用有限差分法分析单脊波导中TM波的传输特性
波导TE波,TM波传输系统
m
a
x)
x) cos(
cos( n
b
n
b
y)
y) e jt e jt z
z
Hy Hz
kc2 H0
n
(
b
)H0
m
cos(
a
cos(m x) sin( n
x) cosa(n
b y)e jt z
b
y) e jt z
kc2
( m
a
)2
( n
b
)2
2 (m )2 (n )2 2
a
b
2、横磁波----TM波 （Hz=0）
2Ex y2
2Ex
k2Ex
0
令：
T2
2 x2
2 y 2
kc2 k 2 2
T2 Ex kc2Ex 0
同理： T2 Ey kc2Ey 0
T2 Ez kc2Ez 0
T2 E kc2E 0 T2 H kc2H 0
----波导中的波动方程
T2 ----横向拉普拉斯算子
纵向分量（z分量）的波动方程及其解
vg vp v2
波阻抗Zw(TM)、 Zw(TE)
横向电场与横向磁场的比值----波阻抗 对于TM波
j Ex H y
j Ey H x
ET ex Ex ey Ey j (ex H x ey H y )
ez ET
j
(ex H x ey H y )
j
HT
ZW (TM )
ET HT
第10章 波导----TE波、TM波传输系统
波导：能够引导电磁波的结构或装置，通常 指横截面具有一定形状的金属管
波导分类：
Waveguide
脊波导的几种计算方法.
论述脊型光波导的分析方法及其模场分布的计算摘要：本文主要介绍了如何通过有效折射率法计算脊型光波导的模场分布以及如何通过有限元法来数值求解脊波导的模场分布其次我们介绍了脊波导的工作特性和制作方法，最后我们列举了脊波导在激光器，调制器等信息光电子器件中的应用。
关键词：脊波导有效折射率模场分布有限元法1引言：脊波导与相同尺寸的矩形波导比较主要优点是:主模H10波的截止波长较长,对于相同的工作波长,波导尺寸可以缩小;H10模和其它高次模截止波长相隔较远,因此单模工作频带较宽,可以达到数个倍频程;等效阻抗较低,因此易与低阻抗的同轴线及微带线匹配。
但脊波导承受功率比同尺寸的矩形波导低。
脊形波导在集成光学中有广泛的应用,它是薄膜激光器、藕合器、调制器、开关等许多光电器件的基础。
由于脊形波导边界复杂,精确地分析其光学特性十分困难,若考虑介质的吸收作用,则难度就更大。
其次要能够设计出性能优良的光波导，那么必须首先能够在理论上对光波导进行计算。
对于脊型光波导而言由于其结构复杂没有严格的解析解,应采用数值方法或近似法进行分析。
光波导分析方法常用的有:转移矩阵法、模耦合理论、有效折射率法、有限元法、时域有限差分法和束传播法等。
在本文中采用的计算方法是有效折射率法对脊型光波导进行分析计算，还介绍了一种利用有限元差分算法对脊波导的模式进行数值计算。
最后介绍了脊型光波导在信息光电子学中的应用。
2脊型光波导的理论模型分析2.1脊波导的有效折射率法脊波导的横截面如图一所示，图中,分别为芯区，下包层和上包层的折射率，a为脊宽，h为脊高，b为脊下的芯厚度，则b-h为脊两边的芯厚度，此时光功率主要限制在脊下波导的芯中传播。
有效折射率法是把这种波导等效为x方向厚度为a的对称三层平板波导，如图二所示。
在脊波导中主要存在两种形式的模，模和模，前者以为主，同时为0，后者以为主，同时为0。
我们以导模为例来说明这一等效平板波导的折射率分布是如何确定的。
脊形波导有限差分法分析_金永兴
Key words : rib optical waveguide ; finite difference method ; field distribution
脊形波导在集成光学中有广泛的应用 ,它是 薄膜激光器 、耦合器 、调制器 、开关等许多光电器 件的基础 。由于脊形波导边界复杂 ,要精确地分 析其光学特性十分困难 ,用解析法只能分析结构 简单的波导器件 ,故对于复杂的器件一般借助计 算机进行数值求解 。如应用等效折射率法 ( EI) 、 光谱折射率法 ( SI) 、有限元法 ( FEM) 等[13] ,而且 ,
图 3 脊形波导的基模光场分布 , 以场强度最大值
依次递减 10 % 的等高线分布
图 4 相应高次一阶模光场分布
116
中 国 计 量 学 院 学 报
第 14 卷
图 5 脊高增大为 h = 0. 8μm 时基模光场分布
(1) 在脊形波导中 , 脊高 h 对侧向光有限制 作用 , h 越大 ,侧向光能更好地限制在芯内 。
摘自《中国出版》
Finite difference method for rib waveguide analysis
J IN Yong2xing , XU Jiang2feng , WANGJian2feng
( Institute of Metrology , Hangzhou 310034 , China)
Abstract : The optical field distributions of fundamental mode and higher2order mode of rib waveguide by the two2dimensional finite difference method are analyzed in the paper. This method is simple to analyze the rib waveguiede and the results are identical to that discussed by other method.
第10章 波导----TE波、TM波传输系统
[
j
Ez x
H z y
]
Ey
1 kc2
[
Ez y
j
H z x
]
用电磁场的纵 向分量可以完 全表示横向分 量-----只要求出 纵向分量，就 可以得出电磁 场的全部分量
Hx
1 kc2
[
j
Ez y
H z x
]
----规则波导中 不存在TEM波
kc2 2 2
（单导体波导）
----kc截止波数
均匀介质、无源区简谐波的Maxell方程
m
a
x)
x) cos(
cos( n
b
n
b
y)
y) e jt e jt z
z
Hy Hz
kc2 H0
n c( obs()mH0
a
cos(m x) sin( n
x) cosa( n
b y)e jt z
b
y) e jt z
kc2
( m
a
)2
( n
b
)2
2 ( m )2 ( n )2 2
a
b
表示衰减的场分布，矩形波导中不能传播相应的电磁波
1、γ为虚数时，kc < k，表示沿z正向传播的电磁波
j
k 2 kc2 j
2 ( m )2 ( n )2 j
a
b
波导中能够维持TEmn或TMmn模式的传输
即要求： 2 ( m )2 ( n )2
a
b
要求波长满足
2
2
( m
a
)2
( n
边界条件
1，x 0,0 y b, Ez 0, 左璧
A0
矩形变形脊波导主模截止波长研究
矩形变形脊波导主模截止波长研究李锦屏;唐益文;周云【摘要】为了满足微波传输系统性能的某些需求,各种结构形状的新型波导应运而生.本文采用有限差分法,利用Matlab计算了脊变形之中脊下陷矩形波导的传输特性,并对计算结果进行了对比分析,得出了在改变波导内部脊的位置、形状和大小等不同几何尺寸情况下的波导主模截止波长,通过分析,变形可以改变传输特性的调节范围,对微波工程有很重要的参考价值和指导意义.【期刊名称】《兰州交通大学学报》【年(卷),期】2010(029)004【总页数】4页(P28-31)【关键词】脊波导;主模;截止波长;有限差分法【作者】李锦屏;唐益文;周云【作者单位】兰州交通大学,电子与信息工程学院,甘肃,兰州,730070;兰州交通大学,电子与信息工程学院,甘肃,兰州,730070;兰州交通大学,电子与信息工程学院,甘肃,兰州,730070【正文语种】中文【中图分类】TN0150 引言脊波导作为一种重要的微波传输线,自20世纪40年代开始研究其特性以来,因其与相同尺寸普通波导相比具有单模带宽更宽、主模截止波长更长、工作频带更宽、等效特性阻抗更低等许多优势被广泛应用到毫米波系统.由于脊波导的边界条件比普通波导复杂,脊波导元件的分析和设计比普通矩形波导元件复杂的多.在现代微波工程中,为了满足微波传输系统性能的某些需求,需要不断探索和研究具有特殊截面形状的各类新型波导.复杂结构的脊波导因加载脊的原因而具有一些特殊性能,对其精确求解往往能加强实际应用性.文献[1]已对矩形变形脊波导的主模截止波长进行了计算和比较,本文将针对脊下陷情况中的矩形波导,采用有限差分法计算其主模截止波长.1 理论分析以求解波导中的TE模为例,有关有限差分法的基本原理可参考文献[2].若以φ标记为相应的纵向分量,则波导中TE模式传输的电磁波在横截面内应满足的波动方程及边界条件为式中:为横向拉普拉斯算子.脊下陷波导的截面图如图1所示.图中a和b是单脊波导的外部尺寸,s2是大脊的宽度,s1是下陷部分的宽度,d2是下陷部分距离顶端的高度,d1是大脊距离顶端的高度,c是大脊距离边界的宽度.图1 变形脊波导Fig.1 Changed rectangular waveguide对图1所示变形脊波导,波导内空间用同一步长h的正方形进行网格状离散,用各离散点上函数的差商来近似代替该点的偏导数,把微分方程变为差分方程.将需求解的边值问题转化为一组相应的差分方程.由此构成的差分方程组,可用矩阵表示为式中:k为矩阵系数;φ是以网格节点上的待求场量φi为分量的列向量;而数值β为特征值,其对应的截止波长满足下式:因此,解出矩阵k的特征向量,由β的最小非负特征值求得的截止波长即为主模截止波长.2 计算结果和讨论文献[1]中已验证了此种方法计算结果相对误差不超过0.5%,满足工程计算的误差要求.本文将图1所示的变形脊波导有关数据以表格形式给出,并绘出它们的相应变化趋势图.先假设d1=d2,s1=s2的矩形脊波导,取s1/a=0.3,固定脊的宽度,改变脊的高度,使脊从左侧逐渐向中间移动,表1的计算结果显示了脊的位置对其传输特性的影响.图1显示了当脊从左侧1/4处向中间位置移动时,即c/a增加时,归一化截止波长λc/a 的变化趋势,计算结果显示最大值出现在中间位置.同时,无论脊的位置如何,截止波长都会随着脊的高度的减小而减小.表1 s1/a=0.3改变脊位置时波导主模归一化截止波长λc/aTab.1 Dependence of the cutoff wavelength on the ridge position for s1/a=0.3 with dif ferent c/a and d1/bd1/b c/a 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.1 3.957 2 3.151 02.754 1 2.500 2 2.321 9 2.194 2 2.104 5 2.045 2 2.010 9 0.2 4.882 23.778 23.225 2 2.864 1 2.600 2 2.398 1 2.242 3 2.125 4 2.043 1 0.3 5.295 54.065 9 3.445 0 3.037 0 2.735 9 2.501 5 2.315 8 2.170 7 2.062 2 0.355.345 4 4.100 8 3.471 9 3.058 2 2.752 7 2.514 4 2.325 1 2.176 5 2.064 8图2 脊波导截至波长变化趋势图(s1/a=0.3)Fig.2 Changing trend o f cutoff wavelength on rectangu lar waveguide(s1/a=0.3)再假设脊的位置处于波导的中央.表2为d1/ b=0.1,s2/a=0.6时改变下陷脊高度及宽度时波导主模归一化截止波长,即脊的高度及宽度确定,改变下陷脊比例时的截止波长.由表2的计算结果可知当下陷脊的深度一定时,下陷脊的宽度越小,截止波长越大;而下陷脊的宽度一定时,其深度对截止波长的影响不大,只在下陷脊较宽及深度较小时,截止波长随深度的加大略有减小.图3显示了这一变化规律.表3为d2/b=0.9,s1/a=0.1时改变脊的高度及宽度时波导主模归一化截止波长,即确定下陷脊的高度及宽度,改变脊比例时的截止波长.由表3的计算结果可知当脊的高度一定时,当宽度接近总长度的一半时,即s2/a=0.4-0.5时,,截止波长最大,若使脊的宽度过大或过小都会减小截止波长;当脊的宽度一定时,截止波长随着脊的高度的减小而减小.图4显示了这一变化规律.表2 d1/b=0.1,s2/a=0.6改变下陷脊高度及宽度时波导主模归一化截止波长Tab.2 Dependence of the cutoffwavelength on the ridge position ford1/b=0.1,s2/a=0.6 with different s1/a and d2/bd2/b s1/a 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.1 5.208 4 5.196 5 5.195 7 5.195 7 5.195 7 5.195 7 5.195 7 5.195 7 0.2 5.033 8 4.960 9 4.944 4 4.940 4 4.939 4 4.939 2 4.939 1 4.939 1 0.3 4.854 2 4.700 1 4.649 6 4.630 9 4.623 6 4.620 8 4.619 7 4.619 2 0.4 4.673 9 4.429 9 4.335 7 4.293 3 4.273 1 4.263 2 4.258 3 4.255 9 0.5 4.494 4 4.150 9 4.004 8 3.931 6 3.892 2 3.870 2 3.857 8 3.850 6表3 d2/b=0.9,s1/a=0.1改变脊高度及宽度时波导主模归一化截止波长Tab.3 Dependence of the cuto ff wavelength on the ridge position ford2/b=0.9,s1/a=0.1with different s2/a and d1/bs2/a d1/b 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.2 4.777 3 3.831 1 3.302 0 2.936 4 2.659 2 2.440 6 2.267 8 2.137 0 0.3 5.142 1 4.021 0 3.426 2 3.026 7 2.728 7 2.495 0 2.309 2 2.164 9 0.4 5.320 6 4.100 0 3.471 6 3.057 2 2.751 7 2.513 9 2.325 1 2.177 2 0.5 5.337 1 4.080 7 3.446 8 3.034 3 2.733 4 2.501 2 2.318 2 2.175 2 0.6 5.195 7 3.964 4 3.352 7 2.959 0 2.674 8 2.458 0 2.289 5 2.159 4 0.7 4.886 1 3.745 7 3.186 1 2.829 6 2.575 3 2.384 8 2.240 1 2.131 0 0.8 4.380 6 3.409 7 2.937 7 2.640 22.432 4 2.281 8 2.171 6 2.091 8 0.93.615 6 2.920 6 2.584 4 2.378 6 2.242 7 2.150 8 2.087 9 2.045 0图3 变形脊波导截至波长变化趋势图(d1/b=0.1, s2/a=0.6)Fig.3 Changing trend of cutoff wavelength on changed rectangu larwaveguide(d1/b=0.1,s2/a=0.6)图4 变形脊波导截至波长变化趋势图(d2/b=0.9, s1/a=0.1)Fig.4 Changing trend of cutoff wavelength on changed rectangu larwaveguide(d2/b=0.9,s1/a=0.1)3 结论脊波导内脊的位置、形状和大小会影响主模的截止波长.既可以通过改变脊的形状,又可以通过改变脊的位置来调整主模的截止波长.结论如下:1)当脊从左侧1/4处向中间位置移动时,即 c/a增加时,归一化截止波长λc/a逐渐增大,即最大值出现在中间位置.2)确定脊的高度及宽度,改变下陷脊比例.当下陷脊的深度一定时,下陷脊的宽度越小,截止波长越大;而下陷脊的宽度一定时,其深度对截止波长的影响不大,只在下陷脊较宽及深度较小时,截止波长随深度的加大略有减小.3)确定下陷脊的高度及宽度,改变脊比例.当脊的高度一定时,宽度接近总长度的一半时,截止波长最大;当脊的宽度一定时,截止波长随着脊的高度的减小而减小,最小可接近λc/a=2的矩形波导截止波长.本文使用有限差分法计算了变形脊波导中主模归一化截止波长随脊及下陷脊宽度及高度变化的数值,分析了脊尺寸对脊波导归一化截止波长的影响.本文计算结果,对工程设计具有一定的指导作用.参考文献:【相关文献】[1] 李锦屏,杜丽霞,陈伟.矩形变形脊波导主模截止波长的计算[J].半导体光电,2008,29(5):677-679.[2] 王秉中.计算电磁学[M].北京:科学出版社,2002:19-51.[3] M ai Lu,Paul J.Leonard.Dependence of ridge position on the cutoff w ave-length o f the dominantmode in single ridge w aveguides[J].M icrow ave and Optical Techno logy Letters,2002,34:374-377.[4] Py le JR.The cutoff w avelength of the TE10 mode in ridged rectangular w aveguide of any aspect ratio[J]. IEEE Trans M icrow ave Theory Tech,1966(M TT-14):175-183.[5] 孙海,褚衍东.非对称单脊波导主模截止波长的数值计算[J].兰州交通大学学报,2006(3):84-88.[6] Rong Y,Zaki K A.Characteristics of generalized rectangular and circular ridgew aveguides[J].IEEE Trans M icrowave Theory Tech,2000(M TT-48):258-265.[7] 何红雨.电磁场数值计算法与MATLAB实现[M].武汉:华中科技大学出版社,2002.。
基于时域有限差分法的缝隙脊波导传输特性研究
学习电磁场，查FDTD 和缝隙脊波导的资料。
2022/4/22
24
参考文献
[1] A.F.Stevenson. Theory of slot in rectangular waveguide. J.APPle.Phys, 1948, 19:24-28 [2] A.A.Oliner. The Impedance properties of narrow radiating slots in the broad face of
仿真。
2022/4/22
6
存在问题
➢形状：研究较多的是缝隙矩形波导的特性，对于缝隙脊波导
研究数据较少；
1
➢方法：文献中运用矩量法计算脊波导，缝隙波导的特性。但
存在缺乏软件编程辅助计算、计算效率较低的问题。
2
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➢研究方向：文献中研究了缝隙脊波导的辐射特性，以能量 辐射为主；本课题主要研究传输特性，以电磁波在波导内 的传输为主。 ➢应用领域：文献的研究主要应用于天线领域。本课题主要 应用于地下通信，如隧道、矿洞等，通过电磁波的发射、 传输与接收，列车能够准确的接收信号。
rectangular waveguide Part l. IEEE Trans. on AP, 1957, 5:4-11 [3] Khac T V, Carson C T. Impedance properties of longitudinal slot antennas in the broad face of
7
主要内容
1
课题研究的背景及意义
2
国内外研究现状
3
课题研究内容及方法
4
1章TEM波特性及传输线解3
zˆ ET z
jHT
zˆ HT z
jET
(1.20a) (1.20b) (1.20c) (1.20d)
z
zˆ
z
由上面方程可以得到TEM波的横向及纵向分布特性
TEM波的一般特性
TEM波的横向分布特性
E因两特界T令1为(个点条x) ,gTy很，件E()Ez（ 是T)M重 也 下不x横波要 就 的，为截的结 是 二y0，面，场论说维z的所） 在：，静分以横电电g布截（场场T函面z在的）数上E其分E（，T（ 的T横布x代x分，截完，入布y全面y）(）1具相的.20a有0同分)(式1.（2二布11).2维2与）静相场同的边
传输线方程及其解
传输线方程的解
对于传输线Z处的小线元△Z设其两端的电压电流分别为v(z,t) i(z,t) v(z＋△z,t) i(z＋△z,t)，利用Kirchhoff 定律，有
i( z, t ) v(z z,t) v(z,t) v(z,t) R1z i(z,t) + L1z t
存在TEM波 将(1.23)代入式(1.19c) ET 0 得到
2 T
（x，y）
0
（1.24）
从上式看到， φ(x,y)是二维拉普拉斯方程的解
TEM波的一般特性
TEM波的纵向分布特性
用
zˆzˆ（ z叉zˆ乘 (1.220zEc2)T的）两 边2，再ET利用0(1.20dzzˆˆ)可得EHzT T
YcV02
Yc
1 Zc
是传输线特性导纳
§1.4 传输线方程及其解
由上节可知,可以用电压波和电流波概念来代替 TEM波传输线上的电场和磁场. 即可以用“路”的 方法研究电磁波沿传输线的传输特性。
脊波导的几种计算方法
论述脊型光波导的分析方法及其模场分布的计算摘要：本文主要介绍了如何通过有效折射率法计算脊型光波导的模场分布以及如何通过有限元法来数值求解脊波导的模场分布其次我们介绍了脊波导的工作特性和制作方法，最后我们列举了脊波导在激光器，调制器等信息光电子器件中的应用。
关键词：脊波导有效折射率模场分布有限元法1引言：脊波导与相同尺寸的矩形波导比较主要优点是:主模H10波的截止波长较长,对于相同的工作波长,波导尺寸可以缩小;H10模和其它高次模截止波长相隔较远,因此单模工作频带较宽,可以达到数个倍频程;等效阻抗较低,因此易与低阻抗的同轴线及微带线匹配。
但脊波导承受功率比同尺寸的矩形波导低。
脊形波导在集成光学中有广泛的应用,它是薄膜激光器、藕合器、调制器、开关等许多光电器件的基础。
由于脊形波导边界复杂,精确地分析其光学特性十分困难,若考虑介质的吸收作用,则难度就更大。
其次要能够设计出性能优良的光波导，那么必须首先能够在理论上对光波导进行计算。
对于脊型光波导而言由于其结构复杂没有严格的解析解,应采用数值方法或近似法进行分析。
光波导分析方法常用的有:转移矩阵法、模耦合理论、有效折射率法、有限元法、时域有限差分法和束传播法等。
在本文中采用的计算方法是有效折射率法对脊型光波导进行分析计算，还介绍了一种利用有限元差分算法对脊波导的模式进行数值计算。
最后介绍了脊型光波导在信息光电子学中的应用。
2脊型光波导的理论模型分析2.1脊波导的有效折射率法脊波导的横截面如图一所示，图中,n1,n2,n3分别为芯区，下包层和上包层的折射率，a为脊宽，h为脊高，b为脊下的芯厚度，则b-h为脊两边的芯厚度，此时光功率主要限制在脊下波导的芯中传播。
有效折射率法是把这种波导等效为x方向厚度为a的对称三层平板波导，如图二所示。
在脊波导中主要存在两种形式的模，y模，前者以E x和H y为主，同时H x为0，后者以E y和H x为主，同时H y为模和E mn0。
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目录引言 (1)1 概述 (2)1.1电磁场边值问题的解法 (2)1.1.1解析法 (2)1.1.2数值法 (2)1.2 FDM算法的发展 (2)1.3 脊波导 (3)1.3.1脊波导简介 (3)1.3.2脊波导的特点 (4)1.3.3电磁波在波导内传播的特点 (4)1.4 本文的主要工作 (5)2 有限差分法（FDM）的基本原理 (6)2.1有限差分法的基本概念 (6)2.2基本差分公式 (6)2.3差分方程的求解过程 (8)2.4有限差分法的计算步骤 (9)3 用FDM法分析脊形波导问题 (11)3.1理论分析 (11)3.1.1波导中的电磁场方程 (11)3.1.2亥姆霍兹方程的差分表达式 (12)3.2用差分法求解波导问题的计算框图 (15)3.3 数值计算结果及讨论 (15)3.3.1单脊波导TM波的计算 (15)3.3.2双脊波导TM波的计算 (17)3.4结果分析 (17)3.4.1单脊波导的TM波计算结果与比较 (17)3.4.1.1用有限差分法分析TM波在单脊波导中的传输特性 (17)3.4.1.2本文值与文献值比较 (18)3.4.1.3不同尺寸单脊波导的截止频率计算 (18)3.4.2 双脊波导的TM波计算与比较 (19)3.4.2.1用有限差分法分析TM波在双脊波导中的传输特性 (19)3.4.2.2不同尺寸双脊波导的截止频率计算 (19)3.5本章小结 (20)4结论与展望 (22)4.1结论 (22)4.2展望 (22)致谢 (24)参考文献 (25)附录A 外文文献 (26)附录B 外文文献译文 (29)附录C 牛顿迭代法 (35)附录D 计算单脊波导TM波截止频率的程序 (36)附录E 计算双脊波导TM波截止频率的程序 (38)引言随着科学技术的发展，微波技术的应用已渗透到了科学领域的许多方面，如无线通信、全球定位系统、雷达以及电子和计算机工程学科中。
发展至今，用于求解各类电磁场边值问题的方法已经为数众多，从数学分析的角度看，这些方法通常可以归结为四大类型，即严格解析方法、近似解析方法、数值方法和半数值方法。
电磁波在传输过程，根据工作频率的不同，所采用的传输线的结构不同。
如在米波高段至分波低端这个范围采用并行双线；在分米波高端至10米波段采用同轴线；而到了厘米波波段就要采用波导传输系统了。
在现代微波工程中，为了满足微波传输系统性能的要求, 需要不断探索和研究具有特殊截面形状的各种新型波导。
通常所指的是波导具有任意横截面的均匀导电的空心金属管。
根据横截面形状不同，有矩形波导、圆形波导，脊形波导和椭圆波导等。
最近几十年来, 由于脊波导具有较长的主模截止波长、宽频带和低阻抗等特性，各种结构形状的脊波导应运而生。
人们不断探索新的脊波导计算方法, 希望能获得求解这类波导本征值的简单且精确的算法。
以前我们用镜像法和分离变量发都属于求解电磁场边值问题的解析解的方法，称为解析法。
所得到的是电磁场的空间分布函数的解析表达式，这是一个精确的表达式。
但是，许多实际问题往往由于边界形状过于复杂，很难用解析法求解，这时则可借助数值解法来求得电磁场问题的数值解。
自本世纪40年代以来，有限差分法开始在工程电磁场数值分析中得到应用，其主要特点是简单和直观，通过将连续场域离散化，用各离散点上的场量差商来近似地代替该点的偏微商，将需要求解的偏微分方程化为求解一组相对应的差分方程问题，由此差分方程组解出特定条件下问题的数值解，差分方程和定解条件(初始条件、边界条件)的离散化结合在一起便构成了一个差分格式。
如前所述，有限差分法在电磁场问题上的应用历史并不长，有限差分法可供讨论的问题不少，本文将就有限差分法在电磁场的几种常用差分格式作初步讨论，并且在比较研究的基础上，对电磁波在脊波导中传播的TM模的特性做一研究，并利用FORTRAN语言编程平台算出其截止频率及场域值。
现代电子计算机和计算技术的发展水平，已使有限差分法的数值结果达到工程角度相当满意的精度。
1 概述1.1电磁场边值问题的解法1.1.1 解析法1864年Maxwell在前人的理论(高斯定律、安培定律、法拉第定律和自由磁极不存在)和实验的基础上建立了统一的电磁场理论，并用数学模型揭示了自然界一切宏观电磁现象所遵循的普遍规律，这就是著名的Maxwell方程。
在11种可分离变量坐标系求解Maxwell方程组或者其退化形式，最后得到解析解。
这种方法可以得到问题的准确解，而且效率也比较高，但是适用范围太窄，只能求解具有规则边界的简单问题。
对于不规则形状或者任意形状边界则需要比较高的数学技巧，甚至无法求得解析解。
一般的意义上，研究问题如果有数学模型的话，肯定建设其存在一些前提条件，然后根据条件不同，由该模型（具体表现为“解析表达式”）得出相应的可能结果，当然结果不一定只有一个,但一般也不会“无数个解”，即便是无数个，也要根据具体情况假设其中一个为定值或在一定范围内变化，从而讨论另一个值的可能取值，有点数学方面的讨论的意思，比如x+y=10有无数个解，可先固定x再讨论y。
1.1.2 数值法许多实际的问题往往由于边界形状过于复杂，很难有解析法求解，这时则可借助数值解法来求得电磁场问题的数值解。
（1）数值法的基本思想时将所要求的整个连续分布的场域空间的场的转换为所要求解的场域空间中各个离散点上的场的集合。
显然，离散点取得越多，对场分布的描述就越精确，但是计算量也越大。
（2）常用的数值法是：基于应用微分形式的电磁场方程的有限差分法、有限元法等；给予应用积分形式的电磁场方程的距量法、边界元法。
数值法主要是指有限元位移法.一般认为只要力学模型正确这主要包括网格划分、边界条件、外力处理等获得的结构变形及应力状态就会比较准确。
数值法主要是指有限元法,有限元法大多是在解析法FGM模型的基础上,在不同尺度上进行有限元离散,离散单元尺度不同,进行有限元计算时要满足的连续性条件不同,预测结果的精确度就不同。
1.2 FDM算法的发展有限差分法是电磁场数值计算中应用最早的一种方法。
自五十年代以来，FDM以其概念清晰方法简单直观的故有优点，不但已经有许多成功的应用范例，而且应用范围也不断扩展，始终在蓬勃发展的计算电磁学占有一席之地。
有限差分法的基本思想是：利用网格线将定解区域（场域）离散化为网格节点的集合，基于差分原理以及各离散点上函数的差商近似代替该点的偏导数，并由此把偏微分方程转化为代数差分方程组，从而求出各离散点上的场值。
无论对各型二阶线性偏微分方程高阶或非线性方程，边值问题或初值问题，原则上都可以用FDM求得离散化的数值解。
与FEM相比，FDM的主要缺点在于网格划分欠灵活（如典型的长方形网格五点差分格式）：一方面几何适应性差，对复杂的边界或交界进行的算法处理比较困难，难与实现通用化、自动化的处理模块；另一方面对部分场域内变量急剧变化的边值问题，为保证求解精度只能采用加密网格的办法，从而使计算开销急剧增大。
因此，FDM的应用范围受到一定限制。
FDM的新发展是1977年M.Brandt提出得多重网格法（MGM, Multiple Grid Method）,由于可以仅用0（N）次运算实现求解N个网格点上的椭圆型微分方程，因此该法被认为是偏微分方程边值问题超大型工程数值模拟中的最优数值方法。
尽管有其不足，但在力所能及的范围，FDM几乎是可供选择的众多电磁场数值计算方法中最简洁的一种。
FDM技术是由Stratasys公司所设计与制造，可应用于一系列的系统中。
这些系统为FDM Maxum、FDM Titan，Prodigy Plus以及Dimension。
FDM技术利用ABS，polycarbonate(PC)，polyphenylsulfone (PPSF)以及其它材料。
这些热塑性材料受到挤压成为半熔融状态的细丝，由沉积在层层堆栈基础上的方式，从3D CAD资料直接建构原型。
该技术通常应用于塑型，装配，功能性测试以及概念设计。
此外，FDM技术可以应用于打样与快速制造。
1.3 脊波导1.3.1 脊波导简介自上世纪40 年代Cohn开始研究脊波导的传输特性以来,对脊波导的研究越来越引起人们的关注。
比如Hofper和Pyle 在Cohn 的基础上,就分别用横向谐振法和准静态法计算了脊波导的截止波数。
经过几十年的发展,对脊波导传输特性的研究已经取得了相当好的成果。
与传统矩形波导相比,脊波导有很多显著的特点:其单模带宽更宽,主模截止波长更长,阻抗更低。
早期对脊波导的研究大多集中在单脊矩形波导上(图1.1),但通过近些年的发展,出现了很多新型的脊波导,如双脊波导(图1.2)、背脊波导、圆形波导等。
而不对称脊波导也是其中的一种。
图1.1 单脊波导示意图图1.2 双脊波导示意图脊波导与矩形波导相比具有截止波长、等效阻抗低、工作频带宽等优点,在同一频率的情况下,脊波导的尺寸更小。
它在微波和毫米波器件上得到了广泛的应用。
随着科学技术的发展,机械加工条件的提高,不同形式脊波导的制造成为可能。
在微波工程中,为了满足微波传输系统性能的某些需求,需要不断探索和研究具有特殊截面形状的各种新型波导。
由于脊波导的边界条件比普通矩形波导复杂,要精确地分析脊波导传输特性十分困难,一般借助计算机进行数值求解。
本文采用有限差分法对变形脊波导的截止波长进行了数值求解。
脊型波导是在矩形波导上生有凸脊形成的波导，所以又称凸缘波导。
它可分为单脊波导和双脊波导。
实际上脊型波导是矩形波导的一种变形，因此也是TE波、TM波，主波形也是TE10模，其场结构与矩形波导TE10模式的场结构类似，但不同的是在脊凸缘附近由于边缘效应而是场结构受到一定的扰动。
对于脊型波导来说，由于边界条件较为复杂，不便于严格的场解法求出其中的场分量及其截止波长，常应用简化的近似分析方法得出一些有用的结果。
单脊波导和双脊波导的分析方法是一样的，工作特性也基本相同。
1.3.2脊波导的特点与矩形波导相比，脊形波导具有如下特点：1）TE10波型的截至波长更长，故单模工作的频带更宽；2）同一频率的情况下，尺寸更小；3）高次模的截止频率更高；4）等效阻抗较低。
根据这个特点，可是作矩形波导与低阻抗的同轴线、微带线之间的过渡连接装置；5)功率容量小，损耗大。
由于它具有的宽频带特性，使得脊形波导在信号变换等方面有较多的应用。
1.3.3电磁波在波导内传播的特点电磁波在波导传播的相速大于它在自由空间传播的相速，而群速则小于它在自由空间传播的相速，波导是一种色散的导波装置。
导波系统中传输的电磁波分为TEM波和非TEM波。
非TEM波有TE波，TM波和混合波，可采用纵向场方法求解。
导波系统中的TEM波传输常数是和无界空间的TEM波传输常数相同。