线性回归和灰色预测模型案例

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人口预测模型经典

中国人口预测模型摘要本文对人口预测的数学模型进行了研究。

首先，建立一次线性回归模型，灰色序列预测模型和逻辑斯蒂模型。

考虑到三种模型均具有各自的局限性，又用加权法建立了熵权组合模型，并给出了使预测误差最小的三个预测模型的加权系数，用该模型对人口数量进行预测，得到的结果如下：其次，建立Leslie 人口模型，充分反映了生育率、死亡率、年龄结构、男女比例等影响人口增长的因素，并利用以1年为分组长度方式和以5年为负指数函数，并给出了反映城乡人口迁移的人口转移向量。

最后我们BP 神经网络模型检验以上模型的正确性关键字：一次线性回归灰色序列预测逻辑斯蒂模型 Leslie 人口模型BP 神经网络一、问题重述1. 背景人口增长预测是随着社会经济发展而提出来的。

由于人类社会生产力水平低，生产发展缓慢，人口变动和增长也不明显，生产自给自足或进行简单的以货易货，因而对未来人口发展变化的研究并不重要，根本不用进行人口增长预测。

而当今社会，经济发展迅速，生产力达到空前水平，这时的生产不仅为了满足个人需求，还要面向社会的需求，所以必须了解供求关系的未来趋势。

而人口增长预测是对未来进行预测的各环节中的一个重要方面。

准确地预测未来人口的发展趋势，制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和实用意义。

2. 问题人口增长预测有短期、中期、长期预测之分，而各个国家和地区要根据实际情况进行短期、中期、长期的人口预测。

例如，中国人口预期寿命约为70岁左右，因此，长期人口预测最好预测到70年以后，中期40—50年，短期可以是5年、10年或20年。

根据2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》（附录一）及《中国人口年鉴》收集的数据（附录二），再结合中国的国情特点，如老龄化进程加速，人口性别比升高，乡村人口城镇化等因素，建立合理的关于中国人口增长的数学模型，并利用此模型对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，同时指出此模型的合理性和局限性。

用灰色模型进行数学建模-数学建模中的灰色方法

数学建模中的灰色方法在数学建模的过程中，常常遇到一些诸如：人在数学建模的过程中，常常遇到些诸如：人口模型、全国的物资调运、运输、生产销售等问题，其中有许多信息都无法确定，要建立这样的模型很困难。

量化分析方法大都是现有的系统分析方法—量化分析方法，大都是数理统计方法但这种方法多用于少因素的、线性的情形。

对于多因素的、非线性的则难以处理。

的情形对于多因素的非线性的则难以处理针对这些不足，邓聚龙教授创立了一种就数找数的方法，即灰色系统生成法。

创立灰色系统的数的方法即灰色系统生成法创立学科体系和灰色系统“概念与公理体系”，提出理论灰建模理论并创灰生成空间、灰关联空间理论、灰建模理论并创立灰预测理论及方法体系。

一、灰色系统.定义：系统作为一个包含若干相互关联、相互制约的任意种类元素组成的具有某种特定功能的整体系任意种类元素组成的具有某种特定功能的整体。

系统内部存在有物质流、信息流、能量流。

系统（根据信息明确程度）黑色系统（信息毫无所知或知之甚少）灰色系统（既含有已知信息又有未知信息）白色系统（信息完全明确）（）灰色系统公理：（一）灰色系统公理：1.信息不完全、不确定的解是非唯一的；（解的非唯一性原理）22.信息是认识的根据；（认识根据原理）3.灰色系统理论的特点是充分开发利用已占有的“最小信息”；最小信息原（最小信息原理）4.新信息对认识的作用大于老信息；（新信息优先原理）（二）灰色系统的描述：灰色系统用灰色参数、灰色方程、灰色矩阵、灰色度等综灰色系统用灰色参数灰色方程灰色矩阵灰色度等综合描述，其中灰数是灰色系统的基本单元。

1.灰色参数（灰数）灰数是那些只知道大概范围而不知其确切值的数（只知道部分数学特征而不知道具体数值的参数）（只知道部分数学特征，而不知道具体数值的参数）。

例如：“某人的身高约为170cm 、体重大致为60kg”，这里的“（约为））”“60”都是灰数这里的（约为）170（cm ）、60都是灰数，分别记为、。

基于灰色预测模型与一元线性回归模型的煤矿瓦斯涌出量预测比较

ＪＮＧＯｘｎ，ＩＧＵ — ｕＨＥＮＧａ — ｅＸｉｎｗｉ
（ｃｏｌｆＳｆｔｃｅｃｎｎｉｅｒｎＨｅａｏｙｅｈｉＵｉｅｓｙ，ｉｏｕ５００ＣｉａＳｈｏｏａｅｙＳｉｎｅａｄＥｇｎｅｉｇ，ｎｎＰｌｔｃｎｃｎｖｒｉＪａｚｏ４４０，ｈｎ）ｔ
ＳｕｙｏｈｒｄｃｉｎｏｏｌｎｓＥｓｉｎＱｕｎｉａｅｎｔｅｔｄｎｔｅＰｅｉｔｆＣａｍｉｅＧａｍｉｓｏａｔｙＢｓｄｏｈｏｔ
ＣｏｐｒｓｎｂｔｅａｙｔｍｎｄＯｎｅＥｌｍｅｔＬｉｅｒＲｅｒｓｉｎｍａｉｏｅｗｅｎＧｒｙＳｓｅａｅｎｎａｇｅｓｏ
Ａｂｔａｔｓｒｃ：Ｏｎｔｅｂｓｓｏｎｔｏｃｎｗｏｋｉｄｓｏｓｃｆｒｃｓｉｇｍｅｈｏｆｇｒｙｆｒｃｓｎｈｏｅｈａｉｆｉｒｄｕｉｇｔｎｆｂａｉｏｅａｔｎｔｄｓｏｅｏｅａｔａｄｔｅｆｒ — ｃｓｆｏｎｌｍｅｉａｅｅｓｏａｔｏｅｅｅｎｔｌｎｅｒｒｇｒｓｉｎ，ａｎｃｍｂｉｔｏｔｈｅａｔａｉｕａｉｎｏｆｃａｉｅ，ｈｉｐｒｎｄｉｏｎａｉｎｗｉｈｔｃｕｌｓｔｔｏｏｌｍｎｓｔｓｐａｅｐｅｃｅｈｅａｏｕｆｇａｍｉｓｏｎｏｐａｅｈｃｕｒｃｆｆｒｃｓａｕｅｈｅｔｅｈｏ．ｒｄｉｔｄｔｍｎｔｏｓｅｓｉｎａｄｃｍｒｄｔｅａｃａｙｏｏｅａｔｖｌｓｏｆｔｗｏｍｔｄｓＴｈｅ

回归分析和灰色理论在地面沉降预测中精度的对比

之一。
ＧＭ（，】型１１模
沧州
Ｏ引言
２２预测结果．
回归预测包含线性回归预测与非线性回归预测。为了考虑数据采样的时序性和连续性，这里选取１７～１８在９８９３年连续数据进行预害加重、工程设施破坏、筑物基础下沉、暴潮及海岸侵蚀灾害加建风测。根据上述原则选取数据，在直角坐标系中对应的做出一系列的
１２灰色理论Ｇ预测法．Ｍ
通过计算发现对数回归预测模型的相关系数平方值Ｒ＝
Ｏ９３精度相对低，指数回归预测残差太大，以将其预测结果和．１，而所
预测模型剔除。
醛 —］
｛＝壁＝塑霎基
观测数据表明，上世纪７０年代沧州漏斗中心累计沉降量较小
沧州市地面沉降模型，用两类不同的模型分别对该区地面沉降发展趋势进（２０运＜０ｍｍ）８，０年代后期沉降量迅速增加，１９到９０年漏斗中心累计行了预测，较得出灰色系统理论预测精度最大，该地区今后的地面沉降沉降量达到１３ｍｍ，面沉降灾害已成为沧州地区主要地质灾害比为Ｏ１地发展趋势及其防治提供可靠依据。关键词：面沉降灰色系统回归分析地

灰色线性回归组合模型在地面沉降预测中的应用

于灰色问题。
１数据序列的光滑性与指数规律
设有数据序列Ｘ。｛（（）（（） … ，‘ （） ’＝。１，。２，。ｎ） ’ ’ 对 ‘ 进行一次累加（一ＡＯ）。１Ｇ生成处理，到生成序得
列
用于地面沉降的灰色预测模型主要有Ｇ１Ｍ（，１－、色残差模型＿、陈代谢Ｇ１１Ｌ、Ｍ）３灰ｊ４新ＪＭ（，）５Ｇ］
ＲｅｒｓｉｎｉｒｃｓｉｇｆｒＧｒｕｕｂｉｅｃｇｅｓｏｎＦｏｅａｔｎｏｏｎｄＳｓｄｎｅ
ＭａＢａｑｎＺａｇＹｉｏｉｇｈｎｎ
摘
要
选择合适的沉降与时间的关系模型对于沉降预测而言是很重要的。根据地面Байду номын сангаас 降机理与
灰色线性回归组合模型对某地面沉降数据序列进行模拟和预测，取得了较好的预测效果。
收稿日期：０８— ８～２２００８基金项目：南科技大学基金项目（０７Ｙ３）河２０Ｚ０８。第一作者简介：保卿（９５）男，马１６一，副教授。
其中
（）：ｉ
￡＝１
（）（１２ … ，。ｔ，ｉ：，，）
１１数据序列的光滑比．
称ｐ）：（
茸
ｋ：２３ … ，，，ｎ（）ｉ
为序列的光滑比。

灰色预测原理及实例

灰色预测原理及实例
一、灰色预测原理
灰色预测，是指根据动态系统的过去试验数据和实测数据，利用灰色规律进行预测的一种数学方法。

灰色预测的基本思想是：由内在原理和系统的实际运行数据，建立有关系的关于未来时间的数学模型，即所谓的灰色系统模型，从而建立未来状态的预测模型。

二、灰色预测实例
1、灰色模型在汽车行业的应用
汽车行业是一个特殊的行业，其市场受到很多因素的影响，因此，在汽车行业预测中，灰色模型能够很好地发挥其优势。

首先，根据汽车市场的详细统计数据，如汽车生产量、销售量，可以采集过去一定时间段内（如一年、两年）汽车的生产量及销售量等数据，将这些数据经过一定的模型处理，形成一个灰色模型，利用该模型可以预测汽车行业的今后发展趋势。

2、灰色模型在电力行业的应用。

基于灰色灾变GM(1,1)——线性回归模型的军用自备客车保障数量预测

ｍｏｌｔｏｅａｔｔｅｑｕｎｉｅｕｉｅｎｆｍｉｉａｙｐｉａｅ —ｏｄｅｏｆｒｃｓｈａｔｔｒｑｒｍｅｔｏｌｔｒｒｖｔｙｗｎｅａｒａｅｄｃｒｉｇ．
Ｋｅｗｒｓｍｌａｒａ —ｏｎｄｃｒａｅＧ１１ｎｎａｒｇｅｓｎｍｄｌｇａａｔｅｑａｔｙｒｕｅｅｔｙｏｄ：ｉｔｒｐｉｔｗｅａｉ；Ｍ（，）ａｄｌｅｒｅｒｓｏｏｅ；ｕｒｎｅｕｎｉｑｉｍｎｉｙｖｅｒｇｉｉｔｅｒ

ＡｂｔａｔＢｓｄｏｈｎｌｓｓｏｅｅｒｅｔｉａｉｎｏｒａｌａｒｎｐｒｔｎｖｈｃｅｇａａｔｅ，ｒｇｒａｄｔｅｓｒｃ：ａｅｎｔｅａａｙｉｆｔｕｒｎｔｔｆａｍｙｒｉｙｔａｓｏｔｉｅｉｌｕｒｎｅｂｉｓｆｗｒｈｈｓｕｏｗａｏｎｏ
关键词：军用自客车；Ｍ（，）线性回』模型；障数量备Ｇ１１一３－保
中图分类号：２４Ｅ３文献标志码：Ａ文章编号：６４— １２２１）２— ０６— ５１７２９（００００１０
ＦｒｃｓｎａｔｙＲｅｕｒｍｅｔｏｉｔｒｒｖｔ — ｗｎｄｏｅａｔｇＱｕｎｉｑｉｅｎｆｌａｙＰｉａｅ—ｏｅｉｔＭｉ
从２００８年１月１日起，军部队人员铁路输我
习、打靶运输与黄金周运输发生冲突时，至到了甚

灰色gm（1,1）模型与一元线性回归模型的比较

分类号 TP1 密级U D C硕士学位论文灰色GM（1,1）模型与一元线性回归模型的比较学位申请人：张建学科专业：控制理论与控制工程指导教师：吉培荣教授二○一三年五月A Dissertation Submitted in Partial Fulfillment of the Requirements forthe Degree of Master of Science in EngineeringGray GM (1,1) model with Linear Regressionmodel comparisonGraduate Student: Zhang JianMajor: Control Theory and Control EngineeringSupervisor: Prof. Ji PeirongChina Three Gorges UniversityYichang, 443002, P.R.ChinaMay, 2013三峡大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。

对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明，本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。

学位论文作者签名：日期：内容摘要在信息时代里，数据日益成为了一种比较重要的资源，实际的生活生产中，通常会遇到各种各样的情况，可能由于其它的原因，可用的数据比较少，但是人们必须依照已有的数据，对未来可能产生的活动，进行生产生活的计划安排。

有时候，信息来源很多，可用的数据比较充足，如何从大量的数据里提取有用的信息，利用各种数学方法对这些数据进行分析，找到和抓住事物发展的本质。

对于上述种种实际存在的情况，如何选择合适的预测方法对决策者来说是一件十分重要的事，准确的对未来发展的预测，可以经济合理地进行工作安排和资源分配，为创造尽可能大的价值。

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预测未来2015年到2020年的货运量灰色预测模型是通过少量的、不完全的信息，建立数学模型并做出预测的一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题的决策时，都必须对未来进行科学的预测.预测是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述和分析，并形成科学的假设和判断.灰色系统的定义灰色系统是黑箱概念的一种推广。

我们把既含有已知信息又含有未知信息的系统称为灰色系统•作为两个极端，我们将称信息完全未确定的系统为黑色系统；称信息完全确定的系统为白色系统•区别白色系统与黑色系统的重要标志是系统各因素之间是否具有确定的关系。

建模原理建模原理给定观测数据列X (O)= {工⑼⑴卫⑼(2)UM)(N)}其中是$ U 常数，a 称为发展灰数,IJ 称为内生控制灰数，是对系统的常定输入•此方程满足初始条件 (7.3)1当f =阳时工⑴=X a Xt C )的解为J C^(O= Z(Gw 十牛对等间隔取样的离散值(注意到^ = I)则为√I)(⅛ + l) = [√1∖l)-⅛* += (7.4)灰色建模的途径是一次累加序列tλ2)通过最小二乘法来估计常薮口与乩模型的求解■经一次累加得 K ⑴二{兀⑴(1),兀⑴(2),…,*D(N)} (7.2) 设满足一阶常微分方程 ¢7.3) dx ⑴ dt + ax (L)= 14原始序列为：X(O)=(X(O)(1),…X(O)(6)) =(7691 10923 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909)构造累加生成序列X(I) =(X(I)(1),… X(I)(6)) =(7691,18614,27943,37869,48018, 59085,71580,84567,98469,114250,131159)归纳上面的式子可写为X a X D = {f X⑼(j) Ii=I B2-,N}>■1称此式所表示的数据列为原始数据列的一次累加生成，简称为一次累加生成对X(I)作紧邻均值生成1Z(I)(k)=丄(Z(I)(k) Z(I)(k - 1))2k = 2,.…MATLAB代码如下：X=[7691 18614 27943 37869 48018 590857 71580 84567 98469 114250 131159];Z(I)=X(1);for i=2:6z(i)=0.5*(x(i)+x(i-1));endformat Iong gZZ =Colu mns 1 through 37691 13152.5 23278.5Columns 4 through 63290642943.5319437.5CoIUmnS 7 through9331218.578073.5 91518Colu mns 10 through 11106359.5 122704.5因此Z(I)=(Z(I)(1),…Z(I)(5)) =( 13152.5 23278.5 32906 42943.5 53551.5)构造B矩阵和Y矩阵；对参数?进行最小二乘估计，采用matlab编程完成解答如下:B=[[ -13152.5 -23278.5 -32906 -42943.5 -319437.5 -331218.5 -78073.5 -91518 -106359.5 -122704.5]',o nes(10,1)];Y=[18614 27943 37869 48018 59085 71580 84567 98469 114250 131159]'; format long ga=i nv(B'*B)*B'*Y结果如下：a =-0.085040117680929759277.2079622774即：：=-0.085，u=59277 U = -697376.471则GM(1,1)白化方程为dx(I)^dT -0.085x = 59277预测模型为:)?I)(k 1) = 705067. 471e0.085*k- 697376.471再次通过线性回归模型对货运量进行预测:线性回归预测模型:一、定义一元线性回归预测是处理因变量y与自变量X之间线性关系的回归预测法二、模型的建立：1，设年份y,货运量X y 随X的变化函数，建立一元线性回归方程：Y= 0 + 1X其中〜、、称为回归系数。

散点图如下：1.71.61.51』1.31.21.110.SO.fl0.7O 530 IaDO 16CD 20CO 250D首先根据X、y的现有统计数据，在直角坐标系中作散点图，观察y随X而变是否为近似的线性关系。

若是，则求出的飞、S值，就可确定其数学模型，然后由 X的未来变化去求相应的y值。

…2' ,2,确定方法一最小二乘法使拟合的数值与实际值的总方差为最小，即拟合程度最好，则得两者之差 e e=y-y=y-a ~b x i , 总方差。

吃=艺©厂G -舛）根据极值原理，式（746 ）对a 、b 分别求偏导，并令其=0，得=2二 y i a _ b χi令歿二O,即∑（χ -α-fer I HO da∑y i -rιa -b∑χi =0 = ∑y ∣~b∑χι 牙 H — ⅛ TJ 一 — 所以& = --------- =V- bx ---代入許紇b 厂- Q :b =——瓦L fy i一（y 「yf （χ厂 X 唁「b X i_（y 「y ）-b （χj -χ）］（X 厂x ）Q:a y 「a - bX i y 「ab x i T a a令其=0,即Σ (Xi—x X y—y) — b∑ (尊—x)=O乞(x - xXyi -y) 所以b =-2X X-Xi S qiIIlIl 川川∣∣(7∙4∙8) S XX三，模型的求解：运用MATLAB软件对数据进行一元线性回归分析：代码如下：x=[1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 ]';x=[o nes(11,1) x];y=[7691 10923 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909]'; PIot(X,y, '+');[b,bi nt,r,ri nt,stats]=regress(y,x)b,b in t ,stats ,rcoplot(r,ri nt);结果：b =1.0e+006*-1.57960.0008bint =1.0e+006*-2.0027 -1.15650.0006 0.0010StatS =1.0e+005 *0.0000 0.0007 0.0000 9.6571(注：1.0e+006 * 为1*10^6 后同理)回归系数回归系数估计值回归系数置信区间1.0e+005 *-1.5796 [1.0e+006 * ( -2.0027) 1.0e+006 *(-1.1565)]1.0e+005 * 0.0008 [1.0e+006 *0.00061.0e+006 *0.0010 ] R 2= 1.0e+005 *0.0000 F= 1.0e+005 * 0.0007 p<0.0000 S 2= 1.0e+005 *9.6571 先观察观察模型残差:如图所示，应该剔除第2组数据。

MATLA 代码为：x=[1991 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 ]';x=[o nes(10,1) x];y=[7691 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909]'; plot(x,y, '+');[b,b in t,r,ri nt,stats]=regress(y,x)b,bint ,stats ,rcoplot(r,rint);-3000Q>一 3O0QResidjal Case Order Plot2000IoOO-1□00-2□□012 3 5 6 7 8 3 IoIICase NlImber结果为:b =1.0e+006 -1.78790.0009bint =1.0e+006 -2.0512 -1.52460.0008 0.0010StatS =1.0e+005 *0.0000 0.0025 0.0000（其中：1.0e+006 * 为1*10^6 ）为1*10^5剔除之后结果如下：3.0216同理1.0e+005回归系数回归系数估计值回归系数置信区间 1.0e+006 * （-1.7879） [1.0e+006 * （ -2.0512）1.0e+005 *（-1.5246）]P i 1.0e+006 * 0.0009 [1.0e+006 * 0.00081.0e+006* 0.0010]R^= 0.0000 F= 1.0e+005 * 0.0025 p<0.0000 S 2= 1.0e+005 * 3.0216将异常数据去除后，再次对去除异常点的数据进行最小二乘法拟合一个多元回归模型，残差图如下：Hl-15001 2346673910 Case NlJmber O OoO 5O 5□ O因为，p<0.05, 无异常数据可剔除因此，可知最终回归方程为 y=-1787900 + 900x ,对ployfit 拟合的函数进行评价与估计。

运用 polycOnf 函数对多项式评价和置信区间估计，matlab 代码如下：x=[1991 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 ]; y=[7691 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909];[p,S]=polyfit(x,y,1)结果为：P = 1.0e+006 * 0.0009 -1.7879Residual CaSQ Order PIOt -1500 1 2 3 4 6 6 7 0 ? 10 CaSe Number O SO O O no 50 O O -O Qo t ⅛-05⅛'ui u α:R: [2x2 double]df: 8normr: 1.5547e+003对2015年的货运量预测，即y=polyco nf(p,2015)y =2.8793e+004DELTA =2.7899e+003(其中)所以预测区间为：[(2.8793e+004) - (2.7899e+003), (2.8793e+004) +(2.7899e+003)] 即，2015年的货运量在(26003.1 31582.9 )之间同理对2016年的货运量预测，即y =2.9695e+004DELTA =2.9065e+003所以预测区间为：[(2.9695e+004) -( 2.9065e+003), ( 2.9695e+004)+(2.9065e+003)]即，2016年的货运量在(26788.5 32601.5 )之间。