2014届山东省日照市高三12月校际联考理科数学试卷(带解析)
山东省日照一中2014届高三下学期开学考试 数学(理)试题 含解析
数学（理科）试卷第Ⅰ卷（共60分)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 【题文】设全集{}9,8,7,6,5,4,3,2,1=U ，[{}3,1)(=B A U,{}[4,2)(=B A U ,则集合B=（ )Ａ．{}4,3,2,1 B ．{}5,4,3,2,1 Ｃ．{}9,8,7,6,5 D ．{}9,8,73。
【题文】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）Ａ．1 B ．13Ｃ．12D ．32【答案】B5。
【题文】下列推理是归纳推理的是（ )Ａ．A ，B 为定点，动点P 满足｜PA|＋|PB ｜＝2a ＞|AB|，则P 点的轨迹为椭圆B ．由1131na a n ＝，＝－，求出123S S S ，，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式Ｃ．由圆222x y r ＋＝的面积2r π，猜想出椭圆2222=1x y a b+的面积S ab π＝D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇6。
【题文】将1,2，3，…,9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大.当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法为（ ）A 。
6种 B.12种 C.18种 D 。
24种7。
【题文】已知A ，B ，C,D 是函数sin()(0,0)2y x πωω=+Φ><Φ<一个周期内的图象上的四个点,如图所示，(,0),6A π-B 为y 轴上的点，C 为图像上的最低点，E 为该函数图像的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD 在x 轴上的投影为12π，则,ωΦ的值为（ ）。
山东省日照一中2014届高三数学12月月考 理
高三阶段检测理科数学2013.12第Ⅰ卷 选择题（共60分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝( )A ．0或 3B ．0或3C ．1或 3D ．1或32. 若i 为虚数单位，图1中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z 表示复数z ，则复数z1－2i的共轭复数是( )图1A ．－35i B.35I C ．－i D ．i3. 设βα、为两个不同的平面，m 、n 为两条不同的直线，且,m n αβ⊂⊂,有两个命题：p ：若//m n ，则//αβ；q ：若m β⊥，则αβ⊥；那么A ．“p 或q ”是假命题B ．“p 且q ”是真命题C ．“非p 或q ” 是假命题D ．“非p 且q ”是真命题4. 已知a>0且a≠1，若函数f(x)＝log a (x ＋x 2＋k)在(－∞，＋∞)上既是奇函数，又是增函数，则函数g(x)＝log a |x －k|的图象是( )5. 设偶函数()x f 满足()()042≥-=x x x f ，则不等式()2-x f ＞0的解集为A.{x x ＜2-或x ＞}4B.{x x ＜0或x ＞}4C.{x x ＜0或x ＞}6D.{x x ＜2-或x ＞}26．一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E 、F 两点，且交其对角线于K ，其中AE →＝13AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( )A.15B.14C.13D.127.则这个几何体的外接球的表面积为A ．23π B.8π3 C ．4 3 D.16π38．若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为 ( ) A.16 B.14 C.13 D.129． 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的( )A ．既不充分也不必要的条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．充要条件10．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是 ( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]11．项数为n 的数列a 1，a 2，a 3，…，a n 的前k 项和为S k (k ＝1,2,3，…，n )，定义S 1＋S 2＋…＋S nn为该项数列的“凯森和”，如果项数为99项的数列a 1，a 2，a 3，…，a 99的“ 凯森和”为1 000，那么项数为100的数列100，a 1，a 2，a 3，…，a 99的“凯森和”为( )A ．991B ．1 001C ．1 090D ．1 100 12．设定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1|x －2|，x ≠2，1， x ＝2，若关于x 的方程f 2(x )＋af (x )＋b ＝0有3个不同实数解x 1、x 2、x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则下列说法中错误的是A ．x 21＋x 22＋x 23＝14 B ．1＋a ＋b ＝0 C ．a 2－4b ＝0D ．x 1＋x 3＝4第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中相应题的横线上． 13．对大于或等于2的自然数 m 的n 次方幂有如下分解方式：22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19. 根据上述分解规律，若n 2＝1＋3＋5＋…＋19, m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是21，则m ＋n 的值为________．14．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为________．15．已知1(2)xa e x d x =+⎰(e 为自然对数的底数),函数l n ,0()2,0x x x f x x ->⎧=⎨≤⎩,则21()(log )6f a f +=__________.16．16.已知,x y 满足约束条件224200x y x y y ⎧+≤⎪-+≥⎨⎪≥⎩,则目标函数2z x y =+的最大值是___________三、解答题：本大题共6小题，共74分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分）已知函数f(x)＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x(1)求函数f(x)的单调递减区间及最小正周期；(2)设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝6，cosB ＝13，f(C 2)＝－14，求b.18.(本小题满分12分）“地沟油”严重危害了人民群众的身体健康，某企业在政府部门的支持下，进行技术攻关，新上了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似的表示为：3221x 80x 5 040x,x 120,144)3y ,1x 200x 80 000,x 144,500)2⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩［［且每处理一吨“食品残渣”，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将补贴.(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损.(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 19.(本小题满分12分）已知命题p ：x 1和x 2是方程x 2－mx －2＝0的两个实根，不等式a 2－5a －3≥|x 1－x 2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立；命题q ：不等式ax 2＋2x －1>0有解，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求a 的取值范围. 20.(本小题满分12分）已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD ＝2，AB ＝1，PA⊥平面ABCD ，E 、F 分别是线段AB 、BC 的中点. (1)证明：PF⊥FD；(2)判断并说明PA 上是否存在点G ，使得EG∥平面PFD ；(3)若PB 与平面ABCD 所成的角为45°，求二面角A －PD －F 的平面角的余弦值.21.(本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*22()n n S a n N =-∈，数列{}n b 满足11b =，且点*1(,)()n n P b b n N +∈在直线2y x =+上．（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n D ；（Ⅲ）设22*sincos ()22n n n n n c a b n N ππ=⋅-⋅∈，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．22.(本小题满分13分）已知二次函数g(x)对任意x ∈R 都满足g(x-1)+g(1-x)=x 2-2x-1且g(1)=-1，设函数f(x)=g(x+12)+ m ln x +98(m ∈R ，x>0)． (1)求g(x)的表达式；(2)若存在x ∈(0，+∞)，使f(x)≤0成立，求实数m 的取值范围； (3)设1<m ≤e ，H(x)=f(x)-(m+1)x ，求证：对于任意x 1,x 2∈［1,m ］，恒有|H(x 1)-H(x 2)|<1.高三数学（理科）练习题参考答案及评分标准一、选择题： 1． B [解析] 本小题主要考查集合元素的性质和集合的关系．解题的突破口为集合元素的互异性和集合的包含关系．由A ∪B ＝A 得B ⊆A ，所以有m ＝3或m ＝m .由m ＝m 得m ＝0或1，经检验，m ＝1时B ＝{1,1}矛盾，m ＝0或3时符合，故选B.2．C [解析] 由题意z ＝2＋i ，所以z 1－2i ＝2＋i 1－2i ＝＋＋－＋＝i ，则其共轭复数是－i ，选C.3. D4． A[解析]由已知f(0)＝0，得log a k ＝0，∴k ＝1， ∴f(x)＝log a (x ＋x 2＋1)，又∵其为增函数，∴a>1.故g(x)＝log a |x －1|的图象可由y ＝log a |x|的图象向右平移一个单位得到，且在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故选A.5. B6．A [解析] 本题主要考查向量的线性运算．属于基础知识、基本运算的考查．过点F 作FG ∥CD 交AC 于G ，则G 是AC 的中点，且AK KG ＝1312＝23，所以AK →＝25AG →＝25×12AC →＝15AC →，则λ的值为15. 7.D [解析] 设几何体的外接球的半径为r ，由(3－r )2＋1＝r 2得r ＝23，几何体的外接球的表面积为16π3.8．D [解析] 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4向右平移π6后得到 y ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ6＋π4.又因为y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，∴令π4－ωπ6＝π6＋k π，∴π12＝ωπ6＋k π(k ∈Z)，由ω>0得ω的最小值为12. 9． D [解析] 由于f (x )是R 的上的偶函数，当f (x )在[0,1]上为增函数时，根据对称性知f (x )在[－1,0]上为减函数．根据函数f (x )的周期性将f (x )在[－1,0]上的图象向右平移2个周期即可得到f (x )在[3,4]上的图象，所以f (x )在[3,4]上为减函数；同理当f (x )在[3,4]上为减函数时，根据函数的周期性将f (x )在[3,4]上的图象向左平移2个周期即可得到f (x )在[－1,0]上的图象，此时f (x )为减函数，又根据f (x )为偶函数知f (x )在[0,1]上为增函数(其平移与对称过程可用图表示，如图1－1所示)，所以“f (x )为[0,1]上的减函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的充要条件，选D.10．D[解析]由已知f ′(x )＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3， 又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12.∴π3≤θ＋π3≤3π4，∴22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3≤1，∴2≤f ′(1)≤2.答案 D11． C [解析] 项数为99项的数列a 1，a 2，a 3，…，a 99的“凯森和”为1 000，所以S 1＋S 2＋…＋S 9999＝1 000，又100，a 1，a 2，a 3，…，a 99的“凯森和”为100＋100＋S 1＋100＋S 2＋…＋100＋S 99100＝100＋S 1＋S 2＋…＋S 99100＝100＋990＝1 090，故选C.12．C[解析] 作出函数f (x )的图象，令t ＝f (x )， 则方程f 2(x )＋af (x )＋b ＝0化为t 2＋at ＋b ＝0，∵t ＝f (x )＞0，故要使原方程有3个不同的实数解， 则需方程t 2＋at ＋b ＝0的根，t 1＝t 2＝1或t 1＝1，t 2≤0，故Δ＝a 2－4b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4b ＞0b ≤0，故C 错误．令f (x )＝1，易得x 1＝1，x 2＝2，x 3＝3， 所以A 、B 、D 皆正确． 答案 C二、填空题： 13．答案：15 [解析] 依题意得 n 2＝＋2＝100,∴n ＝10. 易知 m 3＝21m ＋m m －2×2,整理得(m －5)(m ＋4)＝0, 又 m ∈N *,所以 m ＝5, 所以m ＋n ＝15. 14答案 2[解析]设x ＝a 与f (x )＝sin x 的交点为M (a ，y 1)， x ＝a 与g (x )＝cos x 的交点为N (a ，y 2)， 则|MN |＝|y 1－y 2|＝|sin a －cos a |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫a －π4≤ 2.15．答案 7; 16.答案[解析]由2z x y =+得,2y x z =-+.作出不等式对应的区域,,平移直线2y x z =-+,由图象可知,当直线2y x z =-+与圆在第一象限相切时,直线2y x z =-+的截距最大,此时z 最大.直线与圆的距离2d ==,即z =±,所以目标函数2z x y =+的最大值是三、解答题：17【解析】(1)∵f(x)＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x＝cos2xcos π3－sin2xsin π3＋1－cos2x2＝12cos2x －32sin2x ＋12－12cos2x ＝－32sin2x ＋12，…………………………………3分 ∴最小正周期T ＝2π2＝π，令2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z ，∴f(x)的单调递减区间是[k π－π4，k π＋π4](k ∈Z). …………………………………6分(2)由(1)f(x)＝－32sin2x ＋12得：f(C 2)＝－32sinC ＋12＝－14， ∴sinC ＝32， 又cosB ＝13，∴sinB ＝1－(13)2＝223，∴b sinB ＝c sinC ，即b ＝c ·sinB sinC＝6×22332＝83， 故b ＝83. …………………………………12分18【解析】(1)当x ∈[200,300]时，设该项目获利为S ，则S ＝200x －(12x 2－200x ＋80 000)＝－12x 2＋400x －80 000＝－12(x －400)2，所以当x ∈[200,300]时，S<0.因此，该项目不会获利. 当x ＝300时，S 取得最大值－5 000，所以政府每月至少需要补贴5 000元才能使该项目不亏损. …………………………6分 (2)由题意可知，食品残渣的每吨平均处理成本为：21x 80x 5 040,x 120,144)y 3.1x x 80 000x 200,x 144,500)2⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩［［①当x ∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5 040＝13(x －120)2＋240，∴当x ＝120时，yx 取得最小值240；…………………………………8分②当x ∈[144,500)时，y x ＝12x ＋80 000x－200≥212x ·80 000x－200＝200. 当且仅当12x ＝80 000x ，即x ＝400时，yx 取得最小值200.∵200<240，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低……………………12分 19．【解析】∵x 1，x 2是方程x 2－mx －2＝0的两个实根，∴x 1＋x 2＝m ，x 1·x 2＝－2，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝m 2＋8， ∴当m ∈[－1,1]时，|x 1－x 2|max ＝3，…………………………………4分 由不等式a 2－5a －3≥|x 1－x 2|对任意实数m ∈[－1,1]恒成立，可得：a 2－5a －3≥3，∴a ≥6或a ≤－1，…………………………………6分∴命题p 为真命题时a ≥6或a ≤－1， 若不等式ax 2＋2x －1>0有解，则①当a>0时，显然有解，②当a ＝0时，ax 2＋2x －1>0有解， ③当a<0时，∵ax 2＋2x －1>0有解， ∴Δ＝4＋4a>0，∴－1<a<0，所以不等式ax 2＋2x －1>0有解时a>－1.又∵命题q 是假命题，∴a ≤－1， 故命题p 是真命题且命题q 是假命题时，a 的取值范围为a ≤－1. ……12分20. 【解析】方法一：(1)∵PA ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝90°， AB ＝1，AD ＝2，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ， 则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1，1,0)，D(0,2,0).不妨令P(0,0，t)，∵PF ＝(1,1，－t)，DF ＝(1，－1,0)， ∴PF ·DF ＝1×1＋1×(－1)＋(－t)×0＝0， 即PF ⊥FD. …………………………………4分(2)存在.设平面PFD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，结合(1)，由PF 0DF 0⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －tz ＝0x －y ＝0，令z ＝1，解得：x ＝y ＝t 2.∴n ＝(t 2，t2，1).设G 点坐标为(0,0，m)，E(12，0,0)，则EG ＝(－12，0，m)，要使EG ∥平面PFD ，只需EG ·n ＝0，即(－12)×t 2＋0×t 2＋m ×1＝m －t4＝0，得m ＝14t ，从而满足AG ＝14AP 的点G 即为所求. …………………………………8分(3)∵AB ⊥平面PAD ，∴AB 是平面PAD 的法向量，易得AB ＝(1,0,0)， 又∵PA ⊥平面ABCD ，∴∠PBA 是PB 与平面ABCD 所成的角，得∠PBA ＝45°，PA ＝1，结合(2)得平面PFD 的法向量为n ＝(12，12，1)，∴cos 〈AB ，n 〉＝AB |AB |||⋅⋅nn ＝1214＋14＋1＝66， 由题意知二面角A －PD －F 为锐二面角. 故所求二面角A －PD －F 的平面角的余弦值为66.…………………………………12分 方法二：(1)连接AF ，则AF ＝2，DF ＝2， 又AD ＝2，∴DF 2＋AF 2＝AD 2，∴DF ⊥AF ， 又PA ⊥平面ABCD ，∴DF ⊥PA ，又PA ∩AF ＝A ， ∴DF ⊥平面PAF ，又∵PF ⊂平面PAF ，∴DF ⊥PF.(2)过点E 作EH ∥DF 交AD 于点H ，则EH ∥平面PFD ，且有AH ＝14AD ，再过点H 作HG ∥DP 交PA 于点G ，则HG ∥平面PFD 且AG ＝14AP ，∴平面EHG ∥平面PFD ，∴EG ∥平面PFD. 从而满足AG ＝14AP 的点G 即为所求.(3)∵PA ⊥平面ABCD ，∴∠PBA 是PB 与平面ABCD 所成的角，且∠PBA ＝45°，∴PA ＝AB ＝1，取AD 的中点M ，则FM ⊥AD ，FM ⊥平面PAD ，在平面PAD 中，过M 作MN ⊥PD 于N ，连接FN ，则PD ⊥平面FMN ， 则∠MNF 即为二面角A —PD —F 的平面角， ∵Rt △MND ∽Rt △PAD ，∴MN PA ＝MDPD ，∵PA ＝1，MD ＝1，PD ＝5，∴MN ＝55， 又∵∠FMN ＝90°，∴FN ＝65＝305，∴cos∠MNF ＝MN FN ＝66.2122.【解析】(1)设g(x)=ax2+bx+c(a≠0)，于是g(x-1)+g(1-x)=2a(x-1)2+2c=(x-1)2-2，所以1 a.2 c1⎧=⎪⎨⎪=-⎩又g(1)=-1，则1b2=-．所以g(x)=211x x1.22--…………………………………4分(2)f(x)=g(x+12)+m ln x+98=12x2+m ln x (m∈R,x>0).当m>0时，由对数函数的性质知，f(x)的值域为R；当m=0时，f(x)=2x2，对任意x>0，f(x)>0恒成立；当m<0时，由f ′(x)=x+m x =0得x = 列表：这时f(x)min 2-+ 由f(x)min ≤0得m 02m 0⎧-+≤⎪⎨⎪<⎩，所以m ≤-e,综上，存在x>0使f(x)≤0成立，实数m 的取值范围是(-∞,-e ］∪(0,+∞)．…………8分(3)由题知H(x)=12x 2-(m+1)x+mlnx, ()()()x 1x m H x .x --'=因为对任意x ∈［1,m ］，()()()x 1x m H x 0,x--'=≤所以H(x)在［1,m ］内单调递减. 于是|H(x 1)-H(x 2)|≤H(1)-H(m)=12m 2-mlnm-12. 要使|H(x 1)-H(x 2)|<1恒成立，则需12m 2-mlnm-12<1成立， 即12m-lnm-32m<0. 记()13h m m lnm (1m e)22m=--<≤，则 ()221133111h m ()0,2m 2m 2m 33'=-+=-+> 所以函数h(m)=12m-lnm-32m 在(1,e ］上是单调增函数， 所以h(m)≤h(e)=e 2-1-32e=()()e 3e 12e -+<0，故命题成立. …………………13分。
山东省日照市高三数学12月校际联考试题 文(含解析)
山东省日照市2014届高三12月校际联考数学（文科）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.设集合{}21|2,|12A x x B x x ⎧⎫=<<=<⎨⎬⎩⎭，则A B =U （ ） (A){}|12x x << (B){}|12x x -<< (C)1|12x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭(D){}|11x x -<<2.若函数21,1()ln ,1x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩则(())f e （e 为自然对数的底数）=（ ）(A)0 (B)1 (C)2 (D)2ln(1)e +3.已知α为第二象限角，且3sin 5α=，则tan()πα+的值是（ ） (A) 43 (B)34 (C)43- (D)34-【答案】D 【解析】试题分析：因为α为第二象限角，所以234cos 1(),55α=--=-所以tan()tan ααπ+=sin 3.cos 4αα==- 考点：任意角的三角函数，诱导公式.4.已知,,a b c R ∈，给出下列命题： ①若a b >，则22ac bc >；②若ab ≠0，则2a bb a+≥；③若a b >，则22a b >； 其中真命题的个数为（ ）(A)3 (B)2 (C)1 (D)05.函数2sin(2)2y x π=-是（ ）(A)最小正周期为π的奇函数 (B) 最小正周期为π的偶函数 (C) 最小正周期为2π的奇函数 (D) 最小正周期为2π的偶函数6.设数列{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和，已知2431,7a a S ==，则5S =（ ） (A)152 (B)314 (C)334(D)172 【答案】B 【解析】试题分析：设此数列的公比为(0)q q >，由已知241a a =，得231,a =所以31a =，由37S =，知33327,a aaq q++=即2610,q q--=解得12q=，进而14a=，所以5514[1()]3121412S-==-.选B.考点：等比数列的通项公式、求和公式7.函数2()2xf x x=-的大致图象为（）8.已知函数231()log log2,()42013f x a x b x f=++=，则(2013)f=（）(A)0 (B)2 (C)－2 (D)49.已知某几何体的三视图如右图所示，其中，主（正）视图，左（侧）视图均是由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接直角三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )(A)2166π+ (B) 4136π+ (C)212π+ (D)2132π+考点：三视图，几何体的体积.10.设0a >，且1a ≠，则“函数()xf x a =”在R 上是增函数”是“函数()ag x x =”在R 上是增函数”的（ ）(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】D. 【解析】试题分析：函数()x f x a =在R 上是增函数，即1a >；但当2a =时,函数2()g x x =在R 上不是增函数. 函数()a g x x =在R 上是增函数时,可有13a =,此时函数()x f x a =在R 上不是增函数.选D. 考点：充要条件，指数函数、幂函数的性质.11.函数131()2xf x x =-的零点所在区间是（ ）12.已知ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O ．若OA AB =u u u r u u u r，且20OA AB AC ++=u u u r u u u r u u u r ，则CA CB u u u r u u u r g 等于（ ）(A) 3 (B) 23 (C)32(D)3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(1,2)a =，向量(,2)b x -，且()a a b ⊥-，则实数x 等于______________.14.111()1...()23f n n N n *=++++∈，计算234557(2)2,(2),(2)3,(2)22f f f f >>>>，推测当2n ≥时，有_____________．15.设实数,x y 满足约束条件220,840,0,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>> 的最大值为8，则a+b的最小值为_____________． 【答案】4 【解析】试题分析：满足约束条件的平面区域如图，由z abx y =+，得y abx z =-+，由0,0a b >>，知0ab -<，所以，当直线y abx z =-+经过点(1,4)A 时，z abx y =+取得最大值，这时48ab +=，即4ab =，所以a b +≥2244ab ==，当且仅当2a b ==时，上式等号成立.所以a b +的最小值为4. 考点：简单线性规划的应用16.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列五个命题 ①,//,//l l βαβα⊂若则 ②,//,l l βαβα⊥⊥若则 ③,,//l l βαβα⊥⊥若则 ④,//,//m l m l αβα=I 若则 ⑤,//,//,//m l m l l m αββ=I 若则其中真命题的序号是__________________________（把所有真命题的序号都填上）考点：平行关系，垂直关系.三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且角A 、B 、C 成等差教列．( I)若3b a ==，求边c 的值； ( II)设3sin sin 4A C =，求角A 的最大值．18.（本小题满分12分）已知函数()22,x xf x k k R -=+∈g. ( I)若函数()f x 为奇函数，求实数k 的值；( II)若对任意的[)0,x ∈+∞，都有()2xf x ->成立，求实数k 的取值范围．19.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，且AD= 2PA ，E 、F 、G 、H 分别是线段PA 、PD 、CD 、BC 的中点． (I)求证：BC ∥平面EFG ； (II)求证：DH ⊥平面AEG ．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥DH ，即AE ⊥DH ， ………………8分因为△ADG ≌△DCH ，所以∠HDC =∠DAG ，∠AGD +∠DAG =90°，所以∠AGD +∠HDC =90°，所以DH ⊥AG ，又因为AE ∩AG =A ，所以DH ⊥平面AEG . ………………12分考点：立体几何的平行关系、垂直关系.20.（本小题满分12分）已知数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，数列{}n a 的前n 项和n n S nb =． (I)求数列{}n a 的通项公式；(II)设1(23)n n n c a b =+, 求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）43n a n =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）41n n T n =+．21.（本小题满分13分）某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O ，半径为100 m ，并与北京路一边所在直线l 相切于点M.A 为上半圆弧上一点，过点A 作l 的垂线，垂足为B ．市园林局计划在△ABM 内进行绿化．设△ABM 的面积为S(单位：2m )，AON θ∠=(单位：弧度）． ( I)将S 表示为θ的函数；( II)当绿化面积S 最大时，试确定点A 的位置，并求最大面积．【答案】（Ⅰ）S 5000(sin sin cos )(0)θθθθπ∈＝＋，，． （Ⅱ）150m .【解析】试题分析：（Ⅰ）根据三角函数的定义，确定直角三角形两直角边长BM AOsin 100sin θθ＝＝， 即得到S 表示为θ的函数.（Ⅱ）通过“求导数，求驻点，研究区间导数值的正负，确定极值，最值”.“表解法”形象直观，易于理解.试题解析：（Ⅰ）如图，BM AOsin 100sin θθ＝＝，22.（本小题满分13分）已知函数()ln f x an x =+，其中实数a 为常数．(I)当a=-l 时，确定()f x 的单调区间：(II)若f (x)在区间(]0,e （e 为自然对数的底数）上的最大值为-3，求a 的值；(Ⅲ)当a=-1时，证明ln 1()2x f x x >+． 【答案】(Ⅰ) )(x f 在区间)1,0(上为增函数，在区间),1(+∞上为减函数.(Ⅱ)2e a =-. (Ⅲ) 见解析. 【解析】试题分析：(Ⅰ)通过求导数，)1,0(∈x 时， ,0)(>'x f ),1(+∞∈x 时，0)(<'x f ，单调函数的单调区间. (Ⅱ)遵循“求导数，求驻点，讨论区间导数值正负，确定端点函数值，比较大小”等步骤，得到a 的方程.注意分①0≥a ；②1[,0)e a ∈-；③1ea <-，等不同情况加以讨论.(Ⅲ) 由(Ⅰ)知，当1-=a 时，)(x f 有最大值，最大值为(1)1f =-，即1)(-≤x f ，所以1|)(|≥x f ， ………………………………10分。
2014届山东省日照一中高三下学期开学考试理科数学试卷(带解析)
绝密★启用前2014届山东省日照一中高三下学期开学考试理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：188分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格“并颁发”合格证书“.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，所有考试是否合格相互之间没有影响。
（1）假设甲、乙、丙3人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得“合格证书”的可能性大？（2）求这3人进行理论与实际操作两项考试后，恰有2人获得“合格证书”的概率； （3）用X 表示甲、乙、丙3人计算机考试获“合格证书”的人数，求X 的分布列和数学期望EX 。
2、定义在R 上的函数满足，且为偶函数，当时，有（ ）A ．B ．C ．D ．3、已知O 为坐标原点，双曲线的右焦点F ，以为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A 、B ，若，则双曲线的离心率为（ ）Ａ．2 B ．3 Ｃ．D ．4、定义域为R 的函数满足，当时，则当时，函数恒成立，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．5、已知是定义在上的奇函数，满足,当时,，则函数在区间上的零点个数是（ ）A ．3B ．5C ．7D ．96、已知A ，B ，C ，D 是函数一个周期内的图象上的四个点，如图所示，B 为轴上的点，C 为图像上的最低点，E 为该函数图像的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，在轴上的投影为，则的值为（ ）Ａ． B ．Ｃ． D ．7、将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大.当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法为（ ）A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种8、下列推理是归纳推理的是（ ）Ａ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA|＋|PB|＝2a ＞|AB|，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由，求出猜想出数列的前n 项和S n 的表达式Ｃ．由圆的面积，猜想出椭圆的面积D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇9、设向量，，且，则等于（ ）Ａ． B ． Ｃ． D ．10、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）Ａ． B ． Ｃ． D ．11、若复数实部与虚部相等，则的值等于（ ）A ．-1B ．3C ．-9D ．912、设全集，,,则集合B=（ ） Ａ．B ．Ｃ．D ．13、下列命题正确的个数是（ ） （1）命题“”的否定是“”；（2）函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件； （3）在上恒成立在上恒成立（4） “平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(理)试卷及解析
6.【答案】D
【解析】联立 ，且在第一象限，得
所求面积
（7）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单 位： ）的分组区间为 ， ， ， ， ，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，......，第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为
19.解：（I）
解得
（II）
（20）（本小题满分13分）
设函数 （ 为常数， 是自然对数的底数）.
（Ⅰ）当 时，求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若函数 在 内存在两个极值点，求 的取值范围.
20.解：（I）函数 的定义域为
由 可得 ，
所以 当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
所以， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
（A）1 （B）8（C）12 （D）18
7.【答案】C
【解析】第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4，
（8）已知函数 ， ，若 有两个不相等的实根，则实数 的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
8.【答案】B
【解析】画出 的图像，最低点是 ， 过原点和 时斜率最小为 ；斜率最大时 的斜率与 的斜率一致.
（A） （B） （C） （D）
10.【答案】A
【解析】
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
（11）执行右面的程序框图，若输入的 的值为1，则输出的 的值为.
11.【答案】3
【解析】根据判断条件 ，得
输入
第一次判断后循环，
第二次判断后循环，
2014年高考试题：理科数学(山东卷)_中小学教育网
2014年高考山东卷理科数学真题及参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1.已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为学科网共轭复数，则=+2）（bi a（A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+ 答案：D2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x 则=B A I (A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) 答案：C3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+， (C) ),2()210(+∞Y ， (D) )2[]210(∞+，，Y 答案：C4. 用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少学科网有一个实根”时要做的假设是 (A)方程02=++b ax x 没有实根 (B)方程02=++b ax x 至多有一个实根 (C)方程02=++b ax x 至多有两个实根 (D)方程02=++b ax x 恰好有两个实根 答案：A5.已知实数y x ,满足)10(<<<a a a yx，则下列关系式恒成立的是(A)111122+>+y x (B) )1ln()1ln(22+>+y x (C) y x sin sin > (D) 33y x > 答案：D6.直线x y 4=与曲线2x y =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（A ）22（B ）24（C ）2（D ）4 答案：D7.为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为舒张压/kPa（A ）6 （B ）8 （C ） 12（D ）18 答案：C8.已知函数()12+-=x x f ,()kx x g =.若方程()()x g xf =有两学科网个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（A ）），（210（B ）），（121（C ）），（21（D ）），（∞+2答案：B9.已知y x,满足的约束条件⎩⎨⎧≥≤0,3-y -2x 0,1-y -x 当目标函数0)b 0,by(a ax z >>+=在该约束条件下取得最小值52时，22a b +的最小值为（A ）5（B ）4（C ）5（D ）2 答案：B10.已知0b 0,a >>,椭圆1C 的方程为1x 2222=+b y a ，双曲线2C 的方程为1x 2222=-by a ，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为 （A ）02x =±y （B ）02=±y x （C ）02y x =±（D ）0y 2x =± 答案：A二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，学科网答案须填在题中横线上。
山东省日照市高三数学12月校际联考试题 文(含解析)
山东省日照市2014届高三12月校际联考数学（文科）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.设集合{}21|2,|12A x x B x x ⎧⎫=<<=<⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） (A){}|12x x << (B){}|12x x -<< (C)1|12x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭(D){}|11x x -<<2.若函数21,1()ln ,1x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩则(())f e （e 为自然对数的底数）=（ ）(A)0 (B)1 (C)2 (D)2ln(1)e +3.已知α为第二象限角，且3sin 5α=，则tan()πα+的值是（ ） (A) 43 (B)34 (C)43- (D)34-【答案】D 【解析】试题分析：因为α为第二象限角，所以4cos ,5α==-所以tan()tan ααπ+=sin 3.cos 4αα==- 考点：任意角的三角函数，诱导公式.4.已知,,a b c R ∈，给出下列命题：①若a b >，则22ac bc >；②若ab ≠0，则2a bb a+≥；③若a b >，则22a b >； 其中真命题的个数为（ ）(A)3 (B)2 (C)1 (D)05.函数2sin(2)2y x π=-是（ ）(A)最小正周期为π的奇函数 (B) 最小正周期为π的偶函数 (C) 最小正周期为2π的奇函数 (D) 最小正周期为2π的偶函数6.设数列{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和，已知2431,7a a S ==，则5S =（ ） (A)152 (B)314 (C)334(D)172 【答案】B 【解析】试题分析：设此数列的公比为(0)q q >，由已知241a a =，得231,a =所以31a =，由37S =，知33327,a a a q q++=即2610,q q --=解得12q =，进而14a =，所以 5514[1()]3121412S -==-.选B. 考点：等比数列的通项公式、求和公式7.函数2()2xf x x =-的大致图象为（ ）8.已知函数231()log log 2,()42013f x a x b x f =++=，则(2013)f =（ ） (A)0 (B)2 (C)－2 (D)49.已知某几何体的三视图如右图所示，其中，主（正）视图，左（侧）视图均是由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接直角三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )16+ (B)4136π+(C)132+ (D)2132π+考点：三视图，几何体的体积.10.设0a >，且1a ≠，则“函数()x f x a =”在R 上是增函数”是“函数()ag x x =”在R 上是增函数”的（ ）(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】D. 【解析】试题分析：函数()x f x a =在R 上是增函数，即1a >；但当2a =时,函数2()g x x =在R 上不是增函数. 函数()a g x x =在R 上是增函数时,可有13a =,此时函数()x f x a =在R 上不是增函数.选D. 考点：充要条件，指数函数、幂函数的性质.11.函数131()2x f x x =-的零点所在区间是（ ）12.已知ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O ．若OA AB =，且20OA AB AC ++=，则CAC B 等于（ ）(B) 32(D)3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(1,2)a =，向量(,2)b x -，且()a a b ⊥-，则实数x 等于______________.14.111()1...()23f n n N n *=++++∈，计算234557(2)2,(2),(2)3,(2)22f f f f >>>>，推测当2n ≥时，有_____________．15.设实数,x y 满足约束条件220,840,0,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>> 的最大值为8，则a+b的最小值为_____________． 【答案】4 【解析】试题分析：满足约束条件的平面区域如图，由z abx y =+，得y abx z =-+，由0,0a b >>，知0ab -<，所以，当直线y abx z =-+经过点(1,4)A 时，z abx y =+取得最大值，这时48ab +=，即4ab =，所以a b +≥4=，当且仅当2a b ==时，上式等号成立.所以a b +的最小值为4. 考点：简单线性规划的应用16.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列五个命题 ①,//,//l l βαβα⊂若则 ②,//,l l βαβα⊥⊥若则 ③,,//l l βαβα⊥⊥若则 ④,//,//m l m l αβα=若则⑤,//,//,//m l m l l m αββ=若则其中真命题的序号是__________________________（把所有真命题的序号都填上）考点：平行关系，垂直关系.三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且角A 、B 、C 成等差教列．( I)若3b a ==，求边c 的值； ( II)设3sin sin 4A C =，求角A 的最大值．18.（本小题满分12分）已知函数()22,xxf x k k R -=+∈. ( I)若函数()f x 为奇函数，求实数k 的值；( II)若对任意的[)0,x ∈+∞，都有()2x f x ->成立，求实数k 的取值范围．19.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，且AD= 2PA ，E 、F 、G 、H 分别是线段PA 、PD 、CD 、BC 的中点． (I)求证：BC ∥平面EFG ； (II)求证：DH ⊥平面AEG ．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥DH ，即AE ⊥DH ， ………………8分因为△ADG ≌△DCH ，所以∠HDC =∠DAG ，∠AGD +∠DAG =90°，所以∠AGD +∠HDC =90°，所以DH ⊥AG ，又因为AE ∩AG =A ，所以DH ⊥平面AEG . ………………12分考点：立体几何的平行关系、垂直关系.20.（本小题满分12分）已知数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，数列{}n a 的前n 项和n n S nb =． (I)求数列{}n a 的通项公式；(II)设1(23)n n n c a b =+, 求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）43n a n =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）41n n T n =+．21.（本小题满分13分）某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O ，半径为100 m ，并与北京路一边所在直线l 相切于点M.A 为上半圆弧上一点，过点A 作l 的垂线，垂足为B ．市园林局计划在△ABM 内进行绿化．设△ABM 的面积为S(单位：2m )，AON θ∠=(单位：弧度）．( I)将S 表示为θ的函数；( II)当绿化面积S 最大时，试确定点A 的位置，并求最大面积．【答案】（Ⅰ）S 5000(sin sin cos )(0)θθθθπ∈＝＋，，． （Ⅱ）150m .【解析】试题分析：（Ⅰ）根据三角函数的定义，确定直角三角形两直角边长BM AOsin 100sin θθ＝＝， 即得到S 表示为θ的函数.（Ⅱ）通过“求导数，求驻点，研究区间导数值的正负，确定极值，最值”.“表解法”形象直观，易于理解.试题解析：（Ⅰ）如图，BM AOsin 100sin θθ＝＝，22.（本小题满分13分）已知函数()ln f x an x =+，其中实数a 为常数．(I)当a=-l 时，确定()f x 的单调区间：(II)若f (x)在区间(]0,e （e 为自然对数的底数）上的最大值为-3，求a 的值；(Ⅲ)当a=-1时，证明ln 1()2x f x x >+． 【答案】(Ⅰ) )(x f 在区间)1,0(上为增函数，在区间),1(+∞上为减函数.(Ⅱ)2e a =-. (Ⅲ) 见解析. 【解析】试题分析：(Ⅰ)通过求导数，)1,0(∈x 时， ,0)(>'x f ),1(+∞∈x 时，0)(<'x f ，单调函数的单调区间. (Ⅱ)遵循“求导数，求驻点，讨论区间导数值正负，确定端点函数值，比较大小”等步骤，得到a 的方程.注意分①0≥a ；②.(Ⅲ) 由(Ⅰ)知，当1-=a 时，)(x f 有最大值，最大值为(1)1f =-，即1)(-≤x f ，所以1|)(|≥x f ， ………………………………10分。
专题31以立体几何中探索性问题为背景的解答题-2021年高考数学备考优生百日闯关系列(解析版)
【名师综述】利用空间向量解决探索性问题立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法．下面借“题”发挥，透视有关立体几何中的探索性问题的常见类型及其求解策略，希望读者面对立体几何中的探索性问题时能做到有的放矢，化解自如．1.以“平行、垂直、距离和角”为背景的存在判断型问题是近年来高考数学中创新型命题的一个显著特点，它以较高的新颖性、开放性、探索性和创造性深受命题者的青睐．此类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形等)是否存在或某一结论是否成立．“是否存在”的问题的命题形式有两种情况：如果存在，找出一个来；如果不存在，需要说明理由．这类问题常用“肯定顺推”的方法． 求解此类问题的难点在于：涉及的点具有运动性和不确定性．所以用传统的方法解决起来难度较大，若用空间向量方法来处理，通过待定系数法求解其存在性问题，则思路简单、解法固定、操作方便．解决与平行、垂直有关的存在性问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若导出与条件或实际情况相矛盾的结果，则说明假设不成立，即不存在．如本题把直二面角转化为这两个平面的法向量垂直，利用两法向量数量积为零，得参数p 的方程．即把与两平面垂直有关的存在性问题转化为方程有无解的问题．2.与“两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角”有关的存在性问题，常利用空间向量法解决，可以避开抽象、复杂地寻找角的过程，只要能够准确理解和熟练应用夹角公式，就可以把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．事实说明，空间向量法是证明立体几何中存在性问题的强有力的方法．【精选名校模拟】1.【成都石室中学2014届高三上期“一诊”模拟考试（一）（理）】(本小题满分12分)已知直三棱柱111C B A ABC -的三视图如图所示，且D 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：1A B ∥平面1ADC ； （Ⅱ）求二面角1C AD C --的余弦值；（Ⅲ）试问线段11A B 上是否存在点E ，使AE 与1DC 成60︒角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．2.【四川省绵阳市高2014届第二次诊断性考试数学（理）】（本题满分12分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD //BC ，∠ADC =90º，AE ⊥平面ABCD ，EF //CD ， BC =CD =AE =EF =12AD =1． （Ⅰ）求证：CE //平面ABF ； （Ⅱ）求证：BE ⊥AF ；（Ⅲ）在直线BC 上是否存在点M ，使二面角E -MD -A 的大小为6π？若存在，求出CM 的长；若不存在，请说明理由．试题解析：（I）证明：如图，作FG∥EA，AG∥EF，连结EG交AF于H，连结BH，BG，∵EF∥CD且EF=CD，∴AG∥CD，即点G在平面ABCD内．由AE⊥平面ABCD知AE⊥AG，∴四边形AEFG为正方形，故在直线BC 上存在点M ，且|CM |=|32(2)3-±|=33．………………………12分 法二、作AH DM ⊥，则3AH =，由等面积法得：233,33DM CM =∴=. 3.【四川省成都七中高2014届高三“一诊”模拟考试数学（理）】如图四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是平行四边形，⊥PG 平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上且GD AG 31=，GC BG ⊥，2==GC GB ，E 是BC 的中点，四面体BCG P -的体积为38. （1）求二面角P BC D --的正切值； （2）求直线DP 到平面PBG 所成角的正弦值；（3）在棱PC 上是否存在一点F ，使异面直线DF 与GC 所成的角为060，若存在，确定点F 的位置，若不存在，说明理由.试题解析：（1）由四面体BCG P -的体积为38.∴4PG =设二面角P BC D --的大小为θ2==GC GB E 为中点，∴GE BC ⊥ 同理PE BC ⊥∴PEG θ∠=∴tan 22θ=……………………………………………………3分4.【湖北省稳派教育2014届高三上学期强化训练（三）数学（理）试题】如图，正方形ABCD 所在平面与圆O 所在的平面相交于CD ，线段CD 为圆O 的弦，AE 垂直于圆O 所在的平面，垂足E 为圆O 上异于C 、D 的点，设正方形ABCD 的边长为a ，且a AE 21=.（1）求证：平面⊥ABCD 平面ADE ；（2）若异面直线AB 与CE 所成的角为θ，AC 与底面CDE 所成角为α，二面角E CD A --所成角为β ，求证βαθtan tan sin =.又)21,0,0(a EA =，)21,,23(a a CA -=，4222141||||,cos sin 2=⋅=⋅>=<=∴a a a CA EA α，由此得77tan =α，5.【2014安徽省六校教育研究会高三2月联考数学理】（本小题满分12分）（Ⅰ）求证:1A D ⊥平面BCED ;（Ⅱ）在线段BC 上是否存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60?若存在,求出PB 的长,若不存在,请说明理由.【答案】（Ⅱ）在线段BC 上存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60,此时52PB = 【解析】试题分析：（Ⅰ）二面角1A DE B --为直二面角,要证1A D ⊥平面BCED ；只要证1A D DE ⊥；设PB x =()03x ≤≤,则2x BH =,3PH x =,在Rt △1PA H 中,160PA H ∠=,所以112A H x = ,在Rt △1A DH 中,11A D =,122DH x =- ,由22211A D DH A H +=, 得222111222x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,解得52x =,满足03x ≤≤,符合题意 所以在线段BC 上存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60,此时52PB = ………………………12分解得54a =,即522PB a ==,满足023a ≤≤,符合题意,所以在线段BC 上存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60,此时52PB = . ………………………12分6.【2014年“皖西七校”高三年级联合考试】（本小题满分12分）如图1，已知O ⊙的直径4AB =，点C 、D 为O ⊙上两点，且=45CAB ∠，60DAB ∠=，F 为弧BC 的中点．将O ⊙沿直径AB 折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图2）． （Ⅰ）求证：//OF AC ；（Ⅱ）在弧BD 上是否存在点G ，使得//FG 平面ACD ？若存在，试指出点G 的位置；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求二面角C -AD -B 的正弦值.⊥于E，连CE．（Ⅲ）过O作OE AD⊥，平面ABC⊥平面ABD，故CO⊥平面ABD．因为CO AB则CEO ∠是二面角C -AD -B 的平面角，又60OAD ∠=，2OA =，故3OE =． 由CO ⊥平面ABD ，OE ⊂平面ABD ，得CEO ∆为直角三角形， 又2CO =，故7CE =，可得cos CEO ∠=37=217，故二面角C -AD -B 的正弦值为27.121210(3)03121cos 771n n |n ||n |θ⋅⨯+-⨯+⨯∴===⋅⋅，故二面角C -AD -B 的正弦值为27. 7.（山东省日照市2014届高三12月校际联考）（本小题满分12分）在四棱锥P-ABCD 中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，90,1,2ADC AB AD PD CD ∠=====ADC -900,AB=AD= PD=1.CD=2. (I)求证：BC ⊥平面PBD ：(II)设E 为侧棱PC 上异于端点的一点，PE PC λ=，试确定λ的值，使得二面角 E-BD-P 的大小为45．试题解析：（Ⅰ）证明：因为侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，所以PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥AD .又因为ADC ∠＝90，即AD ⊥CD ，以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,1)P ，所以(1,1,0),(1,1,0).DB BC ==- 所以0DB BC ⋅=，所以BC BD ⊥ 由PD ⊥底面ABCD ，可得PD BC ⊥, 又因为PDDB D =，所以BC ⊥平面PBD . ……5分8.【昌平区2013－2014学年第一学期高三年级期末质量抽测（理）】(本小题满分14分)在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，2PD CD BC AD ===,//,90AD BC BCD ∠=︒.(Ⅰ)求证：BC PC ⊥；(Ⅱ)求PA 与平面PBC 所成角的正弦值；(Ⅲ)线段PB 上是否存在点E ,使AE ⊥平面PBC ？说明理由. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）10Ⅲ) E 为PB 中点时，AE ⊥平面PBC(Ⅲ)（法一）当E 为线段PB 的中点时,AE ⊥平面PBC . 如图：分别取,PB PC 的中点,E F ,连结,,AE DF EF . 所以//EF BC ,且12EF BC =. 因为//,AD BC 且12AD BC =， 所以//,AD EF 且AD EF =. 所以四边形AEFD 是平行四边形.9.【海淀区2014届高三年级第一学期期末练习数学(理科)】（本小题共14分） 如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，AC BD O =,PAC ∆是边长为2的等边三角形，6PB PD ==,4AP AF =. （Ⅰ）求证：PO ⊥底面ABCD ；（Ⅱ）求直线CP 与平面BDF 所成角的大小；（Ⅲ）在线段PB 上是否存在一点M ，使得CM ∥平面BDF ？如果存在，求BMBP的值，如果不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）30；（Ⅲ）存在，BM BP =13【解析】试题分析：（Ⅰ）ACBD O =,所以O 为,AC BD 中点。
山东省日照市2014届高三12月校际联考数学(文)试卷(扫描版)2
文科数学参考答案及评分标准说明：本标准中的解答题只给出一种解法，考生若用其它方法解答，只要步骤合理，结果正确，准应参照本标准相应评分。
一、选择题：每小题5分，共60分.1-5 BCDCB 6-10 BCAAD 11-12 CD（1）解析：答案B.因为21{|2},{|1}{|11}2A x xB x x x x =<<=<=-<<，所以， A B ={|12}x x -<<. （2）解析：答案C.因为e>1，所以(e)ln e=1f =，所以2((e))(1)11 2.f f f ==+=（3）解析：答案：D.因为α为第二象限角，所以4cos ,5α==-所以tan()tan ααπ+=sin 3.cos 4αα==- （4）解析：答案：C .当0c =时，220ac bc ==，所以①为假命题；当a 与b 异号时，0a b <，0b a<，所以②为假命题；因为||0a b >≥，所以22||a b >，③为真命题. （5）解析：答案：B.因为π2sin(2)2cos 22y x x =-=，所以函数是最小正周期为π的偶函数.（6）解析：答案：B.设此数列的公比为(0)q q >，由已知241a a =，得231,a =所以31a =，由37S =，知33327,a a a q q++=即2610,q q --=解得12q =，进而14a =， 所以 5514[1()]3121412S -==-. （7）解析：答案：C.由函数2||()2x f x x =-为偶函数，排除答案B 与D ；又由(0)10f =-<，知选（C ）.（8）解析：答案：A.设()()2F x f x =-，则23111()log log F a b x x x=+=2(log a x -+ 3log )()b x F x =-，所以1(2013)()(42)22013F F =-=--=-， (2013)(2013+2=0.f F =）（9）解析：答案：A.由三视图可得该几何体的上部分是一个三 棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得61621112131)22(34213+=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=ππV . （10）解析：答案：D.函数()x f x a =在R 上是增函数，即1a >；但当2a =时,函数2()g x x =在R 上不是增函数. 函数()a g x x =在R 上是增函数时,可有13a =,此时函数()x f x a =在R 上不是增函数.(1,4)A 220x y -+=21-840x y --=4-12（11）解析：答案：C.若131()02x f x x =-=，则1312x x =，得1()8x x =，令1()()8x g x x =-，可得11111()0,()033222g g =-<=>，因此f (x )零点所在的区间是11(,)32. （12）解析：答案：D.因为20OA AB AC ++=，所以()()0OA AB OA AC +++=，所以0OB OC +=，O 为BC 的中点，故ABC ∆是直角三角形，角A 为直角.又||||AB OA =，故有AOB ∆为正三角形，||3AC =，||1AB =，CA 与CB 的夹角为30，由数量积公式可得选D.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（13）9；（14）2(2)2n n f +>；（15）4;（16）①②⑤. （13）解析：答案：9. 因为-a b (1,4)x =-，又()⊥-a a b ，所以()⋅-=a a b 180x -+=，解得9.x =（14）解析：答案：2(2).2n n f +>因为234456(2),(2),(2),222f f f >>>57(2)2f >，所以当2n ≥时，有2(2).2n n f +> （15）解析：答案：4.满足约束条件的平面区域如图，由z abx y =+，得y abx z =-+，由0,0a b >>，知0ab -<，所以，当直线y abxz =-+经过点(1,4)A时，z abx y =+取得最大值，这时48ab +=，即 4ab =，所以a b +≥4==，当且仅当 2a b ==时，上式等号成立.所以a b +的最小值为4. （16）解析：答案：①②⑤. 由面面平行的性质，不难判断①和②都为真命题；对于③，由αβ⊥及l β⊥，知//l α或l ⊂α；命题④中，由m αβ=且//l m ，得//l α或l ⊂α；对于⑤，如图，因为//l α，过l 的作平面γ和平面δ，且,a b ==γαδβ 所以，//l a ，//l b ，因此//a b ，又m αβ=， a ⊂α，所以//a m ，进而//l m . 三、解答题：本大题共6小题，共74分. （17）解析：（Ⅰ）因为A ，B ，C 成等差数列， 所以2B ＝A ＋C ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3. ………………3分 因为b ＝13，a ＝3，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，所以c 2－3c －4＝0.所以c ＝4或c ＝－1(舍去)． ………………6分（Ⅱ）因为A ＋C ＝23π， 所以sin A sin C ＝sin A sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝sin A ⎝⎛⎭⎫32cos A ＋12sin A ＝34sin 2A ＋11cos 2()22A -＝14＋12sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6.………………9分 m由sin A sin C ＝34，得sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6=1, 因为0＜A ＜2π3，所以－π6＜2A －π6＜7π6. 所以2A －π6＝π2，即A ＝π3. ………………12分（18）解析：（Ⅰ）因为x x k x f -⋅+=22)(是奇函数，所以()(),f x f x x -=-∈R ，即22(22),x x x x k k --+⋅=-+⋅所以02)1()1(2=⋅+++x k k ，对一切x ∈R 恒成立，所以.1-=k …………………………4分 （Ⅱ）因为[),,0+∞∈x 均有x x f ->2)(，即x x x k -->⋅+222成立，所以x k 221<-对0≥x 恒成立， ………………………………8分所以min 2)2(1x k <-. 因为x y 22=在[),,0+∞上单调递增，所以.1)2(min 2=x所以.0>k ………………………………12分（19）解：（Ⅰ）因为F E ,分别为,PA PD 中点，所以AD ∥EF ，因为BC ∥AD ,所以BC ∥EF ， ……2分因为BC ⊄平面,EFG EF ⊂平面EFG ， …4分 所以BC ∥平面EFG . ………………6分（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥DH ，即AE ⊥DH ， ………………8分因为△ADG ≌△DCH ，所以∠HDC =∠DAG ，∠AGD +∠DAG =90°，所以∠AGD +∠HDC =90°，所以DH ⊥AG ，又因为AE ∩AG =A ，所以DH ⊥平面AEG . ………………12分（20）解析：（Ⅰ）由已知，12)1(21-=-+=n n b n . …………2分所以n n S n -=22．从而111;a S ==当2n ≥时,2212[2(1)(1)]43n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，又11a =也适合上式,所以43n a n =-. ……………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）)141341(41)14)(34(1+--=+-=n n n n c n ， …………8分 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅+++=)141341()9151()511(41321n n c c c c T n n 14)1411(41+=+-=n n n ． …………12分 （21）解析：（Ⅰ）如图，BM ＝AO sin θ＝100sin θ， AB ＝MO ＋AO cos θ＝100＋100cos θ，θ∈(0，π)．……………………3分则S ＝12MB ·AB ＝12×100sin θ×(100＋100cos θ) ＝5000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)．……6分 （Ⅱ）S ′＝5000(2cos 2θ＋cos θ－1) ＝5000(2cos θ－1)(cos θ＋1)．令S ′＝0， 得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)， 北京路A N O l BM此时θ＝π3. …………8分 当θ所以，当θ＝π3时，S 取得最大值S max ＝37503m 2，此时AB ＝150m ，即点A 到北京路一边l 的距离为150m. …………13分(22)解：(Ⅰ)当时，,∴，又0x >,所以 当时， 在区间上为增函数，当时，，在区间上为减函数，即在区间上为增函数，在区间上为减函数. …………………4分(Ⅱ)∵，①若，∵0x >,则在区间(0,e]上恒成立， 在区间(0,e]上为增函数，max ()e ln e=e+1=-3f x a a =+，∴40e a =-<，舍去; 时，∵(0,e]x ∈，∴10,()0,ax f x '+≥∴≥在区间(0,e]上为增函数， max ()e ln e=e+1=-3f x a a =+，∴40ea =-<，舍去; 在区间上为增函数， ………………………9分(Ⅲ) 由(Ⅰ)知，当时，有最大值，最大值为(1)1f =-，即， 所以， ………………………………10分令，则， 当(0,e)x ∈时，()0g x '>，当(e,+)x ∈∞时，()0g x '<，所以当e x =时，12分 所以, 即ln 1|()|2x f x x >+. …………………………13分)1,0(∈x 1|)(|≥x f 2ln 1)(x x x g -=')(x g )(x g xax x f +='1)(21ln )(+=x x x g 1-=a x x x f ln )(+-=x x x f -='1)()(|)(|x g x f >,0)(>'x f )(x f )1,0(),1(+∞∈x 0)(<'x f )(x f ),1(+∞)(x f )1,0(),1(+∞21ln )(+=x x x g 0≥a ,0)(>'x f )(x f )(x f ,0)>x )(x f )1,0(a-1)(-≤x f。
山东省日照市数学高三上学期理数12月联考试卷
山东省日照市数学高三上学期理数12月联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·濮阳期末) 已知复数z= ，则|z|=（）A . 1B .C .D . 52. （2分）集合，则P与Q的关系是（）A . P＝QB .C .D .3. （2分）下列说法正确的是（）A . x≥3是x>5的充分不必要条件B . x≠±1是≠1的充要条件C . 若﹁p﹁q，则p是q的充分条件D . 一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形4. （2分） (2018高二下·双鸭山月考) 如下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色的（）A . 白色B . 黑色C . 白色可能性大D . 黑色可能性大5. （2分）已知函数f(x)是R上的奇函数.当时，(b为常数），则f(-1) 的值是（）A . 3B . -3C . -1D . 16. （2分）定义：F（x，y）=yx（x＞0，y＞0），已知数列{an}满足：an= （n∈N*），若对任意正整数n，都有an≥a k（k∈N*）成立，则ak的值为（）A .B . 2C .D .7. （2分）(2018·吉林模拟) 《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“ 李白街上走，提壶去买酒。
遇店加一倍，见花喝一斗,三遇店和花，喝光壶中酒。
借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的程序框图，若输出的值为0，则开始输入的值为（）A .B .C .D .8. （2分）(2019·金华模拟) 已知函数，下列说法正确的是（）A . 任意，函数均有两个不同的零点；B . 存在实数，使得方程有两个负数根；C . 若，则；D . 若实数，满足，则 .9. （2分）(2017·长春模拟) 球面上有A，B，C三点，球心O到平面ABC的距离是球半径的，且AB=2 ，AC⊥BC，则球O的表面积是（）A . 81πB . 9πC .D .10. （2分） (2017高一上·上海期中) 对于使﹣x2+2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做﹣x2+2x的上确界，若a，b∈R+ ，且a+b=1，则的上确界为（）A .B .C .D . ﹣411. （2分） (2018高二上·扶余月考) 已知命题p：存在实数使；命题q：对任意都有，若“ ”为假命题，则实数的取值范围为（）．A .B .C .D .12. （2分） (2018高一下·渭南期末) 已知单位向量满足，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一下·集宁期末) = ________。
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2014届山东省日照市高三12月校际联考理科数学试卷（带解析）一、选择题 1．设集合{}21|2,|12A x x B x x ⎧⎫=<<=<⎨⎬⎩⎭，则A B = （ ） (A){}|12x x << (B){}|12x x -<< (C)1|12x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭(D){}|11x x -<< 2．若函数21,1()ln ,1x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩则(())f e （e 为自然对数的底数）=（ ）(A)0 (B)1 (C)2 (D)2ln(1)e +3．已知α为第二象限角，且3sin 5α=，则tan()πα+的值是（ ） (A) 43 (B)34 (C)43- (D)34-4．设0a >且1a ≠，则“函数()xf x a =”在R 上是增函数”是“函数()ag x x =”“在(0,)+∞上是增函数”的（ ）(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 5．定积分420(16)x dx π-⎰等于（ ）(A)1283π (B)52π (C)643π(D)83π6．若函数cos y x x =-的图象向右平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） (A)6π (B)4π (C)23π (D)3π7．设数列{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和，已知2431,7a a S ⋅==，则5S =（ ） (A)152 (B)314 (C)334(D)172 8．已知,,a b c R ∈，给出下列命题： ①若a b >，则22ac bc >；②若ab ≠0，则2a bb a+≥；③若0,a b n N *>>∈，则n n a b >；④若log 0(0,1)a b a a <>≠，则a ，b 中至少有一个大于1．其中真命题的个数为（ ） (A)2 (B)3 (C)4 (D)19．已知某几何体的三视图如右图所示，其中，主（正）视图，左（侧）视图均是由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接直角三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )12+ (B) 4136π+16+ (D)2132π+ 10．若ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O ．且20OA AB AC OA AB ++==，则CA CB ⋅等于( )(A)3211．设函数[)()1,,1,f x n x n n n N =-∈+∈，则方程2()log f x x =的根有（ ） (A)1个 (B) 2个 (C)3个 (D)无数个二、填空题12．已知向量(1,2)a =，向量(,2)b x -，且()a a b ⊥-，则实数x 等于______________. 13．111()1...()23f n n N n *=++++∈，计算35(2),(4)2,(8),(16)322f f f f =>>>，7(32)2f >，推测当2n ≥时，有_____________． 14．设实数,x y 满足约束条件220,840,0,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最大值为8，则a+b 的最小值为_____________．15．若二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象和直线y x =无交点，现有下列结论： ①方程[()]f f x x =一定没有实数根；②若a 0＞，则不等式[()]f f x x >对一切实数x 都成立； ③若a 0＜，则必存在实数0x ，使00[()]f f x x >;④函数2()(0)g x ax bx c a =-+≠的图象与直线y x =-一定没有交点， 其中正确的结论是____________（写出所有正确结论的编号）．三、解答题16．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且角A 、B 、C 成等差教列． (I)若3b a ==，求边c 的值； (II)设sin sin t A C =，求t 的最大值． 17．已知函数()22,xxf x k k R -=+⋅∈. (I)若函数()f x 为奇函数，求实数k 的值；(II)若对任意的[)0,x ∈+∞，都有()2xf x ->成立，求实数k 的取值范围．18．在四棱锥P-ABCD 中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，90,1,2ADC AB AD PD CD ∠=====ADC-900,AB=AD=PD=1.CD=2.(I)求证：BC ⊥平面PBD ：(II)设E 为侧棱PC 上异于端点的一点，PE PC λ=，试确定λ的值，使得二面角E-BD-P 的大小为45．19．已知等差数列{}n a 满足：11(),1n n a a n N a *+>∈=，该数列的前三项分别加上l ，l ，3后顺次成为等比数列{}n b 的前三项． (I)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (II)设1212...()n n n a a a T n N b b b *=+++∈，若231()2n n n T c c Z n++-<∈恒成立，求c 的最小值．20．某建筑公司要在一块宽大的矩形地面（如图所示）上进行开发建设，阴影部分为一公共设施不能建设开发，且要求用栏栅隔开（栏栅要求在直线上），公共设施边界为曲线2()1(0)f x ax a =->的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ，切曲线于点P ，设(,())P t f t ．(I)将OMN ∆（O 为坐标原点）的面积S 表示成f 的函数S(t)；(II)若12t =，S(t)取得最小值，求此时a 的值及S(t)的最小值． 21．已知函数()ln r x x =，函数11()(1)(0),()()()h x a f x r x h x a x=->=-．(I)试求f(x)的单调区间。
(II)若f(x)在区间[)1,+∞上是单调递增函数，试求实数a 的取值范围： (III)设数列{}n a 是公差为1．首项为l 的等差数列，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：当1a =时，112()1(,2)n n S f n S n N n n*--<-<-∈≥.2014届山东省日照市高三12月校际联考理科数学试卷（带解析）参考答案1．B 【解析】试题分析：因为21{|2},{|1}{|11}2A x xB x x x x =<<=<=-<<， 所以，A B ={|12}x x -<<.选B. 考点：集合的运算，简单不等式解法 2．C 【解析】试题分析：因为e>1，所以(e)ln e=1f =，所以2((e))(1)11 2.f f f ==+=选C. 考点：分段函数 3．D 【解析】试题分析：因为α为第二象限角，所以4cos ,5α==-所以t a n ()t aααπ+=s i n 3.c o s 4αα==-考点：任意角的三角函数，诱导公式.4．A 【解析】试题分析：由“函数()x f x a =”在R 上是增函数可知，1a >，所以，函数()ag x x =在(0,)+∞上是增函数；反之，函数()ag x x =在(0,)+∞上是增函数可知，0a >，函数()xf x a =在R 上不一定是增函数，即“函数()xf x a =”在R 上是增函数”是“函数()ag x x =”“在(0,)+∞上是增函数”的充分不必要条件，选A.考点：充要条件，指数函数、幂函数的性质. 5．A 【解析】 试题分析：423400164128(16)(16)|64333x dx x x πππππ-=-=-=⎰，故选A. 考点：定积分基本定理6．D 【解析】试题分析：函数cos y x x =-的图象向右平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，说明得到的是一个偶函数.而cos 2sin()6y x x x π=-=-的图象向右平移(0)m m >个单位长度后，得到函数2s i n (),6y x m π=--所以,,62m k k z πππ--=+∈即2,3m n n z ππ=-∈，m 的最小值是3π，选D. 考点：三角函数辅助角公式，三角函数图像的平移，诱导公式.7．B 【解析】试题分析：设此数列的公比为(0)q q >，由已知241a a =，得231,a =所以31a =，由37S =，知33327,a a a q q ++=即2610,q q --=解得12q =，进而14a =， 所以 5514[1()]3121412S -==-.选B. 考点：等比数列的通项公式、求和公式 8．A 【解析】试题分析：当0c =时，220ac bc ==，所以①为假命题；当a 与b 异号时，0ab <，0b a<，所以②为假命题；因为0,a b n N *>>∈，所以n na b >，③为真命题. ④若l o g 0(0,1a b a a <>≠，则有可能1,01a b ><<或1,01b a ><<，即a ，b 中至少有一个大于1．是真命题，故选A.考点：不等式及不等关系，不等式的性质，对数的性质. 9．C 【解析】试题分析：由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得61621112131)22(34213+=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=ππV .选C.考点：三视图，几何体的体积. 10．D 【解析】试题分析：因为20OA AB AC ++=，所以()()0O A A BO A A C +++= ，所以0O B O C +=，O 为BC 的中点，故ABC ∆是直角三角形，角A 为直角.又||||=，故有AOB ∆为正三角形，||AC = ||1AB = ，CA 与CB的夹角为30 ，由数量积公式可得选D.考点：平面向量的线性运算，数量积. 11．C 【解析】试题分析：由题意在同一个坐标系中作出函数[)()1,,1,f x n x n n n N =-∈+∈和2log y x =的图象（如图），可知两函数的图形仅有A 、B 、C 三个公共点，故方程2()log f x x =有3个根，选C.考点：函数的零点，对数函数的图象和性质. 12．9 【解析】试题分析：因为-a b (1,4)x =-，又()⊥-a a b ， 所以()⋅-=a a b 180x -+=，解得9.x = 考点：平面向量的坐标运算，向量垂直的条件. 13．2(2)2n n f +> 【解析】试题分析：因为234456(2),(2),(2),222f f f >>>57(2)2f >， 所以当2n ≥时，有2(2).2nn f +>考点：归纳推理 14．4 【解析】试题分析：满足约束条件的平面区域如图，由z abx y =+，得y abx z =-+，由0,0a b >>，知0ab -<，所以，当直线y abx z =-+经过点(1,4)A 时，z abx y =+取得最大值，这时48ab +=，即4ab =，所以a b +≥4==，当且仅当2a b ==时，上式等号成立.所以a b +的最小值为4. 考点：简单线性规划的应用 15．①②④ 【解析】试题分析：因为函数f x （）的图象与直线y x =没有交点，所以f x x a 0（）>（＞）或f x x a 0（）＜（＜）恒成立． 因为f [f x ]f x x （）＞（）＞或f[f x ]f x x （）＜（）＜恒成立，所以f[f x ]x =（）没有实数根，故①正确；若a 0＞，则不等式f [f x ]f x x （）＞（）＞对一切实数x 都成立，故②正确； 若a 0＜，则不等式f[f x ]x （）＜对一切实数x 都成立，所以不存在实数0x ，使00[()]f f x x >，故③错误；由函数g x f x =-（）（），与f x （）的图象关于y 轴对称，所以g x （）和直线y x =-也一定没有交点．故④正确，答案为①②④. 考点：二次函数的图象和性质 16．（Ⅰ）4c =.（Ⅱ）34. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由角A B C 、、成等差数列，及A B C ++=π，首先得到3B =π.进一步应用余弦定理即得所求. （Ⅱ）根据23A C +=π，可化简得到11sin(2).426t A π=+- (1,4)A 220x y -+=21-840x y --=4-12根据72666A -<-<πππ,即可得到3A =π时，t 有最大值34.试题解析：（Ⅰ）因为角A B C 、、成等差数列，所以2B A C =+，因为A B C ++=π，所以3B =π. 2分因为b =3a =，2222cos b a c ac B =+-,所以2340c c --=.所以4c =或1c =-(舍去)． 6分 （Ⅱ）因为23A C +=π，所以21sin sin()sin sin )32t A A A A A =-=+π11cos211()sin(2).22426A A A -=+=+-π 9分 因为203A <<π，所以72666A -<-<πππ,所以当262A -=ππ，即3A =π时，t 有最大值34. 12分考点：等差数列，和差倍半的三角函数，，三角函数的性质，余弦定理的应用. 17．（Ⅰ）1k =-. （Ⅱ）0k >. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据()22,xxf x k k R -=+⋅∈是奇函数，()(),R f x f x x -=-∈，得到恒等式2(1)(1)20x k k +++⋅=对一切R x ∈恒成立，不难得到1k =-. （Ⅱ）由已知得到212x k -<对0x ≥恒成立，从而只需2min 1(2)x k -<,问题转化成求22x y =在[)0,+∞上的最小值，利用函数的单调性易得2min (2)1x =. 试题解析：（Ⅰ）因为()22,xxf x k k R -=+⋅∈是奇函数，所以()(),R f x f x x -=-∈，2分即22(22),x x x x k k --+⋅=-+⋅所以2(1)(1)20x k k +++⋅=对一切R x ∈恒成立， 所以1k =-. 6分 （Ⅱ）因为[)0,x ∈+∞，均有()2,x f x ->即222x x x k --+⋅>成立， 所以212x k -<对0x ≥恒成立， 8分 所以2min 1(2)x k -<,因为22x y =在[)0,+∞上单调递增，所以2min (2)1x =，所以0k >. 12分考点：函数的奇偶性，函数的单调性、最值.18．（Ⅰ）证明：见解析；（Ⅱ）1=λ.【解析】 试题分析：（Ⅰ）根据已有垂直关系，以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,1)P ，从而(1,1,0),(1,1,0).DB BC ==- 计算0DB BC ⋅=，得到BC BD ⊥， 由PD ⊥底面ABCD ，得到PD BC ⊥,BC ⊥平面PBD . （Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PBD 的一个法向量为(1,1,0)BC =- ，通过假设平面EBD 的法向量为(,,)a b c =n ，建立方程组21,1,,1⎛⎫=- ⎪-⎝⎭λλn 根据cos||4||||n BCn BC π⋅=⋅，建立λ方程，得解.试题解析：（Ⅰ）证明：因为侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，所以PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥AD .又因为ADC ∠＝90 ，即AD ⊥CD ，以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,1)P ，所以(1,1,0),(1,1,0).DB BC ==-所以0DB BC ⋅=，所以BC BD ⊥由PD ⊥底面ABCD ，可得PD BC ⊥,又因为PD DB D = ，所以BC ⊥平面PBD . 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PBD 的一个法向量为(1,1,0)BC =- ，且(0,0,1)P ，(0,2,0)C ，所以(0,2,1)PC =- ，又PE PC = λ，所以(0,2,1)E -λλ，(0,2,1)DE =- λλ. 7分设平面EBD 的法向量为(,,)a b c =n ，因为(1,1,0)DB =，由0DB = n ，0DE =n ， 得02(1)0a b b c +=⎧⎨+-=⎩λλ，令1a =-，则可得平面EBD 的一个法向量为21,1,,1⎛⎫=- ⎪-⎝⎭λλn 所以cos ||4||||n BC n BC π⋅=⋅， 10分解得1=λ或1=λ，又由题意知()0,1∈λ，故1=λ. 12分 考点：直线与平面垂直，二面角的计算，空间向量的应用. 19．（Ⅰ）21n a n =-(*n ∈N )，2n n b =(*n ∈N )． （Ⅱ）使2+312n n n T c n+-<()c ∈Z 恒成立的c 的最小值为3. 【解析】试题分析：（Ⅰ）设d q 、分别为数列{}n a 的公差、数列{}n b 的公比． 由题意知，建立d q 、的方程组即得解.（Ⅱ）利用“错位相减法”求得211211212321331222212n n n n n n n n T ----+=+-=--=--, 利用“放缩法”得2+311332n nn T n n+-=-<. 从而得到使2+312n n n T c n+-<()c ∈Z 恒成立的c 的最小值为3.试题解析：（Ⅰ）设d q 、分别为数列{}n a 的公差、数列{}n b 的公比． 由题意知，11a =，231,12a d a d =+=+，分别加上1,1,3得2,2,2d d ++4,2(2)2(42),2d d d +=+=±所以又1n n a a +>，所以0d >，所以2d =， 所以21n a n =-(*n ∈N )，由此可得12b =24b =，2q =，所以2n n b =(*n ∈N )． 6分 （Ⅱ）12231213521,2222n n n n a a a n T b b b -=+++=++++ ① ∴2341113521.22222n n n T +-=++++ ② 由①－②得231111111121.2222222n n n n T -+-=+++++-∴1211211212321331222212n n n n n n n n n T -----+=+-=--=--, 10分 ∴2+311332n nn T n n +-=-<. ∴使2+312n n n T c n+-<()c ∈Z 恒成立的c 的最小值为3.12分考点：等差数列、等比数列，“错位相减法”，“放缩法”.20．（Ⅰ）22(1)()4at S t at +=；（Ⅱ）41,32a t ==时,2min41(1)1234()()4123432S t S +⋅===⋅⋅. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，直线MN 的斜率为2()1(0)f x ax a =->在(,())P t f t 的导函数值2at -，从而得到直线MN 的方程为2(1)2()y at at x t --=--；进一步通过确定纵、横截距，计算三角形的面积.（Ⅱ）应用导数研究函数的最值，遵循“求导数，求驻点，讨论导函数的正负，确定最值”. 注意到本题驻点唯一，其必是“最值点”.试题解析：Ⅰ）2y ax '=-，直线MN 的斜率为2at -，∴直线MN 的方程为2(1)2()y at at x t --=--令0,y =得22221121222at at at at x t at at at --++=+== 21(,0)2at M at+∴ 3分令0x =,得2222121,(0,1)y at at at N at =-+=+∴+,MON ∴∆的面积222211(1)()(1)224at at S t at at at++=⋅+=, 6分（Ⅱ）2422222321(1)(31)()44a t at at at S t at at +-+-'==,因为0,0a t >>,由()0S t '=,得2310,at t -==得, 9分当2310,at t ->>即时, ()0S t '>,当2310,0at t -<<<即时, ()0S t '<,()t S t ∴=当有最小值. 已知在12t =处, ()S t 取得最小值,14,23a =∴=，故当41,32a t ==时,2min 41(1)1234()()23432S t S +⋅===⋅⋅ 13分 考点：生活中的优化问题举例，导数的几何意义，直线方程，应用导数研究函数的最值. 21．（Ⅰ）()f x 的单调递增区间是1(,)a+∞；()f x 的单调递减区间是1(0,)a； （Ⅱ）1a ≥.（Ⅲ）见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ） 利用导数值非负，得()f x 的单调递增区间是1(,)a+∞；利用导数值非正，得到()f x 的单调递减区间是1(0,)a；（Ⅱ）利用()f x 在[1,)x ∈+∞是单调递增函数，则'()0f x ≥恒成立，只需1a x≥恒成立，转化成max 1()a x≥，利用[1,)x ∈+∞，得到1a ≥.（Ⅲ）依题意不难得到n a n =，n S =1+12++1n，根据1a =时， ()f x =1xx-+ln x 在[1,)x ∈+∞上为增函数，可得ln x >11x -，从而111ln 111x x xx x+>-=++; 构造函数()1ln g x x x =--，利用“导数法”得到()(1)0g x g >=, 从而不等式111ln 1x x x x+<<+成立. 应用“累加法”证得不等式.本题解答思路比较明确，考查方法较多，是一道相当典型的题目.试题解析：（Ⅰ）()f x =11ln (1)x a x--，所以，'21()ax f x ax -=,因为0a >，0x >，所以20ax >，令10ax ->，1x a>，所以()f x 的单调递增区间是1(,)a +∞；()f x 的单调递减区间是1(0,)a；4分 （Ⅱ）若()f x 在[1,)x ∈+∞是单调递增函数，则'()0f x ≥恒成立，即1a x≥恒成立 即max 1()a x ≥，因为[1,)x ∈+∞，所以11,x≤故1a ≥. .7分（Ⅲ）设数列{}n a 是公差为1首项为1的等差数列，所以n a n =，n S =1+12++1n，当1a =时，由（Ⅱ）知：()f x =1xx-+ln x 在[1,)x ∈+∞上为增函数，1()f n n -=ln n -1，当1x >时，()f x >(1)f ，所以1x x -+ln x 0>，即ln x >11x- 所以111ln111x x x x x+>-=++; 令()1ln g x x x =--，则有'1()1g x x=-，当(1,)x ∈+∞，有'()0g x > 则()(1)0g x g >=,即ln 1x x <-,所以(1,)x ∈+∞时,111ln 1x x x x x++<-= 所以不等式111ln 1x x x x+<<+成立. 令1,2,,1,(x n n *=-∈ N 且2)n ≥时， 将所得各不等式相加，得1112311ln ln ln 1,2312121n n n n +++<+++<+++-- 即11111ln 1.2321n n n +++<<+++- 112()1n n S f n S n--<-<-（*n ∈N 且2n ≥）． 13分 考点：应用导数研究函数的单调性，等差数列的通项公式，“累加法”.。