中考数学总复习考点突破(第32讲)图形的相似(含答案)

图形的相似
一、选择题(每小题6分，共24分)

1．(2014·重庆)如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，若BC＝1，则EF的长是( B )
A．1 B．2 C．3 D
．4

2．(2014·泰安)在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题：
①若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠A＝∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；②若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠
B＝∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；③若∠A＝∠A1，∠C＝∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；④若AC：A1C
1

＝CB：C1B1，∠C＝∠C1，则△ABC∽△A1B1C1.其中真命题的个数为( B )

A．4个 B．3个 C．2个 D
．1个

3．(2014·宁波)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则
△ABC与△DCA的面积比为( C )
A．2∶3 B
．2∶5

C．4∶9 D
.2∶3

解析：∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC，又∵∠B＝∠ACD＝90°，∴△CBA∽△ACD，BCAC＝
AC
AD

＝ABDC，AB＝2，DC＝3，∴BCAC＝ACAD＝ABDC＝23，∴BCAC＝23，∴cos∠ACB＝BCAC＝23，cos∠DAC＝ACDA＝23，

∴BCAC·ACDA＝23×23＝49，∴BCDA＝49，∵△ABC与△DCA的面积比＝BCDA，∴△ABC与△DCA的面积比
＝49，故选：C
4．(2013·孝感)在平面直角坐标系中，已知点E(－4，2)，F(－2，－2)，以原点O为
位似中心，相似比为12，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是( D )
A．(－2，1) B
．(－8，4)

C．(－8，4)或(8，－4) D
．(－2，1)或(2，－1)

解析：如图

二、填空题(每小题6分，共24分)
5．(2014·邵阳)如图，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于
点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：__△ABP∽△AED(答
案不唯一)__．
,第5题图) ,第6题图)
6．(2014·滨州)如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则ADAB＝

__22__．
7．(2013·安徽)如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E，F分别为PB，PC的中点，
△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2，若S＝2，则S1＋S2＝__8__．

解析：过点P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，∴四边形PQCD与四边
形APQB都为平行四边形，∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，∴S△PDC＝S△CQP，S△ABP＝S△QPB，∵

EF为△PCB的中位线，∴EF∥BC，EF＝12BC，∴△PEF∽△PBC，且相似比为1∶2，∴S△PEF∶
S△PBC＝1∶4，S△PEF＝2，∴S△PBC＝S△CQP＋S△QPB＝S△PDC＋S△ABP＝S1＋S2＝8

,第7题图) ,第8题图)
8．(2014·娄底)如图，小明用长为3 m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高
度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB＝12 m，则旗杆AB的高为__9__m.
三、解答题(共52分)
9．(10分)(2013·巴中)如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，
连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.
(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若AB＝8，AD＝63，AF＝43，求AE的长．

(1)证明：∵▱ABCD，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C＋∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC.∵∠AFD
＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C.在△ADF与△DEC中，∠AFD＝∠C，∠ADF＝∠DEC，∴△
ADF∽△DEC
(2)解：∵▱ABCD，∴CD＝AB＝8.由(1)知△ADF∽△DEC，∴ADDE＝AFCD，∴DE＝AD·CDAF＝
63×8
43
＝12.在Rt△ADE中，由勾股定理得AE＝DE2－AD2＝122－（63）2＝6

10．(10分)(2014·巴中)如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标分别为
A(－2，4)，B(－2，1)，C(－5，2)．
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以－2，得到对应的点A2，B2，C2，请
画出△A2B2C2；
(3)求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比，即S△A1B1C1：S△A2B2C2＝____(不写解答过程，直接
写出结果)．

解：(1)如图所示：△A1B1C1即为所求
(2)如图所示：△A2B2C2即为所求
(3)∵将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以－2，得到对应的点A2，B2，C2，
∴△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为1∶2，∴S△A1B1C1∶S△A2B2C2＝1∶4
11．(10分)(2013·德宏州)如图，是一个照相机成像的示意图．
(1)如果像高MN是35 mm，焦距是50 mm，拍摄的景物高度AB是4.9 m，拍摄点离景物
有多远？
(2)如果要完整的拍摄高度是2 m的景物，拍摄点离景物有4 m，像高不变，则相机的
焦距应调整为多少毫米？

解：根据物体成像原理知：△LMN∽△LBA，∴MNAB＝LCLD.(1)∵像高MN是35 mm，焦距是
50 mm，拍摄的景物高度AB是4.9 m，∴3550＝4.9LD，解得LD＝7，∴拍摄点距离景物7米
(2)拍摄高度是2 m的景物，拍摄点离景物有4 m，像高不变，∴35LC＝24，解得LC＝70，
∴相机的焦距应调整为70 mm
12．(10分)(2014·遵义)如图，▱ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E，F分别是AB，CD
上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于点O.
(1)求证：BO＝DO；
(2)若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于点G，当FG＝1时，求AD的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB，DC∥AB，∴∠ODF＝∠OBE，在△ODF
与△OBE中，∠ODF＝∠OBE，∠DOF＝∠BOE，DF＝BE，∴△ODF≌△OBE(AAS)，∴BO＝DO
(2)解：∵BD⊥AD，∴∠ADB＝90°，∵∠A＝45°，∴∠DBA＝∠A＝45°，∵EF⊥AB，
∴∠G＝∠A＝45°，∴△ODG是等腰直角三角形，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴DF⊥OG，∴OF＝FG，
△DFG是等腰直角三角形，∵△ODF≌△OBE(AAS)，∴OE＝OF，∴GF＝OF＝OE，即2FG＝EF，

∵△DFG是等腰直角三角形，∴DF＝FG＝1，∴DG＝DF2＋FG2＝2，∵AB∥CD，∴ADDG＝EFFG，

即AD2＝21，∴AD＝22
13．(12分)(2013·衢州)
(1)提出问题
如图①，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连接AM，以AM
为边作等边△AMN，连接CN.求证：∠ABC＝∠ACN.
(2)类比探究
如图②，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其他条件不变，
(1)中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由．
(3)拓展延伸
如图③，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连接AM，
以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC.连接CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，
并说明理由．

(1)证明：∵△ABC，△AMN是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，AB＝AC，∠BAM＝∠CAN，AM＝AN，∴△BAM≌△CAN(SAS)，∴∠ABC
＝∠ACN
(2)解：结论∠ABC＝∠ACN仍成立．理由如下：∵△ABC，△AMN是等边三角形，∴AB
＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，






AB＝AC，

∠BAM＝∠CAN，
AM＝AN，
∴△BAM≌△CAN(SAS)，∴∠ABC＝∠ACN (3)解：∠ABC＝∠ACN.理由如

下：∵BA＝BC，MA＝MN，顶角∠ABC＝∠AMN，∴底角∠BAC＝∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴
AB
AM

＝ACAN，又∵∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，∴∠BAM＝∠CAN，∴△BAM∽△
CAN，∴∠ABC＝∠ACN
2015年名师预测
1．如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截
得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有( C )
A．1条 B．2条 C．3条 D
．4条

,第1题图) ,第2题图)
2．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A，C分别在
x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO＝OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P.则
点P的坐标为__(2，4－22)__．