解排列组合问题中的数学思想
排列组合问题之—加法原理和乘法原理
排列组合问题之—加法原理和乘法原理华图教育梁维维加法原理和乘法原理是排列组合问题的基本思想，绝大多数的排列组合问题都会应用到这两个原理，所以对加法、乘法原理广大考生要充分的了解和掌握。
1.加法原理加法原理：做一件事情，完成它有N类方式，第一类方式有M1种方法，第二类方式有M2种方法，……，第N类方式有M(N)种方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M(N)种方法。
例如：从长春到济南有乘火车、飞机、轮船3种交通方式可供选择，而火车、飞机、轮船分别有k1，k2，k3个班次，那么从武汉到上海共有N=k1+k2+k3种方式可以到达。
加法原理指的是如果一件事情是分类完成的，那么总的情况数等于每类情况数的总和，比如如下的题目：【例1】利用数字1，2，3，4，5共可组成⑴多少个数字不重复的三位数？⑵多少个数字不重复的三位偶数？【解析】⑴百位数有5种选择；十位数不同于百位数有4种选择；个位数不同于百位数和十位数有3种选择．所以共有5×4×3=60个数字不重复的三位数。
【解析】⑵先选个位数，共有两种选择：2或4．在个位数选定后，十位数还有4种选择；百位数有3种选择．所以共有2×4×3=24个数字不重复的三位偶数。
在公务员考试当中，排列组合也是考察比较多的一个问题，国考和联考当中也对加法原理做了考察。
例如如下的两道题：【例2】某班同学要订A、B、C、D四种学习报，每人至少订一种，最多订四种，那么每个同学有多少种不同的订报方式?( )A.7种B.12种C.15种D.21种【解析】不同的订报方式对于同学可以选择订一种、两种、三种、四种这样四类，第一类，选择一种有4种订报方式，第二类选订两种有6种订报方式，第三类选定三种有4种订报方式，第四类四种都订有1种订报方式。
所以每个同学有4+6+4+1=15种订报方式。
对于加法原理大家要掌握的是分类思想，对于分类问题要掌握加法原理。
总的情况数等于每类的情况数加和。
运用数学思想解决排列组合问题
称性， 运用对称思想 ， 往得 到意想不到的简捷解法。 往 例 ３ １９ ：（９ ０年全 国） ， ， ， ， Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ五人并排站成一排 ， Ｂ必须 若
站 在 Ａ的右 边 Ｂ可 以 相邻 ） 那 么不 同的 排法 共 有 （ ） ， Ａ ４种 ．２ Ｂ ０种 ．６ Ｃ ０种 ．９ Ｄ ２ ．１０种
化 归 思 想 指 的是 变 更 转 化 的 解 题 思 想 ， 即将 条 件 或 结 论 经 过
适当的转化， 整个命题就可以变更 为我们熟知的一些常见 问题 。
例 ｌ （９ ３ 全 国） ： １９ 年 同室 四 人 各 写 一 张 贺 年 卡 ， 集 中起 来 ， 先 然 后 每人 从 中拿 一 张 别人 送 出 的贺 年 卡 ，则 四 张 贺 年 卡 不 同 的分 配方 式有 ［ ］ Ａ６ ． 种 Ｂ ９种 ． Ｃ１ ． １种 Ｄ２ ． ３种 思路分析： 建立数学模型转化 为数学问题。用 １ ２ ３ ４ 四个 ，，， 这
用 广 泛 ， 且 思 想 方法 独 特 灵 活 ， 是发 展 学 生 抽 象 能 力 和 逻 辑 思 而 也 维 能 力的 好 素材 。下 面谈 谈 数 学 思 想在 排 列 组合 问题 中的 运 用 。
（ 化 归 思想 一） （ ） 称 思 想 三 对 对称 思想 在 思想 数 学 中 广泛 应 用 ， 挖 掘 数 学 问 题 中 隐含 的对
解 ： ３ ．５ ＝７ ０种 。 Ａ ３Ａ ５ ２
’ ．
．
第 三类 ： 乙二 人 都未 被 选 上 有 Ａ ３＝ 种 选 法 ： 甲 ３ ６
共有 ６ ２ ＋＝ ６种 ＋４ ６ ３
（ 接 第 １ ０页 ） 上 ７
学 设
运用数学 思想解 决排列组 合问题
职高数学排列组合解题思想方法
特殊元素优先考虑
先考虑甲
甲在中间4个位置中选一个，有 4 种排法；
剩下的5个人排在5个位置有 A55排法.
共有 4 A55 种排法.
04 排列组合解题思想方法
6人站成1排，甲不能排在排头和排尾有 480 排法.
特殊位置优先考虑
先考虑排头和排尾
从5个人中选取2个排在排头和排尾有 A52种排法； 剩下的4个人排中间4个位置有 A44 排法. 共有 A52 A44 种排法.
05 排列组合解题思想方法
6人站成1排，甲、乙、丙3人A必须站在一起的种数有 144 .
捆绑法 相邻问题
甲乙丙
将3人捆绑在一起看成一个整体，与其他3个人排在4个位
置有 A44 种排法.
再将甲、乙、丙内部相互交换排在3个位置有 A33 排法.
共有 A44 A33 种排法.
06 排列组合解题思想方法
02 排列组合解题思想方法 一块木板上钉有9个钉子，排成三行三列，以其中的任意3个钉子
为顶点，可以组成的三角形的个数为 76 . 排除法 从9个钉子中选出3个钉子有 C93 选法.
排除：共线的3点有 8 种；
共有有C93 8 种排法.
03 排列组合解题思想方法
6人站成1排，甲不能排在排头和排尾有 480 排法.
01 排列组合解题思想方法
若11位同学排队照相，第1排5人，第2排6人，则不同的排法
有
A11 11
种.
直接法
第一步，从11人中选出5人排在第一排有 A151种排法. 第二步，从11人中选出6人排在第二排有 A161种排法. 第二步，剩下的6人排在第二排有 A66 种排法. 共有 A151 A161 种排法. 共有 A151 A66 A1111 种排法.
排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)
排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)教学目标：1.理解和应用分类计数原理和分步计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略，能够解决简单的综合应用题，提高解决问题和分析问题的能力。
3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。
复巩固：1.分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法。
在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+。
+mn种不同的方法。
2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法。
做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×。
×mn种不同的方法。
3.分类计数原理和分步计数原理的区别：分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事；分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。
解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题弄清要做什么事。
2.确定采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合问题（无序），元素总数是多少及取出多少个元素。
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。
一、特殊元素和特殊位置优先策略：例1.由0、1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数。
解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置。
先排末位共有C3，然后排首位共有C4，最后排其它位置共有A4^3.由分步计数原理得C4×C3×A4^3=288.位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法。
若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素。
若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置。
例谈排列组合中的数学思想方法
（ ） 对 称法 ２用
） 塞顿开 ， 应得排法 １ ＝ ０ 种 ）选 Ｂ应用 ６（ ， ． 对称思想简洁明快 ， 给人以美 的享受． ３分类划分思想 ． 划分 不但是 掌握外延 的逻 辑方 法 ， 而
例４ ｃ＋ ＋ １ ：— ． ．＋ ｃ … （ ＋） ＝ — ｃ ３１ ２ ２ ｃ ｏ ５＋ 解： ＝ ｃ ５２ ・ ２ １ ：＋ 设ｓｃ ３ ｃ十 ＋ ｎ ）～ ０ １ ¨ （ ＋ ｃ ＋ ＋
贝 （） ： ｃ＋ ＋：＋ １ ＋ ０ １ ｃ ｃ＋：… ｃ ｃ＝＋ ／ ＝ ＋１ ～ ｎ ｎ ｃ … ｃ！ｌ＝（ ＋ ＋。＝ ． ａ ＋ ２ ＋ 【 … ｃ ） ： ＋ ，ｌ １ ）（＋ ’ ２ ＋ － ＋ ｃ ： ：
３种 填 法 ；
例 ３已知集 合 Ａ 和集合 曰各含 １ ． ２个 元素 ， ＡｎＢ含有 ４ 个元素 ， 试求同时满足下 面两个条件的集合 的个数．
（） ｉｃＣＡｎＢ， Ｃ中含有 ３个元素 ； 且
（ｉＣＮＡ≠０ ０表 示 空集 ） ｉ ） （ ．
５函数 思 想 ．
运用 函数 的概念 和性质 ， 过类 比、 通 联
解析 ：１ 可以先用常规解法分类法求 （）
合ｃ 曰 取０ 元 有ｃｃ ｎ 中 个 素， ：０ ： 。
①Ａ在左边第一位时有 ４ 种排法 ； １ ②Ａ在左边第二位时有 Ｐｔ１ 法 ； ３ ３ 种排 ③Ａ在左边第三位时有 Ｐ ！ 种排法 ； ④Ａ在左边第 四位时有 ３种排法． １
（ ＋） ， ２ １： ｃ
・ ． ．
解析 ： 用化归思想建立数学模 型转化为
数学 问题 ：用 １２ ３ ４这 ４个 数字组成无 “ ，，， 重 复的 四位数 ， 中 １不在个位 ， 在十 其 ２不 位 ， 在百位 ， ３不 ４不在 千位 上 的四位数 有
例谈排列组合中的数学思想方法
将研究对 象在一定条件下转化并归结 为另 一种研究 对象 的 思想方法称之 为化归转化思想 ．一般将有 待解决 的问题进行转 化 ，使 之成 为大家熟悉的或容易解 决的问题模式 ．
要 的是 ，过 了多 年 以后 ，他 们 掌 握 的数 学 知 识 可 能会 淡 忘 ，或
解 ： （ ）若用四种颜色 给Ｂ，Ｄ，Ｅ，Ｆ １ 涂色 ，则Ａ 必 同 与Ｆ
色 ，Ｃ 也同色 ，故有 × × ＝４ 与Ｅ １１２ 种涂色方法 ； 者 高中数 学知识在他们 将来所从 事的 Ｔ作 中可能无用 武之地 ， （ ２）若 用ｉ种 颜 色给Ｂ，Ｄ，Ｅ，Ｆ 色 ：① 当Ｂ、Ｄ同色 涂 但深深地铭 刻于头脑 中的数学思 想将随时 随地发生作用 ，使他 时 ，Ａ、 ｃ 有 ２ 颜 色 可 选 ；② 当 Ｂ、Ｅ同 色 时 ，Ａ有 ２ 颜 色 都 种 种 们受益终生 ．
，
（ ） 的值 ； １ 求ｃ． （ ２）组合数 的两个 性质 ：① ｃ ｃ ；② ｃ ＋ ＝ｃ ： ＝ ｃ 是
一
５ 整 体 思 想 ．
从 问题 的整体性 质 发 ，突 出对 问题 的整体结 构 的分 析
否都能 推广到 （ Ｒ， 是正整数 ）的情 况？若能推广 ，则 和 改造 ，发 现 问题 的 整体结 构 特征 ，把某 些式 子或 图形看 成 写 出推广的形 式并 给出证 明；若不能 ，则说明理由 ； 个整体 ，把 握 它们之 间 的关联 ，进 行有 目的的 、有 意识 的 （ ３）已知组 合数 ｃ 是正 整数 ，证 明 ：当 ｚ，ｍ是正整 整 体 处 理 。
ｘ ｘｘ－１ ｘ－２ （ （ ） （ ） ｘ－ｍ＋１ ｘｘ １（ ） （ ）
－ ． －
— — ． ． ． ． ． ． ． ． ． －
分析 ：将４ 名男生看 作一个整 体Ａ，５ 名女生看作 一个整体 Ｂ先整体 ，将Ａ、Ｂ ． 排队 ，有 种排法 ；后局部 ，男生有 种排 ；
高中数学排列组合问题中的数学思想探究
2019年6月解法探穷一.WX高中数学排列组合问题中的数学思想探究!江苏省吴江中学苗春兰排列组合问题不涉及新的计算方法，但是对思维能力的要求较高.要想学好这部分内容，学生需要掌握基本概念及基本原理,在日常学习中总结常见问题及相应的方法技巧,提高学习效率.在解决排列组合问题时,首先需要看清题目要求,辨别究竟是“排列”问题还是“组合”问题,选用准确的计算方法，而不是盲目套用计算公式.因此需要对高中排列组合问题的常见形式及相应解法进行总结，从而提高学生的求解速度与准确率.-、常见问题及原因分析1.理论知识薄弱排列组合包含“排列”和“组合”两类问题，涉及的思维及计算公式存在较大差别.很多学生在审题时往往会产生混淆,无法正确区分问题类型,进而导致计算公式的选用错误,最终导致结果错误.2.计算不当虽然排列组合问题重点考查的是学生的思维能力，计算层面并没有涉及新的方法，但是很多学生在计算时粗心大意，经常出现重复计算或者遗漏数据的问题，导致失分甚至是不得分.3.重要条件遗漏排列组合问题的情境较为多样，问题形式变化较多，在求解过程中一个符号的改变有可能就会改变计算条件，使得整个计算过程偏离原有的分析思路.在审题阶段如果出现问题，那么就很容易遗漏重要的已知信息,导致“排列”或是“组合”类型的判断失误，最终无法正确求解出问题的结果.二、排列组合中的数学思想探析1.分类讨论分类讨论思想的核心就是根据对象某一维度的差异性进行类别的划分，分类的关键就是分类原则的确定.在解决排列组合问题时，如何准确对所有可能的情况进行分类是这一类方法的关键，如果类别划分不当，学生很容易发生重复或者遗漏数据的问题;反之，如果类别划分合理，就会将复杂的问题简单化，既不重复，也不遗漏，准确求解出最终结果.案例1盒子里面有8个大小完全相同的小球，其中红色、黄色、蓝色各1个，分别表示一等奖、二等奖和三等奖，剩下5个为白色，表示不获奖.现将这些小球平均分给4个人，试讨论获奖情况.分析：由已知条件可知，每个人会得到两个小球，可以进行如下分类：（1）有一个人获得两个奖，一个人获得一个奖，剩下的两个人没有获奖；（2）有三个人分别获得一个奖，剩下的一个人不获奖.在进行分类处理时，不考虑内部的具体排布，因此上面的两种类别就可以将所有情况包含其中.接下来就是针对每一种类别展开计算.解Q1）首先是从小球的角度考虑，从三个有奖的小球里面挑出两个，放在"位置，共有C2=3（种）可能,$位置为剩下的一个有奖小球及一个无奖小球,C、D位置各两个无差别的无奖小球；接着从抽奖人角度考虑,"、$位置为有奖，从4个人里面选2个出来，并且结果具有差异性，因此是排列问题，即A*=12.剩下的两堆无奖小球无差别,不存在先后顺序.因此共有C2A*=36（种）不同的获奖可能.（2）从四个人里面挑出三个去分别获得不同的奖项，剩余的一个人置后考虑，不存在先后影响，因此共有A*=24（种）可能.综上所述，共有60种不同的获奖情况.2.数形结合数形结合是一种常见的数学思想方法，在排列组合问题中也是如此，学生需要根据题目中的已知信息绘制相关图形来辅助思维，达到准确、快速解决问题的目的.案例2假设有一平面，面上共有10个点，其中有4个点共线，除此之外不存在任何3点在同一直线上.试分析过其中的两点作直线，一共能画出多少条不同的高中彳•了裂：•■?67解法探究2019年%月直线.分析:绘制直线的实质就是寻找到所有不同的两点组合,分析题干信息可知,这些点中，共线的4个点比较 特殊，对于其他的%个点而言，由于不存在多点(大于2) 共线的问题，因此彼此之间可以看成是相同的情况，只 需要考虑其中一种就可以.因此，在绘制示意图时，选择共线的4个点及直线外的2个点进行分析，如图1所示.解：采用分类的思想可以知道,所连直线共存在以下几种情况：(1) 由共线4点确定的直线，易知只存在1种情况；(2) 由共线4点中的1个点与其他%个点连成直线，共有C 'C '=24(种)可能；0)由共线4点外的点连成直线，共有C 2=15(种)可能.综上所述，结合加法原理可知，共可以绘制i +C 4C+C 2=4 0(条)不同的直线.3.递推排列组合问题在解决时经常会用到分步计数原理， 进而确定计算表达式进行求解，这其实就是一种递推的思想!案例3学校教学楼门口的楼梯共有9级，假设上楼梯时最多只能一次跨3个台阶，试求解共有多少种不同的爬楼梯方法.分析:假设走到第"个台阶共有%($)种方法，如果第一步爬1个台阶，那么剩下的$-1个台阶共有($-1)种方法;如果第一步爬2个台阶，那么剩下的$-2个台阶共有% ($-2)种方法；如果第一步爬3个台阶，那么剩下的$-3个台阶共有s($-3)种方法.易知s($)=s ($-1)+s ($-2)+%($-3)且满足%(1) = 1，即第一步爬1个台阶;％(2)=2，即第一步、第二步分别爬1个台阶或第一步爬2个台阶这两 种情况"⑶=4,即每次爬1个台阶、一次性爬3个台阶、第一步1个台阶第二步2个台阶或者第一步2个台阶第二 步1个台阶这四种情况.解：由上述分析可知：s (4)=s (3)+s (2)+s(1)=4+2+1=7；s(5)=s (4)+s (3)+s (2)=7+4+2=13;s(6)=s(5)+s (4)+s (3)=13+7+4=24；s (7)=s(6)+s(5)+s (4)=24+13+7=44； s (8)=s (7)+s(6)+s(5)=44+24+13=81; s (9)=s (8)+s (7)+s(6)=81+44+24=149.综上所述，共有149种不同的方法爬上这个9级台阶.三、结束语实际上，学生接触排列组合的知识并不是始于高 中，早在小学时就已经接触过基础的计数问题.到高中 阶段，问题情境更多样，难度也更大.总体来说，排列组合问题比较灵活，本文列举的只是其中的几种思想方法,诸如对称思想、类比思想、集合思想等也具有较强的适用性.在教学过程中，教师要注意两条线共同推进，即 教材知识、方法技能的讲授这一条“明线”与数学思想的融入这条“暗线”，以此培养学生深入思考的习惯，提升学生的创新思维能力.具体来说，排列组合问题对学生的思维能力要求较高，问题形式灵活多样.在解题过程中，学生常见的问题有两个，一是判断错“排列”或是“组合”问题类型，方法选用错误;二是计算不仔细，出现“重复”或是“遗漏”.因此，在日常学习中,学生要对常见的问题进行归纳总结，抽象成模型，同时要强化计算能力.作为教师，在教学环节需要凸显数学问题的本质，引导学生探索排列组合问题包含的数学思想,只有这样学生才能对这一类问题产生更深层次的理解，进而科学区分“排列”或是“组合”这 两种问题类型，同时也能强化学生的学习与思维能力，促进学生的全面发展.参考文献：[1] 尹爱国.高中数学排列组合解题技巧探究[J ].高中数理化，2015(8).[2] 徐辉梅.高中数学排列组合解题技巧研究[J ].高中数理化，2014(22).[3] 谢9欣.高中数学中排列组合问题的实际应用[J ].数学学习与研究，2017(19).[4] 李斑.高中数学排列组合问题的教学策略[J ].数学学习与研究，2013(9).[5] 高九明.浅谈高中数学排列组合解题方法[J ].课程教育研究，2017(40).[%]周淑清.高中数学“排列组合”教学现状及优化策略[J ].知识窗(教师版)，2016(4).应68 彳•了裂:7高中。
第8节 排列组合中的数学思想方法及模型
排列组合问题中的数学思想方法及模型（一）．分类讨论的思想：许多“数数”问题往往情境复杂，层次多，视角广，这就需要我们在分析问题时，选择恰当的切入点，从不同的侧面，把原问题变成几个小问题，分而治之，各种击破。
例.已知集合A 和集合B 各含有12个元素，A B 含有4个元素，求同时满足下列条件的集合C 的个数：1）C A B ≠⊂ 且C 中含有3个元素，2）C A φ≠ 解：如图，因为A ，B 各含有12个元素，A B 含有4个元素，所以A B 中的元素有12+12-4=20个，其中属于A 的有12个，属于A 而不属于B 的有8个，要使C A φ≠ ，则C 中的元素至少含在A 中，集合C 的个数是：1）只含A 中1个元素的有12128C C ；2）含A 中2个元素的有21128C C ；3）含A 中3个元素的有30128C C ，故所求的集合C 的个数共有12128C C +21128C C +30128C C =1084个（二）．等价转化的思想：很多“数数”问题的解决，如果能跳出题没有限定的“圈子”，根据题目的特征构思设计出一个等价转化的途径，可使问题的解决呈现出“要柳暗花明”的格局。
1.具体与抽象的转化例.某人射击7枪，击中5枪，问击中和末击中的不同顺序情况有多少种？分析：没击中用“1”表示，击中的用“0”表示，可将问题转化不下列问题：数列1234567,,,,,,a a a a a a a 有两项为0，5项是1，不同的数列个数有多少个？解：1）两个0不相邻的情况有26C 种，2）两个0相邻的情况有16C 种，所以击中和末击中的不同顺序情况有26C +16C =21种。
2）不同的数学概念之间的转化例.连结正方体8个顶点的直线中，为异面直线有多少对？分析：正面求解或反面求解（利用补集，虽可行，但容易遗漏或重复，注意这样一个事实，每一个三棱锥对应着三对异面直线，因而转化为计算以正方体顶点，可以构成多少个三棱锥）解：从正文体珠8个顶点中任取4个，有48C 种，其中4点共面的有12种，（6个表面和6个对角面）将不共面的4点可构一个三棱锥，共有48C -12个三棱锥，因而共有3（48C -12）=174对异面直线。
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秦 振
解排列组合问题中的数学思想
如果学生能掌握并应用数学思想解决排列组合问题,将有利于数学能力的提高.下面结合例题介绍解排列组合问题时,经常用到的数学思想,供大家参考.
一、方程思想
有些排列组合问题,可以根据条件中的等量关系,列出方程(组),解方程或利用方程性质求解.
例1 用n 种不同颜色为下列两块广告牌着色,如图1所示,要求在图1 、!、∀、#各区域中分别着一种颜色,并且相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色.
(1)若n =6,为甲着色时共有多少种不同方法?
(2)若为乙着色时共有120种不同方法,求
n.
分析:(1)完成着色可分四个步骤,可依次考虑为 、!、∀、#着色时,各自的方法数,再由分步计数原理可求出着色方法数.(2)可利用(1)的方法根据条件列出方程求解.
解:(1)给 着色有6种方法,给!着色有5种方法,给∀着色有4种方法,给#着色有4种方法.因此,总共有着色方法为6∃5∃4∃4=480(种).
(2)给 着色有n 种方法,给!着色有n
-1种方法,给∀着色有n -2种方法,给#着色n -3种方法.由题意得
n (n -1)(n -2)(n -3)=120.化为(n 2
-3n )(n 2
-3n +2)-120=0,即(n 2
-3n )2
+2(n 2
-3n )-12∃10=0.由十字相乘法分解因式,有(n 2
-3n +12)(n 2
-3n -10)=0.所以n 2
-3n -10=0,或n 2
-3n +12=0(因 <0,舍去).
所以n =5或n =-2(舍去).所以n =5.
若注意到n(n -1)(n -2)(n -3)是连续正整数之积,而120=5∃4∃3∃2,易得n =5.
评注:此题用方程的思想方法求解,思路清晰、过程简捷.方程的思想方法是解决数学问题的常用方法之一.
二、整体思想
整体的思想方法,体现在排列组合解题中,就是不着眼于问题的%某些细节&,而是将要解
决的问题看作一个整体,从而达到顺利而又简捷解决问题的目的.
例2 A 、B 、C 、D 、E 五人并排站成一排,若B 必须站在A 的右边(A 、B 可以不相邻),那么不同排法共有( )
(A )24种 (B)60种(C)90种
(D )120种
分析:不考虑限制,对五人整体进行排队,而其中B 在A 的右边与B 在A 的左边机会均等,由此可得结果.
∋
17∋数理化学习(高中版)
解:由题意,得1
2
A55=60(种).选(B).
评注:应用整体的思想方法解题,省略了%一些细节&,只进行整体变换,达到快捷解题的目的.
三、补集思想
对于有些排列组合问题,如果从正面求解比较困难,则可以先考虑问题的反面,求出使问题反面成立的集合,则该集合的补集即为所求.
例3 编号1、2、3、4、5的5个人,入座编号也为1、2、3、4、5的5个座位,至多有两人对号的坐法有几种?
分析:问题的正面有3种情况:全不对号;有且仅有1人对号;有且仅有2人对号.直接求解较困难,而反面只有2种情况:全对号;有且仅有3人对号.
解:考虑问题的反面:全对号只有1种方法;3人对号入座有C35种方法,其余两人不对号入座有1种情况.由计数原理,反面情况共有1 +C35∋1=11种.5人全排列有A55种,所以满足要求的坐法为
A55-(1+C35∋1)=109种.
评注:使用补集思想解题的关键是正确找到问题的%反面&(集合A,然后确定出全集U,再求出%反面&的%反面&,即)U A,最后正确地给出问题的结果.
四、分类讨论思想
它是根据题目的特征,确定划分标准,进行分类,然后对每一类分别进行求解,最后综合给出答案.
例4 有11名外语翻译人员,其中5名会英语,4名会日语,另外两名英、日语都精通.现从中选出8人,组成两个翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译日语,问共有多少不同的选派方式?
分析:解题的难点是两名英、日语都精通的人员的安排,我们可以分成三类考虑,即这两人都不参加,一人入选,两人入选.
解:按两名英、日语都精通的人员参与情况,分三类:
(1)这两人不参加,有C45∋C44=5(种);
(2)这两人有一人入选,此时又有该人参加英语或日语两种可能,因此有
C12∋C35∋C44+C45∋C12∋C34=60(种).
(3)这两人均入选,这时又分三种情况,两人都译英语,两人都译日语,两人各译一个语种,共有C22∋C25∋C44+C45∋C22∋C24+C12∋C35∋C34=120(种).
综上所述,共有185种选派方式.
评注:使用分类讨论思想解题时,划分标准十分重要,这个标准应该是科学的、合理的,要满足互斥、无漏、最简的原则.
五、数形结合思想
根据已知条件的特点,画出图形,利用图形的直观性求解问题.
例5 新年前某宿舍的4位同学各写1张贺卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺卡,则4张贺卡的不同分配方式有( )
(A)6种 (B)9种
(C)11种(D)23种
分析:由于排列要按一定的次序,而且又要避免重复和遗漏,往往用树形图或框图.
解:设4张贺卡分别记为A、B、C、D,由题意,某人(不妨设A卡的供卡人)取卡的情况有3种,将卡的不同分配方式分为三类,对于每一类,其他人依次取卡分步进行.其树形图如图2所示,所以共有9种不同的分配方法
.
评注:解题时,若借助数形结合思想,把问题直观化、形象化,有利于问题的解决.
六、转化与化归思想
转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法.它的原则就是将不熟悉和难解的问题转化为熟悉的易解的或已经解决的问题,将复杂问题转化为简单问题.
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数理化学习(高中版)
例6 从1~9的九个数字中,取出五个数
进行排列,并把五个位置自右至左编号,则奇数数字必在奇数位置上的排列有多少个?
分析:将问题转化为%偶数位置上的数字必是偶数&求解.
解:由题意可知,对于两个偶数位置,应从四个偶数中选取2个排列在这两个偶数位置上,有A24种排法;再从剩下七个数字中选取3个排列在其余三个位置上,有A37种排法.故适合题意的排列个数是
A24∋A37=2520(种).
评注:数学大师波利亚强调:%不断地变换你的问题&.解题过程就是合理地%转化&问题的过程.
根据问题的结构,选取适当的数学思想解题,可以使解题思路更加清晰、过程更加简捷,同时这也是一种数学能力.
山东省枣庄市第九中学(277100)
杨惠民
排列组合应用题的
常见类型与分析方法
排列组合应用题,题型多样,解法十分灵活,注重对思维科学性的考查,是高考的热点内容之一.历年备考复习的经验说明,解排列组合应用题的关键是识别题型,用对方法.下面从历年的高考题及模拟题中,摘选一些典型题目,归类分析解答,供复习时参考.
一、相邻问题
例1 有8本互不相同的书,其中数学书3本,外文书2本,其它书3本.若将这些书排成一列放在书架上,则数学书恰好排在一起,外文书也恰好排在一起的排法共有种.(结果用数字表示)
解:由于数学书排在一起,外文书也排在一起,故可将数学书与外文书分别捆在一起,看作两本书,再与其它3本书一起排列,有A55=120种排法.再将3本数学书之间排列,有A33=6种,2本外文书之间排列,有A22=2种.故共有排法
A55A33A22=1440种.
评注:所谓%捆绑法&,就是在解决某几个元素相邻的问题时,将相邻的几个元素整体视为一个大元素,与其它元素排列,然后这几个相邻的元素再进行内部的小排列.
二、相离问题
例2 高三(一)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是( )
(A)1800 (B)3600
(C)4320 (D)5040
解:先将4个音乐节目和1个曲艺节目进行排列,有A55种,然后在这5个节目之间及首尾的6个空中选出2个空,将舞蹈节目插入,有A2
6种.所以符合要求的排法共有A55A26=3600种.
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数理化学习(高中版)。