北京市中考数学专题突破一：填空压轴题型(含答案)
中考数学填空题压轴题(含答案)
根据考试大纲，填空压轴题仍将以探究规律类型题为主要考察方向。
题型一：数字规律【例1】一组按一定规律排列的式子：－，，－，，…，（0a ≠）,则第n 个式子是 （n为正整数）．【答案】【例2】按一定规律排列的一列数依次为：,916,79,54,31 ……，按此规律排列下去，这列数中的第5个数是 ，第n 个数是 ．【答案】1125,122+n n【例3】一组按规律排列的整数5，7，11，19，…，第6个整数为____ _，根据上述规律，第n 个整数为____ （n 为正整数）.【答案】67；32+n （n 为正整数）【例4】将除去零以外的自然数按以下规律排列，根据第一列的奇数行的数的规律，写出第一列第9行的数为 ，再结合第一行的偶数列的数的规律，判断2011所在的位置是第 行第 列.【答案】81;第45行第15列2a 52a 83a 114a 31(1)n na n --例题精讲填空题压轴题【例5】某些植物发芽有这样一种规律：当年所发新芽第二年不发芽，老芽在以后每年都发芽.发芽规律见下表（设第一年前的新芽数为a ）第n 年 1 2 3 4 5 … 老芽率 a a 2a 3a 5a … 新芽率 0 a a 2a 3a … 总芽率a2 a3a5a8a…照这样下去，第8年老芽数与总芽数的比值为 .【解析】由规律可以看出，从第3年开始，老芽率、新芽率，总芽率都分别是前两年之和，因此，第8年的老芽为21，总芽为34，因此答案为2134． 【解析】2134题型二：多边形上存在的点数【例6】如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是 ．【解析】此类型题首先要找到边数的特点，然后找每条边上点的数目，第n 个图形是2n +边形，而且每个边上有n 个点。
【答案】(2)n n +或22n n +或2(1)1n +-【例7】用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n 个“口”字需用棋子___________【答案】4n【例8】用“O”摆出如图所示的图案，若按照同样的方式构造图案，则第10个图案需要 个“O”．① ② ③ ④ 【答案】181第2个“口”第1个“口” 第3个“口”第n 个“口”………………第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形题型三：藏头露尾型【例9】如下图是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n (n 是正整数)个图案中由 个基础图形组成．【解析】此类问题重点要找到“头是谁”“尾是谁”，①13+；②132+⨯；③133+⨯，……第n 个31n + 【答案】31n +【例10】搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②，图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要 根钢管．图1 图2 图3【答案】83．题型四：成倍数变化型【例11】如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，1AC BC ==，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与ABC ∆的BC 边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为_____．【解析】注意每一次变化所变化的倍数 【答案】81；11(2)2n n - 【例12】如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，．．．．．．依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为________； 所作的第n 个四边形的周长为_________________．【答案】2,24()2n【例13】如图，在ABC ∆中，A α∠=，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠，则1______A ∠=．1A BC ∠的平分线与1ACD ∠的平分线交于点2A ，得2A ∠，……，2009A BC ∠的平分线与2009A CD ∠的平分线交于点2010A ，得2010A ∠，则2010A ∠= ．【答案】2α,20102α(1)(2)(3)……A 2A 1DC A【例14】如图，小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形1111A B C D ，正方形1111A B C D 的面积为 ； 再把正方形1111A B C D 的各边延长一倍得到正方形2222A B C D ， 如此进行下去，正方形n n n n D C B A 的面积为 ． （用含有n 的式子表示，n 为正整数）【答案】5，n5【例15】把一个正三角形分成四个全等的三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，对剩下的三个小正三角形再重复以上做法……一直到第n 次挖去后剩下的三角形有 个．第一次 第二次 第三次 第四次【答案】3n题型五：相似与探究规律【例16】已知ABC AB AC m ∆==中，，72ABC ∠=︒，1BB 平分ABC ∠交AC 于1B ，过1B 作12B B //BC交AB 于2B ，作23B B 平分21AB B ∠，交AC 于3B ，过3B 作34//B B BC ，交AB 于4B ……依次进行下去，则910B B 线段的长度用含有m 的代数式可以表示为 .【答案】m 6215⎪⎪⎭⎫⎝⎛-【例17】如图，矩形纸片ABCD 中，6,10AB BC ==.第一次将纸片折叠，使点B 与点D 重合，折痕与BD交于点1O ；设1O D 的中点为1D ，第二次将纸片折叠使 点B 与点1D 重合，折痕与BD 交于点2O ；设21O D 的中点 为2D ，第三次将纸片折叠使点B 与点2D 重合，折痕与BD 交于点3O ，… .按上述方法折叠，第n 次折叠后的折痕与BD 交于点n O ，则1BO = ，n BO = ．第一次折叠 第二次折叠 第三次折叠【答案】2；12332n n -- B AD C 1O 1O 2O 1D 1D 2D 1O 2O 3O B AD C B ADCBA DC【例18】如图，直线x y 33=，点1A 坐标为（1，0），过点1A 作x 轴的垂线交直线于点1B ，以原点O 为圆心，1OB 长为半径画弧交x 轴于点2A ；再过点2A 作x 轴的垂线 交直线于点2B ，以原点O 为圆心，2OB 长为半径画弧交x 轴于 点3A ，…，按此做法进行下去，点4A 的坐标为（ ， ）； 点n A （ ， ）．【答案】（938，0）（1)332(-n ，0） 【例19】如图，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形1ABA ，再以等腰直角三角形1ABA 的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形11A BB ，……，如此作下去，若1OA OB ==，则第n 个等腰直角三角形的面积n S = ________（n 为正整数）.【解析】由题干可知：123124 (222)S S S ===，，可知22n n S -=【答案】22n -【例20】如图，n +1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设211B D C ∆的面积为1S ，322B D C ∆的面积为2S ，…，1n n n B D C +∆的面积为n S ，则2S = ；n S =____ （用含n 的式子表示）．【答案】233,31nn + 【例21】如图，P 为ABC ∆的边BC 上的任意一点，设BC a =，当1B 、1C 分别为AB 、AC 的中点时，1112B C a =，当2B 、2C 分别为1BB 、1CC 的中点时，2234B C a =，当3B 、3C 分别为2BB 、2CC 的中点时，3378B C a =，当4B 、4C 分别为3BB 、3CC 的中点时，441516B C a =当5B 、5C 分别为4BB 、4CC 的中点时，55_____B C =当n B 、n C 分别为1n BB -、1n CC -的中点时，则n n B C = ；设ABC ∆中BC 边上的高为h ，则n n PB C ∆的面积为______(用含a 、h 的式子表示)．【答案】a 3231,a n n 212-, ah n n 12212+-D 4D 3D 2D 1C 5C 4C 3C 2C 1B 5B 4B 3B 2B 1A……B 2B 1A 1BOAC 3B 3B 2C 2C 1B 1CBA【例22】如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，AB a =，CD b =，E 为边AD 上的任意一点，EF AB ∥，且EF 交BC 于点F ．若E 为边AD 上的中点，则______EF =（用含有a ，b 的式子表示）；若E 为边AD 上距点A 最近的n 等分点（2n ≥，且n 为整数），则______EF =（用含有n ，a ，b 的式子表示）．【答案】2a b +；(1)b n an+-【例23】已知在ABC ∆中，BC a =.如图1，点1B 、1C 分别是AB 、AC 的中点，则线段11B C 的长是_______； 如图2，点1B 、2B ,1C 、2C 分别是AB 、AC 的三等分点，则线段1122B C B C +的值是__________；如图3, 点12......、、、n B B B ，12......、、、n C C C 分别是AB 、AC 的(1)n +等分点，则线段1122n n B C B C B C ++⋅⋅⋅+的值是 ______.【答案】1,2a a ,12na 【例24】已知：如图，在Rt ABC ∆中，点1D 是斜边AB 的中点，过点1D 作11D E AC ⊥于点1E ，连接1BE 交1CD 于点2D ；过点2D 作22D E AC ⊥于点2E ，连接2BE ，交1CD 于点3D ；过点3D 作33D E AC ⊥于点3E ，如此继续，可以依次得到点4D 、5D 、…n D ， 分别记11BD E ∆、22BD E ∆、33BD E ∆、…n n BD E ∆的面积 为1S 、2S 、3S …n S ．设ABC ∆的面积是1,则1______S =， ______n S =（用含n 的代数式表示）.【答案】14，21(1)n +题型六：折叠与探究规律【例25】如图，将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．设2AB =，当12CE CD =时，则________AMBN=． 若1CE CD n =（n 为整数），则_______AM BN=．（用含n 的式子表示） 【答案】15；1)1(22+-n n【例26】如图，正方形ABCD ，E 为AB 上的动点，（E 不与A 、B 重合）连接DE ，作DE 的中垂线，交图3图2图12n-1B 2C 2A BCB 1C 1C 1B 1CBA FE D CBANMFEDCBAB321AD 于点F ．⑴若E 为AB 中点，则______DFAE= ⑵若E 为AB 的n 等分点(靠近点A )，则________DFAE= 【答案】251,42n n+题型七：其他类型【例27】图1是一个八角星形纸板，图中有八个直角，八个相等的钝角,每条边都相等.如图2将纸板沿虚线进行切割，无缝隙无重叠的拼成图3所示的大正方形,其面积为8+3中线段AB 的长为 .图1 图2 图31+【例28】如图，1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形34,,,,n P P P ，记纸板n P 的面积为n S ，试计算求出=-23S S ；并猜想得到1n n S S --=()2n ≥【答案】1)41(2,32---n ππ【例29】如图，图①是一块边长为1，周长记为1P 的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为12的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的21）后，得图③，④，…，记第)3(≥n n 块纸板的周长为n P ，则=-34P P ；1--n n P P = ．P 3P 2P 1【答案】81,121-⎪⎭⎫⎝⎛n【例30】已知一个面积为S 的等边三角形，现将其各边n （n 为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）．当8n =时，共向外作出了 个小等边三角形；当n k =时，共向外作出了 个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和是 （用含k 的式子表示）．【答案】18； 【例31】在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为(10)，，点D 的坐标为(02)，．延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形111A B C C ；延长11C B 交x 轴于点2A ，作正方形2221A B C C …按这样 的规律进行下去，第3个正方形的面积为________；第n 个正方形的面积为___________（用含n 的代数式表示）．【答案】4235）（,22235-⎪⎭⎫ ⎝⎛n【例32】如图所示，111()P x y ，、222()P x y ，，……()n n n P x y ，在函数4y x=(0x >)的图象上，11OP A ∆，212P A A ∆，323P A A ∆…1n n n P A A -∆都是等腰三角形，斜边1OA 、12A A …1n n A A -，都在x 轴上， 则1_____y =，12______n y y y ++⋅⋅⋅+=【答案】2 , 2n【例33】如图所示，直线1+=x y 与y 轴交于点1A ，以1OA 为边作正方形111OA B C ，然后延长11C B 与直线1+=x y 交于点2A ，得到第一个梯形112AOC A ；再以12C A 为边作正方形1222C A B C ，同样延长22C B 与直线1+=x y 交于点3A 得到第二个梯形2123A C C A ；，再以23C A 为边作正方形2333C A B C ，延长33C B ，得到第三个梯形；……则第2个梯形2123A C C A 的面积是 ；第n （n 是正整数）个梯形的面积是 （用含n 的式子表示）．3(-2)k 23(2)k s k-n =3n =5……n =4① ② ③ ④C 2B 2A 2C 1B 1A 1DC B AO yx【答案】6；2n 2223-⨯或1n 423-⨯【例34】在平面直角坐标系中，我们称边长为1且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点 正方形，如图，菱形ABCD 的四个顶点坐标分别是(80)-，，(04)，，(80)，，(04)-，，则菱形ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是_______个；若菱形n n n n A B C D 的四个顶点坐标分别为(20)-，n ， (0)，n ，(20)，n ，(0)-，n （n 为正整数）， 则菱形n n n n A B C D 能覆盖的单位格点正方形的 个数为_________（用含有n 的式子表示）．【答案】单位格点个数为48，单位格点个数为n n 442-【例35】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形1111A B C D 、2222A B C D 、3333A B C D 每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形10101010A B C D 四条边上的整点共有 个．【答案】80【例36】对于每个正整数n ，抛物线2211(1)(1)n n n n n y x x +++=-+与x 轴交于n A ，n B 两点，若n n A B 表示这两点间的距离，则n n A B = （用含n 的代数式表示）；112220112011A B A B A B +++的值为 ．【答案】()20122011,11+n nyxOD 1D 2D 3C 1C 2C 3B 1B 2B 3A 3A 2A 1123-1-2-3-3-2-1321-8-448ODC BAyx。
2024年北京市九年级中考二模数学汇编：填空压轴(第16题)(含解析)
2024北京初三二模数学汇编填空压轴（第16题）一、填空题1．（2024北京丰台初三二模）在正方形网格图形中，每个小正方形的边长为1，将其顶点称为格点．从一个格点运动到与之相距的另一个格点之间的一次移动，因类似中国象棋中马的“日”字型跳跃，故称为一次“跳马”变换．（1）如图1，在4×4的正方形网格图形中，从格点A 经过一次“跳马”变换可以到达的格点为（填“B ” “C ”或“D ”）；（2）如图2，现有6×6的正方形网格图形，若从该正方形的格点M 经过三次“跳马变换到达格点N ，则共有中不同的跳法．2．（2024北京燕山初三二模）年月日，联合国教科文组织将每年的月日定为“国际数学日”，这个节日的昵称是“节”，是为了纪念中国南北朝时期杰出的数学家祖冲之而设立的节日．某校今年“节”举办了“数学素养”大赛，现有甲、乙、丙三位同学进入了决赛争夺冠军，决赛共分为四轮，规定： 每轮分别决出第一，二，三名（没有并列），对应名次的得分都分别为，，（，且，，均为正整数）．选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况：第一轮第二轮第三轮第四轮最后得分甲乙丙（1）每轮比赛第一名的得分的值为 ；（2）丙同学在第二轮比赛中，获得了第名．3．（2024北京大兴初三二模）甲、乙、丙、丁4名同学参加中学生天文知识竞赛，成绩各不相同，根据成绩决出第1名到第4名的名次．甲和乙去询问名次，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第1名．”对乙说：“你不是第4名．”从这两个回答分析，4个人的名次排列可能有 种不同情况，其中甲是第4名有图1图2种可能情况．4．（2024北京石景山初三二模）如图，交通示意图中的A，B，C是产地（用■表示，旁边的数字表示产量，单位：吨），D，E，F是销地（用○表示，旁边的数字表示销量，单位：吨），产地与销地之间的线段旁小括号内的数字表示运货单价（单位：百元/吨）．在不考虑其他因素的前提下，将产地B的8吨货物全部运往销地，最少的运费为元；将A，B，C三个产地的产品全部运往销地，且每个销地的货物量恰好为该销地的销量，则调运的最小运费为元．5．（2024北京东城初三二模）现有一半径10米的圆形场地，建立如图所示的平面直角坐标系，场地圆心的坐标为．机器人在该场地中（含边界），根据指令完成下列动作：先朝其面对的方向沿直线行走距离，再在原地逆时针旋转角度，执行任务．机器人位于坐标原点处，且面对轴正方向．（1）若给机器人下达指令，则机器人至少重复执行次该指令能回到坐标原点处；（2）若给机器人下达指令，使机器人重复执行该指令回到坐标原点处，且最大，则应给机器人下达的指令是．6．（2024北京海淀初三二模）在中，为边的中点，为边上一点，连接．给出下面三个命题：①若，则；②若，则；③若，则．上述命题中，所有真命题的序号是．7．（2024北京房山初三二模）某校文艺部招聘主持人，有甲、乙、丙三名同学参加，学校设置了五轮比赛，规定：每一轮比赛分别决出第一、二、三名（不并列），对应名次的得分分别为（且均为正整数）．三名同学最后得分为五轮比赛得分之和，得分最高者中选，下表是三名同学在五轮比赛中的部分得分情况如下：一轮二轮三轮四轮五轮总分甲9乙22丙9则的值为，三名同学在五轮比赛中获得的第二名最多．8．（2024北京顺义初三二模）某学习小组的六个人围成一个圆圈做报数游戏，游戏的步骤如下：①每个人心里都想好一个数；②把自己想好的数悄悄如实地告诉他两旁的两个人；③每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报5的人心里想的数为．9．（2024北京昌平初三二模）某学校为丰富学生的课余生活，组织校园篮球赛，初三年级6个班进行单循环比赛（即每班都与其他班比赛一场），每天同时在三个场地各进行一场比赛．已知第一天（2）班与（4）班比赛，第二天（3）班与（5）班比赛，第三天（4）班与（6）班比赛，第四天（2）班与（3）班比赛，那么第三天与（3）班比赛的是班，第五天与（1）班比赛的是班．10．（2024北京门头沟初三二模）“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”知农爱农，珍惜粮食，传承美德，从校园做起．为响应此号召学校举办“减少舌尖上的浪费”宣传活动，参加活动的共60人，其中有校领导，教师代表，七年级学生代表，八年级学生代表和九年级学生代表．已知校领导和教师代表的总人数是七年级学生代表和八年级学生代表总人数的四分之一，校领导和七年级学生代表的总人数是教师代表和八年级学生代表总人数的七倍，则参加这次活动的九年级学生代表有人．11．（2024北京北师大附属实验中学初三二模）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是．12．（2024北京人大附中朝阳学校初三二模）如图，光发出的一束光，遇到平面镜（轴）上的点的反射光线交轴于点，再被平面镜（轴）上的点反射得光线，则直线的解析式为．13．（2024北京广渠门中学初三二模）高速公路某收费站出城方向有编号为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量分别都是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下：收费出口编号A，B B，C C，D D，E E，A通过小客车数量（辆）260330300360240在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的收费出口的编号是．14．（2024北京十一中初三二模）如图，点M是反比例函数图像上的一点，过点M作轴于点N，点P在y轴上，若的面积是2，则．16．（2024北京朝阳初三二模）甲、乙、丙三个同学做游戏，他们同时从写有整数（）的三张卡片中各拿一张，获得与卡片上的数字相同数量的糖果后完成一次游戏，然后再按照此方式继续进行这个游戏．如果他们做了次游戏后，甲共获得颗糖果，乙共获得颗糖果，丙共获得颗糖果，并且知道在最后一次游戏中，丙拿到的是写有整数的卡片，那么的值为；第一次游戏时，乙拿到的卡片上写有的整数是．（填“”，“”或“”）参考答案1. C；122．；三．【分析】（）根据三位同学的最后得分情况列出关于，，的等量关系式，然后结合且，，均为正整数确定，，的值；（）根据推理从而确定丙同学第二轮的排名；本题考查了方程的解逻辑推理能力，理解题意，分析数据间的等量关系是解题关键．【详解】（）解：由题意可得：，∴，∵，，均为正整数，若甲每轮比赛第一名得分为，则最后得分最高的为，∴，又∵，∴最小取3，∴，∴，故答案为：；（）根据表格即甲、乙、丙得分可知：第一轮第二轮第三轮第四轮最后得分甲乙丙∴丙同学在第二轮比赛中，获得了第三名，故答案为：三．3．8 4【分析】本题考查了列举法求所有可能结果数，根据题意分析分别讨论，即可求解．【详解】解：依题意，甲和乙不是第1名，乙不是第4名，有以下8种情况，第1名第2名第3名第4名①丙乙丁甲②丙丁乙甲③丁丙乙甲④丁乙丙甲⑤丁甲乙丙⑥丁乙甲丙⑦丙甲乙丁⑧丙乙甲丁其中①②③④四种情况是甲为第4名，故答案为，．4．2400 6000【分析】本题考查了地点统筹优化问题，同时考虑到运费和销售地的销量是解题的关键．将产地B的8吨货物全部运往销地D，或一部分运往销地D，一部分运往销地F，运费都是一样，则可求最少运费；A地的5吨必然运往D，B地要运吨到D，剩下的吨运往E地，C地的运5吨到F，运吨到E，这样每个销地的货物量恰好为该销地的销量，可使运费最少，求解即可．【详解】解：将产地B的8吨货物全部运往销地最少的运费为：（元），故答案为：；A地的5吨必然运往D，B地要运吨到D，剩下的吨运往E地，C地的运5吨到F，运吨到E，这样每个销地的货物量恰好为该销地的销量，可使运费最少，则最少运费为：（元），故答案为：．5． 4【分析】（1）给机器人下达指令，则机器人应移动到点，并原地逆时针旋转，如此重复执行4次，可回到原点，即可获得答案；（2）若要使机器人重复执行该指令回到坐标原点处，且最大，则执行次数尽可能少，时针旋转角度尽可能大，且能被整除，易知符合条件的经过的路线为等边三角形，；过点作轴于点，连接、，延长交于点，连接，证明为等边三角形，易得，，即可获得答案．【详解】解：（1）如下图，给机器人下达指令，则机器人应移动到点，并原地逆时针旋转，再次执行该指令，机器人应移动到点，并原地逆时针旋转，再次执行该指令，机器人应移动到点，并原地逆时针旋转，再次执行该指令，机器人应移动到点，并原地逆时针旋转，∴至少重复执行4次该指令能回到坐标原点处；（2）根据题意可知，机器人重复执行该指令回到原点，则经过的路线为正多边形，若要使机器人重复执行该指令中最大，则执行次数尽可能少，时针旋转角度尽可能大，且能被整除，即正多边形的边数尽可能少，∵，∴符合条件的，此时经过的路线为等边三角形，如图，过点作轴于点，连接、，延长交于点，连接，∵，∴，，∴，∴，又∵，∴，，∴，∴，∵，轴，∴垂直平分，∴，∴为等边三角形，∴，，∴应给机器人下达的指令是，执行3次，即可回到原点，且最大．故答案为：4；．【点睛】本题主要是考查了坐标与图形、三角函数、等边三角形的判定与性质、圆周角定理、垂直平分线的性质等知识，正确理解题意，运用数形结合的思想分析问题是解题关键．6．①③/③①【分析】本题考查了本题主要考查中位线，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据中位线的判定和性质可判定命题①，根据相似三角形的判定和性质可判定命题②③．【详解】解：∵是的中点，∴，命题①，若，则点是的中点∴，故命题①真命题；命题②，若，∴，，当时，，可得，故命题②假命题；命题③，若，∴，∴，∴，∴点为中点，则，故命题③真命题；综上所述，真命题的序号为①③，故答案为：①③．7． 5 甲【分析】本题考查了不定方程在实际问题中的应用．合理假设是解题关键．根据“每轮分别决出第一二三名（不并列）”及“乙的得分最高为”可计算出的值．假设甲有一轮获得第一，分析三人的实际得分情况即可求解．【详解】解：每轮分别决出第一二三名（不并列），，，乙的得分最高为，，均为正整数，，，均为正整数，的最小值分别为，，，，，，乙4轮得第一，1轮得第二，设甲有一轮得第一，则甲的得分至少，与甲的实际得分不符合故甲没有一轮得第一，丙有一轮得第一，，即丙剩下的三轮总分为3分，剩下的三轮丙只能是3轮都是第三，丙1轮得第一，4轮得第三，又乙4轮得第一，1轮得第二，三人第一、第二和第三的总数都是5，甲4轮得第二，1轮得第三，即甲获得的第二名最多．故答案为：5，甲．8．8【分析】本题主要考查的是阅读理解和探索规律题，其中考查的知识点有平均数的相关计算以及一元一次方程的应用，掌握以上知识点是解题的关键．假设报5的人心里想的数是x，由于0是报1的人和报5的人心里想的数的平均数，则报1的人心里想的是，报3的人心里想的是，然后根据6是报3和报5的人心里想的数的平均数列方程求解即可．【详解】解：设报5的人心里想的数是x则报1的人心里想的数是：报3的人：∵6是报3和报5的人心里想的数的平均数∴解的故答案为：8．9．（1）（2）【分析】本题考查逻辑推理能力．本题对学生的逻辑推理能力要求较高，根据每队都与其他队比赛一场，和已经进行的比赛，进行推断即可．【详解】解：（3）班已知的比赛：第二天（3）班与（5）班比赛，第四天（2）班与（3）班比赛，而第三天已知进行的是（4）班与（6）班比赛，故第三天只有（1）班与（3）班比赛，（4）班与（2）班比赛在第一天，（4）班与（6）班比赛在第三天，第二天已知（3）班与（5）班比赛，故第二天（4）班与（1）班比赛，（2）班与（6）班比赛，同理可得：第四天（1）班与（6）班比赛，（4）班与（5）班比赛，第一天（3）班与（6）班比赛，（1）班与（5）班比赛，故最后一天为（1）班与（2）班比赛，（3）班与（4）班比赛，（5）班与（6）班比赛，如表1第一天第二天第三天第四天第五天场地1场地2场地3同一天场地上的比赛可交换进行．故答案为：（1），（2）.10．20【分析】设参加这次活动的校领导有x人，教师代表有y人，七年级学生代表有z人，则参加这次活动的八年级学生代表有人，九年级学生代表有人，根据校领导和七年级学生代表的总人数是教师代表和八年级学生代表总人数的七倍，可列出关于x，y，z的三元一次方程，变形后，可得出，结合x，y，z均为正整数且27和8互质，可得出是8的倍数，结合九年级学生代表人数为正，可确定，再将其代入中，即可求出结论．【详解】解：设参加这次活动的校领导有x人，教师代表有y人，七年级学生代表有z人，则参加这次活动的八年级学生代表有人，九年级学生代表有人，根据题意得：，整理得：，∴．∵x，y，z均为正整数，且27和8互质，∴是8的倍数，又∵，∴，∴，∴（人），∴参加这次活动的九年级学生代表有20人．故答案为：20．11．【分析】过点P作于点Q，过点C作于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出，然后利用含的直角三角的性质得出，则，当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，利用含的直角三角的性质和勾股定理求出，，最后利用等面积法求解即可．【详解】解：过点P作于点Q，过点C作于点H，由题意知：平分，∵，，∴，∴，∴，∴，∴当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，∵，，，∴，∴，∵，∴，即最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法．12．【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，平行线的判定，过点B作轴，过点C作于T，交于H，证明得到，设，则，利用待定系数法求出直线的解析式为，进而代入A点坐标求出直线的解析式为；证明，则可设直线的解析式为，代入点C坐标即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点B作轴，过点C作于T，交于H，∴，由光的反射定律可知，又∵，∴，∴，设，则，设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为，把代入中得，，解得，∴直线的解析式为；同理可得，∵，∴，∴，∴可设直线的解析式为，把代入中得，解得，∴直线的解析式为，故答案为：．13．B【分析】根据表中数据两两相比较即可得到结论．【详解】解：∵，∴A收费出口通过的数量小于C收费出口通过的数量；D收费出口通过的数量小于B收费出口通过的数量；E收费出口通过的数量大于C收费出口通过的数量；D收费出口通过的数量大于A收费出口通过的数量；B收费出口通过的数量大于E收费出口通过的数量；∴，∴每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是B．故答案为：B．【点睛】本题主要考查统计表和不等式的基本性质，正确的理解题意是解题的关键．14．【分析】设，可求，，由，即可求解．【详解】解：设，轴，，，轴，，解得：，在上，，故答案：．【点睛】本题主要考查了在反比例函数中利用面积求，掌握解法是解题的关键．15．【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，理解数量关系，掌握整式的运用方法是解题的关键．根据题意可得，，结合均为正整数，可确定的取值范围，再根据每次游戏可能得结果进行推测即可求解．【详解】解：根据题意得，，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，且为正整数，当时，，不符合题意；当时，，∵是正整数，∴为正整数，∴当时，，∵丙共获得颗糖果，且丙的卡片上写的是正数，∴丙在前两次获得的糖果为颗，∵甲共获得颗，乙共获得颗，∴前两次中，甲共获得颗，乙获得颗，∴前两次丙比乙多获得的糖果数为（颗），∵丙第一次获得糖果数至少为，∴第一次乙获得糖果数至少为（颗），即，∵乙三次共获得颗，∴乙第一次获得糖果数至少为，即，∴乙第一次获得糖果数为，故答案为：．。
2023年北京中考数学一模分类汇编——填空压轴题(学生版)
2023年北京中考数学一模分类汇编——填空压轴题1．（2023•海淀区一模）某陶艺工坊有A和B两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品，两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如表所示．大中小尺寸数量（个）款式A81525B01020烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品．某批次需要生产10个大尺寸陶艺品，50个中尺寸陶艺品，76个小尺寸陶艺品．（1）烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用次；（2）若A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元，则烧制这批陶艺品成本最低为元．2．（2023•西城区一模）A，B，C三种原料每袋的重量（单位：kg）依次是1，2，3，每袋的价格（单位：万元）依次是3，2，5．现生产某种产品需要A，B，C这三种原料的袋数依次为x1，x2，x3（x1，x2，x3均为正整数），则生产这种产品时需要的这三类原料的总重量W（单位：kg）＝（用含x1，x2，x3的代数式表示）；为了提升产品的品质，要求W≥13，当x1，x2，x3的值依次是时，这种产品的成本最低．3．（2023•东城区一模）一枚质地均匀的骰子放在棋盘上，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，相对两个面上的点数之和为7．骰子摆放的初始位置如图所示．骰子由初始位置翻滚一次，点数为1的面落在1号格内；再从1号格翻滚一次，点数为5的面落在2号格内；继续这样翻滚……（1）当骰子翻滚到2号格时，朝上一面的点数为；（2）依次翻滚6次到6号格，每次翻滚后骰子朝上一面的点数之和为．4．（2023•朝阳区一模）一个33人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下4间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚130元．（说明：男士只能与男士同住，女士只能与女士同住，三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付130元．）（1）若该旅游团一晚的住宿房费为1530元，则他们租住了间一人间；（2）若该旅游团租住了3间一人间，且共有19名男士，则租住一晚的住宿房费最少为元．5．（2023•丰台区一模）临近端午，某超市准备购进小枣粽、豆沙粽、肉粽共200袋（每袋均为同一品种的粽子），其中小枣粽每袋6个，豆沙粽每袋4个，肉粽每袋2个．为了促销，超市计划将所购粽子组合包装，全部制成A，B两种套装销售．A套装为每袋小枣粽4个，豆沙粽2个；B套装为每袋小枣粽2个，肉粽2个．（1）设购进的小枣粽x袋，豆沙粽y袋，则购进的肉粽的个数为（用含x，y的代数式表示）；（2）若肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的，则豆沙粽最多购进袋．6．（2023•石景山区一模）为落实生态文明建设，推动绿色发展，促进人与自然和谐共生，某公司装修采用同质地的A型、B型环保板材，具体要求如下：板材规格需用量板材要求板材型号A型板材60cm×30cm290块B型板材40cm×30cm180块现只能购得规格为150cm×30cm的符合质地要求的标准板材，一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，裁法如下（损耗忽略不计）：裁法一裁法二裁法三裁出数量（块）裁法板材型号A型板材210B型板材0a3如表中a的值为；公司需购入标准板材至少张．7．（2023•通州区一模）某学校带领150名学生到农场参加植树劳动，学校同时租用A，B，C三种型号客车去农场，其中A，B，C三种型号客车载客量分别为40人、30人、10人，租金分别为700元、500元、200元．为了节省资金，学校要求每辆车必须满载，并将学生一次性送到农场植树，请你写出一种满足要求的租车方案，满足要求的几种租车方案中，最低租车费用是元．8．（2023•平谷区一模）某货运公司临时接到一个任务，从工厂同时运送A、B两种货物各20箱到展馆，货运公司调派甲货车运送A种货物，乙货车运送B种货物，A种货物每箱80千克，B种货物每箱70千克，因为两种货物包装箱完全一样，装运工人一时疏忽两车虽然所装货物数量正确，但部分货物却装混了．运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重160千克，则甲、乙两车各有箱货物装错，到达展馆，为了尽快把货物区分开，乙车司机借来了一台最多可以称300千克的秤精选最优称重方案，根据被错装货物出现的所有可能情况，最多需要称次就能把乙车上装错的货物区分出来．9．（2023•门头沟区一模）某校计划租用甲，乙，丙三种型号客车送师生去综合实践基地开展活动．每种型号客车的载客量及租金如下表所示：客车型号甲乙丙每辆客车载客量/人203040每辆客车的租金/元500600900其中租用甲型客车有优惠活动：租用三辆或三辆以上每辆客车的租金打8折．现有280名师生需要前往综合实践基地，要求每种型号的客车至少租1辆，且每辆车都坐满．（1）如果甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是2，4，3，那么租车的总费用为元；（2）如果租车的总费用最低，那么甲，乙，丙三种型号客车的租用数量可以分别是．10．（2023•房山区一模）为进一步深化“创城创卫”工作，传播健康环保的生活理念，房山区持续推进垃圾分类工作．各乡镇（街道）的党员、志愿者纷纷参与“桶前值守”，在垃圾桶旁监督指导居民对垃圾进行分类．某垃圾值守点有甲、乙、丙、丁四名志愿者，某一天每人可参与值守时间段如下表所示：志愿者可参与值守时间段1可参与值守时间段2甲6：00﹣8：0016：00﹣18：00乙6：30﹣7：3017：00﹣20：00丙8：00﹣11：0018：00﹣19：00丁7：00﹣10：0017：30﹣18：30已知每名志愿者一天至少要参加一个时间段的值守，任意时刻垃圾值守点同时最多需要2名志愿者值守，则该值守点这一天所有参与值守的志愿者的累计值守时间最短为小时，最长为小时（假设志愿者只要参与值守，就一定把相应时间段全部值完）11．（2023•延庆区一模）甲、乙两种物质的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，下列说法中，①甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大；②当温度升高至t2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度小；③当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g；④当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相同．所有正确结论的序号是．12．（2023•顺义区一模）某京郊民宿有二人间、三人间、四人间三种客房供游客住宿，某旅游团有25位女士游客准备同时住这三种客房共8间，如果每间客房都要住满，请写出一种住宿方案；如果二人间、三人间、四人间三种客房的收费标准分别为300元/间、360元/间、400元/间，则最优惠的住宿方案是．13．（2023•大兴区一模）某校需要更换部分体育器材，打算用1800元购买足球和篮球，并且把1800元全部花完．已知每个足球60元，每个篮球120元，根据需要，购买的足球数要超过篮球数，并且足球数不超过篮球数的2倍，写出一种满足条件的购买方案．14．（2023•燕山一模）某工厂用甲、乙两种原料制作A，B，C三种型号的工艺品，三种型号工艺品的重量及所含甲、乙两种原料的重量如下：工艺品型号含甲种原料的重量/kg含乙种原料的重量/kg工艺品的重量/kg A347B325C235现要用甲、乙两种原料共31kg，制作5个工艺品，且每种型号至少制作1个．（1）若31kg原料恰好全部用完，则制作A型工艺品的个数为；（2）若使用甲种原料不超过13kg，同时使用乙种原料最多，则制作方案中A，B，C三种型号工艺品的个数依次为．。
2023~2024学年北京市九年级上期末数学分类——填空压轴题(原卷版)
2023~2024学年北京市九年级上期末数学分类——填空压轴题1．（2024•海淀区）小云将9张点数分别为1～9的扑克牌以某种分配方式全部放入A ，B 两个不透明的袋子中（每个袋子至少放一张扑克牌），从两个袋子中各随机抽取一张扑克牌，将两张扑克牌的点数之和为k ，这一事件的概率记为P k ．（1）若将点数为1和2的扑克牌放入A 袋，其余扑克牌放入B 袋，则P 8＝；（2）对于所有可能的分配方式以及所有的k ，P k 的最大值是．2．（2023•西城区）如图，在三角尺ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AC ＝1．把CB 边放在直尺l 上，让三角尺在桌面上沿直尺l 按顺时针方向无滑动地滚动，直到CB 边再一次落到直尺l 上时停止滚动．三角尺的第一次滚动可看成将三角尺绕点B 顺时针旋转了150°，记为（B ，150°）．有以下三个结论：①第一次滚动的过程中，点C 运动的路径长为2π；②第二次滚动可记为（A ，120°）；③点A ，点B ，点C 在滚动全程中，运动路径最长的是点B ．上述结论中，所有正确结论的序号是．3．（2023秋•东城区期末）某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七道工序．施工要求如下：①先完成工序A ，B ，C ，再完成工序D ，E ，F ，最后完成工序G ；②完成工序A 后方可进行工序B ，工序C 可与工序A ，B 同时进行；③完成工序D 后方可进行工序E ，工序F 可与工序D ，E 同时进行；④完成各道工序所需时间如下表所示：工序A B C D E F G 所需时间/天11152817163125（1）在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少天完成；（2）现因情况有变，需将工期缩短到80天．工序A ，C ，D 每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，则所增加的投入最少是万元．4．（2023秋•朝阳区期末）已知函数y1＝kx+4k﹣2（k是常数，k≠0），（a是常数，a ≠0），在同一平面直角坐标系中，若无论k为何值，函数y1和y2的图象总有公共点，则a的取值范围是．5．（2023秋•丰台区期末）平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝x2﹣1在x轴和x轴下方的部分记作G1，将G1沿x轴翻折记作G2，G1和G2构成的图形记作G．关于图形G，如图所示，以下三个结论中，正确的序号是．①图形G关于原点对称；②图形G关于直线y＝x对称；③图形G的面积为S，满足2＜S＜π．6．（2023秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为P（﹣1，k），且经过点A（﹣3，0），其部分图象如图所示，下面四个结论中，①a＜0；②b＝﹣2a；③若点M（2，m）在此抛物线上，则m＜0；④若点N（t，n）在此抛物线上且n＜c，则t＞0．所有正确结论的序号是．7．（2023秋•通州区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，0）．P是第一象限内任意一点，连接PO，PA．若∠POA＝m°，∠PAO＝n°，则我们把P（m，n）叫做点P的“角坐标”．（1）点（2，2）的“角坐标”为；（2）若点P到x轴的距离为2，则m+n的最小值为．8．（2023秋•大兴区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（0，1），（2，1）．给出下面三个结论：①2a﹣b＝0；②a+b+c＞1；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c ﹣m＝0（m＜1）有两个异号实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是．9．（2024•平谷区）“十一”黄金周期间，明明和妈妈到某商场购物，得知该商场节日促销活动，单笔消费每满50元立减5元（即单笔消费有几个50元，就减几个5元，不足50元部分不减），累计消费满200元返20元购物券，购物券当天可用，用券和减免部分不在累计范围内．明明和妈妈打算购买以下三件商品：商品A：80元，商品B：95元，商品C：160元，如果你是聪明的明明，帮妈妈参谋一下三件商品妈妈分次结账，可以享受最多优惠；按此优惠方案，只需付款元，即可购买以上三件商品．10．（2024•房山区）在平面直角坐标系xOy中，A为y轴正半轴上一点．已知点B（1，0），C（5，0），⊙P是△ABC的外接圆．（1）点P的横坐标为；（2）若∠BAC最大时，则点A的坐标为．11．（2023秋•门头沟区期末）如图，已知E、F是正方形ABCD的边BC和CD上的两点，且AE＝AF，AB＝4，△AEF的面积S与CE的长x满足函数关系，写出该函数的表达式．12．（2023秋•昌平区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的对称轴是直线x＝1，其部分图象如图，则以下四个结论中：①abc＞0；②2a+b＝0；③3a+c＜0；④4a+b2＞4ac，其中，正确结论的序号是．13．（2023秋•密云区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A、点B的位置如图所示，抛物线y＝ax2﹣2ax 经过A、B两点，下列四个结论中：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴是直线x＝1；③A、B两点位于对称轴异侧；④抛物线的顶点在第四象限；所有不正确结论的序号是．14．（2024•顺义区）已知A（3，2），B（﹣1，﹣2）是抛物线上两点，下面有四个推断：①该抛物线与x轴有两个交点；②若该抛物线开口向下，则它与y轴的交点一定在y轴的负半轴上；③若该抛物线开口向下，则它的对称轴在直线x＝1右侧；④若该抛物线开口向上，则在A，B两点中，点B到它的对称轴距离较小．所有正确推断的序号是．15．（2023秋•燕山期末）2023年第19届杭州亚运会的举办带热了吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”的销售．某网店经营亚运会吉祥物玩偶礼盒装，每盒进价为30元．当地物价部门规定，该礼盒销售单价最高不能超过50元/盒．在销售过程中发现该礼盒每周的销量y（件）与销售单价x（元）之间近似满足函数关系：y＝﹣2x+180（30≤x≤50）．（1）设该网店每周销售该礼盒所获利润为w（元），则w与x的函数关系式为；（2）该网店每周销售该礼盒所获最大利润为元．。
2020北京市中考数学专题复习 选择、填空压轴题
一、简单专题集训选择、填空压轴题类型一平面直角坐标系(8年2考：2018.8、2016.9)1.如图，点A在观测点北偏东30°方向，且与观测点的距离为8千米，将点A的位置记作A(8，30°).用同样的方法将点B，点C的位置分别记作B(8，60°)，C(4，60°)，则观测点的位置应在()A. 点O1B. 点O2C. 点O3D. 点O4第1题图2.如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为(4，2)，点B的坐标为(－2，－2)，则点C的坐标为()A. (2，1)B. (－2，1)C. (2，－1)D. (－2，－1)第2题图3.(2019北京逆袭卷)如图是五道口周围部分大学的分布示意图，在图中，分别以正东、正北方向为x 轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：第3题图①当表示北京航空航天大学的点的坐标为(0，0)，表示北京大学的点的坐标为(－9，4)时，表示北京师范大学的点的坐标为(5，－5)；②当表示清华大学的点的坐标为(－1，10)，表示中国农业大学的点的坐标为(6，9)时，表示中国人民大学的点的坐标为(－5，－1)；③当表示北京大学的点的坐标为(－4，0)，表示中国人民大学的点的坐标为(－3，－7)时，表示中国农业大学的点的坐标为(7，3)；④当表示北京理工大学的点的坐标为(－9，－9)，表示北京航空航天大学的点的坐标为(－1，－3)时，表示清华大学的点的坐标为(－5，5).上述结论中，所有正确结论的序号是()A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④4. (2019顺义区二模)数学课上，王老师让同学们对给定的正方形ABCD，建立合适的平面直角坐标系，并表示出各顶点的坐标.下面是4名同学表示各顶点坐标的结果：第4题图甲同学：A(0，1)，B(0，0)，C(1，0)，D(1，1)；乙同学：A(0，0)，B(0，－1)，C(1，－1)，D(1，0)；丙同学：A(1，0)，B(1，－2)，C(3，－2)，D(3，0)；丁同学：A(－1，2)，B(－1，0)，C(0，0)，D(0，2).上述四名同学表示的结果中，四个点的坐标都表示正确的同学是()A. 甲、乙、丙B. 乙、丙、丁C. 甲、丙D. 甲、乙、丙、丁5. 如图，水立方所在位置表示3街与3路的十字路口，玲珑塔所在位置表示4街与7路的十字路口.如果用(3，3)表示水立方的位置，那么“(3，3)→(3，4)→(3，5)→(3，6)→(3，7)→(4，7)”表示从水立方到玲珑塔的一种路线.请你用这种形式写出另一种从水立方到玲珑塔的路线，且使该路线经过鸟巢：.第5题图类型二分析与判断函数图象(8年5考：2017.9、2015.10、2014.8、2013.8、2012.8)1. (2019海淀区一模)如图①，一辆汽车从点M处进入路况良好的立交桥，图②反映了它在进入桥区行驶过程中速度(千米/时)与行驶路程(米)之间的关系.根据图②，这辆车的行车路线最有可能是()第1题图2.(2019昌平区二模)小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7∶40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校.如图是他们从家到学校己走的路程s(米)和所用时间t(分钟)的关系图.则下列说法中正确的是①小明家和学校距离1200米；②小华乘坐公共汽车的速度是240米/分；③小华乘坐公共汽车后7：50与小明相遇；④小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是100米/分时，他们可以同时到达学校.第2题图A. ①③④B. ①②③C. ①②④D. ①②③④3. (2019西城区一模)三名快递员某天的工作情况如图所示，其中A1，A2，A3的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员上午派送快递所用的时间和件数；点B1，B2，B3的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员下午派送快递所用的时间和件数.有如下三个结论：第3题图①上午派送快递所用时间最短的是甲；②下午派送快递件数最多的是丙；③在这一天中派送快递总件数最多的是乙.上述结论中，所有正确结论的序号是()A. ①②B. ①③C. ②D. ②③4.(2019通州区一模)为了迅速算出学生的学期总评成绩，一位同学创造了一张奇妙的算图.如图，y轴上动点M的纵坐标y m表示学生的期中考试成绩，直线x＝10上动点N的纵坐标y n表示学生的期末考试成绩，线段MN与直线x＝6的交点为P，则点P的纵坐标y P就是这名学生的学期总评成绩.有下面几种说法：①若某学生的期中考试成绩为70分，期末考试成绩为80分，则他的学期总评成绩为75分；②甲同学的期中考试成绩比乙同学高10分，但期末考试成绩比乙同学低10分，那么甲的学期总评成绩比乙同学低；③期中成绩占学期总评成绩的60%.结合这张算图进行判断，其中正确的说法是()第4题图A. ①③B. ②③C. ②D. ③5.(2019顺义区一模)如图，点A，C，E，F在直线l上，且AC＝2，EF＝1，四边形ABCD，EF G H，EFNM均为正方形，将正方形ABCD沿直线l向右平移，若起始位置为点C与点E重合，终止位置为点A 与点F重合.设点C平移的距离为x，正方形ABCD的边位于矩形MN G H内部的长度之和为y，则y与x的函数图象大致为()第5题图6. (2019怀柔区二模)研究发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的.讲课开始时，学生的注意力激增，中间有一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散.学生注意力指标数y随时间x变化的函数图象如图所示(y越大表示学生注意力越集中).当0≤x≤10时，图象是抛物线的一部分；当10≤x≤20和20≤x≤45时，图象是线段.根据图象回答问题：第6题图(1)课堂上，学生注意力保持平稳状态的时间段是.(2)结合函数图象回答，一道几何综合题如果需要讲25分钟，老师最好在上课后大约第分钟到第分钟讲这道题，能使学生处于注意力比较集中的听课状态.类型三分析统计图(表)(8年5考：2019.8、2018.16、2017.8、2016.10、2015.15)1. (2019丰台区一模)某市组织全民健身活动，有100名男选手参加由跑、跳、投等10个田径项目组成的“十项全能”比赛.其中25名选手的一百米跑成绩排名，跳远成绩排名与10项总成绩的排名情况如图所示.()第1题图甲、乙、丙表示三名男选手，下面有3个推断：①甲的一百米跑成绩排名比10项总成绩排名靠前；②乙的一百米跑成绩排名比10项总成绩排名靠后；③丙的跳远成绩排名比10项总成绩排名靠后.其中合理的是()A. ①B. ②C. ①②D. ①③2. (2019朝阳区二模)某公司生产的一种产品按照质量由高到低分为A，B，C，D四级，为了增加产量、提高质量，该公司改进了一次生产工艺，使得生产总量增加了一倍.为了解新生产工艺的效果，对改进生产工艺前、后的四级产品的占比情况进行了统计，绘制了如下扇形图：第2题图根据以上信息，下列推断合理的是()A. 改进生产工艺后，A级产品的数量没有变化B. 改进生产工艺后，B级产品的数量增加了不到一倍C. 改进生产工艺后，C级产品的数量减少D. 改进生产工艺后，D级产品的数量减少3.下面的统计图反映了我国出租车(巡游出租车和网约出租车)客运量结构变化.第3题图(以上数据摘自《中国共享经济发展年度报告(2019)》)根据统计图提供的信息，下列推断合理的是()A. 2018年与2017年相比，我国网约出租车客运量增加了20%以上B. 2018年，我国巡游出租车客运量占出租车客运总量的比例不足60%C. 2015年至2018年，我国出租车客运的总量一直未发生变化D. 2015年至2018年，我国巡游出租车客运量占出租车客运总量的比例逐年增加4. (2019西城区二模)5G网络是第五代移动通信网络，它将推动我国数字经济发展迈上新台阶.据推测，2020年到2030年中国5G直接经济产出和间接经济产出的情况如下图所示.第4题图根据上图提供的信息，下列推断不合理的是()A. 2030年5G间接经济产出比5G直接经济产出多4.2万亿元B. 2020年到2030年，5G直接经济产出和5G间接经济产出都是逐年增长C. 2030年5G直接经济产出约为2020年5G直接经济产出的13倍D. 2022年到2023年与2023年到2024年5G间接经济产出的增长率相同5.某校为了解该校所有毕业班学生参加2019年中考一模考试的数学成绩情况(满分：150分，等次：A 等，130～150分；B等，110分～129分；C等，90分～109分；D等，89分及以下)，从该校所有参加考试的学生中随机抽取部分学生进行调查，并根据调查结果制作了如下的统计表(部分信息未给出)：下面有四个推断：①这次抽查了20名学生参加一模考试的数学成绩；②抽查学生数学成绩的中位数一定在C等级中；③抽查学生人数的众数一定在B等级中；④抽查学生数学成绩的平均数一定在97～123.2之间；所有合理推断的序号是()A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④6.某中学举行了“安全知识竞赛“，小华将所有参赛选手的成绩(得分均为整数)进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图，部分信息如下：第6题图则下列结论不正确的是()A. 频数分布直方图中“84.5～89.5“这一组人数为8人B. 参赛选手成绩的中位数一定在79.5～84.5之间C. 参赛选手成绩的平均数一定在79.2～84.1之间D. 参赛选手人数的众数一定在79.5～84.5之间7. (2019顺义区一模)下图是北京市2019年3月1日至20日的空气质量指数图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，那么在这20天中，空气质量优良天数比例是.第7题图8.(2019东城区二模)运算能力是一项重要的数学能力。
2023北京中考数学专题突破——填空压轴题(学生版)
2023北京中考数学专题突破——填空压轴题1．张老师准备为书法兴趣小组的同学购买上课的用具，在文具商店看到商店有A、B两种组合和C、D、E、F商品及它们的售价，组合及单件商品质量一样．若该小组共有12人，其中，笔和本每人各需要一份，砚台2人一方即可，墨汁n瓶（n≥3）．张老师共带了200元钱，请给出一个满足条件的购买方案（购买数量写前面商品代码写后面即可，例如：2A+3B+……）；n最多买瓶．商品价格组合A（1支笔+1个本+1方砚台+1瓶墨汁）25元组合B（1支笔+1个本+1瓶墨汁）18元C：1支笔5元D：1个本4元E：一方砚台10元F：一瓶墨汁12元2．某跨学科综合实践小组准备购买一些盒子存放实验材料．现有A，B，C三种型号的盒子，盒子容量和单价如表所示：盒子型号A B C盒子容量/升234盒子单价/元569其中A型号盒子做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返现金4元，现有28升材料需要存放且每个盒子要装满材料．（1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为2，3，4，则购买费用为元；（2）若一次性购买所需盒子且使购买费用不超过58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为.（写出一种即可）3．某快递员负责为A，B，C，D，E五个小区取送快递，每送一个快递收益1元，每取一个快递收益2元，某天5个小区需要取送快递数量如表小区需送快递数量需取快递数量A156B105C85D47E134（1）如果快递员一个上午最多前往3个小区，且要求他最少送快递30件，最少取快递15件，写出一种满足条件的方案（写出小区编号）；（2）在（1）的条件下，如果快递员想要在上午达到最大收益，写出他的最优方案（写出小区编号）．4．某快递公司的快递件分为甲类件和乙类件，快递员送甲类件每件收入1元，送乙类件每件收入2元．累计工作1小时，只送甲类件，最多可送30件，只送乙类件，最多可送10件；累计工作2小时，只送甲类件，最多可送55件，只送乙类件，最多可送20件；…，经整理形成统计表如表：12345678累计工作时长最多件数（时）种类（件）甲类件305580100115125135145乙类件1020304050607080（1）如果快递员一天工作8小时，且只送某一类件，那么他一天的最大收入为元；（2）如果快递员一天累计送x小时甲类件，y小时乙类件，且x+y＝8，x，y均为正整数，那么他一天的最大收入为元．5．甲、乙两人分别在A，B两条生产线上加工零件，在A生产线，甲、乙均是每天最少可以加工2个A零件．当连续生产时，甲第一天能加工10个A零件，每连续加工一天，加工的零件数比前一天少2个；乙第一天能加工8个A零件，每连续加工一天，加工的零件数比前一天少1个．在B生产线，甲每天加工7个B零件，乙每天加工8个B零件．在同一天内，甲和乙不能在同一条生产线上工作，且在一条生产线连续工作不少于3天时可改变生产线，改变生产线后加工时间重新计算．根据题意，得：（1）甲在A生产线连续工作3天最多能加工A零件个；（2）若一个A零件、一个B零件组成一套产品，则14天最多能加工套产品．6．某甜品店会员购买本店甜品可享受八折优惠．“五一”期间该店又推出购物满200元减20元的“满减”活动．说明：①“满减”是指购买的甜品标价总额达到或超过200元时减20元．“满减”活动只享受一次；②会员可按先享“满减”优惠再享八折优惠的方式付款，也可按先享八折优惠再享“满减”优惠的方式付款．小红是该店会员．若购买标价总额为220元的甜品，则最少需支付元；若购买标价总额为x元的甜品，按先享八折优惠再享“满减”优惠的方式付款最划算，则x的取值范围是．7．某跨学科综合实践小组准备购买一些盒子存放实验材料．现有A，B，C三种型号的盒子，盒子容量和单价如表所示：盒子型号A B C盒子容量/升234盒子单价/元569其中A型号盒子做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返现金4元，现有28升材料需要存放且每个盒子要装满材料．（1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为2，4，3，则购买费用为元；（2）若一次性购买所需盒子且使购买费用不超过58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为．（写出一种即可）8．如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a～h的小球．甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下：①每人首次取球时，只能取走2个或3个球；后续每次可取走1个，2个或3个球；②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走；③最后一个将球取完的人获胜．（1）若甲首次取走写有b，c，d的3个球，接着乙首次也取走3个球，则（填“甲”或“乙”）一定获胜；（2）若甲首次取走写有a，b的2个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是．9．为了鼓励本次模拟练习取得进步的同学，某班决定给该部分同学发放奖品，学习用品商店为了提高营业额，将商品打包促销（每个大礼包限购1个），老师发现了编号分别为A，B，C，D，E，F的六个大礼包中均含有老师需要的一、二、三等奖的奖品，每个大礼包中的各类奖品数量如下：大礼包编号一等奖（个）二等奖（个）三等奖（个）总奖品数（个）A15410B2338C3148D42511E5139F34512该班需要的总的奖品个数不超过41个，且一等奖的个数不少于8个，不超过14个，二等奖的个数不少于7个，不超过13个，且三等奖的个数最多，请同学们帮助老师写出满足条件的购买方案．（写出要购买的大礼包编号）10．现在有三个仓库A1、A2、A3，分别存有7吨、12吨、11吨某原材料；要将这种原材料运往三个加工厂B1、B2、B3，每个加工厂都需要10吨原材料．从每个仓库运送1吨材料到每个加工厂的成本如表所示（单位：元/吨）：B1B2B3 A1（7t）126A2（12t）042A3（11t）315现在要让每个仓库清仓、每个加工厂都得到足够的材料，（1）如果从A3运10吨到B1、运1吨到B2，从A1运7吨到B2，那么从A2需要运吨到B2；（2）考虑各种方案，运费最低为元．11．某公园划船项目收费标准如下：船型两人船（限乘两人）四人船（限乘四人）六人船（限乘六人）八人船（限乘八人）每船租金（元/小时）90100130150某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为元．12．盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B 盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为元．13．为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某校初三（5）班举办了“古诗词”大赛，现有小恩、小王、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第一、二、三名（没有并列），对应名次的得分分别为a，b，c（a＞b＞c且a，b，c均为正整数）分，选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，小恩同学第三轮的得分为．第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮第六轮总分小恩a a27小王a b c11小奕c b10 14．以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表，有一个炒菜锅，一个电饭煲，一个煲汤锅，两个燃气灶可用，做好这顿晚餐一般情况下至少需要分钟．准备时间（分钟）加工时间（分钟）用时种类米饭330炒菜156炒菜258汤5615．高速公路某收费站出城方向有编号为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下：收费出口编号A，B B，C C，D D，E E，A260330300360240通过小客车数量（辆）在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是．16．某生产线在同一时间只能生产一笔订单，即在完成一笔订单后才能开始生产下一笔订单中的产品．一笔订单的“相对等待时间”定义为该笔订单的等待时间与生产线完成该订单所需时间之比．例如，该生产线完成第一笔订单用时5小时，之后完成第二笔订单用时2小时，则第一笔订单的“相对等待时间”为0，第二笔订单的“相对等待时间”为，现有甲、乙、丙三笔订单，管理员估测这三笔汀单的生产时间（单位：小时）依次为a，b，c，其中a＞b＞c，则使三笔订单“相对等待时间”之和最小的生产顺序是．17．某生产基地有五台机器设备，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作获得的效益值如下表所示．若每台机器只完成一项工作，则完成五项工作的效益值总和的最大值为．工作一二三四五效益机器甲1517141715乙2223212020丙913141210丁7911911戊1315141511 18．某学习兴趣小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数，①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为；②该小组人数的最小值为．19．某陶艺工坊有A和B两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品，两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如表所示．大中小尺寸数量（个）款式A81525B01020烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品．某批次需要生产10个大尺寸陶艺品，50个中尺寸陶艺品，76个小尺寸陶艺品．（1）烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用次；（2）若A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元，则烧制这批陶艺品成本最低为元．20．某单位有10000名职工，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者．如果对每个人的血样逐一化验，需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次．假设携带该病毒的人数占0.05%．回答下列问题：（1）按照这种化验方法是否能减少化验次数（填“是”或“否”）；（2）按照这种化验方法至多需要次化验，就能筛查出这10000名职工中该种病毒的携带者．21．为美化广场环境要建花坛，一个花坛由四季海棠、三色堇、蔷薇三种花卉组成，这三种花卉的盆数同时满足以下三个条件：a．三色堇的盆数多于四季海棠的盆数；b．四季海棠的盆数多于蔷薇的盆数；c．蔷薇盆数的2倍多于三色堇的盆数．①若蔷薇的盆数为4，则四季海棠盆数的最大值为；②一个花坛花盆数量的最小值为．22．某咖啡店提供三种咖啡，其对应两种容量的价格如下表所示：咖啡品种中杯（300ml）大杯（450ml）A30元/杯45元/杯B34元/杯55元/杯C45元/杯65元/杯咖啡店开展回馈活动，凡自备容器购买咖啡者，每种中杯咖啡价格可减免2元、大杯咖啡价格可减免5元．请根据上述信息，回答下列问题：（1）店长收到顾客反映，有的咖啡品种在自备容器后，同种大杯咖啡的每毫升价格还是比中杯的贵，请问是表中的品种（填“A”，“B”或“C”）；（2）若要让所有咖啡品种在自备容器后，同种大杯咖啡的每毫升价格都比中杯的便宜，则应将大杯咖啡的价格至少减免元（减免的钱数为整数）．23．我校学生会正在策划一次儿童福利院的慰问活动．为了筹集到600元活动资金，学生会计划定制一批穿校服的毛绒小熊和带有校徽图案的钥匙扣，表格中有这两种商品的进价和售价．另外，若将一个小熊和一个钥匙扣组成一份套装出售，则将售价打九折．为了更好的制定进货方案，学生会利用抽样调查的方式统计了校内学生对商品购买意向的百分比情况（见表格），若按照这个百分比情况定制商品，至少定制小熊个和钥匙扣个，才能筹集到600元资金（即获得600元利润）．小熊钥匙扣套装进价13316售价16418购买意向40%30%25%24．某超市对某品牌袋装茶叶搞促销活动，商家将该品牌袋装茶叶按以下五种类型出售：A 类只有一袋茶叶，B类有二袋茶叶，C类有三袋茶叶，D类有五袋茶叶，E类有七袋茶叶，价格如表：种类A B C D E 单价（元/类）2036426590小云准备在该超市购买6袋上述品牌的茶叶，则购买茶叶的总费用最低为元．25．某公司生产一种营养品，每日购进所需食材500千克，制成A，B两种包装的营养品，并恰好全部用完．信息如表：规格每包食材含量每包售价A包装1千克45元B包装0.25千克12元已知生产的营养品当日全部售出．若A包装的数量不少于B包装的数量，则A为包时，每日所获总售价最大，最大总售价为元．26．小宜跟几位同学在某快餐厅吃饭，如下为此快餐厅的菜单．若他们所点的餐食总共为10份盖饭，x杯饮料，y份凉拌菜．A套餐：一份盖饭加一杯饮料B套餐：一份盖饭加一份凉拌菜C套餐：一份盖饭加一杯饮料与一份凉拌菜（1）他们点了份A套餐（用含x或y的代数式表示）；（2）若x＝6，且A、B、C套餐均至少点了1份，则最多有种点餐方案．27．小周自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为40元/盒、55元/盒、60元/盒、70元/盒．为增加销量，小周对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到80元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，小周会得到支付款的80%．（1）当x＝6时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；（2）在促销活动中，为保证小周每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为．28．为了加强学生的交通意识，保证学生的交通安全，某附中和交警大队联合举行了“交通志愿者”活动，选派部分同学和家长志愿者到学校东门和南门的若干个交通路口协助警察维持交通秩序，若每个路口安排4人，那么每个路口安排完后还剩下18人，若每个路口安排6人，那么每个路口安排完后还剩下人数不足4人，若每个路口安排7人，只有最后一个路口不足7人，则这个中学一共选派的同学和家长志愿者的总人数为．29．某快餐店的价目表如下：菜品价格汉堡（个）21元薯条（份）9元汽水（杯）12元1个汉堡+1份薯条（A套餐）28元1个汉堡+1杯汽水（B套餐）30元1个汉堡+1份薯条+1杯汽水（C套餐）38元小明和同学们一共需要10个汉堡，5份薯条，6杯汽水，那么最低需要元．30．某校初一年级68名师生参加社会实践活动，计划租车前往，租车收费标准如下：车型大巴车（最多可坐55人）中巴车（最多可坐39人）小巴车（最多可坐26人）每车租金（元∕天）900800550则租车一天的最低费用为元．第11页（共11页）。
中考数学填空题压轴题(含答案)
根据考试大纲，填空压轴题仍将以探究规律类型题为主要考察方向。
题型一：数字规律【例1】一组按一定规律排列的式子：－，，－，，…，（0a ≠）,则第n 个式子是 （n为正整数）．【答案】【例2】按一定规律排列的一列数依次为：,916,79,54,31 ……，按此规律排列下去，这列数中的第5个数是 ，第n 个数是 ．【答案】1125,122+n n【例3】一组按规律排列的整数5，7，11，19，…，第6个整数为____ _，根据上述规律，第n 个整数为____ （n 为正整数）.【答案】67；32+n （n 为正整数）【例4】将除去零以外的自然数按以下规律排列，根据第一列的奇数行的数的规律，写出第一列第9行的数为 ，再结合第一行的偶数列的数的规律，判断2011所在的位置是第 行第 列.【答案】81;第45行第15列2a 52a 83a 114a 31(1)n na n --例题精讲填空题压轴题【例5】某些植物发芽有这样一种规律：当年所发新芽第二年不发芽，老芽在以后每年都发芽.发芽规律见下表（设第一年前的新芽数为a ）第n 年 1 2 3 4 5 … 老芽率 a a 2a 3a 5a … 新芽率 0 a a 2a 3a … 总芽率a2 a3a5a8a…照这样下去，第8年老芽数与总芽数的比值为 .【解析】由规律可以看出，从第3年开始，老芽率、新芽率，总芽率都分别是前两年之和，因此，第8年的老芽为21，总芽为34，因此答案为2134． 【解析】2134题型二：多边形上存在的点数【例6】如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是 ．【解析】此类型题首先要找到边数的特点，然后找每条边上点的数目，第n 个图形是2n +边形，而且每个边上有n 个点。
【答案】(2)n n +或22n n +或2(1)1n +-【例7】用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n 个“口”字需用棋子___________【答案】4n【例8】用“O”摆出如图所示的图案，若按照同样的方式构造图案，则第10个图案需要 个“O”．① ② ③ ④ 【答案】181第2个“口”第1个“口” 第3个“口”第n 个“口”………………第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形题型三：藏头露尾型【例9】如下图是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n (n 是正整数)个图案中由 个基础图形组成．【解析】此类问题重点要找到“头是谁”“尾是谁”，①13+；②132+⨯；③133+⨯，……第n 个31n + 【答案】31n +【例10】搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②，图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要 根钢管．图1 图2 图3【答案】83．题型四：成倍数变化型【例11】如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，1AC BC ==，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与ABC ∆的BC 边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为_____．【解析】注意每一次变化所变化的倍数 【答案】81；11(2)2n n - 【例12】如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，．．．．．．依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为________； 所作的第n 个四边形的周长为_________________．【答案】2,24()2n【例13】如图，在ABC ∆中，A α∠=，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠，则1______A ∠=．1A BC ∠的平分线与1ACD ∠的平分线交于点2A ，得2A ∠，……，2009A BC ∠的平分线与2009A CD ∠的平分线交于点2010A ，得2010A ∠，则2010A ∠= ．【答案】2α,20102α(1)(2)(3)……A 2A 1DC A【例14】如图，小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形1111A B C D ，正方形1111A B C D 的面积为 ； 再把正方形1111A B C D 的各边延长一倍得到正方形2222A B C D ， 如此进行下去，正方形n n n n D C B A 的面积为 ． （用含有n 的式子表示，n 为正整数）【答案】5，n5【例15】把一个正三角形分成四个全等的三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，对剩下的三个小正三角形再重复以上做法……一直到第n 次挖去后剩下的三角形有 个．第一次 第二次 第三次 第四次【答案】3n题型五：相似与探究规律【例16】已知ABC AB AC m ∆==中，，72ABC ∠=︒，1BB 平分ABC ∠交AC 于1B ，过1B 作12B B //BC交AB 于2B ，作23B B 平分21AB B ∠，交AC 于3B ，过3B 作34//B B BC ，交AB 于4B ……依次进行下去，则910B B 线段的长度用含有m 的代数式可以表示为 .【答案】m 6215⎪⎪⎭⎫⎝⎛-【例17】如图，矩形纸片ABCD 中，6,10AB BC ==.第一次将纸片折叠，使点B 与点D 重合，折痕与BD交于点1O ；设1O D 的中点为1D ，第二次将纸片折叠使 点B 与点1D 重合，折痕与BD 交于点2O ；设21O D 的中点 为2D ，第三次将纸片折叠使点B 与点2D 重合，折痕与BD 交于点3O ，… .按上述方法折叠，第n 次折叠后的折痕与BD 交于点n O ，则1BO = ，n BO = ．第一次折叠 第二次折叠 第三次折叠【答案】2；12332n n -- B AD C 1O 1O 2O 1D 1D 2D 1O 2O 3O B AD C B ADCBA DC【例18】如图，直线x y 33=，点1A 坐标为（1，0），过点1A 作x 轴的垂线交直线于点1B ，以原点O 为圆心，1OB 长为半径画弧交x 轴于点2A ；再过点2A 作x 轴的垂线 交直线于点2B ，以原点O 为圆心，2OB 长为半径画弧交x 轴于 点3A ，…，按此做法进行下去，点4A 的坐标为（ ， ）； 点n A （ ， ）．【答案】（938，0）（1)332(-n ，0） 【例19】如图，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形1ABA ，再以等腰直角三角形1ABA 的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形11A BB ，……，如此作下去，若1OA OB ==，则第n 个等腰直角三角形的面积n S = ________（n 为正整数）.【解析】由题干可知：123124 (222)S S S ===，，可知22n n S -=【答案】22n -【例20】如图，n +1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设211B D C ∆的面积为1S ，322B D C ∆的面积为2S ，…，1n n n B D C +∆的面积为n S ，则2S = ；n S =____ （用含n 的式子表示）．【答案】233,31nn + 【例21】如图，P 为ABC ∆的边BC 上的任意一点，设BC a =，当1B 、1C 分别为AB 、AC 的中点时，1112B C a =，当2B 、2C 分别为1BB 、1CC 的中点时，2234B C a =，当3B 、3C 分别为2BB 、2CC 的中点时，3378B C a =，当4B 、4C 分别为3BB 、3CC 的中点时，441516B C a =当5B 、5C 分别为4BB 、4CC 的中点时，55_____B C =当n B 、n C 分别为1n BB -、1n CC -的中点时，则n n B C = ；设ABC ∆中BC 边上的高为h ，则n n PB C ∆的面积为______(用含a 、h 的式子表示)．【答案】a 3231,a n n 212-, ah n n 12212+-D 4D 3D 2D 1C 5C 4C 3C 2C 1B 5B 4B 3B 2B 1A……B 2B 1A 1BOAC 3B 3B 2C 2C 1B 1CBA【例22】如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，AB a =，CD b =，E 为边AD 上的任意一点，EF AB ∥，且EF 交BC 于点F ．若E 为边AD 上的中点，则______EF =（用含有a ，b 的式子表示）；若E 为边AD 上距点A 最近的n 等分点（2n ≥，且n 为整数），则______EF =（用含有n ，a ，b 的式子表示）．【答案】2a b +；(1)b n an+-【例23】已知在ABC ∆中，BC a =.如图1，点1B 、1C 分别是AB 、AC 的中点，则线段11B C 的长是_______； 如图2，点1B 、2B ,1C 、2C 分别是AB 、AC 的三等分点，则线段1122B C B C +的值是__________；如图3, 点12......、、、n B B B ，12......、、、n C C C 分别是AB 、AC 的(1)n +等分点，则线段1122n n B C B C B C ++⋅⋅⋅+的值是 ______.【答案】1,2a a ,12na 【例24】已知：如图，在Rt ABC ∆中，点1D 是斜边AB 的中点，过点1D 作11D E AC ⊥于点1E ，连接1BE 交1CD 于点2D ；过点2D 作22D E AC ⊥于点2E ，连接2BE ，交1CD 于点3D ；过点3D 作33D E AC ⊥于点3E ，如此继续，可以依次得到点4D 、5D 、…n D ， 分别记11BD E ∆、22BD E ∆、33BD E ∆、…n n BD E ∆的面积 为1S 、2S 、3S …n S ．设ABC ∆的面积是1,则1______S =， ______n S =（用含n 的代数式表示）.【答案】14，21(1)n +题型六：折叠与探究规律【例25】如图，将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．设2AB =，当12CE CD =时，则________AMBN=． 若1CE CD n =（n 为整数），则_______AM BN=．（用含n 的式子表示） 【答案】15；1)1(22+-n n【例26】如图，正方形ABCD ，E 为AB 上的动点，（E 不与A 、B 重合）连接DE ，作DE 的中垂线，交图3图2图12n-1B 2C 2A BCB 1C 1C 1B 1CBA FE D CBANMFEDCBAB321AD 于点F ．⑴若E 为AB 中点，则______DFAE= ⑵若E 为AB 的n 等分点(靠近点A )，则________DFAE= 【答案】251,42n n+题型七：其他类型【例27】图1是一个八角星形纸板，图中有八个直角，八个相等的钝角,每条边都相等.如图2将纸板沿虚线进行切割，无缝隙无重叠的拼成图3所示的大正方形,其面积为8+3中线段AB 的长为 .图1 图2 图31+【例28】如图，1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形34,,,,n P P P ，记纸板n P 的面积为n S ，试计算求出=-23S S ；并猜想得到1n n S S --=()2n ≥【答案】1)41(2,32---n ππ【例29】如图，图①是一块边长为1，周长记为1P 的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为12的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的21）后，得图③，④，…，记第)3(≥n n 块纸板的周长为n P ，则=-34P P ；1--n n P P = ．P 3P 2P 1【答案】81,121-⎪⎭⎫⎝⎛n【例30】已知一个面积为S 的等边三角形，现将其各边n （n 为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）．当8n =时，共向外作出了 个小等边三角形；当n k =时，共向外作出了 个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和是 （用含k 的式子表示）．【答案】18； 【例31】在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为(10)，，点D 的坐标为(02)，．延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形111A B C C ；延长11C B 交x 轴于点2A ，作正方形2221A B C C …按这样 的规律进行下去，第3个正方形的面积为________；第n 个正方形的面积为___________（用含n 的代数式表示）．【答案】4235）（,22235-⎪⎭⎫ ⎝⎛n【例32】如图所示，111()P x y ，、222()P x y ，，……()n n n P x y ，在函数4y x=(0x >)的图象上，11OP A ∆，212P A A ∆，323P A A ∆…1n n n P A A -∆都是等腰三角形，斜边1OA 、12A A …1n n A A -，都在x 轴上， 则1_____y =，12______n y y y ++⋅⋅⋅+=【答案】2 , 2n【例33】如图所示，直线1+=x y 与y 轴交于点1A ，以1OA 为边作正方形111OA B C ，然后延长11C B 与直线1+=x y 交于点2A ，得到第一个梯形112AOC A ；再以12C A 为边作正方形1222C A B C ，同样延长22C B 与直线1+=x y 交于点3A 得到第二个梯形2123A C C A ；，再以23C A 为边作正方形2333C A B C ，延长33C B ，得到第三个梯形；……则第2个梯形2123A C C A 的面积是 ；第n （n 是正整数）个梯形的面积是 （用含n 的式子表示）．3(-2)k 23(2)k s k-n =3n =5……n =4① ② ③ ④C 2B 2A 2C 1B 1A 1DC B AO yx【答案】6；2n 2223-⨯或1n 423-⨯【例34】在平面直角坐标系中，我们称边长为1且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点 正方形，如图，菱形ABCD 的四个顶点坐标分别是(80)-，，(04)，，(80)，，(04)-，，则菱形ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是_______个；若菱形n n n n A B C D 的四个顶点坐标分别为(20)-，n ， (0)，n ，(20)，n ，(0)-，n （n 为正整数）， 则菱形n n n n A B C D 能覆盖的单位格点正方形的 个数为_________（用含有n 的式子表示）．【答案】单位格点个数为48，单位格点个数为n n 442-【例35】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形1111A B C D 、2222A B C D 、3333A B C D 每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形10101010A B C D 四条边上的整点共有 个．【答案】80【例36】对于每个正整数n ，抛物线2211(1)(1)n n n n n y x x +++=-+与x 轴交于n A ，n B 两点，若n n A B 表示这两点间的距离，则n n A B = （用含n 的代数式表示）；112220112011A B A B A B +++的值为 ．【答案】()20122011,11+n nyxOD 1D 2D 3C 1C 2C 3B 1B 2B 3A 3A 2A 1123-1-2-3-3-2-1321-8-448ODC BAyx。
【北京专版】2019中考数学 专题突破一 填空压轴题型作业手册
填空压轴题型规律探究性问题的解答需要学生经历观察、分析、归纳、概括、推理、检验等一系列探索活动、对学生的“数感”提出较高要求．新定义题型就是指通过试题提供的新定义、新规则、新概念、新材料来创设新情景、提升类比迁移等综合素质．因此、这两个考点成为北京市中考填空题压轴题的热点．1．[2015·北京] 阅读下面材料： 在数学课上、老师提出如下问题： 尺规作图：作一条线段的垂直平分线． 已知：线段AB.图Z1－1求作：线段AB 的垂直平分线． 小芸的作法如下： 如图、图Z1－2(1)分别以点A 和点B 为圆心、大于12AB 的长为半径作弧、两弧相交于C 、D 两点；(2)作直线CD .所以直线CD 就是的所求作的垂直平分线． 老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是______________________．2．[2014·北京] 在平面直角坐标系xOy 中、对于点P (x 、y )、我们把点P ′(－y ＋1、x ＋1)叫做点P 的伴随点、已知点A 1的伴随点为A 2、点A 2的伴随点为A 3、点A 3的伴随点为A 4、这样依次得到点A 1、A 2、A 3…、A 4…、若点A 1的坐标为(3、1)、则点A 3的坐标为________、点A 2014的坐标为________；若点A 1的坐标为(a 、b )、对于任意正整数n 、点A n 均在x 轴上方、则a 、b 应满足的条件为__________________．3．[2013·北京] 如图Z1－3、在平面直角坐标系xOy 中、已知直线l ：t ＝－x －1、双曲线y ＝1x .在l 上取点A 1、过点A 1作x 轴的垂线交双曲线于点B 1、过点B 1作y 轴的垂线交l 于点A 2、请继续操作并探究：过点A 2作x 轴的垂线交双曲线于点B 2、过点B 2作y 轴的垂线交l 于点A 3、…、这样依次得到l 上的点A 1、A 2、A 3、…、A n 、….记点A n 的横坐标为a n 、若a 1＝2、则a 2＝________、a 2013＝________；若要将上述操作无限次地进行下去、则a 1不能取．．．的值是________图Z1－34．[2012·北京] 在平面直角坐标系xOy 中、我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点、已知点A (0、4)、点B 是x 轴正半轴上的整点、记△AOB 内部(不包括边界)的整点个数为m .当m ＝3时、点B 的横坐标的所有可能值是________；当点B 的横坐标为4n (n 为正整数)时、m ＝________________(用含n 的代数式表示)．图Z1－45．[2011·北京] 在下表中、我们把第i 行第j 列的数记为a i 、j (其中i 、j 都是不大于5的正整数)、对于表中的每个数a i 、j 规定如下： 当i ≥j 时、a i 、j ＝1；当i <j 时、a i 、j ＝0.例如：当i ＝2、j ＝1时、a i 、j ＝a 2、1＝1.按此规定、a 1、3＝________；表中的25个数中、共有______个1；计算a 1、1·a i 、1＋a 1、2·a i 、2＋a 1、3·a i 、3＋a 1、4·a i 、4＋a 1、5·a i 、5的值为________．一、与数与式有关的规律探究1．[2015·朝阳一模] 一组按规律排列的式子：2a 、－5a 2、10a 3、－17a 4、26a5、…、其中第7个式子是________、第n 个式子是________(用含n 的式子表示、n 为正整数)．二、与图形有关的规律探究2．[2015·西城一模] 如图Z1－5、数轴上点A 的初始位置表示的数为1、现点A 做如下移动：第1次点A 向左移动3个单位长度至点A 1、第2次从点A 1向右移动6个单位长度至点A 2、第3次从点A 2向左移动9个单位长度至点A3、…、按照这种移动方式进行下去、点A4表示的数是________、如果点A n与原点的距离不小于20、那么n的最小值是________．图Z1－53．[2014·延庆县一模] 如图Z1－6、点E、D分别是正三角形ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的一边延长线和另一边延长线上的点、且BE＝CD、DB的延长线交AE于点F、则图①中∠AFB的度数为________；若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正n边形”、其他条件不变、则∠AFB 的度数为________．(用含n的代数式表示、其中、n≥3且n为整数)图Z1－64．[2014·昌平区一模] 已知：四边形ABCD的面积为1.如图Z1－7①、取四边形ABCD各边的中点、则图中阴影部分的面积为________；如图Z1－7②、取四边形ABCD各边的三等分点、则图中阴影部分的面积为________；…；取四边形ABCD各边的n(n为大于1的整数)等分点、则图中阴影部分的面积为________．图Z1－7三、平面直角坐标系中的规律探究5．[2014·石景山一模] 在平面直角坐标系xOy中、已知直线l：y＝x、作A1(1、0)关于直线y＝x的对称点B1、将点B1向右平移2个单位得到点A2；再作A2关于直线y＝x的对称点B2、将点B2向右平移2个单位得到点A3；….请继续操作并探究：点A3的坐标是________、点B2014的坐标是________．6．[2015·房山一模] 如图Z1－8、在平面直角坐标系中放置了5个正方形、点B1(0、2)在y轴上、点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上、C1的坐标是(1、0)、B1C1∥B2C2∥B3C3.则点A1到x轴的距离是________、点A2到x轴的距离是________、点A3到x轴的距离是________．图Z1－87．[2015·东城一模] 在平面直角坐标系xOy中、记直线y＝x＋1为l.点A1是直线l与y轴的交点、以A1O为边作正方形A1OC1B1、使点C1落在x轴正半轴上、作射线C1B1交直线l于点A2、以A2C1为边作正方形A2C1C2B2、使点C2落在x轴正半轴上、依次作下去、得到如图Z1－9所示的图形．则点B4的坐标是________、点B n的坐标是________．图Z1－98．[2014·丰台一模] 如图Z1－10、已知直线l ：y ＝33x 、点A 1坐标为(0、1)、过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1、以原点O 为圆心、OB 1长为半径画弧交y 轴于一点A 2；再过点A 2作y 轴的垂线交直线l 于点B 2、以原点O 为圆心、OB 2长为半径画弧交y 轴于点A 3、…、按此作法进行下去、点A 4的坐标为(________、________)；点A n 的坐标为(________、________)．图Z1－109．[2014·顺义一模] 如图Z1－11、所有正三角形的一边平行于x 轴、一顶点在y 轴上．从内到外、它们的边长依次为2、4、6、8、…、顶点依次用A 1、A 2、A 3、A 4、…表示、其中x 轴与边A 1A 2、边A 1A 2与A 4A 5、A 4A 5与A 7A 8、…均相距一个单位长度、则顶点A 3的坐标为________、A 31的坐标为________、A 3n －2(n 为正整数)的坐标为________．图Z1－1110．[2014·通州一模] 如图Z1－12、在反比例函数y ＝4x (x ≥0)的图象上、有点P 1、P 2、P 3、P 4、…、P n (n为正整数、且n ≥1)、它们的横坐标依次为1、2、3、4、…、n (n 为正整数、且n ≥1)．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线、连接相邻两点、图中所构成的阴影部分(近似看成三角形)的面积从左到右依次为S 1、S 2、S 3、…、S n －1(n 为正整数、且n ≥2)、那么S 1＋S 2＋S 3＝________、S 1＋S 2＋S 3＋S 4＋…＋S n －1＝________(用含有n 的代数式表示)．图Z1－1211．[2014·燕山一模] 如图Z1－13、在平面直角坐标系中、已知点P 0的坐标为(1、0)、将线段OP 0绕点O 按顺时针方向旋转45°、再将其长度伸长为OP 0的2倍、得到线段OP 1；又将线段OP 1绕点O 按顺时针方向旋转45°、再将其长度伸长为OP 1的2倍、得到线段OP 2、…、这样依次得到线段OP 3、OP 4、…、OP n .则点P 2的坐标为________；当n ＝4m ＋1(m 为自然数)时、点P n 的坐标为________________．图Z1－1312．[2014·西城一模] 如图Z1－14、在平面直角坐标系xOy 中、点A (1、0)、B (2、0)、正六边形ABCDEF 沿x 轴正方向无滑动滚动、当点D 第一次落在x 轴上时、点D 的坐标为________；在运动过程中、点A 的纵坐标的最大值是________；保持上述运动过程、经过点(2014、3)的正六边形的顶点是________．图Z1－1413．[2015·东城二模] 如图Z1－15、已知A 1、A 2、…、A n 、A n ＋1在x 轴上、且OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A n A n ＋1＝1、分别过点A 1、A 2、…、A n 、A n ＋1作x 轴的垂线交直线y ＝x 于点B 1、B 2、…、B n 、B n ＋1、连接A 1B 2、B 1A 2、A 2B 3、B 2A 3、…、A n B n ＋1、B n A n ＋1、依次相交于点P 1、P 2、P 3、…、P n 、△A 1B 1P 1、△A 2B 2P 2、…、△A n B n P n 的面积依次记为S 1、S 2、…、S n 、则S 1＝________、S n ＝________．图Z1－15四、定义新运算14．[2014·东城一模] 现定义运算“★”、对于任意实数a 、b 、都有a ★b ＝a 2－3a ＋b 、如：3★5＝32－3×3＋5、根据定义的运算求2★(－1)＝________．若x ★2＝6、则实数x 的值是________．15．[2015·燕山一模] 定义：对于任意一个不为1的有理数a 、把11－a 称为a 的差倒数、如2的差倒数为11－2＝－1、－1的差倒数为11－（－1）＝12.记a 1＝12、a 2是a 1的差倒数、a 3是a 2的差倒数、a 4是a 3的差倒数、…、依此类推、则a 2＝________、a 2015＝________．16．[2015·海淀一模] 若三角形的某一边长等于其外接圆半径、则将此三角形称为等径三角形、该边所对的角称为等径角．已知△ABC 是等径三角形、则等径角的度数为________．17．[2014·海淀一模] 在一次数学游戏中、老师在A 、B 、C 三个盘子里分别放了一些糖果、糖果数依次为a 0、b 0、c 0、记为G 0＝(a 0、b 0、c 0)．游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同、则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个、给另外两个盘子各放一个(若有两个盘子中的糖果数相同、且都多于第三个盘子中的糖果数、则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果)、记为一次操作．若三个盘子中的糖果数都相同、则游戏结束．n 次操作后的糖果数记为G n ＝(a n 、b n 、c n )． (1)若G 0＝(4、7、10)、则第________次操作后游戏结束；(2)小明发现：若G 0＝(4、8、18)、则游戏永远无法结束、那么G 2014＝________．18．[2015·海淀模拟] 对于正整数n 、定义F (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，n <10f （n ），n ≥10、其中f (n )表示n 的首位数字、末位数字的平方和．例如：F (6)＝62＝36、F (123)＝f ()123＝12＋32＝10.规定F 1(n )＝F (n )、F k ＋1(n )＝F (F k (n ))(k 为正整数)．例如：F 1()123＝F ()123＝10、F 2(123)＝F (F 1(123))＝F (10)＝1.(1)求：F 2(4)＝________、F 2015(4)＝________；(2)若F 3m (4)＝89、则正整数m 的最小值是________．19．[2015·海淀二模] 五子棋是一种两人对弈的棋类游戏、规则是：在正方形棋盘中、由黑方先行、白方后行、轮流弈子、下在棋盘横线与竖线的交叉点上、直到某一方首先在任一方向(横向、竖向或者是斜着的方向)上连成五子者为胜．如图Z1－16、这一部分棋盘是两个五子棋爱好者的对弈图．观察棋盘、以点O 为原点、在棋盘上建立平面直角坐标系、将每个棋子看成一个点、若黑子A 的坐标为(7、5)、则白子B 的坐标为________；为了不让白方在短时间内获胜、此时黑方应该下在坐标为________的位置处．图Z1－16参考答案1.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线 2．(－3、1) (0、4) －1＜a ＜1且0＜b ＜2 [解析] ∵A 1的坐标为(3、1)、∴A 2(0、4)、A 3(－3、1)、A 4(0、－2)、A 5(3、1)、 …、依此类推、每4个点为一个循环组依次循环、 ∵2014÷4＝503……2、∴点A 2014的坐标与A 2的坐标相同、为(0、4)； ∵点A 1的坐标为(a 、b )、∴A 2(－b ＋1、a ＋1)、A 3(－a 、－b ＋2)、A 4(b －1、－a ＋1)、A 5(a 、b )、 …、以此类推、每4个点为一个循环组依次循环、 ∵对于任意的正整数n 、点A n 均在x 轴上方、∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，－a ＋1＞0，⎩⎪⎨⎪⎧－b ＋2＞0，b ＞0， 解得－1＜a ＜1、0＜b ＜2.3．－32 －13 0、－1 [解析] 当a 1＝2时、B 1的纵坐标为b 1＝12、B 1的纵坐标和A 2的纵坐标相同、则A 2的横坐标为a 2＝－32、 A 2的横坐标和B 2的横坐标相同、则B 2的纵坐标为b 2＝－23、 B 2的纵坐标和A 3的纵坐标相同、则A 3的横坐标为a 3＝－13、 A 3的横坐标和B 3的横坐标相同、则B 3的纵坐标为b 3＝－3、 B 3的纵坐标和A 4的纵坐标相同、则A 4的横坐标为a 4＝2、 A 4的横坐标和B 4的横坐标相同、则B 4的纵坐标为b 2＝12、即当a 1＝2时、a 2＝－32、a 3＝－13、a 4＝2、a 5＝－32、b 1＝12、b 2＝－23、b 3＝－3、b 4＝12、b 5＝－23、∵20133＝671、∴a 2013＝a 3＝－13； 点A 1不能在y 轴上(此时找不到B 1)、即x ≠0、点A 1不能在x 轴上(此时A 2在y 轴上、找不到B 2)、即y ＝－x －1≠0、 解得x ≠－1.综上可得a 1不可取0、－1.4．3或4 6n －3 [解析] 如图：当点B 在(3、0)点或(4、0)点时、△AOB 内部(不包括边界)的整点为点(1、1)、(1、2)、(2、1)、共三个点、所以当m ＝3时、点B 的横坐标的所有可能值是3或4.当点B 的横坐标为8时、n ＝2、△AOB 的内部(不包括边界)的整点个数m ＝（4×2＋1－2）×3－32＝9.当点B 的横坐标为12时、n ＝3、△AOB 的内部(不包括边界)的整点个数m ＝（4×3＋1－2）×3－32＝15.所以当点B 的横坐标为4n (n 为正整数)时、m ＝（4×n＋1－2）×3－32＝6n －3.5．0 15 1 [解析] 由题意当i ＜j 时、a i 、j ＝0、当i ≥j 时、a i 、j ＝1；由图表中可以很容易知道等于1的数有15个．由题意、很容易发现、从i 与j 之间大小关系分析： 当i ＜j 时、a i 、j ＝0； 当i ≥j 时、a i 、j ＝1、∴a 1、1·a i 、1＋a 1、2·a i 、2＋a 1、3·a i 、3＋a 1、4·a i 、4＋a 1、5·a i 、5＝1×1＋0＋0＋0＋0＝1.一、与数与式有关的规律探究1.50a 7 (－1)n ＋1·n 2＋1a n [解析] 观察分母的变化为a 的1次幂、2次幂、3次幂、…、n 次幂；分子的变化为：2、5、10、17、…、n 2＋1；分式符号的变化为：＋、－、＋、－、…、(－1)n ＋1.∵2a ＝(－1)2·12＋1a1、－5a2＝(－1)3·22＋1a2、10a3＝(－1)4·32＋1a3、…∴第7个式子是50a7、第n 个式子为：(－1)n ＋1·n 2＋1an .二、与图形有关的规律探究2．7 13 [解析] 序号为奇数的点在点A 的左边、各点所表示的数依次减少3、序号为偶数的点在点A 的右侧、各点所表示的数依次增加3、于是可得到A 13表示的数以及A 12表示的数、则可判断A n 与原点的距离不小于20时n 的最小值．第1次点A 向左移动3个单位长度至点A 1、则A 1表示的数为1－3＝－2； 第2次点A 1向右移动6个单位长度至点A 2、则A 2表示的数为－2＋6＝4； 第3次点A 2向左移动9个单位长度至点A 3、则A 3表示的数为4－9＝－5； 第4次点A 3向右移动12个单位长度至点A 4、则A 4表示的数为－5＋12＝7. 第5次点A 4向左移动15个单位长度至点A 5、则A 5表示的数为7－15＝－8； …则点A 7表示的数为－8－3＝－11、点A 9表示的数为－11－3＝－14、A 11表示的数为－14－3＝－17、A 13表示的数为－17－3＝－20、A 6表示的数为7＋3＝10、A 8表示的数为10＋3＝13、A 10表示的数为13＋3＝16、A 12表示的数为16＋3＝19、 所以如果点A n 与原点的距离不小于20、那么n 的最小值是13. 3．60°（n －2）·180°n[解析] (1)在①中的正三角形ABC 中、AB ＝BC 、∠ABC ＝∠ACB ＝60°、∴∠ABE ＝∠BCD ＝120°、 又∵BE ＝CD 、 ∴△ABE ≌△BCD 、 ∴∠E ＝∠D 、又∵∠FBE ＝∠CBD 、∴∠AFB ＝∠E ＋∠FBE ＝∠D ＋∠CBD ＝∠ACB ＝60°.由以上不难得到②中△AEB ≌△BDC 、进一步证出③中△BEF ∽△BDC 、得出、②中∠AFB 的度数等于∠DCB ＝90°、同理可得③中∠AFB 度数等于∠BCM ＝108°.(2)由正三角形、正四边形、正五边形时、∠AFB 的度数分别为60°、90°、108°、可得出正n 边形中、其他条件不变、则∠AFB 的度数为（n －2）·180°n.4.12 79 1－2n2 [解析] 如图①、连接AC 、BD.∵点A 1、D 1是边AB 、AD 的中点、 ∴A 1、D 1是△ABD 的中位线、 ∴A 1D 1∥BD 、A 1D 1＝12BD 、∴△AA 1D 1∽△ABD 、 ∴S △AA 1D 1S △ABD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫A 1D 1BD 2＝14、∴S △AA 1D 1＝14S △AB D .同理、S △CB 1C 1＝14S △BCD 、S △BA 1B 1＝14S △ABC 、S △DD 1C 1＝14S △ACD 、∴S 阴影＝S 四边形ABCD －(S △AA 1D 1＋S △CB 1C 1＋S △BA 1B 1＋S △DD 1C 1)＝1－14(S △ABD ＋S △BCD ＋S △ABC ＋S △ACD )＝1－24S 四边形ABCD＝1－12＝12.如图②同理可得S 阴影＝1－19(S △ABC ＋S △BCD ＋S △ABC ＋S △ACD )＝1－29S 四边形ABCD ＝1－29＝79.当取四边形ABCD 各边的n (n 为大于1的整数)等分点时、则S 阴影＝1－1n 2(S △ABD ＋S △BCD ＋S △ABC ＋S △ACD )＝1－2n 2S 四边形ABCD ＝1－2n2.三、平面直角坐标系中的规律探究5．(3、2) (2013、2014) [解析] 根据题意画出图象、进而得出各点坐标变化规律进而得出答案． 如图所示：点A 3的坐标是(3、2)、∵B 1(0、1)、B 2(1、2)、B 3(2、3)、 ∴B 点横坐标比纵坐标小1、∴点B 2014的坐标是：(2013、2014)． 故答案为：(3、2)、(2013、2014)． 6．3 32 347．(15、8) (2n－1、2n －1) [解析] 根据一次函数、得出点A 1、A 2的坐标、继而得知B 1、B 2等点的坐标、从中找出规律、进而可求出B n 的坐标． 把x ＝0代入y ＝x ＋1、可得y ＝1、 所以可得点B 1的坐标是(1、1)．把x ＝1代入直线y ＝x ＋1、可得y ＝2、 所以可得点B 2的坐标是(3、2)、同理可得点B 3的坐标是(7、4)；点B 4的坐标是(15、8)；由以上得出规律是B n 的坐标为(2n －1、2n －1)．[点评] 本题考查了正方形的性质、解此题的关键是根据一次函数的图象上点的坐标得出规律、题目比较好、但是一道比较容易出错的题目． 8．0 8 0 2n －1 [解析] 已知直线y ＝33x 、点A 1坐标为(0、1)、过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1、可知B 1点的坐标为(3、1)、以原点O 为圆心、OB 1长为半径画弧交y 轴于点A 2、OA 2＝OB 1＝2OA 1＝2、点A 2的坐标为(0、2)、 这种方法可求得B 2的坐标为(2 3、2)、故点A 3的坐标为(0、4)、点A 4的坐标为(0、8)、此类推便可求出点A n 的坐标为(0、2n －1)．9．(0、1－3) (－11、11) (－n 、n ) [解析] ∵从内到外、它们的边长依次为2、4、6、8、…、顶点依次用A 1、A 2、A 3、A 4、…表示、其中x 轴与边A 1A 2、边A 1A 2与A 4A 5、A 4A 5与A 7A 8、…均相距一个单位长度、 ∴A 1A 2＝2、A 1E ＝1、A 1(－1、1)、同理可得出：4(－2、2)、7(－3、3)、…∵4＝2×3－2、7＝3×3－2、10＝4×3－2、…、31＝11×3－2、∴A 31的坐标为：(－11、11)、∴A 3n －2(n 为正整数)的坐标为(－n 、n )．10.32 2－2n [解析] 当x ＝1时、P 1的纵坐标为4、当x ＝2时、P 2的纵坐标为2、当x ＝3时、P 3的纵坐标为43、当x ＝4时、P 4的纵坐标为1、当x ＝5时、P 5的纵坐标为45、…则S 1＝12×1×(4－2)＝1＝2－1；S 2＝12×1×(2－43)＝13＝1－23；S 3＝12×1×(43－1)＝16＝23－24；∴S 1＋S 2＋S 3＝2－1＋1－23＋23－24＝2－24＝32；S 4＝12×1×(1－45)＝110＝24－25；…S n －1＝2n －1－2n ； ∴S 1＋S 2＋S 3＋S 4＋…＋S n －1 ＝2－1＋1－23＋23－24＋…＋2n －1－2n＝2－2n .故答案为32、2－2n .根据点P 0坐标可求出OP 0、然后分别求出OP 1、OP 2、OP 3、OP 4、…、OP n 、再根据点P 2在y 轴负半轴上写出P 2的坐标即可；分n 是正奇数和n 是0和正偶数两种情况确定出点P n 所在的象限、然后根据等腰直角三角形的性质写出坐标即可、∵P 0的坐标为(1、0)、∴OP 0＝1.∴OP 1＝2、OP 2＝2×2＝22、OP 3＝22×2＝23、OP 4＝23×2＝24、…、OP n ＝2n －1×2＝2n .∵每次旋转45°、点P 0在x 轴正半轴上、 ∴点P 2在y 轴负半轴上．∴点P 2的坐标为(0、－4)．∵OP n 为所在象限的平分线、①m 为正奇数时、点P n 在第二象限、②m 为0和正偶数时、点P n 在第四象限．综上所述、点P n 的坐标为(－2·2n －1、2·2n －1)(m 为正奇数)、(2·2n －1、－2·2n －1)(m 为0和正偶数)12．(4、0) 2 A 或C [解析] ∵点A (1、0)、B (2、0)、∴OA ＝1、OB ＝2、∴正六边形的边长为：AB ＝1、∴当点D 第一次落在x 轴上时、OD ＝2＋1＋1＝4、此时点D 的坐标为：(4、0)．如图所示：当滚动到A ′D ⊥x 轴时、E 、F 、A 的对应点分别是E ′、F ′、A ′、连接A ′D 、过点F ′、E ′作F ′G ⊥A ′D 、E ′H ⊥A ′D 、垂足分别为G 、H 、∵六边形ABCDEF 是正六边形、∴∠A ′F ′G ＝30°、∴A ′G ＝12A ′F ′＝12、 同理可得：HD ＝12、 ∴A ′D ＝2、∴在运动过程中、点A 的纵坐标的最大值是2. ∵正六边形滚动6个单位长度时正好滚动一周、∴A 点从点(1、0)开始到点(2014、3)、正六边形正好滚动2013个单位长度．∵20136＝335……3、 ∴恰好滚动335周多3个、A ′点的纵坐标为3、∴会过点(2014、3)的是点A 、当点E 在(2014、0)位置时、则点F 在(2015、0)位置、此时C 点在E 点的正上方、CE ＝3、所以C 点也符合题意．13.16 n 24n ＋2[解析] ∵A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n ＋1是x 轴上的点、且OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A n A n ＋1＝1、分别过点A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n ＋1作x 轴的垂线交直线y ＝x 于点B 1、B 2、…、B n 、B n ＋1、∴依题意得：B 1(1、1)、B 2(2、2)、B 3(3、3)、…、B n (n 、n )．∵A 1B 1∥A 2B 2、∴△A 1B 1P 1∽△B 2A 2P 1、∵A 1B 1A 2B 2＝12、 ∴△A 1B 1P 1与△A 2B 2P 1对应高的比为1∶2.∵A 1A 2＝1、∴A 1B 1边上的高为13、 ∴S △A 1B 1P 1＝13×1×12＝16、 同理可得：S △A 2B 2P 2＝25、S △A 3B 3P 3＝914、 ∴S n ＝n 24n ＋2. 故答案为16、n 24n ＋2. 四、定义新运算14．－3 －1或4 [解析] ∵a ★b ＝a 2－3a ＋b 、x ★2＝6、∴x 2－3x ＋2＝6、解得x ＝－1或x ＝4.15．2 2 [解析] 首先根据a 1＝12、可得a 2＝11－a 1＝11－12＝2、a 3＝11－a 2＝11－2＝－1、a 4＝11－a 3＝11－（－1）＝12、…、所以这列数是12、2、－1、12、2、－1、…、每3个数是一个循环、然后用2015除以3、求出一共有多少个循环、还剩下几个数、进而判断出a 2015的值是多少即可．16．30°或150° [解析] 根据边长等于半径时、边长所对的圆心角为60°、根据圆周角与圆心角的关系和圆内接四边形的性质求出等径角的度数．如图、边AB 与半径相等时、则∠AOB ＝60°、当等径角的顶点为C 时、∠C ＝12∠AOB ＝30°、 当等径角顶点为D 时、∠C ＋∠D ＝180°、∠D ＝150°、故答案为：30°或150°.17．(1)3 (2)(11、9、10) [解析] (1)若G 0＝(4、7、10)、第一次操作结果为G 1＝(5、8、8)、第二次操作结果为G 2＝(6、6、9)、第三次操作结果为G3＝(7、7、7)、所以经过3次操作后游戏结束．(2)若G0＝(4、8、18)、则G1＝(5、9、16)、G2＝(6、10、14)、G3＝(7、11、12)、G4＝(8、12、10)、G5＝(9、10、11)、G6＝(10、11、9)、G7＝(11、9、10)、G8＝(9、10、11)、G9＝(10、11、9)、G10＝(11、9、10)、…由此看出从G5开始3个一循环、(2014－4)÷3＝670、所以G2014与G7相同、也就是(11、9、10)．18．(1)37 26 (2)6 [解析] 通过观察前8个数据、可以得出规律、这些数字7个一循环、根据这些规律计算即可．(1)F2(4)＝F(F1(4))＝F(16)＝12＋62＝37；F1(4)＝F(4)＝16、F2(4)＝37、F3(4)＝58、F4(4)＝89、F5(4)＝145、F6(4)＝26、F7(4)＝40、F8(4)＝16、…、通过观察发现、这些数字7个一个循环、2015是7的287倍余6、因此F2015(4)＝F6(4)＝26.(2)由(1)知、这些数字7个一个循环、F4(4)＝89＝F18(4)、因此3m＝18、所以m＝6.19．(5、1) (3、7)或(7、3)[解析] 根据题意得、白子点B的坐标为(5、1)．因为白方已把(4、6)、(5、5)、(6、4)三点凑在一条直线上、黑方只有在此三点两端任加一点即可保证不会让白方在短时间内获胜、即位置(3、7)或(7、3)．。
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北京市中考数学专题突破一：填空压轴题型（含答案）专题突破(一)填空压轴题型规律探究性问题的解答需要学生经历观察、分析、归纳、概括、推理、检验等一系列探索活动，对学生的“数感”提出较高要求．新定义题型就是指通过试题提供的新定义、新规则、新概念、新材料来创设新情景，提升类比迁移等综合素质．因此，这两个考点成为北京市中考填空题压轴题的热点．2012—2015年北京中考知识点对比题型年份2012201320142015填空探究式的规律定义新运算，探函数综合循环尺规作图的理究规律规律论依据1．[2015·北京]阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线．已知：线段AB.图Z1－1求作：线段AB的垂直平分线．小芸的作法如下：如图，图Z1－2(1)分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；(2)作直线CD.所以直线CD就是的所求作的垂直平分线．老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是______________________．2．[2014·北京]在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)，我们把点P′(－y＋1，x＋1)叫做点P的伴随点，已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，这样依次得到点A1，A2，A3…，A4…，若点A1的坐标为(3，1)，则点A3的坐标为________，点A2014的坐标为________；若点A1的坐标为(a，b)，对于任意正整数n，点A n均在x轴上方，则a，b应满足的条件为__________________．3．[2013·北京]如图Z1－3，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：t＝－x－1，双曲线y＝1x.在l上取点A1，过点A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过点B1作y轴的垂线交l于点A2，请继续操作并探究：过点A2作x 轴的垂线交双曲线于点B2，过点B2作y轴的垂线交l 于点A3，…，这样依次得到l上的点A1，A2，A3，…，A n，….记点A n的横坐标为a n，若a1＝2，则a2＝________，a2013＝________；若要将上述操作无限次地进行下去，则a1不能取．．．的值是________图Z1－34．[2012·北京]在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，已知点A(0，4)，点B是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部(不包括边界)的整点个数为m.当m＝3时，点B的横坐标的所有可能值是________；当点B的横坐标为4n(n为正整数)时，m＝________________(用含n的代数式表示)．图Z1－45．[2011·北京]在下表中，我们把第i行第j列的(其中i，j都是不大于5的正整数)，对于表中数记为a i，j的每个数a i规定如下：，j＝1；当i<j时，a i，j＝0.例如：当i 当i≥j时，a i，j＝2，j＝1时，a i＝a2，1＝1.按此规定，a1，3＝________；，j·a i，1＋表中的25个数中，共有______个1；计算a1，1a1，2·a i，2＋a1，3·a i，3＋a1，4·a i，4＋a1，5·a i，5的值为________．a1，1a1，2a1，3a1，4a1，5a2，1a2，2a2，3a2，4a2，5a3，1a3，2a3，3a3，4a3，5a 4，1 a 4，2 a 4，3 a 4，4 a 4，5a 5，1 a 5，2 a 5，3 a 5，4 a 5，5一、与数与式有关的规律探究1．[2015·朝阳一模] 一组按规律排列的式子：2a ，－5a 2，10a 3，－17a 4，26a5，…，其中第7个式子是________，第n 个式子是________(用含n 的式子表示，n 为正整数)．二、与图形有关的规律探究2．[2015·西城一模] 如图Z1－5，数轴上点A 的初始位置表示的数为1，现点A 做如下移动：第1次点A 向左移动3个单位长度至点A 1，第2次从点A 1向右移动6个单位长度至点A2，第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，…，按照这种移动方式进行下去，点A4表示的数是________，如果点A n与原点的距离不小于20，那么n的最小值是________．图Z1－53．[2014·延庆县一模]如图Z1－6，点E，D分别是正三角形ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN 中以C点为顶点的一边延长线和另一边延长线上的点，且BE＝CD，DB的延长线交AE于点F，则图①中∠AFB 的度数为________；若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正n边形”，其他条件不变，则∠AFB 的度数为________．(用含n的代数式表示，其中，n≥3且n为整数)图Z1－64．[2014·昌平区一模]已知：四边形ABCD的面积为1.如图Z1－7①，取四边形ABCD各边的中点，则图中阴影部分的面积为________；如图Z1－7②，取四边形ABCD各边的三等分点，则图中阴影部分的面积为________；…；取四边形ABCD各边的n(n为大于1的整数)等分点，则图中阴影部分的面积为________．图Z1－7三、平面直角坐标系中的规律探究5．[2014·石景山一模]在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝x，作A1(1，0)关于直线y＝x的对称点B1，将点B1向右平移2个单位得到点A2；再作A2关于直线y＝x的对称点B2，将点B2向右平移2个单位得到点A3；….请继续操作并探究：点A3的坐标是________，点B2014的坐标是________．6．[2015·房山一模]如图Z1－8，在平面直角坐标系中放置了5个正方形，点B1(0，2)在y轴上，点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3在x轴上，C1的坐标是(1，0)，B1C1∥B2C2∥B3C3.则点A1到x轴的距离是________，点A2到x轴的距离是________，点A3到x轴的距离是________．图Z1－87．[2015·东城一模]在平面直角坐标系xOy中，记直线y＝x＋1为l.点A1是直线l与y轴的交点，以A1O 为边作正方形A1OC1B1，使点C1落在x轴正半轴上，作射线C1B1交直线l于点A2，以A2C1为边作正方形A2C1C2B2，使点C2落在x轴正半轴上，依次作下去，得到如图Z1－9所示的图形．则点B4的坐标是________，点B n的坐标是________．图Z1－98．[2014·丰台一模]如图Z1－10，已知直线l：y＝33x，点A1坐标为(0，1)，过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交y 轴于一点A2；再过点A2作y轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交y轴于点A3，…，按此作法进行下去，点A4的坐标为(________，________)；点A n的坐标为(________，________)．图Z1－109．[2014·顺义一模]如图Z1－11，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，其中x轴与边A1A2，边A1A2与A4A5，A4A5与A7A8，…均相距一个单位长度，则顶点A3的坐标为________，A31的坐标为________，A3n－2(n为正整数)的坐标为________．图Z1－1110．[2014·通州一模]如图Z1－12，在反比例函数y＝4x(x≥0)的图象上，有点P1，P2，P3，P4，…，P n(n为正整数，且n≥1)，它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，n(n为正整数，且n≥1)．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，连接相邻两点，图中所构成的阴影部分(近似看成三角形)的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，S n－1(n 为正整数，且n≥2)，那么S1＋S2＋S3＝________，S1＋S2＋S3＋S4＋…＋S n－1＝________(用含有n的代数式表示)．图Z1－1211．[2014·燕山一模]如图Z1－13，在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将线段OP0绕点O 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2，…，这样依次得到线段OP3，OP4，…，OP n.则点P2的坐标为________；当n＝4m＋1(m为自然数)时，点P n的坐标为________________．图Z1－1312．[2014·西城一模]如图Z1－14，在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，B(2，0)，正六边形ABCDEF 沿x轴正方向无滑动滚动，当点D第一次落在x轴上时，点D的坐标为________；在运动过程中，点A的纵坐标的最大值是________；保持上述运动过程，经过点(2014，3)的正六边形的顶点是________．图Z1－1413．[2015·东城二模]如图Z1－15，已知A1，A2，…，A n，A n＋1在x轴上，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A n A n＋1＝1，分别过点A1，A2，…，A n，A n＋1作x轴的垂线交直线y＝x于点B1，B2，…，B n，B n＋1，连接A1B2，B1A2，A2B3，B2A3，…，A n B n＋1，B n A n＋1，依次相交于点P1，P2，P3，…，P n，△A1B1P1，△A2B2P2，…，△A n B n P n 的面积依次记为S1，S2，…，S n，则S1＝________，S n ＝________．图Z1－15四、定义新运算14．[2014·东城一模] 现定义运算“★”，对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝a 2－3a ＋b ，如：3★5＝32－3×3＋5，根据定义的运算求2★(－1)＝________．若x ★2＝6，则实数x 的值是________．15．[2015·燕山一模] 定义：对于任意一个不为1的有理数a ，把11－a称为a 的差倒数，如2的差倒数为11－2＝－1，－1的差倒数为11－（－1）＝12.记a 1＝12，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，则a 2＝________，a 2015＝________．16．[2015·海淀一模] 若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角．已知△ABC 是等径三角形，则等径角的度数为________．17．[2014·海淀一模] 在一次数学游戏中，老师在A ，B ，C 三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为a 0，b 0，c 0，记为G 0＝(a 0，b 0，c 0)．游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个(若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果)，记为一次操作．若三个盘子中的糖果数都相同，则游戏结束．n 次操作后的糖果数记为G n ＝(a n ，b n ，c n )．(1)若G 0＝(4，7，10)，则第________次操作后游戏结束；(2)小明发现：若G 0＝(4，8，18)，则游戏永远无法结束，那么G 2014＝________．18．[2015·海淀模拟] 对于正整数n ，定义F (n )＝⎩⎨⎧n 2，n <10f （n ），n ≥10，其中f (n )表示n 的首位数字、末位数字的平方和．例如：F (6)＝62＝36，F (123)＝f ⎝⎛⎭⎫123＝12＋32＝10.规定F 1(n )＝F (n )，F k ＋1(n )＝F (F k (n ))(k 为正整数)．例如：F 1⎝⎛⎭⎫123＝F ⎝⎛⎭⎫123＝10，F 2(123)＝F (F 1(123))＝F (10)＝1.(1)求：F 2(4)＝________，F 2015(4)＝________；(2)若F 3m (4)＝89，则正整数m 的最小值是________．19．[2015·海淀二模] 五子棋是一种两人对弈的棋类游戏，规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，白方后行，轮流弈子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，直到某一方首先在任一方向(横向、竖向或者是斜着的方向)上连成五子者为胜．如图Z1－16，这一部分棋盘是两个五子棋爱好者的对弈图．观察棋盘，以点O为原点，在棋盘上建立平面直角坐标系，将每个棋子看成一个点，若黑子A的坐标为(7，5)，则白子B的坐标为________；为了不让白方在短时间内获胜，此时黑方应该下在坐标为________的位置处．图Z1－16参考答案北京真题体验1.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线2．(－3，1) (0，4) －1＜a ＜1且0＜b ＜2[解析] ∵A 1的坐标为(3，1)，∴A 2(0，4)，A 3(－3，1)，A 4(0，－2)，A 5(3，1)， …，依此类推，每4个点为一个循环组依次循环， ∵2014÷4＝503……2，∴点A 2014的坐标与A 2的坐标相同，为(0，4)； ∵点A 1的坐标为(a ，b )，∴A 2(－b ＋1，a ＋1)，A 3(－a ，－b ＋2)，A 4(b －1，－a ＋1)，A 5(a ，b )，…，以此类推，每4个点为一个循环组依次循环， ∵对于任意的正整数n ，点A n 均在x 轴上方， ∴⎩⎨⎧a ＋1＞0，－a ＋1＞0，⎩⎨⎧－b ＋2＞0，b ＞0，解得－1＜a ＜1，0＜b ＜2.3．－32 －130，－1 [解析] 当a 1＝2时，B 1的纵坐标为b 1＝12， B 1的纵坐标和A 2的纵坐标相同，则A 2的横坐标为a 2＝－32， A 2的横坐标和B 2的横坐标相同，则B 2的纵坐标为b 2＝－23， B 2的纵坐标和A 3的纵坐标相同，则A 3的横坐标为a 3＝－13， A 3的横坐标和B 3的横坐标相同，则B 3的纵坐标为b 3＝－3，B 3的纵坐标和A 4的纵坐标相同，则A 4的横坐标为a 4＝2，A 4的横坐标和B 4的横坐标相同，则B 4的纵坐标为b 2＝12， 即当a 1＝2时，a 2＝－32，a 3＝－13，a 4＝2，a 5＝－32，b 1＝12，b 2＝－23，b 3＝－3，b 4＝12，b 5＝－23， ∵20133＝671，∴a 2013＝a 3＝－13； 点A 1不能在y 轴上(此时找不到B 1)，即x ≠0， 点A 1不能在x 轴上(此时A 2在y 轴上，找不到B 2)，即y ＝－x －1≠0，解得x ≠－1.综上可得a 1不可取0，－1.4．3或4 6n －3 [解析] 如图：当点B 在(3，0)点或(4，0)点时，△AOB 内部(不包括边界)的整点为点(1，1)，(1，2)，(2，1)，共三个点，所以当m ＝3时，点B 的横坐标的所有可能值是3或4.当点B 的横坐标为8时，n ＝2，△AOB 的内部(不包括边界)的整点个数m ＝（4×2＋1－2）×3－32＝9. 当点B 的横坐标为12时，n ＝3，△AOB 的内部(不包括边界)的整点个数m ＝（4×3＋1－2）×3－32＝15. 所以当点B 的横坐标为4n (n 为正整数)时，m ＝（4×n ＋1－2）×3－32＝6n －3. 5．0 15 1 [解析] 由题意当i ＜j 时，a i ，j ＝0，当i ≥j 时，a i ，j ＝1；由图表中可以很容易知道等于1的数有15个．由题意，很容易发现，从i 与j 之间大小关系分析： 当i ＜j 时，a i ，j ＝0；当i ≥j 时，a i ，j ＝1，∴a 1，1·a i ，1＋a 1，2·a i ，2＋a 1，3·a i ，3＋a 1，4·a i ，4＋a 1，5·a i ，5＝1×1＋0＋0＋0＋0＝1. 北京专题训练一、与数与式有关的规律探究1.50a7 (－1)n ＋1·n 2＋1a n [解析] 观察分母的变化为a 的1次幂、2次幂、3次幂、…、n 次幂；分子的变化为：2，5，10，17，…，n 2＋1；分式符号的变化为：＋，－，＋，－，…，(－1)n ＋1.∵2a ＝(－1)2·12＋1a1， －5a 2＝(－1)3·22＋1a2， 10a 3＝(－1)4·32＋1a3， …∴第7个式子是50a7， 第n 个式子为：(－1)n ＋1·n 2＋1a n .二、与图形有关的规律探究2．713[解析] 序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到A13表示的数以及A12表示的数，则可判断A n与原点的距离不小于20时n的最小值．第1次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数为1－3＝－2；第2次点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为－2＋6＝4；第3次点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为4－9＝－5；第4次点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为－5＋12＝7.第5次点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为7－15＝－8；…则点A7表示的数为－8－3＝－11，点A9表示的数为－11－3＝－14，A11表示的数为－14－3＝－17，A13表示的数为－17－3＝－20，A6表示的数为7＋3＝10，A8表示的数为10＋3＝13，A10表示的数为13＋3＝16，A12表示的数为16＋3＝19，所以如果点A n与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13.3．60° （n －2）·180°n[解析] (1)在①中的正三角形ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∴∠ABE ＝∠BCD ＝120°，又∵BE ＝CD ，∴△ABE ≌△BCD ，∴∠E ＝∠D ，又∵∠FBE ＝∠CBD ，∴∠AFB ＝∠E ＋∠FBE ＝∠D ＋∠CBD ＝∠ACB ＝60°.由以上不难得到②中△AEB ≌△BDC ，进一步证出③中△BEF ∽△BDC ，得出，②中∠AFB 的度数等于∠DCB ＝90°，同理可得③中∠AFB 度数等于∠BCM ＝108°.(2)由正三角形、正四边形、正五边形时，∠AFB 的度数分别为60°，90°，108°，可得出正n 边形中，其他条件不变，则∠AFB 的度数为（n －2）·180°n. 4.12 79 1－2n 2 [解析] 如图①，连接AC ，BD.∵点A 1，D 1是边AB ，AD 的中点，∴A 1，D 1是△ABD 的中位线，∴A 1D 1∥BD ，A 1D 1＝12BD ， ∴△AA 1D 1∽△ABD ，∴S △AA 1D 1S △ABD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A 1D 1BD 2＝14， ∴S △AA 1D 1＝14S △AB D . 同理，S △CB 1C 1＝14S △BCD ，S △BA 1B 1＝14S △ABC ，S △DD 1C 1＝14S △ACD ， ∴S 阴影＝S 四边形ABCD －(S △AA 1D 1＋S △CB 1C 1＋S △BA 1B 1＋S △DD 1C 1)＝1－14(S △ABD ＋S △BCD ＋S △ABC ＋S △ACD )＝1－24S 四边形ABCD ＝1－12＝12. 如图②同理可得S 阴影＝1－19(S △ABC ＋S △BCD ＋S △ABC ＋S △ACD )＝1－29S 四边形ABCD ＝1－29＝79. 当取四边形ABCD 各边的n (n 为大于1的整数)等分点时，则S 阴影＝1－1n 2(S △ABD ＋S △BCD ＋S △ABC ＋S △ACD )＝1－2n 2S 四边形ABCD ＝1－2n 2. 三、平面直角坐标系中的规律探究5．(3，2) (2013，2014) [解析] 根据题意画出图象，进而得出各点坐标变化规律进而得出答案．如图所示：点A 3的坐标是(3，2)，∵B1(0，1)，B2(1，2)，B3(2，3)，∴B点横坐标比纵坐标小1，∴点B2014的坐标是：(2013，2014)．故答案为：(3，2)，(2013，2014)．6．332347．(15，8)(2n－1，2n－1)[解析] 根据一次函数，得出点A1，A2的坐标，继而得知B1，B2等点的坐标，从中找出规律，进而可求出B n的坐标．把x＝0代入y＝x＋1，可得y＝1，所以可得点B1的坐标是(1，1)．把x＝1代入直线y＝x＋1，可得y＝2，所以可得点B2的坐标是(3，2)，同理可得点B3的坐标是(7，4)；点B4的坐标是(15，8)；由以上得出规律是B n的坐标为(2n－1，2n－1)．[点评] 本题考查了正方形的性质，解此题的关键是根据一次函数的图象上点的坐标得出规律，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．8．0802n－1[解析] 已知直线y＝33x，点A1坐标为(0，1)，过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，可知B1点的坐标为(3，1)，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交y轴于点A2，OA2＝OB1＝2OA1＝2，点A2的坐标为(0，2)，这种方法可求得B2的坐标为(2 3，2)，故点A3的坐标为(0，4)，点A4的坐标为(0，8)，此类推便可求出点A n的坐标为(0，2n－1)．9．(0，1－3)(－11，11)(－n，n)[解析] ∵从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，其中x轴与边A1A2，边A1A2与A4A5，A4A5与A7A8，…均相距一个单位长度，∴A1A2＝2，A1E＝1，A1(－1，1)，∴EA3＝3，则OA3＝3－1，则顶点A3的坐标为：(0，1－3)．同理可得出：A4(－2，2)，A7(－3，3)，…∵4＝2×3－2，7＝3×3－2，10＝4×3－2，…，31＝11×3－2，∴A31的坐标为：(－11，11)，(n为正整数)的坐标为(－n，n)．∴A3n－210.32 2－2n [解析] 当x ＝1时，P 1的纵坐标为4， 当x ＝2时，P 2的纵坐标为2， 当x ＝3时，P 3的纵坐标为43，当x ＝4时，P 4的纵坐标为1， 当x ＝5时，P 5的纵坐标为45，…则S 1＝12×1×(4－2)＝1＝2－1； S 2＝12×1×(2－43)＝13＝1－23；S 3＝12×1×(43－1)＝16＝23－24；∴S1＋S2＋S3＝2－1＋1－23＋23－24＝2－24＝32；S4＝12×1×(1－45)＝110＝24－25；…S n－1＝2n－1－2n；∴S1＋S2＋S3＋S4＋…＋S n－1＝2－1＋1－23＋23－24＋…＋2n－1－2n＝2－2 n.故答案为32，2－2n.11．(0，－4)(－2·2n－1，2·2n－1)(m为正奇数)或(2·2n－1，－2·2n－1)(m为0和正偶数)[解析] 根据点P0坐标可求出OP0，然后分别求出OP1，OP2，OP3，OP4，…，OP n，再根据点P2在y轴负半轴上写出P2的坐标即可；分n是正奇数和n是0和正偶数两种情况确定出点P n所在的象限，然后根据等腰直角三角形的性质写出坐标即可，∵P0的坐标为(1，0)，∴OP0＝1.∴OP1＝2，OP2＝2×2＝22，OP3＝22×2＝23，OP4＝23×2＝24，…，OP n＝2n－1×2＝2n.∵每次旋转45°，点P0在x轴正半轴上，∴点P2在y轴负半轴上．∴点P2的坐标为(0，－4)．∵OP n为所在象限的平分线，①m为正奇数时，点P n在第二象限，②m为0和正偶数时，点P n在第四象限．综上所述，点P n的坐标为(－2·2n－1，2·2n－1)(m 为正奇数)，(2·2n－1，－2·2n－1)(m为0和正偶数)12．(4，0)2A或C[解析] ∵点A(1，0)，B(2，0)，∴OA＝1，OB＝2，∴正六边形的边长为：AB＝1，∴当点D第一次落在x轴上时，OD＝2＋1＋1＝4，此时点D的坐标为：(4，0)．如图所示：当滚动到A′D⊥x轴时，E，F，A的对应点分别是E ′，F ′，A ′，连接A ′D ，过点F ′，E ′作F ′G ⊥A ′D ，E ′H ⊥A ′D ，垂足分别为G ，H ，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠A ′F ′G ＝30°，∴A ′G ＝12A ′F ′＝12， 同理可得：HD ＝12， ∴A ′D ＝2，∴在运动过程中，点A 的纵坐标的最大值是2. ∵正六边形滚动6个单位长度时正好滚动一周， ∴A 点从点(1，0)开始到点(2014，3)，正六边形正好滚动2013个单位长度．∵20136＝335……3，∴恰好滚动335周多3个，A ′点的纵坐标为3， ∴会过点(2014，3)的是点A ，当点E 在(2014，0)位置时，则点F 在(2015，0)位置，此时C 点在E 点的正上方，CE ＝3，所以C 点也符合题意．13.16 n 24n ＋2[解析] ∵A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1是x 轴上的点，且OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A n A n ＋1＝1，分别过点A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1作x 轴的垂线交直线y ＝x 于点B 1，B 2，…，B n ，B n ＋1，∴依题意得：B 1(1，1)，B 2(2，2)，B 3(3，3)，…，B n (n ，n )．∵A 1B 1∥A 2B 2，∴△A 1B 1P 1∽△B 2A 2P 1，∵A 1B 1A 2B 2＝12， ∴△A 1B 1P 1与△A 2B 2P 1对应高的比为1∶2.∵A 1A 2＝1，∴A 1B 1边上的高为13， ∴S △A 1B 1P 1＝13×1×12＝16，同理可得：S △A 2B 2P 2＝25，S △A 3B 3P 3＝914， ∴S n ＝n 24n ＋2. 故答案为16，n 24n ＋2.四、定义新运算14．－3 －1或4 [解析] ∵a ★b ＝a 2－3a ＋b ， x ★2＝6，∴x 2－3x ＋2＝6，解得x ＝－1或x ＝4.15．2 2 [解析] 首先根据a 1＝12，可得a 2＝11－a 1＝11－12＝2，a 3＝11－a 2＝11－2＝－1，a 4＝11－a 3＝11－（－1）＝12，…，所以这列数是12，2，－1，12，2，－1，…，每3个数是一个循环，然后用2015除以3，求出一共有多少个循环，还剩下几个数，进而判断出a2015的值是多少即可．16．30°或150°[解析] 根据边长等于半径时，边长所对的圆心角为60°，根据圆周角与圆心角的关系和圆内接四边形的性质求出等径角的度数．如图，边AB与半径相等时，则∠AOB＝60°，当等径角的顶点为C时，∠C＝12∠AOB＝30°，当等径角顶点为D时，∠C＋∠D＝180°，∠D＝150°，故答案为：30°或150°.17．(1)3(2)(11，9，10)[解析] (1)若G0＝(4，7，10)，第一次操作结果为G1＝(5，8，8)，第二次操作结果为G2＝(6，6，9)，第三次操作结果为G3＝(7，7，7)，所以经过3次操作后游戏结束．(2)若G0＝(4，8，18)，则G1＝(5，9，16)，G2＝(6，10，14)，G3＝(7，11，12)，G4＝(8，12，10)，G5＝(9，10，11)，G6＝(10，11，9)，G7＝(11，9，10)，G8＝(9，10，11)，G9＝(10，11，9)，G10＝(11，9，10)，…由此看出从G5开始3个一循环，(2014－4)÷3＝670，所以G2014与G7相同，也就是(11，9，10)．18．(1)3726(2)6[解析] 通过观察前8个数据，可以得出规律，这些数字7个一循环，根据这些规律计算即可．(1)F2(4)＝F(F1(4))＝F(16)＝12＋62＝37；F1(4)＝F(4)＝16，F2(4)＝37，F3(4)＝58，F4(4)＝89，F5(4)＝145，F6(4)＝26，F7(4)＝40，F8(4)＝16，…，通过观察发现，这些数字7个一个循环，2015是7的287倍余6，因此F2015(4)＝F6(4)＝26.(2)由(1)知，这些数字7个一个循环，F4(4)＝89＝F18(4)，因此3m＝18，所以m＝6.19．(5，1)(3，7)或(7，3)[解析] 根据题意得，白子点B的坐标为(5，1)．因为白方已把(4，6)，(5，5)，(6，4)三点凑在一条直线上，黑方只有在此三点两端任加一点即可保证不会让白方在短时间内获胜，即位置(3，7)或(7，3)．。