2.3.3平面向量的坐标运算人教版数学必修4易海明
-2- -1 ,1-3 3- -1 ,4-3 3,-1
y COD OB BD源自BA O 1 1 D
-1,3 + 3,-1 2,2
x
课堂练习：
1..若点O（0， 0），A（ 1 ， 2），B（ 1 ， 3），且
(2,4) OA/ 2OA, OB / 3OB 则点A /的坐标为_______ （ -3，9） 向量 A / B /的坐标为 （ -5，5） 点B /的坐标为 _______, _____
2.平行四边形ABCD的对角线交于O, 且 AD 3,7,
(2.5,3) _. AB 2,1, 则OB 的坐标为__________
课堂练习： 3.已知点P、A（ 3， 7 ）、B（ 4， 6 ），C（ 1 ， 2 ），
是一个平行四边形的四 个顶点，求P的坐标.
课堂练习： 4.已知a (1,0)、b (1,1), c (1,0), 求实数
a ( x, y).
作业
课本第114页习题2.3 题2、3、4
实数与向量的积的坐标等于用这 个实数乘原来向量的相应坐标
例题讲解
如图,已知A(x1,y1),B(x2,y2),求 AB 坐标.
AB OB OA ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )
y
A( x1 , y1 )
B( x2 , y2 )
( x2 x1, y2 y1 ).
DC (3 x, 4 y)
y
C
B 由AB DC ，得 D (1, 2) (3 x, 4 y) 1 A 3 x 1 x 2 O 1 2 4 y y 2
x
解法2: 由向量加法的平行四边形法则可知
BD BA AD BA BC
a b ( x1 x2 , y1 y2 )
同理可得： a b ( x1 x2 , y1 y2 )
两个向量和与差的坐标分别等于 这两 个向 量相 应坐 标的 和 与 差
a ( xi yj ) xi yj.
a ( x, y).
与，使c a b.
小结
(1)两向量和的坐标等于各向量对应坐标的和；
a b ( x1 x2 , y1 y2 )
(2)两向量差的坐标等于各向量对应坐标的差；
a b ( x1 x2 , y1 y2 )
(3)实数与向量积的坐标等于原向量的对应坐标 乘以该实数；
3a 4b 3(2,1) 4(3, 4) (6,3) (12,16) (6,19).
例题讲解
已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为 (－2,1)、(－1,3)、(3,4),求顶点D的坐标． 解法1：设顶点D的坐标为（x，y） AB (1 （ 2 ）， 3 1 ）（， 12 ）
o
x
一个向量的坐标等于表示此向量的有 向线段的终点的坐标减去始点的坐标
例题讲解
已知a (2,1), b (3, 4),求a+ b, a- b, 3a+ 4b 的坐标.
a b (2,1) (3, 4) (1,5);
a b (2,1) (3, 4) (5, 3);
平面向量的坐标运算
授课人：易海明 制作人：易海明
复习
平面向量的正交分解
平面向量的坐标表示
已知a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 求a b, a b, a的坐标.
a b ( x1i y1 j ) ( x2i y2 j ) ( x1 x2 )i ( y1 y2 ) j
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高中数学必修四1：2.3.3 平面向量的坐标运算
探究点4
设c 1a 2（b 12 R）
则（-
3 2
，3
3 2
）
（1 2，0）
（2 -
3 ，1） 22
（21 -
3 2
2，12
2）
1 -3，2 -3 3
c -3a - 3 3b
拓展提升：
已知A（-1，5）和向量
r a
（2，3），若
uuur AB
r 3a
，则点B的坐标为
__(5_,_4_)_。
课堂练习
已知向量a （cosx，sinx），b （sin2x，1- cos2x），c （0，1），x （0，π） 向量a，b是否共线？请说明理由
b （sin2x，1- cos2x） 2sinxcosx，2sin2x） 2sinx（cosx，sinx）（2sinx）a
课堂练习
向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则
解：过D,B做x轴的垂线，垂足分别为M、N，ABCD 是正方形可知 90，故可证 DMA ANB，即
MA=3，DM=4所以D（-2,4）设C(x,y),则
uuur
uuur
DC
（x
2，y
- 4），AB
（4，3）Q
DC
AB，｛xy-4234，解得
｛y7， x2
故C（2，7）
探究点1 坐标对向量分解
典例精讲：
已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且 BC 2AD ，则 顶点D的坐标为（ A ）
A. （2，72 ）
BHale Waihona Puke （2，-1 2）C. （3，2）
D.（ 1，3）
解析： 设D（x，y）， BC （4，3），AD （x，y - 2），由BC 2AD 得x 2，y 7 ，故选A
新人教版数学必修4同步课件：平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
-1-
首页
核心素养培养目标
核心素养形成脉络
1.理解向量正交分解以及坐标表示
的意义.培养数学抽象及逻辑推理素
养.
平面向量的坐标表示及运算
2.掌握平面向量加法、减法、数乘的 正交分解
坐标运算法则,能够进行向量的坐标 运算.培养数学运算及逻辑推理素养.
������������ =(1,8)-(4,6)=(-3,2).
∴������������ + ������������=(3,-1)+(-3,2)=(0,1),
������������ − ������������=(3,-1)-(-3,2)=(6,-3),
2������������
+
1 2
������������ =2(3,-1)+12(-3,2)=
探究一
探究二
探究三
思维辨析
课堂篇 探究学习
变式训练 2 若向量������������=(1,2),������������=(3,4),则������������=( )
A.(4,6)
B.(-4,-6)
C.(-2,-2) D.(2,2)
解析������������ = ������������ + ������������=(1,2)+(3,4)=(4,6).
首页
课前篇 自主预习
一
二
自主检测
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打
“×”.
(1)一个坐标对应唯一的一个向量. ( )
(2)相等的向量,即坐标是相同的. ( )
-1-
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核心素养培养目标
核心素养形成脉络
1.理解向量正交分解以及坐标表示
的意义.培养数学抽象及逻辑推理素
养.
平面向量的坐标表示及运算
2.掌握平面向量加法、减法、数乘的 正交分解
坐标运算法则,能够进行向量的坐标 运算.培养数学运算及逻辑推理素养.
������������ =(1,8)-(4,6)=(-3,2).
∴������������ + ������������=(3,-1)+(-3,2)=(0,1),
������������ − ������������=(3,-1)-(-3,2)=(6,-3),
2������������
+
1 2
������������ =2(3,-1)+12(-3,2)=
探究一
探究二
探究三
思维辨析
课堂篇 探究学习
变式训练 2 若向量������������=(1,2),������������=(3,4),则������������=( )
A.(4,6)
B.(-4,-6)
C.(-2,-2) D.(2,2)
解析������������ = ������������ + ������������=(1,2)+(3,4)=(4,6).
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课前篇 自主预习
一
二
自主检测
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打
“×”.
(1)一个坐标对应唯一的一个向量. ( )
(2)相等的向量,即坐标是相同的. ( )
人教版高中数学必修4第二章平面向量-《2.3.3平面向量的坐标运算》课件(5)
平行四边形.
练习:教材第112页第1，2，3题 家庭作业:
(1)预习3.向量平行的坐标表示
(2)a // b b 0 的充要条件是x1 y2 x2 y1 0中,可以 x1 x2 x1 y1 将其改为 或 吗? y1 y2 x2 y2
例2 已知a (2,1), 求b分别满足下列各情况时 对应的坐标. (1)a b (1, 5) (2)a b 5, 3
3 3a 4b (6,19)
例3 在直角坐标平Hale Waihona Puke 内, 点A, B, C的坐标分别为
-2,1 , 1, 3 , 3, 4 , 求点D的坐标, 使其四点构成
重要结论：相等的向量的坐标相同；反之， 坐标相同的向量相等。
例 1 如图用基底 , i, j表示向量a, 并求出向量a的坐标. y 4 a 2
j
O i 2
4
x
练习巩固 1.如图,用基底i, j分别表示向量a, b, c, d , 并求出它们的坐标.
2.平面向量的坐标运算
(1)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 与差；
已知a x1 , y1 , b x2 , y2 , 则 a b x1 x2 , y1 y2 a b x1 x2 , y1 y2
(2)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标 减去始点的坐标；
(3)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐 标.
平面向量的坐标运算
1.平面向量的坐标表示 一、复习巩固 1、平面向量基本定理：
2.若在直角坐标系中,分别取与x轴, y轴方向相同 的两个单位向量i, j作为基底,则平面内任一向量 a可分解为什么形式?
练习:教材第112页第1，2，3题 家庭作业:
(1)预习3.向量平行的坐标表示
(2)a // b b 0 的充要条件是x1 y2 x2 y1 0中,可以 x1 x2 x1 y1 将其改为 或 吗? y1 y2 x2 y2
例2 已知a (2,1), 求b分别满足下列各情况时 对应的坐标. (1)a b (1, 5) (2)a b 5, 3
3 3a 4b (6,19)
例3 在直角坐标平Hale Waihona Puke 内, 点A, B, C的坐标分别为
-2,1 , 1, 3 , 3, 4 , 求点D的坐标, 使其四点构成
重要结论：相等的向量的坐标相同；反之， 坐标相同的向量相等。
例 1 如图用基底 , i, j表示向量a, 并求出向量a的坐标. y 4 a 2
j
O i 2
4
x
练习巩固 1.如图,用基底i, j分别表示向量a, b, c, d , 并求出它们的坐标.
2.平面向量的坐标运算
(1)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 与差；
已知a x1 , y1 , b x2 , y2 , 则 a b x1 x2 , y1 y2 a b x1 x2 , y1 y2
(2)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标 减去始点的坐标；
(3)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐 标.
平面向量的坐标运算
1.平面向量的坐标表示 一、复习巩固 1、平面向量基本定理：
2.若在直角坐标系中,分别取与x轴, y轴方向相同 的两个单位向量i, j作为基底,则平面内任一向量 a可分解为什么形式?
课件1：2.3.3 平面向量的坐标运算
义BC
·CA=5
8
。
cos120
=
-20
课堂练习 判断正误：
若a (x, y),a （ x， y）
如果向量a、b是同一平面内的两个向量,那么对于这一 平面内的任一向量c ,有且只有一对实数k1、k2 , 使 c k1a k2 b .
课堂小结
向量的坐标表示，为我们进行向量的运算打开了方便之门 （1）两向量和的坐标等于各向量对应坐标的和； （2）两向量差的坐标等于各向量对应坐标的差； （3）实数与向量积的坐标等于原向量的对应坐标乘以该实数； 向量的坐标表示使得我们可以通过数的运算来研究图形的几何 性质，体现了数形结合的思想方法；
(3)若a (x, y),a （ x， y）
（4）若a （x1，y1），b （x2，y2），ab x1x2 y1y2 若a b， x1x2 y1 y2 0
典型例题
已知a （3，2），b （-1，2），c （4，1） （1）求符合a mb nc的m，n(其中m, n R) （2）若（a k c）/ （ / 2b - a），求k (k R)
引入课题
我们知道在直角坐标系内，平面内的每一个点都可以用一对有 序实数来表示，且点与坐标是一一对应的。既然向量的起点和 终点的坐标是确定的，那么向量也可以用一对实数来表示吗？
引入课题
（1）向量加减法的坐标等于向量坐标的加减法 （2）实数与向量的积的坐标等于是属于向量坐标的积。 （3）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点坐标。
作业布置
1.同步训练2.3.3.3； 2.预习课本下一节内容，弄清楚平面向量共线的坐标表示，并完 成课后习题.
再见
则b=0，与题设矛盾， 所以a // c
高一数学人教A版必修四教案：2.3.3平面向量的坐标运算Word版含答案
.
学生通过平移也可以发现 : 向量 AB 的模与向量 OP 的模是相等的 .
由此 ,我们可以得出平面内两点间的距离公式 :
| AB |=| OP |= ( x1 x 2 )2 ( y1 y 2 ) 2 .
教师对总结完全的同学进行表扬 ,并鼓励学生 ,只要善于开动脑筋 翅膀 ,就一定能获得意想不到的收获 .
λ使得 a=λb,
活动 :教师引导推证 :设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠a,
由 a=λb,(x1,y1)= λ2(,xy2)
x1
x 2 , 消去 λ得， x1 y2-x2 y1=0.
y1
y2.
讨论结果 :a∥b(b≠0)的充要条件是 x1y 2-x2y 1=0. 教师应向学生特别提醒感悟 : 1°消去 λ时不能两式相除 ,∵ y1、y 2 有可能为 0,而 b≠0,∴ x2、 y2 中至少有一个不为 0.
y2 均无意义 .因此 y1
x2
x1
y2 是向量 a、b 共线的充分不必要条件 . x2
由此也看出向量的应用更具一般性 ,更简捷、实用 ,让学生仔细体会这点 .
讨论结果 :① x1y2-x2y1=0 时 ,向量 a、 b(b≠0)共线 . ②充分不必要条件 .
提出问题
a 与非零向量 b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数 那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？
又 2×6-3 ×4=∴0, AB ∥ AC ,且直线 AB、直线 AC 有公共点 A,
∴ A、 B、 C 三点共线 .
点评 :本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法
,其实质是从同一点出发的两个向
量共线 ,则这两个向量的三个顶点共线 .这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的
高中数学(福建)人教A版必修4课件：2.3.3 平面向量的坐标运算
明目标、知重点
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
平面向量坐标运算规律 剖析:(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行. 若已知有向线段两个端点的坐标,则应先求出向量的坐标,再进行 向量的坐标运算.另外解题过程中要注意方程思想的运用. (2)利用向量的坐标运算解题,主要是根据相等的向量坐标相同这 一原则,通过列方程(组)进行求解. (3)利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求出基底向量和被表 示向量的坐标,再用待定系数法求出待定系数. (4)向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实 现了向量运算完全代数化 明目标、知重点 ,将数与形紧密结合起来,就可以使很多
用已知向量表示其他向量
【例 2】 若向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),试用 a,b 表示 c. 解:设 c=xa+yb,则(-1,2)=(x,x)+(y,-y)=(x+y,x-y),∴
1 , 2 解得 3 ������ = - . 2 1 3 ∴c= 2 ������ − 2 ������.
1 ������ 2
−
1 ������ 3
=
1 (−1,2) 2
−
1 (2,1) 3
=
-
1 ,1 2
−
2 1 , 3 3
=
-
7 2 , 6 3
.
明目标、知重点
M 目标导航
题型一 题型二 题型三 题型四
题型二
UBIAODAOHANG
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
【同步课堂】人教A版高中数学必修四第二章2.3.3平面向量的坐标运算课件(共17张PPT)
若a (x1, y1),b (x2, y2), 则(1) a b (x1 x2, y1 y2 ),
(2)a b (x1 x2, y1 y2), (3)a (x1, y1)
2. 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的 坐标减去起点的坐标. 即：
若A(x1, y1), B(x2, y2),则AB (x2 x1, y2 y1)
即a
b
（x1
x2 ,
y1Biblioteka y2）因此，两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和。
同理可得：
a b (x1 x2 , y1 y2 )
即 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差。
而
a
( x1i
y1 j )
x1i
y1 j
(x1, y1 )
即 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量 的相应坐标。
2 2
顶点D的坐标是（2，2）
例3、已知：点A（2，3）、B（5，4）、C（7，10），
若 AP AB AC (λ∈R) ，试求 为何值时，点P在一、
三象限角平分线上？点P在第三象限内？
解：设点P的坐标为（x,y）,则AP (x 2, y 3)
AB AC (3,1) (5, 7) (3 5,1 7)
y
B1
B(4,5)
AB的坐标等于终点B的坐标
a AB (2，3)
减去起点A的坐标.
1
A (2,2) A1
j
O i1
x
思考
如果将A,B的坐标推广到一般的(x1, y1), (x2 , y2 ) ，AB (x2 x1, y2 y1) 是否还成立？
已知 A(x1, y1), B(x2, y2 ) ，求 AB的坐标.
(2)a b (x1 x2, y1 y2), (3)a (x1, y1)
2. 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的 坐标减去起点的坐标. 即：
若A(x1, y1), B(x2, y2),则AB (x2 x1, y2 y1)
即a
b
（x1
x2 ,
y1Biblioteka y2）因此，两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和。
同理可得：
a b (x1 x2 , y1 y2 )
即 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差。
而
a
( x1i
y1 j )
x1i
y1 j
(x1, y1 )
即 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量 的相应坐标。
2 2
顶点D的坐标是（2，2）
例3、已知：点A（2，3）、B（5，4）、C（7，10），
若 AP AB AC (λ∈R) ，试求 为何值时，点P在一、
三象限角平分线上？点P在第三象限内？
解：设点P的坐标为（x,y）,则AP (x 2, y 3)
AB AC (3,1) (5, 7) (3 5,1 7)
y
B1
B(4,5)
AB的坐标等于终点B的坐标
a AB (2，3)
减去起点A的坐标.
1
A (2,2) A1
j
O i1
x
思考
如果将A,B的坐标推广到一般的(x1, y1), (x2 , y2 ) ，AB (x2 x1, y2 y1) 是否还成立？
已知 A(x1, y1), B(x2, y2 ) ，求 AB的坐标.
[教案新课标高中数学人教A版必修四全册教案2.3平面向量基本定理及坐标表示(三).pptx
3.若 AB =i+2j， DC =(3-x)i+(4-y)j(其中 i、j 的方向分别与 x、y 轴正方向相同且为单
位向量). AB 与 DC 共线，则 x、y 的值可能分别为（ B ） A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，4 4. 已 知 a=(4，2)，b=(6 ，y)， 且 a∥b， 则 y= 3 .
（2）能不能写成 y1 y2 ？ （不能。 ∵x ， 1x 有可2 能为 0） x1 x2
(3)向量共线有哪两种形式？ a ∥ b ( b 0 )
三、讲解范例：
a b
x1 y2 x2 y1 0
例 1 已知a =(4，2)， b =(6， y)，且 a ∥ b ，求 y.
例 2 已知 A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断 A，B，C 三点之间的位置关系. 思考：你还有其它方法吗？
？
四、课堂练习：P101 面 4、5、6、7 题。
五、小结 ：（1）平面向量共线的坐标表示；
2 平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；
3
向量共线的坐标表示. 六、
课后作业：《习案》二十二。
思考：
1.若 a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且 a∥b，则 y=（ C ） A.6 B.5 C.7 D.8 2.若 A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则 x 的值为（ B ） A.-3 B.-1 C.1 D.3
学海无 涯
5.已知 a=(1，2)，b=(x，1)，若 a+2b 与 2a-b 平行，则 x 的值为 1 2
6.已知□ABCD 四个顶点的坐标为 A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则 x= 5
【公开课教案】人教A版数学必修4第二章2.3.3 平面向量的坐标运算教案
《平面向量的坐标运算》教学设计一、教学目标1、知识与技能①会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；②能根据表示向量有向线段的终点和始点，写出向量的坐标；③能综合应用平面向量的加、减与数乘运算解决相关问题．2、过程与方法①通过用代数方法处理几何问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力；②通过例二的一题多解，训练思维的发散性．3、情感、态度与价值观①感受成功探究得到成果的喜悦；②深刻体会向量在解决几何问题时的作用，感受数与形的统一．二、教学重点平面向量的坐标运算.三、教学难点平面向量的坐标运算的应用.四、教学方法引导探究式讲授法.五、教学用具PPT、希沃教学白板，希沃授课助手六、教学过程1、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的单位向量i⃗、j⃗作为基底，那么平面内的任意向量a⃗，都可以表示为a⃗=xi⃗+yj⃗的形式。
我们就把(x，y)叫向量a⃗的坐标。
即a⃗=xi⃗+yj⃗=(x，y)练习：分别说出向量i⃗、j⃗、b⃗⃗=−3i⃗+2j⃗的坐标。
向线段的终点的坐标减去始点的坐标。
练习：已知A（-1，5），B（3， 2），C（2， -2），求⃗⃗⃗⃗⃗⃗；①向量AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗的坐标。
②向量CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2，3)，A（1，2），求点B的坐变式：若AB标。
例二：平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2,1），（-1,3），（3,4），试求顶点D的坐标。
七、板书设计1、复习a⃗=xi⃗+yj⃗=(x，y)2、新知a⃗+b⃗⃗=(x1+x2，y1+y2)；a⃗−b⃗⃗=(x1−x2，y1−y2)；ka⃗=(kx1，ky1)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。
3、应用牛刀小试：例一例二八、教学反思。
人教A版高中数学必修四课件2.3《平面向量的坐标运算》.pptx
什么叫平面的一组基底?
不共线的两向量e1,e2叫做这一平面内所有 向量的一组基底.
平面的基底有多少组? 无数组
（一）平面向量坐标的概念
在直角坐标系内，我们分别
y
(1)取基底:与x轴方向,y轴方向相同
的两个单位向量i、j作为基底.
a
(2)任得作到一实个数向对量: a，
由平面向量基本定理，有且只
有一对实数x、y，使得a=xi+yj. j
O
x
1 3 x x 2
2 4 y
y
2
顶点D的坐标是（2，2）
变式：已知平面上三点的坐标分别为
A(2,1),B(1,3),C(3,4)，求点D的坐标使这四
点构成平行四边形四个顶点。 y
D2
解：当平行四边形为ADCB时，B
C
由得ABD1D=C(2,2)
A
D1
D3
O
x
当平行四边形为ACDB时，
uuur
Q AB 1, 2 x, y 2,1,
即12xy21
x3
y
1
即B 3,-1.
例5：已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C
的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），
求顶点D的坐标。
y
4
B(-1,3))
C(3,4)
3
2
A(-2,1) 1
-6
-4
-2
O
-1
D(x,y)
2
练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.
r
r
(1)a (1, 2) (2)b (1, 2)
. 解：
y A(1, 2)
r
a
o
x
y
不共线的两向量e1,e2叫做这一平面内所有 向量的一组基底.
平面的基底有多少组? 无数组
（一）平面向量坐标的概念
在直角坐标系内，我们分别
y
(1)取基底:与x轴方向,y轴方向相同
的两个单位向量i、j作为基底.
a
(2)任得作到一实个数向对量: a，
由平面向量基本定理，有且只
有一对实数x、y，使得a=xi+yj. j
O
x
1 3 x x 2
2 4 y
y
2
顶点D的坐标是（2，2）
变式：已知平面上三点的坐标分别为
A(2,1),B(1,3),C(3,4)，求点D的坐标使这四
点构成平行四边形四个顶点。 y
D2
解：当平行四边形为ADCB时，B
C
由得ABD1D=C(2,2)
A
D1
D3
O
x
当平行四边形为ACDB时，
uuur
Q AB 1, 2 x, y 2,1,
即12xy21
x3
y
1
即B 3,-1.
例5：已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C
的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），
求顶点D的坐标。
y
4
B(-1,3))
C(3,4)
3
2
A(-2,1) 1
-6
-4
-2
O
-1
D(x,y)
2
练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.
r
r
(1)a (1, 2) (2)b (1, 2)
. 解：
y A(1, 2)
r
a
o
x
y