人教A版高中数学必修五《第一章解三角形》基础知识和经典例题详解
高中数学必修五第一章《解三角形》知识点知识讲解
高中数学必修五第一章《解三角形》知识点收集于网络，如有侵权请联系管理员删除高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C===A B ． 5、正弦定理的变形公式： ①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）7、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---8、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-．9、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=． 10、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。
高中数学第一章解三角形第1节正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课件新人教A版必修53
45°＝
23，
∴C＝60°或 C＝120°.
当 C＝60°时，B＝75°，
b＝cssiinnCB＝ s6isnin607°5°＝ 3＋1； 当 C＝120°时，B＝15°， b＝cssiinnCB＝ s6insi1n2105°°＝ 3－1. ∴b＝ 3＋1，B＝75°，C＝60°或 b＝ 3 －1，B＝15°，C＝120°.
代入已知式子得
cos ksin
AA＝kcsoisn
BB＝kcsoisn
CC.
∴csoins
AA＝csoins
BB＝csoins
C C.
∴tan A＝tan B＝tan C.
又∵A、B、C∈(0，π)，
∴A＝B＝C.∴△ABC 为等边三角形．
法二：化边为角
由正弦定理得sina A＝sinb B＝sinc C.
提示：sina A＝sinb B＝sinc C
2．归纳总结，核心必记 (1)正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的
比相等，即 (2)解三角形
一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它 们的对边 a，b，c 叫做三角形的元素．已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形．
[问题思考] (1)在△ABC 中 sin A＝sin B，则 A＝B 成立 吗？ (2)在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c 成立吗？ (3)在△ABC 中，若 A>B，是否有 sin A>sin B？ 反之，是否成立？
—————————[课堂归纳·感悟提升]————————— 1．本节课的重点是正弦定理的应用，难点是正
弦定理的推导．
2．本节课要牢记正弦定理及其常见变形：
(1)sina A＝sinb B＝sinc C＝2R(其中 R 为△ABC 外
最新-高中数学 第一章 解三角形(整合与提升)课件 新人教A版必修5 精品
一、知识要点
4.余弦定理及其推论：
cos A b2 c2 a2
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cosC
2bc cos B c2 a2 b2
2ca cos C a2 b2 c2
角 化 为 边
2ab
5.在△ABC中，常见公式有：A B C
sin( A B) sinC cos( A B) cosC
6.利用余弦定理判断三角形的形状：
（1）若A为直角，则a²= b²+c²
（2）若A为锐角，则a²< b²+c²
（3）若A为钝角，则a²> b²+c²
7.解三角形的四种基本类型：
已知条件 定理选用
tan( ) tan tan 1 tan tan
sin 2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2
tan 2
2 tan 1 tan2
一、知识要点
设两个非零向量a ( x1, y1),b (x2, y2 ),则
a b x1x2 y1 y2
第一章 解三角形
正弦定理 余弦定理 三角函数
解三角形
应用举例
一、知识要点
co（s ） cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
tan( ) tan tan 1 tan tan
Hale Waihona Puke 1 bc sin A 21 ca sin B 2
1 ab sin C 2
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【最新整理，下载后即可编辑】第十二讲 解三角形1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++===4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 5、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a RA =，sin 2b R B =，sin 2cC R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ．7、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A 等，变形：222cos 2b c a bc+-A =等，8、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。
②已知三边求角）9、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >．11、三角形的四心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1）外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等）内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等） 12．坡角和坡比坡角：坡面与水平面的夹角(如图④，角θ为坡角)．坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡比)．1. △ABC 中，45B =，60C =，1c =，则最短边的边长等于 （ ）ABC12D2. △ABC中，cos cos cos a b cA B C ==，则△ABC一定是 （ ）A 直角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形 D等边三角形 3.△ABC中，若60A =，3a =，则sin sin sin a b cA B C+-+-等于 （ ）A 2B 12C 3D 34. △ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =（）A 13B 12C34D 05.在钝角△ABC 中，已知1a =，2b =，则最大边c 的取值范围是 。
高中数学必修5 第一章 解三角形复习知识点总结与练习-9-16
高中数学必修5 第一章解三角形复习知识点总结与练习-9-16高中数学必修5第一章解三角形是高中数学的一个重要章节，本章主要介绍了三角形的基本概念、解三角形的方法和定理以及相关的性质。
下面我将对本章的知识点进行总结，并给出一些练习题进行巩固。
一、基本概念1. 三角形的定义：三边的连接所形成的图形叫做三角形。
2. 三角形的分类：按边长分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形；按角度分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
二、解三角形的方法和定理1. 正弦定理：在三角形ABC中，a、b、c分别为三边的长度，A、B、C分别为三个对应的内角的度数，那么有以下关系成立：sinA/a = sinB/b = sinC/c该定理为解各种不同类型三角形的关键方法之一。
2. 余弦定理：在三角形ABC中，a、b、c分别为三边的长度，A、B、C分别为三个对应的内角的度数，那么有以下关系成立：c² = a² + b² - 2ab cosC该定理可以用于解决已知三边求角、已知两边一夹角求第三边等问题。
3. 正切定理：在三角形ABC中，a、b、c分别为三边的长度，A、B、C分别为三个对应的内角的度数，那么有以下关系成立：tanA/a = tanB/b = tanC/c该定理可以用于解决已知角求边、已知两边的夹角求第三边等问题。
4. 两角定理：若在三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
5. 直角三角形中的性质：直角三角形中，两个锐角的正弦、余弦、正切值互为倒数关系。
三、练习题1. 已知三角形ABC，AB = 5cm，BC = 8cm，AC = 6cm，求三个内角的大小。
解：根据余弦定理：c² = a² + b² - 2ab cosC将已知数据代入得：6² = 5² + 8² - 2×5×8 cosC化简得：36 = 25 + 64 - 80cosC化简得：75cosC = 53解得：cosC = 53/75从而得：C ≈ 46.6°同理，可以得出A ≈ 41.4°，B ≈ 92°2. 已知三角形ABC，AB = 7cm，BC = 9cm，A = 30°，求角B和边AC的长度。
高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结与练习
高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结与练习高中数学必修5第一章解三角形复习一、知识点总结【正弦定理】1．正弦定理:ainAbinBcinC2RR为三角形外接圆的半径2正弦定理的一些变式：iabcinAinBinC；iiinAa2R,inBb2R,inCc2R；2Riiia2RinA,b2RinB,b2RinC；（4）3．两类正弦定理解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角abcinAinBinC（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角（可能有一解，两解，无解）中，已知a,b及A时，解得情况：解法一：利用正弦定理计算解法二：图形一解两解一解一解无解A 为锐角A为钝角或直角关系式解的个数【余弦定理】a2b2c22bccoA2221．余弦定理：bac2accoB2推论：设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若abc，则C90；②若abc，则C90；③若abc，则C90．3两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角12222222【面积公式】已知三角形的三边为a,b,c,1.S1aha1abinC1rabc（其中r为三角形内切圆半径）12abc,S/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？扩展阅读：高中数学必修5第一章解三角形知识点复习及经典练习高中数学必修五第一章解三角形知识点复习及经典练习一、知识点总结abc2R或变形：a:b:cinA:inB:inC1．正弦定理:inAinBinC推论：①定理：若α、β＞0，且αβ＜，则α≤βinin，等号当且当α=β时成立。
②判断三角解时，可以利用如下原理：inA＞inBA＞Ba＞bcoAcoBAB（co在0,上单调递减）b2c2a2coA2bca2b2c22bccoA2a2c2b2222．余弦定理：bac2accoB或coB2acc2b2a22bacoCb2a2c2coC2ab3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式5．三角形中的基本关系：inABinC,coABcoC,tanABtanC,in已知条件一边和两角（如a、B、C）ABCABCABCco,coin,tancot222222一般解法由ABC=180，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时有一解。
必修5 第一章 解三角形 全章解析
必修5 第一章解三角形一、本章知识结构：二、知识要点梳理知识点一：解三角形由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形。
解三角形的问题一般可分为下面两种情形：①若给出的三角形是直角三角形，则称解直角三角形；②若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形。
(四种类型的解斜三角形)知识点二：解斜三角形的主要依据设的三边分别为a、b、c，对应的三个内角分别为A、B、C。
（1）角与角的关系：①内角和：，②互补关系：③互余关系：（2）边与边的关系：三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
即：a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，a－b＜c，b－c＜a，c－a＜b。
（3）边与角关系：①大角对大边，大边对大角；等边对等角，等角对等边即；②正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，其比值为外接圆的直径。
即（其中R表示三角形的外接圆半径）变式：; sinA=a/2R ; sinA/sinB=a/b; a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC③余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即；……. 变式：。
……..知识点三：△ABC的面积公式（1）（其中表示a边上的高）（2）（R为三角形的外接圆半径）三、规律方法指导1. 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）2. 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角注意：①正、余弦定理的实质是方程，因此在应用的过程中要留意方程思想；②三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解；3．三角形的形状的判定（1）根据所给条件确定三角形的形状，常用正弦（余弦）定理实施边角转化，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边。
高中数学必修五第一章-解三角形知识点及其练习
第一章 解三角形知识点、重难点拨三角形中：①任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.②等边对等角:a b A B =⇔=; 大边对大角:a b A B >⇔>.③A+B+C=1800 即 sin()sin A B C +=；cos()cos A B C +=- 正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C=== （R 为三角形外接圆半径）。
公式变形：①2sin a R A =；2sin b R B =； 2sin c R C =②sin 2a A R =； sin 2b B R =； sin 2c C R= 有正弦定理可知：::sin :sin :sin a b c A B C = 面积公式111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ∆=== 余弦定理：2222cos a b c bc A =+-；cos A ⇒=2222cos b a c ac B =+-；cos B ⇒=2222cos c a b ab C =+-；cos C ⇒= 一、选择题1．已知A ，B 两地的距离为10 km ，B ，C 两地的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地的距离为( )．A ．10 kmB ．103kmC ．105kmD ．107km2．三角形三边长为a ，b ，c ，且满足关系式(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，则c 边的对角等于( )．A ．15°B ．45°C ．60°D ．120°3．在△ABC 中，三个内角∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝( )．A ．3∶2∶1B ．2∶3∶1C ．1∶2∶3D ．1∶3∶24．在△ABC 中，a ＝23，b ＝22，∠B ＝45°，则∠A 为( )．A ．30°或150°B ．60°C ．60°或120°D ．30°5．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( )．A ．223B ．233C ．23D ．336．根据下列条件解三角形：①∠B ＝30°，a ＝14，b ＝7；②∠B ＝60°，a ＝10，b ＝9．那么，下面判断正确的是( )．A ．①只有一解，②也只有一解．B ．①有两解，②也有两解．C ．①有两解，②只有一解．D ．①只有一解，②有两解．二、填空题7．在△ABC 中，a ，b 分别是∠A 和∠B 所对的边，若a ＝3，b ＝1，∠B ＝30°，则∠A 的值是 ．13．已知a ，b ，c 是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边，S 是△ABC 的面积．若a ＝4，b ＝5，S ＝53，求c 的长度 ．14．△ABC 中，a ＋b ＝10，而cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根，求△ABC 周长的最小值 ．15．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶5∶6．若△ABC 的面积为4393，则△ABC 的周长为________________． 三、解答题1．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，a ，b 分别为∠A ，∠B 的对边，且a ＝4＝33b ，解此三角形．。
必修五第一章解三角形知识点总结及经典习题
必修五第一章解三角形知识点总结及经典习题(数学教研组)一、知识点总结1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C=== （R:外接圆半径） 或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =.结论：①定理：在三角形中，α、β为其内角，则α≤β⇔sin sin αβ≤，等号当且当α=β时成立。
②判断三角形大小关系时，可以利用如下原理：sin A ＞ sin B ⇔ A ＞ B ⇔ a ＞ bcos cos A B A B >⇔<⇔a < b③三角形的面积公式： ∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B 2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩. 3．利用正弦定理和余弦定理分别能解决的问题：（1）正弦定理：1、已知两角和一边（如A 、B 、c ），由A +B +C =π求C ，由正弦定理求a 、b .(ASA 或AAS)2、已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由A +B +C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况.(SSA)（2）余弦定理：1、已知三边a 、b 、c ，应余弦定理求A 、B ，再由A +B +C = π，求角C .(SSS)2、已知两边和夹角（如a 、b 、C ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A +B +C =π，求另一角.(SAS)主流思想：利用正、余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5．三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== 6. 求解三角形应用题的一般步骤：（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；（3）求解：正确运用正、余弦定理求解； （4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。
人教版A版高中数学必修5：第一章解三角形_应用举例_课件10
(2)求塔的高AB.
解 (1)依题意知，在△DBC中，∠BCD＝30°，∠DBC＝
180°－∠DBF＝180°－45°＝135°，
CD＝6 000×610＝100(米)，
∠D＝180°－135°－30°＝15°，
由正弦定理得sin∠CDDBC＝sinB∠C D，
• (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知 量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需 作出这些三角形，先解够条件的三角形，然 后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量， 从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得 出所要求的解．
教你审题 4——破解实际应用中的方向角问题 【典例】如图，渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60°方向❶的 B 处，
• 求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的 问题．然后
• 把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达 的两点距离
• 测量问题，然后运用正弦定理解决．
• (2)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间 的距离问
• 题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的 问题，从而
• 运用正弦定理解决．
求AB：(1) α＋β＋B＝π ； (2)sAinBβ＝sinb B 求AB：(1)△ACD中， 用 正弦 定理求AC； (2)△BCD中，用 正弦 定 理求BC；
(3)△ABC中，用 余弦 定
理求AB
• 2.高度的测量
背景 可测元素
图形
底部可 a，α
到达
底部不 a，α，β
可到达
目标及解法
求AB：AB＝ atanα
•
解得BC＝28(海里)．
所以渔船甲的速度为B2C＝14(海里/时)．
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（角化边）化简并整理得： .又由已知 .解得 .
题型3：三角形中的三角恒等变换问题
例6．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及 的值。
分析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理。由b2=ac可变形为 =a，再用正弦定理可求 的值。
根据正弦定理，
因为 ＜ ＜ ，所以 ，或
①当 时， ，
②当 时，
，
点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器
例2．（1）在 ABC中，已知 ， ， ，求b及A；
解析：（1）∵
= COS
= =
∴
求 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
（3）在 ABC中， ， ， ，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3） ）
二、典例解析
题型1：正、余弦定理
例1．（1）在 中，已知 ， ， cm，解三角形；
解析：（1）根据三角形内角和定理，
；
根据正弦定理， ；
根据正弦定理，
（2）在 中，已知 cm， cm， ，解三角形（角度精确到 ，边长精确到1cm）。
解：由A+C=2B及A+B+C=180°知，B=60°．由正弦定理知， ，即 ．由 知， ，则 ，
，
题型2：三角形面积
例3．在 中， ， ， ，求 的值和 的面积。
解法一：先解三角方程，求出角A的值。
又 ,
,
。
解法二：由 计算它的对偶关系式 的值。
,
+ 得 。
－ 得 。
从而 。
以下解法略去。
点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？
（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
解析：由 及正弦定理得a:b:c=5:11:13
由余弦定理得 ，所以角C为钝角
（2010湖南文数）7.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c= a，则
A.a＞bB.a＜b
C. a＝b D.a与b的大小关系不能确定
【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。
（2010湖北理数）3.在 中，a=15,b=10,A=60°，则 =
A－ B C－ D
3．【答案】D
【解析】根据正弦定理 可得 解得 ，又因为 ，则 ，故B为锐角，所以 ，故D正确.
（2010山东理数）
（2010广东理数）11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b= , A+C=2B,则sinC=.
【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题
（2010天津理数）（7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若 ， ，则A=
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。
由由正弦定理得
，
所以cosA= = ，所以A=300
例4．（2009湖南卷文）在锐角 中， 则 的值等于， 的取值范围为.
解析设 由正弦定理得
由锐角 得 ，
又 ，故 ，
例5．（2009全国卷Ⅰ理）在 中，内角A、B、C的对边长分别为 、 、 ，已知 ，且 求b
分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1) 左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.
（2）若 ，则只有一解；
（3）若 ，则无解。
（以上解答过程详见课本第9 10页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且
时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
[随堂练习1]
（1）在 ABC中，已知 ， ， ，试判断此三角形的解的情况。
（2）在 ABC中，若 ， ， ，则符合题意的b的值有_____个。
若 ，则 ．
7．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：
（1）两类正弦定理解三角形的问题：
第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
解法一：∵cos
∴
解法二：∵sin
又∵ ＞ ＜
∴ ＜ ，即 ＜ ＜
∴
（2）在 ABC中，已知 ， ， ，解三角形
解析：由余弦定理的推论得：
cos
；
cos
；
点评：应用正弦定理时解法二应注意确定A的取值范围。
*2010年高考题
（2010上海文数）18.若△ 的三个内角满足 ，则△
（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.
；
（2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
9.讨论三角形解的情况
分析：先由 可进一步求出B；
则
从而
1．当A为钝角或直角时，必须 才能有且只有一解；否则无解。
2．当A为锐角时，
如果 ≥ ，那么只有一解；
如果 ，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若 ，则有两解；
1、正弦定理：在 中， 、 、 分别为角 、 、 的对边， 为 的外接圆的半径，则有 ．
2、正弦定理的变形公式：
， ， ；
， ， ；
；
．
3、三角形面积公式：
．
4、余弦定理：
在 中，有 ， ，
．
5、余弦定理的推论：
， ， ．
6、简单的判断三角形
设 、 、 是 的角 、 、 的对边，则：
若 ，则 ；
若 ，则 ；
第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.
（2）两类余弦定理解三角形的问题：
第1、已知三边求三角.
第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
8．三角形中的三角变换
三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（1）角的变换
因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。