材料力学例题
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材料力学例题
C
0.75m 1m
A
D 1.5m
B
F
横梁BC为刚杆，自重Q＝2KN，力P＝10KN可在横 梁BC上自由移动。AB杆的许用应力为[σ]=100MP ａ，设计AB杆的横截面面积。如果AB杆采用直径 为10毫米的细丝，需要几根？
P C
30°
Ｂ
• [例] 长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，
例题 空心圆杆AB和CD杆焊接成整体结构，受力如图.AB杆的外径 D=140mm，内外 径之比α= d/D=0.8，材料的许用应力[] = 160MPa。试用第三强度理论校核AB杆的 强度。 解:（1）外力分析 将力向AB杆的B截面形心简化得
10kN
0.8m A
B D
F 25kN
M e 15 1 . 4 10 0 . 6 15 kN m
G=80GPa ，许用剪应力 []=30MPa，试设计杆
的外径；若[]=2º /m ，试校核此杆的刚度，并
求右端面转角。
[例题] 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率P1 = 500 马力， 输出功率分别 P2 = 200马力及 P3 = 300马力，已 知：G=80GPa ，[ ]=70M Pa，[ ]=1º /m ，试确定： ①AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ ②若全轴选同一直径，应为多少？ ③主动轮与从动轮如何安排,轴的受力合理？ P2 A 500 B 400 P3 C
y Me A x B l/2 F1
F2
D F2 D M e C ( F1 F 2 ) 2 2 20 F2 kN 3 F 20kN
轴产生扭转和垂直纵向对称面内的平 面弯曲
0.75m 1m
A
D 1.5m
B
F
横梁BC为刚杆，自重Q＝2KN，力P＝10KN可在横 梁BC上自由移动。AB杆的许用应力为[σ]=100MP ａ，设计AB杆的横截面面积。如果AB杆采用直径 为10毫米的细丝，需要几根？
P C
30°
Ｂ
• [例] 长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，
例题 空心圆杆AB和CD杆焊接成整体结构，受力如图.AB杆的外径 D=140mm，内外 径之比α= d/D=0.8，材料的许用应力[] = 160MPa。试用第三强度理论校核AB杆的 强度。 解:（1）外力分析 将力向AB杆的B截面形心简化得
10kN
0.8m A
B D
F 25kN
M e 15 1 . 4 10 0 . 6 15 kN m
G=80GPa ，许用剪应力 []=30MPa，试设计杆
的外径；若[]=2º /m ，试校核此杆的刚度，并
求右端面转角。
[例题] 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率P1 = 500 马力， 输出功率分别 P2 = 200马力及 P3 = 300马力，已 知：G=80GPa ，[ ]=70M Pa，[ ]=1º /m ，试确定： ①AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ ②若全轴选同一直径，应为多少？ ③主动轮与从动轮如何安排,轴的受力合理？ P2 A 500 B 400 P3 C
y Me A x B l/2 F1
F2
D F2 D M e C ( F1 F 2 ) 2 2 20 F2 kN 3 F 20kN
轴产生扭转和垂直纵向对称面内的平 面弯曲
材料力学典型例题及解析 12.冲击问题典型习题解析
击构件瞬间的速度为 υ
，只须将前面（a）式右端改为
1 2
⋅
Pυ2 g
= Vε
，即可导出 kd
=
υ2 。 g∆st
（4）、前面推导过程中，冲击物的势能取为 Ep = P(h + ∆d ) ，一般情况下 ∆d << h ，可将其忽
略，取 Ep = Ph ，读者可仿照上面推导一下，并讨论忽略后对 kd 有什么影响。
所以本问题的动载荷因数为： kd
=
∆d ∆st
=1+
1+ 2h = 1+ ∆st
1+
2
× 440 ×10 −3 2 ×10 −3 m
m
= 22
讨论：（1）、在线弹性范围内，载荷、变形、应变、应力之间都是线性关系，也就是说，当
外载荷被放大 kd 倍，则变形、应力、应变也同样被放大 kd 倍。所以有σ d = kdσ st 。有了 kd 很
动能完全转化为橡皮筋的应变能。即 Ek = Vε 。
解：设小球离开木拍瞬间速度为υ ，则其动能 Ek
=
1 2பைடு நூலகம்
W g
υ 2 ；而橡皮筋被拉至最长时应变能
Vε
=
1 2
F ⋅ ∆L ，其中
F
为小球速度为零时橡皮筋所受拉力。由于假设橡皮筋为线弹性变形，
3
所以 F
=σ
A
=
Eε
A=
∆L L0
EA ，于是Vε
=
∆d
=
∆d ∆st
P 。定义
∆d ∆st
= kd 为动载荷因数，则有
Fd P
=
∆d ∆st
= σd σ st
材料力学求形心位置例题
材料力学求形心位置例题对于一个物体，定位其形心位置是物体力学中的基本问题之一。
形心位置是一个物体整体平衡的位置，也可以被认为是物体质量的重心。
通过求解形心位置，可以帮助我们更好地理解物体的平衡状态和运动性质。
下面我们来看一个求解形心位置的例题。
例题：一个均匀的长方形板有边长为a和b，其质量密度为ρ。
求解板的形心位置。
解答：为了求解板的形心位置，我们需要用到物体的质量和质量元的概念。
质量(m)可以通过物体的质量密度(ρ)和物体体积(V)相乘得到，即m = ρV。
对于一个均匀的长方形板，可以将其看作无数个宽度微小但高度为b的质量元叠加而成。
首先，我们将长方形板沿着宽度(b)方向进行切割，得到宽度为Δx的无数个矩形质量元。
然后，对于每个质量元，我们需要确定其质量(dm)和距离形心位置的距离(x)。
由于板的质量密度为ρ，那么每个矩形质量元的质量(dm)可以表示为dm = ρΔx。
而每个质量元距离形心位置的距离(x)可以表示为x = Δx/2。
然后，我们可以将质量元质量(dm)和距离形心位置的距离(x)相乘，然后将所有的质量元的乘积累加起来得到形心位置的坐标。
形心位置的x坐标可以表示为x_cm = Σ(dm*x) / Σ(dm)。
而形心位置的y坐标则与矩形板的宽度(b)无关，即y_cm = 0。
接下来，我们将上面的表达式代入求解。
解得，形心位置的x坐标为x_cm = (b/2) * (a/3) = ab/6。
因此，长方形板的形心位置为(ab/6, 0)。
通过求解形心位置，我们可以得到长方形板的形心位置坐标。
这个结果说明，在一个均匀的长方形板上，形心位置位于长方形的重心位置，且形心位置的x坐标与长方形的长和宽有关，y坐标为0。
在实际问题中，求解形心位置对于分析物体的平衡和运动至关重要。
对于复杂的物体形状，求解形心位置可能需要更加复杂的数学方法，但其基本原理是相同的。
形心位置的求解是物体力学中的一个基础知识点，对于学习物理学的人来说具有重要意义。
材料力学考试典型题目
2
(4)
Fx 2 EIw Flx C1 (3) 2 2 3 Flx Fx EIw C 1x C 2 2 6 边界条件 x 0, w 0
x 0, w 0
(4)
将边界条件代入（3）（4）两式中,可得 C1 0 梁的转角方程和挠曲线方程分别为
C2 0
ql 2 q 3 EIw x x C 4 6
ql 3 q 4 EIw x x Cx D 12 24
边界条件x=0 和 x=l时, w
0
x
q
wmax B
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为
A
l
B
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI qx w (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
FN 3 l3 -4 1.58 10 m uB ΔlCD Δl BC -0.3mm EA3
-4
Δl AD Δl AB Δl BC ΔlCD -0.47 10 mm
例题5 图示等直杆,已知直径d=40mm,a=400mm,材料的剪切弹性
模量G=80GPa，DB=1°. 试求：
x= l , M = 0
M 0
+
Mb l
梁上集中力偶作用处左、右两侧
FRA
A a
M
FRB
C b l B
横截面上的弯矩值(图)发生突变，其
突变值等于集中力偶矩的数值.此处 剪力图没有变化.
M /l
+ +
Mb l
Ma l
例题1 图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一集中力 F 作用.试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 wmax 和最大转角 max w
《材料力学》弯曲计算-习题
②无均布载荷段弯矩图均为直线。有均布载荷段，弯矩图为
抛物线，其开口与均布载荷方向相同。
(3)弯矩、剪力、载荷集度的关系
①
M '(x) F S (x) F S'(x) q(x)
② FS=0的点是M图的取极值的点，FS=0的段M图是平行
于轴线的直线。
注意: 内力图上要注明控制面值、特殊点纵坐标值。
利用微分关系绘内力图
y
B截面 30.3 +
z
C截面 15.1 z
-
+
69
34.5
(d) 单位:MPa
Engineering Mechanics
四、弯曲 弯曲强度计算
例3 之二
解：（1）求截面形心轴，即中性轴z轴。
yC
( yi Ai ) Ai
170 30 170 30 200 (170 30)
2
2
17030 30 200
解：（1）外力分析，判变形。
10kN
50kN
(a) A
CD
B
z
4m
2m
4m
求得支坐反力
FA 26kN ,FB 34kN
荷载与梁轴垂直，梁将发
26kN 26 16
34kN
生平面弯曲。中性轴z过形心
+ (b)
与载荷垂直，沿水平方向。
FQ(kN)
104 136
34
（2）内力分析，判危险面。剪力
+
(c)
⑤解题步骤：
1）外力分析，判变形、中性轴，求截面的几何性质、支反力。 2）内力分析，判危险面，画剪力图、弯矩图（可只画弯矩图）
3）应力分析，判危险点。 4）强度计算。
工程力学---材料力学(第七章- 梁弯曲时位移计算与刚度设计)经典例题及详解
得： D 0
Pl 2 得： C 16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P 2 2 (4 x l ) 16 EI Px y (4 x 2 3 l 2 ) 48 EI
y
P
B
A
x
l 2
C
l 2
x
最大转角和最大挠度分别为：
max A B
ymax y
q 7qa 8k 384 EI
3
q/2
B C
q/2
A B C
顺时针
q/2
例16：图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚 度
EI k 求C端挠度fC。 2a 3
q
A
EI k
B
C
2a
a
解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为 4 3 qa 3qa B处反力=qa fC 1 2 k EI
q
B
x
l
由边界条件： x 0时，y 0
x l时，y 0
得：
ql 3 C , D0 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
x
A qx y (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
A a a
q
B C
a
qa 12 EI
顺时针
3 3
P=qa
A B
P=qa
m=qɑ²/2
qa qa C B 6 EI 4 EI
4
顺时针
B
q
C
qa 5qa fC B a 8EI 24 EI
工程力学--材料力学(第五、六章)经典例题及讲解
P
A
0.5 m
C D
0.4 m 1m
B
20
40
解：C点的应力 σ C = E ε = 200 × 10 3 × 6 × 10 − 4
= 120M Pa
C截面的弯矩
M C = σ C W z = 640 N ⋅ m
由 M C = 0.5 R A = 0.5 × 0.4 P = 0.2 P = 640 N ⋅ m 得 P = 3.2kN
度减小一半时，从正应力强度条件考虑， 该梁的承载能力将是原来的多少倍？ 解： 由公式
σ max
M max M max = = 2 Wz bh 6
可以看出：该梁的承载能力将是原来的2 可以看出：该梁的承载能力将是原来的2倍。
例4：主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD AB，跨度为l 采用加副梁CD
的方法提高承载能力， 的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料 相同，截面尺寸相同， 相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度 a为多少？ 为多少？
2 2
2
bh b( d − b ) Wz = = 6 6
2 2 2
∂ Wz d 2 b 2 = − =0 ∂b 6 2
d 由此得 b = 3
d
2 2
h
h = d −b =
h = 2 ≈3:2 b
2 d 3
b
例12:跨长l =2m的铸铁梁受力如图示,已知材料许用拉、 12:跨长l =2m的铸铁梁受力如图示 已知材料许用拉、 的铸铁梁受力如图示,
10 kN / m
200 2m 4m 100
10 kN / m
200
2m
Fs( kN ) 25 Fs(
45 kN
4m
100
材料力学例题
B
DC
1
3
2
A
B
DC
1
3
2
A
1 32
A
Δl1
Δl3
F
A'
A'
变形几何方程为 Δl1 Δl3 cos
物理方程为
Δl1
FN1l1 EA1
Δl3
FN3l cos
E3 A3
（3）补充方程
FN1
FN 3
EA E3 A3
cos2
（4）联立平衡方程与补充方程求解 B
DC
FN1 FN2
FN1 cos FN2 cos FN3 F 0
d
[] = 60MPa ,许用挤压应力为 [bs]= 200MPa .试校核销钉的
强度.
F
B
A
d1
d d1
F
解: （1）销钉受力如图b所示
F
剪切面
F
d
F
F
2
2
挤压面
d
B
A
d1
d d1
F
（2）校核剪切强度
剪切面
F
由截面法得两个面上的剪力
FS
F 2
d
剪切面积为 A d 2
4
FS 51MPa
3
2
1
l
a
a
B
C
A
F
解：（1） 平衡方程
Fx 0 Fx 0 l
3 a
2 a
1
Fy 0
B
C
A
FN1 FN2 FN3 F 0
MB 0
F FN3
FN2
FN1
3 a
2 a
1
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Ⅲ
FRD
Ⅱ
F3
DⅢ l3
C
Ⅱ
B
l2
（2） 杆的最大正应力max
AB段 AB
FN1 176.8MPa A1
()
BC段 BC
FN2 A2
74.6MPa
()
DC段 DC
FN3 A3
110.5MPa
()
Ⅰ
F2
F1
ⅠA
l1
FN1 =20kN （+） FN2 =-15kN ( - ) FN3 =- 50kN ( - )
max = 176.8MPa
发生在AB段.
Ⅲ
FRD
DⅢ l3
Ⅱ
F3
C
Ⅱ
l2
Ⅰ
F2
F1
B
A Ⅰ
l1
（3） B截面的位移及AD杆的变形
Δl AB
FN1l1 EA1
2.53 10-4m
ΔlBC
FN2l2 EA2
1.42 10-4m
ΔlCD
FN 3 l3 EA3
1.58 10-4m
uB ΔlCD ΔlBC -0.3mm
FN1
FN 3
EA E3 A3
cos2
F
FN3 1 2
EA
cos3
E3 A3
FN1
FN 2
2 cos
F E
E3 A3
A cos2
Δl3
1
3
2
A
1 3F 2
A
Δl1
A'
例题10 图示平行杆系1、2、3 悬吊着刚性横梁AB，在 横梁上作用着荷载F。各杆的截面积、长度、弹性模量 均相同，分别为A，l，E.试求三杆的轴力 FN1, FN2, FN3.
B
DC
1
3
2
A
B
DC
1
3
2
A
1 32
A
Δl1
Δl3
F
A'
A'
变形几何方程为 Δl1 Δl3 cos
物理方程为
Δl1
FN1l1 EA1
Δl3
FN3l cos
E3 A3
（3）补充方程
FN1
FN 3
EA E3 A3
cos2
（4）联立平衡方程与补充方程求解 B
DC
FN1 FN2
FN1 cos FN2 cos FN3 F 0
F
Abs
π(D2 4
d2)
挤压面
例15 冲床的最大冲压力F=400kN,冲头材料的许用压
应力[]=440MPa,钢板的剪切强度极限u=360MPa,试 求冲头能冲剪的最小孔径d和最大的钢板厚度 d .
F
钢板
冲头
d
冲模
F
钢板
F
冲模
F
冲头
d
剪切面
x
（4）平衡方程 FN1 FN2
FN3 FN1 FN2 0 联立平衡方程与补充方程求解,即可得装配内力， 进而求出装配应力.
例题12 图示等直杆 AB 的两端分别与刚性支 承连结.设两支承的距离（即杆长）为 l,杆的 横截面面积为 A,材料的弹性模量为 E,线膨
胀系数为 .试求温度升高 T 时杆内的温
AA
Δl1
cos
Fl
2EAcos2
1.293mm()
例题7 图示三角形架AB和AC 杆的弹性模量 E=200GPa A1=2172mm2，A2=2548mm2. 求:F=130kN时节点A的位移.
解：(1)由平衡方程得两杆的 轴力
FN1 2F
FN2 1.732F
1 杆受拉,2 杆受压
（2）两杆的变形
例题4 刚性杆ACB有圆杆CD悬挂在C点,B端作用集中力
F=25kN,已知CD杆的直径d=20mm,许用应力
[]=160MPa，试校核CD杆的强度,并求：
（1）结构的许可荷载[F];
D
（2）若F=50kN,设计CD杆的直径.
F
A
C B
2a
a
解：
（1） 求CD杆的内力
MA 0
FNCD
3F 2
A
FNCD A
B
2m
1
30°
C2
A2 l2
Al1 A1
A2 A
F
A'
l 2
30°
l1 A1
A A3 ( AA2 )2 ( A2 A3 )2 3.797mm 30°
A3
例题8 设横梁ABCD为刚梁，钢索的横截面面积为
76.36mm²的钢索绕过无摩擦的滑轮。设 P=20kN， E=177GPa，试求钢索的应力和 C点的垂直位移。
B1
1
C1
A1
2
l
C1 3
B
C
a
A
a
e C'
B1
1
C1
A1
2
l1 = l2
B C
A
l C1
3
l3 e
C''
（1）变形几何方程为 Δl1 Δl3 Δe
（2）物理方程
Δl1
FN1l1 EA
Δl3
FN3l E3 A3
FN1
B'
（3）补充方程
FN3l Δe FN1l
E3 A3
EA
FN3 C' FN2 A'
[ ] [ ]
d 2 3F / 2
4 [ ]
FRAy FRAx
d=24.4mm 取d=25mm A
D
F
C B
2a
a
FNCD
F
C
B
例题5 图示为一变截面圆杆ABCD.已知F1=20kN，
F2=35kN，F3=35kN. l1=l3=300mm，l2=400mm.d1=12mm，
d2=16mm，d3=24mm. 弹性模量为 E=210GPa. 试求： （1） Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、III-III截面的轴力并作轴力图
d
[] = 60MPa ,许用挤压应力为 [bs]= 200MPa .试校核销钉的
强度.
F
B
A
d1
d d1
F
解: （1）销钉受力如图b所示
F
剪切面
F
d
F
F
2
2
挤压面
d
B
A
d1
d d1
F
（2）校核剪切强度
剪切面
F
由截面法得两个面上的剪力
FS
F 2
d
剪切面积为 A d 2
4
FS 51MPa
3F / 2 d 2 / 4
119MPa
[ ]
（2）结构的许可荷载[F]
由
CD
FNCD A
[ ]
FRAy FRAx
A
D
F
C B
2a
a
FNCD
F
C
B
得
FNCD
[
]A
3F 2
[F]=33.5kN
（3） 若F=50kN，设计CD杆的直径
由
CD
FNCD A
[ ]
A
得 A FNCD 3F / 2
Ⅲ
FRD
DⅢ l3
Ⅱ
F3
C
Ⅱ
l2
FRD
FN3 FN2
Ⅰ
F2
F1
B
ⅠA
l1
F1 F2
FN3 FRD 0 FN3 50kN ()
F1 F2 FN2 0 FN2 15kN ()
Ⅲ
FRD
DⅢ l3
-
50
Ⅱ
F3
C
Ⅱ
l2
15
Ⅰ
F2
F1
B
ⅠA
l1
20
+
FN1 =20kN （+） FN2 =-15kN （-） FN3 =- 50kN （-）
钢索
A
B 60° 60° D
800 400C 400
P
TT
A
BC D
P
解：能量法：（外力功等于变形能 1）求钢索内力：以ABD为对象：
mA T sin 60 0.8 1.2P 1.6T sin 60 0
T P / 3 11.55KN
2) 钢索的应力为：
T 11.55 109 151MPa
A 76.36 3) C点的位移为：
1
T2L
W 2 Pc
U 2EA
W U
T 2L 11.552 1.6 c PEA 20177 76.36 0.79mm
三、一般超静定问题举例 (Examples for general statically
indeterminate problem)
例题9 设 1，2，3 三杆用铰链连结如图所 示，l1 = l2 = l，A1 = A2 = A， E1 = E2 = E，3杆 的长度 l3 ,横截面积 A3 ,弹性模量E3 。试求 在沿铅垂方向的外力F作用下各杆的轴力.
28.5MPa
（3）校核挤压强度
bs
F Abs
F lh 2
57 103 100 6106
95MPa
bs
综上，键满足强度要求.
例题14 一销钉连接如图所示， 已知外力 F=18kN,被连接的构件
A 和 B 的厚度分别为 d=8mm 和 d1=5mm ,销钉直径 d=15mm ,
销钉材料的许用切应力为
3
2
1
l
a
a
B
C
A
F
解：（1） 平衡方程