河北省石家庄市2018届高三数学毕业班9月模拟考试试题文
河北省石家庄市2018届高三9月摸底考试文数试题 含解析
注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.本试卷满分150分，考试时间为120分钟；考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.若集合{}2log 12＜x x P ≤=,{}3,2,1=Q ，则＝Q P ⋂A.{}2,1B.{}1C.{}3,2D.{}3,2,1 【答案】C 【解析】试题分析：{}{}21log 2|24P x x x x =≤=≤<＜,所以{}2,3P Q =，故选C.考点：1.对数函数的性质；2.集合的运算. 2.复数iiz +-=12在复平面上对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D考点： 1.复数的运算；2.复数相关的概念.3.设R a ∈,则“4=a 是“直线038:1=-+y ax l 与直线02:2=-+a ay x l 平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A考点：1.两条直线的位置关系；2.充分条件与必要条件. 4.下列函数中为偶函数又在),0(+∞上是增函数的是A.xy )21(= B.2y x = C.x y ln = D.x y -=2【答案】B 【解析】试题分析：由函数的奇偶性定义可知，选项C,D 为非奇非偶函数，排除C 、D ，选项A 中，1()2xy =在区间(0,)+∞上是减函数，故选B. 考点：函数的奇偶性与单调性.5.执行右图的程序框图，如果输入3=a ，那么输出的n 的值为A.4B.3C.2D.1 【答案】A考点：程序框图. 6. 将函数)62sin(π+=x y 的图像向右平移)0(＞ϕϕ个单位，所得函数图像关于y 轴对称，则ϕ的最小值为 A.32π B.3π C.65π D.6π 【答案】B 【解析】试题分析：函数)62sin(π+=x y 的图像向右平移)0(＞ϕϕ个单位得到的函数解析式sin (2)sin(22)66y x x ππϕϕ⎡⎤=-+=-+⎢⎥⎣⎦，因为它的图象关于y 轴对称，所以262k ππϕπ-+=+，即()26k k Z ππϕ=--∈，所以当1k =-时，ϕ取得最小值为3π. 考点：1.图象的平移变换；2.三角函数的图象与性质.7. 已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≤+03045y x y x y x ，则下列目标函数中，在点)1,4(处取得最大值的是A.y x z -=51 B.y x z +-=3 C.15z x y =-- D.y x z -=3 【答案】D 【解析】试题分析：在直角坐标系内作出可行域如下图所示，由线性规划知识可知，目标函数15z x y =-与3z x y =-+均是在点(5,1)A --处取得最大值，目标函数15z x y =--在点(1,4)C 处取得最大值，目标函数y x z -=3在点(4,1)B 处取得最大值，故选D.考点：线性规划.8. 若函数123)(23++-=x x a x x f 在区间)3,21(上单调递减，则实数a 的取值范围为 A.)310,25( B.),310(+∞ C.),310[+∞ D.),2[+∞ 【答案】C考点：导数与函数的单调性.9. 在ABC ∆中，︒=∠==120,1,2BAC AC AB ,AH 为ABC ∆的高线，则=·A.721B.71C.73D.74【答案】C 【解析】试题分析：在三角形ABC 中，由余弦定理得2222cos1207BC AB AC AB AC =+-⋅︒=，即BC ，所以11sin12022ABC S AB AC BC AH ∆=⋅︒=⋅，所以sin1207AB AC AH BC ⋅︒==，由向量数量积的几何意义得 223·7AB AH AH ⎛=== ⎝⎭，故选C.B考点：1.正弦定理与余弦定理；2.向量的数量积.10. 某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为A.12)2210(++π B.12)211(++π C.12)2211(++πD.613π【答案】B考点：1.三视图；2.旋转体的表面积与体积.【名师点睛】本题考查三视图及旋转体的表面积与体积，属中档题；三视图是高考的必考内容，多以选择题为主，解题的关键是由三视图还原直观图，要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图.11. 已知D C B A ,,,是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，⊥AD 平面ABC ，22==AB AD ,则该球的表面积为A.316π B.324π C.332π D.348π【答案】A考点：1.球的切接问题；2.球的表面积与体积.【名师点睛】本题考查球的切接问题、球的表面积与体积公式，属中档题；与球有关的组合体通常是作出它的轴截面解题，或者通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题转化为平面问题进行求解.12. 已知21,F F 分别为双曲线)0,0(1:2222＞＞b a by a x C =-的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于B A ,两点，若13:12:5::22=AF BF AB ，则双曲线的离心率为A.13B.41C.15D.3 【答案】B 【解析】试题分析：因为22::5:12:13AB BF AF =，所以可设225,12,13,(0)AB t BF t AF t t ===>，由22222AB BF AF +=可知2AB BF ⊥，由双曲线定义有，122BF BF a -=，212AF AF a -=，两式相加得12214BF BF AF AF a -+-=，即224AB AF BF a +-=.所以46a t =，32a t =，所以12213310AF AF a t t t =-=-=，所以1115BF AB AF t =+=，由勾股定理得22222222124(1215)9(45)941c BF BF t t t t =+=+=⨯+=⨯，所以c =，所以双曲线的离心率232c e a t ===，故选B.考点：1.双曲线的定义、标准方程与几何性质；2.直线与双曲线的位置关系.【名师点睛】本题考查双曲线的定义、标准方程与几何性质、直线与双曲线的位置关系；属中档题；双曲线的定义在解题中有重要的作用，如本题中就利用定义列出两个等式，由这两个等式解方程组得到相应的比例关系，就可求双曲线的离心率.第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：（本大题共4各小题，每小题5分，共20分） 13. 为正方形ABCD 内一点，则AEB ∠为钝角的概率是_______. 【答案】考点：几何概型.14. 设向量),4(m a =，)2,1(-=b ，且b a ⊥，则=+b a 2________.【答案】考点：1.向量的数量积与垂直的关系；2.向量的运算.15. 正项等比数列{}n a 满足：1232a a a +=，若存在n m a a ,，使得2164·a a a n m =，则nm 91+的最小值为______. 【答案】2 【解析】试题分析：2321111222a a a a q a q a q =+⇔=+⇔=或1q =-，又0n a >，所以2q =，2222111·642648m n m n a a a a a m n +-=⇔⨯=⇔+=，所以1919191(10)(106)2888m n n m m n m n m n +⎛⎫+=+⋅=++≥⨯+= ⎪⎝⎭，当且仅当9n m m n =，即2,6m n ==时等号成立，所以nm 91+的最小值为2. 考点：1.等比数列的定义与性质；2.基本不等式.【名师点睛】本题考查等比数列的定义与性质、基本不等式，属中档题；利用基本不等式求最值时，应明确:1.和为定值，积有最大值，但要注意两数均为正数且能取到等号；2.积为定值和有最小值，直接利用不等式求解，但要注意不等式成立的条件.16. 已知函数123)635sin()(-++=x x x x f ππ，则 =++++)20162015(...)20167()20165()20163()20161(f f f f f ________. 【答案】1512 【解析】考点：1.三角函数与反比例函数的图象与性质；2.函数对称性的应用；3.倒序相加法. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质及倒序相加法，属中档题；三角函数的图象与性质与倒序相加法是高考的两个重要知识点，但将两者结合在一起，利用三角函数的对称性及倒序相加法的数学思想命题，立意新颖，是本题的亮点.三、解答题（本大题共6小题，满分70分。
河北省石家庄市2018届高三毕业班9月模拟考试数学(文)试题及答案解析
河北省石家庄市2018届高三毕业班9月模拟考试数学（文）试题 第I 卷(选择题共60分)一、选择题:（共12题.每小题5分.共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题 1.复数i (-2+i )=A. 1+2iB.1-2iC.-1十2iD. -1-2i2.若集合{}{}220,1x x x B x x -<=≤，则AB=.[1,0)A - .[1,2)B - .(0,1]C .[1,2)B3.椭圆若集合22189x y +=的离心为1.2A 1.5B 1.3C 1.4D 4.某校一年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为140的样本，则此样本中男生人数为A.80B. 120C. 160D. 2405.为美化环境.从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中.余下的2种颜色的花种在另一个花坛中.则红色和紫色的花种在同一花坛的概率是1.10A 1.2B 1.3C 5.6D 6.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是一个几何体的三视图.则该几何体的体积为.3A 11.3B .7C 23.3D 7.已知实教x 、y 满足约束条件2002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2x +y 的最大值是A. 6B.3C.2D.88.执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1.则输出的k 值为A. 1B. 2C. 3D. 49.已知3log ,0(),0xx x f x a b x ⎧>=⎨+≤⎩，且(2)5,(1)3f f -=-=，则((3))f f -=J(I(-3))-A. -2B. 2C. 3D. -310.设平行四边形ABCD ，12,8AB AD ==.若点M 、N 满足3,2BM MC DN NC ==，则AM NM =A. 20B. 15C. 36D. 611.双曲线2221(0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作倾斜角为30︒的直线与y 轴和双曲线右支分别交于A 、B 两点，若点A 平分F 1B ，则该双曲线的离心率是B .2CD 12.三梭锥P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，且AB=BC=CA=PC=2，则该三棱锥的外接球的表 面积是.3A π .4B π 16.3C π 28.3D π第II 卷（非选择题共90分)二、填空题:（本题共4小题.每小题5分.共20分)13.已知向量(1,2),(,1)a b m =-=.若向量a 与b 垂直，则_____m =14.已知a 、b 、c 是△ABC 中角A 、B 、C 所对的边，若满足等式(a +b -c )(a +b +c )=ab ，则角C的大小为_________15.首项为正数的等差数列{}n a 中，3475a a =，当其前n 项和S n 取最大值时，n 的值为______ 16.当直线y kx =与曲线ln(1)2x y ex +=--有3个公共点时，实数k 的取值范围是________。
石家庄市行唐县三中2018届高三数学毕业班质量检测试题 理
河北省石家庄市行唐县第三中学2018届毕业班质量检测数学试题（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中,只有一项是渡河题目要求的.1．设全集U={x∈N*｜x≤4｝,集合A={1,4｝，B={2，4｝,则∁U（A∩B）=（）A．｛1，2,3｝B．{1，2，4} C．{1，3，4｝D．｛2,3,4}2．设z=1+i（i是虚数单位)，则﹣=（）A．i B．2﹣i C．1﹣i D．03．在△ABC中,角A，B,C所对的边分别为a，b，c，若=，则cosB=( )A．﹣ B． C．﹣D．4．函数f(x）=e x cosx在点（0，f（0)）处的切线方程是（）A．x+y+1=0 B．x+y﹣1=0 C．x﹣y+1=0 D．x﹣y﹣1=0 5．已知函数f（x）=(）x﹣cosx，则f（x)在[0，2π］上的零点个数为（)A．1 B．2 C．3 D．46．按如下程序框图,若输出结果为273，则判断框内?处应补充的条件为（）A．i＞7 B．i≥7 C．i＞9 D．i≥97．设双曲线+=1的一条渐近线为y=﹣2x,且一个焦点与抛物线y=x2的焦点相同，则此双曲线的方程为( ）A．x2﹣5y2=1 B．5y2﹣x2=1 C．5x2﹣y2=1 D．y2﹣5x2=18．正项等比数列{a n}中的a1，a4031是函数f（x)=x3﹣4x2+6x﹣3的极值点，则=（）A．1 B．2 C．D．﹣19．如图是一个四面体的三视图，这个三视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线,则该四面体的体积为( ）A．B． C． D．210．已知函数f（x）=x+,g（x）=2x+a,若∀x1∈[,1]，∃x2∈［2，3］,使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是( ）A．a≤1 B．a≥1 C．a≤2 D．a≥211．已知椭圆+=1(a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1,F2，过F2的直线与椭圆交于A、B两点，若△F1AB 是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则离心率为（）A．B．2﹣C．﹣2 D．﹣12．已知函数f（x）=，若关于x的不等式［f（x)］2+af（x）﹣b2＜0恰有1个整数解,则实数a的最大值是（）A．2 B．3 C．5 D．8二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分。
河北省2018届高三上学期9月联考教学质量监测(数学理)
河北省2018届高三上学期9月联考教学质量监测数学（理）试卷说明： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间120分钟卷Ⅰ(选择题 共60分)一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分。
在每小题给出的四个选项中，有且仅有一个正确的）1、已知复数121,1z i z i =-=+，则12z z i等于 .A 2i .B 2i - .C 2i + .D 2i -+2、设P 和Q 是两个集合，定义集合Q P -={}Q x P x x ∉∈且,|，如果{}1log 2<=x x P ，{}12<-=x x Q ,那么Q P -等于{}{}{}{}32211010<≤<≤<<≤<x x D.x x C.x x B.x x A. 3、下列命题是真命题的是.A 若sin cos x y =，则2x y π+=.B 1,20x x R -∀∈> .C 若向量,//+=0a b a b a b满足，则 .D 若x y <,则 22x y <4、 已知向量为单位向量，且21-=⋅，向量与+的最小值为...A B C D 131245、若函数)12(+=x f y 是偶函数，则函数)(x f y =的图象的对称轴方程是2211-==-== D. x C. x B. xA. x 6、设等比数列{}n a 的公比为q ，则“10<<q ”是“{}n a 是递减数列”的.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件7、已知函数x x g x x f lg )(,)(2==，若有)()(b g a f =，则b 的取值范围是.A [0，＋∞） .B （0，＋∞） .C [1，＋∞） .D （1，＋∞） 8、如图，在扇形OAB 中，︒=∠60AOB ，C 为弧．AB 上且与B A ,不重．．合．的一个动点，且OB y OA x OC +=，若(0)u x y λλ=+>存在最大值，则λ的取值范围为.A )3,1( .B )3,31( .C )1,21( .D )2,21(9、定义行列式运算1234a a a a =3241a a a a -．将函数sin 2()cos 2x f x x=6π个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是 .A ,04π⎛⎫⎪⎝⎭ .B ,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭ .C ,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭ .D ,012π⎛⎫⎪⎝⎭10、已知数列{}n a 满足：*)(2,111N n a a a a n n n ∈+==+,若,),11)((11λλ-=+-=+b a n b nn 且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是3232<<>>λλλλ D. C. B. A.11、已知函数()cos x f x x πλ=，存在()f x 的零点)0(,00≠x x ，满足[]222200'()()f x x πλ<-，则λ的取值范围是A．( B．(C.(,)-∞+∞ D．(,)-∞+∞ 12、已知定义在]8,1[上的函数348||,122()1(),2822x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩则下列结论中,错误．．的是 A ．1)6(=f B ．函数)(x f 的值域为]4,0[C ．将函数)(x f 的极值由大到小排列得到数列*},{N n a n ∈，则}{n a 为等比数列D ．对任意的]8,1[∈x ，不等式6)(≤x xf 恒成立卷Ⅱ(非选择题 共90分)二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13、 已知向量b为单位向量，向量(1,1)a = ，且|a = 则向量,a b的夹角为 .14、若函数()sin()(0,0)6f x A x A πωω=->>的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为 .15、已知函数23)(nx mx x f +=的图象在点)2,1(-处的切线恰好与直线03=+y x 平行，若)(x f 在区间]1,[+t t 上单调递减，则实数t 的取值范围是________．16、已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)()()222,0,1,22,1,0,x x f x f x f x x x ⎧+∈⎪=+=⎨-∈-⎪⎩且，()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为 .三．解答题（共6小题，计70分）17、（本题12分）已知B A ,是直线0y =与函数2()2cos cos()1(0)23xf x x ωπωω=++->图像的两个相邻交点，且.2||π=AB（Ⅰ）求ω的值；(Ⅱ)在锐角ABC ∆中，c b a ,,分别是角A ，B ，C 的对边，若ABC c A f ∆=-=,3,23)( 的面积为33，求a 的值.18、（本题12分）已知数列}{},{n n b a 分别是等差数列与等比数列，满足11=a ，公差0>d ，且22b a =，36b a =，422b a =. (Ⅰ)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； (Ⅱ)设数列}{n c 对任意正整数n 均有12211+=+⋅⋅⋅++n nn a b c b c b c 成立，设}{n c 的前n 项和为n S ，求证：20172017e S ≥（e 是自然对数的底）.第14题图19、（本题12分） 如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的的菱形，60BAD ∠= ，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，3BF =，G 和H 分别是CE 和CF 的中点.（Ⅰ）求证：平面//BDGH 平面AEF ； （Ⅱ）求二面角H BD C --的大小.20、（本题12分）如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形． (Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程； (Ⅱ)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．21、（本题12分）已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a的取值范围.ABCDEF G H请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分.22、（本题10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线),0(cos 2sin :2>=a a C θθρ过点)4,2(--P 的直线l 的参数方程为：)( 224222为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=，直线l 与曲线C 分别交于N M 、两点． （Ⅰ）写出曲线C 和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若PN MN PM 、、成等比数列，求a 的值．23、（本题10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数3212)(-++=x x x f . （Ⅰ）求不等式6)(≤x f 的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式1)(-<a x f 的解集非空，求实数a 的取值范围．数学（理）试卷答案BABDA DCDBC DC 7-16. ]1,2.[15 231.14 3213.---π17.解：（1）1()1cos cos 1)23f x wx wx wx wx π=++--=-…3分由函数的图象及2AB π=，得到函数的周期222T w ππ==⨯，解得2w = ………5分（2）3()),sin(2)3232f A A A ππ=-=-∴-=又ABC 是锐角三角形222333333A A ππππππ-<-<∴-=，，即A=，…………8分由13sin 222ABC b S bc A === b=4 ……………………10分由余弦定理得2222212cos 43243132a b c bc A a =+-=+-⨯⨯⨯=，即……… 12分18、（1）解：由题意可知)211)(1()51(2d d d ++=+，结合0>d ，解得3=d ，所以23-=n a n . 14-=n n b ……… 5分 （2）证明：因为12211+=+⋅⋅⋅++n nn a b c b c b c ， 所以)2(112211≥=+⋅⋅⋅++--n a b c b c b c n n n ， 两式作差可得，31=-=+n n nna abc ，所以)2(4331≥⋅==-n b c n n n ………8分当1=n 时，4211==a b c ，所以⎩⎨⎧≥⋅==-)2(43)1(41n n c n n ………10分于是2016220174343434⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+=S.441)41(434)444(34201720172016201621e ≥=--⨯+=+⋅⋅⋅+++=…………12分19、（Ⅰ）证明：在CEF ∆中，因为,G H 分别是,CE CF 的中点， 所以//GH EF ， 又因为GH ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以//GH 平面AEF .设AC BD O = ，连接OH ， 因为ABCD 为菱形，所以O 为AC 中点 在ACF ∆中，因为OA OC =，CH HF =， 所以//OH AF ，又因为OH ⊄平面AEF ，AF ⊂平面AEF ， 所以//OH 平面AEF . ……………… 4分 又因为OH GH H = ，,OH GH ⊂平面BDGH ，所以平面//BDGH 平面AEF . ………………5分 （Ⅱ）解：取EF 的中点N ，连接ON ，因为四边形BDEF 是矩形，,O N 分别为,BD EF 的中点，所以//ON ED ，因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，所以ED ⊥平面ABCD ， 所以ON ⊥平面ABCD ， 因为ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，得,,OB OC ON 两两垂直. 所以以O 为原点，,,OB OC ON 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴， 如图建立空间直角坐标系.因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，3BF =， 所以(1,0,0)B ，(1,0,0)D -，(1,0,3)E -，(1,0,3)F ，C ，13(,)222H . ………………………………………………7分 所以13(,,)222BH =- ，(2,0,0)DB = . 设平面BDH 的法向量为(,,)n x y z =r ，⎩⎨⎧==++-⎪⎩⎪⎨⎧⇒=⋅=⋅0203300x z y x BH n 令1z =，得(0,n =. ……………9分由ED ⊥平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为(0,0,3)DE =，A则1cos ,2n DE n DE n DE⋅<>===.……………11分 所以二面角H BD C --的大小为60︒. ………………12分20、 (1) 如图，设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形， 又|AB 1|＝|AB 2|， 故∠B 1AB 2为直角， 因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255.………3分在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c 2·b ＝b 2.由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为：x 220＋y 24＝1 (5)分(2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根， 因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5，………8分 又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)，所以B 2P →·B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16 m 2＋1 m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5， 由PB 2⊥QB 2，得B 2P →·B 2Q →＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.………10分所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0. ……………12分21、2()(21)f x ax a x '=-++(0)x >. ---------2分 （Ⅰ）(1)(3)f f ''=，解得23a =. ---------3分（Ⅱ）(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >. ---------4分①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞. ---------5分②当102a <<时，12a >，在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a+∞，单调递减区间是1(2,)a. --------6分③当12a =时，2(2)()2x f x x-'=， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞. ---------7分④当12a >时，102a <<， 在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a 和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a. ---------8分（Ⅲ）由已知，在(0,2]上有max max ()()f x g x <.---------9分由已知，max ()0g x =，由（Ⅱ）可知，①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增， 故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+， 所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤. ---------10分②当12a >时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在1[,2]a上单调递减，故max 11()()22ln 2f x f a a a==---. 由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<，所以，22ln 0a --<，max ()0f x <， ---------11分 综上所述，ln 21a >-. ---------12分.2,2)Ⅰ(.222-==x y ax y ……………5分).(224222)Ⅱ(为参数的参数方程为直线t t y tx l ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-= ),4(8),4(22,0)4(8)4(222212122a t t a t t a t a t ax y +=⋅+=+=+++-=则有，得到代入,2PN PM MN ⋅= ,4)()(2121221221t t t t t t t t =⋅-+=-∴).(41.0432舍去或解得即-===-+a a a a ……………10分23、解：(Ⅰ)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x>32，（2x ＋1）＋（2x －3）≤6或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤32，（2x ＋1）－（2x －3）≤6或⎩⎪⎨⎪⎧x<－12，－（2x ＋1）－（2x －3）≤6， 解得32<x ≤2或－12≤x ≤32或－1≤x<－12.故不等式的解集为{x|－1≤x ≤2}． ……………5分(Ⅱ)∵f(x)＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4，∴|a －1|>4，解此不等式得a<－3或a>5. ……………10分。
河北省石家庄二中2018届高三上学期9月月考数学试卷理
2018-2018学年河北省石家庄二中高三（上）9月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（）A．（﹣1，1）B．（0，1） C．（﹣1，+∞）D．（0，+∞）2．函数y=x|x|+px，x∈R是（）A．偶函数B．奇函数C．不具有奇偶函数 D．与p有关3．函数f（x）=x2•e x+1，x∈[﹣2，1]的最大值为（）A．4e﹣1B．1 C．e2D．3e24．若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位得到f（x）的图象，则下列哪项是f（x）的对称中心（）A．B．C．D．5．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（）A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x26．已知函数f（x）=sin（x﹣φ）且|φ|＜，又f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=7．已知α∈（，），a=（cosα）cosα，b=（sinα）cosα，c=（cosα）sinα，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b8．已知函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣），则fA．﹣2 B．﹣1 C．0 D．29．已知函数f（x）=xlnx+e t﹣a，若对任意的t∈[0，1]，f（x）在（0，e）上总有唯一的零点，则a的取值范围是（）A．B．[1，e+1）C．[e，e+1）D．10．已知函数f（x）=cosx﹣lnx，实数a，b，c满足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c＜π），若实数x0是f（x）=0的根，那么下列不等式中不可能成立的是（）A．x0＜c B．x0＞c C．x0＜b D．x0＞b11．已知定义在R上的奇函数y=f（x）满足f′（x）＜2，则不等式f（x+1）﹣ln （x+2）﹣2＞e x+1+3x的解集为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣1，2）D．（2，+∞）12．定义在R上的函数f（x）对任意x1，x2（x1≠x2）都有＜0，且函数y=f（x+1）的图象关于原点对称，若s，t满足不等式f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2+2），则当1≤s≤4时，的取值范围是（）A．[﹣3，﹣）B．[﹣3，﹣] C．[﹣5，﹣）D．[﹣5，﹣]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知=（m，4），=（2，m﹣1），满足|+|2=||2+||2，则m=．14．已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，那么tan（α+）的值是．15．已知函数f（x）=，其中m＞0，若对任意实数b，使得关于x的方程f（x）=b至多有两个不同的根，则m的取值范围是．16．已知函数f（x）=（2﹣x）e x﹣ax﹣a，若不等式f（x）＞0恰好存在两个正整数解，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知a，b为常数，且a≠0，f（x）=ax2+bx，f（2）=0．（1）若函数y=f（x）﹣x有唯一零点，求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值；（3）当x≥2时，不等式f（x）≥2﹣a恒成立，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x．（1）求f（）的值；（2）若函数f（x）在区间[﹣m，m]上是单调递增函数，求实数m的最大值．19．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B 点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3米，AD=2米．（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？（Ⅱ）当DN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a（tanB﹣1）=．（1）求角C的大小；（2）若三角形的周长为20，面积为10，且a＞b，求三角形三边长．21．已知函数f（x）=xlnx+ax2﹣（2a+l）x+1，其中a＞0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）对于任意的x∈[a，+∞），都有f（x）≥a3﹣a﹣，求实数a的取值范围．22．设函数f（x）=e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．2018-2018学年河北省石家庄二中高三（上）9月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（）A．（﹣1，1）B．（0，1） C．（﹣1，+∞）D．（0，+∞）【考点】并集及其运算．【分析】求解指数函数的值域化简A，求解一元二次不等式化简B，再由并集运算得答案．【解答】解：∵A={y|y=2x，x∈R}=（0，+∞），B={x|x2﹣1＜0}=（﹣1，1），∴A∪B=（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）．故选：C．2．函数y=x|x|+px，x∈R是（）A．偶函数B．奇函数C．不具有奇偶函数 D．与p有关【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】先看f（x）的定义域是否关于原点对称，再看f（﹣x）与f（x）是相等还是互为相反数．【解答】解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣px=﹣x|x|﹣px=﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．3．函数f（x）=x2•e x+1，x∈[﹣2，1]的最大值为（）A．4e﹣1B．1 C．e2D．3e2【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出函数的导函数，令导数为0求出根，判断根左右两边导函数的符号，求出函数的极值及端点值，在其中选出最大值．【解答】解：f′（x）=xe x+1（x+2）令f′（x）=0得x=﹣2或x=0当f′（x）＞0时，x＜﹣2或x＞0；当f′（x）＜0时，﹣2＜x＜0当x=﹣2时f（﹣2）=；当x=0时，f（0）=0；当x=1时，f（1）=e2所以函数的最大值为e2故选C4．若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位得到f（x）的图象，则下列哪项是f（x）的对称中心（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性得出结论．【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位得到f（x）=2sin2（x+）=2si（2x+）的图象，令2x+=kπ，求得x=﹣，故函数的图象的对称中心为（﹣，0），k∈Z，故选：B．5．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（）A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是：∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2．故选：D．6．已知函数f（x）=sin（x﹣φ）且|φ|＜，又f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=【考点】正弦函数的图象．【分析】利用f（x）dx=0求出φ值，然后找出使三角函数f（x）取得最值的x即可．【解答】解：函数f（x）=sin（x﹣φ）且|φ|＜，所以f（x）dx=sin（x﹣φ）dx=﹣cos（x﹣φ）=﹣cos（﹣φ）+cosφ=0，所以tanφ=，解得φ=+kπ，k∈Z；又|φ|≤，∴φ=；所以f（x）=sin（x﹣）；所以函数f（x）的图象的对称轴是x﹣=kπ+，k∈Z；即x=kπ+，k∈Z；所以f（x）其中一条对称轴为x=．故选：A．7．已知α∈（，），a=（cosα）cosα，b=（sinα）cosα，c=（cosα）sinα，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b【考点】三角函数线．【分析】由题意，0＜cosα＜，cosα＜sinα，利用指数函数，幂函数的单调性，可得结论．【解答】解：由题意，0＜cosα＜，cosα＜sinα，∴b＞a＞c，故选D．8．已知函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣），则fA．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【考点】函数的值．【分析】求得函数的周期为1，再利用当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），得到f（1）=﹣f（﹣1），当x＜0时，f（x）=x3﹣1，得到f（﹣1）=﹣2，即可得出结论．【解答】解：∵当x＞时，f（x+）=f（x﹣），∴当x＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1．∴f，∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），∴f（1）=﹣f（﹣1），∵当x＜0时，f（x）=x3﹣1，∴f（﹣1）=﹣2，∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，∴f=2．故选：D．9．已知函数f（x）=xlnx+e t﹣a，若对任意的t∈[0，1]，f（x）在（0，e）上总有唯一的零点，则a的取值范围是（）A．B．[1，e+1）C．[e，e+1）D．【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，画出函数y=xlnx与函数y=a﹣e t 的图象，利用零点的个数，得到a的不等式，通过恒成立求解即可得到结论．【解答】解：函数f（x）=xlnx+e t﹣a，可得f′（x）=lnx+1，所以由f′（x）=0⇔lnx+1=0⇔x=，x＞，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，e﹣1）上单调递减，在（e﹣1，e）上单调递增．函数f（x）=xlnx+e t﹣a，在坐标系中画出y=xlnx与y=a﹣e t的图象，如图：对任意的t∈[0，1]，f（x）在（0，e）上总有唯一的零点，可得：0≤a﹣e t＜e，可得e t≤a＜e t+e，可得e≤a＜1+e，即a∈[e，e+1）．故选：C．10．已知函数f（x）=cosx﹣lnx，实数a，b，c满足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c＜π），若实数x0是f（x）=0的根，那么下列不等式中不可能成立的是（）A．x0＜c B．x0＞c C．x0＜b D．x0＞b【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】确定函数为减函数，进而可得f（a）、f（b）、f（c）中一项为负的、两项为正的；或者三项都是负的，分类讨论分别求得可能成立选项，从而得到答案．【解答】解：∵f（x）=cosx﹣lnx，∴f′（x）=﹣sinx﹣，∵0＜x＜π，∴﹣sinx＞0，∴f′（x）＜0，∴f（x）在（0，π）递减，∵0＜a＜b＜c＜π，且f（a）f（b）f（c）＜0，∴f（a）、f（b）、f（c）中一项为负的、两项为正的；或者三项都是负的．即f（c）＜0，0＜f（b）＜f（a）；或f（c）＜f（b）＜f（a）＜0．由于实数x0是函数y=f（x）的一个零点，当f（c）＜0，0＜f（b）＜f（a）时，b＜x0＜c，此时A，D成立．当f（c）＜f（b）＜f（a）＜0时，x0＜a＜b，此时C成立．综上可得，B不可能成立，故选：B．11．已知定义在R上的奇函数y=f（x）满足f′（x）＜2，则不等式f（x+1）﹣ln （x+2）﹣2＞e x+1+3x的解集为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣1，2）D．（2，+∞）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】设g（x）=f（x+1）﹣ln（x+2）﹣2﹣e x+1﹣3x，x＞﹣2，求导g′（x）=f′（x+1）﹣﹣e x+1﹣3，由f′（x）＜2，f′（x+1）﹣3＜0，由﹣﹣e x+1＜0恒成立，因此g′（x）＜0恒成立，则g（x）在（﹣2，+∞）单调递减，根据函数的奇偶性可知f（0）=0，可得g（﹣1）=0，则原不等式可转化成，g（x）=g（﹣1），由函数的单调性即可求得﹣2＜x＜﹣1．【解答】解：由题意可知：设g（x）=f（x+1）﹣ln（x+2）﹣2﹣e x+1﹣3x，x＞﹣2，求导g′（x）=f′（x+1）﹣﹣e x+1﹣3，由f′（x）＜2，即f′（x）﹣2＜0，f′（x+1）﹣3＜0，由函数的单调性可知：﹣﹣e x+1＜0恒成立，∴g′（x）＜0恒成立，∴g（x）在（﹣2，+∞）单调递减，由y=f（x）为奇函数，则f（0）=0∴g（﹣1）=f（0）﹣ln1﹣2﹣e0+3=0，由f（x+1）﹣ln（x+2）﹣2＞e x+1+3x，即g（x）＞0=g（﹣1），由函数的单调递减，∴﹣2＜x＜﹣1，∴不等式f（x+1）﹣ln（x+2）﹣2＞e x+1+3x的解集（﹣2，﹣1），故选A．12．定义在R上的函数f（x）对任意x1，x2（x1≠x2）都有＜0，且函数y=f（x+1）的图象关于原点对称，若s，t满足不等式f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2+2），则当1≤s≤4时，的取值范围是（）A．[﹣3，﹣）B．[﹣3，﹣] C．[﹣5，﹣）D．[﹣5，﹣]【考点】函数单调性的判断与证明；函数的图象．【分析】根据已知条件可知f（x）在R上单调递减，又因为y=f（x+1）的图象关于原点对称，故y=f（x）的图象关于点（1，0）对称，即f（1﹣x）=﹣f（1+x），再根据此式，可得﹣f（2t﹣t2+2）=f（t2﹣2t），然后由单调性可知s2﹣2s≥t2﹣2t，并将其整理为（s﹣t）（s+t﹣2）≥0，画出所表示的平面区域，设，整理得，该直线恒过原点，通过图象得到直线的斜率的取值范围，即可算出z的取值范围．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）对任意x1，x2（x1≠x2）都有＜0，∴f （x ）在R 上单调递减，∵y=f （x +1）的图象关于原点对称， ∴y=f （x ）的图象关于点（1，0）对称， ∴f （1﹣x ）=﹣f （1+x ），∴﹣f （2t ﹣t 2+2）=﹣f [1+（2t ﹣t 2+1）]=f [1﹣（2t ﹣t 2+1）]=f （t 2﹣2t ）， ∵f （s 2﹣2s ）≤﹣f （2t ﹣t 2+2）， ∴f （s 2﹣2s ）≤f （t 2﹣2t ）， ∵f （x ）在R 上单调递减， ∴s 2﹣2s ≥t 2﹣2t ∴（s ﹣t ）（s +t ﹣2）≥0∴，或以s 为横坐标，t 为纵坐标建立平面直角坐标系，画出不等式组所表示的平面区域图中A（1，1），B（4，﹣2），C（4，4）设，整理，得t=直线t=恒经过原点O（0，0）由图象可知，即解得﹣5≤z≤，即的取值范围为故选D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知=（m，4），=（2，m﹣1），满足|+|2=||2+||2，则m=．【考点】向量的模．【分析】利用向量坐标运算性质、数量积运算性质即可得出．【解答】解：||=，=，=（m+2，m+3），|+|2=（m+2）2+（m+3）2，∵|+|2=||2+||2，∴（m+2）2+（m+3）2=m2+16+4+（m﹣1）2，解得m=，故答案为：．14．已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，那么tan（α+）的值是．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】直接利用两角和的正切函数公式求解即可．【解答】解：因为tan（α+β）=，，所以tan（α+）=tan[（α+β）﹣（β﹣）]===．故答案为：．15．已知函数f（x）=，其中m＞0，若对任意实数b，使得关于x的方程f（x）=b至多有两个不同的根，则m的取值范围是（0，3] ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作出函数f（x）=的图象，依题意，可得4m﹣m2≥m（m＞0），解之即可．【解答】解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，∴要使得关于x的方程f（x）=b至多有两个不同的根，必须4m﹣m2≥m（m＞0），即m2≤3m（m＞0），解得0＜m≤3，∴m的取值范围是：（0，3]，故答案为：（0，3]．16．已知函数f（x）=（2﹣x）e x﹣ax﹣a，若不等式f（x）＞0恰好存在两个正整数解，则实数a的取值范围是．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用构造的新函数g（x）和h（x），求导数g′（x），从而可得a的范围．【解答】解：令g（x）=（2﹣x）e x，h（x）=ax+a，由题意知，存在2个正整数，使g（x）在直线h（x）的上方，∵g′（x）=（1﹣x）e x，∴当x＞1时，g′（x）＜0，当x＜1时，g′（x）＞0，∴g（x）max=g（1）=e，且g（0）=2，g（2）=0，g（3）=﹣e3，直线h（x）恒过点（﹣1，0），且斜率为a，∴由题意可知，，故实数a的取值范围是．故答案为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知a，b为常数，且a≠0，f（x）=ax2+bx，f（2）=0．（1）若函数y=f（x）﹣x有唯一零点，求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值；（3）当x≥2时，不等式f（x）≥2﹣a恒成立，求实数a的取值范围．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）根据函数定理可得方程ax2﹣（2a+1）x=0有唯一解，解得即可，（2）根据二次函数的性质即可判断，（3）分离参数，构造函数，求出函数的最值即可【解答】解：∵f（2）=0，∴2a+b=0，∴f（x）=a（x2﹣2x）（1）函数y=f（x）﹣x有唯一零点，即方程ax2﹣（2a+1）x=0有唯一解，∴（2a+1）2=0，解得a=﹣∴f（x）=﹣x2+x …（2）∵f（x）=a（x2﹣2x）=a[（x﹣1）2﹣1]，x∈[﹣1，2]…若a＞0，则f（x）max=f（﹣1）=3a …若a＜0，则f（x）max=f（1）=﹣a …（3）当x≥2时，不等式f（x）≥2﹣a成立，即：a≥在区间[2，+∞），设g（x）=，∵函数g（x）在区间[2，+∞）为减函数，g（x）max=g（2）=2当且仅当a≥g（x）max时，不等式f（x）≥2﹣a2在区间[2，+∞）上恒成立，因此a≥2 …18．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x．（1）求f（）的值；（2）若函数f（x）在区间[﹣m，m]上是单调递增函数，求实数m的最大值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．【分析】（1）利用两角和的正弦函数公式化简化简解析式可得f（x）=2sin（2x+）+1，代入利用特殊角的三角函数值即可计算得解．（2）由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得f（x）在区间[﹣，]上是增函数，由[﹣m，m]⊆[﹣，]，解不等式组即可得解m的最大值．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x+cos2x+1=2（sin2x+cos2x）+1=2sin（2x+）+1，∴f（）=2sin（+）+1=2sin+1=，（2）由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得k≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）在区间[k，kπ+]，k∈Z上是增函数，∴当k=0时，f（x）在区间[﹣，]上是增函数，若函数f（x）在区间[﹣m，m]上是单调递增函数，则[﹣m，m]⊆[﹣，]，∴，解得0＜m≤，∴m的最大值是．19．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B 点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3米，AD=2米．（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？（Ⅱ）当DN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则AN=（x+2）米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围．（Ⅱ）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则AN=（x+2）米∵DN：AN=DC：AM，∴AM=，…∴S AMPN=AN•AM=．由S AMPN＞32，得＞32，又x＞0，得3x2﹣20x+12＞0，解得：0＜x＜1或x＞4，即DN长的取值范围是（0，1）∪（4，+∞）．…（Ⅱ）矩形花坛AMPN的面积为y==3x++12≥2+12=24…当且仅当3x=，即x=2时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值24．故DN的长为2米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24平方米．…20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a（tanB﹣1）=．（1）求角C的大小；（2）若三角形的周长为20，面积为10，且a＞b，求三角形三边长．【考点】余弦定理．【分析】（1）由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知可得tanA+tanB+tanC=tanAtanB，利用三角形内角和定理，两角和的正切函数公式化简可求tanC=，利用特殊角的三角函数值即可得解C的值．（2）由面积公式解得ab=40，由余弦定理可得a2+b2﹣c2=ab=40，结合已知化简整理即可解得a，b，c的值．【解答】解：（1）∵a（tanB﹣1）=，∴可得：sinA（tanB﹣1）=，∴tanA（tanB﹣1）=tanB+tanC，∴tanA+tanB+tanC=tanAtanB，∴tanC=，∴C=60°．（2）由面积公式：S=absinC=10，解得ab=40，由余弦定理可得：a2+b2﹣c2=ab=40，而a+b+c=20，可得c=20﹣a﹣b，代入上式，化简整理可得a+b=13，所以a，b是方程x2﹣13x+40=0的两根，所以a=8，b=5，c=7．21．已知函数f（x）=xlnx+ax2﹣（2a+l）x+1，其中a＞0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）对于任意的x∈[a，+∞），都有f（x）≥a3﹣a﹣，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数f（x）的单调区间；（2）对于任意的x∈[a，+∞），都有f（x）≥a2﹣a﹣，转化为f（x）min≥a2﹣a﹣，多次构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可求函数求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）=lnx+1+2ax﹣2a﹣1=lnx+2a（x﹣1），∵a＞0，∴当0＜x＜1时，lnx＜0，2a（x﹣1）＜0，此时f′（x）＜0，函数f（x）在（0，1）上单调递减，当x＞1时，lnx＞0，2a（x﹣1）＞0，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞），递减区间是（0，1）；（2）①当0＜a＜1时，由（1）知，f（x）在[a，1）上单调递减，f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴对任意的x∈[a，+∞），都有f（x）≥f（1）=﹣a，∵对于任意的x∈[a，+∞），都有f（x）≥a3﹣a﹣，∴﹣a≥a3﹣a﹣，即a3≤，得a≤，∴当0＜a≤时，对于任意的x∈[a，+∞），都有f（x）≥a3﹣a﹣，②求当a≥1时，[a，+∞）⊆[1，+∞），由（1）得f（x）在[a，+∞）上单调递增，∴对于任意的x∈[a，+∞），有f（x）≥f（a）=alna+a3﹣2a2﹣a+1，∵对于任意的x∈[a，+∞），都有f（x）≥a3﹣a﹣，∴alna+a3﹣2a2﹣a+1≥a3﹣a﹣，即alna﹣2a2+≥0设g（a）=alna﹣2a2+，a≥1，则g′（a）=lna﹣4a+1，设h（a）=lna﹣4a+1，a≥1，则h′（a）=﹣4＜0，∴h（a）在[1，+∞）上单调递减，则当a≥1时，g′（a）=h（a）≤h（1）=﹣3＜0，则g（a）在[1，+∞）上单调递减，∴当a≥1时，g（a）≤g（1）=﹣＜0，此时不等式alna﹣2a2+≥0不成立，综上①②，所求a的取值范围是（0，]．22．设函数f（x）=e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母a，故应按a的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间；（II）由题设条件结合（I），将不等式，（x﹣k）f´（x）+x+1＞0在x＞0时成立转化为k＜（x＞0）成立，由此问题转化为求g（x）=在x＞0上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出k的最大值；【解答】解：（I）函数f（x）=e x﹣ax﹣2的定义域是R，f′（x）=e x﹣a，若a≤0，则f′（x）=e x﹣a≥0，所以函数f（x）=e x﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增．若a＞0，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）=e x﹣a＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=e x﹣a＞0；所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（II）由于a=1，所以，（x﹣k）f´（x）+x+1=（x﹣k）（e x﹣1）+x+1故当x＞0时，（x﹣k）f´（x）+x+1＞0等价于k＜（x＞0）①令g（x）=，则g′（x）=由（I）知，当a=1时，函数h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0；所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．又由g′（α）=0，可得eα=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3）由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2．2018年1月20日。
河北省石家庄市2018届高中毕业班模拟考试(二)(文)数学试题及答案解析
河北省石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（二）数学试题（文）【参考答案】一. 选择题:1-5 ACAAD 6-10CBBCD 11-12DD二.填空题:13. 14. 15. 16. 三.解答题17.解：(Ⅰ)由已知及正弦定理得：(Ⅱ)又所以，18.解：(Ⅰ)根据已知数据得到如下列联表根据列联表中的数据，得到3π52-9,1713⎡⎤⎢⎥⎣⎦112πsin cos sin sin sin A B B A C +=sin sin()sin cos cossin C A B A B A B =+=+sin in cos sin Bs A A B ∴=sin 0sin cos B A A ≠∴=(0,)4A A ππ∈∴=11sin 2422ABC Sbc A bc ===∴=22222cos 2()(2a b c bc Ab c bc =+-∴=+-+2()4, 2.b c b c +=+=所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”.(Ⅱ)记5人中对冰球有兴趣的3人为A 、B 、C ，对冰球没有兴趣的2人为m 、n ，则从这5人中随机抽取3人，共有（A ，m ，n ）（B ，m ，n ）（C ，m ，n ）（A 、B 、m ）（A 、B 、n ）（B 、C 、m ）（B 、C 、n ）（A 、C 、m ）（A 、C 、n ）（A 、B 、C ）10种情况，其中3人都对冰球有兴趣的情况有（A 、B 、C ）1种，2人对冰球有兴趣的情况有（A 、B 、m ）（A 、B 、n ）（B 、C 、m ）（B 、C 、n ）（A 、C 、m ）（A 、C 、n ）6种，所以至少2人对冰球有兴趣的情况有7种，因此，所求事件的概率 .19.（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ⊥BC .∵平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD =BC ，CD 平面ABCD ，∴CD ⊥平面PBC ，∴CD ⊥PB .∵PB ⊥PD ，CD ∩PD =D ，CD 、PD 平面PCD ，∴PB ⊥平面PCD .∵PB 平面P AB ，∴平面P AB ⊥平面PCD .（Ⅱ）解：取BC 的中点O ，连接OP 、OE .∵PB ⊥平面PCD ，∴PB ⊥ PC ，∴OP ==1. ∵PB=PC ，∴PO ⊥BC.∵平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD =BC ，PO 平面PBC ，∴PO ⊥平面ABCD ，∵AE 平面ABCD ,∴PO ⊥AE .∵∠PEA =90O , ∴PE ⊥AE .∵PO ∩PE=P ，∴AE ⊥平面POE ，∴AE ⊥OE .∵∠C=∠D =90O , ∴∠OEC =∠EAD ,∴Rt OCE ∽Rt EDA ,∴ ∵OC =1,AD =2,CE =ED ,∴CE =ED =,710p =⊂⊂⊂BC 21⊂⊂∆∆.ADCE ED OC =2∴20.解：（1）设，则， ，， ，，即轨迹的方程为. （II ）法一：显然直线的斜率存在，设的方程为， 由，消去可得：，设，，， ，， 即，，即，，即，， 到直线的距离OP ED AD OP S V V AED AED P PED A ⋅⋅⨯=⋅==--213131321222131=⨯⨯⨯⨯=(,)P x y 1(,)2H x -1(,1),(0,),2HF x PH y ∴=-=--1(,)2PF x y =--(,2)PH PF x y +=--()0HF PH PF +=220x y ∴-=C 22x y =l 'l '12y kx =+2122y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩y 2210x kx --=1122(,),(,)A x y B x y 1(,)2M t -121221x x k x x +=⎧∴⎨⋅=-⎩112211(,),(,)22MA x t y MB x t y =-+=-+MA MB ⊥0MA MB ∴=121211()()()()022x t x t y y --+++=2121212()(1)(1)0x x x x t t kx kx ∴-+++++=22212210kt t k k ∴--+-++=2220t kt k -+=∴2()0t k -=t k ∴=1(,)2M k -∴212|||2(1)AB x x k =-==+∴1(,)2M k -l '2d ==，解得， 直线的方程为或. 法2：（Ⅱ）设,AB 的中点为 则 直线的方程为， 过点A,B 分别作，因为为AB 的中点， 所以在中， 故是直角梯形的中位线，可得，从而. 点到直线的距离为：因为E 点在直线上，所以有，从而 由所以直线的方程为或 . 21.解：(Ⅰ)，令，则， 当时，，当时，，则函数的增区间为（-∞，1），减区间为（1，+∞）.（Ⅱ）由可得，所以的极值点为. 于是，等价于,由得且.由整理得，，即.3221||(1)2MAB S AB d k ∆==+=1k =±∴l '102x y +-=102x y -+=1122(,),(,)A x y B x y ()00,y x E 211121212120212222()()2()2AB x y y y x x x x y y x k x x x y ⎧=-⎪⇒-+=-⇒==⎨-=⎪⎩'l 012y x x =+1111B 于，于l BB A l AA ⊥⊥,⊥MA MB E Rt AMB 11111||||(||||)(||||)222==+=+EM AB AF BF AA BB EM 11A B BA ⊥EM l 01(,)2M x -M 'l 2d =='l 20012y x =+21200||1212(1)AB y y y x =++=+=+2011||2(22MAB S AB d x ==⨯+=01x =±'l 12y x =+12y x =-+'21()()x x x x e xe x f x e e --=='()0f x =1x =(,1)x ∈-∞'()0f x >(1,)x ∈+∞'()0f x <()f x ()()1e 0x f x x -¢=-=()y f x =01x =0122e x x x +>122e x x +>()()12f x f x =1212e e x x x x --=1201x x <<<1212e e x x x x --=1122ln ln x x x x -=-1212ln ln x x x x -=-等价于，①令，则.式①整理得，其中.设,.只需证明当时，.又，设， 则 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以,； 注意到，， ，所以，存在，使得， 注意到，，而，所以.于是，由可得或；由可得. 在上单调递增，在上单调递减.于是，，注意到，，， 所以，，也即，其中. ()()()1212122ln ln e x x x x x x +-<-12x t x =01t <<()()21ln e 1t t t +<-01t <<()()()21ln e 1g t t t t =+--01t <<01t <<()max 0g t <()12ln 2e g t t t ¢=++-()=t h ()12ln 2e g t t t ¢=++-()221212t t t t t h -=-='10,2t 骣÷çÎ÷ç÷ç桫()0<'t h ()t h 10,2骣÷ç÷ç÷ç桫1,12t 骣÷çÎ÷ç÷ç桫()0>'t h ()t h 1,12骣÷ç÷çç÷桫()min 142ln 2e 02g t g 骣÷çⅱ==--<÷ç÷ç桫()22221e 2ln e 2e e 2e 0e g ---¢=++-=-->()13e 0g ¢=->12110,,,122t t 骣骣鼢珑挝鼢珑鼢珑鼢桫桫()()120g t g t ⅱ==10e g 骣÷ç¢=÷çç÷桫110,e 2骣÷çÎ÷çç÷桫e 1t 1=()0g t ¢>10et <<21t t <<()0g t ¢<21e t t <<()g t ()210,,,1e t 骣÷ç÷ç÷ç桫21,e t 骣÷ç÷ç÷ç桫()()max 1max ,1e g t g g 戽鳇镲镲÷ç=÷睚çç÷镲桫镲铪()10g =12e 20e e g 骣÷ç=--<÷çç÷桫()max 0g t <()()21ln e 1t t t +<-01t <<于是，.（二）选考题：22.解：（1）若将曲线上的点的纵坐标变为原来的，则曲线的直角坐标方程为， 整理得，曲线的参数方程.（2）将直线的参数方程化为标准形式为 （为参数），将参数方程带入得 整理得. ，. . 23.解:（1）当时，，由解得 ， 当时，，恒成立 . ， 当时，由解得 ， 0122e x x x +>1C 232C 4)32(22=+y x 19422=+y x ∴2C l ''122x t y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t '19422=+yx 19)2333(4)212(22='++'--t t 03618)(472=+'+'t t 77221='+'=+t t PB PA 714421=''=t t PB PA 21714477211==+=+PBPA PB PA PB PA 61313)(<-++=x x x f 31-<x x x x x f 61313)(-=+---=66x -<1x >-311-<<-∴x 3131≤≤-x 21313)(=+-+=x x x f 62<3131≤≤-∴x 31>x x x x x f 61313)(=-++=66x <1x <, 综上，的解集 ; （2） ,由得 .131<<∴x 6)(<x f {}11<<-=x x M ()())2(121222222ab b a ab b a b a ab ++-++=+-+22221a b a b =--+)1)(1(22--=b a M b a ∈,1,1<<b a 01,0122<-<-∴b a 0)1)(1(22>--∴b a b a ab +>+∴1。
石家庄市2018届高三毕业班模拟考试(九月)数学答案
理科数学参考答案一、选择题CCDAB CBBCA DA二、填空题13.(0,＋∞)； 14.45； 15.6； 16. 错误！未找到引用源。
三、解答题17.解：(Ⅰ)由2S n ＝3a n －1 ①2S n －1＝3a n －1－1 ②(2≥n )①－②得2a n ＝3a n －3a n －1，∴ a n a n －1＝3，…………………3分 又当n ＝1时，2S 1＝3a 1－1，即a 1＝1，（符合题意）∴{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴ a n ＝3n －1．………………………5分(Ⅱ) 由(Ⅰ)得：b n ＝ n 3n －1 ∴T n ＝ 1 30＋ 2 31＋ 3 32＋…＋ n 3n －1，…………………③ 1 3T n ＝ 1 31＋ 2 32＋…＋ n －1 3n －1＋ n 3n ，…………④…………………7分③－④得： 2 3T n ＝ 1 30＋ 1 31＋ 1 32＋…＋ 1 3n －1－ n 3n ………………9分 ＝1－13n1－ 1 3－ n 3n ＝ 3 2－ 2n ＋3 2×3n∴T n ＝ 9 4－ 6n ＋9 4×3n． ……………………………………………10分 18.解：(Ⅰ)∵ f (x )＝sin(2x －π 6)＋cos 2x － 1 2 ＝3 2sin2x － 1 2cos2x ＋ 1＋cos2x 2－ 1 2………………2分 ＝3 2sin2x ．……………4分 当sin2x ＝1时，f (x )取得最大值3 2；f (x )的最小正周期是π． ………………6分 (Ⅱ) f ( A 2)＝3 2sin A ＝3 10，∴sin A ＝ 1 5． ………………………………………8分由正弦定理，得： a sin A ＝ b sin B ，∴b ＝ a sin B sin A…………………10分＝2 sin30° 1 5＝5．…………………12分 19．解：(Ⅰ)记年龄在[20,25)中被抽到的2人都持“提倡”态度为事件A ．则P (A )＝C 25C 26………………………………2分 ＝23． ………………………………4分 (Ⅱ)由题意知：年龄在[20，25)的人中5人持“提倡”态度，1人持“不提倡”态度；年龄在[40,45)的人中3人持“提倡”态度，2人持“不提倡”态度．则随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，则 ………………6分P (X ＝0)＝C 25C 23C 26C 25＝15； P (X ＝1)＝C 15C 11C 23＋C 25C 13C 12C 26C 25＝12； P (X ＝2)＝C 15C 11C 13C 12＋C 25C 22C 26C 25＝415； P (X ＝3)＝C 15C 11C 22C 26C 25＝130；10分则E (X )＝0×15＋1×12＋2×415＋3×130＝1715． …………………………………12分20．解：(Ⅰ)∵AB ⊥AC ，∴AB ＝BC 2－AC 2＝2．在△P AB 中，可得PB 2＝P A 2＋AB 2，∴∠P AB ＝90°，即AB ⊥P A ,……………2分 可得AB ⊥平面P AC ．……………4分 ∴平面P AC ⊥平面ABC ；……………6分(Ⅱ) 过点P 作PO ⊥AC ，O 为垂足，连结OB ． ∵平面P AC ⊥平面ABC ，∴PO ⊥平面ABC ，∴∠PBO 是直线PB 与平面ABC 所成的角．……………8分∵P A ＝PC ＝AC ，∴O 为AC 的中点，∴OC ＝1，PO ＝3 2AC ＝3． 在Rt △OAB 中，AB ＝2，∴OB ＝OA 2＋AB 2＝3，……………10分又∵PO ⊥OB ,∴在Rt △POB 中，tan ∠PBO ＝PO OB＝1，∴∠POB ＝45°． ∴直线PB 与平面ABC 所成的角是45°． ………………………12分PA B O21解:(Ⅰ)依题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+314132222b a b a 可得⎪⎩⎪⎨⎧==1422b a ……………………2分 可知：1y 4x 22=+.………………4分 (Ⅱ)设点)y ,x (A 11 ，)y ,x (B 22 ，点N 的坐标为)y ,x (00 ,(1)当直线l 与x 轴重合时, 线段AB 的中点N 就是原点O , 不合题意,舍去; ………………5分(2)设直线l : ,3my x += 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=4y 4x 3my x 22消去x, 得01my 32y )4m (22=-++ ∴,4m m 3y 20+-=………………6分 ∴4m 344m 34m 34m m 33my x 2222200+=++++-=+=, ∴点N 的坐标为)4m m 3,4m 34(22+-+ .………………8分 若OE →＝2ON →, 则点E 的坐标为)4m m 32,4m 38(22+-+ , 由点E 在曲线C 上, 得1)4m (m 12)4m (4822222=+++, 即,032m 4m 24=-- ∴4m (8m 22-== 舍去). …………10分 由方程①得,14m 1m 44m 16m 4m 12|y y |2222221=++=+++=- ∴3|y y |1m |AB |212=-+= .………………12分22.（1）当a ＝－2时，f (x )＝x －1＋2ln x ，f '(x )＝1＋ 2 x，∴f (1)＝0，k 切＝f '(1)＝3，…………………2分则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的方程为3x －y －3＝0；…………………4分（2）对x ∈(0，1]，a ＜0时，f '(x )＝1－ a x＞0，∴f (x )在(0，1]上为单调递增；………6分不妨设x1，x2∈(0，1]，且x1＜x2，则有：f(x1)＜f(x2)，g(x1)＞g(x2)，∴f(x2)－f(x1)＜4×[g(x1)－g(x2)]，即f(x1)＋4x1＞f(x2)＋4x2，令h(x)＝f(x)＋4x，即x1＜x2时，有h(x1)＞h(x2)，则h(x)在(0，1]上为单调递减．………8分∴h (x)＝1－ax－4x2＝x2－ax－4x2≤0在(0，1]上恒成立，∴x2－ax－4≤0在(0，1]上恒成立，等价于a≥x－4x在(0，1]上恒成立，…………10分因为x－4x在(0，1]上递增，所以只需a≥(x－4x)max＝－3,又a＜0，故实数a的取值范围为－3≤a＜0．…………………12分。
2018年河北省石家庄市育德中学高三数学文模拟试卷含解析
2018年河北省石家庄市育德中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. △的内角,,的对边分别为,,,已知,,,则△的面积为（）A．B．C．D．参考答案：B略2. 二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（）A．3 B． C．3或 D．3或参考答案：B3. 存在整数n,使+是整数的质数( )(A)不存在 (B)只有一个(C)多于一个,但为有限个 (D)有无穷多个参考答案：D解：如果p为奇质数，p=2k+1，则存在n=k2(k∈N+)，使+=2k+1．故选D．4. 已知实数x,y满足约束条件,则目标函数的最小值为A. B. C. 2 D. 4参考答案：D作出可行域，可知当，时，目标函数取到最小值，最小值为. 故选D.5. 如果命题“p且q”是假命题，“非p”是真命题，那么（）A．命题p一定是真命题B．命题q一定是真命题C．命题q可以是真命题也可以是假命题D．命题q一定是假命题参考答案：C“非p”是真命题，则p为假命题，命题q可以是真命题也可以是假命题．6. 已知表示不大于x的最大整数，若函数在（0，2）上仅有一个零点，则a的取值范围为A．B．C．D．参考答案：D表示不大于的最大整数，若函数在上仅有一个零点，由，讨论，即可得由，可得，求得若，即可得由，可得求得则的取值范围是故选7. 均为正数，且则A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c参考答案：A略8. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形．若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：B如图，由题意知，，且．；．∴，因此选B。
9. 如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（）.A． B． C．D．参考答案：B10. 已知函数则( )A． B． C．D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，且，则的值为_ ．参考答案：12. 复平面上，非零复数z1，z2在以i为圆心，1为半径的圆上，·z2的实部为零，z1的辐角主值为，则z2=_______．参考答案：－+i解：z1满足|z－i|=1；argz1=，得z1=+i，=cos(－)+i sin(－)．设z2的辐角为θ(0<θ<π)，则z2=2sinθ(cosθ+i sinθ)．·z2=2sinθ[cos(θ－)+i sin(θ－)]，若其实部为0，则θ－=，于是θ=．z2=－+i．13. 已知函数f(x)=x2+bx+1满足f(一x）=f(x+1），若存在实数t，使得对任意实数x∈[l，m]，都有f(x+t）≤x成立，则实数m的最大值为参考答案：314. A.（不等式选讲选做题）如果存在实数使不等式成立，则实数的取值范围参考答案：15. （文）两条直线和的夹角大小为.参考答案：直线的斜率为，即，所以，的斜率为，，所以，由，所以设夹角为，则，所以。
高三数学河北省石家庄市2018届高三下学期一模考试试题(A卷)理科数学及参考答案及参考答案
河北省石家庄市2018届高三下学期一模考试数学试题（理）（A卷）【参考答案】1-5AABDC 6-10CCDBD 11-12 BA13. 2:1,230p x x x ⌝∀≥--≥ 14. 乙15. 16. 22,0e -e ⎛⎫- ⎪⎝⎭17.解：(1)法一：由122()n n S m m R +=+∈得122()n n S m m -=+∈R ,当当2n ≥时,12222n n n n a S S -=-=,即12(2)n n a n -=≥, 又1122m a S ==+,当2m =-时符合上式,所以通项公式为12n n a -=, 法二： 由122()n n S m m R +=+∈得1232;4;8()S m S m S m m R =+⎧⎪=+⎨⎪=+∈⎩ ,从而有2213322,4a S S a S S =-==-=, 所以等比数列公比322a q a ==,首项11a =,因此通项公式为12n n a -=, （2）由（1）可得1212log ()log (22)21n n n n a a n -+⋅=⋅=-,1111()(21)(21)22121n b n n n n ∴==-+--+, 12111111(1)2335212121n n n T b b b n n n ∴=+++=-+-++-=-++. 18.解：（1）因为//BC 平面SDM ,BC ⊂平面ABCD ,平面SDM 平面ABCD =DM ,所以DM BC //,因为DC AB //,所以四边形BCDM 为平行四边形,又,CD AB 2=,所以M 为AB 的中点,因为AB AM λ=,12λ∴=； （2）因为BC ⊥SD , BC ⊥CD ,所以BC ⊥平面SCD ,又因为BC ⊂平面ABCD ,所以平面SCD ⊥平面ABCD ,平面SCD 平面ABCD CD =,在平面SCD 内过点S 作SE ⊥直线CD 于点E ,则SE ⊥平面ABCD ,在Rt SEA 和Rt SED 中,因为SA SD =,所以AE DE ==,又由题知45EDA ∠=,所以AE ED ⊥所以1AE ED SE ===,以下建系求解.以点E 为坐标原点,EA 方向为X 轴,EC 方向为Y 轴,ES 方向为Z 轴建立如图所示空间坐标系,则(0,0,0)E ,(0,0,1)S ,(1,0,0)A ,(1,2,0)B ,(0,2,0)C ,(1,0,1)SA =-,(0,2,0)AB =,(0,2,1)SC =-,(1,0,0)CB =,设平面SAB 的法向量1(,,)n x y z =,则1100n SA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,所以020x z y -=⎧⎨=⎩, 令1x =得1(1,0,1)n =为平面SAB 的一个法向量,同理得2(0,1,2)n =为平面SBC 的一个法向量, 12121210cos ,||||n n n n n n ⋅<>==⋅,因为二面角A SB C --为钝角,所以二面角A SB C --余弦值为5-. 19.解：（1）甲方案中派送员日薪y （单位：元）与送单数n 的函数关系式为： N ,100∈+=n n y ,乙方案中派送员日薪y （单位：元）与送单数n 的函数关系式为：⎩⎨⎧∈>-∈≤=N),55(,52012N),55(,140n n n n n y . ①由已知,在这100天中,该公司派送员日平均派送单数满足如下表格：所以X 甲的分布列为：所以()=1520.21540.31560.21580.21600.1155.4E X ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=甲, ()()()()()222222=0.2152155.4+0.3154155.4+0.2156155.4+0.2158155.4+0.1160155.4=6.44.S ⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-甲所以X 乙的分布列为： 所以()=1400.51520.21760.22000.1=155.6E X ⨯+⨯+⨯+⨯乙.()()()()22222=0.5140155.6+0.2152155.6+0.2176155.6+0.1200155.6=404.64.S ⨯-⨯-⨯-⨯-乙②答案一： 由以上的计算可知,虽然()()E X E X <乙甲,但两者相差不大,且2S 甲远小于2S 乙,即甲方案日工资收入波动相对较小,所以小明应选择甲方案.答案二：由以上的计算结果可以看出,()()E X E X <乙甲,即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望,所以小明应选择乙方案. 20解：（1）设,,2211r MF r MF ==由题122221212224112c e a r r a r r cr r ⎧==⎪⎪+=⎪⎨+=⎪⎪⋅=⎪⎩,解得1a c ==,则21b =, ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设0000(,)(0)A x y x y ⋅≠,1122(,),(,)B x y C x y , 当直线1AF 的斜率不存在时,设(1,2A -,则(1,2B --, 直线2AF的方程为(1)4y x =--代入2212x y +=,可得25270x x --= 275x ∴=,210y =-则7(,510D - ∴直线BD的斜率为1(1027(1)5k -==--,直线OA的斜率为22k =-121(6k k ∴⋅==-, 当直线2AF 的斜率不存在时,同理可得1216k k ⋅=-. 当直线1AF 、2AF 的斜率存在时,10±≠x设直线1AF 的方程为00(1)1y y x x =++,则由0022(1)112y y x x x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 可得： 22222200000[(1)2]422(1)0x y x y x y x ++++-+=,又220012x y +=,则220022y x =-,代入上述方程可得 2220000(32)2(2)340x x x x x x ++---=,2000101003434,3232x x x x x x x x ----∴⋅=∴=++,则000100034(1)13232y x y y x x x --=+=-+++ 000034(,)2323x y B x x +∴--++ 设直线2AF 的方程为00(1)1y y x x =--,同理可得000034(,)2323x y D x x --- , ∴直线BD 的斜率为000000001220000002323434341224362323y y x x x y x y k x x x x x x +-+===-+--+-+, 直线OA 的斜率为020y k x =, ∴20200001222200001123636366x x y y y k k x x x x -⋅=⋅===----. 所以,直线BD 与OA 的斜率之积为定值16-,即1216k k ⋅=-. 21．解：（Ⅰ）由题意()10f -=,所以()1(1)10f b a e ⎛⎫-=-+-= ⎪⎝⎭, 又()()1x f x x b e a '=++-,所以1(1)1b f a e e'-=-=-+, 若1a e=,则20b e =-<,与0b >矛盾,故1a =,1b =； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知()()()11x f x x e =+-, (0)0,(1)0f f =-=, 设)(x f 在(-1,0)处的切线方程为)(x h ,易得,()1()11e h x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,令()()()F x f x h x =-即()()()1()1e 111e x F x x x ⎛⎫=+---+ ⎪⎝⎭,()1()2e ex F x x '=+-, 当2x ≤-时,()11()2e 0e ex F x x '=+-<-< 当2x >-时,设()1()()2e ex G x F x x '==+-, ()()3e 0x G x x '=+>, 故函数()F x '在()2,-+∞上单调递增,又(1)0F '-=,所以当(),1x ∈-∞-时,()0F x '<,当()1,x ∈-+∞时,()0F x '>,所以函数()F x 在区间(),1-∞-上单调递减,在区间()1,-+∞上单调递增, 故0)1()(=-≥F x F ,11()()f x h x ≥,设()h x m =的根为1x ',则1e 11em x '=-+-, 又函数()h x 单调递减,故111()()()h x f x h x '=≥,故11x x '≤,设()y f x =在(0,0)处的切线方程为()y t x =,易得()t x x =令()()()()()1e 1x T x f x t x x x =-=+--,()()2e 2xT x x '=+-, 当2x ≤-时,()()2220x T x x e '=+-<-<当2x >-时,故函数()T x '在()2,-+∞上单调递增,又(0)0T '=,所以当(),0x ∈-∞时,()0T x '<,当()0,x ∈+∞时,()0T x '>,所以函数()T x 在区间(),0-∞上单调递减,在区间()0,+∞上单调递增, 0)0()(=≥T x T ,22()()f x t x ≥ ,设()t x m =的根为2x ',则2x m '=,又函数()t x 单调递增,故222()()()t x f x t x '=≥,故22x x '≥,又11x x '≤,2121e (12e)111e 1e m m x x x x m -⎛⎫''-≤-=--+=+ ⎪--⎝⎭. 选作题22.解：（1）由题意可知直线l的直角坐标方程为2y =+, 曲线C是圆心为,半径为r 的圆,直线l 与曲线C 相切,可得：2r =；可知曲线C的方程为22((1)4x y +-=,所以曲线C的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=, 即4sin()3ρθπ=+ ； (2)由（1）不妨设M （1,ρθ）,)6,(2πθρ+N ,（120,0ρρ>>）6πS MON =∆ ,, 当12πθ=时, 32+≤∆MO N S , 所以△MON面积的最大值为2+.23. 解：（1）由题意可知32x x m --≥恒成立,令3()2x g x x -=-, 去绝对值可得：36,(3)()263,(03)6,(0)x x x g x x x x x x --≥⎧⎪=-=-<<⎨⎪-≤⎩,画图可知()g x 的最小值为-3,所以实数m 的取值范围为3m ≤-；（2）由（1）可知2229a b c ++=,所以22212315a b c +++++=,222222222111()(123)11112312315a b c a b c a b c ++⋅++++++++++=+++22222221313239312132315155b a c a c b a b a c b c ++++++++++++++++++=≥= 当且仅当2221235a b c +=+=+=,即2224,3,2a b c ===等号成立, 所以222111123a b c +++++的最小值为35.。
河北省石家庄是2018年高三毕业班第二次模拟考试试卷数学(理科)
河北省石家庄市2018年高三毕业班第二次模拟考试试卷数学（理科）2018年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试数学理科答案一、选择题1—5：DBACA 6—10：BABAD 11—12：BC 二、填空题13. 5 14.20x y -+= 15. (1,3]三、解答题：（解答题按步骤给分，本答案只给出一种答案，学生除标准答案的其他解法，参照标准酌情设定,且只给整数分） 17. 解：（Ⅰ）：由已知的等差中项和是A c a B b cos C cos cos 得 2bcosB=acosC+ccosA …………………………2分 代入a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,化简得2sinBcosB=sinAcosC+cosAsinC ，………………………4分 所以2sinBcosB=sin(A+C)=sinB ,在三角形ABC 中，sinB ,0≠3,21cos π==B B 所以.………………………6分（Ⅱ）当△ABC 的外接圆面积为π时，则R=1，所以直径2R=2， b=2RsinB=3，……………………8分由余弦定理，b 2=a 2+c 2-2accosB 得3=a 2+c 2-ac ≥ac ，当且仅当a=c 时取到等号。
所以得到ac ≤3，………………………10分 则433ABC ,433sin 21的面积的最大值为即∆≤=∆B ac s ABC .…………………12分 18.解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，A 型节能灯中，一级品的频率为6.05040.05080.0=⨯+⨯，二级品的频率为4.05.06.05020.0=⨯+⨯，三级品的频率为0所以，在A 型节能灯中按产品级别用分层抽样的方法随机抽取10个，其中一级品6个，二级品4个设在这节能灯中随机抽取3个，至少有2个一级品为事件D ，恰好有n 个一级品为事件n D ，则=)(2D P 213101426=C C C ，=)(3D P 6131036=C C ……………………………2分因为事件32D D 、为互斥事件，所以，=+=)()()(32D P D P D P 326121=+ 即，在这10个节能灯中随机抽取3个，至少有2个一级品的概率为32……………………………4分（Ⅱ）设投资A 、B 两种型号节能灯的利润率分别为1X 、2X ，由频率分布直方图知，A 型节能灯中，一级品、二级品、三级品的概率分别为53、52，0B 型号节能灯中一级品、二级品、三级品的概率分别为107、41、201所以1X 、2X 的分布列分别是：……………………………………………………………….6分 则1X 、2X 的期望分别是：53255253)(221a a a a X E +=⨯+⨯=，10720262045107)(2222a a a a a X E +=++⨯=所以，a a X E X E 1012014)()(221-=-71()107a a =-………………………………8分因为61101<<a ，所以从长期看 当71101<<a 时，投资B 型号的节能灯的平均利润率较大 6171<<a 时，投资A 型号的节能灯的平均利润率较大 71=a 时，投资两种型号的节能灯的平均利润率相等…………………………………………………12分 19.解：（Ⅰ）因为,AE EF ⊥所以,PE EF ⊥ 又因为PE EB ⊥，且,FEEB B =所以PE ⊥平面FEB ，即PE ⊥平面BCDFE …………………….4分 （Ⅱ）在梯形ABCD 中，易求得2AB =． 设AE t =(02)t <<，建立如图所示空间直角坐标系，则(0,0,0)E ，(,0,0)A t -，(0,0,)P t ，(2,0,0)B t -，(4C t -，所以BC =，(2,0,)PB t t =--，设平面PBC 的法向量为1(,,)n x y z =，则1100BC n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,所以20(2)0x t x tz ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩，xz令1y =得12)(3,1,)t n t-=-为平面PBC 的一个法向量， 易知2(1,0,0)n =为平面PEF 的一个法向量，…………………8分 所以(121212cos ,||||nn n n n n <>===，…………..10分因为平面PEF 与平面PBC4=23t =或2t =-（舍）. 此时点E 为线段AB 的三等分点（靠近点A ）。
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河北省石家庄市2018届高三毕业班9月模拟考试数学（文）试题第I 卷(选择题共60分)一、选择题:（共12题.每小题5分.共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题1.复数i (-2+i )=A. 1+2iB.1-2iC.-1十2iD. -1-2i 2.若集合{}{}220,1x x x B x x -<=≤，则AB =.[1,0)A - .[1,2)B - .(0,1]C .[1,2)B3.椭圆若集合22189xy+=的离心为1.2A 1.5B 1.3C 1.4D4.某校一年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为140的样本，则此样本中男生人数为A.80B. 120C. 160D. 2405.为美化环境.从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中.余下的2种颜色的花种在另一个花坛中.则红色和紫色的花种在同一花坛的概率是1.10A 1.2B 1.3C 5.6D6.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是一个几何体的三视图.则该几何体的体积为.3A 11.3B .7C 23.3D7.已知实教x 、y 满足约束条件2002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2x +y 的最大值是A. 6B.3C.2D.88.执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1.则输出的k 值为A. 1B. 2C. 3D. 49.已知3lo g ,0(),0xx x f x a b x ⎧>=⎨+≤⎩，且(2)5,(1)3f f -=-=，则((3))f f -=J(I(-3))-A. -2B. 2C. 3D. -310.设平行四边形ABCD ，12,8A B A D ==.若点M 、N 满足3,2BM M C D N N C==，则A M N M =A. 20B. 15C. 36D. 6 11.双曲线2221(0)x ya b ab-=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作倾斜角为30︒的直线与y 轴和双曲线右支分别交于A 、B 两点，若点A 平分F 1B ，则该双曲线的离心率是AB .2C 3D12.三梭锥P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，且AB=BC=CA=PC=2，则该三棱锥的外接球的表 面积是.3A π.4B π 16.3C π 28.3D π第II 卷（非选择题共90分)二、填空题:（本题共4小题.每小题5分.共20分)13.已知向量(1,2),(,1)a b m =-=.若向量a 与b 垂直，则_____m =14.已知a 、b 、c 是△ABC 中角A 、B 、C 所对的边，若满足等式(a +b -c )(a +b +c )=ab ，则角C 的大小为_________15.首项为正数的等差数列{}n a 中，3475a a =，当其前n 项和S n 取最大值时，n 的值为______16.当直线y k x =与曲线ln (1)2x y ex +=--有3个公共点时，实数k 的取值范围是________。
三、解答题:(共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算过程) 17.(本小题满分10分) 函致()sin ()1(0,0)6f x A x A πωω=-+>>的最小值为-1，其图象相邻两最高点之间的距离为π(I)求函数()f x 的解析式，(II)设(0,),()222f παα∈=，求α的值·18.(本小题满分 12分)设数列{}n a 的前n 项和为S n ，且231n n S a =- (I)求数列{}n a 的通项公式;(II)设n nn b a =，求数列{}n b 的前n 项和T n19.(本小皿润分12分)如用1所示，在边长为24的正方形ADD 1A 1中，点B 、C 在边AD 上.且AB=6、BC=8.作BB 1 //AA 1分别交AD 1、A 1D 1于点P 、B 1，作CC 1//AA 1分别交AD 1 、A 1D 1于点Q 、C 1，将该正方形沿BB 1、CC 1折叠，使得DD 1与AA 1重合，构成如图2所示的三棱住ABC-A 1B 1C1(I)求证AB ⊥平面BCC 1B 1(II)求多面体A 1B 1C 1-APQ 的体视20. (本小题满分12分)一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示:(I)要从5名学生中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成续离于90分的概率.(II)根据上表致据.画出散点图并用散点图说明物理成绩y 与数学成绩x 之间线性相关关 系的强弱.如果具有较强的线性相关关系.求y 与x 的线性回归方程(系效精确到0.01)；如果不具有线性相关关系，请说明理由。
参考公式:回归直线的方程是: y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^=121()()()ni i i ni i x x y y x x ==---∑∑a yb x ∧∧∧=-，i y ∧是i x 对应的回归估计值参考数值：55211()40,()()30i i i i i x x x x y y ==-=--=∑∑21.(本小题满分12分) 设A 、B 为曲线C ：22xy =上两点，A 与B 的横坐标之和为2.(I)求直线AB 的斜率.(II)设M 为曲线C 上一点·曲线C 在点M 处的切线与直线AB 平行，且AM.⊥BM.求直线AB 的方程。
22.(本小题满分12分)已知函数2()ln f x x a x =- (I)当2a =时，求函数()f x 的最小值 (II)若函数2()()g x f x x=+在[1,)+∞上单调，求实数的取值范围高三数学9月模拟考试答案文科一选择题1D2C3C4A5C6B7D8D9B10C11A12D 二填空13． 14.15.6 16.（0，）17解：(1)∵函数f (x )的最小值为-1，∴-A ＋1＝-1，即A ＝2 ……………2分 ∵函数图象的相邻两最高点之间的距离为π， ∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. ……………5分(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝12. ……………7分∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π6，故α＝π3. ……… 10分18解 (Ⅰ)由2S n ＝3a n －1 ①① 2S n －1＝3a n －1－1 ②………………2分② ②得2a n ＝3a n －3a n －1，∴a na n －1＝3，(2≥n )………………………4分 又当n ＝1时，2S 1＝3a 1－1，即a 1＝1，（符合题意）∴{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －1．………………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得：b n ＝ n3n －1∴T n ＝ 1 30＋ 2 31＋ 3 32＋…＋ n3n －1，…………………③1 3T n ＝ 1 31＋2 32＋…＋ n －1 3n －1＋ n3n ，………④………………………8分 ③－④得： 2 3T n ＝ 1 30＋ 1 31＋ 1 32＋…＋ 1 3n －1－ n3n ……………………10分＝1－ 13n1－1 3－ n 3n ＝ 3 2－ 2n ＋3 2×3n∴T n ＝ 9 4－ 6n ＋9 4×3n ．……………………………………………12分19解：(1)由题知，在图2中，AB ＝6，BC ＝8，CA ＝10， ∴AB 2＋BC 2＝CA 2，∴AB ⊥BC .又∵AB ⊥BB 1，BC ∩BB 1＝B ，∴AB ⊥平面BCC 1B 1.………5分(2)由题易知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为12×6×8×24＝576. …………7分∵在图1中，△ABP 和△ACQ 都是等腰直角三角形， ∴AB ＝BP ＝6，AC ＝CQ ＝14，∴V A －CQPB ＝13×S 四边形CQPB ×AB ＝13×12×(6＋14)×8×6＝160. ………… 10分∴多面体A 1B 1C 1－APQ 的体积V ＝V ABC －A 1B 1C 1－V A －CQPB ＝576－160＝416 …12分20.(1)从5名学生中任取2名学生的所有情况为：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，A 5)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，A 5)，(A 3，A 4)，(A 3，A 5)，(A 4，A 5)，共10种情况． (2)分其中至少有一人的物理成绩高于90分的情况有：(A 1，A 2)，(A 1，A 4)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，A 5)，(A 3，A 4)，(A 4，A 5)共7种情况，………………4分故选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率为710.…………5分(2)可以看出，物理成绩与数学成绩高度正相关．散点图如图所示：从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理成绩与数学成绩正相关．……………7分设y 与x 的线性回归方程是y ^＝b ^x ＋a ^，根据所给的数据，可以计算出 x －＝93，y －＝90, ……………9分b ^＝3040＝0.75，a ^＝90－0.75×93＝20.25，……………11分 所以y 与x 的线性回归方程是 y ^＝0.75x ＋20.25.………………12分21解：(1)设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则12x x ≠，2211x y =，2222x y =，x 1+x 2=2，…………2分于是直线AB 的斜率12212121=+=--=x x x x y y k .…………4分（2）法1：由22xy =，得x y ='.设M （x 3，y 3），由题设知13=x ，于是M （1，21）.…………6分设直线AB 的方程为yx m=+，故线段AB 的中点为N （1,1+m ），|MN |=|m +21|.将yx m=+代入22xy =得0222=--m x x .…………8分当084>+=∆m ，即21->m 时，m x 2112,1+±=.从而)21(22||2||21m x x AB +=-=.…………10分由题设知||2||A B M N =，即||)(21212+=+m m ，解得27=m .所以直线AB 的方程为27+=x y .…………12分22. 解(1)由题意知,函数的定义域为(0,+∞), 当a=2时,f'(x )=2x 22(1)(1)x x x x+--=, …………2分由f'(x )<0得0<x<1,故f (x )的单调递减区间是(0, 1). 由f'(x )>0得x>1,故f (x )的单调递增区间是(1,+) 所以函数的最小值为f (1)=1……………5分 (2)由题意得g'(x )=2x 22a x x--,函数g (x )在[1,+∞)上是单调函数.………7分①若g (x )为[1,+∞)上的单调增函数,则g'(x )≥0在[1,+∞)上恒成立,即222a x x≤+在[1,+∞)上恒成立,………9分 设22()2x x xϕ=+,∵φ(x )在[1,+∞)上单调递增,∴φ(x )min =φ(1)=0,∴a ≤0.…………11分 ②若g (x )为[1,+∞)上的单调减函数,则g'(x )≤0即222a x x≥+由①知22()2x x xϕ=+在[1,+∞)上单调增，x 趋向于无穷大时φ(x )趋向于无穷大，φ(x )无最大值,故不可能. 综上所述，a 的取值范围为a ≤0. …………12分。