工程力学12S培训讲学
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高校专业代码
稀土工程
010104W
伦理学
080212S
高分子材料 加工工程
020000
经济学
080213S
生物功能材
020100 020101 020102
020103 020104 020105W 020106W
经济学类 080214S
经济学
080300
国际经济与 080301
贸易
财政学
080302
金融学
080303
海洋经济学 080401
国际文化贸 080402S
易
经济与金融 080500
法学
080501
法学类
080502
法学
080503W
知识产权 080504W
监狱学
080505S
测控技术与 仪器
电子信息技 术及仪器
能源动力类
热能与动力 工程
核工程与核 技术
工程物理
能源与环境 系统工程
能源工程及 自动化
030200 030201
普什图语 081701
世界语
081702W
探测制导与 控制技术
弹药工程与 爆炸技术
特种能源工 程与烟火技 术
地面武器机 动工程
信息对抗技 术
工程力学类
工程力学
工程结构分 析
050242W 050243W 050244W
050245W 050246W
孟加拉语 081800
尼泊尔语 081801
塞尔维亚语 —克罗地亚 081900 语
中国语言文 081201
学类
汉语言文学 081202
汉语言
081203
对外汉语 081204
静力学培训
模拟
工程力学所讲述的规律带有普遍性，是各技术工程学科的重要理论基础， 是沟通自然科学基础理论与工程实践的桥梁，是直接服务于工程的一门基础 技术课。即工程力学是将力学原理应用在实际工程系统的科学。 工程力学问题的分析，一般都需要进行： 若研究对象（构件）处 ——力的研究； 于静止或平衡状态，则不必 ——运动和变形的研究； 考虑其运动。平衡状态的力 ——联系力与运动、力与变形之间关系的研究。学问题——称为静力学问题。 工程力学研究的目的是：了解工程系统的性态，并为设计提供合理的规则。 受力如何？ 如何运动？ 性态 如何变形？ 如何控制？ 规则 静力学是研究物 体的受力与平衡的一 般规律。研究模型是 刚体。 材料力学是研究 材料在外力作用下产 生变形规律，即弹性 变形和塑性变形。研 究模型是变形固体。
三角形法则
第一定律力的含义：力是改变物体运动状态的原因；第二定律力的作用 效果：力使物体获得加速度；第三定律力的本质：力是物体间的相互作用。 五、公理5 加刚化原理 变形体 在某一力系作用下 柔性体（受拉力平衡） 刚化为刚体 处于平衡，如将此变形体变为刚 反之不一定成立 仍平衡 必要与充分 体（刚化为刚体），其平衡状态 保持不变。 公理5告诉我们：处于平 刚体 柔性体 衡状态的变形体，可用刚体静 （受压仍平衡） （受压不能平衡） 必要不充分 力学的平衡理论。
铰链约束中，若被铰 物体不是二力杆，则可 用两个正交分力来表示。
一般不必单独分析 销钉受力，需要分析时， 必须把销钉单独取出。
光滑圆柱铰链约束，其实就是 孔与轴的配合。 又称中间柱铰链。
在实际中，是应用最广、类型最多的约 束。大致可分为以下几类： a）固定柱铰链支座（其中一个构件固定的）
b）活动柱铰链支座（滚动铰支座、辊轴支座） 约束特点：在固定铰支座与光滑固定支 承面之间装有光滑的辊轴而成。 约束力：构件受到垂直于光滑面的约束， 其反力沿着支承面的公法线方向。 c）活动轴承 其实就是光滑 圆柱铰链约束。在 实际使用时，还有 扭矩。 d）滚动轴承 约束特点：轴在轴承孔内，轴为非 自由体、轴承孔为约束。 约束力：轴与孔在接触处为光滑接 触约束——法向约束力。约束力作用在 接触处，沿径向指向轴心。 向心滚动（径向）轴承： 有多种接触形式及滚珠形状。 右图示的为圆柱滚珠轴承（纯 径向滚动），其结构图、受力 图和简图——二力正交。
工程力学所讲述的规律带有普遍性，是各技术工程学科的重要理论基础， 是沟通自然科学基础理论与工程实践的桥梁，是直接服务于工程的一门基础 技术课。即工程力学是将力学原理应用在实际工程系统的科学。 工程力学问题的分析，一般都需要进行： 若研究对象（构件）处 ——力的研究； 于静止或平衡状态，则不必 ——运动和变形的研究； 考虑其运动。平衡状态的力 ——联系力与运动、力与变形之间关系的研究。学问题——称为静力学问题。 工程力学研究的目的是：了解工程系统的性态，并为设计提供合理的规则。 受力如何？ 如何运动？ 性态 如何变形？ 如何控制？ 规则 静力学是研究物 体的受力与平衡的一 般规律。研究模型是 刚体。 材料力学是研究 材料在外力作用下产 生变形规律，即弹性 变形和塑性变形。研 究模型是变形固体。
三角形法则
第一定律力的含义：力是改变物体运动状态的原因；第二定律力的作用 效果：力使物体获得加速度；第三定律力的本质：力是物体间的相互作用。 五、公理5 加刚化原理 变形体 在某一力系作用下 柔性体（受拉力平衡） 刚化为刚体 处于平衡，如将此变形体变为刚 反之不一定成立 仍平衡 必要与充分 体（刚化为刚体），其平衡状态 保持不变。 公理5告诉我们：处于平 刚体 柔性体 衡状态的变形体，可用刚体静 （受压仍平衡） （受压不能平衡） 必要不充分 力学的平衡理论。
铰链约束中，若被铰 物体不是二力杆，则可 用两个正交分力来表示。
一般不必单独分析 销钉受力，需要分析时， 必须把销钉单独取出。
光滑圆柱铰链约束，其实就是 孔与轴的配合。 又称中间柱铰链。
在实际中，是应用最广、类型最多的约 束。大致可分为以下几类： a）固定柱铰链支座（其中一个构件固定的）
b）活动柱铰链支座（滚动铰支座、辊轴支座） 约束特点：在固定铰支座与光滑固定支 承面之间装有光滑的辊轴而成。 约束力：构件受到垂直于光滑面的约束， 其反力沿着支承面的公法线方向。 c）活动轴承 其实就是光滑 圆柱铰链约束。在 实际使用时，还有 扭矩。 d）滚动轴承 约束特点：轴在轴承孔内，轴为非 自由体、轴承孔为约束。 约束力：轴与孔在接触处为光滑接 触约束——法向约束力。约束力作用在 接触处，沿径向指向轴心。 向心滚动（径向）轴承： 有多种接触形式及滚珠形状。 右图示的为圆柱滚珠轴承（纯 径向滚动），其结构图、受力 图和简图——二力正交。
李阳老师简介
1997年大年初一，数千人从全国各地赶到深圳世界之窗，冒雨参加李阳疯狂英语“大喊英语贺春节”活动，场面极其感人。《深圳特区报》专版摄影报道，在全国产生深远影响。
1997年4月，李阳老师首次走出广东，开始全国巡回演讲，全力实践“让三亿中国人讲一口流利英语”的梦想。在长沙市教委和长沙市外国语学校的诚挚邀请下，李阳疯狂英语“攻克英语，振兴中华”全国巡回演讲广东省外第一站就定在长沙。在短短的一个星期里，有近2万人参加了讲座，反响巨大。
1996年，李阳老师首次为部队官兵进行大型英语口语培训，从此启动“让百万中国人民解放军讲一口流利英语”的宏大计划。
1996年，李阳老师创办了“李阳·克立兹文化传播有限公司”，正式开始产业化的道路。“克立兹”是“crazy”的汉语音译，表示“克服困难、屹立于此时此刻”。
1997年初，李阳疯狂英语进入深圳，并创造一个晚上三场演讲的空前绝后的记录。近万人蜂拥而至，造成深南大道和上步路大堵车，深圳科学馆被挤得水泄不通。李阳老师不得不一晚连续三场演讲，人群方才散去。
1993年底，李阳担任了美国众议院外交委员会首席顾问理查德?布什先生关于“克林顿当选总统以来美国对华政策的制订过程”重要演讲的现场口译，获得了中美双方的高度赞赏，会后收到美国外交委员会的特别感谢信。
1994年，李阳老师辞去广东人民广播电台的工作，组建了“李阳国际英语推广工作室”，着手整理疯狂英语突破法，并开始举办讲座。
2000年11月4日，李阳老师首次回到了阔别十年的母校---兰州大学，在当地掀起了一场李阳疯狂英语旋风，给兰大学子和兰州数十万学生带来了无比的骄傲和动力。李阳老师向兰州大学捐赠20万元设立英语教育奖励基金，并与现任兰州大学李发伸校长就英语教学进行了著名的“两代人的对话”。
2000年11月6日，李阳老师回到了他当年大喊苦练英语四个月的兰州大学烈士亭。因为李阳成功的故事，兰大烈士亭成为了全国成千上万渴望攻克英语的人们向往的地方，甚至韩国、日本等亚洲国家的人们也来参观过。
1997年4月，李阳老师首次走出广东，开始全国巡回演讲，全力实践“让三亿中国人讲一口流利英语”的梦想。在长沙市教委和长沙市外国语学校的诚挚邀请下，李阳疯狂英语“攻克英语，振兴中华”全国巡回演讲广东省外第一站就定在长沙。在短短的一个星期里，有近2万人参加了讲座，反响巨大。
1996年，李阳老师首次为部队官兵进行大型英语口语培训，从此启动“让百万中国人民解放军讲一口流利英语”的宏大计划。
1996年，李阳老师创办了“李阳·克立兹文化传播有限公司”，正式开始产业化的道路。“克立兹”是“crazy”的汉语音译，表示“克服困难、屹立于此时此刻”。
1997年初，李阳疯狂英语进入深圳，并创造一个晚上三场演讲的空前绝后的记录。近万人蜂拥而至，造成深南大道和上步路大堵车，深圳科学馆被挤得水泄不通。李阳老师不得不一晚连续三场演讲，人群方才散去。
1993年底，李阳担任了美国众议院外交委员会首席顾问理查德?布什先生关于“克林顿当选总统以来美国对华政策的制订过程”重要演讲的现场口译，获得了中美双方的高度赞赏，会后收到美国外交委员会的特别感谢信。
1994年，李阳老师辞去广东人民广播电台的工作，组建了“李阳国际英语推广工作室”，着手整理疯狂英语突破法，并开始举办讲座。
2000年11月4日，李阳老师首次回到了阔别十年的母校---兰州大学，在当地掀起了一场李阳疯狂英语旋风，给兰大学子和兰州数十万学生带来了无比的骄傲和动力。李阳老师向兰州大学捐赠20万元设立英语教育奖励基金，并与现任兰州大学李发伸校长就英语教学进行了著名的“两代人的对话”。
2000年11月6日，李阳老师回到了他当年大喊苦练英语四个月的兰州大学烈士亭。因为李阳成功的故事，兰大烈士亭成为了全国成千上万渴望攻克英语的人们向往的地方，甚至韩国、日本等亚洲国家的人们也来参观过。
工程力学培训讲义(PPT31页)
三、教学方法手段
理实结合法
讲授法
讨论教学法
教学 方法
问题教学法
案例教学法
多效例题教学法
工程力学培训讲义(PPT31页)培训课 件培训 讲义培 训ppt教 程管理 课件教 程ppt
教学方法举例
工程力学培训讲义(PPT31页)培训课 件培训 讲义培 训ppt教 程管理 课件教 程ppt
多效例题教学法
重心（汽 车重心的 测定）
工程力学培训讲义(PPT31页) 工程力学培训讲义(PPT31页)
《工程力学》说课内容
一、课程设置 二、教学资源 三、教学方法与手段 四、教学效果 五、教学设计 六、教学组织与实施
一、课程设置
01
课程定位
02
课程任务与目标
03
教学重难点
04
解决办法
01课程 定位
《工程力学》是高职院校机电及 数控类专业的重要的专业核心课 程，在整个课程体系中处于承上 启下的核心地位 。研究物体受 力机械运动的一般规律和工程构 件的强度、刚度及稳定性等计算 原理的一门学科。不仅是工科专 业重要的专业核心课，而且是能 够直接用于工程实际的技术学科。
课程难点：
物体系统的受力分析和平衡计算、 静定结构内力图的绘制、用相关理论 分析和解决简单的工程实际问题。
04解决办法
1）讲授理论知 识与实验及工 程实践相结合 2）理论与工程 模型有机结合 3）教学与科研 实践的结合
注重专业特点 选择例题或工 程实例等教学 细节，突出教 学重点和难点 ，
发挥学生主观 能动性
二.教学资源 教材
化学工业出版社
二.教学资源 教材及参考资料
工程力学培训讲义(PPT31页)培训课 件培训 讲义培 训ppt教 程管理 课件教 程ppt
理实结合法
讲授法
讨论教学法
教学 方法
问题教学法
案例教学法
多效例题教学法
工程力学培训讲义(PPT31页)培训课 件培训 讲义培 训ppt教 程管理 课件教 程ppt
教学方法举例
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多效例题教学法
重心（汽 车重心的 测定）
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《工程力学》说课内容
一、课程设置 二、教学资源 三、教学方法与手段 四、教学效果 五、教学设计 六、教学组织与实施
一、课程设置
01
课程定位
02
课程任务与目标
03
教学重难点
04
解决办法
01课程 定位
《工程力学》是高职院校机电及 数控类专业的重要的专业核心课 程，在整个课程体系中处于承上 启下的核心地位 。研究物体受 力机械运动的一般规律和工程构 件的强度、刚度及稳定性等计算 原理的一门学科。不仅是工科专 业重要的专业核心课，而且是能 够直接用于工程实际的技术学科。
课程难点：
物体系统的受力分析和平衡计算、 静定结构内力图的绘制、用相关理论 分析和解决简单的工程实际问题。
04解决办法
1）讲授理论知 识与实验及工 程实践相结合 2）理论与工程 模型有机结合 3）教学与科研 实践的结合
注重专业特点 选择例题或工 程实例等教学 细节，突出教 学重点和难点 ，
发挥学生主观 能动性
二.教学资源 教材
化学工业出版社
二.教学资源 教材及参考资料
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机制专业评价课程对毕业要求指标点支撑关系表培训讲学
机制专业评价课程对毕业要求指标点支
撑关系表
表1 机制专业毕业要求1指标点分解及课程支撑权重分配表
表2 机制专业毕业要求2指标点分解及课程支撑权重分配表
表3 机制专业毕业要求3指标点分解及课程支撑权重分配表
表4 机制专业毕业要求4指标点分解及课程支撑权重分配表
表5 机制专业毕业要求5指标点分解及课程支撑权重分配表
表6 机制专业毕业要求6指标点分解及课程支撑权重分配表
表7 机制专业毕业要求7指标点分解及课程支撑权重分配表
表8 机制专业毕业要求8指标点分解及课程支撑权重分配表
表9 机制专业毕业要求9指标点分解及课程支撑权重分配表
表10 机制专业毕业要求10指标点分解及课程支撑权重分配表
表11 机制专业毕业要求11指标点分解及课程支撑权重分配表
表12 机制专业毕业要求12指标点分解及课程支撑权重分配表。
力学培训
3.4侧墙模板拉杆计算
侧模板侧压力计算 侧墙混凝土墙高为3m，采用坍落度140mm 的C35混凝土 ，浇筑速度2.5m/h，浇筑入模 温度20°C 200 F 0.22 25 ( ) 1.0 1.15 2.5 57 kN / m 由公式 20 15
2
以上两式中最小值，即最大侧压力为57kpa即
动荷载作用最大弯矩 Mk=302.25+55.45=357.7kN· m
ql 10.5 6.52 Mq 55.45kN m 8 8
1.3.2计算最不利情况
4)计算恒（均布）载产生的弯矩 工字钢65.6kg/m，方木6.5kN/m3，取单位宽 度计算
ql2 0.656 6.5 1 0.2 Mg = = 6.52 =10.3kN m 8 8
max
M max ql 2 36.3 7002 10.7 N / m m2 f 13N / m m2 (符合要求) W 10W 10166666 4 ql 36.3 7004 0.63m m [ ] 3m m(符合要求) 150EI 150 0.11105 8333333
静荷载即为工字钢与方木的荷载。
1.3.1规范中对车辆荷载的规定
规范中要求公路-Ⅰ级车辆荷载的技术指标 见表4.3.1-2 公路-Ⅰ级车辆荷载布置见图4.3.1-2 车辆荷载横向布置：考虑一辆车从桥梁正中单 独通过。
1.3.2规范中对车道荷载的规定
1.3.2计算最不利情况
计算荷载在梁体最不利情况即产生最大弯矩（ 正）。 1）确定PK计算跨径6.5m。按照内插取值
工程力学课程标准-知识归纳整理
知识归纳整理工程力学标准化课程建设一、课程标准（一）课程名称 工程力学（二）建议课时 72 ，学分 4（三）课程定位（课程体系中的角色）本课程是高职高专机电一体化、煤矿开采专业的一门专业基础课程。
其功能在于培养学生掌握抽象化能力、逻辑思维能力、计算能力以及利用工程力学的基本理论和想法，去分析和解决一些简单的工程实际问题的能力，为学生学习机械设计、机械加工工艺基础、模具设计与创造、金属处理等专业课打下坚实的基础，并且注意培养学生的社会能力、想法能力和良好的职业道德能力。
对于培养学生职业生涯可持续发展能力具有极其重要的作用。
（四）课程设计思路1.课程开设的根据和内容挑选标准（课程内容与职业标准对接）为习惯高职教育“校企合作、工学结合”的人才培养模式改革，结合机电一体化建设和煤矿开采技术专业的建设，本课程针对机电一体化工程技术人员和工程师岗位，以学生获得专业知识、职业技能和职业生涯可持续发展能力为目标，根据机电行业的发展和操作技术人员的岗位要求，采用了以能力为本位，以学生为中心，以应用为宗旨，以实践为导向，融知识传授、能力培养、素质教育于一体的课程设计思路。
进一步突出了知识求知若饥，虚心若愚。
的实践性和应用性要求，以满足培养机电行业服务第一线的高技能人才的需要。
2.课程内容设计（任务驱动、项目引领、案例教学）经过实践项目和任务训练使学生具有一定的力学知识的应用能力，尤其是能将力学分析想法与其它相关专业课程相结合的能力；具备将来在生产第一线运用力学想法分析解决工程中遇到的简单力学问题的能力。
学习情境设计：以学生职业能力培养为课程核心，以工程结构为载体重构了学习内容，根据岗位的任务、项目、能力、知识举行综合分析，按照职业岗位任务，设计了模块化的课程内容和机构。
课程内容的两个模块为：①静力学模块；②材料力学模块。
共有11个学习单元和53个学习任务基于实践导向的原则，设计了7个实践教学模块：①力学实验；②现场考察见习；③学习小组活动（综合性大作业）；④力学在工程中的应用专题研讨（工程结构的受力分析）；⑤课外解题训练；⑥力学应用能力竞赛（绘制内力图，知识抢答，模型制作）。
工程静力学基础培训课件
工程静力学的发展趋势
静力学理论的发展
静力学理论在不断发展，包括对材料性质、结构优化等方面的发展。
采用优化算法，对工程结构进行优化设计，使得结构更加合理、轻量化。
优化设计
采用有限元方法等分析方法，对工程结构进行优化分析，提高结构的承载能力和稳定性。
优化分析方法
采用高强度材料等，对工程结构进行优化，提高结构的强度和稳定性。
结构分析与设计
总结词
运用静力学知识，对机器设备进行安装、调试及维护。
要点一
要点二
详细描述
通过对机器设备的重量、尺寸、运动轨迹等进行精确分析，确定其最佳安装位置和调试方案。同时，根据机器设备的特性，制定相应的维护和保养计划。
机器设备安装与调试
运用工程静力学理论，分析建筑物在各种环境下的振动特性。
总结词
通过对建筑物的振动频率、振型等特性的分析，评估其在地震、风、雪等自然灾害下的安全性。同时，为建筑物的优化设计提供理论支持。
详细描述
建筑物的振动分析
05
工程静力学中的常见问题
1
摩擦与摩擦力
2
3
摩擦是物体间相互接触时的相互作用，表现为阻碍相对运动的阻力。
摩擦
摩擦力是指由于摩擦作用而产生的力，方向与物体相对运动方向相反，大小与正压力和摩擦系数成正比。
力的分类及特点
静力学基本公理
力的平行四边形法则，即两个力的合力等于这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线。
公理一
公理二
公理三
公理四
二力平衡公理，即两个大小相等、方向相反且作用在同一直线上的两个力平衡。
加减平衡力系公理，即如果一个力系与一个力系等效，那么这个力系与反方向的力系也等效。
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研究目的： ①对梁作刚度校核； ②解超静定梁（变形几何条件提供补 充方程）。
工程力学电子教案
第十二章 弯曲变形
§ 12–2 挠曲线（线）的近似微分方程式
挠曲线的曲率与内力弯矩间的关系为：
1 M (x)
EI z
曲率与挠度间的关系为：
1
f (1
(x) f 2)32
小变形
f(x)
f (x) M(x) EIz
q P m f fq fP fm
结构形式叠加（逐段刚化法）：
工程力学电子教案
qP
A
C
a
a
=
+
P A
q A
第十二章 弯曲变形
例：用叠加原理求图示简支梁A端的
B 转角和中点C的挠度。
解、载荷分解如图 查表求由每一种简单载荷产生的变形。
B
q A
qa3 3EI
P A
Pa 2 4EI
wCq
5qa4 24EI
写出具体的转角方程和找挠度方程
P[x (l)2l2]P(x x2 l)
2EI
2EI
w Px2 (x3l) 6EI
maxB
PL2
2EI
wmaxwB
PL3 3EI
工程力学电子教案
第十二章 弯曲变形
例：求图示长为 l 的简支梁的弯曲变形。
解：建立坐标系并写出弯矩方程
M(x)1qlx1qx2 22
写出微分方程并积分
Pa A
l
P
P (x a ) ( 0xa )
M(x) 0 (axl)
写出梁的微分方程并积分
P (x a ) ( 0xa )
EI
0 (axl)
工程力学电子教案
第十二章 弯曲变形
EI 1 2P(xa)2C1 (0 xa)
C 2
(ax l)
EI 1 6P (xa)3C 1xD 1 (0 xa)
工程力学电子教案
工程力学
工程力学电子教案
第十二章 弯曲变形
第十二章 弯曲变形
§12–1 引言 §12–2 挠曲轴（线）近似微分方程
§12–3 计算梁位移的积分法
§12–4 §12–5 §12–6
计算梁位移的叠加法 简单静不定梁 梁的刚度条件和合理刚度设计
工程力学电子教案
第十二章 弯曲变形
§12-1 引言
24EI
工程力学电子教案
第十二章 弯曲变形
例: 结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明。
A l/2
A l/2
A
+
=
D l/2
P2
D l/2
P2 D
BC a P1
(B)P2
P2l2 16EI
(B )M
P1al 3EI
B4l8 E(I16 P1a3P2l)
B C 等价 a P1
BC a
wC 2
P1a3 3EI
wCP
Pa3 6EI
B
工程力学电子教案
qP
A
C
a
a
=
+
P A
q A
第十二章 弯曲变形
B
q A
qa3 3EI
P A
Pa 2 4 EI
wCq
5qa4
24EI
wCP
Pa3 6EI
叠加求最终变形
A A q A P
B
a2 (3P4qa)
12EI
wC
5qa4 Pa3 24EI 6EI
B
a3 (5qa4P)
C 2 x D 2
(a x l)
由连续性条件可知，当 x a时 , , w w
C 1C 2, D 1D 2
再由固定端的边界条件 x0时 , 0 , w 0
C1
1Pa2 2
D1
1 6
Pa3
工程力学电子教案
第十二章 弯曲变形
最后得到梁的转角方程和挠曲线方程：
Px (x2a)
2EI 1P2a
2EI
P2x (x2a)
w
6EI P2a(a3x)
6EI
(0 xa) (axl)
(0 xa) (axl)
工程力学电子教案
第十二章 弯曲变形
§12–4 计算梁位移的叠加 法
在小变形且梁内的应力小于其比例极限应力的情况下，梁的挠曲线的微分方
程是关于力的线性方程。
载荷叠加：多个载荷同时作用于梁而引起的变形等于每个载荷单独作用于结 构而引起的变形的代数和。
式中的 C、D 为积分常数。 积分常数由边界条件和连续性条件确定。
边界条件： 梁在支座处确定的挠度和转角。
工程力学电子教案
第十二章 弯曲变形
简支梁或外伸梁的边界条件条：
A
P
C
B
P
D
C
E
A
B
wA 0 wB 0
固定端的边界条件：
wA 0 wB 0
A
P
wA 0 A 0
连续性条件： 挠曲线上作一点处的挠度和转角是唯一的。
wC wC
C
C
或wC左wC右
或 C左
C右
工程力学电子教案
第十二章 弯曲变形
x
例：求图示等截面悬臂梁的弹 性曲线、 y
最大挠度及最大转角。
l
P
解： 建立坐标系并写出弯矩
A x
B
方程
M (x ) P ( l x ) P (x l)
写出梁的挠曲线微分方程
E w IM (x ) P (x l)
上式就是挠曲线近似微分方程。
d2w M (x) dx 2 EI z
工程力学电子教案
第十二章 弯曲变形
§12–3 计算梁位移的积分 法
对挠曲线微分方程的两边作一次不定积分得：
EIEd d Iw xM (x)d xC
对上式两边再作一次不定积分得：
E I( w M (x )x d )d x C D x
P1
B C 等价 A
MP1a
D
BC
l/2
l/2
P2
a P1
l/2
l/2
a
P2
P1
工程力学电子教案
第十二章 弯曲变形
wC 2
P1a3 3EI
B4l8 E(I16 P1a3P2l)
wC1 Ba
4l8E aI(16P1a3P2l)
A l/2
wCwC1wC2
4l8E aI(16P1a3P2l)3P
1a EI
对微分方程两边作不定积分得：
EIEw I1P(xl)2C
2 EIw1P(xl)3C xD
6
工程力学电子教案
第十二章 弯曲变形
利用边界条件确定积分常数
x0, 0, w0
1P2lC0, C1P2l
2
2
Pl3D0, DPl3
6
6
y
l
P
x
A
B
EIEw I1P(xl)2C
EI w1P(x 2l)3C xD 6
24
写出挠曲线方程和转角方程
q(6lx24x3l3)
24
w qx(2lx2x3l3) 2E 4 I
最大挠度及最大转角
fmaxwx1 2
5ql4 384EI
ma
x AB
q3l 24EI
工程力学电子教案
第十二章 弯曲变形
x
例：求图示等截面悬臂梁的弹
y
性曲线、最大挠度及最大转角。
a
P
B
解：写出弯矩方程
y
Ew I1qlx1qx2 22
A
EI1ql2x 1q3 xC
4
6
EIw 1q3 l x1q4xC xD 12 24
q B
x
工程力学电子教案
第十二章 弯曲变形
应用边界条件求积分常数
x0, w0;
EI1ql2x 1q3 xC
4
6
D0
EIw 1q3 l x1q4x C xD
xl, w0 C1q3l
12 24
3
4aE 8[1 I P 61a(al)3P 2l2]
工程力学电子教案
第十二章 弯曲变形
§ 12–2 挠曲线（线）的近似微分方程式
挠曲线的曲率与内力弯矩间的关系为：
1 M (x)
EI z
曲率与挠度间的关系为：
1
f (1
(x) f 2)32
小变形
f(x)
f (x) M(x) EIz
q P m f fq fP fm
结构形式叠加（逐段刚化法）：
工程力学电子教案
qP
A
C
a
a
=
+
P A
q A
第十二章 弯曲变形
例：用叠加原理求图示简支梁A端的
B 转角和中点C的挠度。
解、载荷分解如图 查表求由每一种简单载荷产生的变形。
B
q A
qa3 3EI
P A
Pa 2 4EI
wCq
5qa4 24EI
写出具体的转角方程和找挠度方程
P[x (l)2l2]P(x x2 l)
2EI
2EI
w Px2 (x3l) 6EI
maxB
PL2
2EI
wmaxwB
PL3 3EI
工程力学电子教案
第十二章 弯曲变形
例：求图示长为 l 的简支梁的弯曲变形。
解：建立坐标系并写出弯矩方程
M(x)1qlx1qx2 22
写出微分方程并积分
Pa A
l
P
P (x a ) ( 0xa )
M(x) 0 (axl)
写出梁的微分方程并积分
P (x a ) ( 0xa )
EI
0 (axl)
工程力学电子教案
第十二章 弯曲变形
EI 1 2P(xa)2C1 (0 xa)
C 2
(ax l)
EI 1 6P (xa)3C 1xD 1 (0 xa)
工程力学电子教案
工程力学
工程力学电子教案
第十二章 弯曲变形
第十二章 弯曲变形
§12–1 引言 §12–2 挠曲轴（线）近似微分方程
§12–3 计算梁位移的积分法
§12–4 §12–5 §12–6
计算梁位移的叠加法 简单静不定梁 梁的刚度条件和合理刚度设计
工程力学电子教案
第十二章 弯曲变形
§12-1 引言
24EI
工程力学电子教案
第十二章 弯曲变形
例: 结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明。
A l/2
A l/2
A
+
=
D l/2
P2
D l/2
P2 D
BC a P1
(B)P2
P2l2 16EI
(B )M
P1al 3EI
B4l8 E(I16 P1a3P2l)
B C 等价 a P1
BC a
wC 2
P1a3 3EI
wCP
Pa3 6EI
B
工程力学电子教案
qP
A
C
a
a
=
+
P A
q A
第十二章 弯曲变形
B
q A
qa3 3EI
P A
Pa 2 4 EI
wCq
5qa4
24EI
wCP
Pa3 6EI
叠加求最终变形
A A q A P
B
a2 (3P4qa)
12EI
wC
5qa4 Pa3 24EI 6EI
B
a3 (5qa4P)
C 2 x D 2
(a x l)
由连续性条件可知，当 x a时 , , w w
C 1C 2, D 1D 2
再由固定端的边界条件 x0时 , 0 , w 0
C1
1Pa2 2
D1
1 6
Pa3
工程力学电子教案
第十二章 弯曲变形
最后得到梁的转角方程和挠曲线方程：
Px (x2a)
2EI 1P2a
2EI
P2x (x2a)
w
6EI P2a(a3x)
6EI
(0 xa) (axl)
(0 xa) (axl)
工程力学电子教案
第十二章 弯曲变形
§12–4 计算梁位移的叠加 法
在小变形且梁内的应力小于其比例极限应力的情况下，梁的挠曲线的微分方
程是关于力的线性方程。
载荷叠加：多个载荷同时作用于梁而引起的变形等于每个载荷单独作用于结 构而引起的变形的代数和。
式中的 C、D 为积分常数。 积分常数由边界条件和连续性条件确定。
边界条件： 梁在支座处确定的挠度和转角。
工程力学电子教案
第十二章 弯曲变形
简支梁或外伸梁的边界条件条：
A
P
C
B
P
D
C
E
A
B
wA 0 wB 0
固定端的边界条件：
wA 0 wB 0
A
P
wA 0 A 0
连续性条件： 挠曲线上作一点处的挠度和转角是唯一的。
wC wC
C
C
或wC左wC右
或 C左
C右
工程力学电子教案
第十二章 弯曲变形
x
例：求图示等截面悬臂梁的弹 性曲线、 y
最大挠度及最大转角。
l
P
解： 建立坐标系并写出弯矩
A x
B
方程
M (x ) P ( l x ) P (x l)
写出梁的挠曲线微分方程
E w IM (x ) P (x l)
上式就是挠曲线近似微分方程。
d2w M (x) dx 2 EI z
工程力学电子教案
第十二章 弯曲变形
§12–3 计算梁位移的积分 法
对挠曲线微分方程的两边作一次不定积分得：
EIEd d Iw xM (x)d xC
对上式两边再作一次不定积分得：
E I( w M (x )x d )d x C D x
P1
B C 等价 A
MP1a
D
BC
l/2
l/2
P2
a P1
l/2
l/2
a
P2
P1
工程力学电子教案
第十二章 弯曲变形
wC 2
P1a3 3EI
B4l8 E(I16 P1a3P2l)
wC1 Ba
4l8E aI(16P1a3P2l)
A l/2
wCwC1wC2
4l8E aI(16P1a3P2l)3P
1a EI
对微分方程两边作不定积分得：
EIEw I1P(xl)2C
2 EIw1P(xl)3C xD
6
工程力学电子教案
第十二章 弯曲变形
利用边界条件确定积分常数
x0, 0, w0
1P2lC0, C1P2l
2
2
Pl3D0, DPl3
6
6
y
l
P
x
A
B
EIEw I1P(xl)2C
EI w1P(x 2l)3C xD 6
24
写出挠曲线方程和转角方程
q(6lx24x3l3)
24
w qx(2lx2x3l3) 2E 4 I
最大挠度及最大转角
fmaxwx1 2
5ql4 384EI
ma
x AB
q3l 24EI
工程力学电子教案
第十二章 弯曲变形
x
例：求图示等截面悬臂梁的弹
y
性曲线、最大挠度及最大转角。
a
P
B
解：写出弯矩方程
y
Ew I1qlx1qx2 22
A
EI1ql2x 1q3 xC
4
6
EIw 1q3 l x1q4xC xD 12 24
q B
x
工程力学电子教案
第十二章 弯曲变形
应用边界条件求积分常数
x0, w0;
EI1ql2x 1q3 xC
4
6
D0
EIw 1q3 l x1q4x C xD
xl, w0 C1q3l
12 24
3
4aE 8[1 I P 61a(al)3P 2l2]