矩形的斜四棱，切去看一半，底面为矩形长为4，宽为3，斜四棱柱的高是2，棱柱体积公式：V=Sh可得：V=×4×3×2=12故选B．4．（5分）（2019秋?新华区校级月考）已知命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根；命题q：函数f（x）=x+的最小值为4．给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧￢q；④￢p∨￢q．则其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先判定命题p，q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根，?a∈R，可得△≥0，因此是真命题．命题q：x＜0时，函数f（x）=x+＜0，因此是假命题．下列命题：①p∧q是假命题；②p∨q是真命题；③p∧￢q是真命题；④￢p∨￢q是真命题．则其中真命题的个数为3．故选：C．5．（5分）（2011?新课标）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．6【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．6．（5分）（2019秋?湖南月考）函数f（x）=（﹣1）cosx的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【分析】分析函数奇偶性和x∈（0，）时函数图象的位置，排除错误答案，可得结论．【解答】解：∵f（x）=（﹣1）cosx，∴f（﹣x）=（﹣1）cos（﹣x）=（﹣1）cosx=﹣（﹣1）cosx=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故函数图象关于原点对称，可排除A，C，又由当x∈（0，），f（x）＜0，函数图象位于第四象限，可排除D，故选：B7．（5分）（2013?济南一模）阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量x，y的值，最后输出的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环x y z循环前/1 1 2第一圈是 1 2 3第二圈是 2 3 5第三圈是 3 5 8第四圈是 5 8 13第五圈是8 13 21第六圈否此时=故答案为：8．（5分）（2019?兴安盟一模）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．9．（5分）（2014?淄博三模）若实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．2 C．2 D．8【分析】由题设b+a2﹣3lna=0，设b=y，a=x，得到y=3lnx﹣x2；c﹣d+2=0，设c=x，d=y，得到y=x+2，所以（a﹣c）2+（b﹣d）2就是曲线y=3lnx﹣x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，由此能求出（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值．【解答】解解：∵实数a、b、c、d满足：（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，∴b+a2﹣3lna=0，设b=y，a=x，则有：y=3lnx﹣x2，且c﹣d+2=0，设c=x，d=y，则有：y=x+2，∴（a﹣c）2+（b﹣d）2就是曲线y=3lnx﹣x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，对曲线y=3lnx﹣x2求导：y′（x）=﹣2x，与y=x+2平行的切线斜率k=1=﹣2x，解得：x=1或x=﹣（舍），把x=1代入y=3lnx﹣x2，得：y=﹣1，即切点为（1，﹣1），切点到直线y=x+2的距离：=2，∴（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值就是8．故选：D．10．（5分）（2014?济南二模）已知f（x）=，存在x2＞x1≥0使得f（x1）=f（x2），则x1?f（x2）的取值范围（）A．[，2）B．[，2）C．[，）D．[，2）【分析】根据函数的解析式画出函数的图象，根据题意数形结合求得x1?f（x2）的取值范围．【解答】解：①当0≤x＜1时，1≤f（x）＜2，②当x＞1时，f（x）≥1.5，当x=时，f（x）=2，如图所示，若存在x2＞x1≥0使得f（x1）=f（x2）=k，则≤x1＜1≤x2＜，则1.5≤f（x2）≤2，∴≤x1?f（x2）＜1×2，即≤x1?f（x2）＜2，故x1?f（x2）的取值范围为[，2），故选：A．11．（5分）（2019?衡阳校级模拟）设函数f（x）=x3+x2﹣3x，若方程|f（x）|2+t|f （x）|+1=0有12个不同的根，则实数t的取值范围为（）A．（﹣，﹣2）B．（﹣∞，﹣2）C．﹣＜t＜﹣2 D．（﹣1，2）【分析】求出函数f（x）的导数，判断函数的单调性和极值，利用换元法设|f （x）|=m，转化为一元二次函数根的分布进行求解即可．【解答】解：，得x=﹣3，x=1，由f′（x）＞0得x＞1或x＜﹣3，即函数在（﹣∞，﹣3），（1，+∞）单调递增，由f′（x）＜0得﹣3＜x＜1，则函数在（﹣3，1）单调递减，则函数的极大值为f（﹣3）=9，函数的极小值为，根据函数的图象可知，设|f（x）|=m，可知m2+tm+1=0，原方程有12个不同的根，则m2+tm+1=0方程应在内有两个不同的根，设h（m）=m2+tm+1，则，所以取值的范围．故选：C12．（5分）（2019秋?衡水校级月考）设曲线f（x）=﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g（x）=3ax+2cosx上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．（3，+∞）C．D．【分析】求出函数f（x）=﹣e x﹣x的导函数，进一步求得∈（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=3ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解．【解答】解：由f（x）=﹣e x﹣x，得f′（x）=﹣e x﹣1，∵e x+1＞1，∴∈（0，1），由g（x）=3ax+2cosx，得g′（x）=3a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，∴3a﹣2sinx∈[﹣2+3a，2+3a]，要使过曲线f（x）=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=3ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则，解得﹣≤a≤．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2015?南昌校级二模）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值等于2，则m=．【分析】根据m＞1，可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（）上，由此判断出满足约束条件件的平面区域的形状，再根据目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此可得关于m的方程，从而求得m值．【解答】解：∵m＞1，由约束条件作出可行域如图，直线y=mx与直线x+y=1交于（），目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在（）处取得最大值，由题意可知，又∵m＞1，解得m=1+．故答案为：1+．14．（5分）（2019秋?袁州区校级期中）函数y=e x﹣mx在区间（0，3]上有两个零点，则m的取值范围是e＜m≤．【分析】由y=e x﹣mx=0得m=，构造函数f（x）=，利用导数求出函数的取值情况，即可求出m的取值范围．【解答】解：由y=e x﹣mx=0得m=，设f（x）=，则f'（x）=，由f'（x）＞0，解得1＜x≤3，此时函数单调递增，由f'（x）＜0，解得0＜x＜1，此时函数单调递减，∴当x=1时，函数f（x）取得极小值，同时也是最小值f（1）=e，∵当x→０时，f（x）→+∞，当x=3时，f（3）=，∴要使函数y=e x﹣mx在区间（0，3]上有两个零点，则e＜m≤，故答案为：e＜m≤．15．（5分）（2015春?保定校级期末）已知函数f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=﹣1时有极值0，则m+n=11．【分析】对函数进行求导，根据函数f（x）在x=﹣1有极值0，可以得到f（﹣1）=0，f′（﹣1）=0，代入求解即可【解答】解：∵f（x）=x3+3mx2+nx+m2∴f′（x）=3x2+6mx+n依题意可得联立可得当m=1，n=3时函数f（x）=x3+3x2+3x+1，f′（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0函数在R上单调递增，函数无极值，舍故答案为：1116．（5分）（2014?唐山一模）定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）+f（x）=x2，当x＜0时，f′（x）＜x，则不等式f（x）+≥f（1﹣x）+x的解集为（﹣∞，] ．【分析】可先对f（﹣x）+f（x）=x2，两边对x取导数，根据x＜0时，f′（x）＜x，推出x＞0时，f′（x）＜x，求出f（0）=0，且f′（0）≤0，得到x∈R，都有f′（x）＜x．构造函数F（x）=f（x）+﹣f（1﹣x）﹣x，求导并推出F′（x）＜0，且F（）=0，运用函数的单调性即可解出不等式．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）+f（x）=x2，两边对x求导，得﹣f′（﹣x）+f′（x）=2x，∴f′（x）=f′（﹣x）+2x，令x＞0，则﹣x＜0，∵当x＜0时，f′（x）＜x，∴f′（﹣x）＜﹣x，∴f′（x）＜2x﹣x，即f′（x）＜x，又f（0）=0，直线y=x过原点，∴f′（0）≤0，∴x∈R，都有f′（x）≤x，令F（x）=f（x）+﹣f（1﹣x）﹣x，则F′（x）=f′（x）+f′（1﹣x）﹣1＜x+1﹣x﹣1=0，即F（x）是R上的单调减函数，且F（）=0，∴不等式f（x）+≥f（1﹣x）+x，即F（x）≥0，即F（x）≥F（），∴x．∴原不等式的解集为（﹣∞，]．故答案为：（﹣∞，]．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2019秋?新华区校级月考）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且==．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为3，求a的值．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，化简整理可用tanA分别表示出tanB和tanC，进而利用两角和公式求得tanA，进而求得A．（Ⅱ）利用tanA，求得tanB和tanC的值，利用同角三角函数关系取得sinB和sinC，进而根据正弦定理求得b和a的关系式，代入面积公式求得a．【解答】解：（Ⅰ）∵．∴==，即tanA=tanB=tanC，tanB=2tanA，tanC=3tanA，∵tanA=﹣tan（B+C）=﹣，∴tanA=﹣，整理求得tan2A=1，tanA=±1，当tanA=﹣1时，tanB=﹣2，则A，B均为钝角，与A+B+C=π矛盾，故舍去，∴tanA=1，A=．（Ⅱ）∵tanA=1，tanB=2tanA，tanC=3tanA，∴tanB=2，tanC=3，∴sinB=，sinC=，∴cosB=，cosC=sinA=sin（π﹣（B+C））=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=×+×=∵=，∴b==a，∵S△ABC=absinC=a??a×==3，∴a2=5，a=．18．（12分）（2019春?桂林校级期中）函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若?a∈（﹣1，+∞），?x∈（1，e），有f（x）﹣b＜0，求实数b的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a=3时，求得f（x）的解析式，令f′（x）＞0，求得函数的单调递增区间，f′（x）＜0，求得f（x）的单调递减区间；（2）将原不等式转化成b＞f（x）的最小值，由函数性质可知h（a）=﹣ax2﹣2x+lnx在（﹣1，+∞）上是减函数，可知b≥x2﹣2x+lnx，构造辅助函数g（x）=x2﹣2x+lnx，求导，根据函数的单调性，求得g（x）的最小值，即可求得实数b的取值范围．（x）=﹣【解答】解：（Ⅰ）由当a=3时，f（x）=lnx﹣x2﹣2x．求导f′（x＞0），令f′（x）=0，解得：x=，∴x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）的单调递增区间（0，），单调递减区间为（，+∞）；..…（6分）（Ⅱ）由?a∈（﹣1，+∞），lnx﹣ax2﹣2x＜b恒成立，则b＞f（x）的最小值，…（7分）由函数h（a）=lnx﹣ax2﹣2x=﹣ax2﹣2x+lnx在（﹣1，+∞）上是减函数，∴h（a）＜h（﹣1）=x2﹣2x+lnx，∴b≥x2﹣2x+lnx，..…（8分）由?x∈（1，e），使不等式b≥x2﹣2x+lnx成立，∴．…（10分）令g（x）=x2﹣2x+lnx，求导g′（x）=x﹣2﹣≥0，∴函数g（x）在（1，e）上是增函数，于是，故，即b的取值范围是…（12分）19．（12分）（2014?新余二模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且4bsinA=a．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）若a，b，c成等差数列，且公差大于0，求cosA﹣cosC的值．【分析】（I）已知等式利用正弦定理化简，求出sinB的值即可；（Ⅱ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简得到①，设设cosA﹣cosC=x，②，①2+②2，得到③，由a，b，c的大小判断出A，B，C的大小，确定出cosA大于cosC，利用诱导公式求出cos（A+C）的值，代入③求出x的值，即可确定出cosA﹣cosC的值．【解答】解：（Ⅰ）由4bsinA=a，根据正弦定理得4sinBsinA=sinA，∵sinA≠0，∴sinB=；（Ⅱ）∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，由正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，即sinA+sinC=，①设cosA﹣cosC=x，②①2+②2，得2﹣2cos（A+C）=+x2，③又a＜b＜c，A＜B＜C，∴0＜B＜90°，cosA＞cosC，∴cos（A+C）=﹣cosB=﹣，代入③式得x2=，则cosA﹣cosC=．20．（12分）（2014?东昌区校级二模）已知函数f（x）=ax2﹣4bx+2alnx（a，b∈R）（Ⅰ）若函数y=f（x）存在极大值和极小值，求的取值范围；（Ⅱ）设m，n分别为f（x）的极大值和极小值，若存在实数，b∈（a，a），使得m﹣n=1，求a的取值范围．（e为自然对数的底）【分析】（I）由于定义域为（0，+∞）且y=f（x）存在极大值、极小值，所以f′（x）=0有两个不等的正实数根，从而可转化为二次方程根的分布问题，借助判别式、韦达定理可得不等式组，由此可得的取值范围；（II）由b∈（a，a）得a＞0，且（，），由（I）知f（x）存在极大值和极小值，设f′（x）=0的两根为x1，x2（0＜x1＜x2），则f（x）在（0，x1）上递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增，所以m=f（x1），n=f（x2），根据x1x2=1可把m﹣n表示为关于x1，a的表达式，且表达式为1，借助x1范围可得a的范围；【解答】解：（I）f′（x）=2ax﹣4b+=，其中x＞0，由于函数y=f（x）存在极大值和极小值，故方程f′（x）=0有两个不等的正实数根，即2ax2﹣4bx+2a=0有两个不等的正实数根，记为x1，x2，显然a≠0，所以，解得；（II）由b∈（a，a）得a＞0，且（，），由（I）知f（x）存在极大值和极小值，设f′（x）=0的两根为x1，x2（0＜x1＜x2），则f（x）在（0，x1）上递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增，所以m=f（x1），n=f（x2），因为x1x2=1，所以0＜x1＜1＜x2，而且=∈（，），由于函数y=x+在（0，1）上递减，所以，又由于，所以，所以m﹣n=f（x1）﹣f（x2）=﹣+4bx2﹣2alnx2=+2a（lnx1﹣lnx2）=﹣a（）+2aln，令t=，则m﹣n=﹣a（t﹣）+2alnt，令h（t）=﹣（t﹣）+2lnt（），所以h′（t）=﹣1﹣+=﹣≤0，所以h（t）在（）上单调递减，所以e﹣e﹣1﹣2＜h（t）＜e2﹣e﹣2﹣4，由m﹣n=ah（t）=1，知a=，所以．21．（12分）（2019?高安市校级模拟）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=．（Ⅰ）记F（x）=f（x）﹣g（x），判断F（x）在区间（1，2）内零点个数并说明理由；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的F（x）在（1，2）内的零点为x0，m（x）=min{f（x），g（x）}，若m（x）=n（n∈R）在（1，+∞）有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），判断x1+x2与2x0的大小，并给出对应的证明．【分析】（Ⅰ）对F（x）求导，利用x∈（1，2）判定导函数的符号，进而得到函数的单调性，在利用零点存在定理进行证明．（Ⅱ）先由x的范围讨论f（x），g（x）的大小，确定之间的关系式m（x），在判断x1+x2与2x0的大小，可以利用分析法对其进行证明．【解答】解：由题意：F（x）=f（x）﹣g（x），那么：F（x）=xlnx﹣．定义域为（0，+∞）F′（x）=1+lnx+，由题设x∈（1，2），故F′（x）＞0，即F（x）在区间（1，2）上是增函数．（1，2）是单调增区间．那么：F（1）=ln1﹣=＜0，F（2）=2ln2﹣＞0，并且F（x）在（1，2）上连续的，故根据零点定理，有F（x）在区间（1，2）有且仅有唯一实根，即一个零点．（Ⅱ）记（Ⅰ）中的F（x）在（1，2）内的零点为x0，由f（x）=xlnx，当0＜x ≤1时，f（x）≤0，而g（x）=＞0，故f（x）＜g（x）；由（Ⅰ）可知F′（x）=1+lnx+，当x＞1时，F′（x）＞0，存在零点x0∈（1，2），不然有：F（x0）=f（x0）﹣g（x0）=0，故1＜x＜x0时，f（x）＜g（x）；当x ＞x0时，f（x）＞g（x）；而此得到m（x）=，显然：当1＜x＜x0时，m′（x）=1+lnx恒大于0，m（x）是单增函数．当x＞x0时，m′（x）=恒小于0，m（x）是单减函数．m（x）=n（n∈R）在（1，+∞）有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），则x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），显然：当x2→+∞时，x1+x2＞2x0．要证明x1+x2＞2x0，即可证明x2＞2x0﹣x1＞x0，而m（x）在x＞x0时是单减函数．故证m（x2）＜m（2x0﹣x1）．又由m（x1）=m（x2），即可证：m（x1）＜m（2x0﹣x1）．即x1lnx1＜，（构造思想）令h（x）=xlnx﹣，由（1＜x＜x0）．其中h（x0）=0，那么：h′（x）=1+lnx+﹣，记φ（t）=，则φ′（t）=，当t∈（0，1）时，φ′（t）＞0；当t＞1时，φ′（t）＜0；故φ（t）max=；而φ（t）＞0；故＞φ（t）＞0，而2x0﹣x＞0，从而有：＜0；因此：h′（x）=1+lnx+﹣＞0，即h（x）单增，从而1＜x＜x0时，h（x）＜h（x0）=0．即x1lnx1＜成立．故得：x1+x2＞2x0．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2014?唐山一模）如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD⊥OE于D，割线EC交圆O于B、C两点．（Ⅰ）证明：O，D，B，C四点共圆；（Ⅱ）设∠DBC=50°，∠ODC=30°，求∠OEC的大小．【分析】（Ⅰ）连结OA，则OA⊥EA．由已知条件利用射影定理和切割线定理推导出=，由此能够证明O，D，B，C四点共圆．（Ⅱ）连结OB．∠OEC+∠OCB+∠COE=180°，能求出∠OEC的大小．【解答】（Ⅰ）证明：连结OA，则OA⊥EA．由射影定理得EA2=ED?EO．由切割线定理得EA2=EB?EC，∴ED?EO=EB?EC，即=，又∠OEC=∠OEC，∴△BDE∽△OCE，∴∠EDB=∠OCE．∴O，D，B，C四点共圆．…（6分）（Ⅱ）解：连结OB．因为∠OEC+∠OCB+∠COE=180°，结合（Ⅰ）得：∠OEC=180°﹣∠OCB﹣∠COE=180°﹣∠OBC﹣∠DBE=180°﹣∠OBC﹣（180°﹣∠DBC）=∠DBC﹣∠ODC=20°．∴∠OEC的大小为20°．…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2019?衡水模拟）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2﹣+2=0．4ρsinθ（Ⅰ）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）将直线l向右平移h个单位，所得直线l′与圆C相切，求h．，可把圆C的极坐标方程化为直角坐标方【分析】（Ⅰ）利用ρ2=x2+y2，y=ρsinθ程；（Ⅱ）将直线l向右平移h个单位，所得直线l′（t为参数），代入圆的方程，利用直线l′与圆C相切，建立方程，即可求h．+2=0，【解答】解：（Ⅰ）∵ρ2﹣4ρsinθ∴x2+y2﹣4y+2=0；（Ⅱ）将直线l向右平移h个单位，所得直线l′（t为参数），代入圆的方程可得2t2+2（h﹣12）t+（h﹣10）2+2=0，∵直线l′与圆C相切，∴△=4（h﹣12）2﹣8[（h﹣10）2+2]=0，即h2﹣16h+60=0，∴h=6或h=10．[选修4-5：不等式选讲]24．（2014?唐山一模）已知函数f（x）=|2x﹣a|+a，a∈R，g（x）=|2x﹣1|．（Ⅰ）若当g（x）≤5时，恒有f（x）≤6，求a的最大值；（Ⅱ）若当x∈R时，恒有f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由g（x）≤5求得﹣2≤x≤3；由f（x）≤6可得a﹣3≤x≤3．根据题意可得，a﹣3≤﹣2，求得a≤1，得出结论．（Ⅱ）根据题意可得f（x）+g（x）≥|a﹣1|+a，f（x）+g（x）≥3恒成立，可得|a﹣1|+a≥3 由此求得所求的a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当g（x）≤5时，|2x﹣1|≤5，求得﹣5≤2x﹣1≤5，即﹣2≤x≤3．由f（x）≤6可得|2x﹣a|≤6﹣a，即a﹣6≤2x﹣a≤6﹣a，即a﹣3≤x≤3．根据题意可得，a﹣3≤﹣2，求得a≤1，故a的最大值为1．（Ⅱ）∵当x∈R时，f（x）+g（x）=|2x﹣a|+|2x﹣1|+a≥|2x﹣a﹣2x+1|+a≥|a ﹣1|+a，f（x）+g（x）≥3恒成立，∴|a﹣1|+a≥3，∴a≥3，或．求得a≥3，或2≤a＜3，即所求的a的范围是[2，+∞）．。
2019-2020学年河北省衡水中学高三(上)三调数学试卷(理科)
2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）三调数学试卷（理科）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x∈N|1＜x＜log2k}，集合A中至少有3个元素，则（）A．k＞8 B．k≥8 C．k＞16 D．k≥162．（5分）复数的共轭复数的虚部是（）A．B．C．﹣1 D．13．（5分）下列结论正确的是（）A．若直线l∥平面α，直线l∥平面β，则α∥β．B．若直线l⊥平面α，直线l⊥平面β，则α∥β．C．若直线l1，l2与平面α所成的角相等，则l1∥l2D．若直线l上两个不同的点A，B到平面α的距离相等，则l∥α4．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2a5=2a3，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．29 B．31 C．33 D．365．（5分）已知实数x，y满足，则z=的取值范围为（）A．[0，]B．（﹣∞，0]∪[，+∞）C．[2，]D．（﹣∞，2]∪[，+∞）6．（5分）若a＞0，b＞0，lga+lgb=lg（a+b），则a+b的最小值为（）A．8 B．6 C．4 D．27．（5分）阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（）A．计算数列{2n﹣1}前5项的和B．计算数列{2n﹣1}前5项的和C．计算数列{2n﹣1}前6项的和D．计算数列{2n﹣1}前6项的和8．（5分）△ABC中，“角A，B，C成等差数列”是“sinC=（cosA+sinA）cosB”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）已知a＞b，二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又∃x0∈R，使ax02+2x0+b=0成立，则的最小值为（）A．1 B．C．2 D．210．（5分）已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若对于任意的自然数n，都有=，则+=（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[1，+2]B．[1，e2﹣2]C．[+2，e2﹣2]D．[e2﹣2，+∞）12．（5分）如图，在△OMN中，A，B分别是OM，ON的中点，若=x+y （x，y∈R），且点P落在四边形ABNM内（含边界），则的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]二.填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若实数a，b∈（0，1），且满足（1﹣a）b＞，则a，b的大小关系是．14．（5分）若tanα+=，α∈（，），则sin（2α+）+2cos cos2α的值为．15．（5分）（文）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是．16．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣bf （x）+1=0有8个不同根，则实数b的取值范围是．三.解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知f（x）=2sin x，集合M={x||f（x）|=2，x＞0}，把M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{a n}，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=，设数列{b n}的前n项和为T n，求证T n＜．18．（12分）已知向量=（sin，1），=（cos，cos2），记f（x）=•．（Ⅰ）若f（x）=1，求cos（x+）的值；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（2A）的取值范围．19．（12分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角的正弦值为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．20．（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（a∈R）．（1）若曲线g（x）=f（x）+x上点（1，g（1））处的切线过点（0，2），求函数g（x）的单调减区间；（2）若函数y=f（x）在上无零点，求a的最小值．21．（12分）已知，二次函数，关于x的不等式f（x）＞（2m﹣1）x+1﹣m2的解集为（﹣∞，m）∪（m+1，+∞），其中m 为非零常数，设．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若存在一条与y轴垂直的直线和函数Γ（x）=g（x）﹣x+lnx的图象相切，且切点的横坐标x0满足|x0﹣1|+x0＞3，求实数m的取值范围；（Ⅲ）当实数k取何值时，函数φ（x）=g（x）﹣kln（x﹣1）存在极值？并求出相应的极值点．请考生在22.23.24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且BC=CD，其对角线AC 与BD相交于点M．过点B作⊙O的切线交DC的延长线于点P．（1）求证：AB•MD=AD•BM；（2）若CP•MD=CB•BM，求证：AB=BC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA|•|FB|的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n的最小值．2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）三调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2019秋•通渭县校级月考）已知集合A={x∈N|1＜x＜log2k}，集合A 中至少有3个元素，则（）A．k＞8 B．k≥8 C．k＞16 D．k≥16【分析】首先确定集合A，由此得到log2k＞4，由此求得k的取值范围．【解答】解：∵集合A={x∈N|1＜x＜log2k}，集合A中至少有3个元素，∴A={2，3，4}，∴log2k＞4，∴k＞16．故选：C．2．（5分）（2019秋•永川区校级月考）复数的共轭复数的虚部是（）A．B．C．﹣1 D．1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出原复数的共轭复数得答案．【解答】解：∵=，∴复数的共轭复数为﹣i，虚部为﹣1．故选：C．3．（5分）（2015•安徽一模）下列结论正确的是（）A．若直线l∥平面α，直线l∥平面β，则α∥β．B．若直线l⊥平面α，直线l⊥平面β，则α∥β．C．若直线l1，l2与平面α所成的角相等，则l1∥l2D．若直线l上两个不同的点A，B到平面α的距离相等，则l∥α【分析】对四个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：A选项中，两个平面可以相交，l与交线平行即可，故不正确；B选项中，垂直于同一平面的两个平面平行，正确；C选项中，直线与直线相交、平行、异面都有可能，故不正确；D中选项也可能相交．故选：B．4．（5分）（2019秋•桐城市期末）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2a5=2a3，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．29 B．31 C．33 D．36【分析】利用a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，求出数列的首项与公比，再利用等比数列的求和公式，即可得出结论．【解答】解：∵数列{a n}是等比数列，a2•a3=2a1=a1q•=a1•a4，∴a4=2．∵a4与2a7的等差中项为，∴a4 +2a7 =，故有a7 =．∴q3==，∴q=，∴a1==16．∴S5==31．故选：B．5．（5分）（2019秋•西陵区校级期末）已知实数x，y满足，则z=的取值范围为（）A．[0，]B．（﹣∞，0]∪[，+∞）C．[2，]D．（﹣∞，2]∪[，+∞）【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．【解答】解：z==2+，设k=，则k的几何意义为区域内的点到D（0，﹣2）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由解得，即A（3，2），则AD的斜率k=，CD的斜率k=，则k的取值范围是k≥或k≤﹣2，则k+2≥或k+2≤0，即z≥或z≤0，故选：B6．（5分）（2015•西安校级二模）若a＞0，b＞0，lga+lgb=lg（a+b），则a+b的最小值为（）A．8 B．6 C．4 D．2【分析】运用对数的运算性质，可得ab=a+b，即+=1，则a+b=（a+b）（+），展开运用基本不等式即可求得最小值．【解答】解：由a＞0，b＞0，lga+lgb=lg（a+b），则lg（ab）=lg（a+b），即有ab=a+b，即+=1，则a+b=（a+b）（+）=2++≥2+2=4，当且仅当a=b=2时，取得等号．则a+b的最小值为4．故选C．7．（5分）（2020•淮南一模）阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（）A．计算数列{2n﹣1}前5项的和B．计算数列{2n﹣1}前5项的和C．计算数列{2n﹣1}前6项的和D．计算数列{2n﹣1}前6项的和【分析】根据算法流程，依次计算运行结果，由等比数列的前n项和公式，判断程序的功能．【解答】解：由算法的流程知，第一次运行，A=2×0+1=1，i=1+1=2；第二次运行，A=2×1+1=3，i=2+1=3；第三次运行，A=2×3+1=7，i=3+1=4；第四次运行，A=2×7+1=15，i=5；第五次运行，A=2×15+1=31，i=6；第六次运行，A=2×31+1=63，i=7；满足条件i＞6，终止运行，输出A=63，∴A=1+2+22+…+25==26﹣1=64﹣1=63．故选：C．8．（5分）（2015•衡阳二模）△ABC中，“角A，B，C成等差数列”是“sinC=（cosA+sinA）cosB”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据等差数列和两角和的正弦公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若A，B，C成等差数列，则A+C=2B，∴B=60°，若，则sin（A+B）=，即sinAcosB+cosAsinB=，∴cosAsinB=cosAcosB，若cosA=0或tanB=，即A=90°或B=60°，∴角A，B，C成等差数列是成立的充分不必要条件．故选：A．9．（5分）（2012秋•武昌区期末）已知a＞b，二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又∃x0∈R，使ax02+2x0+b=0成立，则的最小值为（）A．1 B．C．2 D．2【分析】由条件求得a＞1，ab=1，由此把要求的式子化为．化简为，令=t＞2，则=（t﹣2）+4+，利用基本不等式求得的最小值为8，可得的最小值．【解答】解：∵已知a＞b，二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，∴a＞0，且△=4﹣4ab≤0，∴ab≥1．再由∃x0∈R，使+2x0+b=0成立，可得△=0，∴ab=1，∴a＞1．∴==＞0．∴====．令=t＞2，则==（t﹣2）+4+≥4+4=8，故的最小值为8，故的最小值为=2，故选D．10．（5分）（2020•淮南一模）已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若对于任意的自然数n，都有=，则+=（）A．B．C．D．【分析】利用等差数列的通项公式性质可得：=，可得+=+，再进行转化利用求和公式及其性质即可得出．【解答】解：∵等差数列中，若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q；等差数列的前n项和为：S n=．∴==∴+=+=+======故选：A．11．（5分）（2020•惠州模拟）已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[1，+2]B．[1，e2﹣2]C．[+2，e2﹣2]D．[e2﹣2，+∞）【分析】由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解，构造函数f（x）=2lnx﹣x2，求出它的值域，得到﹣a的范围即可．【解答】解：由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解．设f（x）=2lnx﹣x2，求导得：f′（x）=﹣2x=，∵≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，=f（1）=﹣1，且知f（e）＜f（），∵f（）=﹣2﹣，f（e）=2﹣e2，f（x）极大值故方程﹣a=2lnx﹣x2在上有解等价于2﹣e2≤﹣a≤﹣1．从而a的取值范围为[1，e2﹣2]．故选B．12．（5分）（2015•益阳一模）如图，在△OMN中，A，B分别是OM，ON的中点，若=x+y（x，y∈R），且点P落在四边形ABNM内（含边界），则的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]【分析】若P在线段AB上，设=λ，则有=，由于=x+y，则有x+y=1，由于在△OMN中，A，B分别是OM，ON的中点，P落在线段MN上，则x+y=2．即可得到取值范围．【解答】解：若P在线段AB上，设=λ，则有==，∴=，由于=x+y（x，y∈R），则x=，y=，故有x+y=1，若P在线段MN上，设=λ，则有=，故x=1，y=0时，最小值为，当x=0，y=1时，最大值为故范围为[]由于在△OMN中，A，B分别是OM，ON的中点，则=x+y=x+y（x，y∈R），则x=，y=，故有x+y=2，当x=2，y=0时有最小值，当x=0，y=2时，有最大值故范围为[]若P在阴影部分内（含边界），则∈．故选：C．二.填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2019秋•桃城区校级月考）若实数a，b∈（0，1），且满足（1﹣a）b＞，则a，b的大小关系是a＜b．【分析】可根据条件，利用不等式的性质即可得到答案．【解答】解：∵a、b∈（0，1），且满足（1﹣a）b＞，∴＞，又≥，∴＞，∴a＜b．故答案为：a＜b．14．（5分）（2019秋•桃城区校级月考）若tanα+=，α∈（，），则sin（2α+）+2cos cos2α的值为0．【分析】由条件求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式化简所给的式子，求得结果．【解答】解：∵tanα+=，α∈（，），∴tanα=3，或tanα=（舍去），则sin（2α+）+2cos cos2α=sin2αcos+cos2αsin+•=sin2α+cos2α+=•+•+=•+•+=•+•+=0，故答案为：0．15．（5分）（2012•宁城县模拟）（文）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是80．【分析】由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥，高为3，下部为正方体，边长为4的组合体．分别求得体积再相加．【解答】解：由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥，下部为正方体的组合体．四棱锥的高h1=3，正方体棱长为4V正方体=Sh2=42×4=64V四棱锥=Sh1==16所以V=64+16=80故答案为：80．16．（5分）（2019•静宁县一模）已知函数f（x）=，若关于x 的方程f2（x）﹣bf（x）+1=0有8个不同根，则实数b的取值范围是（2，] ．【分析】作函数f（x）的图象，从而可得方程x2﹣bx+1=0有2个不同的正解，且在（0，4]上，从而解得．【解答】解：作函数f（x）的图象如图，∵关于x的函数y=f2（x）﹣bf（x）+1有8个不同的零点，∴方程x2﹣bx+1=0有2个不同的正解，且在（0，4]上；∴，解得，2＜b≤；故答案为：（2，]．三.解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2015•江西模拟）已知f（x）=2sin x，集合M={x||f（x）|=2，x ＞0}，把M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{a n}，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=，设数列{b n}的前n项和为T n，求证T n＜．【分析】（1）根据题意求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用放缩法和裂项相消法求出结果．【解答】解：（1）f（x）=2sin x，集合M={x||f（x）|=2，x＞0}，则：解得：x=2k+1（k∈Z），把M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{a n}，所以：a n=2n﹣1．证明：（2）记b n=，数列{b n}的前n项和为T n，=所以：T n=b1+b2+…+b n++…+）=18．（12分）（2015•济宁一模）已知向量=（sin，1），=（cos，cos2），记f（x）=•．（Ⅰ）若f（x）=1，求cos（x+）的值；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（2A）的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用向量的数量积公式求出f（x）的解析式，然后求值；（Ⅱ）由正弦定理将边角的混合等式化为角的等式，利用三角函数公式化简求出角A的范围，然后求三角函数值的范围．【解答】解：（Ⅰ）向量=（sin，1），=（cos，cos2），记f（x）=•=sin cos+cos2=sin+cos+=sin（）+，因为f（x）=1，所以sin（）=，所以cos（x+）=1﹣2sin2（）=，（Ⅱ）因为（2a﹣c）cosB=bcosC，由正弦定理得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC 所以2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC所以2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，sinA≠0，所以cosB=，又0＜B＜，所以B=，则A+C=，即A=﹣C，又0＜C＜，则＜A＜，得＜A+＜，所以＜sin（A+）≤1，又f（2A）=sin（A+），所以f（2A）的取值范围（]．19．（12分）（2019秋•桃城区校级月考）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角的正弦值为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．【分析】（1）取A1B的中点D，连接AD，由已知条件推导出AD⊥平面A1BC，从而AD⊥BC，由线面垂直得AA1⊥BC．由此能证明AB⊥BC．（2）连接CD，由已知条件得∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，∠AED 即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，由此能求出二面角A﹣A1C﹣B的大小．【解答】（1）证明：如图，取A1B的中点D，连接AD，∵AA1=AB，∴AD⊥A1B，∵平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，∴AD⊥平面A1BC，又∵BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC，∵三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC，又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，又AB⊂侧面A1ABB1，故AB⊥BC；（2）解：连接CD，由（1）可知AD⊥平面A1BC，则CD是AC在平面A1BC内的射影，∴∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，又∵sin∠ACD=，∴∠ACD=，∵在等腰直角△A1AB中，AA1=AB=2，且点D是A1B中点，∴AD=A1B=，且∠ADC=，∴AC=2，过点A作AE⊥A1C于点E，连DE，由（1）知AD⊥平面A1BC，则AD⊥A1C，且AE∩AD=A，∴∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，且直角△A1AC中：AE===，又AD=，∠ADE=，∴sin∠AED===，且二面角A﹣A1C﹣B为锐二面角，∴∠AED=，即二面角A﹣A1C﹣B的大小为．20．（12分）（2019秋•桃城区校级月考）已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx （a∈R）．（1）若曲线g（x）=f（x）+x上点（1，g（1））处的切线过点（0，2），求函数g（x）的单调减区间；（2）若函数y=f（x）在上无零点，求a的最小值．【分析】（1）求出函数的导数，计算g′（1），求出a的值，从而求出g（x）的递减区间即可；（2）问题转化为对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，令l（x）=2﹣，x ∈（0，），根据函数的单调性求出a的最小值即可．【解答】解：（1）∵g（x）=（3﹣a）x﹣（2﹣a）﹣2lnx，∴g′（x）=3﹣a﹣，∴g′（1）=1﹣a，又g（1）=1，∴1﹣a==﹣1，解得：a=2，由g′（x）=3﹣2﹣=＜0，解得：0＜x＜2，∴函数g（x）在（0，2）递减；（2）∵f（x）＜0在（0，）恒成立不可能，故要使f（x）在（0，）无零点，只需任意x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，令l（x）=2﹣，x∈（0，），则l′（x）=，再令m（x）=2lnx+﹣2，x∈（0，），则m′（x）=＜0，故m（x）在（0，）递减，于是m（x）＞m（）=2﹣2ln2＞0，从而f′（x）＞0，于是l（x）在（0，）递增，∴l（x）＜l（）=2﹣4ln2，故要使a＞2﹣恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），综上，若函数y=f（x）在上无零点，则a的最小值是2﹣4ln2．21．（12分）（2013•青岛二模）已知，二次函数，关于x的不等式f（x）＞（2m﹣1）x+1﹣m2的解集为（﹣∞，m）∪（m+1，+∞），其中m为非零常数，设．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若存在一条与y轴垂直的直线和函数Γ（x）=g（x）﹣x+lnx的图象相切，且切点的横坐标x0满足|x0﹣1|+x0＞3，求实数m的取值范围；（Ⅲ）当实数k取何值时，函数φ（x）=g（x）﹣kln（x﹣1）存在极值？并求出相应的极值点．【分析】（I）利用向量的数量积可得函数f（x）=x2+ax+m+1，利用一元二次不等式的解集和相应的一元二次方程的实数根的关系可知m和m+1是方程x2+（a+1﹣2m）x+m2+m=0的两个根，利用根与系数的关系即可得出a；（II）由存在一条与y轴垂直的直线和Γ（x）的图象相切，且切点的横坐标为x0，⇔；由切点的横坐标x0满足|x0﹣1|+x0＞3，可得x0＞2．令（x＞2），利用导数可得其单调性，即可得到m的取值范围；（III）由φ（x）=g（x）﹣kln（x﹣1）=﹣kln（x﹣1）的定义域为（1，+∞）．可得φ'（x）=1﹣=．方程x2﹣（2+k）x+k﹣m+1=0（*）的判别式△=（2+k）2﹣4（k﹣m+1）=k2+4m．通过对△和m分类讨论即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵，，∴二次函数f（x）=x2+ax+m+1，关于x的不等式f（x）＞（2m﹣1）x+1﹣m2的解集为（﹣∞，m）∪（m+1，+∞），也就是不等式x2+（a+1﹣2m）x+m2+m＞0的解集为（﹣∞，m）∪（m+1，+∞），∴m和m+1是方程x2+（a+1﹣2m）x+m2+m=0的两个根．由韦达定理得：m+（m+1）=﹣（a+1﹣2m）∴a=﹣2．（Ⅱ）由（Ⅰ）得=，∴，，∵存在一条与y轴垂直的直线和Γ（x）的图象相切，且切点的横坐标为x0，∴，∵|x0﹣1|+x0＞3，∴x0＞2．令（x＞2），则，当x＞2时，，∴在（2，+∞）上为增函数，从而，∴．（Ⅲ）φ（x）=g（x）﹣kln（x﹣1）=﹣kln（x﹣1）的定义域为（1，+∞）．∴φ'（x）=1﹣=．方程x2﹣（2+k）x+k﹣m+1=0（*）的判别式△=（2+k）2﹣4（k﹣m+1）=k2+4m．①若m＞0时，△＞0，方程（*）的两个实根为，或，则x∈（1，x2）时，φ'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时，φ'（x）＞0．∴函数φ（x）在（1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．此时函数φ（x）存在极小值，极小值点为x2，k可取任意实数．②若m＜0时，当△≤0，即时，x2﹣（2+k）x+k﹣m+1≥0恒成立，φ'（x）≥0，φ（x）在（1，+∞）上为增函数，此时φ（x）在（1，+∞）上没有极值．下面只需考虑△＞0的情况由△＞0，得或，当，则，，故x∈（1，+∞）时，φ'（x）＞0，∴函数φ（x）在（1，+∞）上单调递增．∴函数φ（x）没有极值．当时，，，则x∈（1，x1）时，φ'（x）＞0；x∈（x1，x2）时，φ'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时，φ'（x）＞0．∴函数φ（x）在（1，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．此时函数φ（x）存在极大值和极小值，极小值点x2，有极大值点x1．综上所述，若m＞0时，k可取任意实数，此时函数φ（x）有极小值且极小值点为x2；若m＜0时，当时，函数φ（x）有极大值和极小值，此时极小值点为x2，极大值点为x1（其中，．请考生在22.23.24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2019•商丘三模）已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且BC=CD，其对角线AC与BD相交于点M．过点B作⊙O的切线交DC的延长线于点P．（1）求证：AB•MD=AD•BM；（2）若CP•MD=CB•BM，求证：AB=BC．【分析】（1）利用等腰三角形的性质、角分线定理，即可证明结论；（2）证明∠PBC=∠BCA，利用∠PBC=∠BAC，证明∠BAC=∠BCA，即可得出结论．【解答】证明：（1）由BC=CD可知，∠BAC=∠DAC，由角分线定理可知，=，即AB•MD=AD•BM得证．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）由CP•MD=CB•BM，可知=，又因为BC=CD，所以=所以PB∥AC．所以∠PBC=∠BCA又因为∠PBC=∠BAC所以∠BAC=∠BCA所以AB=BC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2019•沈阳二模）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA|•|FB|的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．【分析】（I）求出曲线C的普通方程和焦点坐标，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程利用根与系数的关系和参数的几何意义得出；（II）设矩形的顶点坐标为（x，y），则根据x，y的关系消元得出P关于x（或y）的函数，求出此函数的最大值．【解答】解：（I）曲线C的直角坐标方程为x2+3y2=12，即．∴曲线C的左焦点F的坐标为F（﹣2，0）．∵F（﹣2，0）在直线l上，∴直线l的参数方程为（t为参数）．将直线l的参数方程代入x2+3y2=12得：t2﹣2t﹣2=0，∴|FA|•|FB|=|t1t2|=2．（II）设曲线C的内接矩形的第一象限内的顶点为M（x，y）（0，0＜y ＜2），则x2+3y2=12，∴x=．∴P=4x+4y=4+4y．令f（y）=4+4y，则f′（y）=．令f′（y）=0得y=1，当0＜y＜1时，f′（y）＞0，当1＜y＜2时，f′（y）＜0．∴当y=1时，f（y）取得最大值16．∴P的最大值为16．[选修4-5：不等式选讲]24．（2019•宁城县模拟）已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t 成立．（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n 的最小值．【分析】（Ⅰ）根据绝对值的几何意义求出t的范围即可；（Ⅱ）根据级别不等式的性质结合对数函数的性质求出m+n的最小值即可．【解答】解：（I）令f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣2|≥|x﹣1﹣x+2|=1≥t，∴T=（﹣∞，1]；（Ⅱ）由（I）知，对于∀t∈T，不等式•≥t恒成立，只需•≥t max，所以•≥1，又因为m＞1，n＞1，所以＞0，＞0，又1≤•≤=（=时取“=”），所以≥4，所以≥2，mn≥9，所以m+n≥2≥6，即m+n的最小值为6（此时m=n=3）．。
2019-2020学年河北省衡水中学高三(上)期中数学试卷(理科)
2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有-项符合题意．请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 已知曲线f(x)＝xcosx+3x在点（0, f(0)）处的切线与直线ax+4y+1＝0垂直，则实数a的值为（）A.−4B.−1C.1D.4【答案】C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a的方程，解方程可得所求值．【解答】f(x)＝xcosx+3x的导数为f′(x)＝cosx−xsinx+3，可得在点（0, f(0)）处的切线斜率为cos0−0+3＝4，由切线与直线ax+4y+1＝0垂直，可得−a4=−14，即a＝1．2. 已知各项不为0的等差数列{a n}满足a5−2a72+2a8＝0，数列{b n}是等比数列且b7＝a7，则b2b12等于（）A.49B.32C.94D.23【答案】C【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】由条件利用等差数列的性质可得3a7＝2a72，求得a7的值，再根据b2b12=b72计算．【解答】由a5−2a72+2a8＝0，得a5+2a8＝2a72，即3(a1+6d)＝2a72，即3a7＝2a72，∵a7≠0，∴a7=32=b7，则b2b12=b72=94．3. 对于函数f(x)，若存在区间A＝[m, n]使得{y|yf(x), x∈A}＝A则称函数f(x)为“同域函数”，区间A为函数f(x)的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f(x)＝cosπ2x；②f(x)＝x2−1；③f(x)＝|x2−1|；④f(x)＝log2(x−1)．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（）A.①②B.①②③C.②③D.①②④【答案】B【考点】命题的真假判断与应用 【解析】解题思路：对于每一个选项找到其“同域区间”就判定为“同域函数”．逐项寻找就可以了！ 【解答】对于函数①f(x)=cosπx 2，当x ∈[0, 1]，则有f(x)∈[0, 1]，符合题意；对于函数②f(x)＝x 2−1，当x ∈[−1, 0]时，则有f(x)∈[−1, 0]，符合题意； 对于函数③f(x)=||，当x ∈[0, 1]时，则有f(x)∈[0, 1]，符合题意； 由选项可知，应选B ，4. 设θ为两个非零向量a →,b →的夹角，已知对任意实数t ，|b →+ta →|的最小值为1，则（ ）A.若|a →|确定，则 θ唯一确定 B.若|b →|确定，则θ唯一确定 C.若θ确定，则|a →|唯一确定 D.若θ确定，则|b →|唯一确定 【答案】 D【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】由题意可得，(b →+ta →)2=b →2+2ta →⋅b →+t 2a →2，则令g(t)=b →2+2ta →⋅b →+t 2a →2，可得判别式△<0，运用二次函数的性质，求出最小值，结合向量的数量积的性质，即可得到答案． 【解答】(b →+ta →)2=b →2+2ta →⋅b →+t 2a →2，则令g(t)=b →2+2ta →⋅b →+t 2a →2， 可得判别式△＝4(a →⋅b →)2−4a →2b →2＝4a →2b →2cos 2θ−4a →2b →2=−4a →2b →2sin 2θ<0，由二次函数的性质，可得g(t)>0恒成立． 且当t =−2a →⋅b →2a →2=−|b →||a →|cosθ时，g(t)最小，且为1．即g(−|b →||a →|cosθ)＝−|b →|2cos 2θ+|b →|2＝|b →|2sin 2θ＝1，故当θ唯一确定时，|b →|唯一确定．5. 已知点P(x, y)是直线y ＝2√2x −4上一动点，PM 与PN 是圆C:x 2+(y −1)2＝1的两条切线，M，N为切点，则四边形PMCN的最小面积为（）A.4 3B.23C.53D.56【答案】A【考点】直线与圆的位置关系【解析】四边形PMCN的面积是两个三角形的面积的和，因为CM⊥PM，CM＝1，显然PM最小时，四边形面积最小，此时PC最小，由此可得结论．【解答】圆C:x2+(y−1)2＝1圆心坐标为(0, 1)，半径为1；由题意过点P作圆C的两条切线，切点分别为M，N，可知四边形PMCN的面积是两个三角形的面积的和，因为CM⊥PM，CM＝1，显然PM最小时，四边形面积最小，此时PC最小．∵P是直线y＝2√2x−4上的动点，∴PC最小值=√8+1=53，∴PM最小值=√(53)2−12=43，∴四边形PMCN面积的最小值为：2×12×43×1=43．6. 已知函数f(x)＝Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, 0<φ<π2)的部分图象如图所示，则f(3π4)=()A.−√22B.−12C.−1D.√22【答案】C【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得f(3π4)的值．【解答】由函数f(x)＝Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, 0<φ<π2)的部分图象，可得A＝2，由2sinφ=√3，求得φ=π3．再根据五点法作图，可得ω⋅7π12+π3=3π2，∴ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x+π3)，∴f(3π4)＝2sin(3π2+π3)＝−2cosπ3=−1，7. 已知函数f(x)=12−4sinxcosx，若f(x−a)＝−f(x+a)恒成立，则实数a的最小正值为（）A.2πB.πC.π2D.π4【答案】D【考点】函数恒成立问题【解析】将函数式f(x)进行化简求出最小正周期，并将恒成立问题转化为周期问题即可．【解答】∵f(x)=12−4sinxcosx=12−2sin2x∴f(x)的最小正周期为T＝π；又∵f(x−a)＝−f(x+a)恒成立，∴f(x)＝−f(x+2a)⇒−f(x)＝f(x+2a)，而−f(x)＝f(x−2a)，∴f(x+2a)＝f(x−2a)⇒f(x)＝f(x+4a)，∴f(x)是以4a为周期的函数，∴4a＝π，⇒a=π4；8. 设S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，a n+1＝2S n，则数列{1a n}的前20项和为（）A.3 2−12×319B.74−14×319C.3 2−12×3D.74−14×3【答案】A【考点】数列的求和【解析】根据数列的递推公式可得数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，即可得到1 a n =(13)n−1，再根据等比数列的求和公式即可求出．【解答】设S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，a n+1＝2S n，∴a n＝2S n−1，∴a n+1−a n＝2a n，∴a n+1＝3a n，∴数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，∴a n＝3n−1，当n＝1时也满足，∴1a n =(13)n−1，∴数列{1a n }的前20项和为1−13201−13=32−12×3199. 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，则椭圆的离心率为（）A.√3−1B.√3+12C.√22D.√5−12【答案】A【考点】椭圆的离心率【解析】利用已知条件以及椭圆的性质列出关系式，求解椭圆的离心率即可．【解答】椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，可得(2a−c)2+c2＝4c2，可得2a2−2ac＝c2，所以e2+2e−2＝0，e∈(0, 1)，解得e=−2+√122=√3−1．10. 已知函数f(x)=asinx−√3cosx图象的一条对称轴为直线x=5π6，且f(x1)f(x2)=−4，则|x1+x2|的最小值为()A.−π3B.0 C.π3D.2π3【答案】D【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】首先通过三角函数的恒等变换把函数关系式变性成正弦型函数，进一步利用对称轴确定函数的解析式，再利用正弦型函数的最值确定结果．【解答】解：函数f(x)=asinx−√3cosx=√a2+3sin(x+θ)的图象的一条对称轴为直线x=5π6，∴f(5π6)=a2+32=±√a2+3，解得a=1．则f(x)=sinx−√3cosx=2sin(x−π3)，∵f(x1)f(x2)=−4，则f(x1)和f(x2)一个为−2，另一个为2，可设x1=2kπ−π6，x2=2kπ+5π6，则|x1+x2|=|4kπ+2π3|，k∈Z．故当k=0时，|x1+x2|取得最小值为2π3．故选D.11. 若函数f(x)＝e x(x−3)−13kx3+kx2只有一个极值点，则k的取值范围为（）A.(−∞, e) B.[0, e] C.(−∞, 2) D.(0, 2]【答案】B【考点】利用导数研究函数的极值【解析】利用函数求导函数f′(x)＝e x(x−2)−kx2+2kx＝(x−2)(e x−kx)，只有一个极值点时f′(x)＝0只有一个实数解有e x−kx≥0，设新函数设u(x)＝e x，v(x)＝kx，等价转化数形结合法即可得出结论，【解答】函数f(x)＝e x(x−3)−13kx3+kx2只有一个极值点，f′(x)＝e x(x−2)−kx2+2kx＝(x−2)(e x−kx)，若函数f(x)＝e x(x−3)−13kx3+kx2只有一个极值点，f′(x)＝0只有一个实数解，则：e x−kx≥0，从而得到：e x≥kx，当k＝0时，成立．当k≠0时，设u(x)＝e x，v(x)＝kx如图：当两函数相切时，k＝e，此时得到k的最大值，但k<0时不成立．故k的取值范围为：(0, e]综上：k的取值范围为：[0, e]12. 双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交曲线左支于A，B两点，△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30∘．若该双曲线的离心率为e，则e2＝（）A.11+4√3B.13+5√3C.16−6√3D.19−10√3【答案】D【考点】双曲线的离心率【解析】设|BF2|＝2m，根据△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30∘，以及双曲线的性质可得|AF2|＝2a(3−√3)，|AF1|＝2a(2−√3)，再根据勾股定理即可求出【解答】设|BF2|＝2m，∵△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30∘，∴|AB|=12|BF2|＝m，|AF2|=√32|BF2|=√3m，由|AF2|−|AF1|＝2a，∴|AF1|=√3m−2a，由|BF2|−|BF1|＝2a，∴|BF1|＝2m−2a，∴|AF1|+|BF1|＝AB，∴√3m−2a+2m−2a＝m，∴m＝2a(√3−1)，∴|AF|=√3⋅2a(√3−1)＝2a(3−√3)2|AF1|＝2a(3−√3)−2a＝2a(2−√3)又在Rt△F1AF2中|AF1|2+|AF2|2＝4c2，即4a2(3−√3)2+4a2(2−√3)2＝4c2，即(19−10√3)a2＝c2，∴e2＝19−10√3，二、填空题（每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上）已知向量a→，b→，|a→|＝1，|b→|＝2，且|2a→+b→|=√10，则a→⋅b→=________．【答案】12【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】根据|a→|=1,|b→|=2，对|2a→+b→|=√10两边平方即可得出4+4a→⋅b→+4=10，从而可求出a→⋅b→．【解答】∵|a→|＝1，|b→|＝2，且|2a→+b→|=√10，∴(2a→+b→)2=4a→2+4a→⋅b→+b→2=4+4a→⋅b→+4=10，∴a→⋅b→=1．2已知抛物线E:y2＝12x的焦点为F，准线为l，过F的直线m与E交于A，B两点，过A作AM⊥l，垂足为M，AM的中点为N，若AM⊥FN，则|AB|＝________．【答案】16【考点】抛物线的性质【解析】由题意画出图形，得到直线AB的斜率，进一步求得直线AB的方程，与抛物线方程联立求解即可得答案．【解答】由题意画出图形如图，∵AF＝AM，N为AM的中点，且FN⊥AM，∴∠AFN＝30∘，则直线AB的倾斜角为60∘，斜率为√3．由抛物线y2＝12x，得F(3, 0)，则直线AB的方程为y=√3(x−3)．联立{y=√3(x−3)y2=12x，得x2−10x+9＝0．则x A+x B＝10，∴|AB|＝x A+x B+p＝16．已知函数f(x)＝(x2−2x)e x−1，若当x>1时，f(x)−mx+l+m≤0有解，则m的取值范围为________．【答案】(−1, +∞)【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】先求导，判断出函数的单调性，可得函数值的情况，即可求出m的取值范围．【解答】∵f(x)−mx+1+m≤0，∴f(x)≤m(x−1)−1，∵y＝m(x−1)−1且过定点(1, −1)，∵当x>1时，f(x)−mx+1+m≤0有解，∴当x>1时，存在y＝f(x)在y＝m(x−1)−1的下方，∵f′(x)＝(x2−2)e x−1，令f′(x)＝0，解得x=√2，当1<x<√2时，f′(x)<0，当x>√2时，f′(x)>0，∴f(x)在(1, √2)上递减，在(√2,+∞)上递增，∵当x>2时，f(x)>0，又f(1)＝−1，f(√2)<−1，f(2)＝0，∴m>−1，故答案为：(−1, +∞)数列{a n}为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出a1＝1，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是a2＝1，a3＝2，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是a4＝1，a5＝1，a6＝2，a7＝3，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则a2019＝________．【答案】1【考点】数列的求和【解析】由数列{a n}的构造方法可知a1＝1，a3＝2，a7＝3，a15＝4，可得a2n−1=n，即a2n−1+k=a k(1≤k<2n−1)，进而得出结论．【解答】由数列{a n}的构造方法可知a1＝1，a3＝2，a7＝3，a15＝4，可得a2n−1=n，即a2n−1+k=a k(1≤k<2n−1)，故a2019＝a996＝a485＝a230＝a103＝a40＝a9＝a2＝1．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）如图为一块边长为2km的等边三角形地块ABC，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D出发引出两条成60∘角的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设∠BDE=α．(1)当α=60∘时，求绿化面积；(2)试求地块的绿化面积S(α)的取值范围．【答案】解：(1)当α=60∘时，DE // AC，DF // AB，则四边形AEDF为平行四边形，所以△BDE和△CDF都为边长为1km的等边三角形，且面积都为√34km2，故绿化面积为√34×22−2×√34=√32(km2).(2)由题意可得，30∘<α<90∘，在△BDE中，∠BED=120∘−α，由正弦定理可得BEsinα=1sin(120∘−α)，∴BE=sinαsin(120∘−α)，在△CDF中，∠CDF=120∘−α，∠CFD=α，由正弦定理可得1sinα=CFsin(120∘−α)，∴CF=sin(120∘−α)sinα，∴BE+CF=sin(120∘−α)sinα+sinαsin(120∘−α)=sin2(120∘−α)+sin2αsinα⋅sin(120∘−α)=(√32cosα+12sinα)2+sin2αsinα⋅(12sinα+√32cosα)=134√32sinαcosα+12sin2α=1+34√34sin2α−14cos2α+14=1+32×1sin(2α−30∘)+12，∴S(α)=S△ABC −S△BDE−S△CDF=√3−√34(BE+CF)=3√34−3√38⋅112+sin(2α−30∘)(30∘<α<90∘).∵12<sin(2α−30∘)≤1，1<sin(2α−30∘)+12≤32，∴23≤112+sin(2α−30∘)<1，∴3√38<S(α)≤√32.故地块的绿化面积S(α)的取值范围(3√38,√3 2].【考点】两角和与差的正弦公式三角形的面积公式解三角形正弦函数的定义域和值域【解析】（1）当α＝60<em>o</em>时，DE // AC，DF // AB，四边形AEDF为平行四边形，△BDE和△CDF都为边长为1km的等边三角形，结合已知即可求解；（2）由题意可得，30∘<α<90∘，在△BDE中，由正弦定理可表示BE，同理可得CF，然后结合和差角公式及同角平方关系对BE+CF进行化简，而s(α)＝s△<em><em>ABC</em></em>−s△<em><em>BDE</em></em>−s<em>CDF</em>=√3−√34(BE+CF)，代入结合正弦函数的性质可求．【解答】解：(1)当α=60∘时，DE // AC，DF // AB，则四边形AEDF为平行四边形，所以△BDE和△CDF都为边长为1km的等边三角形，且面积都为√34km2，故绿化面积为√34×22−2×√34=√32(km2).(2)由题意可得，30∘<α<90∘，在△BDE中，∠BED=120∘−α，由正弦定理可得BEsinα=1sin(120−α)，∴BE=sinαsin(120∘−α)，在△CDF中，∠CDF=120∘−α，∠CFD=α，由正弦定理可得1sinα=CFsin(120−α)，∴ CF =sin(120∘−α)sinα，∴ BE +CF =sin(120∘−α)sinα+sinαsin(120∘−α)=sin 2(120∘−α)+sin 2αsinα⋅sin(120∘−α)=(√32cosα+12sinα)2+sin 2αsinα⋅(12sinα+√32cosα)=134√32sinαcosα+12sin 2α=1+34√34sin2α−14cos2α+14=1+32×1sin(2α−30∘)+12，∴ S(α)=S △ABC −S △BDE −S △CDF =√3−√34(BE +CF)=3√34−3√38⋅112+sin(2α−30∘)(30∘<α<90∘).∵ 12<sin(2α−30∘)≤1，1<sin(2α−30∘)+12≤32， ∴ 23≤112+sin(2α−30∘)<1，∴3√38<S(α)≤√32. 故地块的绿化面积S(α)的取值范围(3√38,√32].已知等差数列{a n }前n 项和S n ，等比数列{b n }前n 项和为T n ，a 1＝1，b 1＝1，a 2+b 2＝4．（1）若a 3+b 3＝7，求数列{b n }的通项公式；（2）若T 3＝13，求S 5． 【答案】设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， 由a 1＝1，b 1＝1，a 2+b 2＝4，a 3+b 3＝7，得 {1+d +q =41+2d +q 2=7，解得q ＝2． ∴ b n =b 1q n−1=2n−1；由b 1＝1，T 3＝13，得1+q +q 2＝13，即q ＝−4或q ＝3．当q ＝−4时，b 2＝−4，此时a 2＝4−b 2＝8，d ＝a 2−a 1＝7，S 5=5+5×42×7=75；当q ＝3时，b 2＝3，此时a 2＝4−b 2＝1，d ＝a 2−a 1＝0，S 5＝5a 1＝5． 综上，S 5＝75或5． 【考点】等差数列的通项公式 等差数列的前n 项和 【解析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由已知列关于d 和q 的方程组，求得q ，可得数列{b n }的通项公式；（2）由b 1＝1，T 3＝13列式求得q ，然后分类求解S 5． 【解答】设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， 由a 1＝1，b 1＝1，a 2+b 2＝4，a 3+b 3＝7，得 {1+d +q =41+2d +q 2=7，解得q ＝2． ∴ b n =b 1q n−1=2n−1；由b 1＝1，T 3＝13，得1+q +q 2＝13，即q ＝−4或q ＝3．当q ＝−4时，b 2＝−4，此时a 2＝4−b 2＝8，d ＝a 2−a 1＝7，S 5=5+5×42×7=75；当q ＝3时，b 2＝3，此时a 2＝4−b 2＝1，d ＝a 2−a 1＝0，S 5＝5a 1＝5． 综上，S 5＝75或5．已知圆D ：(x −2)2+(y −1)2＝1，点A 在抛物线C:y 2＝4x 上，O 为坐标原点，直线OA 与圆D 有公共点．（1）求点A 横坐标的取值范围；（2）如图，当直线OA 过圆心D 时，过点A 作抛物线的切线交y 轴于点B ，过点B 引直线l 交抛物线C 于P 、Q 两点，过点P 作x 轴的垂线分别与直线OA 、OQ 交于M 、N ，求证：M 为PN 中点． 【答案】由题意直线OA 斜率存在且不为零，设l OA :y ＝kx ，则 由{y =kx y 2=4x ′解得x A =4k 2， 又D(2, 1)到l OA :kx −y ＝0的距离为√k 2+1≤1，即0≤k ≤43， 所以x A ∈[94,+∞)．证明：当直线OA 过圆心D(2, 1)时，k =12，x A =4k 2=16，A(16, 8)， 由y 2＝4x(y >0)可得y =2√x ， 所以y ′=√x ，所以k AB =y ′|x=16=14，所以l AB :y −8=14(x −16)，即y =14x +4，所以B(0, 4)， 设l:y ＝mx +4，P(y 124,y 1)，Q(y 224,y 2)，由l OA :y =12x ，l OQ :y =4y 2x ，得y M =y128，y N =y 12y 2，由{y =mx +4y 2=4x ，解得my 2−4y +16＝0， 所以y 1+y 2=4m ，y 1y 2=16m，所以y P +y N =y 1+y 12y 2=y 12(y 1+y 2)y 1y 2=y 12⋅4m16m =y 124=2y M ，即M 为PN 中点． 【考点】直线与抛物线的位置关系 【解析】（1）根据题意设出直线OA 的方程，联立抛物线方程可表示出交点A 的坐标，再根据圆心到直线的距离小于半径可以求得OA 斜率范围，继而算出A 点横坐标的范围；（2）对抛物线求导，可求出AB 的斜率，继而写出AB 的方程，可以求得B 点坐标，设出直线l 及交点坐标，联立直线与抛物线方程可以推得y P +y N ＝2y M ，得出结论． 【解答】由题意直线OA 斜率存在且不为零，设l OA :y ＝kx ，则 由{y =kx y 2=4x′解得x A =4k 2， 又D(2, 1)到l OA :kx −y ＝0的距离为√k 2+1≤1， 即0≤k ≤43， 所以x A ∈[94,+∞)．证明：当直线OA 过圆心D(2, 1)时，k =12，x A =4k 2=16，A(16, 8)， 由y 2＝4x(y >0)可得y =2√x ， 所以y ′=√x ，所以k AB =y ′|x=16=14，所以l AB :y −8=14(x −16)，即y =14x +4， 所以B(0, 4)， 设l:y ＝mx +4，P(y 124,y 1)，Q(y 224,y 2)，由l OA :y =12x ，l OQ :y =4y 2x ，得y M =y128，y N =y 12y 2，由{y =mx +4y 2=4x ，解得my 2−4y +16＝0， 所以y 1+y 2=4m ，y 1y 2=16m，所以y P+y N=y1+y12y2=y12(y1+y2)y1y2=y12⋅4m16m=y124=2y M，即M为PN中点．已知等差数列{a n}的公差d∈(0, π]，数列{b n}满足b n＝sin(a n)，集合S＝{x|xb n, n∈N∗}．（1）若a1＝0，d=2π3，求集合S；（2）若a1=π2，求d使得集合S恰有两个元素；（3）若集合S恰有三个元素，b n+T＝b n，T是不超过5的正整数，求T的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列{a n}的通项公式及集合S．【答案】∵等差数列{a n}的公差d∈(0, π]，数列{b n}满足b n＝sin(a n)，集合S＝{x|xb n, n∈N∗}，∴a1＝0，d=2π3，a n=2π3(n−1)，∴b n＝sin(a n)＝0，−√32,√3 2，故S＝{0, −√32,√32}；a1=π2，a n=π2+(n−1)d，d∈(0, π]，根据题意，集合S恰有两个元素；当d＝π时，sin(π2+(n−1)π)={1,n−1,n，故成立，因为a1=π2，要使a n(n≥2)的值唯一，在一个周期内，角的终边关于y轴对称，且值相等如图3d＝2π，d=2π3，故d＝π或2π3；①当T＝3时，b n+3＝b n，集合S＝{b1, b2, b3}，符合题意．与之相应的一个等差数列a n的通项公式为a n=2π3n，此时S={−√32,√32,0}．②当T＝4时，b n+4＝b n，sin(a n+4d)＝sina n，a n+4d=a n+2kπ或a n+4d＝2kπ−a n，等差数列a n的公差d∈(0, π]，故a n+4d=a n+2kπ，d=kπ2，又k＝1或2，∴当k＝1时满足条件，此时S＝{0, 1, −1}与之相应的一个等差数列a n的通项公式为a n=π2n，此时S＝{0, 1, −1}【考点】数列与函数的综合【解析】（1）根据等差数列的通项公式写出a n，进而求出b n，再根据周期性求解；（2）由集合S的元素个数，分析数列b n的周期，进而可求得答案；（3）分别令T＝1，2，3，4，5进行验证，判断T的可能取值，并写出与之相应的一个等差数列a n的通项公式及集合S．【解答】∵等差数列{a n}的公差d∈(0, π]，数列{b n}满足b n＝sin(a n)，集合S＝{x|xb n, n∈N∗}，∴a1＝0，d=2π3，a n=2π3(n−1)，∴b n＝sin(a n)＝0，−√32,√3 2，故S＝{0, −√32,√32}；a1=π2，a n=π2+(n−1)d，d∈(0, π]，根据题意，集合S恰有两个元素；当d＝π时，sin(π2+(n−1)π)={1,n−1,n，故成立，因为a1=π2，要使a n(n≥2)的值唯一，在一个周期内，角的终边关于y轴对称，且值相等如图3d＝2π，d=2π3，故d＝π或2π3；①当T＝3时，b n+3＝b n，集合S＝{b1, b2, b3}，符合题意．与之相应的一个等差数列a n的通项公式为a n=2π3n，此时S={−√32,√32,0}．②当T＝4时，b n+4＝b n，sin(a n+4d)＝sina n，a n+4d=a n+2kπ或a n+4d＝2kπ−a n，等差数列a n的公差d∈(0, π]，故a n+4d=a n+2kπ，d=kπ2，又k＝1或2，∴当k＝1时满足条件，此时S＝{0, 1, −1}与之相应的一个等差数列a n的通项公式为a n=π2n，此时S＝{0, 1, −1}已知函数f(x)＝(x −1)lnx ，g(x)=x −lnx −3e ． (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)令ℎ(x)＝mf(x)+g(x)(m >0)两个零点x 1，x 2(x 1<x 2)，证明：x 1+e >x 2+1e ． 【答案】（1）由题可知f ′(x)=lnx +1−1x ，f ′(x)单调递增，且f ′(1)＝0， 当0<x <1时，f ′(x)<0，当x ≥1时，f ′(x)≥0； 因此f(x)在(0, 1)上单调递减，在[1, +∞)上单调递增．（2）证明：由ℎ(x)=m(x −1)lnx +x −lnx −3e 有两个零点可知 由ℎ(x)=m(1+lnx −1x )+1−1x 且m >0可知， 当0<x <1时，ℎ′(x)<0，当x ≥1时，ℎ′(x)≥0； 即ℎ(x)的最小值为ℎ(1)=1−3e <0，因此当x =1e 时，ℎ(1e )=m(1e −1)(−1)+1e −(−1)−3e =m(e−1)+e−2e>0，可知ℎ(x)在(1e ,1)上存在一个零点；当x ＝e 时，ℎ(e)=m(e −1)+e −1−3e >0， 可知ℎ(x)在(1, e)上也存在一个零点； 因此x 2−x 1<e −1e ，即x 1+e >x 2+1e ．【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值 【解析】(Ⅰ)求出函数f(x)的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，求出单调区间；(Ⅱ)求出ℎ(x)＝mf(x)+g(x)(m >0)的导数，求解函数的最小值，通过零点判断定理，转化两个零点x 1，x 2(x 1<x 2)，所在位置，即可证明：x 1+e >x 2+1e ． 【解答】（1）由题可知f ′(x)=lnx +1−1x ，f ′(x)单调递增，且f ′(1)＝0， 当0<x <1时，f ′(x)<0，当x ≥1时，f ′(x)≥0； 因此f(x)在(0, 1)上单调递减，在[1, +∞)上单调递增．（2）证明：由ℎ(x)=m(x −1)lnx +x −lnx −3e 有两个零点可知 由ℎ(x)=m(1+lnx −1x )+1−1x 且m >0可知， 当0<x <1时，ℎ′(x)<0，当x ≥1时，ℎ′(x)≥0； 即ℎ(x)的最小值为ℎ(1)=1−3e <0，因此当x =1e 时，ℎ(1e )=m(1e −1)(−1)+1e −(−1)−3e =m(e−1)+e−2e>0，可知ℎ(x)在(1e ,1)上存在一个零点；当x ＝e 时，ℎ(e)=m(e −1)+e −1−3e >0， 可知ℎ(x)在(1, e)上也存在一个零点； 因此x 2−x 1<e −1e ，即x 1+e >x 2+1e ．已知椭圆C:y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，且过定点M(1, √22)． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l:y ＝kx −13(k ∈R)与椭圆C 交于A 、B 两点，试问在y 轴上是否存在定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过P 点？若存在，求出P 点的坐标和△PAB 的面积的最大值，若不存在，说明理由． 【答案】由已知可得{ e =ca =√22b 2+c 2=a 212a 2+1b 2=1⇒{a 2=52b 2=54， ∴ 椭圆C 的方程为2y 25+4x 25=1；由{y =kx −132y 25+4x 25=1得：9(2k 2+4)x 2−12kx −43＝0① 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1、x 2是方程①的两根， ∴ x 1+x 2=12k9(2k 2+4),x 1x 2=−439(2k 2+4)，设P(0, p)，则PA →=(x 1,y 1−p),PB →=(x 2,y 2−p)，PA →⋅PB →=x 1x 2+y 1y 2−p(y 1+y 2)+p 2=x 1x 2+(kx 1−13)(kx 2−13)−pk(x 1+x 2)+2p 3+p 2=(18p 2−45)k 2+36p 2+24p −399(2k 2+4)假设在y 轴上存在定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过P 点， 则PA →⊥PB →，即PA →⋅PB →=0．即(18p 2−45)k 2+36p 2+24p −39＝0对任意k ∈R 恒成立， ∴ {18p 2−45=036p 2+24p −39=0 ，此方程组无解，∴ 不存在定点满足条件． 【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的离心率 【解析】（1）运用离心率公式和点M 满足椭圆方程，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程； （2）联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，设P(0, p)，求得向量PA ，PB 和数量积，再由直径所对的圆周角为直角，结合向量垂直的条件，即可得到结论． 【解答】由已知可得{ e =ca =√22b 2+c 2=a 212a 2+1b 2=1⇒{a 2=52b 2=54， ∴ 椭圆C 的方程为2y 25+4x 25=1；由{y =kx −132y 25+4x 25=1得：9(2k 2+4)x 2−12kx −43＝0① 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1、x 2是方程①的两根， ∴ x 1+x 2=12k9(2k 2+4),x 1x 2=−439(2k 2+4)，设P(0, p)，则PA →=(x 1,y 1−p),PB →=(x 2,y 2−p)，PA →⋅PB →=x 1x 2+y 1y 2−p(y 1+y 2)+p 2=x 1x 2+(kx 1−13)(kx 2−13)−pk(x 1+x 2)+2p 3+p 2=(18p 2−45)k 2+36p 2+24p −399(2k 2+4)假设在y 轴上存在定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过P 点， 则PA →⊥PB →，即PA →⋅PB →=0．即(18p 2−45)k 2+36p 2+24p −39＝0对任意k ∈R 恒成立， ∴ {18p 2−45=036p 2+24p −39=0 ，此方程组无解，∴ 不存在定点满足条件．。
河北省2019—2020学年度上学期衡水中学高三年级五调考试数学(12月)数学理试题与详细解析
河北省2019—2020学年度上学期衡水中学高三年级五调考试数学（12月）数学理试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数22(1)1i i-++的共轭复数是（）A.13i -B.13i +C.13i-- D.13i-+2.已知集合()12{|log 5},{|2}x A x y x B y y -==-==，则A B =A.[)0,5 B.()0,5C.RD.()0,∞+3.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（）A.10日B.20日C.30日D.40日4.已知函数2,01,()1,1,x x f x x e x⎧≤<⎪⎨≤≤⎪⎩（e 为自然对数的底数）的图象与直线x e =、x 轴围成的区域为E ，直线x e =、1y =与x 轴、y 轴围成的区域为F ，在区域F 内任取一点，则该点落在区域E 内的概率为（）A.43eB.23eC.23D.2e5.若双曲线22142x y m m +=--的渐近线方程为13y x =±，则m 的值为（）A.1B.74C.114D.56.执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为2，则判断框中填入的条件可以是（）A.98?n <B.99?n <C.100?n <D.100?n ≤7.已知6270127(1)()...,x a x a a x a x a x a R +-=++++∈，若01267...0a a a a a +++++=，则3a 的值为（）A.35B.20C.5D.5-8.已知函数()y f x =满足()y f x =-和(2)y f x =+都是偶函数，且(1)1f =，则(1)(7)f f -+=（）A.0B.1C.2D.39.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（）A.75+B.55+ C.43D.725+10.已知()20,{20 360x y D x y x y x y +-≤⎧⎫⎪⎪=-+≤⎨⎬⎪⎪-+≥⎩⎭，给出下列四个命题：（）()1:,,0;P x y D x y ∀∈+≥()2:,,0;3yP x y D x ∀∈>+()3:,,1;P x y D x y ∃∈+<()224:,,2;P x y D x y ∃∈+≤A.1P ，2P B.2P ，3P C.2P ，4P D.3P ，4P 11.已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，垂足为E ，若6AB =，则EM 的长为（）A.22B.6 C.2D.312.已知函数(),()ln(2)4x a a x f x x e g x x e --=+=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数x 0，使得00()()3f x g x -=成立，则实数a 的值为A .ln 21-- B.ln 21- C.ln 2- D.l n 2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知2,1a b ==，且(2)a a b ⊥+，则向量a 与向量b 的夹角是__________．14.15sin(),sin()cos(2)3333x x x πππ+=---已知则的值为___________15.如图，圆锥的高2PO =，底面⊙O 的直径2AB =，C 是圆上一点，且30CAB ∠=︒，D 为AC 的中点，则直线OC 和平面PAC 所成角的余弦值为__________．16.设函数ln ,1,()ln ,01,x x x f x x x x≥⎧⎪⎨<<⎪⎩数列{}n a 是公比大于0的等比数列，且5671a a a =，若12101()()...()f a f a f a a +++=，则1a =__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边依次为a 、b 、c ，满足cos cos 2cos a B b A c C +=.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆的周长为3，求ABC ∆的内切圆面积S 的最大值.18.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥ABCD 平面，E 为PD 中点，2AD =.（Ⅰ）求证：平面AEC ⊥平面PCD ；（Ⅱ）若二面角A PC E --的平面角大小θ满足2cos 4θ=，求四棱锥P ABCD -的体积.19.一只袋中放入了大小一样的红色球3个，白色球3个，黑色球2个.（Ⅰ）从袋中随机取出（一次性）2个球，求这2个球为异色球的概率；（Ⅱ）若从袋中随机取出（一次性）3个球，其中红色球、白色、黑色球的个数分别为a、b、c，令随机变量ξ表示a、b、c的最大值，求ξ的分布列和数学期望.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为43.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，当动点M 在定直线4x =上运动时，直线AM BM 、分别交椭圆于两点P 、Q ，求四边形APBQ 面积的最大值.21.已知函数()x f x e ax =-（其中e 为自然对数的底数），()4ln(1)g x x =+.（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）记()()()h x f x g x =+，请证明下列结论：①若4a ≤，则对任意0x >，有()1h x >；②若5a ≥，则存在实数0x >，使()1h x <.22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点(2,0)P -的直线l 的参数方程为22222x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l与曲线C 交于,A B 两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若PA AB PB ，，成等比数列，求a 的值．23.已知函数()()6f x x m x m R =+--∈.（Ⅰ）当3m =时，求不等式()5f x ≥的解集；（Ⅱ）若不等式()7f x ≤对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.河北省2019—2020学年度上学期衡水中学高三年级五调考试数学（12月）数学理试题（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数22(1)1i i-++的共轭复数是（）A.13i -B.13i+ C.13i-- D.13i-+【答案】A 【解析】()()()()221i 21i 2i 1i-2i=1-3i 1+i 1i 1+i --+=-=--，故选A.2.已知集合()12{|log 5},{|2}x A x y x B y y -==-==，则A B =A.[)0,5 B.()0,5C.R D.()0,∞+【答案】C 【解析】由A 中()2log 5y x =-，得到50x ->，即5x <，(),5A ∴∞；由B 中120x y -=>，得到()0,B =+∞，则A B R ⋃=，故选C.3.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（）A.10日B.20日C.30日D.40日【答案】C 【解析】由题意知，每天织布的数量组成等差数列，15a =，1n a =，90n S =，设其公差为d ，则()()15190903022n n a a n n ++=⇒=⇒=，故选C.4.已知函数2,01,()1,1,x x f x x e x⎧≤<⎪⎨≤≤⎪⎩（e 为自然对数的底数）的图象与直线x e =、x 轴围成的区域为E ，直线x e =、1y =与x 轴、y 轴围成的区域为F ，在区域F 内任取一点，则该点落在区域E 内的概率为（）A.43eB.23eC.23D.2e【答案】C【解析】直线x e =、1y =与x 轴、y 轴围成的区域为F 的面积为，11111+1ln |2ee x x ⨯=+=⎰，函数()2,01,1,1,x xf x x e x ⎧≤<⎪⎨≤≤⎪⎩（e 为自然对数的底数）的图象与直线x e =、x 轴围成的区域为E 为211143e ex x +=⎰⎰，由几何概型概率公式可得在区域F 内任取一点，则该点落在区域E 内的概率为42323=，故选C.5.若双曲线22142x y m m +=--的渐近线方程为13y x =±，则m 的值为（）A.1B.74 C.114D.5【答案】B 【解析】根据题意，双曲线的方程为：22142x y m m +=--，则分两种情况讨论：①当双曲线的焦点在x 轴，则有4020m m ->⎧⎨-<⎩，解可得2m <，此时渐近线的方程为y =，又由题意可得13=，解可得：74m =；②当双曲线的焦点在y 上，则有4020m m -<⎧⎨->⎩，解可得4m >，此时渐近线的方程解为y =12=，解可得83m =，不合题意，舍去，综上可得74m =，故选B.6.执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为2，则判断框中填入的条件可以是（）A.98?n <B.99?n <C.100?n <D.100?n ≤【答案】B 【解析】该程序框图表示的是()()()lg 2lg1lg 3lg 2...lg 1lg s n n ⎡⎤=-+-+++-⎣⎦()()=lg 1lg1lg 1n n +-=+，若输出的S 的值为2，即输出()lg 9912S =+=，判断框中填入的条件可以是99?n <，故选B.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7.已知6270127(1)()...,x a x a a x a x a x a R +-=++++∈，若01267...0a a a a a +++++=，则3a 的值为（）A.35B.20C.5D.5-【答案】D【解析】令1x =，得()6017...21,1a a a a a +++=⋅-∴=，而3a 表示3x 的系数，()()3232366115a C C ∴=-+-=-，故选D.8.已知函数()y f x =满足()y f x =-和(2)y f x =+都是偶函数，且(1)1f =，则(1)(7)f f -+=（）A.0 B.1C.2D.3【答案】C 【解析】()y f x =- 为偶函数，()()()()(),f x f x f x f x ∴--=-∴-=，()y f x ∴=为偶函数，于是当1x =时，()()111f f -==，又()2y f x =+是偶函数，()()22f x f x ∴-+=+，于是当5x =时，()()()733f f f =-=，()()311f f ==，故()()172f f -+=，故选C.9.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（）A.7B.5+C.43D.7+【答案】A 【解析】由三视图可知该几何体为如图所示的三棱锥D ABC -，依题意有，2,BC CD AB AC ====，BD =，3AD =，2222,210ABC BCD ACDAB BD AD S S S ABD AB BD ∆∆+-===∠==⋅，10sin ABD ∠=，13210ABD S ∆==，7S ∴=+，故选A.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.10.已知()20,{20 360x y D x y x y x y +-≤⎧⎫⎪⎪=-+≤⎨⎬⎪⎪-+≥⎩⎭，给出下列四个命题：（）()1:,,0;P x y D x y ∀∈+≥()2:,,0;3yP x y D x ∀∈>+()3:,,1;P x y D x y ∃∈+<()224:,,2;P x y D x y ∃∈+≤A.1P ，2P B.2P ，3P C.2P ，4P D.3P ，4P 【答案】D【解析】不等式组2020360x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩的可行域如图，()1:2,0p A -点，2011-++=-，故(),,0x y D x y ∀∈+≥，为假命题；()23:2,0p p A -、点，22023-=-<-+，201-+<故()2:,,03yP x y D x ∀∈>+为假命题，()3:,,1P x y D x y ∃∈+<为真命题；()4:1,1p -点，222x y +=，故()22,,2x y D x y ∃∈+≤为真命题，可得选项4P 正确，综上，正确的命题是3P ，4P ，故选D.11.已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，垂足为E ，若6AB =，则EM 的长为（）A. B.C.2D.【答案】B 【解析】由已知得()1,0F ，设直线l 的方程为1x my =+，并与24y x =联立得2440y my --=，设()()()11220012,,,,,,4A x y B x y E x y y y m +=，则12022y y y m +==，2021x m =+，()221,2E m m ∴+，又()2121224446AB x x m y y m =++=++=+=，解得212m =，线段AB 的垂直平分线为()2221y m m x m -=---，令0y =，得()223,0M m +，从而ME ==，故选B.【方法点晴】本题主要考查抛物线的方程与几何性质，属于难题.解决过抛物线焦点的弦长有关的问题时，求往往考虑将韦达定理与抛物线定义相结合，同时注意两个转化的灵活运用：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离.12.已知函数(),()ln(2)4x a a x f x x e g x x e --=+=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数x 0，使得00()()3f x g x -=成立，则实数a 的值为A.ln 21--B.ln 21- C.ln 2- D.l n 2【答案】A 【解析】()()f x g x -=1ln(21)42x a a x x x e e ---+++，令1()ln(21)2h x x x =-+，则1()121h x x -'=+，知()h x 在1(,0)2-上是减函数，在(0,)+∞上是增函数，所以min ()(0)0h x h ==，又44x a a x e e --+≥所以()()4f x g x -≥，当且仅当0{4x aa xx e e--==即0,ln 2x a ==-.点睛：已知函数有零点（方程有解）求参数范围常用方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知1a b ==，且(2)a a b ⊥+，则向量a与向量b 的夹角是__________．【答案】34π【解析】()()2,1,0a ab a a b a a b a b ⊥+∴⋅+=+⋅=+= ，cos ,2a b ∴<>=-，又0,,,a b a b π≤≤∴的夹角为34π，故答案为34π.【方法点睛】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅= ，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，cos a b a b θ⋅=（此时a b ⋅往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a b b⋅ ；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅= ;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.14.15sin(),sin()cos(2)3333x x x πππ+=---已知则的值为___________【答案】49【解析】5cos 22cos 23333sin x x sin x x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2cos 212sin 3333sin x x sin x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++=-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1241399=-+-=，故答案为49.15.如图，圆锥的高PO =，底面⊙O 的直径2AB =，C 是圆上一点，且30CAB ∠=︒，D 为AC 的中点，则直线OC 和平面PAC 所成角的余弦值为__________．【答案】3【解析】设点O 到平面PAC 的距离为d ,设直线OC 和平面PAC 所成角为α，则由等体积法有：O PAC P OAC V V --=，即1133PAC OA S d PO S ∆∆⋅=⋅⋅Ｃ，211223d ⋅⋅∴==,3d sin CO α∴==，于是cos 3α=，故答案为3.16.设函数ln ,1,()ln ,01,x x x f x x x x≥⎧⎪⎨<<⎪⎩数列{}n a 是公比大于0的等比数列，且5671a a a =，若12101()()...()f a f a f a a +++=，则1a =__________．【答案】e 【解析】若1x >，则101x <<，则()1ln ,ln f x x x f x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故()10f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，对任意0x >成立，又{}n a 是公比大于零的等比数列，且56761,1a a a a =∴=，故210394857661a a a a a a a a a a =====，故()()()1210...f a f a f a +++()()()()()()()21039576...0f a f a f a f a f a f a f a =+++++++=，()()()()121011...f a f a f a f a a ∴+++==，若11a >，则111ln a a a =，则1a e =，101a <<，则11ln 0a a <，无解，故答案为e .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边依次为a 、b 、c ，满足cos cos 2cos a B b A c C +=.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆的周长为3，求ABC ∆的内切圆面积S 的最大值.【答案】（Ⅰ）3π；（Ⅱ）12π.【解析】试题分析：（Ⅰ）由cos cos 2cos a B b A c C +=，利用正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，再根据二倍角公式及两角和的正弦公式进行化简，可得1cos 2C =,，从而可求角C 的大小；（Ⅱ）设ABC ∆的内切圆半径为R ,即可求面积，根据面积相等及余弦定理，结合基本不等式可求出内切圆半径的最大值，从而可得内切圆面积S 的最大值.试题解析：（Ⅰ）因为cos cos 2cos sin cos sin cos 2sin cos a B b A c C A B B A C C +=⇔+=,即()sin 2sin cos A B C C +=,而()sin sin 0A B C +=>,则1cos 2C =,又()0,C π∈,所以3C π=.（Ⅱ）令ABC ∆的内切圆半径为R ,有11sin •3232ab R π=,则6R ab =,由余弦定理得()2223a b ab a b +-=--,化简得()32ab a b +=+,而a b +≥,故3ab +≥3≥1≤.3≥,则,a b 至少有一个不小于3,这与ABC ∆的周长为3矛盾;1≤,则当1a b c ===时,R取最大值6.综上,知ABC ∆的内切圆最大面积值为2max612S ππ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭.【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.18.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥ABCD 平面，E 为PD 中点，2AD =.（Ⅰ）求证：平面AEC ⊥平面PCD ；（Ⅱ）若二面角A PC E --的平面角大小θ满足cos 4θ=，求四棱锥P ABCD -的体积.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）由正三角形性质可得AE PD ⊥，再利用面面垂直的性质定理得FO ⊥平面PAD ，从而FO AE ⊥，则CD AE ⊥，由线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理可得AEC ⊥平面PCD ；（Ⅱ）建立空间直角坐标系O xyz -，令AB a =，求出平面PAC 的法向量以及平面PEC 的法向量，根据二面角A PC E --的平面角的余弦值列方程求出a =试题解析：（Ⅰ）取AD 中点为O ，BC 中点为E ，由侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD 知PO ⊥平面ABCD ，故FO PO ⊥，又FO AD ⊥，则FO ⊥平面PAD ，所以FO AE ⊥，又//CD FO ，则CD AE ⊥，又E 是PD 中点，则AE PD ⊥，由线面垂直的判定定理知AE ⊥平面PCD ，又AE ⊂平面AEC ，故平面AEC ⊥平面PCD .（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系O xyz -，令AB a =，则(()(),1,0,0,1,,0P A C a -.由（Ⅰ）知3,0,22EA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭为平面PCE 的法向量，令()1,,n y z =为平面PAC 的法向量，由于(()10,2,0PA CA A =-=- ，，，均与n 垂直，故0,0,n PA n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即10,20,ay ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩解得2,,3y a z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故21,,3n a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，由cos EA nEA n θ⋅=⋅4==，解得a =故四棱锥P ABCD -的体积112233ABCD V S PO =⋅=⋅⋅.【方法点晴】本题主要考查面面垂直的判定定理、利用空间向量求二面角以及棱锥的体积公式，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.一只袋中放入了大小一样的红色球3个，白色球3个，黑色球2个.（Ⅰ）从袋中随机取出（一次性）2个球，求这2个球为异色球的概率；（Ⅱ）若从袋中随机取出（一次性）3个球，其中红色球、白色、黑色球的个数分别为a 、b 、c ，令随机变量ξ表示a 、b 、c 的最大值，求ξ的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）34；（Ⅱ）127.【解析】试题分析：（Ⅰ）取出两个球是同一颜色的种数为222332C C C ++，由此利用对立事件概率计算公式能求出取两个球颜色不同的概率；（Ⅱ）由已知ξ的可能取值为0,1,2,3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望.试题解析：（Ⅰ）设事件A 表示“从袋中随机取出（一次性）2个球，求这2个球为异色球”，则()22233238314C C C P A C =-=.（Ⅱ）ξ的可能取值为1,2,3.()2338213,28C P C ξ===()21213526382+92,14C C C C P C ξ===()1113323891,28C C C P C ξ===则ξ的分布列为于是，991121232814287E ξ=⨯+⨯+⨯=.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，当动点M 在定直线4x =上运动时，直线AM BM 、分别交椭圆于两点P 、Q ，求四边形APBQ 面积的最大值.【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）6.【解析】【分析】（Ⅰ）由离心率为12，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为3，结合222,c e a b c a ==+,列方程组求得,a b 的值，即可求出椭圆C 的方程；（Ⅱ）点()4,M t ，直线AM 的方程()26t y x =+代入椭圆方程22143x y +=，得()222227441080t x t x t +++-=，利用韦达定理解出P 点坐标，同理可求得Q 点的坐标，利用三角形面积公式将四边形面积表示为t 的函数，利用换元法结合函数单调性求解即可.【详解】（Ⅰ）由题设知，2,23a c ab ==又222a b c =+，解得2,3,1a b c ===，故椭圆C 的方程为22143x y +=.（Ⅱ）由于对称性，可令点()4,M t ，其中0t >.将直线AM 的方程()26t y x =+代入椭圆方程22143x y +=，得()222227441080t x t x t +++-=，由22410827A P t x x t-⋅=+，2A x =-得2225427P t x t -=+，则21827P t y t =+.再将直线BM 的方程()22t y x =-代入椭圆方程22143x y +=，得()2222344120t x t x t +---=，由224123B Q t x x t -⋅=+，2B x =得22263Q t x t-=+，则263Q t y t =+.故四边形APBQ 的面积为122P Q P Q S AB y y y y =⋅-=-=221862273t t tt ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭()()()()()22222222248948948912273912)9t t t t t t t t t t t t ++===+++++++.由于296t tλ+=≥，且12λλ+在[)6,+∞上单调递增，故128λλ+≥，从而，有48612S λλ=≤+.当且仅当6λ=，即3t =，也就是点M 的坐标为()4,3时，四边形APBQ 的面积取最大值6.注:本题也可先证明”动直线PQ 恒过椭圆的右焦点()0,1F ”,再将直线PQ 的方程1x ty =+(这里t R ∈)代入椭圆方程22143x y +=,整理得()2234690t y ty ++-=,然后给出面积表达式2P Q S y y =-==211m t=+≥,则S =,当且仅当6λ=即3t =时,max 6S =.21.已知函数()x f x e ax =-（其中e 为自然对数的底数），()4ln(1)g x x =+.（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）记()()()h x f x g x =+，请证明下列结论：①若4a ≤，则对任意0x >，有()1h x >；②若5a ≥，则存在实数0x >，使()1h x <.【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出()'f x ，()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间,根据函数的单调性可求()f x 的最小值；（Ⅱ）4a ≤时，可证()h x 在()0,+∞上单调递增，则对任意0x >，有()()01h x h >=，5a ≥时，两次求导，()h x 在()00,x 上单调递减，则()()01h x h <=，可证存在实数()00,x x ∈，使()1h x <.试题解析：（Ⅰ）当1a =时，()x f x e ax =-，则()1xf x e '=-.当0x <时，()0f x '<，即()f x 在(),0-∞上单调递减；当0x >时，()0f x '>，即()f x 在()0,+∞上单调递增.故()()min 01f x f ==.（Ⅱ）()()4ln 1x h x e ax x =-++，则()41x h x e a x =+-+'.①若，由（1）知()1xf x e x =-≥，即1x e x ≥+，于是()41x h x e a x =+-+'411x a a x ≥++-≥-+40a =-≥，所以()h x 在()0,+∞上单调递增，则对任意0x >，有()()01h x h >=；②若5a ≥，令()()41xx h x e a x ϕ==+-+'.则()()241x x e x ϕ=++'在()0,+∞上单调递增，且()()030,110e ϕϕ''=-=-，故存在唯一的()00,1x ∈，使()00x ϕ'=，则当()00,x x ∈时，()0x ϕ'<，即()()x h x ϕ='在()00,x 上单调递减，故()()050h x h a <=-'≤'，从而()h x 在()00,x 上单调递减，则()()01h x h <=，即存在实数()00,x x ∈，使()1h x <.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点(2,0)P -的直线l 的参数方程为22222x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l与曲线C 交于,A B 两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若PA AB PB ，，成等比数列，求a 的值．【答案】（Ⅰ）曲线C ：()20y ax a =>;l ：2y x =-（Ⅱ）a 的值为2.【解析】试题分析：（1）根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+将曲线极坐标方程转化为直角坐标方程22y ax =：利用代入消元将直线参数方程化为普通方程2y x =-（2）根据直线参数方程几何意义将条件2·PA PB AB =转化为()21212t t t t -=，即()21212124t t t t t t =+-，再联立直线参数方程与抛物线方程，利用韦达定理代入化简得1a =试题解析：（1）由()2sin 2cos 0ac a ρθθ=>得：22sin 2cos a ρθρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为：22y ax =，由22{42x t y t =-+=-+消去t 得：42y x +=+，∴直线l 的普通方程为：2y x =-（2）直线l的参数方程为22{42x t y t =-+=-+（t 为参数），代入22y ax =，得到)()24840t a t a -+++=设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12,t t 是方程的两个解，由韦达定理得：)()12124,84t t a t t a +=+=+，因为2·PA PB AB =，所以()()22121212124t t t t t t t t -=+-=，解得1a =．考点：极坐标方程转化为直角坐标方程，直线参数方程化为普通方程，直线参数方程几何意义23.已知函数()()6f x x m x m R =+--∈.（Ⅰ）当3m =时，求不等式()5f x ≥的解集；（Ⅱ）若不等式()7f x ≤对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）{}|1x x ≥；（Ⅱ）[13,1]-.【解析】试题分析：（Ⅰ）分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得()5f x ≥不等式的解集；（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质可得，不等式()7f x ≤对任意实数x 恒成立，等价于67m +≤，解不等式即可求m 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）当3m =时，()5f x ≥即65x m x +--≥，①当6x <-时，得95-≥，所以x ∈∅；②当63x -≤≤时，得635x x ++-≥，即1x ≥，所以13x ≤≤；③当3x ≥时，得95≥成立，所以3x >.故不等式()5f x ≥的解集为{1}x x ≥.（Ⅱ）因为666x m x x m x m +--≤++-=+，由题意得67m +≤，则767m -≤+≤，解得131m -≤≤，故m 的取值范围是[]13,1-.。
河北省衡水中学2019届高三上学期七调考试数学(理)试卷Word版含解析
河北省衡水中学2019届高三上学期七调考试数学(理)试卷Word版含解析1拿到试卷：熟悉试卷刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。
2答题顺序：从卷首依次开始一般来讲，全卷大致是先易后难的排列。
所以，正确的做法是从卷首开始依次做题，先易后难，最后攻坚。
但也不是坚决地“依次”做题，虽然考卷大致是先易后难，但试卷前部特别是中间出现难题也是常见的，执着程度适当，才能绕过难题，先做好有保证的题，才能尽量多得分。
3答题策略答题策略一共有三点：1. 先易后难、先熟后生。
先做简单的、熟悉的题，再做综合题、难题。
2. 先小后大。
先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。
3. 先局部后整体。
把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就能得到一步的分数。
4学会分段得分会做的题目要特别注意表达准确、书写规范、语言科学，防止被“分段扣点分”。
不会做的题目我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。
如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。
如果题目有多个问题，也可以跳步作答，先回答自己会的问题。
5立足中下题目，力争高水平考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷中要立足中下题目。
中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下这些题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。
6确保运算正确，立足一次性成功在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。
不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。
试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。
7要学会“挤”分考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量把要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。