天津市南开中学高二数学必修5导学案：2.5等比数列的前n项和(2)
天津市南开中学高二数学必修5导学案：2.5等比数列的前n项和(2)
一、相关复习复习1：等比数列的前n 项和公式. 当时，＝当q =1时，复习2：等比数列的通项公式.= .二、新课导学 ◆ 典型例题例1 数列{}n a 的前n 项和1n n S a =-（a ≠0，a ≠1），试证明数列{}n a 是等比数列.变式：已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且142n n S a +=+， 11a =，设12n n n b a a +=-，求证：数列{}n b 是等比数列.例2 等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别是n S ，2n S ，3n S ，求证：n S ，2n n S S -，32n nS S -也成等比.变式：在等比数列中，已知248,60n n S S ==，求3n S .练2. 求数列1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，…的前n 项和S n .例3 设a 为常数，求数列a ，2a 2，3a 3，…，na n ，…的前n 项和；例4已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足)1(+-=n n n a S a S （a 为常数，且0,1a a ≠≠）．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n nn a S a b ⋅+=2，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值；◆ 动手试试练1 等比数列的前n 项和12nn s =-，求通项n a .练2化简：*32,N n a a a a n ∈+⋅⋅⋅+++三、学习小结1. 等比数列的前n 项和与通项关系；2. 等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别是n S ，2n S ，3n S ，则数列n S ，2n n S S -，32n n S S -也成为等比数列.◆ 当堂检测1.已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =（ ） (A) 52 (B) 7 (C) 6 (D) 422在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q≠.若12345m a a a a a a =，则m=（ ）（A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）124设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a 的值为_______________。
人教版高中数学必修五 教案 2.5 等比数列的前n项和2
2.5 等比数列的前n 项和教学过程 推进新课 ［合作探究］师 在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：1+q+q 2+…+q n =？ 师 这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察生 观察、独立思考、合作交流、自主探究师 若将上式左边的每一项乘以公比q ，就出现了什么样的结果呢？ 生 q+q 2+…+q n +q n +1生 每一项就成了它后面相邻的一项师 对上面的问题的解决有什么帮助吗？师 生共同探索： 如果记S n =1+q+q 2+…+q n 那么qS n =q+q 2+…+q n +q n +1要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =1-q n 师 提问学生如何处理，适时提醒学生注意q 的取值生 如果q≠1，则有qq S n--=11师 当然，我们还要考虑一下如果q ＝1问题是什么样的结果生 如果q ＝1，那么S n =n师 上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？课件展示： a 1+a 2+a 3+…+a n =？ ［教师精讲］师 在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法师 在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法 如果记S n =a 1+a 2+a 3+…+a n 那么qS n =a 1q+a 2q+a 3q+…+a n要想得到Sn ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =a 1-a n师 再次提醒学生注意q 的取值 如果q≠1，则有qq a a S n n --=11师 上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：如果记S n =a 1+a 1q+a 1q 2+…+a 1q n -1 那么qS n =a 1q+a 1q 2+…+a 1q n -1+a 1q n要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =a 1-a 1q n如果q≠1，则有qq a S n n --=1)1(1师 上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”.形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a 1,q,a n ,S n ,n 中a 1,q,a n ,S n 四个；后者出现的是a 1,q,S n ,n 四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n 项的和提供了选择的余地. 值得重视的是：上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比q≠1时，我们才能用上述公式师 现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果q ＝1问题是什么样的结果呢？生 独立思考、合作交流生 如果q ＝1，S n =na 1师 完全正确如果q ＝1，那么S n =na n 正确吗？怎么解释？生 正确.q ＝1时，等比数列的各项相等，它的前n 项的和等于它的任一项的n 倍师 对了，这就是认清了问题的本质师 等比数列的前n 项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下：［合作探究］思路一：根据等比数列的定义，我们有：q a a a a a a a a n n =====-1342312...再由合比定理，则得qa a a a a a a a n n=++++++++-1321432......即qa S a S nn n =--1从而就有(1-q)S n =a 1-a n(以下从略思路二：由S n =a 1+a 2+a 3+…+a n 得S n =a 1+a 1q+a 2q+…+a n -1q=a 1+q(a 1+a 2+…+a n -1)=a 1+q(S n -a n从而得(1-q)S n =a 1-an(以下从略师 探究中我们们应该发现，S n -S n -=a n 是一个非常有用的关系，应该引起大家足够的重视.在这个关系式中，n的取值应该满足什么条件？ 生 n＞师 对的，请同学们今后多多关注这个关系式：S n -S n -1=a n ，n ＞师 综合上面的探究过程，我们得出：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==1,1)1(,1,11q q q a q na S n n 或者1,1,1,11≠⎪⎩⎪⎨⎧--=q q q a a q na n［例题剖析］【例题1】 求下列等比数列的前8项的和：(1)21,41,81,…； (2)a 1=27,a 9=2431,q＜［合作探究］ 师生共同分析：由(1)所给条件，可得211=a ，21=q ,求n ＝8时的和，直接用公式即可 由(2)所给条件，需要从24319=a 中获取求和的条件，才能进一步求n ＝8时的和.而a 9=a 1q 8，所以由条件可得q 8=19a a =272431⨯，再由q ＜0，可得31-=q ，将所得的值代入公式就可以了生 写出解答：(1)因为211=a ,21=q ，所以当n ＝8时，256255211)21(1[2188=--=S(2)由a 1=27,24319=a ，可得272431198⨯==a a q，又由q ＜0，可得31-=q 于是当n ＝8时，811640)31(1)2724311(2718=--⨯-=S【例题2】 某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)？师 根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知S n =30 000求n 的问题生 理解题意，从中发现等比关系，并找出等比数列中的基本量，列式，计算解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列{a n }，其中a 1=5 000,q=1+10%=1.1,Sn于是得到300001.11)1.11(5000=--n整理得1.1n两边取对数，得n用计算器算得1.1lg 6.1lg =n ≈041.02.0≈5(年答：大约5年可以使总销售量达到30 000台练习：教材第66页，练习第1、2、3题课堂小结本节学习了如下内容：1.等比数列前n 项和公式的推导；特别是在推导过程中，学到了“错位相减法2.等比数列前n 项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量，一般需要知道其中的3个，才能求出另外一个量.另外应该注意的是，由于公式有两个形式，在应用中应该根据题意所给的条件，适当选择运用哪一个公式在使用等比数列求和公式时，注意q 的取值是至关重要的一个环节，需要放在第一位来思考.布置作业课本第69页习题2.5 A组第1、2、3题板书设计等比数列前n项和公式的推导与应用等比数列的前n项和公式情境问题的推导一般情形的推导例1练习：(学生板演) 例2练习：(学生板演)第二课时教学过程推进新课［例题剖析］师出示投影胶片2：课本第70页B组题第4题：例1思考以下问题：(1)依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期(3年)或6年时一次可支取本息共多少元？(2)依教育储蓄的方式，每月存a元，连续存3年，到期(3年)或6年时一次可支取本息共多少元？(3)依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期(3年)时一次可支取本息比同档次的“零存整取”多收益多少元？(4)欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计1万元，每月应存入多少元？(5)欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计a万元，每月应存入多少元？(6)依教育储蓄方式，原打算每月存100元，连续存6年，可是到了4年时，学生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少元？(7)依教育储蓄方式，原打算每月存a元，连续存6年，可是到了b年时，学生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少元？(8)不用教育储蓄方式，而用其他的储蓄方式，以每月可存100元，6年后使用为例，探讨以现行的利率标准可能的最大收益，将得到的结果与教育储蓄比较.［合作探究］师 要解决上面的这些问题，我们必须要了解一点银行的业务知识，据调查，银行整存整取定期储蓄存款利率计算公式是这样的：若每月固定存a 元，连续存n 个月，则计算利息的公式为2)1(nn a +×月利率师 你能解释这个公式的含义吗？ 生 独立思考、合作交流、自主探究师 (在学生充分探究后揭示)设月利率为q ，则这个公式实际上是数列：a q,2a q,3a q,…,na q,…的前n 项和这个数列的项不正是依次月数的利息数？这个数列具有什么特征呢？ 生 发现等差关系师 用我们的数学语言来说，这是个首项为a q ，公差为a q 的等差数列，而不是一个等比数列.从这个公式中我们知道，银行整存整取定期储蓄存款利率计算不是按复利(利生息——利滚利)计算的我们把这样的计算利息的方法叫做按单利(利不生息——利不滚利)计算这是我们在计算时必须弄明白的，否则，我们计算的结果就会与银行计算的实际结果不一致. 师 我们还需要了解银行的三年期、五年期的整存整取的存款利率，以及三年期零存整取的存款利率和利息税率：三年期整存整取存款年利率为2.52%，月利率为0.21%；五年整存整取存款年利率为2.79%，月利率为0.232 5%； 三年期零存整取存款年利率为1.89%，月利率为0.157 5%； 利息税率为师 下面我们来看第一个问题的结果生 计算，报告结果师 生共同解答：(1)解：因为三年期整存整取存款年利率为2.52%，月利率为0.21%，故依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期一次可支取本息共236)365050(⨯⨯+×0.21%+1 800＝1 869.93(元因为五年整存整取存款年利率为2.79%，月利率为0.232 5%，故依教育储蓄的方式，若每月存入每月存50元，连续存6年，到期一次可支取本息共272)725050(⨯⨯+×0.232 5%+3 600＝3 905.50(元(2)每月存入每月存a 元，连续存3年，到期一次可支取本息共236)36(⨯⨯+a a ×0.21%+36a (元若每月存入每月存a 元，连续存6年，到期一次可支取本息共272)72(⨯⨯+a a ×0.232 5%+72a (元(3)因为三年期零存整取存款年利率为1.89%，月利率为0.157 5%，故每月存50元，连续存3年，到期一次可支取本息共236)365050(⨯⨯+×0.157 5%×80%+1 800=1 841.96(元比教育储蓄的方式少收益27.97(元(4)设每月应存入x 元，由教育储蓄的计算公式得236)36(⨯⨯+x x ×0.21%+36x ＝解得x≈267.39(元)，即每月应存入267.39(元(5)设每月应存入x 元，由教育储蓄的计算公式得236)36(⨯⨯+x x ×0.21%+36x ＝10 000a解得x=3986.3710000a=267.39a ，即每月应存入267.39a (元(6)根据银行出台的教育储蓄《管理办法》，需要提前支取的，在提供证明的情况下，按实际存期和开户日同期同档次整存整取定期储蓄存款利率计付利息，并免征储蓄存款利息所得税.故该学生支取时，应按照三年期整存整取存款年利率为2.52%，月利率为0.21%进行计算.由计算公式得248)48100100(⨯⨯+×0.21%+4 800＝5 046.96(元(7)与第6小题类似，应根据实际存期进行同档次计算一到两年的按一年期整存整取计息.一年期整存整取存款年利率为1.98%，月利率为，故当b =1或2时，由计算公式得212)12(bb a a ⨯⨯+×0.165%+12ab (元当b =3或4或5时，应按照三年期整存整取存款年利率为2.52%，月利率为0.21%进行计算.根据计算公式得212 )12(bbaa⨯⨯+×0.21%+12ab(元(8)此题可以选择多种储蓄方式，学生可能提供多个结果，只要他们计算方式符合规定的储蓄方式即可.教师可以组织学生讨论，然后选择一个最佳答案［概括总结］师在我们上述探究问题的过程中，我们学到了许多课本上没有的东西，增长了一些银行存款的知识.我们可以用这些知识去规划一下自己将来接受教育的存款计划，并与家长商量，看能不能付诸于现实；我们也可以为身边的亲朋好友当个小参谋，把你学到的知识讲解给他们听一听，看他们能不能接受你的意见和建议从生产实际和社会生活中，我们还能寻找到更多的探究题材，只要我们做个有心人，我们学到的知识就能与生产实际与社会生活紧密的结合起来说明：此例文字量大，阅读理解能力要求较高，但是弄通问题的基本含义后，因为其蕴含的数学知识和方法并不深奥，计算量也不大，所以可以说是一个非常好的探究性问题.可以猜想，这也是普通高中新课程标准推崇它作为一个典型例题的理由师下面的问题需要我们用更多的数学知识才能解决它出示投影胶片3：例2你能估计函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域的面积吗？出示多媒体图片1：师如图，为了估计函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域的面积x，把x轴上的区间［0，3］分成n等份.从各分点作y轴平行线与图象相交，再从各交点向左作x轴平行线，构成(n-1)个矩形.下面用程序来计算这(n-1)个矩形的面积的和I N请输入将［0，3］分成的份数n：”;NWHILE k＜=N-AN -(k*3/n )^2)*3/NSUM=SUM=ANPRI N T k,ANWE NDE ND阅读程序，回答下列问题：(1)程序中的AN ，SUM 分别表示什么，为什么？(2)请根据程序分别计算当n ＝6，11，16时，各个矩形的面积的和(不必在计算机上运行程序).师 你能回答第一个问题吗？生 AN 表示第ｋ个矩形的面积，SUM 表示前ｋ个矩形面积的和生 当把x 轴上的区间［0，3］分成n 等份时，各等份的长都是n3理由是：各分点的横坐标分别是n 3,n 23⨯ ,…,nn )1(3-⨯从各分点作y 轴平行线与y=9-x 2图象相交，交点的纵坐标分别是2)3(9n -,2)23(9n ⨯- , (2))1(3[9nn -⨯-它们分别是各个相应矩形的高，所以各个矩形面积分别是nn 3])3(9[2⨯-,n n 3])23(9[2⨯⨯-,…,nn n 3)])1(3[(92⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⨯-师 对学生的思考给予高度的赞扬师 当我们把x 轴上的区间［0，3］分成n 等份时，按照上面的作图方法，我们得到了函数y=9-x 2在第一象限的图象与x 轴、y 轴围成的区域内的n -1个矩形师 想一想，这个由各个矩形面积组成的数列的前n -1项和如何求生 自主探究列式：nn n n n n n S n 3])1(3[9...3])23(9[3])3(9[2221⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⨯-++⨯⨯-+⨯-=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⨯-++⨯-+-]))1(3(9[...])23(9[])3(9[3222n n n n n=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+++--])1(...21[)3()1(932222n n n n师 引导学生整理所列出的式子，得到上述最后一道式子师 求和时遇到了12+22+…+n 2的计算问题，这也是一个求数列前n 项和的问题关于这个问题，我们只要求大家知道，这是求数列：12,22,32,…,n 2,…的前n 项和的问题.由于这个数列不是等差数列，也不是等比数列，因此不能用已经推导出来的等差数列前n 项和公式与等比数列前n 项和公式.而这个和的计算，要求同学们记得它的计算公式即要求记住：12+22+…+n 2=6)12)(1(++n n n关于这个公式的推导过程，我们可以作为知识拓展的材料，放在课外进行探究性学习师 运用这个公式，请把上面的n -1个矩形面积的和计算出来生 继续运算S n -1=n 3 {9(n -1)-( n 3)2［12+22+…+(n -1)2］}=n 3［9(n -1)-( n 3)26)12()1(--n n n ］ =222)134(9n n n --师 明确一下计算结果，再继续带领学生一起理解第2小题的含义并得出结果师 根据程序，当n ＝6时，5个矩形的面积的和就是输入N ＝6，SUM 的最后一个输出值那么当n ＝11时，10个矩形的面积的和就是N ＝11时，SUM 的最后一个输出值，即；当n =16时，我们就得到15个矩形面积的和当n =17时，SUM 的最后一个输出值是多少？ 生 n =17时，SUM 的最后一个输出值师 你是怎么计算n =17时，SUM 的最后一个输出值的呢？生 是用上面推导出来的计算公式：2212)134(9n n n S n --=-当n =500时，SUM 的最后一个输出值当n =1 000时，SUM 的最后一个输出值生 用公式2212)134(9n n n S n --=-，不难算出n =500时，SUM=17.973；n =1 000时，SUM=17.986. 师 在计算n =500与n =1 000时的最后一个输出值SUM 时，为什么用上面推导出来的公式而不用程序中的步骤呢？师 这是因为公式2212)134(9nn n S n --=-用起来很方便，只要给出上一个n 的值，就可以代入公式，一下子得出结果.另一方面，程序设计的是一个递推的循环结构.它在上机运行时，对于每个给定的n ，都要从k=1依次循环到k=N -1，这是同学们在没有上机条件时很难做到而又没有必要做到的事师 至此，你能估计出函数y=9-x 2在第一象限的图象与x 轴、y 轴围成的区域的面积了？ 生 由n =500与n =1 000时的最后一个输出值SUM ，可以估计，这个面积大约是师 一个非常准确的结果！ ［教师精讲］师 通过本例的探索，我们来归纳一下收获：1.本例中，程序使用了S n 的递推公式，即⎩⎨⎧+==-)1(,111＞n a S S a S n n n这个递推公式的推导，同学们可以自己去思考一下；2.需要同学们必须想到的是，这个公式还有一个非常重要的作用，那就是：它给我们提供了求数列的首项和第n 项的办法，即⎩⎨⎧+==-)1(,111＞n S S a S a n n n 3.关于估计函数y=9-x 2在第一象限的图象与x 轴、y 轴围成的区域的面积，这里采用的是无限逼近的思想，即［0，3］区间分得越细，前k 个矩形面积的和SUM 就越接近函数y=9-x 2在第一象限的图象与x 轴、y 轴围成的区域的面积.教材中已经在用旁白告诉我们，用微积分的知识可得x ＝18，而我们的估计值也是18，可见我们的估计非常准确课堂小结本节学习了如下内容：1.教育储蓄中的有关计算2.用计算机程序计算数列的和布置作业课本第69页习题2.5第4、5题板书设计。
高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和二导学案新人教A版必修5
2.5等比数列的前n 项和（二）【教学目标】1.熟练应用等比数列前n 项和公式的有关性质解题.2.会用错位相减法求和．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.5等比数列的前n 项和（二）》课件“复习回顾”部分，对上节课的内容进行简单回顾，从而引出本节课的学习内容.二、自主学习教材整理 等比数列前n 项和的性质阅读教材P 57第13行～P 58，完成下列问题．等比数列前n 项和的性质性质一：若S n 表示数列{a n }的前n 项和，且S n ＝Aq n －A (Aq ≠0，q ≠±1)，则数列{a n }是等比数列．性质二：若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则①在等比数列中，若项数为2n (n ∈N *)，则S 偶S 奇＝q .②S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列．三、合作探究问题1若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，那么数列{a n }是不是等比数列？若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－1呢？提示：当S n ＝2n －1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1， n ＝1，S n －S n －1，n ≥2＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，2n －1，n ≥2， n ∈N *是等比数列；当S n ＝2n ＋1－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1， n ＝1，S n －S n －1，n ≥2＝⎩⎪⎨⎪⎧3， n ＝1，2n ，n ≥2， n ∈N *不是等比数列．问题2若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列吗？ 提示：设{a n }的公比为q ，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，S 2n －S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 2n＝a 1q n ＋a 2q n ＋…＋a n q n ＝q n S n ，S 3n －S 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n ＋2＋…＋a 3n＝a n ＋1q n ＋a n ＋2q n ＋…＋a 2n q n＝q n (S 2n －S n )，∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列，公比为q n .问题3在上一节，我们是如何求公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 的？提示：在等式两端乘以公比，两式会出现大量的公共项，通过相减消去即可． 探究点1 等比数列前n 项和公式的函数特征应用例1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a 是不为零且不等于1的常数)，则数列{a n }( )A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．是等差数列或等比数列D ．既非等差数列，也非等比数列提示：B [当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a －1)·a n －1；当n ＝1时，a 1＝a －1，满足上式，∴a n ＝(a －1)·a n －1，n ∈N *.∴a n ＋1a n ＝a ，∴数列{a n }是等比数列．]名师点评：(1)已知S n 通过a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求通项a n ，应特别注意n ≥2时，a n ＝S n －S n －1. (2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝A (q n －1)，其中A ≠0，q ≠0且q ≠1，则{a n }是等比数列． 探究点2 等比数列前n 项和的性质命题角度1 连续n 项之和问题例2 已知等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为S n ，S 2n ，S 3n ，求证：S 2n＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．提示：方法一 设此等比数列的公比为q ，首项为a 1，当q ＝1时，S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1，S 3n ＝3na 1，∴S 2n ＋S 22n ＝n 2a 21＋4n 2a 21＝5n 2a 21，S n (S 2n ＋S 3n )＝na 1(2na 1＋3na 1)＝5n 2a 21， ∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．当q ≠1时，S n ＝a 11－q (1－q n )，S 2n ＝a 11－q (1－q 2n )，S 3n ＝a 11－q (1－q 3n )，∴S 2n ＋S 22n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·[(1－q n )2＋(1－q 2n )2] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )． 又S n (S 2n ＋S 3n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )， ∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．方法二 根据等比数列的性质有S 2n ＝S n ＋q n S n ＝S n (1＋q n )，S 3n ＝S n ＋q n S n ＋q 2n S n ，∴S 2n ＋S 22n ＝S 2n ＋[S n (1＋q n )]2＝S 2n (2＋2q n ＋q 2n )，S n (S 2n ＋S 3n )＝S 2n (2＋2q n ＋q 2n )．∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．名师点评：处理等比数列前n 项和有关问题的常用方法：(1)运用等比数列的前n 项和公式，要注意公比q ＝1和q ≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．(2)灵活运用等比数列前n 项和的有关性质．命题角度2 不连续n 项之和问题例3 已知等比数列{a n }的公比q ＝－13，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8等于( ) A ．－3B ．－13C ．3D.13提示：A [∵a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝a 1q ＋a 3q ＋a 5q ＋a 7q＝q (a 1＋a 3＋a 5＋a 7)∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝1q ＝－3.]名师点评：注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题解决过程变得简洁明快．探究点3 错位相减法求和例4 求数列{n2n }的前n 项和． 提示：设S n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ， 则有12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1， 两式相减，得S n －12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，即12S n ＝121－12n 1－12－n 2n ＋1 ＝1－12n －n 2n ＋1. ∴S n ＝2－12n －1－n 2n ＝2－n ＋22n . 名师点评：一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用错位相减法．四、当堂检测1．一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．193 2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝x ·3n －1－16，则x 的值为( ) A.13B ．－13C.12D ．－123．一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为( )A ．180B ．108C ．75D ．634．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n ＝3n ＋k ，则实数k ＝________.提示：1．C 2.C 3.D 4.－1五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?提示：1．在利用等比数列前n 项和公式时，一定要对公比q ＝1或q ≠1作出判断；若{a n }是等比数列，且a n >0，则{lg a n }构成等差数列．2．等比数列前n 项和中用到的数学思想：(1)分类讨论思想：①利用等比数列前n 项和公式时要分公比q ＝1和q ≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a 1>0，q >1或a 1<0,0<q <1时为递增数列；当a 1<0，q >1或a 1>0,0<q <1时为递减数列；当q <0时为摆动数列；当q ＝1时为常数列．(2)函数思想：等比数列的通项a n ＝a 1q n －1＝a 1q ·q n (q >0且q ≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n 项和S n ＝a 1q －1(q n －1)(q ≠1)．设A ＝a 1q －1，则S n ＝A (q n －1)也与指数函数相联系． (3)整体思想：应用等比数列前n 项和公式时，常把q n ，a 11－q 当成整体求解。
人教A版高中数学必修5第二章 数列2.5 等比数列的前n项和教案(2)
《等比数列的前n项和》教案一、教材分析从教材的编写顺序上来看，等比数列的前n项和是人教A版高中数学必修5第二章“数列”第五节的内容，它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系.就知识的应用价值上来看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数列求和问题中有着广泛的应用；另外它在如“分期付款”等实际问题的计算中也经常涉及到.就内容的人文价值上来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．教师教学用书安排“等比数列的前n项和”这部分内容授课时间2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系.二、教学目标依据课程标准，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下：知识与技能目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题．过程与方法目标：通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．情感与态度目标：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．三、教学重点和难点重点：等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用．从教材体系来看，它为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；从知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培养来看，通过公式推导教学可培养学生的运用数学语言交流表达的能力.突出重点方法：“抓三线、突重点”，即(一)知识技能线：问题情境→公式推导→公式运用；（二）过程与方法线:特殊到一般、猜想归纳→错位相减法等→转化、方程思想；（三）能力线：观察能力→数学思想解决问题能力→灵活运用能力及严谨态度.难点：等比数列的前n项和公式的推导．从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有待提高.从知识本身特点来看，等比数列前n项和公式的推导方法和等差数列的的前n项和公式的推导方法可比性低，无法用类比的方法进行，它需要对等比数列的概念和性质能充分理解并融会贯通，而知识的整合对学生来说恰又是比较困难的，而且错位相减法是第一次碰到，对学生来说是个新鲜事物.突破难点手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导.四、教学方法利用计算机和实物投影等辅助教学，采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式.六、教学设计说明1．情境设置生活化.本着新课程的教学理念，考虑到高一学生的心理特点以及初、高中教学的衔接，让学生学生初步了解“数学来源于生活”，采用动漫故事的形式创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生的探究欲.2．问题探究活动化．教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦.通过师生之间不断合作和交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性.3．辨析质疑结构化．在理解公式的基础上,及时进行正反两方面的“短、平、快”填空和判断是非练习.通过总结、辨析和反思，强化了公式的结构特征，促进学生主动建构，有助于学生形成知识模块，优化知识体系.4．巩固提高梯度化．例1采用表格形式,突出表现五个基本量“知三求二”的关系，通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用知识的能力；例2由教科书中的例题改编而成，并进行适当的变式,可以提高学生的模式识别的能力，培养学生思维的深刻性和灵活性.5．思路拓广数学化．从整理知识提升到强化方法，由课内巩固延伸到课外思考，变“知识本位”为“学生本位”，使数学学习成为提高学生素质的有效途径.以生活中的实例作为思考，让学生认识到数学来源于生活并应用于生活，生活中处处有数学．6．作业布置弹性化．通过布置弹性作业，为学有余力的学生提供进一步发展的空间．介绍相关网站让学生查阅有关资料，有利于丰富学生的知识，拓展学生的视野，提高学生的数学素养．。
高中数学必修5新教学案：2.5等比数列前n项和(2)
必修5 2.5 等比数列的前n 项和（学案） （第2 课时）【知识要点】1. 等比数列的前n 项和公式；2.等比数列的前n 项和公式的推导方法；3. 等比数列的前n 项和公式的实际问题． 【学习要求】1．掌握等比数列的前n 项和公式，并用公式解决实际问题； 2. 掌握等比数列前n 项和公式的推导方法并应用求和； 3.利用基本公式总结等比数列的和的性质．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 57 页～第 60页）．1. 数列{}n a 为等比数列，n s 前n 项和，则⋅⋅⋅--,,,232n n n n n s s s s s 成 数列．2.若某数列前n 项和为)1,0(1≠≠-=a a a s n n ，则{}n a 为 数列．3.在等比数列中，若项数为()+∈N n n 2,偶S 与奇S 分别为偶数项与奇数项的和，则偶S ÷=奇S ．4. 若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则m n S + m n n s q S +（大小关系）．5. 本节数列求和的方法：拆项法、错位相减法． 【基础练习】1.数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅-,3,,3,11n 的前n 项和()．()A 13-n()B 213-n ()C 23n ()D 2131-+n ． 2.数列{}121-+n 的前n 项和为()．()A n 21+ ()B n 22+ ()C 12-+n n ()D n n 22++3. 在等比数列{}n a 中，若3321=++a a a ，1432=++a a a ，则=++543a a a ()． ()A 31 ()B 3 ()C 9 ()D 27．4. 已知数列{}n a 的通项公式为,2n n n a ⋅=求{}n a 的前n 项和．5.某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台（结果保留到个位）？ 【典型例题】类型一 等比数列前n 项和的性质应用例1 （1）在等比数列{}n a 中，已知,60,482==n n s s 求.3n s（2）已知一个项数为偶数，首相为1的等比数列，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比及项数.【变式练习】.lg 2lg lg }{12++<+n n n n n S SS ，n ，S a 求证项的和是其前列是由正数组成的等比数设类型二 利用错位相减法求数列的和 类型三 等差或等比数列模型解应用题例2 （1）一个球从100高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下． ①当它第10次着地时，经过的路程共是多少？②当它第几次着地时，经过的总路程共是？m 75.293？（2）陈老师购买安居工程集资房72平方米，单价为1000元/平方米，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余额由个人负担.房地产开发公司对教师实行分期付款，每期为一年，等额付款，签订购房合同后一年付款一次，在经过一年又付款一次，等等，共付10次10年后付清，如果按年利率7.5%，每年按复利计算，那么每年应付款多少元？（计算结果精确到百元）（参考下列数据1.0759=1.921，1.07510=2.065，1.07511=2.221）1.在等比数列{a n }中，s 4=1,s 8=3,则a 17+a 18+a 19+a 20等于( ) .（A ） 14. （B ） 16. （C ） 18 （D ）20.2．已知线段1,A a PQ =是线段PQ 的中点，2A 是线段1QA 的中点，3A 是线段21A A 的中点，4A 是线段32A A 的中点, n A 是线段12--n n A A 的中点，则n PA 的长为（ ）.()A ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∙+1211n n a ()B ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∙+121132n n a ()C ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∙n n a 21()D ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∙n n a 211323．求和：=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++n333333333().()A 32710101n n --+()B 39110n n --()C 9110--n n ()D 910n4． 设等比数列{}n a 的前n 项和为,n s 若,62,22004200520032004+==s a s a 则数列{}n a的公比为（ ）.()A 2 ()B 4 ()C 5 ()D 35．设等比数列{}n a 的前n 项和为,n s ,11121na a a Wn +⋅⋅⋅++=如果,108=a 则=1515:W s .6． 等比数列{}n a 共有n 2项，其和为,240-且奇数项的和比偶数项的和大,80则公比为 .7． 设等比数列{}n a 的公比为q （q>0)，它的前n 项和为40,前2n 项和为3280,且前n 项中数值最大项为27,求数列的第2n 项．8．数列{}n a 中，⎩⎨⎧-=为偶数）（为奇数n n n an n3)(12，求其前n 项和.9．已知数列{}n a 中，,51=a 且当1>n 时，,121-+⋅⋅⋅++=n n a a a a 求数列{}n a 的通项公式.10．已知数列{},,,,,,:321⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n a a a a a 构成一个新数列：,),(,),(),(,123121⋅⋅⋅-⋅⋅⋅---n n a a a a a a a 此数列是首项为1，公比31的等比数列. （1） 求数列{}n a 的通项；（2）求数列{}n a 的前n 项和n s .1． (2008，江西)等差数列{an}的各项均为正数，,31=a 前n 项和为Sn,{bn} 为等比数列，,11=b 且,6422=⋅s b .96033=⋅s b.bn a n 与求必修5 2.5 等比数列的前n 项和（教案）（第2 课时）【教学目标】1．掌握等比数列的前n 项和公式，并用公式解决实际问题； 2. 掌握等比数列前n 项和公式的推导方法并应用求和； 3. 利用基本公式总结等比数列的和的性质． 【重点】1．掌握等比数列的前n 项和公式的推导方法及和的性质应用． 【难点】1. 从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力和技巧． 2．利用基本公式总结等比数列的和的性质并应用． 3. 数列应用题的建模能力的培养．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 57 页～第 60 页）． 1. 数列{}n a 为等比数列，n s 前n 项和，则⋅⋅⋅--,,,232n n n n n s s s s s 成 等比 数列． 2.若某数列前n 项和为)1,0(1≠≠-=a a a s n n ，则{}n a 为 等比 数列．3.在等比数列中，若项数为()+∈N n n 2,偶S 与奇S 分别为偶数项与奇数项的和，则偶S ÷=奇S q ．4. 若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则m n S + = .m n n s q S +5. 本节数列求和的方法：拆项法、错位相减法． 【基础练习】1.数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅-,3,,3,11n 的前n 项和()B ．()A 13-n()B 213-n ()C 23n ()D 2131-+n ．2.数列{}121-+n 的前n 项和为()C ．()A n 21+ ()B n 22+ ()C 12-+n n ()D n n 22++3. 在等比数列{}n a 中，若3321=++a a a ，1432=++a a a ，则=++543a a a ()A ．()A 31 ()B 3 ()C 9 ()D 27．4. 已知数列{}n a 的通项公式为,2n n n a ⋅=求{}n a 的前n 项和．解：因为,2n n n a ⋅=所以{}n a 是一个等差数列{}n 与等比数列{}n 2对应项的积构成的新数列，故可以用错位相减法求解．,22222n n n s ⋅+⋅⋅⋅+⋅+=,22)1(2222132+⋅+⋅-+⋅⋅⋅+⋅+=n n n n n s两式相减得：,2)222(12+⋅-+⋅⋅⋅++=-n n n n s 故.22)1(1+-=+n n n s5.某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台（结果保留到个位）？解：由题意得，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所有从今年起每年的销售量组成一个等比数列{}n a ，其中.30000,1.1%101,50001==+==n s q a得,300001.11)1.11(5000=--n 得6.11.1=n ，两边取对数得.6.1.6.1lg 1.1lg ==n 故.51.1lg 6.1lg ≈=n 答：大约5年可以使总销量达到30000台． 【典型例题】类型一 等比数列前n 项和的性质应用例1 （1）在等比数列{}n a 中，已知,60,482==n n s s 求.3n s（2）已知一个项数为偶数，首相为1的等比数列，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比及项数.【审题要津】数列公式的应用在于抓住基本量和基本公式联立方程组的通法求解，也要注意结合常见的性质规律思考．解：（1）法1：,1,22≠∴≠q s s n n由已知得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--60114811211qq a q q a nn， 两式相除得451=+nq ，即41=nq ，代入上式得,6411=-qa ().6341164113313=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=∴q q a s n n法2： {}n a 成等比数列，n n n n n s s s s s 232,,--∴也成等比数列，),()(2322n n n n n s s s s s -=-∴.633=∴n s（2）设原等比数列的公比为,q 项数为)(2*N n n ∈.由已知,1,11≠=q a 具有()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--170118511222qq q q q nn，相除得,2=q .4,2564,854141=∴==--∴n n n故公比为2，项数为8.【方法总结】运用性质时要注意的是⋅⋅⋅--,,,232n n n n n s s s s s 成等比数列，而不是⋅⋅⋅,,,32n n n s s s 成等比数列.【变式练习】.lg 2lg lg }{12++<+n n n n n S S S ，n ，S a 求证项的和是其前列是由正数组成的等比数设)()()(.,0,}{:111111111111121211211<-=-=--+=+-+=-∴+=+=>++++++++++++n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a S S a S qS S a S qS S a S qS a qS a S S S S qS a S qS a S ，q q a 则且的公比为设证明 类型二 等差或等比数列模型解应用题例2 （1）一个球从100高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下． ①当它第10次着地时，经过的路程共是多少？②当它第几次着地时，经过的总路程共是？m 75.293？【审题要津】本题为应用题，认真审题后将实际问题转化到等比数列的数学问题来解决．解：（1）第10次着地时，经过的路程共是)222(1002100)21002550(21009219----+⋅⋅⋅++⨯+=⨯+⋅⋅⋅+++)m (61.29921)21(2200100191≈--⨯+=--- （2）设第n 次着地时，经过的路程为)m (75.293，则75.29321)21(2200100)222(10021001)1(1)1(21=--⨯+=+⋅⋅⋅++⨯+--------n n 所有,75.29322003001=⨯--n 解得,03125.021=-n 所以,51-=-n 则.6=n【方法总结】本题的数学模型是等比数列，弄清已知什么，求什么，转化为等比数列中知三求二问题．（2）陈老师购买安居工程集资房72平方米，单价为1000元/平方米，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余额由个人负担.房地产开发公司对教师实行分期付款，每期为一年，等额付款，签订购房合同后一年付款一次，在经过一年又付款一次等等，共付10次10年后付清，如果按年利率7.5%，每年按复利计算，那么每年应付款多少元？（计算结果精确到百元）（参考下列数据1.0759=1.921，1.07510=2.065，1.07511=2.221） 【审题要津】类比于以前解决应用题的办法加强审题，明确转化的数列的类型和已知、所求，这里要特别注意从题意中理解分期付款的含义.解：设每年应付款x 元，那么到最后一次付款时（即购房10年后），第1年付款及所生利息之和为x×9元， 第2年付款及所生利息之和为x×1.0758……，第9年付款及所生利息之和为x×1.075元，第10年付款为x 元，而所购房余款的现价及其利息之和为 ［1000×72-（28800+14400）］×1.07510=28800×1.07510元， ∴x(1+1.075+1.0752+……+1.0759)=28800×1.07510∴x=28800×2.065×0.070≈4200. 故每年需付款4200元.【方法总结】解决数列应用题的步骤：1.认真审题，准确理解题意，明确是等差还是等比数列，弄清已知什么，求什么；2.抓住数量关系，联想数学知识和方法，将数量关系用数学式子表示；3.将数学问题转化为实际问题.1.在等比数列{}n a 中，s 4=1,s 8=3,则a 17+a 18+a 19+a 20等于( B ) .（A ） 14. （B ） 16. （C ） 18 （D ）20.2．已知线段1,A a PQ =是线段PQ 的中点，2A 是线段1QA 的中点，3A 是线段21A A 的中点，4A 是线段32A A 的中点, n A 是线段12--n n A A 的中点，则n PA 的长为（B ）.()A ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∙+1211n n a ()B ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∙+121132n n a ()C ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∙n n a 21()D ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∙n n a 211323．求和：=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++n 333333333()A .()A 32710101n n --+()B 39110n n --()C 9110--n n ()D 910n4． 设等比数列{}n a 的前n 项和为,n s 若,62,22004200520032004+==s a s a 则数列{}n a 的公比为（A ）.()A 2 ()B 4 ()C 5 ()D 35．设等比数列{}n a 的前n 项和为,n s ,11121na a a Wn +⋅⋅⋅++=如果,108=a 则1515:W s 1:100 .6． 等比数列{}n a 共有n 2项，其和为,240-且奇数项的和比偶数项的和大,80则公比为 2 .7． 设等比数列{}n a 的公比为q （q>0)，它的前n 项和为40,前2n 项和为3280,且前n 项中数值最大项为27,求数列的第2n 项。
高中数学 2.5等比数列的前n项和(2)导学案 新人教版必修5
1. 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前项和公式；复习2：等比数列的通项公式. n a = = .二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：等比数列的前n 项和与通项关系 问题：等比数列的前n 项和 n S =1231n n a a a a a -+++++， 1n S -=1231n a a a a -++++ （n ≥2），∴ 1n n S S --= ， 当n ＝1时，1S = .反思：等比数列前n 项和n S 与通项n a 的关系是什么？※ 典型例题例1. 等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别是n S ， 2n S ，3n S ，求证：n S ，2n n S S -，32n n S S -也成等比.变式：在等比数列中，已知248,60n n S S ==，求3n S . ※ 动手试试练1. 等比数列{}n a 中，301013S S =，1030140S S +=，求20S . 练2. 求数列1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，…的前n 项和S n . 三、当堂检测1. 等比数列{}n a 中，33S =，69S =，则9S =（ ）. A. 21 B. 12 C. 18 D. 242. 在等比数列中，14a =，q ＝2，使4000n S >的最小n 值是（ ）. A. 11 B. 10 C. 12 D. 93. 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”.如(1101)2表示二进制的数， 将它转换成十进制的形式是32101212021213⨯+⨯+⨯+⨯=，那么将二进制数 A. 922- B. 821- C. 822- D. 721-4. 在等比数列中，11a =，512n a =-，341n S =-，则q ＝ ，n ＝ .5. 等比数列的前n 项和12nn s =-，求通项n a .6. 设a 为常数，求数列a ，2a 2，3a 3，…，na n，…的前n 项和；中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
人教版高中数学必修(五)2.5等比数列的前n项和教案(2)
等比数列的前n 项和(一)教学目标1、 知识与技能：掌握等比数列的前n 项和公式，并用公式解决实际问题2、 过程与方法：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式3、 情态与价值：从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力（二）教学重、难点重点：使学生掌握等比数列的前n 项和公式，用等比数列的前n 项和公式解决实际问题 难点：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式（三）学法与教学用具学法：由等比数列的结构特点推导出前n 项和公式，从而利用公式解决实际问题 教学用具：投影仪（四）教学设想教材开头的问题可以转化成求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和.类似于等差数列，我们有必要探讨等比数列的前n 项和公式。
一般地，对于等比数列a 1，a 2，a 3，．．．, a n ,．．．它的前n 项和是Sn= a 1+a 2+a 3+．．．+a n由等比数列的通项公式,上式可以写成Sn= a 1+a 1q + a 1q 2 +．．．+a 1q n-1 ①① 式两边同乘以公比q 得qSn= a 1q+ a 1q 2 +．．．+a 1q n-1+ a 1q n ②①,②的右边有很多相同的项,用①的两边分别减去②的两边,得(1-q)Sn= a 1－a 1q n当ｑ≠１时，Sn=qq a n --1)1(1 （q ≠1） 又a n =a 1q n-1 所以上式也可写成Sn=qq a a n --11（q ≠1） 推导出等比数列的前n 项和公式，本节开头的问题就可以解决了[相关问题]①当q=1时，等比数列的前n 项和公式为Sn=n a 1② 公式可变形为Sn=q q a n --1)1(1=1)1(1--q q a n （思考q >1和q <1时分别使用哪个方便） ③ 如果已知a 1, a n,q,n,Sn 五个量中的任意三个就可以求出其余两个[例题分析]例1 求下列等比数列前8项的和:(1)21,41,81,．．．；(2) a 1=27, a 9=2431,q <0 评注:第(2)题已知a 1=27,n=8,还缺少一个已知条件,由题意显然可以通过解方程求得公比q,题设中要求q <0,一方面是为了简化计算,另一方面是想提醒学生q 既可以为正数,又可以为负数.例2 某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?评注:先根据等比数列的前n 项和公式列方程,再用对数的知识解方程[随堂练习]第66页第1.2.3题[课堂小结](1) 等比数列的前n 项和公式中要求q ≠1;这个公式可以变形成几个等价的式子(2) 如果已知a 1, a n,q,n,Sn 五个量中的任意三个就可以求出其余两个(五)评价设计(1)课后阅读:课本67页[阅读与思考](2)课后作业:第69页1,2,4题。
数学必修5人教A教案+导学案2.5等比数例的前n项和
课题: §2.5.1等比数列的前n 项和（1）教案教材分析：本节知识是必修5第二章第5节的学习内容，是在学习完等差数列前n 项和的基础上再次学习的一种求和的思想与方法。
再者本节课的求和思想为一般的数列求和作了准备。
●教学目标 知识与技能：掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。
过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。
情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。
●教学重点等比数列的前n 项和公式推导 ●教学难点灵活应用公式解决有关问题 学情分析：针对学生学习等差数列前n 项和时的情况，一定在本节课的教学中加大思想方法的教学力度，突破错位相减思想理解困难。
引导学生完成基本技能的训练。
●教学过程 一.课题导入 [创设情境][提出问题]课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励” 二.讲授新课[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。
下面我们先来推导等比数列的前n 项和公式。
等比数列的前n 项和公式：当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11② 当q=1时，1na S n =当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, na 时，用公式②.公式的推导方法一： 一般地，设等比数列n a a a a ,,321+它的前n 项和是=n S na a a a +++321由⎩⎨⎧=+++=-11321n n nn q a a a a a a S得⎪⎩⎪⎨⎧++++=++++=---n n n n n n q a q a q a q a q a qS q a q a q a q a a S 1113121111212111nn q a a S q 11)1(-=-∴论同上）∴当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11② 当q=1时，1na S n =公式的推导方法二：有等比数列的定义，q a a a a a a n n ====-12312根据等比的性质，有qa S a S a a a a a a nn n n n =--=++++++-112132即qa S a S n n n =--1⇒qa a S q n n -=-1)1(（结围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式． 公式的推导方法三：=n S na a a a +++321＝)(13211-++++n a a a a q a＝11-+n qS a ＝)(1n n a S q a -+⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上）[解决问题]有了等比数列的前n 项和公式，就可以解决刚才的问题。
必修五2.5.等比数列的前n项和(教案)
人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修12.5 等比数列的前n 项和教案 A第1课时教学目标一、知识与技能掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.二、过程与方法经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题.三、情感、态度与价值观在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和实事求是的精神. 教学重点和难点教学重点：等比数列的前n 项和公式推导.教学难点：灵活应用公式解决有关问题.教学关键：等比数列前n 项和公式的推导方法及公式的应用.教学突破方法：主要采用观察、归纳推理等教学方法，同时采用设计一题多解的教学手段进行公式推导教学，通过具体问题的引入，使学生体会数学源于生活，创设情境，重在启发引导，使学生由浅到深、由易到难分层次对本节课内容进行掌握. 教法与学法导航教学方法：启发、讨论、引导式以及多媒体辅助多种手段相结合，使学生在“做数学”的过程中，掌握数学的概念和方法的本质.学习方法：由等比数列的结构特点推导出前n 项和公式，从而利用公式解决实际问题.教学准备教师准备：投影仪等多媒体.学生准备：等比数列的前n 项和的学案. 教学过程一、创设情境，导入新课 先复习引入：1. 等比数列的定义；2.等比数列的通项公式: 111(0)-=⋅⋅≠n n a a q a q ，11(0)-=⋅⋅≠m n m a a q a q ；教师备课系统──多媒体教案23．｛n a ｝成等比数列⇔nn a a 1+=q （*N n ∈， q ≠0）n a ≠0 ； 4．性质：若m+n=p+q ，⋅=⋅m n p q a a a a .再引入问题：课本第55页“国王对国际象棋的发明者的奖励”.二、主题探究，合作交流 1．提出问题 ：例如：怎样求数列1，2，4，…262，263的各项和？即求以1为首项、2为公比的等比数列的前64项的和，可表示为：636264228421+++++= S . ①26463642216842+++++= S . ② 由②—①可得：126464-=S .这种求和方法称为“错位相减法”，“错位相减法”是研究数列求和的一个重要方法. 2．怎样求等比数列前n 项的和？ 公式的推导方法一：一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 它的前n 项和是=n S n a a a a +++321.由⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-.,11321n nn n q a a a a a a S 得⎪⎩⎪⎨⎧++++=++++=---.,1113121111212111nn n n n n q a qa q a q a q a qS q a q a q a q a a S n n q a a S q 11)1(-=-∴.∴当1≠q 时， qq a S n n --=1)1(1， ①或 qqa a S n n --=11. ②当q =1时，1na S n =.人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修3公式的推导方法二：由定义，q a a a a a a n n ====-12312 . 由等比的性质，q a S a S a a a a a a nn n n n =--=++++++-112132 .即q a S a S nn n =--1⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上）.围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式． 公式的推导方法三：=n S n a a a a +++321＝)(13211-++++n a a a a q a ＝11-+n qS a ＝)(1n n a S q a -+， ⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上）.“方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决． 3．等比数列的前n 项和公式：当1≠q 时， qq a S n n --=1)1(1， ①或 qqa a S n n --=11 . ②当q =1时，1na S n =.思考：什么时候用公式①；什么时候用公式②？答：当已知a 1、q 、n 时用公式①；当已知a 1、q 、a n 时，用公式②. 有了等比数列的前n 项和公式，就可以解决刚才棋盘麦粒的问题. 由11,2,64a q n ===可得1(1)1n n a q S q -=-=641(12)12⨯--=6421-.教师备课系统──多媒体教案46421-这个数很大，超过了191.8410⨯.假定千粒麦子的质量为40g ，那么麦粒的总质量超过了7000亿吨. 所以国王是不可能同意发明者的要求，国王不能实现他的诺言.三、实例分析，应用提高例1 求下列等比数列前8项的和．（1）21，41，81，…； （2）0,2431,2791<==q a a . 解：（1）由a 1=21， ,8,212141==÷=n q 得 .S 2562552112112188=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=（2）可得由,2431,2791==a a 8272431q ⋅＝. 又由0<q ，可得31-=q .所以，8116403113112788=⎪⎭⎫⎝⎛--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=S . 评注:第（2）题已知a 1=27，n =8，还缺少一个已知条件，由题意显然可以通过解方程求得公比q ，题设中要求q <0，一方面是为了简化计算，另一方面是想提醒学生q 既可以为正数，又可以为负数.例2 某商场第一年销售计算机5000台，如果平均每年的售价比上一年增加10％，那么从第一年起，约几年内可使总销售量达到30000台（保留到个位）？解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以从第一年起，每年的销售量组成一个等比数列{a n }，其中a 1=5000， ,30000,1.1%101==+=n S q 于是得到.300001.11)1.11(5000=--n 整理得.6.11.1=n两边取对数，得lg1.1lg1.6n =. 用计算器算得5≈n （年）.答:约5年内可以使总销售量达到30000台.人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修5评注:先根据等比数列的前n 项和公式列方程，再用对数的知识解方程.例3 求数列, (16)14,813,412,211前n 项的和. 分析：显然这个数列的前n 项和可以分解成一个等差数列和一个等比数列的前n 项和的和.解：设 )21(813412211n n n S +++++= )21814121()321(n n ++++++++==2)1(+n n +211)21(121--⨯n=2)1(+n n +n 211-.练习：教材第58页练习第1、2、3题．四、小结1. 等比数列求和公式：当q = 1时，1na S n =；当1≠q 时，q q a a S n n --=11 或qq a S n n --=1)1(1.2．这节课我们从已有的知识出发，用多种方法（迭加法、运用等比性质、错位相减法、方程法）推导出了等比数列的前n 项和公式，并在应用中加深了对公式的认识．五、课堂作业 1. 阅读例3.2. 教材第61页习题2.5 A 组第1、2题.第2课时教学目标一、知识与技能1. 会用等比数列的通项公式和前n 项和公式解决有关等比数列的S n 、a n 、a 1、n 、q 中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力.二、过程与方法 通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想. 三、情感、态度与价值观教师备课系统──多媒体教案6培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质. 教学重点和难点教学重点：进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式.教学难点：灵活使用公式解决问题.教学关键：等比数列性质的推导和应用.教学突破方法：采用观察法、归纳法等教学方法，同时采用设计变式题的教学手段进行教学.教法与学法导航教学方法：多媒体优化组合激励发现式教学模式 ，启发讲解、互动讨论、研究探索反馈评价等多种手段相结合.学习方法：引导学生自主探索，创造机会让学生合作、探究、交流. 教学准备教师准备；多媒体、实物投影仪等多媒体.学生准备：等差数列前n 项和公式、学案、教材等. 教学过程一、创设情境，导入新课1．等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==).1(1)1(),1(11q qq a q na S n n 2．数学思想方法：错位相减、分类讨论、方程思想. 二、主题探究，合作交流1．等比数列通项a n 与前n 项和S n 的关系？答:{a n }是等比数列B Aq S n n +=⇔，其中0,1,0=+≠≠B A q A . 练习：若在等比数列{a n }中，,13+⨯=n n m S 则实数m ＝ -1 .2．S n 为等比数列的前n 项和， 0≠n S ，则*232,(N ),k k k k k S S S S S k --∈，是等比数列．解：设等比数列{}n a 首项是1a ，公比为q ，①当q =－1且k 为偶数时，k k k k k S S S S S 232,,--不是等比数列. ∵此时，k k k k k S S S S S 232-=-==0.（例如：数列1，﹣1，1，﹣1，…是公比为﹣1的等比数列，46242S S S S S -=-=， S 2=0 ）人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修7②当q ≠－1或k 为奇数时，k S ＝k a a a a +++3210≠.k k S S -2＝)(321k ka a a a q +++0≠. k k S S 23-＝)(3212k ka a a a q +++0≠.⇒k k k k k S S S S S 232,,--（∈k +N ）成等比数列．评述：①注意公比q 的各种取值情况的讨论，②不要忽视等比数列的各项都不为0的前提条件． 练习：①在等比数列中，S 10= 10，S 20= 30，则S 30= 70 . ②在等比数列中，S n = 48，S 2n = 60，则S 3n = 63 .3．在等比数列中，若项数为2n （n ∈N *），S 偶与S 奇分别为偶数项和与奇数项和，则=奇偶S S q .练习：等比数列{a n }共2n 项，其和为-240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q = 2 .三、拓展创新，应用提高例1 设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若21,,++n n n S S S 成等差数列，则q 的值为 -2 .解：n n n n S S S S -=-++212212121-=⇒-=⇒+=-⇒+++++q a a a a a n n n n n ．例2 在等差数列{a n }中，a 1=1，d=2，依次抽取这个数列的第1，3，32，…，3n -1项组成数列{b n }，求数列{b n }的通项和前n 项和S n .解:由题意a n =2n －1，故,132131-⨯==--n n n a bS n =b 1+b 2+…+b n =2（1+3+32+…+3n-1）－n =3n － n －1.例3 已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项对应相同，且a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n 对任意的n ∈N *都成立，数列{b n ＋1－b n }是等差数列．（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（2）问是否存在k ∈N *，使得（b k －a k ）∈（0，1）？请说明理由．解：（1）已知a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n （n ∈N *）， ①教师备课系统──多媒体教案8当n ≥2时，a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8（n －1）（n ∈N *） ， ②①－②得2n －1a n ＝8，求得a n ＝24－n ，在①中令n ＝1，可得a 1＝8＝24－1，∴a n ＝24－n （n ∈N *）．由题意知b 1＝8，b 2＝4，b 3＝2， ∴b 2－b 1＝－4，b 3－b 2＝－2，∴数列{b n ＋1－b n }的公差为－2－（－4）＝2， ∴b n ＋1－b n ＝－4＋（n －1）×2＝2n －6． 法一：由迭代法得：b n ＝b 1＋（b 2－b 1）＋（b 3－b 2）＋…＋（b n －b n －1） ＝8＋（－4）＋（－2）＋…＋（2n －8） ＝n 2－7n ＋14（n ∈N *）．法二：可用累加法， 即b n －b n －1＝2n －8， b n －1－b n －2＝2n －10， …b 3－b 2＝－2， b 2－b 1＝－4， b 1＝8，相加得b n ＝8＋（－4）＋（－2）＋…＋（2n －8）＝8＋(n －1)(－4＋2n －8)2＝n 2－7n ＋14（n ∈N *）．（2）∵b k －a k ＝k 2－7k ＋14－24－k ，设f （k ）＝k 2－7k ＋14－24－k .当k ≥4时，f （k ）＝（k －72）2＋74－24－k 单调递增．且f （4）＝1，∴当k ≥4时，f （k ）＝k 2－7k ＋14－24－k ≥1. 又f （1）＝f （2）＝f （3）＝0，∴不存在k ∈N *，使得（b k －a k ）∈（0，1）．例4 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4=24，a 2=5，对每一个k ∈N *，在a k 与a k ＋1之间插入2k －1个1，得到新数列{b n }，其前n 项和为T n .（1）求数列{a n }的通项公式；（2）试问a 11是数列{b n }的第几项；（3）是否存在正整数m ，使T m ＝2010？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）设{a n }的公差为d ，∵S 4＝4a 1＋4×32d ＝24，a 2＝a 1＋d ＝5，∴a 1＝3，d ＝2，a n ＝3＋（n －1）×2＝2n ＋1.（2）依题意，在a 11之前插入的1的总个数为1＋2＋22＋…＋29＝1－2101－2＝1023，人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修91023＋11＝1034，故a 11是数列{b n }的第1034项．（3）依题意，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 2＋2n ，a n 之前插入的1的总个数为1＋2＋22＋…＋2n －2＝1－2n －11－2＝2n －1－1，故在数列{b n }中，a n 及前面的所有项的和为n 2＋2n ＋2n －1－1，∴数列{b n }中，a 11及前面的所有项的和为112＋22＋210－1＝1166＜2010， 而2010－1166＝844，a 11与a 12之间的1的个数为210＝1024个， 即在a 11后加844个1，其和为2010，故存在m ＝1034＋844＝1878，使T 1878＝2010. 四、小结1．{a n }是等比数列B Aq S n n +=⇔，其中0,1,0=+≠≠B A q A . 2．S n 为等比数列的前n 项和，则232--n n n n n S S S S S ，，一定是等比数列. 3．在等比数列中，若项数为2n （n ∈N *），S 偶与S 奇分别为偶数项和与奇数项和，则q S S =奇偶.五、课堂作业课本第61页习题2.5A 组第4、5、6题．教案 B第1课时教学目标一、知识与技能掌握等比数列的前n 项和公式，并用公式解决实际问题. 二、过程与方法由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式. 三、情感、态度与价值观从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力. 教学重点和难点教学重点：使学生掌握等比数列的前n 项和公式，用等比数列的前n 项和公式解决实际问题.教学难点：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式. 学法与教学用具教学方法：由等比数列的结构特点推导出前n 项和公式，从而利用公式解决实际问题.教师备课系统──多媒体教案10教学用具：投影仪. 教学过程一、情景引入棋盘问题：国际象棋起源于古代印度，关于国际象棋有这样一个传说.国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子为止.把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人吧.国王觉得这并不是很难办到的事，就欣然同意了他的要求.提出问题：国王应该给发明者多少粒麦粒呢？你认为国王有能力满足发明者的要求吗？62636412422S =+++++.二、新课教学问题解决：主要方法 （错位相减法）62636412422S =+++++， ① 636464224822S =+++++， ②②-①得 ：646421S =-. 备选方法一 （构造方程）62636412422S =+++++.616263646412(1222)12(2)S S =+++++=+-.解得：646421S =-. 备选方法二 （等比定理）6263616224822212422======，由等比定理得： 6263616224822212422+++++=+++++，即646364122S S -=-. 得到646421S =-. 反思问题: 264-1这个数很大，要生产这么多麦子，全世界要两千年.当国王明白这一情况时，他是不可能同意发明者的要求.为什么国王犯下如此错误，主要是他没有数学头脑，说明数学在实际生活中多么重要.说明：采用小组讨论方法解决这问题，充分肯定学生多种想法的基础上引导出错位相减法.公式推导： 问题1：把2改成q ，则2211n n n S q q q q --=+++++，如何化简？仿造上面的求和方法（主要讲错位相减法），等式两边应同乘以q ，即2211n n n S q q q q --=+++++， ① 221n n n n qS qq q q q --=+++++， ②人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修11①-②得： (1)1n n q S q -=-. ③ （提问学生如何处理，提醒学生注意q 的取值）当1q =时， 由①得 n S n =；当1q ≠时， 由③得 11nn q S q-=- .说明：其他两种方法证明2211n n n S q q q q --=+++++作为课后作业.问题2：等比数列{}n a 前n 项的和呢? 对于一般等比数列{}n a ，它的前n 项的和是221123111112211(1)，----=++++=+++++=+++++n n n n n n S a a a a a a q a q a q a q a q q q q可得等比数列前n 项和公式111,(1)(1).(1)11n n n na q S a a qa q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩三、拓展提高例1 （1）已知在等比数列{}n a 中，12a =，3q =，求3S ； （2）求等比数列1，11111,,,,2482n 的前10项的和. 解：（1）332(13)26;13S ⨯-==- （2）1010111()110232,1251212q S ⎡⎤⨯-⎢⎥⎣⎦=∴==-. 例2 五洲电扇厂去年实现利税300万元，计划在今后5年中每年比上一年利税增长10%，问从今年起第5年的利税是多少？这5年的总利税是多少（结果精确到万元）？ 解：每年的利税组成一个首项为1300a =，公比为1+10%q =的等比数列. 从今年起，第5年的利税为55561300(1+10%)300 1.1483a a q ===⨯≈（万元）， 这5年的利税为：教师备课系统──多媒体教案12552(1)1 1.1300 1.1201511 1.1a qSq--==⨯⨯≈--（万元）.答：从今年起第5年的利税约是483万元；这5年的总利税是2015万元。
高中数学2.5等比数列的前n项和教案新人教版必修5
2.5等比数列的前n 项和(一)教学目标1、 知识与技能：掌握等比数列的前n 项和公式，并用公式解决实际问题2、 过程与方法：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式3、 情态与价值：从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力（二）教学重、难点重点：使学生掌握等比数列的前n 项和公式，用等比数列的前n 项和公式解决实际问题 难点：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式（三）学法与教学用具学法：由等比数列的结构特点推导出前n 项和公式，从而利用公式解决实际问题 教学用具：投影仪（四）教学设想教材开头的问题可以转化成求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和.类似于等差数列，我们有必要探讨等比数列的前n 项和公式。
一般地，对于等比数列a 1，a 2，a 3，．．．, a n ,．．．它的前n 项和是Sn= a 1+a 2+a 3+．．．+a n由等比数列的通项公式,上式可以写成Sn= a 1+a 1q + a 1q 2 +．．．+a 1q n-1 ①① 式两边同乘以公比q 得qSn= a 1q+ a 1q 2 +．．．+a 1q n-1+ a 1q n ②①,②的右边有很多相同的项,用①的两边分别减去②的两边,得(1-q)Sn= a 1－a 1q n当ｑ≠１时，Sn=qq a n --1)1(1 （q ≠1） 又a n =a 1q n-1 所以上式也可写成 Sn=qq a a n --11（q ≠1） 推导出等比数列的前n 项和公式，本节开头的问题就可以解决了[相关问题]①当q=1时，等比数列的前n 项和公式为Sn=na 1② 公式可变形为Sn=q q a n --1)1(1=1)1(1--q q a n （思考q>1和q<1时分别使用哪个方便） ③ 如果已知a 1, a n,q,n,Sn 五个量中的任意三个就可以求出其余两个[例题分析]例1 求下列等比数列前8项的和: (1)21,41,81,．．．；(2) a 1=27, a 9=2431,q<0 评注:第(2)题已知a 1=27,n=8,还缺少一个已知条件,由题意显然可以通过解方程求得公比q,题设中要求q<0,一方面是为了简化计算,另一方面是想提醒学生q 既可以为正数,又可以为负数.例2 某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?评注:先根据等比数列的前n 项和公式列方程,再用对数的知识解方程[随堂练习]第1.2.3题[课堂小结](1) 等比数列的前n 项和公式中要求q ≠1;这个公式可以变形成几个等价的式子(2) 如果已知a 1, a n,q,n,Sn 五个量中的任意三个就可以求出其余两个(五)评价设计(1)课后阅读: [阅读与思考](2)课后作业: 1,2,4题精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
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一、相关复习
复习1：等比数列的前n 项和公式. 当
时，
＝
当q =1时，
复习2：等比数列的通项公式.
= .
二、新课导学 ◆ 典型例题
例1 数列{}n a 的前n 项和1n n S a =-（a ≠0，a ≠1），试证明数列{}n a 是等比数列.
变式：已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且142n n S a +=+， 11a =，设12n n n b a a +=-，求证：数列{}n b 是等比数列.
例2 等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别是n S ，2n S ，3n S ，求证：n S ，2n n S S -，32n n S S -也成等比.
变式：在等比数列中，已知248,60n n S S ==，求3n S .
练2. 求数列1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，…的前n 项和S n .
例3 设a 为常数，求数列a ，2a 2，3a 3，…，na n ，…的前n 项和；
例4已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足)1(+-=n n n a S a S （a 为常数，且
0,1a a ≠≠）．
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设
n n n n a S a b ⋅+=2
，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值；
◆ 动手试试
练1 等比数列的前n 项和12n
n s =-，求通项n a .
练2化简：*32,N n a a a a n ∈+⋅⋅⋅+++
三、学习小结
1. 等比数列的前n 项和与通项关系；
2. 等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和
分别是n S ，2n S ，3n S ，则数列n S ，2n n S S -，32n n S S -也成为等比数列.
◆ 当堂检测
1.已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =（ ）
(A)
(C) 6 (D)
2在等比数列
{}n a 中，11a =，公比1
q
≠.若12345m a a a a a a =，则m=（ ）
（A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12
4设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则
4
2
S a 的值为_______________。
5.在等比数列中,若项数为2n (n ∈N *),S 偶与S 奇分别为偶数项和与奇数项和,则
=奇
偶S S .
6.等比数列{a n }共2n 项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q = .。