2019届北师大版(理科数学) 数列 单元测试
2019版高考数学理北师大版单元提分练集全国各地市模拟新题重组：单元检测六 数列 含答案 精品
单元检测六 数 列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·渭南二模)成等差数列的三个正数的和等于12，并且这三个数分别加上1,4,11后成为等比数列{b n }中的b 2，b 3，b 4，则数列{b n }的通项公式为( ) A ．b n ＝2n B ．b n ＝3n C ．b n ＝2n －1D ．b n ＝3n －12．(2018·新余模拟)已知等差数列{a n }满足a 1＝－4，a 4＋a 6＝16，则它的前10项和S 10等于( ) A ．138 B ．95C ．23D ．1353．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( ) A ．42B ．6C ．7D ．5 24．设{a n }是公差不为0的等差数列，满足a 24＋a 25＝a 26＋a 27，则该数列的前10项和S 10等于( ) A ．－10 B ．－5 C ．0 D ．55．(2018届长春一模)在等差数列{}a n 中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时n 的值为( ) A ．6 B ．7C ．8D ．96．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 3＋a 7＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( ) A ．9 B ．8C ．7D ．67．(2017·亳州质检)已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3－S 2S 5－S 3的值为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－38．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n 等于( ) A ．2n －1B ．12n －1C ．⎝⎛⎭⎫23n －1D ．⎝⎛⎭⎫32n －19．(2017·长沙二模)已知数列{a n }是首项为1，公差为d (d ∈N ＋)的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差d 不可能是( ) A ．2 B ．3C ．4D ．510．(2018·九江模拟)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n 为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．511．正项等比数列{}a n 中，a 2 017＝a 2 016＋2a 2 015.若a m a n ＝16a 21，则4m ＋1n 的最小值等于( ) A ．1 B. 35C. 32D. 13612．(2017·西安模拟)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )>1，且对任意的实数x ，y ∈R ，等式f (x )f (y )＝f (x ＋y )成立，若数列{a n }满足f (a n ＋1)·f ⎝⎛⎭⎫11＋a n ＝1(n ∈N ＋)，且a 1＝f (0)，则下列结论成立的是( ) A ．f (a 2 013)>f (a 2 016) B ．f (a 2 014)>f (a 2 017) C ．f (a 2 016)<f (a 2 015) D ．f (a 2 013)>f (a 2 015)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n,2a 7－a 8＝5，则S 11＝________.14．(2017·天津模拟)设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 2a 1＝______.15．(2018届吉林联考)设S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝0，若a n ＋1＝[1＋(－1)n ]a n ＋(－2)n (n ∈N ＋)，则S 100＝______.16．(2017·吉林调研)艾萨克·牛顿(1643年1月4日——1727年3月31日)，英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f (x )零点时给出一个数列{x n }：满足x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n )，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有两个零点1,2，数列{x n }为牛顿数列，设a n ＝ln x n －2x n －1，已知a 1＝2，x n >2，则{a n }的通项公式a n ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知{a n }是等差数列，其中a 10＝30，a 20＝50. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n －20，求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值．18．(12分)(2018·西安模拟)数列{a n }，{b n }的每一项都是正数，a 1＝8，b 1＝16，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，n ＝1,2,3，…. (1)求a 2，b 2的值；(2)求数列{a n }，{b n }的通项公式．19.(12分)(2017·河南息县检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋12a n ＝1(n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)设b n ＝log 13(1－S n ＋1)(n ∈N ＋)，令T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n .20．(12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且8a 1＋6a 2＝5a 3＞0，S 6＝6332.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝－log 2a n ，c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .21.(12分)设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N ＋，函数f (x )＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x ＋a n ＋1cos x －a n ＋2sin x 满足f ′⎝⎛⎭⎫π2＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2⎝⎛⎭⎫a n ＋12a n，求数列{b n }的前n 项和S n .22．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N ＋，在数列{b n }中，b 1＝1，b n ＋1＝2b n ＋3，n ∈N ＋. (1)求证：{b n ＋3}是等比数列；(2)若c n ＝log 2(b n ＋3)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1c n c n ＋1的前n 项和R n ；(3)求数列{a n b n }的前n 项和T n .答案精析1．A [设成等差数列的三个正数为a －d ，a ，a ＋d ， 即有3a ＝12，得a ＝4，根据题意可得4－d ＋1,4＋4,4＋d ＋11成等比数列， 即5－d,8,15＋d 成等比数列，即有(5－d )(15＋d )＝64，解得d ＝1(d ＝－11舍去)， 即有4,8,16成等比数列，可得公比为2， 则数列{b n }的通项公式为b n ＝b 22n －2＝4×2n －2＝2n .故选A.]2．B [设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1＝－4， a 4＋a 6＝a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝2a 1＋8d ＝16，解得d ＝3， ∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×(－4)＋5×9×3＝95，故选B.]3．D [由a 1a 2a 3＝5得a 32＝5，由a 7a 8a 9＝10得a 38＝10， 又a 25＝a 2a 8，∴a 65＝a 32a 38＝50，∴a 4a 5a 6＝a 35＝52，故选D.]4．C [设等差数列的公差为d (d ≠0)，因为a 24＋a 25＝a 26＋a 27，所以(a 4－a 6)(a 4＋a 6)＝(a 7－a 5)(a 7＋a 5)，所以－2da 5＝2da 6，于是a 5＋a 6＝0，由等差数列的性质知a 1＋a 10＝a 5＋a 6＝0，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝0，故选C.]5．C [因为等差数列{}a n 中，|a 6|＝|a 11|，且d >0，所以a 6<0， a 11>0，a 6＝－a 11，a 1＝－152d ，有S n ＝d2[(n －8)2－64]，所以当n ＝8时前n 项和取最小值．故选C.]6．D [由等差数列的性质可得a 3＋a 7＝2a 5＝－6，解得a 5＝－3，又a 1＝－11，设公差为d, 所以a 5＝a 1＋4d ＝－11＋4d ＝－3，解得d ＝2，则a n ＝－11＋2(n －1)＝2n －13，所以S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，所以当n ＝6时，S n 取最小值，故选D.]7．A [设等差数列的公差为d ，首项为a 1， 所以a 3＝a 1＋2d ，a 4＝a 1＋3d . 因为a 1，a 3，a 4成等比数列，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，解得a 1＝－4d . 所以S 3－S 2S 5－S 3＝a 1＋2d 2a 1＋7d＝2，故选A.]8．D [∵a 1＝1，S n ＝2a n ＋1， ∴S n ＝2(S n ＋1－S n )，化为S n ＋1＝32S n .∴数列{S n }是等比数列，首项为1，公比为32，则S n ＝⎝⎛⎭⎫32n －1，故选D.]9．B [由题设a n ＝1＋(n －1)d,81是该数列中的一项， 即81＝1＋(n －1)d ，所以n ＝80d＋1， 因为d ，n ∈N ＋，所以d 是80的因数，故d 不可能是3.] 10．D [由等差数列的前n 项和及等差中项， 可得a n b n ＝12(a 1＋a 2n －1)12(b 1＋b 2n －1)＝12(2n －1)(a 1＋a 2n －1)12(2n －1)(b 1＋b 2n －1)＝A 2n －1B 2n －1 ＝7(2n －1)＋45(2n －1)＋3＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1(n ∈N ＋)， 故n ＝1,2,3,5,11时，a nb n 为整数．即正整数n 的个数是5.]11．C [设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由题设得q 2＝q ＋2，解得q ＝2，q ＝－1(舍去)，由a m a n ＝a 21qm＋n －2＝16a 21得m ＋n －2＝4，所以m ＋n ＝6，4m ＋1n＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫4m ＋1n ＝16⎝⎛⎭⎫4＋1＋4n m ＋m n ≥16(5＋4)＝32， 当且仅当4n m ＝mn，即m ＝4，n ＝2时“＝”成立．故选C.]12．D [令x ＝y ＝0，得f (0)f (0)＝f (0)，解得f (0)＝1或f (0)＝0，当f (0)＝0时，f (x )＝0与当x <0时，f (x )>1矛盾，因此f (0)＝1，令y ＝－x ，得f (x )f (－x )＝f (0)＝1， 所以当x >0时，0<f (x )<1，设x 1>x 2，则f (x 2－x 1)>1，f (x 1)f (x 2－x 1)＝f (x 2)， 所以f (x 2)>f (x 1)，因此y ＝f (x )为减函数，从而由f (a n ＋1)f ⎝⎛⎭⎫11＋a n＝1＝f (0)，得a n ＋1＋11＋a n ＝0，所以a n ＋2＝－1＋a n a n ，a n ＋3＝a n ，f (a 2 013)＝f (a 2 016)，f (a 2 014)＝f (a 2 017)，f (a 2 016)＝f (a 3)＝f (－2)>f ⎝⎛⎭⎫－12＝f (a 2)＝f (a 2 015)， f (a 2 013)＝f (a 3)＝f (－2)>f ⎝⎛⎭⎫－12＝f (a 2)＝f (a 2 015)，故选D.] 13．55解析 2(a 1＋6d )－(a 1＋7d )＝a 1＋5d ＝a 6＝5， S 11＝a 1＋a 112·11＝11a 6＝55.14．3解析 设等差数列的公差为d (d ≠0)，则S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ，S 4＝4a 1＋6d ，因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )，即d (d －2a 1)＝0， 解得d ＝2a 1，则a 2a 1＝a 1＋d a 1＝a 1＋2a 1a 1＝3.15.2－21013解析 当n 为奇数时，a n ＋1＝(－2)n ，则a 2＝(－2)1，a 4＝(－2)3，…，a 100＝(－2)99，当n 为偶数时，a n ＋1＝2a n ＋(－2)n ＝2a n ＋2n ，则a 3＝2a 2＋22＝0，a 5＝2a 4＋24＝0，…，a 99＝2a 98＋298＝0，又a 1＝0， ∴S 100＝a 2＋a 4＋…＋a 100＝2－21013.16．2n解析 因为函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有两个零点1,2， 所以f ()x ＝a ()x －1()x －2＝a (x 2－3x ＋2)，f ′(x )＝a (2x －3)，则x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n )＝x n －a ()x 2n －3x n ＋2a 2x n －3＝x 2n －22x n －3，则x n ＋1－2＝x 2n －22x n －3－2＝(x n －2)22x n －3， x n ＋1－1＝x 2n －22x n －3－1＝(x n －1)22x n －3，即x n ＋1－2x n ＋1－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x n －2x n －12，又因为a n ＝ln x n －2x n －1且a 1＝2，所以a n ＋1＝2a n ，即数列{}a n 为等比数列，且通项公式为a n ＝2n .17．解 (1)由a 10＝30，a 20＝50，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，解得a 1＝12，d ＝2，所以a n ＝2n ＋10. (2)由b n ＝a n －20，得b n ＝2n －10，所以当n <5时，b n <0; 当n ＝5时，b n ＝0；当n >5时，b n >0. 由此可知，数列{b n }的前4项或前5项的和最小．易知T 4＝T 5＝－20，故数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为－20. 18．解 (1)由2b 1＝a 1＋a 2，可得a 2＝2b 1－a 1＝24. 由a 22＝b 1b 2，可得b 2＝a 22b 1＝36.(2)因为a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，所以2b n ＝a n ＋a n ＋1.① 因为b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，所以a 2n ＋1＝b n b n ＋1， 因为数列{a n }，{b n }的每一项都是正数， 所以a n ＋1＝b n b n ＋1.②于是当n ≥2时，a n ＝b n －1b n .③将②③代入①式，可得2b n ＝b n －1＋b n ＋1， 因此数列{b n }是首项为4，公差为2的等差数列， 所以b n ＝b 1＋(n －1)d ＝2n ＋2，于是b n ＝4(n ＋1)2. 则a n ＝b n －1b n ＝4n 2·4(n ＋1)2＝4n (n ＋1)，n ≥2. 当n ＝1时，a 1＝8，满足该式，所以对一切正整数n ，都有a n ＝4n (n ＋1)． 19．解 (1)由S n ＋12a n ＝1(n ∈N ＋)，得S n ＝1－12a n ，∴当n ＝1时，S 1＝1－12a 1，得a 1＝23，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫1－12a n －⎝⎛⎭⎫1－12a n －1 ＝12a n －1－12a n ，a n a n －1＝13， ∴{a n }是等比数列，且公比为13，首项a 1＝23，∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫13n.(2)由(1)及S n ＋12a n ＝1得，1－S n ＋1＝12a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫13n ＋1， ∴b n ＝log 13(1－S n ＋1)＝n ＋1，∴1b n b n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2， ∴T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2n ＋4. 20．解 (1)设数列{a n }的公比为q ， ∵a 3＝a 1q 2，5a 3＞0，∴a 1＞0，∵8a 1＋6a 2＝5a 3，∴8a 1＋6a 1q ＝5a 1q 2， ∴8q 2＋6q －5＝0，∴q ＝12或－54，∵S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝6332，∴a 1＝1，q ＝12，∴a n ＝a 1q n －1＝12n －1.(2)b n ＝－log 2a n ＝－log 221－n ＝n －1，c n ＝a n b n ＝n －12n －1，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝020＋12＋222＋…＋n －12n －1，12T n ＝02＋122＋223＋…＋n －12n ， ∴12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －1－n －12n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 11－12－n －12n＝1－12n －1－n －12n ＝1－n ＋12n ，∴T n ＝2－n ＋12n －1.21．解 (1)由题设可得f ′(x )＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x . 对任意n ∈N ＋，f ′⎝⎛⎭⎫π2＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0， 即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1， 故{a n }为等差数列． 由a 1＝2，a 2＋a 4＝8，解得数列{a n }的公差d ＝1， 所以a n ＝2＋1×(n －1)＝n ＋1.(2)由b n ＝2⎝⎛⎭⎫a n ＋12a n ＝2⎝⎛⎭⎫n ＋1＋12n ＋1＝2n ＋12n ＋2知， S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝2n ＋2·n (n ＋1)2＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n 2＋3n ＋1－12n .22．(1)证明 因为b n ＋1＋3b n ＋3＝2b n ＋3＋3b n ＋3＝2且b 1＋3＝4，所以{b n ＋3}是首项为4，公比为2的等比数列． (2)解 由(1)知b n ＋3＝4×2n －1＝2n ＋1，所以b n ＝2n ＋1－3，则c n ＝log 2(b n ＋3)＝n ＋1，1c n c n ＋1＝1n ＋1－1n ＋2，R n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2n ＋4.(3)解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1， 当n ＝1时，a 1＝3也符合上式， 综上，a n ＝4n －1，n ∈N ＋. 所以a n b n ＝(4n －1)·(2n ＋1－3)＝(4n －1)·2n ＋1－3(4n －1)，设数列{(4n －1)·2n ＋1}的前n 项和为Q n ，则Q n ＝3·22＋7·23＋11·24＋…＋(4n －5)·2n ＋(4n －1)·2n ＋1，2Q n ＝3·23＋7·24＋…＋(4n －5)·2n ＋1＋(4n －1)·2n ＋2，所以－Q n ＝12＋4(23＋24＋…＋2n ＋1)－(4n －1)·2n ＋2＝12＋4·8(1－2n －1)1－2－(4n －1)·2n ＋2＝(5－4n )·2n ＋2－20，所以Q n ＝(4n －5)·2n ＋2＋20，所以T n ＝Q n ＋3n －12×n (n ＋1)2＝(4n －5)·2n ＋2＋20－6n 2－3n .。
2019届北师大版理 六 数列(A) 单元测试
单元质检卷六 数列(A )(时间:45分钟 满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 4=15,S 5=55,则数列{a n }的公差是( )A.14B.4C.-4D.-32.公比为 23的等比数列{a n }的各项都是正数,且a 3a 11=16,则log 2a 16=( ) A.4 B.5 C.6 D.73.(2017宁夏银川二模)在等差数列{a n }中,已知a 4=5,a 3是a 2和a 6的等比中项,则数列{a n }的前5项的和为 ( )A.15B.20C.25D.15或25 4.已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足:3a 1-a 82+3a 15=0,且a 8=b 10,则b 3b 17=( )A.9B.12C.16D.365.(2017湖北武昌1月调研)设公比为q (q>0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=3a 2+2,S 4=3a 4+2,则a 1= ( )A.-2B.-1C.12D.236.(2017河南郑州一中质检一,理9)已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n =2n 2(n ∈N +),且对任意n ∈N +都有11+12+…+1n<t ,则t 的取值范围为( )A. 1,+∞ B. 1,+∞ C. 2,+∞ D. 2,+∞〚导学号21500627〛二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2017湖南长沙一模)等比数列{a n }的公比为- 2,则ln (a 2 017)2-ln(a 2 016)2= .8.(2017江西新余一中模拟七,理16)设数列{a n }满足a 1=2,a 2=6,且a n+2-2a n+1+a n =2,若[x ]表示不超过x 的最大整数,则 2 0171+2 0172+…+2 0172 017= .〚导学号21500628〛三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2017安徽安庆二模,理17)已知数列{a n }中,a 1=2,a 2=4,设S n 为数列{a n }的前n 项和,对于任意的n>1,n ∈N +,S n+1+S n-1=2(S n +1). (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =na n,求{b n }的前n 项和T n .10.(15分)数列{a n}满足a n=6-9(n∈N+,n≥2).an-1是等差数列;(1)求证:数列1a n-3(2)若a1=6,求数列{lg a n}的前999项的和.11.(15分)(2017湖南长郡中学模拟6,理17)已知在数列{a n}中,S n为其前n项和,若a n>0,且4S n=a n2+2a n+1(n∈N+),数列{b n}为等比数列,公比q>1,b1=a1,且2b2,b4,3b3成等差数列. (1)求{a n}与{b n}的通项公式;,若{c n}的前项和为T n,求证:T n<6.(2)令c n=a nn〚导学号21500629〛参考答案单元质检卷六数列(A)1.B∵{a n}是等差数列,a4=15,S5=55,∴a1+a5=22,∴2a3=22,a3=11.∴公差d=a4-a3=4.2.B由等比中项的性质,得a3a11=a72=16.因为数列{a n}各项都是正数,所以a7=4.所以a16=a7q9=32.所以log2a16=5.3.A∵在等差数列{a n}中,a4=5,a3是a2和a6的等比中项,∴a1+3d=5,(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),解得a1=-1,d=2,∴S5=5a1+5×42d=5×(-1)+5×4=15.故选A.4.D由3a1-a82+3a15=0,得a82=3a1+3a15=3(a1+a15)=3×2a8,即a82-6a8=0.因为a8=b10≠0,所以a8=6,b10=6,所以b3b17=b102=36.5.B∵S2=3a2+2,S4=3a4+2,∴S4-S2=3(a4-a2),即a1(q3+q2)=3a1(q3-q),q>0,解得q=32,代入a1(1+q)=3a1q+2,解得a1=-1.6.D∵数列{a n}满足a1a2a3…a n=2n2(n∈N+),∴当n=1时,a1=2,当n≥2时,a1a2a3…a n-1=2(n-1)2,可得a n=22n-1.∴1a n =122n-1,数列1a n为等比数列,首项为12,公比为14.∴1a1+1a2+…+1a n=121-14n1-14=231-14<23.∵对任意n∈N+都有1a1+1a2+…+1a n<t,则t的取值范围为23,+∞.7.ln 2ln(a2 017)2-ln(a2 016)2=ln a2017a20162=ln(-2)2=ln 2.8.2 016令b n=a n+1-a n,则b1=a2-a1=4,由题意得(a n+2-a n+1)-(a n+1-a n)=b n+1-b n=2, 故数列{b n}是以4为首项,2为公差的等差数列,故b n=a n+1-a n=4+2(n-1)=2n+2,故a2-a1=4,a3-a2=6,a4-a3=8,…,a n-a n-1=2n,以上(n-1)个式子相加可得a n-a1=4+6+…+2n=(n-1)(4+2n)2,解得a n=n(n+1),∴1a n =1n(n+1)=1n−1n+1,∴1a1+1a2+…+1a2017=11-12+12-13+…+12017-12018=1-12018,∴2 0171a1+1a2+…+1a2017=2 017-20172018=2 016+12018.则2017a1+2017a2+…+2017a2017=2 016.9.解 (1)对于任意的n>1,n∈N+,S n+1+S n-1=2(S n+1),S n+2+S n=2(S n+1+1),相减可得a n+2+a n=2a n+1.(*)又当n=2时,S3+S1=2(S2+1),即2a1+a2+a3=2(a1+a2+1),a1=2,a2=4,解得a3=6.∴当n=1时(*)也满足.∴数列{a n}是等差数列,公差为2,∴a n=2+2(n-1)=2n.(2)∵b n=n2a n =n22n=n4n,∴{b n}的前n项和T n=14+242+343+…+n4n,1 4T n=14+24+…+n-14+n4,上面两式相减可得34T n=14+14+…+14−n4=141-14n1-14−n4,∴T n=49−4+3n9×4.10.(1)证明∵1a n-3−1a n-1-3=a n-13a n-1-9−1a n-1-3=a n-1-33a n-1-9=13(n≥2).∴数列1a n-3是等差数列.(2)解∵a1=6,由(1)知,1a n-3=1a1-3+13(n-1)=n3.∴a n=3(n+1)n(n∈N+),lg a n=lg(n+1)-lg n+lg 3(n∈N+).设数列{lg a n}的前999项的和为S,则S=999lg 3+(lg 2-lg 1+lg 3-lg 2+…+lg1 000-lg999) =999lg 3+lg1 000=3+999lg 3.11.(1)解 因为4S n =a n 2+2a n +1(n ∈N +)①, 所以当n=1时,4a 1=a 12+2a 1+1,解得a 1=1. 当n ≥2时,4S n-1=a n -12+2a n-1+1②, ①-②得4a n =(a n +1)2-(a n-1+1)2,整理得(a n +a n-1)(a n -a n-1-2)=0,又a n >0,∴a n -a n-1-2=0,即a n -a n-1=2,∴数列{a n }是等差数列,公差为2. ∴a n =1+2(n-1)=2n-1.∴b 1=a 1=1,∵2b 2,b 4,3b 3成等差数列,∴2b 4=2b 2+3b 3.∴2b 2q 2=2b 2+3b 2q ,整理得2q 2-3q-2=0,∵q>1, ∴解得q=2. ∴b n =2n-1.(2)证明 ∵c n =a nb n=2n -12n -1.∴{c n }的前n 项和为T n =1+32+52+…+2n -12n -1,12T n =12+32+…+2n -32n -1+2n -12,∴12T n =1+2 12+122+…+12n -1−2n -12n=1+2×12 1-12n -11-1−2n -12n,∴T n =6-2n +32n -1<6.。
2019届北师大版(理科数学) 数列的综合应用 单元测试
三十四数列的综合应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知a,b,c是三个不同的实数,若a,b,c成等差数列,且b,a,c成等比数列,则a∶b∶c为( )A.2∶1∶4B.(-2)∶1∶4C.1∶2∶4D.1∶(-2)∶4【解析】选B.由a,b,c成等差数列,设a=m-d,b=m,c=m+d,d≠0,因为b,a,c成等比数列,所以a2=bc,即(m-d)2=m(m+d),化简,得d=3m,则a=-2m,b=m,c=4m,所以a∶b∶c=(-2)∶1∶4.2.设y=f(x)是一次函数,若f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比数列,则f(2)+f(4)+…+f(2n)等于( )A.n(2n+3)B.n(n+4)C.2n(2n+3)D.2n(n+4)【解析】选A.由题意可设f(x)= x+1( ≠0),则(4 +1)2=( +1)×(13 +1),解得=2,f(2)+f(4)+…+f(2n)=(2×2+1)+(2×4+1)+…+(2×2n+1)=n(2n+3).3.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9【解析】选D.由题可知a,b是x2-px+q=0的两根,所以a+b=p>0,ab=q>0,故a,b均为正数.因为a,b,-2适当排序后成等比数列,所以-2是a,b的等比中项,所以ab=4,所以q=4.又a,b,-2适当排序后成等差数列,所以-2是第一项或第三项,不妨设a<b,则-2,a,b成递增的等差数列,所以2a=b-2,联立消去b得a2+a-2=0,解得a=1或a=-2,又因为a>0,所以a=1,此时b=4,所以p=a+b=5,所以p+q=9.当b<a时,同样求得p+q=9.【变式备选】如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2,过点A作BC的垂线,垂足为A1,过点A1作AC的垂线,垂足为A2;过点A2作A1C的垂线,垂足为A3;…,以此类推.设BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,则a7=________.【解析】根据题意易得a1=2,a2=,a3=1,所以数列{a n}构成以a1=2,q=的等比数列,所以a7=a1q6=2×=.答案:4.已知a,b,c成等比数列,a,m,b和b,n,c分别成两个等差数列,则+等于( ) A.4 B.3 C.2 D.1【解析】选C.由题意得b2=ac,2m=a+b,2n=b+c,则+====2.【一题多解】解答本题,还有以下解法:特殊值法:选C.因为a,b,c成等比数列,所以令a=2,b=4,c=8,又a,m,b和b,n,c分别成两个等差数列,则m==3,n==6,因此+=+=2.【变式备选】各项都是正数的等比数列的公比q≠1,且a2,a3,a1成等差数列,则的值为________.【解析】{a n}的公比为q(q>0且q≠1),由a3=a2+a1,得q2-q-1=0,解得q=,而===.答案:5.(2018·宜宾模拟)数列{a n}的通项a n=n(cos2-sin2),其前n项和为S n,则S40为( )A.10B.15C.20D.25【解析】选C.由题意得,a n=n(cos2-sin2)=ncos,则a1=0,a2=-2,a3=0,a4=4,a5=0,a6=-6,a7=0,…,于是a2n-1=0,a2n=(-1)n·2n,则S40=(a1+a3+…+a39)+(a2+a4+a6+…+a40)=-2+4-…+40=20.二、填空题(每小题5分,共15分)6.对于每一个正整数n,设曲线y=x n+2在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n,令a n=log2x n,则a1+a2+a3+…+a62=________.【解析】因为y′=(n+2)x n+1,当x=1时,y′=n+2,所以曲线y=x n+2在点(1,1)处的切线方程为y=(n+2)x-(n+1),令y=0,得x n=.所以a n=log2x n=log2.所以a1+a2+a3+…+a62=log2=log2=-5.答案:-57.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于________.【解析】每天植树的棵数构成以2为首项,2为公比的等比数列,其前n项和S n===2n+1-2.由2n+1-2≥100,得2n+1≥102,由于26=64,27=128,则n+1≥7,即n≥6.答案:68.(2018·襄阳模拟)用g(n)表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数,例如:9的因数有1,3,9,则g(9)=9,10的因数有1,2,5,10,g(10)=5,那么g(1)+g(2)+…+g(2n-1)=________.【解析】由g(n)的定义易知g(n)=g(2n),且若n为奇数则g(n)=n,令f(n)=g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2n-1)则f(n+1)=g(1)+g(2)+g(3)+…g(-1)=1+3+…+(-1)+g(2)+g(4)+…+g(-2)=+g(1)+g(2)+…+g(2n-1)=4n+f(n),即f(n+1)-f(n)=4n,据此可得:f(1)=1,f(2)-f(1)=4,f(3)-f(2)=8,…,f(n)-f(n-1)=4n-1,以上各式相加可得:f(n)==.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2018·南宁模拟)某体育场一角的看台共有20排,且此看台的座位是这样排列的:第一排有2个座位,从第二排起每一排比前一排多1个座位,记a n表示第n 排的座位数.(1)确定此看台共有多少个座位.(2)求数列的前20项和S20.【解析】(1)由题可知数列{a n}是首项为2,公差为1的等差数列,所以a n=2+n-1=n+1(1≤n≤20).所以此看台的座位数为=230.(2)因为==-,所以S20=1-+-+…+-=1-=.10.已知{a n}是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的n∈N*,b n是a n和a n+1的等比中项.(1)设c n=-,n∈N*,求证:数列{c n}是等差数列.(2)设a1=d,T n=(-1),n∈N*,求证:<.【解析】(1)c n=-=a n+1a n+2-a n a n+1=2d·a n+1.c n+1-c n=2d(a n+2-a n+1)=2d2为定值.所以数列是等差数列.(2)T n=(-1)=c1+c3+…+c2n-1=nc1+·4d2=nc1+2d2n(n-1)(*).由已知c1=-=a2a3-a1a2=2d·a2=2d(a1+d)=4d2,将c1=4d2代入(*)式得T n=2d2n(n+1),所以===<,得证.【变式备选】已知二次函数y=f(x)的图象的顶点坐标为,且过坐标原点O.数列{a n}的前n项和为S n,点(n,S n)(n∈N*)在二次函数y=f(x)的图象上.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设b n=a n a n+1cos(n+1)π(n∈N*),数列{b n}的前n项和为T n,若T n≥tn2对n∈N*恒成立,求实数t的取值范围.【解题指南】(1)由已知可得数列{a n}的前n项和S n的公式,再利用a n=求得数列{a n}的通项公式.(2)分n为奇数与偶数先求出T n,T n≥tn2对n∈N*恒成立,通过分离参数t转化为求函数的最值,即可求得实数t的取值范围.【解析】(1)由题意可知f(x)=(x+1)2-.所以S n=(n+1)2-=n2+n(n∈N*).当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+n-=.当n=1时a1=S1=1适合上式,所以数列{a n}的通项公式为a n=(n∈N*).(2)因为b n=a n a n+1cos(n+1)π(n∈N*),所以T n=b1+b2+…+b n=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+(-1)n-1a n a n+1,由(1)可知,数列{a n}是以1为首项,公差为的等差数列.①当n=2m,m∈N*时,T n=T2m=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+(-1)2m-1a2m a2m+1=a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+…+a2m(a2m-1-a2m+1)=-(a2+a4+…+a2m)=-××m=-(8m2+12m)=-(2n2+6n).②当n=2m-1,m∈N*时,T n=T2m-1=T2m+(-1)2m·a2m·a2m+1=-(8m2+12m)+(16m2+16m+3)=(8m2+4m+3)=(2n2+6n+7).所以T n=要使T n≥tn2对n∈N*恒成立,只要使-(2n2+6n)≥tn2(n为正偶数)恒成立.即使-≥t对n为正偶数恒成立,故实数t的取值范围是.1.(5分)某学校餐厅每天供应500名学生用餐,每星期一有A,B两种菜可供选择.调查资料表明,凡是在星期一选A种菜的学生,下星期一会有20 改选B种菜;而选B种菜的学生,下星期一会有30 改选A种菜.用a n,b n分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的学生人数,若a1=300,则a n+1与a n的关系可以表示为世纪金榜导学号12560592 ( )A.a n+1=a n+150B.a n+1=a n+200C.a n+1=a n+300D.a n+1=a n+180【解析】选A.由题意得第n+1个星期的星期一选A种菜的学生人数a n+1应满足消去b n,得a n+1=a n+150.2.(5分)(2018·郑州模拟)已知f′(x)=2x+m,且f(0)=0,函数f(x)的图象在点A(1,f(1))处的切线的斜率为3,数列的前n项和为S n,则S2 018的值为( )A. B.C. D.【解析】选B.由题意f′(1)=2+m=3,所以m=1,所以f′(x)=2x+1,又f(0)=0可得f(x)=x2+x,则===-,所以S2 018=1-+-+…+-=1-=.【变式备选】已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的正数x,y 都有f(x·y)=f(x)+f(y),若数列{a n}的前n项和为S n,且满足f(S n+2)-f(a n)=f(3)(n∈N*),则a n为( )A.2n-1B.nC.2n-1D.【解析】选D.由f(S n+2)=f(a n)+f(3)(n∈N*),得S n+2=3a n,S n-1+2=3a n-1(n≥2),两式相减得,2a n=3a n-1(n≥2),即=.当n=1时,S1+2=3a1=a1+2,解得a1=1,所以数列{a n}是首项为1,公比为的等比数列,则a n=.3.(5分)已知等比数列{a n}中,各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则=________.【解析】因为 a1,a3,2a2成等差数列,所以 2×a3=a1+2a2,即a3=a1+2a2,设等比数列{a n}的公比为q且q>0,则a3=a1q2,a2=a1q,所以 a1q2=a1+2a1q,所以 q2=1+2q,解得q1=1+,q2=1-(舍),==q2=(+1)2=3+2.答案:3+24.(12分)已知数列{a n}的首项a1=,a n+1=,n∈N*.(1)求证:数列为等比数列.(2)记S n=++…+,若S n<100,求最大正整数n.【解析】(1)由a n+1=可得=+,所以-1=-=.又因为-1=≠0,所以-1≠0(n∈N*).所以数列是首项为,公比为的等比数列.(2)由(1)可得-1=·,所以=2·+1.S n=++…+=n+2=n+2·=n+1-,若S n<100,则n+1-<100,所以满足条件的最大正整数n为99.5.(13分)已知数列{a n}是等比数列,首项a1=1,公比q>0,其前n项和为S n,且S1+a1,S3+a3,S2+a2成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)若数列{b n}满足a n+1=,T n为数列{b n}的前n项和,若T n≥m恒成立,求m 的最大值.【解析】(1)由题意可知:2(S3+a3)=(S1+a1)+(S2+a2),即2(a1+a2+2a3)=(a1+a1)+(a1+2a2),即4a3=a1,所以q2=,因为q>0,所以q=,因为a1=1,所以a n=,n∈N*.(2)因为a n+1=,所以=,所以b n=n·2n-1,所以T n=1×1+2×2+3×22+…+n·2n-1,①所以2T n=1×2+2×22+3×23+…+n·2n,②所以①-②得-T n=1+2+22+…+2n-1-n·2n=-n·2n=(1-n)·2n-1,所以T n=1+(n-1)·2n.因为T n≥m恒成立,只需(T n)min≥m.因为T n+1-T n=n·2n+1-(n-1)·2n=(n+1)·2n>0,所以数列{T n}为递增数列,故当n=1时,(T n)min=1, 所以m≤1,所以m的最大值为1.。
2019届北师大版(理科数学)等比数列及其前n项和单元测试
三十二等比数列及其前n项和一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018·重庆模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n,且S3=14,a3=8,则a6= ( )A.16B.32C.64D.128【解析】选C.由题意得,等比数列的公比为q,由S3=14,a3=8,则解得a1=2,q=2,所以a6=a1q5=2×25=64,故选C.2.(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{a n}前6项的和为 ( )A.-24B.-3C.3D.8【解析】选A.设等差数列的公差为d,d≠0,=a2·a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),d2=-2d(d≠0),所以d=-2,所以S6=6×1+×(-2)=-24.3.(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯世纪金榜导学号12560576 ( )A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏【解析】选B.设塔的顶层共有灯x盏,则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列,由=381可得x=3.4.(2018·临沂模拟)已知等比数列{a n}的前n项和为S n=a·2n-1+,则a的值为( ) A.- B. C.- D.【解析】选A.当n≥2时,a n=S n-S n-1=a·2n-1-a·2n-2=a·2n-2,当n=1时,a1=S1=a+,又因为{a n}是等比数列,所以a+=,所以a=-.5.在公比为的等比数列{a n}中,若sin(a1a4)=,则cos(a2a5)的值是( )A.-B.C.D.【解析】选B.由等比数列的通项公式可知a2a5=(a1a4)q2=2(a1a4),cos(a2a5)=1-2sin2(a1a4)=1-2×=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2017·北京高考)若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则=______.【解析】设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q.由题意得-1+3d=-q3=8⇒d=3,q=-2⇒==1.答案:17.已知数列{a n}是等比数列,a2=2,a5=,则a1a2a3+a2a3a4+…+a n a n+1a n+2=________. 【解析】设数列{a n}的公比为q,则q3==,解得q=,a1==4.易知数列{a n a n+1a n+2}是首项为a1a2a3=4×2×1=8,公比为q3=的等比数列,所以a1a2a3+a2a3a4+…+a n a n+1a n+2==(1-2-3n).答案:(1-2-3n)8.(2015·湖南高考)设S n为等比数列的前n项和,若a1=1且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n=__________.【解题指南】由3S1,2S2,S3成等差数列,可求得公比q=3,然后求a n.【解析】因为3S1,2S2,S3成等差数列,所以2×2(a1+a2)=3a1+a1+a2+a3⇒a3=3a2⇒q=3,所以a n=a1q n-1=3n-1.答案:3n-1三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2018·烟台模拟)已知等差数列{a n}中,a1=1,且a1,a2,a4+2成等比数列. (1)求数列{a n}的通项公式及其前n项和S n.(2)设b n=,求数列{b n}的前2n项和T2n.【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d,因为a1=1,且a1,a2,a4+2成等比数列.所以=a1·(a4+2),即(1+d)2=1×(1+3d+2),解得d=2或-1.其中d=-1时,a2=0,舍去.所以d=2,可得a n=1+2(n-1)=2n-1.S n==n2.(2)b n==.所以当n为偶数时,==16.当n为奇数时,==.所以数列{b n}的奇数项是以为首项,为公比的等比数列;偶数项是以8为首项,16为公比的等比数列.所以数列{b n}的前2n项和T2n=(b1+b3+…+b2n-1)+(b2+b4+…+b2n)=+=(16n-16-n).10.(2015·广东高考改编)设数列{a n}的前n项和为S n,n∈N*.已知a1=1,a2=,a3=,且当n≥2时,4S n+2+5S n=8S n+1+S n-1.(1)求a4的值.(2)证明:为等比数列.【解析】(1)当n=2时,4S4+5S2=8S3+S1,即4+5=8+1,解得a4=.(2)由4S n+2+5S n=8S n+1+S n-1(n≥2),4S n+2-4S n+1+S n-S n-1=4S n+1-4S n(n≥2),即4a n+2+a n=4a n+1(n≥2).因为4a3+a1=4×+1=6=4a2,所以4a n+2+a n=4a n+1,所以====,所以数列是以a2-a1=1为首项,为公比的等比数列.1.(5分)(2018·福州模拟)已知数列{a n}满足log3a n+1=log3a n+1(n∈N*),且a2+a4+a6=9,则lo(a5+a7+a9)的值是( )A.-5B.-C.5D.【解析】选A.因为log3a n+1=log3a n+1,所以a n+1=3a n.所以数列{a n}是公比q=3的等比数列,所以a2+a4+a6=a2(1+q2+q4)=9.所以a5+a7+a9=a5(1+q2+q4)=a2q3(1+q2+q4)=35.所以lo35=-5.【变式备选】等比数列{a n}满足a n>0,n∈N*,且a3·a2n-3=22n(n≥2),则当n≥1时,log2a1+log2a2+…+log2a2n-1=________.【解析】由等比数列的性质,得a3·a2n-3==22n,从而得a n=2n.所以log2a1+log2a2+…+log2a2n-1=log2[(a1a2n-1)·(a2a2n-2)·…·(a n-1a n+1)a n]=log22n(2n-1)=n(2n-1)=2n2-n. 答案:2n2-n2.(5分)已知数列{a n}为等比数列,若a4+a6=10,则a7(a1+2a3)+a3a9的值为( )A.10B.20C.100D.200【解析】选C.a7(a1+2a3)+a3a9=a7a1+2a7a3+a3a9=+2a4a6+=(a4+a6)2=102=100. 3.(5分)(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为________.【解析】由于{a n}是等比数列,设a n=a1q n-1,其中a1是首项,q是公比.所以⇒解得:故a n=,所以a1·a2·…·a n===.当n=3或4时,取到最小值-6,此时取到最大值26=64.所以a1·a2·…·a n的最大值为64.答案:644.(12分)(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n,其中λ≠0.(1)证明{a n}是等比数列,并求其通项公式.(2)若S5=,求λ.【解析】(1)由题意得a1=S1=1+λa1,故a1=,由S n=1+λa n,S n+1=1+λa n+1得a n+1=λa n+1-λa n,所以=,因此数列{a n}是以a1=为首项,以为公比的等比数列,a n=.(2)由(1)得S n=1-,又因为S5=,所以=1-,即=,解得λ=-1.5.(13分)(2018·郑州模拟)已知数列{a n}满足a1=5,a2=5,a n+1=a n+6a n-1(n≥2).(1)求证:{a n+1+2a n}是等比数列.(2)求数列{a n}的通项公式.【解析】(1)因为a n+1=a n+6a n-1(n≥2),所以a n+1+2a n=3a n+6a n-1=3(a n+2a n-1)(n≥2).因为a1=5,a2=5,所以a2+2a1=15,所以a n+2a n-1≠0(n≥2),所以=3(n≥2),所以数列{a n+1+2a n}是以15为首项,3为公比的等比数列.(2)由(1)得a n+1+2a n=15×3n-1=5×3n,则a n+1=-2a n+5×3n,所以a n+1-3n+1=-2(a n-3n).又因为a1-3=2,所以a n-3n≠0,所以{a n-3n}是以2为首项,-2为公比的等比数列.所以a n-3n=2×(-2)n-1,即a n=2×(-2)n-1+3n.。
2019届北师大版(理科数学) 微专题3 高考中的数列问题 单元测试
微专题3 高考中的数列问题一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知等差数列{a n }的公差不为0,前n 项和S n 满足S 32=9S 2,S 4=4S 2,则a 2= ( )A.34B.43C.49D.892.[数学文化题]《九章算术》中有一题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗.羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?其意:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿五斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,问牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟?在这个问题中,牛主人比羊主人多赔偿( )A.507斗粟B.107斗粟C.157斗粟 D.207斗粟 3.已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,S 4=5S 2,则a 2·a 7a 42的值为 ( )A.-2或-1B.1或2C.±2或-1D.±1或±24.已知数列{a n }是公比为2的等比数列,满足a 6=a 2·a 10,设等差数列{b n }的前n 项和为S n ,若b 9=2a 7,则S 17=( )A.34B.39C.51D.68 二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知数列{a n }满足2a n ·a n+1+a n+1-a n =0,且a 1=1,则数列{a n }的通项公式为 .6.已知在等差数列{a n }中,{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S 13=91,若Sk a k =6,则正整数k= .三、解答题(共48分)7.(12分)已知数列{a n }满足a 1=1,且a n +12-a n 2=2(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求数列{a n 2(12)n }的前n 项和.8.(12分)已知数列{a n }是公差为1的等差数列,且a 4,a 6,a 9成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =(-2)a n +(-1)n ·2a n +1a n a n +1,求数列{b n }的前2n 项和.9.(12分)已知数列{a n }为公差不为0的等差数列,a 2=3,且log 2a 1,log 2a 3,log 2a 7成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若数列{b n }满足b n =1an a n +1,求数列{b n }的前n 项和S n .10.(12分)在数列{a n }中,a 1=4,na n+1-(n+1)a n =2n 2+2n. (1)求证:数列{an n }是等差数列; (2)求数列{1a n}的前n 项和S n .答案1.B 解法一 设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则 (3a 1+3d )2=9(2a 1+d ),4a 1+6d =4(2a 1+d ),即(a 1+d )2=2a 1+d ,d =2a 1,解得 a 1=0,d =0(舍去)或 a 1=49,d =89,则a 2=a 1+d=43,故选B . 解法二 设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,由题意得 (3a 2)2=9(a 1+a 2),4a 1+6d =4(a 1+a 2),即a 22=a 1+a 2,a 2=3a 1,解得 a 2=43,a 1=49或 a 2=0,a 1=0(舍去),故选B . 2.C 解法一 设羊、马、牛的主人赔偿粟的斗数分别为a 1,a 2,a 3,则这3个数依次成等比数列,公比q=2,于是得a 1+2a 1+4a 1=5,解得a 1=57,故a 3=207,a 3-a 1=207-57=157,故牛主人比羊主人多赔偿了157斗粟.解法二 羊、马、牛的主人所应赔偿的比例是1∶2∶4,故牛主人应赔偿5×47=207斗粟,羊主人应赔偿5×17=57斗粟,故牛主人比羊主人多赔偿了157斗粟.3.C 设等比数列{a n }的公比为q ,若q=1,则S 2=2a 1,S 4=4a 1,此时,S 4=5S 2不成立,故公比q ≠1,则S n =a 1(1-q n )1-q,由S 4=5S 2得a 1(1-q 4)1-q=5a 1(1-q 2)1-q,即q 4-5q 2+4=0,解得q 2=1或q 2=4,所以q=-1或q=±2,又a 2·a 7a 42=a 1q ·a 1q 6(a 1q 3)2=q=-1或±2,故选C .4.D 解法一 数列{a n }是公比q=2的等比数列,由a 6=a 2·a 10得a 1q 5=a 1q ·a 1q 9,∴a 1q 5=1,∴a 6=1,∴b 9=2a 7=2a 6·q=2×1×2=4,设等差数列{b n }的公差为d ,则S 17=17b 1+17×162d=17(b 1+8d )=17b 9=68,故选D .解法二 数列{a n }是公比为2的等比数列,由等比数列的性质得a 6=a 2·a 10=a 62,∴a 6=1,∴b 9=2a 7=2a 6×2=4,∴等差数列{b n }的前17项和S 17=17(b 1+b 17)2=17b 9=68,故选D .5.a n =12n -1 ∵2a n ·a n+1+a n+1-a n =0,∴2+a n +1an ·a n +1-a nan ·a n +1=0,∴1an +1-1a n=2,由等差数列的定义可得{1a n}是以1a 1=1为首项,2为公差的等差数列,故1a n=1+2(n-1)=2n-1,∴a n =12n -1.6.11 解法一 设等差数列{a n }的公差为d ,则由S 13=91,得13a 1+13×(13-1)2d=91,根据a 1=1,得d=1,所以a n =n ,所以S k =k (k +1)2,所以S k a k=k +12=6,所以k=11.解法二 在等差数列{a n }中,S 13=91,根据等差数列的性质,可得13a 7=91,即a 7=7,又a 1=1,所以可得公差d=1,即a n =n ,所以S k =k (k +1)2,所以S k a k=k +12=6,所以k=11.7.(1)由题意知数列{a n 2}是以a 12=1为首项,2为公差的等差数列, 则a n 2=1+(n-1)×2=2n-1,(2分)所以数列{a n }的通项公式为a n = 2n -1或a n = 1,n =1,- 2n -1,n ≥2.(6分) (2)由(1)知a n 2(12)n =(2n-1)12,设数列{a n 2(12)n }的前n 项和为S n ,则S n =1×12+3×12+5×12+…+(2n-1)×12 ①,12S n=1×122+3×123+5×124+…+(2n-1)×12n +1 ②, (8分)①-②,得1 2S n=12+2(12+12+…+12)-(2n-1)×12=1 2+2×14(1-12n-1)1-12-(2n-1)×12=3 2-(2n+3)×12,所以S n=3-2n+32n.故数列{a n2(12)n}的前n项和为3-2n+32n.(12分)8.(1)因为a4,a6,a9成等比数列,所以a62=a4·a9,(2分) 所以(a1+5)2=(a1+3)·(a1+8),解得a1=1,(3分) 所以a n=n.(5分)(2)由(1)知,a n=n,所以b n=(-2)n+(-1)n·2n+1n(n+1)=(-2)n+(-1)n(1n+1n+1).(8分)所以数列{b n}的前2n项和T2n=(-2+22-23+24+…-22n-1+22n)+[-(1+12)+(12+13)-(13+14)+…+(12n+12n+1)]=-2[1-(-2)2n]1-(-2)+(-1-12+12+13-13-14+…+12n+12n+1)=2(4n-1)3+(-1+12n+1)=2(4n-1)3-2n2n+1.(12分)9.(1)设数列{a n}的公差为d.由log2a1,log2a3,log2a7成等差数列,得2log2a3=log2a1+log2a7,(2分) 即2log2(3+d)=log2(3-d)+log2(3+5d),(3分) 得log2(3+d)2=log2(3-d)(3+5d),得(3+d)2=(3-d)(3+5d),解得d=1或d=0(舍去).(5分) 所以数列{a n}的通项公式为a n=a2+(n-2)·d=3+(n-2)·1=n+1.(7分)(2)因为b n=1a n a n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2,(9分)所以S n=12-13+13-14+14-15+…+1n-1-1n+1n-1n+1+1n+1-1n+2=12-1n+2=n2(n+2).(12分)10.(1)解法一na n+1-(n+1)a n=2n2+2n的两边同时除以n(n+1),得a n+1n+1-a nn=2.又a11=4,所以数列{a nn}是首项为4,公差为2的等差数列.(6分)解法二因为a n+1n+1-a nn=na n+1-(n+1)a nn(n+1)=2n2+2nn2+n=2,a11=4,所以数列{a nn}是首项为4,公差为2的等差数列.(6分)(2)由(1),得a nn=a1+2(n-1),即a nn=2n+2,即a n=2n2+2n,故1a n =12n2+2n=12·1n(n+1)=12(1n-1n+1),(9分)所以S n=12[(1-12)+(12-13)+…+(1n-1n+1)]=1 2(1-1n+1)=n2(n+1).（12分）。
2019届北师大版(理科数学) 数列的通项 单元测试
一、选择题1．(2018届杭州模拟)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n 2．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2nB ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，n ＝1，2n ，n ≥2C ．a n ＝2n －1D ．a n ＝2n ＋1 3．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝－2a n ＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n 等于( )A ．(－2)n －1＋1B ．2n －1＋1 C ．(－2)n －1 D ．(－2)n ＋1－1 4．在a 和b (a ≠b )之间插入n 个数，使它们与a ，b 组成等差数列，则该数列的公差为( ) A.b －a nB.a －b n ＋1C.b －a n ＋1D.b －a n ＋2 5．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且满足a 12＋a 22＝2a 1＋2a 2，a 34＋a 44＝4a 3＋4a 4，则a 1a 5等于( )A ．24 2B ．8C ．8 2D ．166．设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( )A ．d >0B ．d <0C ．a 1d >0D ．a 1d <07．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于( )A ．0B ．3C ．8D ．118．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n ，则数列{a n }的通项公式a n 等于( )A ．(n ＋1)3B ．(2n ＋1)2C ．8n 2D ．(2n ＋1)2－1二、填空题9．定义：称n x 1＋x 2＋…＋x n为n 个正数x 1，x 2，…，x n 的“平均倒数”，若正项数列{c n }的前n 项的“平均倒数”为12n ＋1，则数列{c n }的通项公式c n ＝________. 10．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＝⎩⎨⎧ 1＋2a n 2，n 为偶数，12＋2a n －12，n 为奇数，n ＝2,3,4，…，设b n ＝a 2n －1＋1，n ＝1,2,3，…，则数列{b n }的通项公式是________．11．已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和为S n ，T n ，若对任意的自然数n ，都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 4＋b 8＝________. 12．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝3a n －1＋3n ＋4(n ∈N *，n ≥2)，若存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ3n 为等差数列，则λ＝________.答案精析1．A [因为a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ， 所以a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n＝ln(n ＋1)－ln n . 又a 1＝2，所以a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln(n －1)]＝2＋ln n －ln 1＝2＋ln n (n ≥2)，又a 1＝2也满足2＋ln n ，所以a n ＝2＋ln n (n ∈N *)．]2．B 3.A4．C5．C [∵a 1＋a 22＝2(a 1＋a 2)a 1a 2，∴a 1a 2＝4，同理，a 3a 4＝16， ∴q 2＝2，即q ＝ 2.∵a 3a 4＝16，∴a 23＝82，而a 1a 5＝a 23，∴a 1a 5＝82，故选C.]6．D [令b n ＝2a 1a n ，因为数列{b n }为递减数列，所以b n ＋1b n ＝2a 1a n ＋12a 1a n＝2a 1(a n ＋1－a n )＝2a 1d <1，所以a 1d <0.] 7．B [∵{b n }为等差数列且b 3＝－2，b 10＝12，∴b 10－b 3＝7d ＝14，∴d ＝2，∴b n ＝b 3＋(n －3)d ＝2n －8.∴a n ＋1－a n ＝2n －8.∴a 8－a 7＝6，a 7－a 6＝4，…，a 2－a 1＝－6，累加得a 8－a 1＝7×(6－6)2＝0，∴a 8＝a 1＝3.故选B.] 8．A [当n ＝1时，4(1＋1)(a 1＋1)＝(1＋2)2a 1，解得a 1＝8，当n ≥2时，由4(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n n ＋1，得4(S n －1＋1)＝(n ＋1)2a n －1n ，两式相减，得4a n ＝(n ＋2)2a n n ＋1－(n ＋1)2a n －1n ，即a n a n －1＝(n ＋1)3n 3，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝(n ＋1)3n 3×n 3(n －1)3×…×3323×8＝(n ＋1)3，经验证n ＝1时也符合，所以a n ＝(n ＋1)3.]9．4n －1解析 由已知可得，数列{c n }的前n 项和S n ＝n (2n ＋1)，所以数列{c n }为等差数列，首项c 1＝S 1＝3，c 2＝S 2－S 1＝10－3＝7，故公差d ＝c 2－c 1＝7－3＝4，得数列的通项公式为c n ＝c 1＋(n －1)×4＝4n －1.10．b n ＝2n解析 由题意可知，对于任意的正整数n ，b n ＝a 2n －1＋1，所以b n ＋1＝a 2n ＋1，又a 2n ＋1＝2(a 2n －1＋1)＝2b n ，所以b n ＋1＝2b n ，又b 1＝a 1＋1＝2， 所以{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以b n ＝2n .11.1941解析 ∵等差数列{a n }，{b n }的前n 项和为S n ，T n ，对任意的自然数n ，都有S n T n ＝2n －34n －3， ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 4＋b 8＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝2a 62b 6＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝S 11T 11＝2×11－34×11－3＝1941. 12．2解析 设b n ＝a n ＋λ3n ，得a n ＝3n b n －λ，代入已知得3n b n －λ＝3(3n －1b n －1－λ)＋3n ＋4，变形为3n (b n －b n －1－1)＝－2λ＋4，这个式子对大于1的所有正整数n 都成立．由于{b n }是等差数列，b n －b n －1是常数，所以b n －b n －1－1＝0，即－2λ＋4＝0，可得λ＝2.。
北师大版(理) 数列(A) 单元测试(含答案)
单元质检卷六数列(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a4=15,S5=55,则数列{a n}的公差是()A. B.4C.-4D.-32.(2018辽宁沈阳交联体期中,6)已知a1=1,a n=n(a n+1-a n)(n∈N+),则数列{a n}的通项公式是()A.a n=2n-1B.a n=2n+3C.a n=nD.a n=n23.在等差数列{a n}中,已知a4=5,a3是a2和a6的等比中项,则数列{a n}的前5项的和为()A.15B.20C.25D.15或254.(2018河南郑州三模,6)已知S n是等差数列{a n}的前n项和,则“S n<na n对n≥2恒成立”是“数列{a n}为递增数列”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.(2018全国高考必刷模拟一,5)已知数列{a n}的前n项和为S n,若S n=1+2a n(n≥2),且a1=2,则S20=()A.219-1B.221-2C.219+1D.221+26.(2018新疆乌鲁木齐三模)已知数列{a n}、{b n}满足a1=b1=1,a n+1-a n==2(n∈N+),则数列{}的前10项的和为()A.(49-1)B.(410-1)C.(49-1)D.(410-1)二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2018江苏南京、盐城一模,10)设S n为等差数列{a n}的前n项和,若{a n}的前2 017项中的奇数项的和为2 018,则S2 017的值为.8.(2018辽宁抚顺一模,16)已知数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,a n+1=S n+2,则a9的值为.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2018北京,文15)设{a n}是等差数列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2.(1)求{a n}的通项公式;(2)求+…+.10.(15分)(2018河北石家庄一模,17)已知{a n}是公差不为零的等差数列,满足a3=7,且a2,a4,a9成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设数列{b n}满足b n=a n·a n+1,求数列的前n项和S n.11.(15分)(2018江西南昌三模,17)已知数列{a n}的各项均为正数,且-2na n-(2n+1)=0,n∈N+.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=2n·a n,求数列{b n}的前n项和T n.参考答案单元质检卷六数列(A)1.B∵{a n}是等差数列,a4=15,S5=55,∴a1+a5=22,∴2a3=22,a3=11.∴公差d=a4-a3=4.2.C由a n=n(a n+1-a n),得(n+1)a n=na n+1,=,∴==1,故a n=n,故选C.3.A∵在等差数列{a n}中,a4=5,a3是a2和a6的等比中项,∴解得-∴S5=5a1+d=5×(-1)+×2=15.故选A.4.A设{a n}的首项为a1,公差为d,∵S n<na n对n≥2恒成立,∴na1+n(n-1)d<na1+n(n-1)d,化为n(n-1)d>0,∴d>0.∴数列{a n}为递增数列,反之也成立.∴“S n<na n对n≥2恒成立”是“数列{a n}为递增数列”的充要条件.5.C∵S n=1+2a n(n≥2∴S2=1+2a2(n≥2 a1+a2=1+2a2,∴a2=1.S n=1+2a n(n≥2 ①S n-1=1+2a n-1(n≥3 ②①-②得a n=2a n-1,∴数列{a n}是从第2项开始的等比数列,则S20=a1+-=219+1.-6.D由题可知a n=1+(n-1)·2=2n-1,b n=1·2n-1,则数列{}即为数列{b n}的奇数项,数列{}仍为等比=(410-数列,其首项为b1=1,公比为原数列{b n}公比的平方,则数列{}的前10项的和为S10=--1).7.4 034∵{a n}的前2 017项中的奇数项的和为2 018,∴(a1+a2 017)=2 018,∴a1+a2 017=4.∴S2 017=(a1+a2 017)=4 034.8.384当n≥2时,由a n+1=S n+2,得a n=S n-1+2,两式相减,得a n+1-a n=a n,∴a n+1=2a n,当n=1时,a2=S1+2=3,所以当n≥2时,数列{a n}是以2为公比的等比数列,∴a9=a2×27=3×128=384.9.解 (1)设等差数列{a n}的公差为d,∵a2+a3=5ln 2.∴2a1+3d=5ln 2,又a1=ln 2,∴d=ln 2.∴a n=a1+(n-1)d=n ln 2.(2)由(1)知a n=n ln 2.∵=e n ln 2==2n,∴{}是以2为首项,2为公比的等比数列.∴++…+=2+22+ (2)=2n+1-2.10.解 (1)设数列{a n}的公差为d,且d≠0由题意得即-解得∴a n=3n-2.(2)由(1)得b n=a n·a n+1=(3n-2)(3n+1),∴=-,-∴S n=++…+=1-+-+…+-=1-=.-11.解 (1)由-2na n-(2n+1)=0,得[a n-(2n+1)](a n+1)=0.∵数列{a n}的各项均为正数,∴a n=(2n+1),n∈N+.(2)由b n=2n·a n=2n·(2n+1),∴T n=2×3+22×5+23×7+…+2n×(2n+1), ①2T n=22×3+23×5+24×7+…+2n+1×(2n+1), ②由①-②得-T n=6+2(22+23+…+2n)-2n+1×(2n+1)=6-2×----2n+1×(2n+1)=-2+2n+1×(2n+1), ∴T n=2+(2n-1)×2n+1.。
北京师范大学附中2019高三数学二轮练习单元练习：数列
北京师范大学附中2019高三数学二轮练习单元练习：数列本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分、总分值150分、考试时间120分钟、第一卷(选择题 共60分)【一】选择题(本大题共12个小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的) 1、设等比数列{n a }的公比q=2，前n 项和为S 。
，那么43S a 的值为( )A 、154B 、152C 、74D 、72【答案】A2、利用数学归纳法证明 “*),12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=+⋅⋅⋅++ ”时，从“k n =”变到“1+=k n ”时，左边应增乘的因式是( )A 、 12+kB 、 112++k k C 、 1)22)(12(+++k k k D 、 132++k k【答案】C 3、等差数列5724,743…，那么使得n S 取得最大值的n 值是( ) A 、15 B 、7C 、8和9D 、 7和8【答案】D 4、数列{}n a 的通项公式为n n a n 2832-=，那么数列{}n a 各项中最小项是( )A 、 第4项B 、 第5项C 、 第6项D 、 第7项【答案】B 5、两个等差数列{}na和{}n b 的前n 项和分别A n和B n，且3457++=n n B A n n，那么使得nn b a 为整数的正整数n 的值是( ) A 、1，3，5，8，11 B 、所有正整数 C 、1，2，3，4，5 D 、1，2，3，5，11【答案】D 6、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设17S 为一确定常数，那么以下各式也为确定常数的是( ) A 、215a a + B 、215a a ⋅C 、2916a a a ++D 、2916a a a ⋅⋅【答案】C7、等比数列}{n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差，那么87109a a a a ++=( ) A 、21+B 、21- C 、223+D 、223-【答案】C8、在等差数列{a n }中，假设a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，那么2 a 10－a 12的值为( )A 、20B 、22C 、24D 、28【答案】C 9、在等差数列中，有，那么此数列的前13项之和为( ) A 、24 B 、39C 、52D 、104【答案】C10、一个正项等比数列{}n a 中，225)()(1088977=+++a a a a a a ，那么=+97a a ( )A 、20B 、15C 、10D 、5【答案】B 11、等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，那么1a =( )A 、 12B 、C 、D 、 2【答案】B12、假设数列{}na的通项公式为),n a n N *=∈假设前n 项和为10，那么项数为( ) A 、 11 B 、99C 、120D 、121【答案】C第二卷(非选择题 共90分)【二】填空题(本大题共4个小题，每题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) ①假设{}n a 是等差数列，那么三点10(10,)10S 、100(100,)100S 、110(110,)110S 共线； ②假设{}n a 是等差数列，且111a =-，376a a +=-，那么1S 、2S 、…、n S 这n 个数中必然存在一个最大者； ③假设{}n a 是等比数列，那么m S 、2m m S S -、32m m S S -(*m N ∈)也是等比数列；④假设11n n S a qS +=+(其中常数10a q ≠)，那么{}n a 是等比数列.其中正确命题的序号是.(将你认为的正确命题的序号．．都填上) 【答案】①④ 14、设为等差数列的前项和，假设，，那么当取得最大值时，的值为。
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1.设数列{a n}的前n项和为S n.已知2S n＝3n＋3.(1)求{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足a n b n＝log3a n，求{b n}的前n项和T n.2．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设S n为数列{a n}的前n项和，b n＝a n＋1S n S n＋1，求数列{b n}的前n项和T n.3．已知数列{a n }的各项均为正数，S n 是数列{a n }的前n 项和，且4S n ＝a 2n ＋2a n －3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知b n ＝2n ，求T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的值．4．在数列{a n }中，a 1＝12，其前n 项和为S n ，且S n ＝a n ＋1－12(n ∈N *)． (1)求a n ，S n ；(2)设b n ＝log 2(2S n ＋1)－2，数列{c n }满足c n ·b n ＋3·b n ＋4＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2b n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使4T n >2n ＋1－1504成立的最小正整数n 的值．5．已知函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝12. (1)当n ∈N *时，求f (n )的表达式；(2)设a n ＝n ·f (n )，n ∈N *，求证：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n <2；(3)设b n ＝(9－n )f (n ＋1)f (n )，n ∈N *，S n 为{b n }的前n 项和，当S n 最大时，求n 的值．6．已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数 y ＝f (x )的图象上．(1)求y ＝f (x )的解析式；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m 20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m .答案精析1．解 (1)因为2S n ＝3n ＋3，所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3， 当n >1时，2S n －1＝3n －1＋3，此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1，即a n ＝3n －1， 显然a 1不满足a n ＝3n －1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3n －1，n >1. (2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝13， 当n >1时，b n ＝31－n log 33n －1＝(n －1)·31－n ，所以T 1＝b 1＝13. 当n >1时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13＋[1×3－1＋2×3－2＋3×3－3＋…＋(n －1)×31－n ]， 所以3T n ＝1＋[1×30＋2×3－1＋3×3－2＋…＋(n －1)×32－n ]，两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3－1＋3－2＋3－3＋…＋32－n )－(n －1)×31－n ＝23＋1－31－n 1－3－1－(n －1)×31－n＝136－6n ＋32×3n ，所以T n ＝1312－6n ＋34×3n. 经检验，n ＝1时也适合．综上可得T n ＝1312－6n ＋34×3n. 2．解 (1)由题设知a 1·a 4＝a 2·a 3＝8.又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去)． 由a 4＝a 1q 3得公比q ＝2，故a n ＝a 1q n －1＝2n －1(n ∈N *)．(2)S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n －1， 又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1S 1－1S 2＋⎝⎛⎭⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1. 3．解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝14a 21＋12a 1－34. 解得a 1＝3或a 1＝－1(舍)．又∵4S n ＝a 2n ＋2a n －3，① 当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －1＋2a n －1－3.②①－②，得4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2(a n －a n －1)，即a 2n －a 2n －1－2(a n ＋a n －1)＝0.∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0.∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝2 (n ≥2)，∴数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列．∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.(2)T n ＝3×21＋5×22＋…＋(2n ＋1)·2n ，③2T n ＝3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)2n ＋1，④ ④－③，得T n ＝－3×21－2(22＋23＋…＋2n )＋(2n ＋1)2n ＋1＝－6＋8－2·2n ＋1＋(2n ＋1)·2n ＋1＝(2n －1)2n ＋1＋2.4．解 (1)由S n ＝a n ＋1－12，得S n －1＝a n －12(n ≥2)， 两式作差得a n ＝a n ＋1－a n ，即2a n ＝a n ＋1(n ≥2)，∴a n ＋1a n＝2(n ≥2)， 由a 1＝S 1＝a 2－12＝12，得a 2＝1，∴a 2a 1＝2， ∴数列{a n }是首项为12，公比为2的等比数列． 则a n ＝12·2n －1＝2n －2，S n ＝a n ＋1－12＝2n －1－12. (2)b n ＝log 2(2S n ＋1)－2＝log 22n －2＝n －2，∴c n ·b n ＋3·b n ＋4＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2b n ，即c n (n ＋1)(n ＋2)＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2n －2，∴c n ＝1(n ＋1)(n ＋2)＋2n －2＝1n ＋1－1n ＋2＋2n －2， ∴T n ＝⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2 ＋(2－1＋20＋…＋2n －2)＝12－1n ＋2＋12(1－2n )1－2＝12－1n ＋2－12＋2n －1＝2n －1－1n ＋2. 由4T n >2n ＋1－1504， 得4⎝⎛⎭⎪⎫2n －1－1n ＋2>2n ＋1－1504.即4n ＋2<1504，n >2 014. ∴使4T n >2n ＋1－1504成立的最小正整数n 的值为2 015. 5．(1)解 令x ＝n ，y ＝1，得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝12f (n )， ∴{f (n )}是首项为12，公比为12的等比数列， ∴f (n )＝⎝⎛⎭⎫12n .(2)证明 设T n 为{a n }的前n 项和，∵a n ＝n ·f (n )＝n ·⎝⎛⎭⎫12n ， ∴T n ＝12＋2×⎝⎛⎭⎫122＋3×⎝⎛⎭⎫123＋…＋n ×⎝⎛⎭⎫12n ， 12T n ＝⎝⎛⎭⎫122＋2×⎝⎛⎭⎫123＋3×⎝⎛⎭⎫124＋…＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫12n ＋n ×⎝⎛⎭⎫12n ＋1， 两式相减得12T n ＝12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －n ×⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝1－⎝⎛⎭⎫12n －n ×⎝⎛⎭⎫12n ＋1， ∴T n ＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1－n ×⎝⎛⎭⎫12n <2. (3)解 ∵f (n )＝⎝⎛⎭⎫12n ，∴b n ＝(9－n )f (n ＋1)f (n )＝(9－n )⎝⎛⎭⎫12n ＋1⎝⎛⎭⎫12n ＝9－n 2. ∴当n ≤8时，b n >0；当n ＝9时，b n ＝0；当n >9时，b n <0.∴当n ＝8或n ＝9时，S n 取得最大值．6．解 (1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，易得c ＝0，则f ′(x )＝2ax ＋b .由于f ′(x )＝6x －2，得a ＝3，b ＝－2，所以f (x )＝3x 2－2x .(2)由点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上，又f (x )＝3x 2－2x ，所以S n ＝3n 2－2n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＝1，符合上式， 所以a n ＝6n －5(n ∈N *)．(3)由(2)得b n ＝3a n a n ＋1＝3(6n －5)[6(n ＋1)－5]＝3(6n －5)(6n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1， 故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1－17＋⎝⎛⎭⎫17－113＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16n ＋1. 要使T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16n ＋1<m 20成立， 即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10.。