杆件内力分析.
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第二节
一、应用截面法求内力
1、假想用一截面将构件截开；
内力分量
2、取左右两部分任一部分（如图取左部 分）；用内力代替右部分对左部分的作用
3、将分布力系向截面形心简化得主矢Q′、 主矩M0；
4、将主矢、主矩沿过截面形心O点的坐 标轴分解。
二、六个内力分量：
代号 N 名称 轴力 方向（或转向） 沿横截面法向方向 对应的变形 拉伸或压缩
FN 0 NF
M ( F O )0 Fa M 0 M Fa
例4-2 求如图所示的简支梁 m-n 截面上的内力，其上的载荷已知。 解： 1）求约束力 M B (F ) 0
RA L F1 ( L a) F2 (b c ) F3b 0 RA F1 ( L a) F2 (b c ) F3b L
二轴力图
用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，从 而绘出表示轴力与横截面位置关系的图线，称为轴力图。
例4-3 如图变截面圆钢管。已知 F1=10kN，F2=35kN，F3=20kN。求各段横截面上的轴力，画轴力图。
解： 应用截面法在1-1、2-2、3-3截面处将杆截开，取 右边部分，各截面轴力分别为N1、N2、N3都按正向规 定设为拉力。
Qy、Qz
T My、Mz
剪力
扭矩 弯矩
沿横截面切线方向
矩矢沿轴线（x)方向 矩矢在横截面内（y、z面）
剪切
扭转 弯曲
三、叠加原理
一个构件上同时作用着多个外力，这多个外力引起的内力等于每个外力引起的内力之和。
四、内力的正负规定
轴力N ：拉伸时 轴力（背离截面）为 正，压缩时轴里（指 向截面）为负。
剪力Q：若简练对 分离体内任一点的矩 为顺时针时，其剪力 为正；反之，剪力为 负。
F
y
0 F1a F2 ( L b c) F3 ( L b) L
RA RB F1 F2 F3 0 RB
2）应用截面法求内力——剪力Q、弯矩M
F
y
0
RA F1 Q 0 Q RA F1
M ( F O )0 M F1 ( x a ) RA x 0 M RA x F1 ( x a )
第四章
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
杆件内力分析
杆件内力与截面法 内力分量 内力方程与内力图 应力与应变的概念 应力状态分析 问题讨论与说明
第一节 杆件内力与截面法
在构件能安全工作的条件下，以最经济的代价，为构件确定合理的形状和尺寸，选择适当的材料。保 障构件具有足够的强度、刚度及稳定性。
例4-4 传动轴的转速 n=200r/min，功率由A轮输入，B、C 两轮输出。已知，PA=40kW，PB=25kW， PC=15kW。要求画扭矩图确定 Tmax值。
（2）代替：任取一部分为研究对象，弃去另一部分，并以内力代替弃去部分对留下部分的作用； （3）平衡：对留下部分建立平衡方程，求出该截面的内力。
四、杆件变形基本形式：
杆件受外力作用后发生的变形是多种多样的，但最基本的变形是以下四种： 拉伸 ( 或压缩 ) 、剪 切、扭转和弯曲 。其他一些复杂的变形都可以由以上四种变形组合而成。
三、内力图分类
1）轴力图； 2）扭矩图； 3）剪力图、弯矩图。
下一节
轴力与轴力图
一、轴力
轴力： 垂直与横截面且过横截面形心的内力，常用符号 N 来表示。 轴力 = 截面一侧所有外力的代数和 外力正负规定：与截面外法线方向相反的外里为正（即相对截面拉伸的外里为正）；反之为负。 正的外力产生正的轴力。
扭矩T ：当扭矩 矢量方向与横截面的 外法线方向相同时， 该扭矩为正，反之为 负。
弯矩M ：使微段发 生“上凹下凸”的弯曲 变形的弯矩为正，反之 为负。
例4-1 如图所示钻床，在力 F 的作用下，确定 m-n 截面的内力。
解： 1）应用截面发将构件截开，得轴力N、弯矩M; 2）由平衡方程可求得：
Fy 0
外力偶矩正负规定：右手螺旋法则，扭矩的矢量方向与横截面外法线方向相反为正，反之为负。 正的外力偶矩产生正的扭矩，负的外力偶矩产生负的扭矩。 外力偶矩的计算
m 9549
P n
(N m)
其中： P —— 为转轴的功率单位为 kW n —— 为转轴的转速单位为 r/min
二、扭矩图
用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上扭矩的数值， 从而绘出表示扭矩与横截面位置关系的图线，称为扭矩图。
N1 F1 10(kN) N 2 F1 F2 25(kN) N3 F1 F2 F3 45(kN)
返回第三节
扭矩及其扭矩图
一、扭矩
扭矩： 矢量方向与横截面法线相重合（即作用面沿横截面）的内力偶矩，常用符号 T 来表示。 扭矩T（T′）=截面一侧（左或右）所有外力偶矩代数和 扭矩正负规定： 右手螺旋法则，扭矩的矢量方向与横截面外 法线方向一致为正，反之为负。
二、内力 ：
在外力作用下构件发生变形，构件内部相邻各质点间沿力作用方向的相对位置发生变化，同时构件 各质点之间产生附加内力（简称内力），其作用是力图使各质点恢复其原始位置。
三、求内力的方法—— 截面法 ：
截面法是材料力学研究内力的一个基本方法，其步骤如下：
（1）截开：在需求内力的截面处，将构件假想截分为两部分；
一、基本假设：
（1） 均匀、连续假设： 构件内任意一点的材料力学性能与该点位置无关，且毫无空隙地充满构件所占据的空间。
（2） 各向同性假设：
构件材料的力学性能没有方向性。 （3） 小变形假设： 主要研究弹性范围内的小变形。小变形假设可使问题得到如下的简化： a) 忽略构件变形对结构整体形状及荷载的影响； b) 构件的复杂变形可处理为若干基本变形的叠加。
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第三节 内力方程与内力图
一、内力方程
以杆件轴线为自变量坐标轴 —— x轴，各截面内力均为其位置坐标 x 轴的函数，这个内力与 x 间的 函数关系式称为内力方程。
二、内力图
内力方程的图像表示，称为内力图。内力图可以直观地反映出内力与截面位置间的变化关系，从而 确定出最大内力的数值及其所在的位置，即确定危险截面，为构件承载能力分析提供依据。
杆件的内力分析与内力图
F M
y
0 0
C
F l a FS FA l F l a M FA x x l
由其右边分离体的平衡条件同样可得 a FA m F 0
F
y
FB B
FS F FB 0 F l a FS F FB l
A y FA
x
m
m M 切向应力的合力， C A 称为剪力 x m FS x FS m MC 0 M C m M F a x FB l x 0
1 1 FN1
60kN
2
A
30kN
B
x
FN2
2
C
60kN
解：1、计算杆件各段的轴力。 AB 段
X 0
BC 段
FN1 30 0
FN1=30kN
1 30kN
2
X 0
FN2 60 0
FN2= 60kN
+
FN图
2、绘制轴力图。
60kN
| FN |max=60 kN
第三节 扭转和扭矩图
x
Fab l
由剪力、弯矩图知： 在集中力作用点，弯 矩图发生转折，剪力 图发生突变，其突变 值等于集中力的大小， 从左向右作图，突变 方向沿集中力作用的 方向。
Fa l
x
M
三. 弯矩、剪力与分布荷载集度之间的关系及其应用
y O m m x q(x) n n dx F Me x M ( x) m FS(x) m n M(x)+dM(x) C n FS(x)+dFS(x)
1分钟me作功
W ' M e M e (2n 1) 2nMe
第二章 杆件的内力分析
约定：土木类弯矩图画在曲杆受拉一侧
§2-2 平面刚架和平面曲杆的内力图
二、平面曲杆的内力图
例 第 二 章 杆 件 的 内 力 分 析
§2-3 用简易法作梁的剪力图和弯矩图
弯矩、剪力、分布载荷集度之间的微分关系
A
P
m
B
规定分布载荷集度方向向上为正。
x
dx dx
C
q q (x )
FY
0
FS (x )
11 kN
10 kN m
2 kN m
总结：内力正负号规定
第 二 章 杆 件 的 内 力 分 析
T FN Fs F N F N N
+ Fs
§2-2 平面刚架和平面曲杆的内力图
一、平面刚架的内力图
*刚架：由若干根杆刚性联结而成的结构 *平面刚架：组成刚架的各杆均在同一平面内
外力也作用在刚架所在平面
M( x )
M( x dx ) M dM
FS (x dx ) FS dFS
FS qdx (FS dFS ) 0 dFS ( x ) q (x ) dx
剪力对x的一阶导数等于作用在该截 面处的分布载荷集度。
mc 0
M dM M FS dx q (dx ) 2 0
梁上外力情况
dFS 0 dx
剪力图 剪力图平行x轴
FS
弯矩图
dM FS 0 dx dM FS 0 dx
M
M 0 M 0 M 0
x
FS 0
x
无分布载荷
(q 0 )
M
dFS q dx
FS
FS 0
FS
x
x
杆件受力分析杆件的内力计算和受力平衡
杆件受力分析杆件的内力计算和受力平衡杆件受力分析是工程力学中一个重要的内容，能够帮助我们了解和计算杆件内力以及保证杆件的受力平衡。
本文将介绍杆件受力分析的基本概念和计算方法，并根据实际例子进行说明和分析。
一、杆件受力分析概述杆件，指的是工程结构中的长条形构件，常用于支撑和传递力量。
在实际应用中，杆件往往会受到多方向的力的作用，因此需要进行受力分析，计算出杆件内部的力，以保证其受力平衡。
在进行杆件受力分析时，我们需要明确以下几个概念：1. 受力点：指的是外力作用到杆件上的点，也是进行受力分析的起点。
2. 内力：指的是杆件内部存在的力，可以是拉力或压力。
3. 受力平衡：指的是杆件上所有受力的合力和合力矩为零的状态，保证了杆件受力的平衡。
二、杆件内力计算方法1. 自由体图法：自由体图法是杆件受力分析的基本方法，通过将杆件与外界切割开来，分析切割面上的受力情况，进而计算出杆件内力。
过程：选择合适的切割面，画出自由体图，分析受力平衡条件，解方程计算内力。
2. 杆件法：杆件法是将整个杆件视为一个整体，通过利用杆件的几何关系和受力条件进行计算。
过程：根据杆件的几何形状和受力情况，建立方程组求解。
三、杆件受力分析实例为了更好地理解和应用杆件受力分析的方法，下面以一个实际例子进行说明：假设有一根长度为L的杆件，一端固定在墙上，另一端悬挂一个质量为m的物体。
我们需要计算杆件的内力以及保证受力平衡。
首先，我们选择杆件的中点作为切割面，并画出自由体图。
根据受力平衡条件，我们可以得出以下方程：∑Fx = 0: T - F = 0 （水平方向受力平衡）∑Fy = 0: N - mg = 0 （竖直方向受力平衡）其中，T代表杆件的张力，F代表杆件所受悬挂物体的重力，N代表杆件与墙壁接触点的支撑力，g代表重力加速度。
通过解以上方程组，我们可以计算出T和N的数值，进而得到杆件内部的力。
根据实际情况，可以通过杆件截面积和材料的力学性质，计算出杆件的应力和变形情况。
杆件的内力分析
qa 2
§ 2-1
杆件的内力方程与内力图
例题2-1-5 根据内力方程作图示悬臂梁的剪力图和弯矩图。 解： 分段列剪力方程和弯矩方程 1.AB段 (0 x a)
F1 ( x) 2qa M1 ( x) 2qax 2.BC段 (a x 2a) F2 ( x) 3qa qx 7 2 1 2 M 2 ( x) qa 3qax qx 2 2 3.CD段 (2a x 3a) F3 ( x) qa 3 2 M 3 ( x) qa qax 2
§ 2-1
杆件的内力方程与内力图
石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部 与地面固定成一体，因此，可以简化为一端固定 的悬臂梁。在风力载荷作用下，反应塔将发生弯 曲变形。
§ 2-1
杆件的内力方程与内力图
3.梁的内力图坐标系及分段原则 1）内力图坐标系 土木类
x
FS
1.坐标系：
M
x
机械类
M
FS
2.坐标系：
M为正
M为负
§ 2-1
杆件的内力方程与内力图
二、杆件的内力方程与内力图
内力随横截面位置变化的规律函数 1.内力方程： FN方程 2.内力图： FN 图 FS 图 T图 M图 FS方程 T方程 M方程
平行杆的轴线坐标表示横截面的位置；
垂直杆的轴线坐标表示对应横截面的内力大小。
三、典型例题
§ 2-1
2.坐标系： 2.积分关系
B
x
M 2 M1 m
FS1
xB A xA
P
C
M2
FS1
C
m
M2
FSB FSA dF（ qdx S x） M B M A dM（x） FS dx
第二章 杆件的内力分析
3 3
B 6 kN
2 2
C 3 kN 1
解： 1.分段求轴力
D
6 kN
FN 1
3 kN 3 kN
1
10 kN 10 kN 10 kN
1 、CD段
F
x
0, 10 FN1 0
FN 2
FN 1 10(kN) 2、BC 段
6 kN
3 kN 3 kN
F
x
0, 10 2 3 FN 2 0
若有单位需写上单位。
9
试作图示杆在均布荷载q作用下的轴力图。
B
x
ql
●
q
l
x
A
●
FN
FN ( x) qx
10
2、T及T图
(轴：发生扭转变形的杆件）
功率：P
单位：kW, PS
转速：n
外力偶矩：
单位：rpm
r/min
P kW m N m 9549 n rpm
P (PS) m (N m) 7024 n (rpm)
FN FN
FN为正
FN为负
扭矩T ：外法线方向为正，内法线方向为负
T T
T为正
T为负
4
剪力（FS）：顺时针为正，逆时针为负
FS FS
FS为正
FS为负
弯矩（M）：下凸上凹为正,上凸下凹为负
M为正
M为负
5
2. 内力分量的确定 利用研究对象的静力平衡条件：
F M
x
0 0
F
y
0
y
F
z
0
z
FN 3
6 kN
3 kN
10 kN
杆件内力分析
M
max
FS Pcos FN Psin
M PR 2
FN P 2
FS
FN
max
max
FS 0 FS P
内力图
PR
-
R
M图
P
M PRsin （ ）
qa
B D C
qa2 2
x1
a
x2
q
RC
qa 2
qa2
x3
A RAx qa a 3qa RAy 2
M图
qa 2
a
qa
qa
FN图
3qa 2
Fs图
作图示刚架的内力图
C
D
a
A
q
qa2
B
a
解：求约束反力
C
D
a
q
A
3qa 2
qa
qa2
B
a
3qa 2
分析各段内力
内力方程:
D
BD:
FN ( x1 )
杆件的内力分析
杆件内力的一般分类 杆件在外力作用下，内部的相互作用称为内力。 对于一个在外力和约束力作用下处于平衡状态的杆件，将其 在所要求内力的截面假想地截开（一般按横截面截开）考虑部分 平衡。与刚体的不同是杆件的内力在截面上为一分布力系。将其 向截面形心简化，如图所示
Y
FSY FN X Z
FSZ Y
FN 30 5 x( kN )
(4m x 6m)
轴力图
FA=10kN 2m
20kN 2m
5kN/m 2m
FN
kN
10
第二章 杆件的内力分析
A
FAY
x1
M /l
C
l
x2
B
FBy
FBY
M ＝0， F
A
y
0
M FAy＝M / l FBy＝ -M//ll 2．写出剪力和弯矩方程
Ma / l
AC：
M x1 ＝Mx1 / l
CB：
Mb / l M（）＝M（l） 0 0
0 x1 a FQ x2 ＝M / l 0 x2 b M x2 ＝ Mx2 / l 0 x2 b
FN F
即轴力的值
若取m-m截面右段，解得的轴力相同。
由于外力的作用线与杆件的轴线重合，内力的作用线也与杆件的轴线 重合。所以称为轴力。
7
目录
三、轴力正负号：使杆拉为正、压为负。
F
F FN F F FN
FN F
F FN F F FN F
在截面附近取微椴
FN
+
FN
FN _ FN
四、轴力图：表示轴力沿杆件轴线 的变化规律的图形。
F5
1、截 2、取
m
F4 F4
F1 F2
F5
m
F3 F3
3、代 4、平
F1 F2
2
目录
例2-1
悬臂梁受集中力作用，试求梁的内力中截面上的内力。
F
n
解：1.用n-n截面截断梁
2.取截面以左为研究对象
a F
n
a
3.将去掉的部分的作用用 内力表示
4.建立平衡方程
y
Fy＝0
- F FQ 0 FQ F M Fa
M
x
工程力学中的杆件受力分析方法总结
工程力学中的杆件受力分析方法总结引言：工程力学是研究物体在受力作用下的力学性质和运动规律的学科。
在工程实践中，杆件是一种常见的结构元素，其受力分析是解决工程问题的关键。
本文将对工程力学中常用的杆件受力分析方法进行总结，旨在帮助读者更好地理解和应用这些方法。
一、静力平衡法静力平衡法是最基本、最常用的杆件受力分析方法之一。
它基于牛顿第一定律，即物体处于静止或匀速直线运动时，受力平衡。
在分析杆件受力时，我们可以通过绘制自由体图，将杆件从整体中分离出来，然后根据受力平衡条件，求解各个受力分量的大小和方向。
这种方法简单直观，适用于各种杆件结构。
二、杆件内力分析法杆件内力分析法是一种基于杆件内力平衡的方法。
在这种方法中，我们将杆件切割为若干个自由体，并分析每个自由体的内力平衡。
通过求解各个切割面上的内力分量，我们可以得到杆件内部各点的内力大小和方向。
这种方法适用于复杂的杆件结构，能够提供更详细的内力信息，对于杆件的设计和优化具有重要意义。
三、位移法位移法是一种基于杆件变形特性的受力分析方法。
根据杆件的几何形状和边界条件，我们可以推导出杆件在受力作用下的变形情况。
通过测量杆件的位移量，我们可以计算出杆件受力的大小和方向。
位移法适用于弹性杆件的受力分析，对于杆件的刚度和稳定性分析有重要意义。
四、弯矩法弯矩法是一种适用于梁杆结构的受力分析方法。
在这种方法中，我们将杆件简化为梁，通过计算梁的弯矩分布，进而推导出杆件各点的受力情况。
弯矩法基于梁的弯曲理论，适用于解决梁杆结构中的受力问题。
它在工程实践中得到广泛应用，对于梁杆结构的设计和分析具有重要意义。
五、应力分析法应力分析法是一种基于材料力学的受力分析方法。
在这种方法中，我们通过计算杆件各点的应力分布，进而推导出杆件各点的受力情况。
应力分析法适用于杆件的强度和刚度分析，对于杆件的设计和安全评估具有重要意义。
它涉及到材料的弹性模量、截面形状等因素，需要结合具体的杆件材料和几何特性进行分析。
理论力学中的杆件受力分析与应力计算
理论力学中的杆件受力分析与应力计算杆件在力学中是一种常见的结构元件，广泛应用于工程领域。
在使用杆件的过程中，对其受力分析与应力计算是十分重要的，这有助于了解杆件的工作状态和承受外部力的能力。
在理论力学中，杆件的受力分析和应力计算是相互关联的，通过分析杆件上的受力情况可以计算出其内部所受的应力。
一、杆件受力分析杆件在受力时一般会存在拉力、压力和剪力等力的作用，为了分析杆件上的受力情况，我们首先需要了解以下几个概念：1. 内力：杆件内部产生的相互作用力被称为内力，包括拉力、压力和剪力等。
内力可以分为轴向力、弯矩和剪力三种类型。
2. 外力：杆件受到的外部施加的力被称为外力，可以分为集中力和分布力。
集中力是沿杆件轴线方向的作用力，可以通过杆件两端的连接点传递；分布力是沿杆件长度方向分布的作用力。
3. 杆件端点的支座条件：杆件连接点的支座条件可以分为固定支座、铰接支座和滑动支座。
固定支座可以防止杆件端点的位移和旋转；铰接支座只能防止位移，而滑动支座只能防止垂直位移。
通过分析杆件上的受力情况，可以得出杆件内部所受的内力大小和方向。
具体的受力分析方法包括静力平衡方程和弹性力学原理等。
二、应力计算杆件在受力时会发生变形，产生应力。
应力是指杆件内力对杆件截面积的比值，常用符号表示为σ。
杆件所受的应力可以分为轴向应力、剪应力和弯曲应力。
1. 轴向应力：杆件受到拉力或压力时，在截面上会产生轴向应力。
轴向应力可以通过杆件所受的轴向力与截面面积的比值来计算，即σ= F/A，其中F为轴向力，A为截面面积。
2. 剪应力：杆件在受到剪力时会产生剪应力。
剪应力可以通过杆件所受的剪力与截面面积的比值来计算，即τ = V/A，其中V为剪力，A 为截面面积。
3. 弯曲应力：杆件在受到弯矩作用时会产生弯曲应力。
弯曲应力可以通过弯矩对截面矩型模量的比值来计算，即σ_b = M/W，其中M为弯矩，W为截面矩型模量。
根据杆件所受的外力和材料的性质，可以计算出杆件所受的内力和应力。
第二章 杆件的内力分析
第二章杆件的内力分析要想对杆件进行强度、刚度和稳定性方面的分析计算，首先必须知道杆件横截面上的内力，因此，本章主要对此作分析讨论。
首先引入了内力的基本概念和求内力的基本方法——截面法，然后讨论了各种变形情况下截面上的内力及求解和内力图的绘制，这是材料力学最基本的知识。
第一节内力与截面法杆件因受到外力的作用而变形，其内部各部分之间的相互作用力也发生改变。
这种由于外力作用而引起的杆件内部各部分之间的相互作用力的改变量，称为附加内力，简称内力。
内力的大小随外力的改变而变化，它的大小及其在杆件内部的分布方式与杆件的强度、刚度和稳定性密切相关。
为了研究杆件在外力作用下任一截面m-m上的内力，可用一平面假想地把杆件分成两部分，如图2-1a。
取其中任一部分为研究对象，弃去另一部分。
由于杆件原来处于平衡状态，截开后各部分仍应保持平衡，弃去部分必然有力作用于研究对象的m-m截面上。
由连续性假设，在m-m截面上各处都有内力，所以内力实际上是分布于截面上的一个分布力系（图2-1b）。
把该分布内力系向截面上某一点简化后得到内力的主矢和主矩，以后就称之为该截面上的内力。
但在工程实际中更有意义的是主矢和主矩在确定的坐标方向上的分量，如图2-1c，这六个内力分量分别对应着四种基本变形形式，依其所对应的基本变形，把这六个内力分量分别称为轴力、剪力、扭矩和弯矩。
（1）轴力。
沿杆件轴线方向（x轴方向）的内力分量FN，它垂直于杆件的横截面，使杆件产生轴向变形（伸长或缩短）。
（2）剪力。
与截面相切（沿y轴和z轴方向）的内力分量FQy、FQz ，使杆件产生剪切变形。
（3）扭矩。
绕x轴的主矩分量Mx，它是一个力偶，使杆件产生绕轴线转动的扭转变形。
（4）弯矩。
绕y轴和z轴的主矩分量My、Mz，它们也是力偶，使杆件产生弯曲变形。
为了求出这些内力分量，只需对所研究部分列出平衡方程就可。
这种计算截面上内力的方法通常称为截面法。
其步骤可归纳为：(1) 沿需要计算内力的截面假想地把构件分成两部分，取其中的任一部分作为研究对象, 弃去另一部分。