中科院矩阵分析_第五章

第五章特征值的估计及对称矩阵的极性本章主要讨论数值代数中的三个特殊理论，即

特征值的估计

广义特征值问题

实对称矩阵(一般是Hermite矩阵)特征值的极小极大原理，其次也涉及到一些特征值和奇异值的扰动问题，最后简要地介绍矩阵直积的一些性质及其在线性矩阵方程求解方面的应用。这几方面的内容，在矩阵的理论研究与实际应用当中都有着相当重要的作用。

5.1特征值的估计

一、特征值的界

首先给出直接估计矩阵特征值模的上界的

一些方法

定理 5.1 设A=(a rs) R n X1,令

1 , ,

M= ma彷总a sr|

若表示A任一特征值，则的虚部Im()

满足不等式

|Im( )| M n(n21)

|Im( )| ||A A T||2 / 2

|Im( )| ||A A T||1n /2.

证明：设x+i y为对应于的A的特征向量, 则A(x+i y)=( + i)(x+i y)

其中=+ i.显然x,y为实向量，且x,y为线性无关的向量。

经整理A(x,y)=(x,y)B,

其中B= 从而(x,y) T A(x,y)=(x,y) T(x,y)B

展开有

i 1 j i

T

T X y X X T T y y

y X (求等式两边矩阵的对角元之和，可得 (x T x+y T y)=x T Ax+y T Ay

(1) 等式两边矩阵的左上角单元减去右下角单元 可得：

(x T x+y T y)=x T (A A T )y

1) . 记 B=A A T ,则 |x T By| ||x||2||B||2||y||2 从而 1 1 1凶|2

||B||2||y||2 /((||x||2)2 +(||y|2)2)

利用 ab/(a 2+b 2) 1/2 可得 | | ||B||2 /2.

2) .

由于 |x T By| ||B X ||I ||y|| ||B||i ||X ||I ||y||

从而 | | ||B||i ||x||i ||y|| /((||X |2)2 +(||y||2)2)

易证明 ||x||i ||y|| /((||X ||2)2 +(||y||2) 2)

n /2.

(显然，不妨假设(||X ||2)2 +(||y||2)2=1,

设HyH =t=cos ()，则y 必为t e 的形式(为什么？) 从

而极值转化为求解如下最大值问题：

max ||X ||1,满足约束(||X ||2)2=1 t 2

这样有均值不等式 ||x|h i n ||X ||2= 、、n (1 t 2)1/2,

从而我们需要求解t(1 t 2)1/2的最大值，设t=cos() 可得

t(1 t 2)1/2的最大值为1/2.从而得证。)

因此 11 ||B||1 . n /2.

3) . 由于 b ii =0, i =1,2,…,n, b ij = b ji ,

n 1 因此 x T By|2=| b ij (X y j

X j y i )|2 i 1 j i

2 n

(2M)2

|xy j X j Y i |

i 1 j i (利用(a 1+a 2+…+a n )2 n((a 1)2+(a 2)2+ …+(a n )2)

n

(2M)2(n(n 1)/2) | X y j X j yj 2

X T A X y T Ax X T Ay y T Ay T T X X

X y T T X y

y y

(2M)2( n(n 1)/2)

n

/ 2 2 2 2、

(x y j 2X i X j y i y j X j y ) j i

= M2(n(n 1))2[ (x T x) (y T y) (x T y)2] 利用[(x T x) (y T y) (x T y)2] (x T x) (y T y)可得| | M (2n(n 1))1/2 (x T x)1/2 (y T y)1/2

/(x T x+y T y)

M (2n(n 1))1/2 / 2

=M ( n(n 1)/2)1/2

n 1

4). |x T By|=| b j 任y j X j yJ|

i 1 j i

1/2 1/2

n

g I2

j i n

Xj % I2

i 1

Ix

i Y j i 1 j i

n

1/2

而

|^Y j

i 1 j i

.2 T

X j Y i I (x x)1/2(y T y) n

1/2

由此可以有I I (1/2)

i 1

I b ij I2 j i

思考题：对于(1)式，利用定理推导的类似技术，求出关于I I的界。

推论实对称矩阵的特征值都是实数。事实上，当A这实对称矩阵时，M=0.

由定理5.1可得Im( )=0,即为实数。

引理1设B C"列向量y C n满足||y|b=1, 则|y H By| ||B|m. 定理5.2设A C nxn,贝U A的任一特征值满足

| | ||A||m

1 H

|Re( )| -||A A ||m (5.1.3)

2

1 H

|Im( )| 列A A ||m (5.1.4)

推论：Hermite矩阵的特征值都是实数；

反Hermite矩阵的特征值为零或纯虚数。

事实上，当A为Hermite矩阵时，由式(5.1.4)

知Im( )=0,即为实数；

当A为反Hermite矩阵时，由式(5.1.3)知

Re( )=0,即为为零或纯虚数。