《电动力学(第三版)》狭义相对论chapter6_6
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电动力学第六章 郭硕鸿第三版
第六章 狭义相对论主要内容：讨论局限于惯性系的狭义相对论的时空理论，相对论电动力学以及相对论力学一．狭义相对论基本原理：1、相对性原理（伽利略相对性原理的自然扩展） （1）物理规律对于所有惯性系都具有完全相同的形式。
（2）一切惯性系都是等价的，不存在绝对参照系2、光速不变原理真空中光速相对任何惯性系沿任何一个方向大小恒为c ，且与光源运动速度无关。
二．洛仑兹变换：坐标变换：2x 'y 'y z 'zv t xt '⎧==⎪⎪⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪-⎪=⎪⎪⎩逆变换：2x y y 'z z 'v t 'xt ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪-⎪=⎪⎪⎩速度变换：21x x x u v u vu c-'==-，21y x u c'=-，21z x u c'=-三．狭义相对论的时空理论：1．同时是相对的：在某一贯性参考系上对准的时钟，在另一相对运动的贯性参考系观察是不对准的。
2．运动长度缩短：沿运动方向尺度收缩。
其中v 是物体相对静止系的速度；l l =3．运动时钟延缓：运动物体内部发生的自然过程比静止的钟测到的静止物体内部自然过程经历的时间延缓。
221ct ντ-∆=∆⑴ 运动时钟延缓：τν∆>∆∴<-t c1122只与速度有关，与加速度无关；⑵ 时钟延缓是相对的，但在广义相对论中延缓是绝对的； ⑶ 时钟延缓是时空的另一基本属性，与钟的内部结构无关； ⑷ 它与长度收缩密切相关。
四．电磁场的洛仑兹变换:11223332()()γγ'=⎧⎪'=-⎨⎪'=+⎩E E E E vB E E vB 1122323322()()γγ⎧⎪'=⎪⎪'=+⎨⎪⎪'=-⎪⎩B B v B B E c v B B E c 五．相对论力学： 1．运动质量：m =2．相对论动量：p m v ==3．质能关系：物体具有的能量为24W m c c= 4．相对论动能：()222000T W W m c m m c=-==-5．相对论力学方程：dp F dtdW F v dt=⋅=本章重点：1、狭义相对论基本原理、洛仑兹变换并熟练利用洛仑兹变换解决具体问题2、理解同时的相对性和尺缩、钟慢效应，并会利用相关公式计算.3、了解相对论四维形式和四维协变量4、了解相对论力学的基本理论并解决实际问题本章难点：1、同时的相对性、时钟延缓效应的相对性2、相对论的四维形式3、电动力学的相对论不变性的导出过程。
电动力学 复习 第六章
真空中光速相对任何惯性系沿任何一个方向大小恒为C，且 与光源运动速度无关。
返回
x x vt t' t vx c2
1v2 /ห้องสมุดไป่ตู้2
1 v2 / c2
y' y z' z
洛伦兹正变换
x x'v t' t t' v x' c2
1v2 /c2
1 v2 / c2
y y' z z'
五、洛伦兹规范条件的四维形式：
1
A
0
c2 t
A1
A2
A3
( i )
c
A
.
x1 x2 x3 (ict ) x
A 0 x
返回
第六章 狭义相对论知识体系
相
对 论 的 实 验 基 础
两 条 基 本 原 理
相对性原理 光速不变原理
洛伦兹变换
相对论时空观
相对论理论的 四维形式
电动力学的相 对论不变性
相对论力学
1 相对性原理 一切物理定律在所有的惯性系中都具有相同形式； 一切惯性系都等价，不存在特殊的绝对的惯性系。 2 光速不变原理
洛伦兹逆变换
返回
相对论时空观
一 同时的相对性
1、同时同地两事件，在任何惯性系中仍是同时同地事件
2、同地不同时两事件， 在其他惯性系中一般为不同地不 同时事件，但时间顺序不会颠倒，即因果律不变。
3、同时不同地两事件，在其他惯性系中一般为不同时、不 同地事件 。
二 长度收缩
三 时间延缓
返回
l l0 1 2
iW c
或
返回
x x vt t' t vx c2
1v2 /ห้องสมุดไป่ตู้2
1 v2 / c2
y' y z' z
洛伦兹正变换
x x'v t' t t' v x' c2
1v2 /c2
1 v2 / c2
y y' z z'
五、洛伦兹规范条件的四维形式：
1
A
0
c2 t
A1
A2
A3
( i )
c
A
.
x1 x2 x3 (ict ) x
A 0 x
返回
第六章 狭义相对论知识体系
相
对 论 的 实 验 基 础
两 条 基 本 原 理
相对性原理 光速不变原理
洛伦兹变换
相对论时空观
相对论理论的 四维形式
电动力学的相 对论不变性
相对论力学
1 相对性原理 一切物理定律在所有的惯性系中都具有相同形式； 一切惯性系都等价，不存在特殊的绝对的惯性系。 2 光速不变原理
洛伦兹逆变换
返回
相对论时空观
一 同时的相对性
1、同时同地两事件，在任何惯性系中仍是同时同地事件
2、同地不同时两事件， 在其他惯性系中一般为不同地不 同时事件，但时间顺序不会颠倒，即因果律不变。
3、同时不同地两事件，在其他惯性系中一般为不同时、不 同地事件 。
二 长度收缩
三 时间延缓
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l l0 1 2
iW c
或
电动力学复习总结第六章狭义相对论答案
电动⼒学复习总结第六章狭义相对论答案第六章狭义相对论⼀、问答题1、简述经典⼒学中的相对性原理和狭义相对论中的相对性原理。
答:经典⼒学中的相对性原理：⼒学的基本运动定律对所有惯性系成⽴。
狭义相对论中的相对性原理：包括电磁现象和其他物理现象在内，所有参照系都是等价的。
不存在特殊的参照系.2、⽤光速不变原理说明迈克⽿孙—莫雷实验不可能出现⼲涉条纹的移动。
答：光速不变原理告诉我们，真空中的光速相对于任何惯性系沿任⼀⽅向恒为c ，并于光源运动⽆关。
因此在迈克尔逊——莫雷实验中，若使两臂长度调整⾄有效光程MM1=MM 2，则在⽬镜中，两束光同时到达，没有光程差，因此不产⽣⼲涉效应。
3、如何校准同⼀参考系中不同地点的两个钟? 答:设A,B 两个钟相距L ，把钟B 调到cLt B =（不动），0=A t 时送出⼀光讯号，B 钟接到讯号后开动。
4、如图6-4所⽰，当'∑和∑的原点重合时，从⼀原点发出⼀球形闪光，当∑观察者看到t 时刻波前到达P 点(),,x y z 时，也看到'∑中固定的点()'''',,x y z P 和P 点重合，情况有如在0t =时看到两原点重合⼀样，换句话说，∑观察者在t 时确定了⼀个重合点'P 的空间坐标()''',,x y z 。
问'∑观察者看本参考系的球⾯光波到达'P 的时刻't（1）是不是本参考系时钟指⽰的读数为''r t c=，'r =？（2）是不是⽤洛仑兹变换计算得的时刻为'2v t t x cγ?=-(,,,)x y z t P提⽰：同⼀光讯号事件的两个时空坐标为(),,,x y z t ，()'''',,,x y z t ，满⾜'2'2'22'2222220x y z c t x y z c t ++-=++-=，是通过指定点(),,x y z 和()''',,x y z 的球⾯，半径分别为'ct 和ct 。
电动力学讲义第六章狭义相对论基础第1部分
详细描述
光速不变原理表明光速是一个恒定的常数，约为每秒299，792，458米。这一原理与经典物理学中的 速度叠加原理相矛盾，因为在经典物理学中，一个运动的物体发出的光的速度会相对于观察者有所减 少。然而，光速不变原理被大量实验所证实，成为狭义相对论的重要基础之一。
因果律
总结词
因果律是狭义相对论的另一个基本假设 ，它要求原因必定在前，结果只能在后 ，即因果关系具有时间上的先后顺序。
质量亏损与核反应能量释放
质量亏损是指在一个封闭系统中，由于核反应或粒子衰变等 原因，系统的总质量相对于反应前减少了。这个减少的质量 以能量的形式释放出去。
根据质能方程 (E=mc^2)，质量亏损会导致能量的释放。在 核反应中，由于质量亏损释放的能量通常以热能和光能的形 式表现出来。这个原理是核能发电和核武器设计的理论基础 。
05
CATALOGUE
狭义相对论中的动量和能量
相对论动量与能量关系
要点一
相对论动量
在狭义相对论中，动量定义为质量与速度的乘积，即 $p=mv$。当物体速度接近光速时，由于相对论效应，动 量的计算需要考虑物体的质量随速度的增加而增加。
要点二
相对论能量
相对论能量与物体的质量和速度有关，表达式为 $E=mc^2$。当物体速度接近光速时，能量的计算需要考 虑物体的质量随速度的增加而增加。
电动力学讲义第六 章狭义相对论基础 第1部分
目录
• 狭义相对论的基本假设 • 狭义相对论的时空观 • 狭义相对论中的速度合成 • 狭义相对论中的质量和能量 • 狭义相对论中的动量和能量
01
CATALOGUE
狭义相对论的基本假设
相对性原理
总结词
相对性原理是狭义相对论的基本假设之一，它指出物理定律在所有惯性参考系中都是相同的，即物理现象不因观 察者的参考系而有所改变。
光速不变原理表明光速是一个恒定的常数，约为每秒299，792，458米。这一原理与经典物理学中的 速度叠加原理相矛盾，因为在经典物理学中，一个运动的物体发出的光的速度会相对于观察者有所减 少。然而，光速不变原理被大量实验所证实，成为狭义相对论的重要基础之一。
因果律
总结词
因果律是狭义相对论的另一个基本假设 ，它要求原因必定在前，结果只能在后 ，即因果关系具有时间上的先后顺序。
质量亏损与核反应能量释放
质量亏损是指在一个封闭系统中，由于核反应或粒子衰变等 原因，系统的总质量相对于反应前减少了。这个减少的质量 以能量的形式释放出去。
根据质能方程 (E=mc^2)，质量亏损会导致能量的释放。在 核反应中，由于质量亏损释放的能量通常以热能和光能的形 式表现出来。这个原理是核能发电和核武器设计的理论基础 。
05
CATALOGUE
狭义相对论中的动量和能量
相对论动量与能量关系
要点一
相对论动量
在狭义相对论中，动量定义为质量与速度的乘积，即 $p=mv$。当物体速度接近光速时，由于相对论效应，动 量的计算需要考虑物体的质量随速度的增加而增加。
要点二
相对论能量
相对论能量与物体的质量和速度有关，表达式为 $E=mc^2$。当物体速度接近光速时，能量的计算需要考 虑物体的质量随速度的增加而增加。
电动力学讲义第六 章狭义相对论基础 第1部分
目录
• 狭义相对论的基本假设 • 狭义相对论的时空观 • 狭义相对论中的速度合成 • 狭义相对论中的质量和能量 • 狭义相对论中的动量和能量
01
CATALOGUE
狭义相对论的基本假设
相对性原理
总结词
相对性原理是狭义相对论的基本假设之一，它指出物理定律在所有惯性参考系中都是相同的，即物理现象不因观 察者的参考系而有所改变。
物理2010电动第六章狭义相对论
§6-1 相对论产生的历史背景
伽利略变换和力学的相对性原理，经典时空观
伽利略坐标变换
经典时空观
伽利略加速度变换
力学相对性原理
伽利略变换、相对性原理与电磁现象的矛盾
矛盾的解决
相对论基本原理的诞生
伽利略变换和相对性原理早在19世纪就得到力学 实验的证实.1864年麦克斯韦建立电磁理论,成功解 释了真空和静止介质中的电磁现象和光现象,预言了 电磁波的存在,并为20年后的实验证实.
例 试计算球被投出前后的瞬间，所发 出的光波达到观察者所需时间.
(
根球 据投 伽出 利前 略 速球 度投 变出 换后
c
d
v
c
v
运动物体
S’系
t1
d c
t2
c
d
v
t1 t2
S系
)
观察者先看到投出后的球， 结果:
后看到投出前的球.
(
根 据 伽 利 略
球 投 出 前
速球
度投
变出
换后
c
d
v c v
后来的事实证明，正是这两朵乌云发展成为一埸革命 的风暴，乌云落地化为一埸春雨，浇灌着两朵鲜花。
黑体辐射实验
迈克尔逊莫雷实验
相对论问世 经典力学
普朗克量子力学的诞生
高速领域 微观领域
相对论 量子力学
第六章
物理规律都是相对于一定参考系进行表述， 宏观电磁场的普遍规律麦克斯韦方程组在哪些参 考系中成立?参考系变换时，电磁场的基本规律的 形式如何改变？基本物理量E和B如何变换?
和点B。地面上人测得车通过A、B 两点间的距离
和时间与车上的v 人测量结果相同 .
B
A
经典力学认为：1）空间的量度是绝对 的，与参考系无关；2）时间的量度也是绝 对的，与参考系无关 .
《电动力学(第三版)》狭义相对论chapter6_6
( p2c2 m02c4 )1/ 2
i
mv
dp
i
vK
i
v F
c W d c m d c
c
作用于速度为 v的物体上的四维力矢量为
K
K
,
i c
K
v
相对论协变的力学方程：
K
dp
d
K
v
dW
d
F
dp
dt
F
v
dW
dt
6. 电磁能量动量张量与四度电磁力
引入四维电磁力： f F J
直接猜想相对论力学方程形式应为：
K
dp
d
四维力K 和四维动量p 的选择必须满足低速过渡的原则.
四维动量矢量可以定义为
p
m0U
m0
dx
d
m0
dx dt
其中m0是洛伦兹标量, 通常称为静止质量.
四维动量由三维动量和能量构成：
p
(m0v, im0c)
p,
i
W
c
这四维矢量的空间分量和时间分量是
物体的惯性是物体的“活泼性”的度量.
E mc2
质能关系
E静 m0c2
Ek mc2 m0c2
力的功仍然定义为 动能的增量.
当 v << c 时 ,
Ek
m0c2 1v2 / c2
m0c2
m0c
2
(
1
1 2
v2 c2
) m0c2
1 2
m0v
2
4. 动量和能量的关系
p mv E mc2
2. 质量和速度的关系
按照牛顿力学, 在一个
F
恒力的作用下, 物体的
口才演讲-电动力学讲稿第六章
以 u 表示光相对于地球的速度，v 表示地球相对于以太的（绝 对）运动速度，有
c2 = u2 + v2 + 2uv cosθ
( ) −2v cosθ ± 4v2 cos2 θ − 4 v2 − c2
⇒ u=
= −v cosθ ± c2 − v2 sin2 θ
2
这里的 u 仅表示大小，所以丢弃负根，
u = c2 − v2 sin2 θ − v cosθ
如果承认经典运动学的观点，那么在一般的惯性参照系中，Maxwell 方程不再成立， 姑且把麦克斯韦方程成立的参照系称为“特殊参照系”。
注意到，从 Maxwell 方程导出的真空中电磁波的速度为 c = 1 ，它只与物质常 ε0μ0
数有关，物质常数并不依赖于参照系，所以在惯性系中，麦克斯韦方程不再成立（因为由方
斯韦方程成立的参照系；
从逻辑上，我们也可以作相反的选择，那就是认为不承认前提，而承认相反的结论： 1） 电磁波传播速度与惯性参照系的选择无关； 2） 电磁现象规律仍满足相对性原理，自然界中不存在“特殊参照系”。
但是，后面的选择是对经典力学的反叛，在历史上，许多科学家曾经认为前面的观点是 正确的，毕竟，经典力学是几百年发展的结果，并且有太多的成功运用。这些科学家做了大 量细致的实验工作，力图证明电磁波传播速度与惯性参照系的选择有关和寻找“特殊参照 系”。但是，事与愿违。大量实验支持相反的结论。
验。如，实验采用π0介子，π0介子是高能质子与质子碰撞产生的一种不稳定 的粒子（质量为电子的264.12倍，寿命为0.87⋅10－16s，主要衰变为两个光子
π0 →γ +γ 在 Alvarger 等人所作实验中，π0介子以0.9975c 的速度运动，测定沿π0介子运动方向的光子
c2 = u2 + v2 + 2uv cosθ
( ) −2v cosθ ± 4v2 cos2 θ − 4 v2 − c2
⇒ u=
= −v cosθ ± c2 − v2 sin2 θ
2
这里的 u 仅表示大小，所以丢弃负根，
u = c2 − v2 sin2 θ − v cosθ
如果承认经典运动学的观点，那么在一般的惯性参照系中，Maxwell 方程不再成立， 姑且把麦克斯韦方程成立的参照系称为“特殊参照系”。
注意到，从 Maxwell 方程导出的真空中电磁波的速度为 c = 1 ，它只与物质常 ε0μ0
数有关，物质常数并不依赖于参照系，所以在惯性系中，麦克斯韦方程不再成立（因为由方
斯韦方程成立的参照系；
从逻辑上，我们也可以作相反的选择，那就是认为不承认前提，而承认相反的结论： 1） 电磁波传播速度与惯性参照系的选择无关； 2） 电磁现象规律仍满足相对性原理，自然界中不存在“特殊参照系”。
但是，后面的选择是对经典力学的反叛，在历史上，许多科学家曾经认为前面的观点是 正确的，毕竟，经典力学是几百年发展的结果，并且有太多的成功运用。这些科学家做了大 量细致的实验工作，力图证明电磁波传播速度与惯性参照系的选择有关和寻找“特殊参照 系”。但是，事与愿违。大量实验支持相反的结论。
验。如，实验采用π0介子，π0介子是高能质子与质子碰撞产生的一种不稳定 的粒子（质量为电子的264.12倍，寿命为0.87⋅10－16s，主要衰变为两个光子
π0 →γ +γ 在 Alvarger 等人所作实验中，π0介子以0.9975c 的速度运动，测定沿π0介子运动方向的光子
电动力学答案(郭硕鸿+第三版) chapter6
w.
指示时间相同
∴ 在 4 式中 有 t = t ′
ww
c2 v2 t (1 − 1 − 2 ) 代入 1 式 v c
得
x′ = −
c2 v2 t (1 − 1 − 2 ) = − x v c x
相遇时
t = t′ =
c2 v2 (1 − 1 − 2 v c
即为时钟指示的时刻 火箭由静止状态加速到 v =
v v d 2x F =m 2 dt
m
o’
x’
电动力学习题参考 由伽利略变换关系有 在Σ 中
第六章 狭义相对论
v E=
x − vt y v v { ex + ey + 3 3 4πε 0 [( x − vt ) 2 + y 2 + z 2 ] 2 [( x − vt ) 2 + y 2 + z 2 ) 2 q + z [( x − vt ) 2 + y 2 + z 2 )
由变换关系
得 Σ ′ 系中的入射光线
课
∴
∫
dv = a ′dt v 2 32 ∫ 0 (1 − 2 ) c
t
k ix = k cosθ 0 , k iy = k sin θ 0 , k iz = 0, ω i = ω 0
z z’
x ′ = x − vt y′ = y z′ = z t ′ = t
1 牛顿定律在伽利略变换下是协变的 以牛顿第二定律为例
Σ
y
Σ′ v r
v v v r′
y’
o
x
在 Σ 系下
Q x ′ = x − vt , y ′ = y, z ′ = z , t ′ = t
《电动力学第三版》chapter6_7电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量
HH(qi,Pi)
用哈密顿量可以把运动方程表为正则形式
qi H Pi ,Pi H qi 电磁场中的带电粒子运动情形
正则动量 即
Pi vLi
m0vi 1v2
c2
qAi
PpqA
正则动量 机械动量
附加动量
带电粒子的哈顿量为
HPvL
m0c2
q
1cv22
但H应该用正则动量而不是用速度表出
Η (P q Α )2 c 2 m 0 2 c 4 q
把电Ε 磁 场v 用 Β 标 量 势和矢 量 Α 势 表v 示 , (则 Α )
t
在拉氏形式中, 坐标
x和速度
v
x是独立变量,
▽算符不作用在 v的函数上, 因此
v ( Α ) ( v Α ) v Α
d p q [( v Α ) Α v Α ]
d t
t
由 矢A 于 有 势粒 增 d ,x 在 子 A 量 .因 时 dt内 运 此 间 有 动 dx ,由 位此 移引
dΑΑvΑ dt t
d p q [( v Α ) Α v Α ]
d t
t
d(p qΑ )q (v Α )
dt
注意到动量和矢势可以分别写为
pi vi [m0c2
1v2 c2
],
Ai
vi
v
Α
运动方程可以写为拉氏形式 d L L 0
dt vi xi
其中拉格朗日量L为
L m 0 c21 c v2 2 q ( v Α )
当粒子在电磁场内运动时, 除了Uµ之外, L还依 赖于四维势Aµ或电磁场张量F. 由粒子的四维速度 Uµ与电磁场的四维势Aµ可构成一个不变量UµAµ , 因 而L可以含有一项bUµAµ, b为一待定常数.
电动力学狭义相对论答案
因为 v < c ，在 Σ 系中应满足 E > c B 。 若在 Σ' 系中只观察到磁场 B ' ，即电场 E ' = 0 ，则有
E y − vBz = 0 即 v =
在 Σ 系中应满足 E < c B
Ey Bz
或 v=
E×B B2
6-14 解：（1）由电磁场的变换关系有 E x ' = E x = 0 ， E y ' = γ ( E y − vBz ) = −γvBz ， E z ' = γ ( E z + vBy ) = γvB y
= E x Bx + γ 2 ( E y − vBz )( B y −
即在惯性系 Σ' 中 E ' ⊥ B ' 6-13 解：令 Σ' 沿 Σ 系的 x 轴正向运动。按题意，在 Σ 系中 E × B 的方向沿 x 轴正向
v v E z ) + γ 2 ( E z + vBy )( Bz − 2 E y ) 2 c c = E x Bx + E y B y + E z Bz = E ⋅ B = 0
6-16 证：在激发态原子静止的参考系中，其能量 W0 = M 0 c ，动量 p = 0 ，发射的光子能
2
量为
ω ，动量为 k = ( ω c)k0 ，原子受到反冲将具有动量 p ' ，其能量变为
W=
2 4 p ' 2 c 2 + M '0 c
4
其中 M '0 = M 0 −
ΔW 为基态原子的静止质量。 c2
c
c
站在一尺子上测量另一尺子的长度为
x
v′ −2v c2 − v2 l = l0 1 − ( ) 2 = l0 1 − ( 2 2 ) 2 = l0 2 2 c c +v c +v
E y − vBz = 0 即 v =
在 Σ 系中应满足 E < c B
Ey Bz
或 v=
E×B B2
6-14 解：（1）由电磁场的变换关系有 E x ' = E x = 0 ， E y ' = γ ( E y − vBz ) = −γvBz ， E z ' = γ ( E z + vBy ) = γvB y
= E x Bx + γ 2 ( E y − vBz )( B y −
即在惯性系 Σ' 中 E ' ⊥ B ' 6-13 解：令 Σ' 沿 Σ 系的 x 轴正向运动。按题意，在 Σ 系中 E × B 的方向沿 x 轴正向
v v E z ) + γ 2 ( E z + vBy )( Bz − 2 E y ) 2 c c = E x Bx + E y B y + E z Bz = E ⋅ B = 0
6-16 证：在激发态原子静止的参考系中，其能量 W0 = M 0 c ，动量 p = 0 ，发射的光子能
2
量为
ω ，动量为 k = ( ω c)k0 ，原子受到反冲将具有动量 p ' ，其能量变为
W=
2 4 p ' 2 c 2 + M '0 c
4
其中 M '0 = M 0 −
ΔW 为基态原子的静止质量。 c2
c
c
站在一尺子上测量另一尺子的长度为
x
v′ −2v c2 − v2 l = l0 1 − ( ) 2 = l0 1 − ( 2 2 ) 2 = l0 2 2 c c +v c +v
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在洛伦兹变换下, 高速运动的力学规律如何？
1. 相对论的动力学方程
* 新力学规律必须满足洛伦兹变换. * 在低速运动时应过渡到牛顿方程.
F
dp
dt
p mv
形式不变, 但 m 与运动有关（不是恒量）.
牛顿最初就是采用上述方程形式作为牛顿第二 定律, 即力决定“运动的量”的变化率. 在伽利略之 前, 占统治地位的是亚里士多德的观点：力决定物体 运动的速度.
物体的惯性是物体的“活泼性”的度量.
E mc2
质能关系
E静 m0c2
Ek mc2 m0c2
力的功仍然定义为 动能的增量.
当 v << c 时 ,
Ek
m0c2 1v2 / c2
m0c2
m0c
2
(
1
1 2
v2 c2
) m0c2
1 2
m0v
2
4. 动量和能量的关系
p mv E mc2
M M0
A
M
B
x
能量守恒： M 0c2 mAc2 mBc2
M 0 mA mB
2m0 1 v2 / c2
2m0
例2 有一种热核反应
2 1
H
31H
4 2
He
01n
各种粒子的静止质量如下：
氘核（
2 1
H
）
mD 3. 343 7 1027 kg
氚核（
3 1
H
）
mT 5. 004 9 1027 kg
1
q(
E
1
v
B)
1
c
2 2
c
矢量
因此, 洛伦兹力公式满足相对论协变性的要求.
带电粒子在电磁场中的运动方程
dp
q(E
v
B)
dt
F
dp
dt
适用于任意惯性系, 能够描述高速粒子的运动.
相对论协变的力密度公式为
f μ Fμν Jν
J为四维电流密度矢量
f ρE J B
洛伦兹力密度公式
每千克的这种核燃料所释放的能量为
E 3.351014 J / kg mD mT
是 每千克的优质煤所释放热量的 1 千万倍！
5. 相对论力学方程的四维形式
牛顿力学方程在洛伦兹变换下不是协变的, 必须改造.
* 新的力学方程是洛伦兹变换下协变的.
* 低速近似应过渡到牛顿力学方程.
牛顿第二定律：质dp点动量d的变化率等于外加的作用力 F dt dt (m0v )
fµ的第四分量为
f4
i c
J
E
除了因子i/c外, 就是 电磁场对电荷系统做 功的功率密度公式
洛伦兹力密度公式和功率密度公式都是满足相对 论协变性的要求的.
至此我们已经阐明, 电动力学的基本规 律, 包括麦克斯韦方程组和洛伦兹力公式, 是适用于一切惯性参考系的物理学基本规 律.
第六章 狭义相对论
§6.6 相对论力学
内容概要
1. 相对论的动力学方程 2. 质量和速度的关系 3. 质量和能量的关系 4. 动量和能量的关系 5. 相对论力学方程的四维形式 6. 电磁能量动量张量与四度电磁力 7. 洛伦兹力
经典力学在伽利略变换下是协变的. 在旧时空概念下, 牛顿定律对任意惯性系成立. （低速）
p m0v
m0v ,
1
2 c2
p4
icm0
i c
m0c2
1
c
2 2
当v <<c时p趋于经 典动量. 可以认为, p是相对论中物体 的动量.
p4的物理意义 v <<c情形下的展开式
p4
i c
(m0 c 2
1 2
m0 v 2
)
p4是与物体的能量有关
W包含物体的动能. 当v=0时动能为零. 因此相对论中
氦核（4 2
He）
mHe 6. 642 5 1027 kg
中子（ n） mn 1. 675 0 1027 kg
求这一种热核反应释放的能量是多少？
2 1
H
31H
4 2
He
01n
解：这一反应的质量亏损为
m0 mD mT mHe mn
0.03111027 kg
E m0c2 2.7991012 J
2. 质量和速度的关系
按照牛顿力学, 在一个
F
恒力的作用下, 物体的
速度将直线地增加.
v
c
牛顿力学规律不适应
相对论的时空观.
t
在恒力的作用下, 物体的速度应单调递增, 但 必须有界.
上帝说 ：“ 让爱因斯坦降生 ”,
v
于是, 速度有极限.
c 力等于动量随时间
的变化率.
t
在恒力的作用下, 动量的变化率一定, 但速度 的变化率越来越小, 只能说明惯性质量在增加, 且 质量的变化率越来越大.
英国古典派诗人 A. Pope 为牛顿撰写的墓志铭：
Nature and Nature’s law lay hid in night ,
God said “ let Newton be ” and all was light .
自然和自然法则隐没在黑暗之中, 上帝说 ： “ 让牛顿降生 ”, 于是, 万物皆光明.
p p
p2
W2 c2
p2
W2 c2
W02 c2
m02c2
W 2 p2c2 m02c4
m m0
m0 1v2 / c2
p mv
W mc2
相对论力学方程实际上定义了四维力：
K K
(K,
F
K4)
dp
dp
d dp
d dt
K4
i
c i
dW i d
d
c2
cd
dp
p
在狭义相对论中, 质量是速度的函数:
运动质量
m m0 1v2 / c2
m0 为物体静止时的质量.
m
m0
cv
3. 质量和能量的关系
F
当 v 接近 c 时, v 的变化将
很小, 力所做的功转变成什
么能量？
v 不再增加, m在增加, 说明物体能量的增加 和惯性质量的增加相联系.
惯性质量的大小标志着能量的大小！
直接猜想相对论力学方程形式应为：
K
dp
d
四维力K 和四维动量p 的选择必须满足低速过渡的原则.
四维动量矢量可以定义为
p
m0U
m0
dx
d
m0
dx dt
其中m0是洛伦兹标量, 通常称为静止质量.
四维动量由三维动量和能量构成：
p
(m0v, im0c)
p,
i
W
c
这四维矢量的空间分量和时间分量是
v
pc
2
E
E m0c2 1 v2 / c2
m0 c 2
E
E2 p2c2 m02c4
pc
例A 、1 B在分惯别性以系速S度中,v有A 两个vi静, 质vB量都是vim运0 的动粒, 相子撞
后合在一起为一个静质量为 M0 的粒子, 求 M0 .
解：
A
M
B
x
动量守恒：
v 0
mAvA mBvB M v
( p2c2 m02c4 )1/ 2
i
mv
dp
i
vK
i
v F
c W d c m d c
c
作用于速度为 v的物体上的四维力矢量为
K
K
,
i c
K
v
相对论协变的力学方程：
K
dp
d
K
v
dW
d
F
dp
dt
F
v
dW
dt
6. 电磁能量动量张量与四度电磁力
引入四维电磁力： f F J
物体的动能是
T
m0c 2
1
2
c2
m0c2
而总能量是
W T m0c2
在非相对论中, 对能量附加一个常量是没有意义的. 但 是在相对论情形, 我们必须进一步研究常数项m0c2的物 理意义.
这 是 因 为 m0c2 项 的 出 现 是 相 对 论协变性要求的结果, 删去这项 或者用其他常数代替这项都不 符合相对论协变性的要求.
i
J
E
f,
i
J
E
c c
引入四维电磁能量动量张量：
T
T
icg
i
S
c
w
能量动量守恒方程四度形式：
f
T x
f
T
g
J
E
S
w
t
t
F的确是常规意义上的力, 如对电磁力：
K
f,
i c
J
E
dV0
E
J
B,
i c
J
E
dV
E
J B
dV , 律之一是能量守恒定律, 只有当 附加项m0c2可以转化为其他形式 的能量时, 这项作为能量的一部 分才有物理意义.
由此我们可以推论, 物 体静止时具有能量m0c2, 在一定条件下, 物体的 静止能量可以转化为其 他形式的能量.
p
m0v
1 (v c)2
W m0c2 1 (v c)2
0
f
B3 B2 iE1 c
B3 0 B1 iE2 c
B2 B1 0 iE3 c
iE1 c J1
iE2 c J2
iE3 0
c
J3
ic
E1 (J2B3 J3B2 )
E2 E3
( J 3 B1 (J1B2 iJ E
1. 相对论的动力学方程
* 新力学规律必须满足洛伦兹变换. * 在低速运动时应过渡到牛顿方程.
F
dp
dt
p mv
形式不变, 但 m 与运动有关（不是恒量）.
牛顿最初就是采用上述方程形式作为牛顿第二 定律, 即力决定“运动的量”的变化率. 在伽利略之 前, 占统治地位的是亚里士多德的观点：力决定物体 运动的速度.
物体的惯性是物体的“活泼性”的度量.
E mc2
质能关系
E静 m0c2
Ek mc2 m0c2
力的功仍然定义为 动能的增量.
当 v << c 时 ,
Ek
m0c2 1v2 / c2
m0c2
m0c
2
(
1
1 2
v2 c2
) m0c2
1 2
m0v
2
4. 动量和能量的关系
p mv E mc2
M M0
A
M
B
x
能量守恒： M 0c2 mAc2 mBc2
M 0 mA mB
2m0 1 v2 / c2
2m0
例2 有一种热核反应
2 1
H
31H
4 2
He
01n
各种粒子的静止质量如下：
氘核（
2 1
H
）
mD 3. 343 7 1027 kg
氚核（
3 1
H
）
mT 5. 004 9 1027 kg
1
q(
E
1
v
B)
1
c
2 2
c
矢量
因此, 洛伦兹力公式满足相对论协变性的要求.
带电粒子在电磁场中的运动方程
dp
q(E
v
B)
dt
F
dp
dt
适用于任意惯性系, 能够描述高速粒子的运动.
相对论协变的力密度公式为
f μ Fμν Jν
J为四维电流密度矢量
f ρE J B
洛伦兹力密度公式
每千克的这种核燃料所释放的能量为
E 3.351014 J / kg mD mT
是 每千克的优质煤所释放热量的 1 千万倍！
5. 相对论力学方程的四维形式
牛顿力学方程在洛伦兹变换下不是协变的, 必须改造.
* 新的力学方程是洛伦兹变换下协变的.
* 低速近似应过渡到牛顿力学方程.
牛顿第二定律：质dp点动量d的变化率等于外加的作用力 F dt dt (m0v )
fµ的第四分量为
f4
i c
J
E
除了因子i/c外, 就是 电磁场对电荷系统做 功的功率密度公式
洛伦兹力密度公式和功率密度公式都是满足相对 论协变性的要求的.
至此我们已经阐明, 电动力学的基本规 律, 包括麦克斯韦方程组和洛伦兹力公式, 是适用于一切惯性参考系的物理学基本规 律.
第六章 狭义相对论
§6.6 相对论力学
内容概要
1. 相对论的动力学方程 2. 质量和速度的关系 3. 质量和能量的关系 4. 动量和能量的关系 5. 相对论力学方程的四维形式 6. 电磁能量动量张量与四度电磁力 7. 洛伦兹力
经典力学在伽利略变换下是协变的. 在旧时空概念下, 牛顿定律对任意惯性系成立. （低速）
p m0v
m0v ,
1
2 c2
p4
icm0
i c
m0c2
1
c
2 2
当v <<c时p趋于经 典动量. 可以认为, p是相对论中物体 的动量.
p4的物理意义 v <<c情形下的展开式
p4
i c
(m0 c 2
1 2
m0 v 2
)
p4是与物体的能量有关
W包含物体的动能. 当v=0时动能为零. 因此相对论中
氦核（4 2
He）
mHe 6. 642 5 1027 kg
中子（ n） mn 1. 675 0 1027 kg
求这一种热核反应释放的能量是多少？
2 1
H
31H
4 2
He
01n
解：这一反应的质量亏损为
m0 mD mT mHe mn
0.03111027 kg
E m0c2 2.7991012 J
2. 质量和速度的关系
按照牛顿力学, 在一个
F
恒力的作用下, 物体的
速度将直线地增加.
v
c
牛顿力学规律不适应
相对论的时空观.
t
在恒力的作用下, 物体的速度应单调递增, 但 必须有界.
上帝说 ：“ 让爱因斯坦降生 ”,
v
于是, 速度有极限.
c 力等于动量随时间
的变化率.
t
在恒力的作用下, 动量的变化率一定, 但速度 的变化率越来越小, 只能说明惯性质量在增加, 且 质量的变化率越来越大.
英国古典派诗人 A. Pope 为牛顿撰写的墓志铭：
Nature and Nature’s law lay hid in night ,
God said “ let Newton be ” and all was light .
自然和自然法则隐没在黑暗之中, 上帝说 ： “ 让牛顿降生 ”, 于是, 万物皆光明.
p p
p2
W2 c2
p2
W2 c2
W02 c2
m02c2
W 2 p2c2 m02c4
m m0
m0 1v2 / c2
p mv
W mc2
相对论力学方程实际上定义了四维力：
K K
(K,
F
K4)
dp
dp
d dp
d dt
K4
i
c i
dW i d
d
c2
cd
dp
p
在狭义相对论中, 质量是速度的函数:
运动质量
m m0 1v2 / c2
m0 为物体静止时的质量.
m
m0
cv
3. 质量和能量的关系
F
当 v 接近 c 时, v 的变化将
很小, 力所做的功转变成什
么能量？
v 不再增加, m在增加, 说明物体能量的增加 和惯性质量的增加相联系.
惯性质量的大小标志着能量的大小！
直接猜想相对论力学方程形式应为：
K
dp
d
四维力K 和四维动量p 的选择必须满足低速过渡的原则.
四维动量矢量可以定义为
p
m0U
m0
dx
d
m0
dx dt
其中m0是洛伦兹标量, 通常称为静止质量.
四维动量由三维动量和能量构成：
p
(m0v, im0c)
p,
i
W
c
这四维矢量的空间分量和时间分量是
v
pc
2
E
E m0c2 1 v2 / c2
m0 c 2
E
E2 p2c2 m02c4
pc
例A 、1 B在分惯别性以系速S度中,v有A 两个vi静, 质vB量都是vim运0 的动粒, 相子撞
后合在一起为一个静质量为 M0 的粒子, 求 M0 .
解：
A
M
B
x
动量守恒：
v 0
mAvA mBvB M v
( p2c2 m02c4 )1/ 2
i
mv
dp
i
vK
i
v F
c W d c m d c
c
作用于速度为 v的物体上的四维力矢量为
K
K
,
i c
K
v
相对论协变的力学方程：
K
dp
d
K
v
dW
d
F
dp
dt
F
v
dW
dt
6. 电磁能量动量张量与四度电磁力
引入四维电磁力： f F J
物体的动能是
T
m0c 2
1
2
c2
m0c2
而总能量是
W T m0c2
在非相对论中, 对能量附加一个常量是没有意义的. 但 是在相对论情形, 我们必须进一步研究常数项m0c2的物 理意义.
这 是 因 为 m0c2 项 的 出 现 是 相 对 论协变性要求的结果, 删去这项 或者用其他常数代替这项都不 符合相对论协变性的要求.
i
J
E
f,
i
J
E
c c
引入四维电磁能量动量张量：
T
T
icg
i
S
c
w
能量动量守恒方程四度形式：
f
T x
f
T
g
J
E
S
w
t
t
F的确是常规意义上的力, 如对电磁力：
K
f,
i c
J
E
dV0
E
J
B,
i c
J
E
dV
E
J B
dV , 律之一是能量守恒定律, 只有当 附加项m0c2可以转化为其他形式 的能量时, 这项作为能量的一部 分才有物理意义.
由此我们可以推论, 物 体静止时具有能量m0c2, 在一定条件下, 物体的 静止能量可以转化为其 他形式的能量.
p
m0v
1 (v c)2
W m0c2 1 (v c)2
0
f
B3 B2 iE1 c
B3 0 B1 iE2 c
B2 B1 0 iE3 c
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E2 E3
( J 3 B1 (J1B2 iJ E