山东省莱芜一中2020-2021学年高三第上学期第一次质量检测(数学)数学答案
山东省济南莱芜市第一中学2021-2022高二数学下学期第一次质量检测试题(含解析).doc
山东省济南莱芜市第一中学2021-2022高二数学下学期第一次质量检测试题（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，答题时间120分钟． 注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的级部、班级、姓名、准考证号、写在答题纸密封线外，并将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．考试结束后将答题卡交回．第I 卷（选择题共60分）一、单项选择题．本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 是虚数单位，复数12iz i-=，则z 的虚部为（ ） A. i - B. 1C. iD. 1-【答案】D 【解析】 【分析】由题得2z i =--即得z 的虚部. 【详解】由题得12(12)221i i i i z i i i i --+====--⨯-， 所以z 的虚部为1-. 故选：D.【点睛】本题主要考查复数的除法运算和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2.下列求导运算正确的是（ ）A. sin cos 66ππ'⎛⎫= ⎪⎝⎭B. ()333log xxe '=C. ()x x e e --'=-D.22sin cos x x x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，逐项求解，即可得到答案. 【详解】根据基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，可得：A 中，sin 06π'⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以不正确； B 中，()33ln 3x x '=，所以不正确；C 中，()()x x x e x e e ---'⋅-'==-，所以是正确的；D 中，222222()sin (sin )2sin cos sin sin sin x x x x x x x x xx x x '''⎛⎫-+== ⎪⎝⎭，所以不正确. 故选：C.【点睛】本题主要考查了导数的运算，其中解答中熟记基本初等函数的导数公式和导数的运算法则是解答的关键，意在考查运算与求解能力. 3.已知随机变量()22X N σ~，，若()10.32P X <=，则()23P X <<=（ ）A. 0.32B. 0.68C. 0.18D. 0.34【答案】C 【解析】 【分析】由随机变量()22X N σ~，，得到正态分布曲线关于2x =对称，结合对称性，即可求解.【详解】由题意，随机变量()22X N σ~，，可得2μ=，即正态分布曲线关于2x =对称，根据正态分布曲线的对称性，可得()12(1)120.32230.1822P X P X -<-⨯<<===.故选：C.【点睛】本题主要考查了正态分布的概率的计算，其中解答中熟记正态分布的性质，以及合理应用正态分布曲线的对称性是解答的关键，着重考查推理与运算能力.4.设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()f x '的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数()f x 的图像判断单调性，从而得到导函数的政府情况，最后可得答案.【详解】解：原函数的单调性是：当0x <时，单调递增，当0x >时，单调性变化依次为增、减、增，故当0x <时，()0f x '>，当0x >时，()f x '的符号变化依次为“+、-、+”. 故选：C.【点睛】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，属于基础题.5.2019年6月7日，是我国的传统节日“端午节”．这天，小明的妈妈煮了7个粽子，其中3个腊肉馅，4个豆沙馅．小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为（ ） A.17B.13C.37D.310【答案】B 【解析】 【分析】设事件A 为“取出两个粽子为同一种馅”，事件B 为“取出的两个粽子都为腊肉馅”，计算P （A ）、()P AB 的值，从而求得(|)P B A 的值．【详解】由题意，设事件A 为“取出两个粽子为同一种馅”， 事件B 为“取出的两个粽子都为腊肉馅”，则P （A ）22342737C C C +==， 23271()7C P AB C ==， ()1(|)()3P AB P B A P A ∴==． 故选B ．【点睛】本题主要考查古典概型和条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.6.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为棱1CC 的中点，则直线1B M 与平面11A D M 所成角的正弦值是（ ）A.215B.25C.35D.45【答案】B 【解析】 【分析】通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而求出线面角的正弦值.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则1111(1,0,1),(0,0,1),(0,1,),(1,1,1)2A D M B11(1,0,0)=-A D ，11(0,1,)2=-D M ，11(1,0,)2=MB设平面11A D M 的法向量为(,,)m x y z =则1110=01002x A D m y z D M m -=⎧⎧⋅⎪⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎩⎪⎩令1y =可得2z =，所以(0,1,2)=m 设直线1B M 与平面11A D M 所成角为θ，112sin 5552θ⋅===⋅⨯m MB m MB故选：B【点睛】本题考查了空间中的角——线面角的求法，考查了空间想象能力和数学运算技能，属于一般题目.7.通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好402060由2222()110(40302030),7.8()()()()60506050n ad bc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯算得 附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】A 【解析】【详解】由27.8 6.635K ≈>，而()26.6350.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选A 8.定义在R 上的函数()f x 为奇函数，且当(),0x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<（其中()f x '是()f x 的导函数，若()()0.30.333a f =⋅，()()log 3log 3b f ππ=⋅，3311log log 99c f ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. c a b >>B. a c b >>C. a b c >>D.c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】构造函数()()=F x xf x ，可知函数为偶函数且在()0+∞，上单调递增，a ，b ，c 可转化为()0+∞，的三个数的函数值，比较三个数的大小，利用函数的单调性即可得出a ，b ，c 的大小关系.【详解】()()=F x xf x ，则()'()()'0=+<F x f x xf x ， 当(),0x ∈-∞，()F x 单调递减又因为()f x 为R 上奇函数，所以()F x 为偶函数，当()0+x ∈∞，，()F x 单调递增. 0.331(3),(log 3),(log )=(2)(2)9π===-=a F b F c F F F其中，0.30.51332<<<，0log 3log 1πππ<<=0.323log 3π∴>>0.3(2)(3)(log 3)π∴>>F F F所以c a b >> 故选：A【点睛】本题考查了不等关系与不等式、函数的奇偶性以及函数的单调性等基本知识，考查了分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题.二、多项选择题．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的． 9.下列命题正确的是（ ）A. 回归直线一定过样本点()11x y ，中的某个点B. 残差的平方和越小，回归方程的拟合效果越好C. 若1z ，2z C ∈，且22120z z +=，则120z z == D. 复数sin 2cos2z i =+在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】BD 【解析】 【分析】根据回归直线的性质及回归分析判断AB ，根据复数的运算及复数的几何意义判断CD ； 【详解】解：对于A ，回归直线一定过样本中心但不一定过()11,x y ，故A 错误；对于B ，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故B 正确；对于C ，1z ，2z C ∈，且22120z z +=，显然当11z i =+，21z i =-时22120z z +=，故C 错误；对于D ，复数sin 2cos2z i =+在复平面内对应的点为()sin 2,cos2，因为22ππ<<，所以sin20>，cos20<，故点()sin 2,cos2位于第四象限，即D 正确； 故选：BD【点睛】本题考查回归分析及复数的运算与复数的几何意义，属于基础题. 10.关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B. 若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面 C. 设{},,a b c 是空间中的一组基底，则{},,a b b c c a +++也是空间的一组基底 D. 若0a b ⋅<，则,a b 是钝角 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据共线向量的概念，可判定A 是正确的；根据空间向量的基本定理，可判定B 是正确的；根据空间基底的概念，可判定C 正确；根据向量的夹角和数量积的意义，可判定D 不正确. 【详解】对于A 中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；对于B 中，若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，根据空间向量的基本定理，可得,,,P A B C 四点一定共面，所以是正确的；对于C 中，由{},,a b c 是空间中的一组基底，则向量,,a b c 不共面，可得向量,a b b c ++，c a +也不共面，所以{},,a b b c c a +++也是空间的一组基底，所以是正确的； 对于D 中，若0a b ⋅<，又由,[0,]a b π∈，所以,(,]2a b ππ∈，所以不正确故选：ABC.【点睛】本题主要考查了空间的向量的共线定理、共面定理的应用，基底的概念与判定，以及向量的夹角的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.11.A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ） A. 若A 、B 两人站在一起有24种方法 B. 若A 、B 不相邻共有72种方法 C. 若A 在B 左边有60种排法 D. 若A 不站在最左边，B 不站最右边，有78种方法 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A 利用捆绑法求解；对于B 利用插空法求解；对于C 利用倍分法求解；对于D 利用特殊元素优先法求解【详解】解：对于A ，先将A,B 排列，再看成一个元素，和剩余的3人，一共4个元素进行全排列，由分步原理可知共有242448A A =种，所以A 不正确；对于B ，先将A,B 之外的3人全排列，产生4个空，再将A,B 两元素插空，所以共有323472A A =种，所以B 正确；对于C ，5人全排列，而其中A 在B 的左边和A 在B 的右边是等可能的，所以A 在B 的左边的排法有551602A =种，所以以C 正确； 对于D ，对A 分两种情况：一是若A 站在最右边，则剩下的4人全排列有44A 种，另一个是A 不在最左边也不在最右边，则A 从中间的3个位置中任选1个，然后B 从除最右边的3个位置中任选1个，最后剩下3人全排列即可，由分类加法原理可知共有4113433378A A A A +=种，所以D 正确， 故选：BCD【点睛】此题考查排列、组合的应用，利用了捆绑法、插空法、倍分法，特殊元素优先法等，属于中档题.12.已知函数3()xf x e x =⋅，则以下结论正确的是（ ） A. 3x =-是()f x 的极大值点 B. 方程()1f x =-有实数解C. 函数()y f x =有且只有一个零点D. 存在实数k ，使得方程()f x kx =有4个实数解 【答案】BCD 【解析】 【分析】函数求导2)(3)(xf x e x x '=+,利用单调性，得到函数图象，由图象可得答案.【详解】23)(()x f x x x e =+'，令2(3)0()x f x e x x +'>=解得3x >-所以3()x f x e x =⋅在(,3)-∞- 单减，在(3+)-∞，单增，且(0)0f =作出函数图象，则 ()f x 在3x =- 取得极小值，无极大值，故A 错误;因为极小值3(3)271f e--=-<-，方程()1f x =-有实数解，故B 正确；因为0x <时，()0f x <，因为0x >时，()0f x >，只有(0)0f =，故C 正确； 由图象可得正确.(也可由3x kx e x =⋅，得0x =或2x k e x =，令2()xh x e x =，求导()(2)0x h x e x x '=+<，则20x -<< ，故2()x h x e x =在(2,0)-上单减，在(,2)-∞-和(0,+)∞上单增，由图知存在实数k ，使得2x k e x =有三个实根，故存在实数k ，使得方程()f x kx =有4个实数解)故选：BCD【点睛】本题考查了函数的图象、函数的单调性和函数的零点问题以及导数的应用问题，还考查了分类讨论、数形结合和转化与化归的数学思想.第Ⅱ卷二、填空题．把答案写在答题纸上．13.甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是0.6和0.7，且射击结果相互独立，则甲、乙至多一人击中目标的概率为______ ． 【答案】0.58 【解析】由题意可得：两人是否击中目标是相互独立的， 因为两人击中目标的概率分别是0.6和0.7， 所以两人都击中目标的概率为：0.6×0.7=0.42， 所以甲、乙至多一人击中目标的概率为：1−0.42=0.58. 故答案为0.58.14.设离散型随机变量X 的概率分布如下，X0 1 2P16 13p若随机变量Y 满足21Y X =-，，则()E Y =______()D Y =______． 【答案】 (1). 53 (2). 209【解析】 【分析】由分布列的性质，列出方程求得12p =，进而得到45(),()39E X D X ==，再结合21Y X =-，进而求得(),()E Y D Y ，得到答案.【详解】由离散型随机变量的分布列的性质，可得11163p ++=，解得12p =， 所以22211144141415()012,()(0)(1)(2)63233633329E X D X =⨯+⨯+⨯==-⨯+-⨯+-⨯=，又因为21Y X =-， 所以45()2()12133E Y E X =-=⨯-=，2520()2()499D Y D X =⨯=⨯=. 故答案为：53;209. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列的性质，以及数学期望与方差的计算，其中解答中熟记分布列的期望与方差的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 15.疫情期间，某医院科室要从6名男医生、5名女医生中选派三人去支援武汉，要求至少有男女医生各一名，则不同的选法有______种． 【答案】135 【解析】 【分析】根据题意分两类进行分析：1男2女和2男1女，然后由分类计数原可得. 【详解】解：根据题意分两类进行分析：（1）1男2女，有126560C C =种选法；（2）2男1女，有216575C C =种选法，则不同的选取方法有6075135+=种， 故答案为：135【点睛】此题考查了分类计数原理，关键是分类，属于基础题. 16.已知函数f (x )=1a x x ⎛⎫-⎪⎝⎭-2lnx (a ∈R )，g (x )=ax-，若至少存在一个0[1,]x e ∈，使得f (x 0)>g (x 0)成立，则实数a 的范围为_______.【答案】()0,∞+ 【解析】【详解】由题意得不等式1()2ln a a x x x x -->- 在[1，e ]上有解,即min 2ln ()xa x> 令min 22ln 22ln ,[1,]0,1,0,0x xy x e y x y a x x -=∈∴=≥==∴'∴>. 故答案为：()0,∞+【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 三．解答题．要求写出主要的证明、解答过程．17.（1）在()1nx +的展开式中，若第3项与第6项系数相等，求n ．（2）n⎛⎝的展开式奇数项的二项式系数之和为128，则求展开式中的有理项． 【答案】（1）7；（2）12,28x x . 【解析】 【分析】（1）根据二项式()1n x +的通项公式，结合组合数的性质进行求解即可；（2）根据二项式n⎛⎝展开式奇数项的二项式系数之和公式，结合二项式n⎛⎝的通项公式进行求解即可. 【详解】（1）二项式()1nx +的通项公式为：11r n r r r rr n n T C x C x -+=⋅⋅=⋅，因为第3项与第6项系数相等，所以25527n n C C n n =⇒=-⇒=；（2）因为n⎛⎝的展开式奇数项的二项式系数之和为128，所以有135128n n n C C C +++⋅⋅⋅=，即12128n -=，解得8n =，而二项式8⎛ ⎝的通项公式为： (721186188rrrr r r T C C x --+=⋅⋅=⋅，当7211(08,)r r r N -≤≤∈是6的倍数时，即0,6r =时，二项式8⎛⎝展开式中第一项和第7项时，是有理项，分别为：012128C x x ⋅=，6828C x x ⋅=，所以展开式中的有理项为：12,28x x .【点睛】本题考查了二项式通项公式的应用，考查了二项式展开式的有理项问题，考查了二项式展开式二项式系数和的性质，考查了数学运算能力. 18.已知函数32()5f x x ax bx =+++.（1）若曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率为3，且23x =时()y f x =有极值，求函数()f x 的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数()f x 在[4,1]-上的最大值和最小值. 【答案】（1）a=2,b=-4（2）最大值13，最小值-11 【解析】 【详解】 【分析】 试题分析：(1)由题意求解关于实数a ,b 的方程组可得函数的解析式为()32245f x x x x =+-+；(2)由题意对函数求导，结合导函数研究原函数的单调性 ，据此可得函数()f x 在[]4,1-上的最大值是13，最小值是-11. 试题解析：(1) 由f'(1)=3, f'()=0 得a =2,b =-4 ，经检验，符合题意，所以函数的解析式为()32245f x x x x =+-+.(2)由f (x )=x 3+2x 2-4x +5 得f'(x )=(x +2)(3x -2) ，f'(x )=0得 x 1=-2 ,x 2= 变化情况如表：x -4 (-4,-2) -2 (-2,) (,1) 1f'(x ) + 0 - 0 + f (x )递增 极大值 递减 极小值 递增 函数值 -11134所以f (x )在[-4，1]上的最大值13，最小值-11点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD//QA ，2PDA π∠=，平面ADPQ ⊥平面ABCD ，且22AD PD QA ===．（1）求证：//QB 平面PDC ； （2）求二面角C PB Q --的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）56π.【解析】 【分析】根据面面垂直的性质定理，可以建立以DA ，DC ，DP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正向空间直角坐标系.（1）根据线面平行的判定定理，结合空间向量的数量积运算进行证明即可； （2）根据空间向量夹角公式，结合二面角的性质进行求解即可.【详解】∵平面ADPQ ⊥平面ABCD ，平面ADPQ ⋂平面ABCD AD =，PD ⊂平面ADPQ ，PD AD ⊥，∴直线PD ⊥平面ABCD ．由题意，以点D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立如图空间直角坐标系，则可得：()0,0,0D ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()2,0,0A ，()2,0,1Q ，()002P ,,．（1）因为四边形ABCD 是正方形，所以CD AD ⊥，又因为2PDA π∠=，所以PD AD ⊥，而,,PDDC D PD DC =⊂平面PDC ，所以AD ⊥平面PDC ，因此()2,0,0AD =-是平面PDC 的一个法向量， 又()0,2,1QB =-，∴0QB AD ⋅=，即QB AD ⊥， 又∵直线QB ⊄平面PDC ，∴//QB 平面PDC ； （2）设()1111,,n x y z =为平面PBC 的法向量， ∵()2,2,2PB =-，()0,2,2PC =-则1100n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111112220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩．不妨设11z =，可得()10,1,1n =． 设()2222,,n x y z =为平面PBQ法向量，又∵()2,2,2PB =-，()2,0,1PQ =-，则2200n PQ n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22222202220x z x y z -=⎧⎨+-=⎩．不妨设22z =，可得()21,1,2n =． ∴1212222222123cos ,011112n n n n n n ⋅===⋅++⨯++， 又二面角C PB Q --为钝二面角， ∴二面角C PB Q --的大小为56π．【点睛】本题考查了用空间向量证明线面平行、面面垂直的性质定理、线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，以及利用空间向量求解二面角大小问题，考查了推理论证能力和数学运算能力.20.2021年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过800元（含800元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了800元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？【答案】（1）114400（2）顾客选择第一种抽奖方案更合算.【解析】 【分析】（1）选择方案一可以免单，但需要摸出三个红球，利用古典概型求出摸出三个红球的概率，再利用两个相互独立事件同时发生的概率应该是两事件的概率乘积可求得两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）分别写出两种方案下付款金额的分布列，再求出期望值，利用期望值的大小，进行合理选择．【详解】解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则()333101120C P A C ==，所以两位顾客均享受到免单的概率为()()114400P P A P A =⋅=.（2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0，600，700，1000.()3331010120C P X C ===，()2137310760040C C P X C ===，()12373102170040C C P X C ===，()373107100024C P X C ===，故X 的分布列为，所以()1721706007001000120404024E X =⨯+⨯+⨯+⨯17646=（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-，由已知可得3~3,10Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，故()3931010E Y =⨯=，所以()()1000200E Z E Y =-=()1000200820E Y -=（元）.因为()()E X E Z <，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.【点睛】本题考查了古典概率的计算，并运用期望来选择合理方案，解题关键是能够熟练运用公式进行求解，并能计算正确，本题较为基础.21.2021年12月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎/肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺()2019,19CoronaVirusDisease COVID -，简称“新冠肺炎”右图是2020年1月15日至1月24日累计确诊人数随时间变化的散点图．为了预测在未采取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数y 与时间变量t 的两个回归模型，根据1月15日至1月24日的数据（时间变量1的值依次1，2，…，10）建立模型y c dt =+和 1.5t y a b =+⋅．（1）根据散点图判断，y c dt =+和 1.5t y a b =+⋅哪一个适宜作为累计确诊人数y 与时间变量t 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及附表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据，根据（2）的结果回答下列问题： 时间 1月25日 1月26日l 月27日1月28日l 月29日累计确诊人数的真实数据 19752744451559747111当1月25日至1月27日这3天的误差（模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值）都小于0.1则认为模型可靠，请判断（2）的回归方程是否可靠？附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ⋅⋅⋅，其回归直线v a u β=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()1122211nnii i i i i nniii i uu v vu v nuvuuunuβ====---==--∑∑∑∑ ，v u αβ=+参考数据：其中 1.5it i ω=，101110i i ωω==∑．【答案】（1） 1.5t y a b =+⋅适宜；（2）10201.5t y =+⋅；（3）回归方程可靠. 【解析】 【分析】（1）直接由散点图得结论；（2）设 1.5t ω=，则y a b ω=+，，求出b 与a 的值，则可得回归方程； （3）在（2）中求得的回归方程中，分别取11,12,13t =求得y ，再比较误差与0.1的大小得结论.详解】（1）根据散点图可知：1.5t y a b =+⋅适宜作为累计确诊人数y 与时间变量t 的回归方程类型；（2）设 1.5t ω=，则y a b ω=+，()()()1010111010222211101547001019390207640101910i i i ii i i i i i y y y y b ωωωωωωωω====----⨯⨯====-⨯--∑∑∑∑， 390201910a y b ω=-=-⨯=，∴10201.5t y =+⋅；（3）11t =时，2010y =，201019750.11975-<，当12t =时，3010y =，301027440.12744-<，当13t =时，4510y =，451045150.14515-<，所以（2）的回归方程可靠.【点睛】此题考查回归方程的求法，考查数学转化思想方法，考查计算能力，属于中档题.22.已知函数，()2ln ,f x ax x a R =-∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有2个不同的零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0a ≤时()f x 在()0,∞+上单调递减，当0a >时，()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，()f x 在⎛ ⎝上单调递减.（2）10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）分0,0a a ≤>两种情况讨论导数的符号后可得函数的单调区间.（2）根据（1）可知0a >且()min 0f x f =<，后者可得实数a 的取值范围为102a e <<，再根据()10f a =>，111ln 0f a a a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭结合零点存在定理可知当102a e<<时函数确有两个不同的零点. 【详解】（1）解：因为()()120f x ax x x'=->， ①当0a ≤时，总有()0f x '<，所以()f x 在()0,∞+上单调递减.②当0a >时，令120ax x ->，解得x >故x >()0f x '>，所以()f x在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增. 同理120ax x -<时，有()0f x '<，所以()f x在⎛ ⎝上单调递减. （2）由（1）知当0a ≤时，()f x 单调递减，所以函数()f x 至多有一个零点，不符合已知条件，由（1）知当0a >时，()2min 1ln 2f x f a ==-=11ln 22a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以()min 0f x <当时，解得12a e<，从而102a e <<. 又10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有11a<<，因为()10f a =>，111ln f a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令()ln ,2g t t t t e =->，则()10t g t t -'=>， 所以()g t 在()2,e +∞为增函数，故()()2ln 20g t e e >->， 所以10f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，根据零点存在定理可知： ()f x在⎛ ⎝内有一个零点，在1a ⎫⎪⎪⎭，内有一个零点， 故当函数()f x 有2个零点时，a 的取值范围为10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】导数背景下的函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明．取点时要依据函数值容易计算、与极值点有明确的大小关系这两个原则，讨论所取点的函数值的正负时，可构建新函数，通过导数讨论函数的最值的正负来判断.。
2024—2025学年度上学期普通高中高三第一次联合教学质量检测高三数学解析版
2024—2025学年度上学期普通高中高三第一次联合教学质量检测高三数学试卷解析版满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合{}260M xx x =+−=∣，{}20,N x ax a =+=∈R ∣，且N M ⊆，则a 的取值不可以是（ ）．A ．2B ．23C ．0D ．1−【答案】A【详解】依题意，{3,2}M −，由N M ⊆，得N =∅或{3}N −或{2}N =， 当N =∅时，0a =；当{3}N −时，23a =；当{2}N =时，1a =−， 因此a 的取值不可以是2. 故选：A.2．已知向量()cos ,sin a θθ= ，()2,1b =−，若a b ⊥，则sin cos sin 3cos θθθθ++的值为（ ）A ．13B ．35C ．45D ．23【答案】B【详解】由题设2cos sin 0tan 2θθθ−=⇒=， 而sin cos tan 1213sin 3cos tan 3235θθθθθθ+++===+++.故选：B3．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，若342n n S n T n +=+，则62102a b b +（ ） A ．11113B ．3713C ．11126D ．3726【答案】B【详解】因为等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T，满足342n n S n T n +=+， 所以111131143711213S T ×+==+，又11161116111111()211()2a a a Sb b T b +==+，故666210662322371a a a b b b b ===+， 故选：B4．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说：“你不是最差的.”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军.”对丙说：“你不是第2名.”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（ ） A ．44 B ．46 C ．48 D ．54【答案】B【详解】解法一：多重限制的排列问题：甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名，且丙不是第二名，即甲的限制最多，故以甲为优先元素分类计数，甲的排位有可能是第二、三、四3种情况：①甲排第二位，乙排第三、四、五位，包含丙的余下3人有33A 种排法，则有3313A 18××=； ②甲排第三、四位，乙排第二位，包含丙的余下3人有33A 种排法，则有3321A 12××=； ③甲排第三、四位，乙不排第一、二位，即有2种排法，丙不排第二位，有2种排法，余下2人有22A 种排法，则有22222A 16×××=； 综上，该5名同学可能的名次排情况种数为18121646++=种. 解法二：间接法：甲不排首尾，有三种情况，再排乙，也有3种情况，包含丙的余下3人有33A 种排法，共有3333A 3332154××=××××=种不同的情况；但如果丙是第二名，则甲有可能是第三、四名2种情况；再排乙，也有2种情况；余下2人有22A 种排法，故共有2222A 22218××=×××=种不同的情况；从而该5名同学可能的名次排情况种数为54846−=种. 故选：B.5．已知直线1:0l x y C ++=与直线2:0l Ax By C ++=均过点()1,1，则原点到直线2l 距离的最大值为（ ） AB ．1 CD ．12【答案】A【详解】因为两直线交于()1,1，则110C ++=，即2C =−， 且0A B C ++=，则2A B +=；由原点到直线2l的距离d=，易知2222(1)11A A A −+=−+≥，则d ≤ 当且仅当1A =时，d 1B =. 即两直线重合时，原点到直线2l 的距离最大. 故选：A.6．已知双曲线22:13x C y −=的右焦点为F ，过点F 的直线交C 于,A B 两点，若3FA FB ⋅= ，则直线AB 的斜率为（ ）ABC ．D ．【答案】D【详解】易知()2,0F ，当直线AB的斜率为零时，得((221FA FB ⋅=×= ，不合题意；当直线AB 的斜率不为零时，设直线AB 的方程为2x my =+， 联立222,1,3x my x y =+ −=得()223410m y my −++=， 设()()1122,,,A x y B x y ，由3FA FB ⋅=得()()()21212122213x x y y m y y −−+=+=， 而12213y y m =−，即22133m m +=−，解得m=k = 故选：D7．已知函数()331f x x x =++，若关于x 的方程()()sin cos 2f x f m x ++=有实数解，则m 的取值范围为（ ）A ． −B ．[]1,1−C ．[]0,1D ．【答案】D【详解】令()()313g x f x x x −+，则()2330g x x ′=+>恒成立，则()g x 在R 上单调递增，且()g x 是奇函数.由()()sin cos 2f x f m x ++=，得()()sin 1cos 1f x f m x −=−+− ，即()()sin cos g x g m x =−−，从而sin cos x m x =−−，即πsin cos 4m x x x=−−+∈ 故选：D【点睛】方法点睛：设()()313g x f x x x −+，可得函数()g x 为奇函数，利用导函数分析函数()g x 的单调性，把()()sin cos 2f x f m x ++=转化成sin cos m x x =−−，再求m 的取值范围. 8．如图，在三棱锥A BCD −中，45ABC ∠=°，点P 在平面BCD 内，过P 作PQ AB ⊥于Q ，当PQ 与面BCD PQ 与平面ABC 所成角的余弦值是（ ）A B C D 【答案】A【详解】过点Q 作AB 的垂面QEF ，交平面ABC 于直线EF ，即,,AB QE AB QF AB EF ⊥⊥⊥， 再过AB 作平面BCD 的垂面ABM ，即平面ABM ⊥平面BCD ， 过O 作QG BM ⊥，垂足为G ，如图所示，设BM EF P = ，则此点即为PQ 与平面BCD 所成角最大时，对应的P 点， 理由如下：因为PQ AB ⊥恒成立，所以P ∈平面QEF ，又因为P ∈平面BCD ，平面QEF 平面BCD EF =，所以P EF ∈，过点Q 作QG BM ⊥，因为平面ABM ⊥平面BCD ，平面ABM ∩平面BCD BM =， 且QG ⊂平面ABM ，所以QG ⊥平面BCD ，所以PQ 与平面BCD 所成角即为QPB ∠，所以sin QGQPB PQ ∠=，因为QG 为定值，所以当PQ 最小时，sin QPB ∠最大，即QPB ∠最大， 又因为EF ⊂平面BCD ，所以QG EF ⊥，因为,AB EF AB QG Q ⊥=，,AB QG ⊂平面ABM ，所以⊥EF 平面ABM ， 则当P 为BM 与EF 交点时，EF PQ ⊥，此时PQ 取得最小值， 所以，当BM EF P = 时，PQ 与平面BCD 所成角最大，即为QPB ∠，所以sin QPB ∠P 作PH QE ⊥，垂足为H ，连接BH ，因为AB ⊥平面QEF ，AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面QEF ， 又因为QEF 平面ABC QE =，PH ⊂平面QEF ，所以PH ⊥平面ABC ， 所以EQP ∠即为PQ 与平面ABC 所成角，在直角QPE △中，cos PQEQP QE∠=，因为45ABC ∠= ，且AB QE ⊥，所以BQE △为等腰直角三角形，所以QB QE =， 又因为tan PQQBP OB∠=，所以tan cos QBP EQP ∠=∠，因为sin QPB ∠tan QPB ∠因为π2QBP QPB ∠+∠=，所以1tan tan QBP QPB ∠==∠. 故选：A.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．设1z ，2z 为复数，且120z z ≠，则下列结论正确的是（ ）A ．1212z z z z =B ．1212z z z z +=+C ．若12=z z ，则2212z z = D ．1212z z z z ⋅=⋅【答案】ABD【详解】设1i z a b =+，2i z c d =+(,,,)a b c d ∈R ，对于选项A ，因为12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd ad bc =++=−++，所以12z z，所以1212z z z z =，故A 正确；对于选项B ，因为12()()i z z a c b d +=+++，1i z a b =−，2i z c d =−， 则12()()z z a c b d i +=+−+，12()()i z z a c b d +=+−+， 所以1212z z z z +=+，故B 正确；对于选项C ，若12=z z ，例如11i z =+，21i z =−但221(1i)2i z =+=，222(1i)2i z =−=−，即2212z z ≠，故C 错误；对于选项D ，因为21(i)(i)()()i z a b c d ac bd c z ad b ⋅=++=−++，所以21()()i z ac bd a b z d c ⋅−−+2(i)(i)()()i z a b c d ac bd ad bc =−−=−−+， 所以1212z z z z ⋅=⋅，故D 正确. 故选：ABD.10．已知2n >，且*n ∈N ，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有（ ）A ．若1(,)3X B n ，则()22113E X n ++ B ．若1(,)3X B n ，则()4219D X n +=C ．若1(,)3X B n ，则()()11P X P X n ===−D ．当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布 【答案】BC【详解】对于A ，由1(,)3X B n ，得()13E X n =，则()22113E X n ++，A 正确； 对于B ，由1(,)3X B n ，得()122339D X n n =×=，则()()82149D X D X n +==，B 错误；对于C ，由1(,)3X B n ，得11111221(1)C (),(1)C ()3333n n n n n P X P X n −−−==××=−=××，故(1)(1)P X P X n =≠=−，C 错误； 对于D ，当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布，D 正确. 故选：BC11．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯省所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点()()1122,,,A x y B x y 的曼哈顿距离()1212,d A B x x y y =−+−，则下列结论正确的是（ ）A ．若点()()1,3,2,4P Q ，则(),2d P Q =B ．若对于三点,,A BC ，则“()()(),,,d A B d A C d B C +=”当且仅当“点A 在线段BC 上” C ．若点M 在圆224x y +=上，点P 在直线280x y −+=上，则(),d P M 的最小值是8−D ．若点M 在圆224x y +=上，点P 在直线280x y −+=上，则(),d P M 的最小值是4 【答案】AD【详解】对于A 选项：由定义可知(),21432d P Q =−+−=，故A 选项正确； 对于B 选项：设点AA (xx 1,yy 1)，BB (xx 2()33,C x y则()()121313,,d A B d A C x x y x y y +=−+−+−，()2323,d B C x x y y =−+−显然，当点A 在线段BC 上时，121323x x x x x x −+−=−，121323y y y y y y −+−=−，∴()()(),,,d A B d A C d B C +=成立，如图：过点B 作BE y ⊥轴，过点C 作EE x ⊥轴，且相交于点E ，过点A 作AD BE ⊥与D ，过点A 作AF CE ⊥与F ，由图可知121213132323x x y y x x y y BD AD AF CF BE CE x x y y −+−+−+−=+++=+=−+−显然此时点A不在线段BC 上，故B 选项不正确； 对于CD 选项：∵当0,0a b >>a b ≥+≥ ∴想要(),d P M 最小，点M 到直线距离最小时取得，∴过原点O 作OM ⊥直线280x y −+=交圆于M ， 如图：设(),M a b ，则2OM bk a==−∴M设点PP (xx 0,yy 0)，则(0,d P M x =又∵当0ab =，a b +≥①当00x +=时，由00442x y =+=()0,4d P M x =+①当00y =时，由00288x y =−=()0,8d P M x =+−又∵48<−∴(),d P M的最小值为：4.故C 选项错误，D 选项正确. 故选：AD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知12,34a b a b ≤−≤≤+≤则93a b +的取值范围为 ．【答案】[]21,30【详解】假设()()93a b a b a b λµ+=−++，则93λµλµ+=−+=，解得36λµ= = ， 因为12a b ≤−≤，所以()336a b ≤−≤； 又因为34a b ≤+≤，所以()18624a b ≤+≤；由上两同向不等式相加得：()()213630a b a b ≤−++≤， 整理得：219330a b ≤+≤ 故答案为：[]21,3013．已知函数()cos 2sin 2sin f x x x x ωωω=−（0ω>）在()0,2π上有最小值没有最大值，则ω的取值范围是 .【答案】11,63【详解】()()()cos 22sin 2sin cos 2cos3f x x x x x x x x ωωωωωωω=−−=+=， 当()0,2πx ∈时，()30,6πx ωω∈，若()f x 在()0,2π上有最小值没有最大值， 则π6π2πω<≤，所以1163ω<≤. 故答案为：11,6314．函数2e 12()e 21x x xh x −=++，不等式()22(2)2h ax h ax −+≤对R x ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是 【答案】[]2,0−【详解】因为2e 122()e ee 2121x x xx x x h x −−=+=−+++， 所以22222()()e e e e 221212121x x x x xxx x x h x h x −−−⋅+−=+−++−=+=++++， 令()()1f x h x =−，则()()0f x f x +−=，可得()f x 为奇函数， 又因为()()222ln 41ln 4()e e e e e 121e 21222x x x x xx x x x x xf x −−′ ′′=+−=+−=+− + +++， 1e 2e x x +≥，当且仅当1e ex x =，即0x =时等号成立；ln 4ln 4ln 2142222x x ≤=++，当且仅当122xx=，即0x =时等号成立；所以()0f x ′>，可得()f x 在R 上为增函数，因为()2222(2)2(2)(2)0(2)(2)h ax h ax f ax f ax f ax f ax −+≤⇔−+≤⇔−≤−，所以2220ax ax +−≤在R 上恒成立， 当0a =时，显然成立；当0a ≠，需满足2Δ480a a a < +≤，解得20a −≤<， 综上，[]2,0a ∈−， 故答案为：[]2,0−．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）在锐角ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A 、B ，C 的对边，且()2sin 2sin a A b c B =−+()2sin c b C −. (1)求A 的大小；(2)求cos 2cos B C +的取值范围. 【答案】(1)π3A =(2) 【详解】（1）由题及正弦定理得：22(2)(2)a b c b c b c =−+−，即222bc b c a =+−，则2221cos 22b c a Abc +−==，∵π0,2A ∈，∴π3A =； （2）由ABC 为锐角三角形知，π022ππ032C C<<<−<，故ππ62C <<，则π3πcos 2cos cos 2cos cos 323B C C C C C C+=−++=+， 有ππ5π236C <+<π3C<+<故cos cos B C +的取值范围为. 16.（本小题15分）已知数列{}n a ，{}n b ，(1)2n n n a =−+，1(0)n n n b a a λλ+=−>，且{}n b 为等比数列. (1)求λ的值； (2)记数列{}2n b n ⋅的前n 项和为nT .若()*2115N i i i T T T i ++⋅=∈，求i 的值.【答案】(1)2 (2)2【详解】（1）因为(1)2n n n a =−+，则11a =，25a =，37a =，417a =. 又1n n n b a a λ+=−，则1215b a a λλ=−=−，23275b a a λλ=−=−，343177b a a λλ=−=−. 因为{bb nn }为等比数列，则2213b b b =⋅，所以2(75)(5)(177)λλλ−=−−， 整理得220λλ−−=，解得1λ=−或2.因为0λ>，故2λ=.当2λ=时，1112(1)22(1)2n n n nn n n b a a +++ =−=−+−−+11(1)(1)22(1)23(1)n n n n n ++=−×−+−×−−=−×−.则113(1)13(1)n n nn b b ++−×−==−−×−，故{bb nn }为等比数列，所以2λ=符合题意. （2）223(1)nn b n n ⋅=−×−⋅，当n 为偶数时，222222223123456(1)n T n n =−×−+−+−+−−−+33(12)(1)2n n n =−×+++=−+ ；当n 为奇数时，221133(1)(1)(2)3(1)(1)22n n n T T b n n n n n n ++=−+=−++++=+. 综上，3(1),21,N 23(1),2,N 2n n n n k k T n n n k k ∗∗ +=−∈ =−+=∈ ， 因为20i i T T +⋅>，又2115i i i T T T ++⋅=， 故10i T +>，所以i 为偶数.所以333(1)(2)(3)15(1)(2)222i i i i i i−+⋅−++=×++ ， 整理得23100i i +−=，解得2i =或5i =−（舍），所以2i =. 17.（本小题15分）如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E F ､分别是棱,AB AD 的中点，G 为棱1DD 上的动点.(1)是否存在一点G ，使得1BC ∥面EFG ？若存在，指出点G 位置，并证明你的结论，若不存在，说明理由；(2)若直线EF 与平面CFG ，求三棱锥1G EBC −的体积； (3)求三棱锥1B ACG −的外接球半径的最小值. 【答案】(1)存在点G 为1DD 的中点，证明见解析 (2)13； (3)4−【详解】（1）存在一点G ，当点G 为1DD 的中点，使得1BC ∥面EFG ， 连接1AD ，如图所示：点,F G 分别是1,AD DD 的中点，FG ∴∥1AD ，又AB ∥11D C ，且11AB D C =，∴四边形11ABC D 是平行四边形，1∴AD ∥1,BC FG ∴∥1BC ，又1BC ⊄ 平面EFG ，且FG ⊂平面1,EFG BC ∴∥平面EFG .（2）以D 点为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，连接11,,AC AB B C ，则()()()()()112,0,0,2,2,2,0,2,0,2,2,0,0,0,2,(2,1,0),(1,0,0)A B C B D E F ， 设()0,0,G t (02)t ≤≤，(0,2,),(1,2,0)CG t CF =−=− ，(1,1,0)EF =−−，设平面CFG 的一个法向量是(,,)n x y z =，则2020n CG y tz n CF x y ⋅=−+=⋅=−= ，取1y =得2(2,1,)n t = ，因为直线EF 与平面CFG，所以cos ,n EF n EFn EF⋅==1t =（负值舍去）， G 为1DD 中点，取1CC 中点H ，则////GH CD AB ，因此GH 在平面GEB 内，且GEB HEB S S = ，所以1111111112113323G EBC C GEB C HEB E BHC BHC V V V V S EB −−−−====⋅=××××= ； （3）11(0,2,2),(2,2,0),(2,2,2),AB AC BD ==−=−−因为111440,440,AB BD AC BD ⋅=−+=⋅=−=所以111,AB BD AC BD ⊥⊥即111,AB BD AC BD ⊥⊥因为1AB ⊂平面1,AB C AC ⊂平面1AB C ，1AB AC A = ，所以1BD ⊥平面1AB C ，又因为1ABCB B B ==，所以1BD 与平面1ACB 的交点是1ACB 的外心，所以三棱锥1B ACG −的外接球的球心在1BD 上， 设外接球球心为1O ，设()[]112,2,2,0,1BO BD λλλλλ==−−∈，则1O 的坐标为()22,22,2λλλ−−，设()[]()0,0,0,2G m m ∈， 则11O G O A =所以2484m mλ+=+，设[]848,16m t +=∈，则84t m −=， 则22841664648411616t t t t t t tλ−+ −++ +−，而811116t t +−≥=，当且仅当816t t =，即t =[]8,16t ∈，所以11,2λ ∈ ，三棱锥1B ACG −的外接球的半径1r O A ====，因为11,2λ ∈−，所以218124833λ −+∈−，所以r ∈− ， 三棱锥1B ACG −的外接球半径的最小值为4. 18.（本小题17分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>经过点(M −，其右焦点为FF (cc ,0)，下顶点为B ，直线BF 与椭圆C交于另一点D ，且3BF FD =．(1)求椭圆C 的方程；(2)O 为坐标原点，过点M 作x 轴的垂线1l ，垂足为A ，过点A 的直线与C 交于P ，Q 两点，直线OP 与1l 交于点H ．直线OQ 与1l 交于点G ，设APH 的面积为1S ，AQG 的面积为2S ，试探究1212S S S S +是否存在最小值．若存在，求出此时直线PQ 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)22184x y +=(2))2y x + 【详解】（1）设()00,D x y ，由(),0F c ，()0,B b −，得(),BF c b = ，()00,FDx c y =−，由3BF FD = ，得()()00,3,c b x c y =−，043x c =，013y b =， 所以2222161991c b a b +=，得2212c a =，所以222212b ac a =−=，将(M −代入椭圆C 的方程得22421a b+=，即22441a a +=，则28a =，所以22142b a ==，故椭圆的方程为22184x y +=.（2）由题意可知()2,0A −，直线PQ 的斜率存在且不为0，设直线PQ 的方程为()2y k x =+，()11,P x y ，()22,Q x y ， 则()221842x y y k x += =+，得()2222128880k x k x k +++−=， 因为点A 在椭圆内，则直线PQ 与椭圆必有两交点，则2122812k x x k +=−+，21228812k x x k −+=+， ()121224412k y y k x x k +=++=+，()()()2221212121224222412k y y k x x k x x x x k =++=+++=− +， 又OP 的方程为11y y x x =，与直线2x =−联立可得1122,y H x−−， 又OQ OP 的方程为22y y x x =，与直线2x =−联立可得2222,y G x−−， 所以111111121222y y S x x x x =×−×+=×+，22222222122y y S x x x x =×−×+=×则()()121212221212112212221122y k y k S S x x S S S S y x y x y y −−+=+=+=+++， 当21k ≥时，()()21212220y k y k k x x −−=≥， 所以()222121212121212122222222212121212121212122222222y y y k y k S S y k y k y y y y y y k k S S y y y y y y y y y y y y y y +−− +−−+++=+=−=−=−−， 又12121y y y y k +=−，22121124k y y k +=−， 所以()222212122221212122111242222y y y y k k k k y y y y y y k k k k ++++ −−=−−−+=−， 所以121222S S k S S k+=+≥22k =时取等号，当201k <<时，()()21212220y k y k k x x −−=<， 所以221212121212222222121212121222222y k y k S S y k y k y y y y k S S y y y y y y y y −− +−−−−=+=−=−， 又知()1212k y y y y −+=， 则1212121236S S y yS S y y +−====>， 综上可知，当22k =时，1212SS S S +存在最小值此时直线PQ 的方程为)2y x +.19.（本小题17分）设()h x ′为()h x 的导函数，若()h x ′在区间D 上单调递减，则称()h x 为D 上的“凸函数”．已知函数()2sin f x x ax ax =−++．(1)若()f x 为π0,2上的“凸函数”，求a 的取值范围；(2)证明：当1a =−时，()()()213ln 22g x f x x x x =++++++有且仅有两个零点． 【答案】(1)1,2−∞−(2)证明见解析【详解】（1）由()2sin f x x ax ax =−++，则()cos 2f x x ax a ′=−++. 由题意可知，()f x 为π0,2上的“凸函数”，则ff ′(xx )在区间π0,2上单调递减，设()()x f x ϕ′=，则()sin 2x x a ϕ′=+，所以sin 20x a +≤在π0,2恒成立， 则2sin a x ≤−在π0,2恒成立，又当π2x =时，函数sin y x =−取最小值，且最小值为1−， 所以有21a ≤−，解得12a ≤−，即a 的取值范围为1,2−∞−.（2）当1a =−时，由2(1)sin(1)(1)(1)f x x x x +=−+−+−+得 22()sin(1)(21)(1)3ln(2)2g x x x x x x x x =−+−++−++++++sin(1)ln(2)x x =−+++. 令()(1)sin ln(1),1H x g x x x x =−=−++>−，其中(0)0H =， 则1()cos 1H x x x ′=−++，其中(0)0H ′=. ①当10x −<<时，则011x <+<，11cos 1x x >≥+， 所以1()cos 01H x x x ′=−+>+，则()H x 在(1,0)−单调递增， 则()(0)0H x H <=恒成立，即()H x 在(1,0)−无零点； ②当π02x <<时，令1()()cos 1G x H x x x ′==−++，其中(0)0G =， 由21()sin (1)G x x x ′=−+在π0,2单调递增， 又ππ(0)10,sin 22G G=−=′′，故存在0π0,2x∈，使得0()0G x ′=，故当00x x <<时，()0G x ′<，()G x 在()00,x 单调递减； 当0π2x x <<时，()0G x ′>，()G x 在0π,2x单调递增； 由ππ11(0)0,cos 0ππ221122G G==−+=>++， 故存在1π0,2x∈ ，使1()0G x =，即1()0H x ′=，故当10x x <<时，()0H x ′<，()H x 在()10,x 单调递减； 当1π2x x <<时，()0H x ′>，()H x 在1π,2x单调递增； 又πππ(0)0,sin ln 11ln e 0222H H==−++<−+=，故当π0,2x ∈ 时，()0H x <，即()H x 在π0,2无零点；③当π22x ≤<时，由1cos 0,01x x −≥>+，则()0H x ′>， 故故()H x 在π,22单调递增，πππsin ln 10222H=−++<，且(2)sin 2ln 3110H =−+>−+=，故由零点存在性定理可知()H x 在π,22有且仅有一个零点；④当2x ≥时，()sin ln(1)1ln 30H x x x =−++≥−+>， 故()H x 在[)2,+∞无零点；综上所述，()H x 有且仅有两个零点，其中(0)0H =，而另一个零点在π,22内.由()(1)H x g x =−，即将()H x 图象向左移1个单位可得()g x 的图象. 故()g x 也有两个零点，一个零点为1−，另一个零点在π1,12 −内.故()()()213ln 22g x f x x x x =++++++有且仅有两个零点，命题得证.。
山东省济南市莱芜第一中学2021届高三数学上学期11月月考试题含解析
某某省某某市莱芜第一中学2021届高三数学上学期11月月考试题[含解析]本试卷共4页•总分150分.考试时间120分钟.须知事项:1・答卷前，考生务必将自己的级部、班级、某某、某某号、填写在答题卡上.2•选择题选岀答案后,用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用力力中性笔将答案写在答题卡对应题目的规定区域•答在答题卡的规定区域之外或本试卷上无效.M考试完毕后只需将答题卡交回.一、单项选择题：此题共8小题，每一小题5分，共40分•在每一小题给岀的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.设集合A = {x\y = log2(2-x)} , B = {x\x2-3x+2<0}，如此()A. (一8,1]B. (-oo,l)C. (2,g)D. [2,+s) 【答案】A【解析】【分析】求解对数函数的定义域以与二次不等式，解得集合人〃,再求集合的补运算即可.【详解】要使得对数函数有意义，如此2-x>0 ,解導x<2 ;由x，-3x+2v0 ,解得xe(l,2);故C t B=(-oo,l].应当选：A.【点睛】此题考查对数函数定义域的求解，二次不等式的求解，集合的补运算，属综合根底题.2-3/2在复平面内■复数齐矿咖应的点的坐标为⑵-2),如些在复平面内对应的点位于【答案】D【解析】 设z 二x+yi (上 yeR), ^^+Z=_2「_3i +x + vl = _i + x + vl = x + (y_i)j = 2_2i ,3 + 2/ 3+2/.x = 2, y = -l・・・z 在复平面内对应 点位于第四象限 应当选D •3. 2 17吉上=10臥717山=1(^7辰，如此仏处的大小关系为〔c>b> a 【答案】A 【解析】 【分析】结合指数，对数函数的性质可作快速判断，。
＞1恥|亠"，即可求解 【详解】由题易知：4 = 17吉 >1，/?= i°gi6Vr7 = ilog 1617Gc = log 17>/16 = -log 1716e 0,-A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限A. a>h>cB.a>c>bC ・ h> a>cD.t.\a>b>c ,应当选：/【点睛】此题考查由指数.对数函数的性质比拟大小.属于根底题B.充分不必要釧牛D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】 结合共线向量、单位向量的知识，以与充分、必要条件的概念，判断出正确选项. 【详解】依题意aS 是非零向量，a6~表示与a 同向的单位向量，~7~表示与b 同向的单位向量,-一a b当° = 2乙时，的方向一样，所以==〒a b当^=|7|时，万力的方向一样，但不一定有a = 2b ，如& = 3b 也符合,“ \b \a b所以"a = 2h^是"y = 成立的充分不必要条件.应当选：B【点睛】本小题主要考查共线向量的知识、单位向量的知识，考查充分、必要条件的判断, 属于根底题.5.十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载境发明的朋万历十二年，他写成《律学新说》,提出了十二平均律的理论.这成果被意大利传教士JII 玛蚩诵过丝绸之路带到了西方，对 西方音乐产生了深远的影响•十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数r 使包4.设方』是非零向a bA.充要条件C.必要不充分条件含1和2的这13个数依次成递增的等比数列.依此规如此，插入的第四个数应为〔〕A. 2石B. 2“C. 2了D. 2亍【答案】D【解析】【分析】设公比为a(g>o),根据等比数列的通项公式,即可求得答案.【详解】设等比数列的公比为g > 0),根据题意可辱q = lq严2 又即=4严，所以旷=晋~ = 2，所以^43 ,= 2所以插入的第四个数@="0=2?，应当选：D6.函数/⑴二冲制的大致图像为〔【解析】【答案】D【分析】 通过取特殊值逐项排除即可得到正确结果.【详解】函数/心冲黑的定义域为{x\x^±l},当x = *时,/(|) = -ln3<0，排除B 和C;当x = -2时，/(-2) = lii3>0 ,排除 A. 应当选：D【点睛】此题考查图象的判断,取特殊值排除选项是根本手段，属中档题.7. AABC 中.sin A + 2sm^cosC = 0 # yf^b = c ■如此tan A 的值是()【答案】A 【解析】【分析】 利用三角函数恒等变换的应用化简等式可得cos3smC = -3sin3cosC ,根据正弦定理，余 弦定理化简整理可得：2a 2+ b 2=c 2.结合® = c •，解得“ =b ,可得A 为锐角，进而利用 余弦定理可求cosA 的值，利用同角三角函数根本关系式可求结果•【详解】•.•siiiA + 2sinBcosC = sin(3+C)+2sinBcosC=sm B cos C + cos sin C + 2 sm cos C = 0 , cos BsmC = -3 sin B cos C t整理可得：2/+宀疋， 又••羽b = c ,• ・ccosB = -3bcosC ■可得：c-lac/ g a 2+b 2-c =(—3)b ・lab：.2a 2^h 2=c 2 = 3b 2，解得a = b ，可得力为锐角，f r▲ lr + cr — cr ••• cosA = - : -------------- =,可得:s 讪斗心=①2b"b 22 3应当选A.【点睛】此题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，同角三角函数根 本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于根底题.8.函数/(x) = A-hix-^有两个不同的极值点，如此实数0的取值X 围是〔〕 A.(-叫)B. (0疋)"U° ；【答案】D【解析】 【分析】先对函数求导，根据题中条件，得到a =巴 J 有两不等实根，令g (x)=蛭工，对其求 e e导,用导数的方法研究其单调性与最值,即可得出结果. 【详解】由 f(x) = xlnx-ae x得f (x) = lnx+l-a“ f因为函数有两个不同的极值点， 所以方程广(x) = lnx+l —卅=0有两不等实根,111X + 1亠__ 一亠丄即a = ;—有两不等头根，e r令g ⑴=S ' +1 ,如此g(x)= E + 1与y = 〃有两不同交点, e e令h(x) = — lnx —1 ,如此h (x) = —- — <0在(0,+8)上恒成立,X A A丄孑-(lnx+10 又g©)= ------- ----------------------If-L-lnx-lbe\x所以A (X )= --- 111 X -1在(0, +8)上单调递减,X所以当xe(0,l)上时，/7(x)>0，即g\x) = - --hi.r-1 >0 ,所以g(x)单调递墙；("IX /当*(1,+8)时,/?(%)<0 ,即g©) = *(£_ln —l)vO ，所以g(x)单调递减; 所以 g(xLx = g(l) = +， 又xw(O,l)时，g(x)=山；严 v0 ； xe(l,+oo)Bit, g(x) = >o , 所以为使g W =旦工与。
数学(山东专用)-2020届高三上学期期末教学质量检测卷01(全解全析)
0
，∴ g(
f
( x))
e f (x)
m
，
∴ f (x) ln m ，作出函数 f (x) ， y ln m 的图象如下，
结合图象可知，存在实数 t
ln m(0
t
1)
，使得 x2
e2 x1
t
，故
x2
x1
t
1 ln t 2
，
令 h(t) t 1 ln t ，则 h(t) 1 1 ，故 h(t) 在 (0, 1 ]上单调递减，在 ( 1 ,1] 上单调递增，
所以函数 f (x) 的值域关于原点对称，对于 A，函数 y = x2 的值域为[0, ) ，不关于原点对称，不符
合题意；对于
B，函数
y
1 的值域为 (, 0) (0, ) ，关于原点对称，符合题意；对于 x 1
C，函数
y ln(2x 3) 的值域为 R ，关于原点对称，符合题意；对于 D，函数 y 2x 3 的值域为 R ，关于原
点对称，符合题意.故选 BCD．
12．ABD 【解析】选项 A，连接 BD，显然 O 为 BD 的中点，又 N 为 PB 的中点，所以 PD∥ON ，由线面 平行的判定定理可得 PD∥平面 OMN ；选项 B，由 M ，N 分别为侧棱 PA ，PB 的中点，得 MN∥AB ，
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3x b 的最短距离为
3，
31
所以 d r
2 3 ，即
3b 1
3 ，解得 b 2 或 b 4 3 2 .故选 D．
31
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山东省2025届高三上学期第一次诊断考试 数学含答案
山东省2025届高三第一次诊断考试数学试题（答案在最后）2024.10说明：本试卷满分150分。
试题答案请用2B 铅笔和0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。
考试时间120分钟。
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{ln(3)},{2}A x y x B x x ==+=∣∣ ,则下列结论正确的是A.A B⊆ B.B A ⊆ C.A B = D.A B ⋂=∅2.在612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,常数项为A.152-B.152C.52-D.523.已知()()cos f x x a x =+为奇函数,则曲线()y f x =在点(π,(π))f 处的切线方程为A.ππ0x y +-= B.ππ0x y -+= C.π0x y ++= D.0x y +=4.在ABC 中,“π2C =”是“22sin sin 1A B +=”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.由0,1,2,,9 这十个数字组成的无重复数字的四位数中,个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的有A.98个B.105个C.112个D.210个6.已知函数()f x 在R 上满足()()f x f x =-,且当(,0]x ∈-∞时,()()0f x xf x '+<成立,若()0.60.6221122,ln 2(ln 2),log log 88a f b f c f ⎛⎫=⋅=⋅=⋅ ⎪⎝⎭,则,,a b c 的大小关系是A.a b c >>B.c b a>> C.a c b>> D.c a b>>7.若1cos 3sin αα+=,则cos 2sin αα-=A.-1B.1C.25-D.-1或25-8.已知函数225e 1,0(),()468,0x x f x g x x ax x x x ⎧+<⎪==-+⎨-+≥⎪⎩,若(())y g f x =有6个零点,则a 的取值范围是A.(4,)+∞ B.174,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.[4,5]D.2017,(4,5]32⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.9.已知0a b >>,下列说法正确的是A.若c d >，则a c b d ->-B.若0c >,则b b c a a c+<+C.2ab a b <+D.11a b b a+>+10.已知,A B 分别为随机事件A ,B 的对立事件,()0,()0P A P B >>,则A.()()1P B A P B A +=∣∣ B.()()()P B A P B A P A +=∣∣C.若A ,B 独立,则()()P A B P A =∣ D.若A ,B 互斥,则()()P A B P B A =∣∣11.已知函数()(1)ln (0)f x x x ax a a =---≠在区间(0,)+∞上有两个不同的零点1x ,2x ,且12x x <,则下列选项正确的是A.a 的取值范围是(0,1) B.121x x =C.()()12114x x ++> D.1214ln 2ln ln 23x a x x a +<<++三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若1~10,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,且51Y X =+,则()D Y =___________.13.已知二次函数2()2()f x ax x c x =++∈R 的值域为[1,)+∞,则14a c+的最小值为___________.14.一颗质地均匀的正方体骰子,六个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6.现随机地将骰子抛掷三次（各次抛掷结果相互独立），其向上的点数依次为123,,a a a ，则事件“1223316a a a a a a -+-+-=”发生的概率为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
《精编》山东省莱芜市第一中学高三数学上学期12月阶段性测试 文 新人教A版.doc
莱芜一中高三上学期阶段性测试文科数学试题2021.12一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．()()lg 21x f x =-的定义域为 A.(),1-∞B.(]0,1C.()0,1D.()0,+∞2．α∈〔2π,π〕，sin α=53,那么tan 〔4πα-〕等于A ． －7B ．－ 71C ．7D ． 713．等比数列{}n a 的前n 项和为3n n S a =+， N n *∈，那么实数a 的值是 A ．3- B ．3 C ．1- D ．14.1)(2-+=ax ax x f 在R 上恒满足0)(<x f ，那么a 的取值范围是A ．0≤aB ．4-<aC ．04<<-aD ．04≤<-a5．以141222=-x y 的顶点为焦点,长半轴长为4的椭圆方程为 A ．1526422=+y x B. 1121622=+y x C. 141622=+y x D.116422=+y x 6.对于直线m ，n 和平面,,αβγ，有如下四个命题：〔1〕假设//,,m m n n αα⊥⊥则 〔2〕假设,,//m m n n αα⊥⊥则 〔3〕假设,,//αβγβαγ⊥⊥则 〔4〕假设,//,,m m n n αβαβ⊥⊂⊥则其中真命题的个数是 A.1 B.27、圆x 2+y 2-4x+2y+C=0与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，假设∠APB=900，那么C 的值是 A 、-3 B 、3 C 、22 D 、88. 假设一个螺栓的底面是正六边形，它的主视图和俯视图如图所 示，那么它的体积是 3πB.3π 3π9.设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ,7863==S S ，，那么=++987a a a A.81 B.81- C.857 D.85510．定义在R 上的偶函数0)(log ,0)21(,),0[)(41<=+∞=x f f x f y 则满足且上递减在的x 的集合为A ． 1(,)(2,)2-∞+∞ B ． 1(,1)(1,2)2C ． 1(,1)(2,)2+∞D ．1(0,)(2,)2+∞11.△ABC 中，∠C=90°，且CA=CB=3，点M 满足=BM AM 2，那么CA CM ⋅=A ．18B ．3C ．15D ．912．定义方程()'()f x f x =的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点〞，假设函数(),1g x x =-3()ln(1),()1h x x x x ϕ=+=-的“新驻点〞分别为,,αβγ，那么,,αβγ的大小关系为A ．γαβ>>B ．βαγ>>C ．αβγ>>D ．βγα>>二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．13．角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，那么角α的最小正值为 ．14.在正三棱锥S-ABC 中，侧面SAB 、侧面SAC 、侧面SBC 两两垂直，且侧棱23SA =，那么正三棱锥S ABC -外接球的外表积为___________.3πy =x +k 与曲线x =21y -恰有一个公共点，那么k 的取值范围是___________16.以下命题： ①函数⎪⎭⎫⎝⎛-=2sin πx y 在[]π,0上是减函数； ②点A 〔1，1〕、B 〔2，7〕在直线03=-y x 两侧；③数列{}n a 为递减的等差数列，051=+a a ，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，那么当4=n 时，n S 取得最大值；④定义运算11a b ，b a b a a b 122122-=那么函数()13312x x x x x f +=的图象在点⎪⎭⎫⎝⎛31,1处的切线方程是.0536=--y x其中正确命题的序号是________〔把所有正确命题的序号都写上〕. 三． 解答题()22cos 2cos ,32x f x x x R π⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭。
山东省重点高中2021届高三上学期第一次质量检测考试数学试题 含答案
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山东省莱芜市第一中学2021-2022学年高三数学文测试题含解析
山东省莱芜市第一中学2021-2022学年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4，a10是方程的两根，则（）A. 21B. 24C. 25D. 26参考答案：D【分析】根据一元二次方程中根与系数的关系，得到，再由等差数列的性质和前n项和公式，即可求解.【详解】因为是方程的两根，所以，又由，故选D.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质和前n项和公式，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2. 已知，则的值是（）A. B. C.D.参考答案：A3. 设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（）A. B. C.D.参考答案：C4. 执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（）A．9 B．121 C．130 D．17021参考答案：B【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c的值，当c=16900时，不满足条件c＜2016，退出循环，输出a的值为121．【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，b=2，c=3满足条件c＜2016，a=2，b=9，c=11满足条件c＜2016，a=9，b=121，c=130满足条件c＜2016，a=121，b=16900，c=17021不满足条件c＜2016，退出循环，输出a的值为121．故选：B．【点评】本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．5. 记实数，，…，中的最大数为，最小数为，则（）A．B．C．D．参考答案：D略6. 已知不等式组，表示的平面区域为M，若直线与平面区域M有公共点，则k 的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：A本题为线性规划含有带参数直线问题依据线性约束条件作出可行域，注意到所以过定点（3,0）。
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第一次质量检测数学试卷答案
1-5.DABDA 6-8.ACB 9.ACD 10.AB 11.BD 12.AD
13.7 14.3 15.（0,1） 16（1）（2）
17.【解答】解：（1）因为31
sin −=α，且α为第四象限角，所以3
22sin 1cos 2=
−=αα可得4
2
tan ,322cos 2−=−
=−=⎪⎭⎫ ⎝⎛−
ααπαsin （2）因为tan α＝2，所以5
2
1tan tan cos sin cos sin cos sin 2
22=+=+=
αααααααα． 18.解：（1）若选条件①，∵
，
∴由正弦定理得
，
∵sin B ＝sin （A +C ）＝sin A cos C +cos A sin C ，
∴＝，
，∵sin C ≠0，∴，∵0＜A ＜ð，∴3
π
A =
； 若选条件②，∵2a cos A ＝b cos C +c cos B ，
∴由正弦定理得2sin A cos A ＝sin B cos C +sin C cos B ，即2sin A cos A ＝sin （B +C ）＝sin A ，
2
1
cos =
A ，∵0＜A ＜ð，∴3πA =；
若选条件③，∵b C C a =+
21cos ，∴由正弦定理得B C C A sin sin 2
1
cos sin =+， ∵sin B ＝sin （A +C ）＝sin A cos C +cos A sin C ，∴C C A sin 2
1
cos sin +
＝sin A cos C +cos A sin C ，
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C C A sin 21sin cos =
，∵sin C ≠0，∴2
1
cos =A ，∵0＜A ＜π，∴3πA =； 所以不管选择哪个条件，3
π
A =
． （2）a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，3
,3π
A a =
=
，即b 2+c 2﹣bc ＝3， ∵b 2+c 2≥2bc ，∴2bc ﹣bc ≤3，即bc ≤3，当b ＝c 时等号成立．∴bc 的最大值为3，
∵A bc S ABC Δsin 21
=
，4
3323321=
⨯⨯∴的最大值为ABC ΔS 19.解：（1）当0＜x ＜90时，2006021200402110022−+−=−⎪⎭
⎫
⎝⎛+−=x x x x x y ；
当x ≥90时，
，
∴．
（2）①当0＜x ＜90时，≤1600，
②当x ≥90时，＞1600，
当且仅当，即x ＝90时，y 取得最大值，最大值为1800万元．
综上，当产量为90万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1800万元20.解：（1）∵
＝cos 2x +sin 2x +
sin x cos x
＝×+×+sin2x ＝sin2x ﹣cos2x +1＝sin （2x ﹣）+1，
∴f（x）的最小正周期T＝＝π，
令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，可得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
可得单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
（2）∵x∈，可得2x﹣∈[﹣，]，
∴当2x﹣＝﹣时，f（x）最小值为，相应的x＝﹣；
当2x﹣＝时，f（x）最大值为，相应的x＝．
21.（I）.解：（1）当时，，
∴f'（x）＝（x+1）e x﹣x﹣1＝（x+1）（e x﹣1）．令f'（x）＝0，得x＝1或0，
∴f（x），f'（x）随x变化情况如下表：
x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，0）0（0，+∞）f'（x）+0﹣0+
f（x）增极大值减极小值增
∴f（x）在x＝﹣1处取得极大值，在x＝0处取得极小值f（0）＝0．
（2）当x＝0时，不等式恒成立．
当x＞0时，不等式f（x）≥0，即xe x﹣ax2﹣x≥0，等价于e x﹣ax﹣1≥0，
令g（x）＝e x﹣ax﹣1，∴g′（x）＝e x﹣a．∵x＞0，∴e x＞1，
当a≤1时，g′（x）＝e x﹣a≥0，g（x）单调递增，
∴g（x）＞g（0）＝0，不等式成立，当a＞1时，g′（lna）＝0．
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∴x ∈（0，lna ），g '（x ）＜0，g （x ）单调递减，∴g （x ）＜g （0
综上，a 的取值范围为（﹣∞，1]． 22.（1）解：
或a +1，
①a ＜0时，a +1＜1，f （x ）在（﹣∞，a +1）单调递减，（a +1，1②a ＝0时，a +1＝1，f （x ）在R 单调递减；
③a ＞0时，a +1＞1，f （x ）在（﹣∞，1）单调递减，（1，a +1（2）证明：，令h （x ）＝e x +x ﹣（a +1），h （0）＝﹣a ＜0，h （1）＝e ﹣a ＞0， ∴∃x 0∈（0，1），使得,0)1()(00000−+==+−+=x e a a x e x h x
x
∴g （x ）在（﹣∞，x 0）单调递增，（x 0，1）单调递减，（1，+∞所以g （x ）有唯一极大值x 0． （7分）
∴②（9分）
现在证明：．令，则所以，即③
综上，有②③可知：
（12分）。