2021年江西省南昌市中考数学试题及解析
2021年江西省南昌市中考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1．（3分）（2015•南昌）计算（﹣1）0的结果为（）A．1B．﹣1 C．0D．无意义2．（3分）（2015•南昌）2015年初，一列CRH5型高速车组进行了“300000公里正线运营考核”标志着中国高速快车从“中国制造”到“中国创造”的飞跃，将300000用科学记数法表示为（）A．3×106B．3×105C．0.3×106D．30×1043．（3分）（2015•南昌）下列运算正确的是（）A．（2a2）3=6a6B．﹣a2b2•3ab3=﹣3a2b5D．+=﹣1C．•=﹣14．（3分）（2015•南昌）如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．5．（3分）（2015•南昌）如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（）A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形B．B D的长度增大C．四边形ABCD的面积不变D．四边形ABCD的周长不变6．（3分）（2015•南昌）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（）A．只能是x=﹣1B．可能是y轴C．在y轴右侧且在直线x=2的左侧D．在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）7．（3分）（2015•南昌）一个角的度数为20°，则它的补角的度数为．8．（3分）（2015•南昌）不等式组的解集是．9．（3分）（2015•南昌）如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA=OB，则图中有对全等三角形．10．（3分）（2015•南昌）如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为．11．（3分）（2015•南昌）已知一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两根为m，n，则m2﹣mn+n2=．12．（3分）（2015•南昌）如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为cm （参考数据sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．13．（3分）（2015•南昌）两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数为．14．（3分）（2015•南昌）如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为．三、解答题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）15．（6分）（2015•南昌）先化简，再求值：2a（a+2b）﹣（a+2b）2，其中a=﹣1，b=．16．（6分）（2015•南昌）如图，正方形ABCD于正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2）．（1）求对称中心的坐标．（2）写出顶点B，C，B1，C1的坐标．17．（6分）（2015•南昌）⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）．（1）如图1，AC=BC；（2）如图2，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．18．（6分）（2015•南昌）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．（1）先从袋子中取出m（m＞1）个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A，请完成下列表格：事件A 必然事件随机事件m的值（2）先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于，求m的值．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19．（8分）（2015•南昌）某校为了了解学生家长对孩子使用手机的态度情况，随机抽取部分学生家长进行问卷调查，发出问卷140份，每位学生家长1份，每份问卷仅表明一种态度，将回收的问卷进行整理（假设回收的问卷都有效），并绘制了如图两幅不完整的统计图．根据以上信息解答下列问题：（1）回收的问卷数为份，“严加干涉”部分对应扇形的圆心角度数为．（2）把条形统计图补充完整（3）若将“稍加询问”和“从来不管”视为“管理不严”，已知全校共1500名学生，请估计该校对孩子使用手机“管理不严”的家长大约有多少人？20．（8分）（2015•南昌）（1）如图1，纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的形状为A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形（2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF=4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D．①求证：四边形AFF′D是菱形．②求四边形AFF′D的两条对角线的长．21．（8分）（2015•南昌）如图，已知直线y=ax+b与双曲线y=（x＞0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（A与B不重合），直线AB与x轴交于P（x0，0），与y轴交于点C．（1）若A，B两点坐标分别为（1，3），（3，y2），求点P的坐标．（2）若b=y1+1，点P的坐标为（6，0），且AB=BP，求A，B两点的坐标．（3）结合（1），（2）中的结果，猜想并用等式表示x1，x2，x0之间的关系（不要求证明）．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．（9分）（2015•南昌）甲、乙两人在100米直道AB上练习匀速往返跑，若甲、乙分别中A，B两端同时出发，分别到另一端点处掉头，掉头时间不计，速度分别为5m/s和4m/s．（1）在坐标系中，虚线表示乙离A端的距离s（单位：m）与运动时间t（单位：s）之间的函数图象（0≤t≤200），请在同一坐标系中用实线画出甲离A端的距离s与运动时间t之间的函数图象（0≤t≤200）；（2）根据（1）中所画图象，完成下列表格：1 2 3 4 …n两人相遇次数（单位：次）两人所跑路程之100 300 …和（单位：m）（3）①直接写出甲、乙两人分别在第一个100m内，s与t的函数解析式，并指出自变量t 的取值范围；②当t=390s时，他们此时相遇吗？若相遇，应是第几次？若不相遇，请通过计算说明理由，并求出此时甲离A端的距离．23．（9分）（2015•南昌）如图，已知二次函数L1：y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）和二次函数L2：y=﹣a（x+1）2+1（a＞0）图象的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F．（1）函数y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）的最小值为，当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是．（2）当EF=MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状（直接写出，不必证明）．（3）若二次函数L2的图象与x轴的右交点为A（m，0），当△AMN为等腰三角形时，求方程﹣a（x+1）2+1=0的解．六、解答题（本大题共12分）24．（12分）（2015•南昌）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC=a，AC=b，AB=c．特例探索（1）如图1，当∠ABE=45°，c=2时，a=，b=．如图2，当∠ABE=30°，c=4时，a=，b=．归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．拓展应用（3）如图4，在▱ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD=2，AB=3，求AF的长．2015年江西省南昌市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1．（3分）（2015•南昌）计算（﹣1）0的结果为（）A．1B．﹣1 C．0D．无意义考点：零指数幂．分析：根据零指数幂的运算方法：a0=1（a≠0），求出（﹣1）0的结果为多少即可．解答：解：∵（﹣1）0=1，∴（﹣1）0的结果为1．故选：A．点评：此题主要考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a0=1（a≠0）；（2）00≠1．2．（3分）（2015•南昌）2015年初，一列CRH5型高速车组进行了“300000公里正线运营考核”标志着中国高速快车从“中国制造”到“中国创造”的飞跃，将300000用科学记数法表示为（）A．3×106B．3×105C．0.3×106D．30×104考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将300000用科学记数法表示为：3×105．故选：B．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）（2015•南昌）下列运算正确的是（）A．（2a2）3=6a6B．﹣a2b2•3ab3=﹣3a2b5D．+=﹣1C．•=﹣1考点：分式的乘除法；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式；分式的加减法．专题：计算题．分析：A、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；B、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果，即可做出判断；C、原式约分得到结果，即可做出判断；D、原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．解答：解：A、原式=8a4，错误；B、原式=﹣3a3b5，错误；C、原式=a﹣1，错误；D、原式===﹣1，正确；故选D．点评：此题考查了分式的乘除法，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，以及分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（3分）（2015•南昌）如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．解答：解：从左面看所得到的图形是正方形，切去部分的棱能看到，用实线表示，故选：C．点评：本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键．5．（3分）（2015•南昌）如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（）A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形B．B D的长度增大C．四边形ABCD的面积不变D．四边形ABCD的周长不变考点：矩形的性质；平行四边形的性质．分析：由将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，由平行四边形的判定定理知四边形变成平行四边形，由于四边形的每条边的长度没变，所以周长没变；拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，所以面积变小了，BD的长度增加了．解答：解：∵矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，∴AD=BC，AB=DC，∴四边形变成平行四边形，故A正确；BD的长度增加，故B正确；∵拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，∴面积变小了，故C错误；∵四边形的每条边的长度没变，∴周长没变，故D正确，故选C．点评：本题主要考查了矩形的性质和平行四边形的性质，弄清图形变化后的变量和不变量是解答此题的关键．6．（3分）（2015•南昌）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（）A．只能是x=﹣1B．可能是y轴C．在y轴右侧且在直线x=2的左侧D．在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧考点：二次函数的性质．分析：根据题意判定点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x2满足：﹣2＜x2＜2，从而得出﹣2＜＜0，即可判定抛物线对称轴的位置．解答：解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，∴点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x2满足：﹣2＜x2＜2，∴﹣2＜＜0，∴抛物线的对称轴在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧．故选D．点评：本题考查了二次函数的性质，根据点坐标判断出另一个点的位置是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）7．（3分）（2015•南昌）一个角的度数为20°，则它的补角的度数为160°．考点：余角和补角．分析：根据互为补角的两个角的和等于180°列式进行计算即可得解．解答：解：180°﹣20°=160°．故答案为：160°．点评：本题考查了余角和补角，解决本题的关键是熟记互为补角的和等于180°．8．（3分）（2015•南昌）不等式组的解集是﹣3＜x≤2．考点：解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．解答：解：，由①得：x≤2，由②得：x＞﹣3，则不等式组的解集为﹣3＜x≤2．故答案为：﹣3＜x≤2点评：此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．（3分）（2015•南昌）如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA=OB，则图中有3对全等三角形．考点：全等三角形的判定；角平分线的性质．分析：由OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，得到PE=PF，∠1=∠2，证得△AOP≌△BOP，再根据△AOP≌△BOP，得出AP=BP，于是证得△AOP≌△BOP，和R t△AOP≌R t△BOP．解答：解：OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，∴PE=PF，∠1=∠2，在△AOP与△BOP中，，∴△AOP≌△BOP，∴AP=BP，在△EOP与△FOP中，，∴△AOP≌△BOP，在R t△AOP与R t△BOP中，，∴R t△AOP≌R t△BOP，∴图中有3对全等三角形，故答案为：3．点评：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．10．（3分）（2015•南昌）如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为110°．考点：圆周角定理．分析：根据圆周角定理求得∠BOC=100°，进而根据三角形的外角的性质求得∠BDC=70°，然后根据邻补角求得∠ADC的度数．解答：解：∵∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°，∵∠B=30°，∠BOC=∠B+⊂BDC，∴∠BDC=∠BOC﹣∠B=100°﹣30°=70°，∴∠ADC=180°﹣∠BDC=110°，故答案为110°．点评：本题考查了圆心角和圆周角的关系及三角形外角的性质，圆心角和圆周角的关系是解题的关键．11．（3分）（2015•南昌）已知一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两根为m，n，则m2﹣mn+n2= 25．考点：根与系数的关系．分析：由m与n为已知方程的解，利用根与系数的关系求出m+n与mn的值，将所求式子利用完全平方公式变形后，代入计算即可求出值．解答：解：∵m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两个根，∴m+n=4，mn=﹣3，则m2﹣mn+n2=（m+n）2﹣3mn=16+9=25．故答案为：25．点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．12．（3分）（2015•南昌）如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为14.1cm（参考数据sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．考点：解直角三角形的应用．分析：作BE⊥CD于E，根据等腰三角形的性质和∠CBD=40°，求出∠CBE的度数，根据余弦的定义求出BE的长．解答：解：如图2，作BE⊥CD于E，∵BC=BD，∠CBD=40°，∴∠CBE=20°，在Rt△CBE中，cos∠CBE=，∴BE=BC•cos∠CBE=15×0.940=14.1cm．故答案为：14.1．点评：本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，作出合适的辅助线构造直角三角形是解题的重要环节．13．（3分）（2015•南昌）两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数为6．考点：中位数；算术平均数．分析：首先根据平均数的定义列出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组求得a、b的值，然后求中位数即可．解答：解：∵两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，∴，解得，若将这两组数据合并为一组数据，按从小到大的顺序排列为3，4，5，6，8，8，8，一共7个数，第四个数是6，所以这组数据的中位数是6．故答案为6．点评：本题考查平均数和中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．14．（3分）（2015•南昌）如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为2或2或2．考点：勾股定理；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线．专题：分类讨论．分析：利用分类讨论，当∠APB=90°时，易得∠PAB=30°，利用锐角三角函数得AP的长；当∠ABP=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图2易得BP，利用勾股定理可得AP 的长；情况二：如图3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出结论．解答：解：当∠APB=90°时（如图1），∵AO=BO，∴PO=BO，∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP为等边三角形，∵AB=BC=4，∴AP=AB•sin60°=4×=2；当∠ABP=90°时，情况一：（如图2），∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴BP===2，在直角三角形ABP中，AP==2，情况二：如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO，∵∠AOC=60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP=AO=2，故答案为：2或2或2．点评：本题主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．三、解答题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）15．（6分）（2015•南昌）先化简，再求值：2a（a+2b）﹣（a+2b）2，其中a=﹣1，b=．考点：整式的混合运算—化简求值．专题：计算题．分析：原式第一项利用单项式乘以多项式法则计算，第二项利用完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=2a2+4ab﹣a2﹣4ab﹣4b2=a2﹣4b2，当a=﹣1，b=时，原式=1﹣12=﹣11．点评：此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．（6分）（2015•南昌）如图，正方形ABCD于正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2）．（1）求对称中心的坐标．（2）写出顶点B，C，B1，C1的坐标．考点：中心对称；坐标与图形性质．分析：（1）根据对称中心的性质，可得对称中心的坐标是D1D的中点，据此解答即可．（2）首先根据A，D的坐标分别是（0，4），（0，2），求出正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长是多少，然后根据A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2），判断出顶点B，C，B1，C1的坐标各是多少即可．解答：解：（1）根据对称中心的性质，可得对称中心的坐标是D1D的中点，∵D1，D的坐标分别是（0，3），（0，2），∴对称中心的坐标是（0，2.5）．（2）∵A，D的坐标分别是（0，4），（0，2），∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是：4﹣2=2，∴B，C的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），∵A1D1=2，D1的坐标是（0，3），∴A1的坐标是（0，1），∴B1，C1的坐标分别是（2，1），（2，3），综上，可得顶点B，C，B1，C1的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），（2，1），（2，3）．点评：（1）此题主要考查了中心对称的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．（2）此题还考查了坐标与图形的性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．17．（6分）（2015•南昌）⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）．（1）如图1，AC=BC；（2）如图2，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．考点：作图—复杂作图；三角形的外接圆与外心；切线的性质．专题：作图题．分析：（1）过点C作直径CD，由于AC=BC，=，根据垂径定理的推理得CD垂直平分AB，所以AD将△ABC分成面积相等的两部分；（2）连结PO并延长交BC于E，过点A、E作弦AD，由于直线l与⊙O相切于点P，根据切线的性质得OP⊥l，而l∥BC，则PE⊥BC，根据垂径定理得BE=CE，所以弦AE将△ABC分成面积相等的两部分．解答：解：（1）如图1，直径CD为所求；（2）如图2，弦AD为所求．点评：本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的性质．18．（6分）（2015•南昌）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．（1）先从袋子中取出m（m＞1）个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A，请完成下列表格：事件A 必然事件随机事件m的值42，3（2）先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于，求m的值．考点：概率公式；随机事件．分析：（1）当袋子中全部为黑球时，摸出黑球才是必然事件，否则就是随机事件；（2）利用概率公式列出方程，求得m的值即可．解答：解：（1）当袋子中全为黑球，即摸出4个红球时，摸到黑球是必然事件；当摸出2个或3个时，摸到黑球为随机事件，故答案为：4；2，3．（2）根据题意得：=，解得：m=2，所以m的值为2．点评：本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19．（8分）（2015•南昌）某校为了了解学生家长对孩子使用手机的态度情况，随机抽取部分学生家长进行问卷调查，发出问卷140份，每位学生家长1份，每份问卷仅表明一种态度，将回收的问卷进行整理（假设回收的问卷都有效），并绘制了如图两幅不完整的统计图．根据以上信息解答下列问题：（1）回收的问卷数为120份，“严加干涉”部分对应扇形的圆心角度数为30°．（2）把条形统计图补充完整（3）若将“稍加询问”和“从来不管”视为“管理不严”，已知全校共1500名学生，请估计该校对孩子使用手机“管理不严”的家长大约有多少人？考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．分析：（1）用“从来不管”的问卷数除以其所占百分比求出回收的问卷总数；用“严加干涉”部分的问卷数除以问卷总数得出百分比，再乘以360°即可；（2）用问卷总数减去其他两个部分的问卷数，得到“稍加询问”的问卷数，进而补全条形统计图；（3）用“稍加询问”和“从来不管”两部分所占的百分比的和乘以1500即可得到结果．解答：解：（1）回收的问卷数为：30÷25%=120（份），“严加干涉”部分对应扇形的圆心角度数为：×360°=30°．故答案为：120，30°；（2）“稍加询问”的问卷数为：120﹣（30+10）=80（份），补全条形统计图，如图所示：（3）根据题意得：1500×=1375（人），则估计该校对孩子使用手机“管理不严”的家长大约有1375人．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体．20．（8分）（2015•南昌）（1）如图1，纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的形状为CA．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形（2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF=4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D．①求证：四边形AFF′D是菱形．②求四边形AFF′D的两条对角线的长．考点：图形的剪拼；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；矩形的判定；平移的性质．分析：（1）根据矩形的判定，可得答案；（2）①根据菱形的判定，可得答案；②根据勾股定理，可得答案．解答：解：（1）如图1，纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D 的形状为矩形，故选：C；（2）①证明：∵纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，∴AE=3．如图2：，∵△AEF，将它平移至△DE′F′，∴AF∥DF′，AF=DF′，∴四边形AFF′D是平行四边形．在Rt△AEF中，由勾股定理，得AF===5，∴AF=AD=5，∴四边形AFF′D是菱形；②连接AF′，DF，如图3：在Rt△DE′F中E′F=FF′﹣E′F′=5﹣4=1，DE′=3，∴DF===，在Rt△AEF′中EF′=EF+FF′=4+5=9，AE=3，∴AF′===3．点评：本题考查了图形的剪拼，利用了矩形的判定，菱形的判定，勾股定理．21．（8分）（2015•南昌）如图，已知直线y=ax+b与双曲线y=（x＞0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（A与B不重合），直线AB与x轴交于P（x0，0），与y轴交于点C．（1）若A，B两点坐标分别为（1，3），（3，y2），求点P的坐标．（2）若b=y1+1，点P的坐标为（6，0），且AB=BP，求A，B两点的坐标．（3）结合（1），（2）中的结果，猜想并用等式表示x1，x2，x0之间的关系（不要求证明）．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）先把A（1，3）），B（3，y2）代入y=求得反比例函数的解析式，进而求得B 的坐标，然后把A、B代入y=ax+b利用待定系数法即可求得直线的解析式，继而即可求得P的坐标；（2）作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，BG⊥y轴于G，AE、BG交于H，则AD∥BG∥x轴，AE∥BF∥y轴，得出=，==，根据题意得出=，==，从而求得B（，y1），然后根据k=xy得出x1•y1=•y1，求得y1=2，代入=，解得x1=2，即可求得A、B的坐标；（3）合（1），（2）中的结果，猜想x1+x2=x0．解答：解：（1）∵直线y=ax+b与双曲线y=（x＞0）交于A（1，3），∴k=1×3=3，∴y=，∵B（3，y2）在反比例函数的图象上，∴y2==1，∴B（3，1），∵直线y=ax+b经过A、B两点，∴解得，∴直线为y=﹣x+4，令y=0，则x=4，∴P（4，O）；（2）如图，作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，BG⊥y轴于G，AE、BG交于H，则AD∥BG∥x轴，AE∥BF∥y轴，∴=，==，∵b=y1+1，AB=BP，∴=，==，∴B（，y1）∵A，B两点都是反比例函数图象上的点，∴x1•y1=•y1，解得y1=2，代入=，解得x1=2，∴A（2，2），B（4，1）．（3）根据（1），（2）中的结果，猜想：x1，x2，x0之间的关系为x1+x2=x0．点评：本题考查了待定系数法求解析式以及反比例函数和一次函数的交点问题，数形结合思想的运用是解题的关键．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．（9分）（2015•南昌）甲、乙两人在100米直道AB上练习匀速往返跑，若甲、乙分别中A，B两端同时出发，分别到另一端点处掉头，掉头时间不计，速度分别为5m/s和4m/s．（1）在坐标系中，虚线表示乙离A端的距离s（单位：m）与运动时间t（单位：s）之间的函数图象（0≤t≤200），请在同一坐标系中用实线画出甲离A端的距离s与运动时间t之间的函数图象（0≤t≤200）；（2）根据（1）中所画图象，完成下列表格：两人相遇次数（单位：次）1 2 3 4 …n两人所跑路程之和（单位：m）100 300 500700…200n﹣100（3）①直接写出甲、乙两人分别在第一个100m内，s与t的函数解析式，并指出自变量t 的取值范围；②当t=390s时，他们此时相遇吗？若相遇，应是第几次？若不相遇，请通过计算说明理由，并求出此时甲离A端的距离．考点：一次函数的应用．分析：（1）根据甲跑100米所用的时间为100÷5=20（秒），画出图象即可；（2）根据甲和乙第一次相遇时，两人所跑路程之和为100米，甲和乙第二次相遇时，两人所跑路程之和为100×2+100=300（米），甲和乙第三次相遇时，两人所跑路程之和为200×2+100=500（米），甲和乙第四次相遇时，两人所跑路程之和为300×2+100=700（米），找到规律即可解答；（3）①根据路程、速度、时间之间的关系即可解答；②由200n﹣100=9×390，解得：n=18.05，根据n不是整数，所以此时不相遇，当t=400s时，甲回到A，所以当t=390s时，甲离A端距离为（400﹣390）×5=50m．解答：解：（1）如图：（2）甲和乙第一次相遇时，两人所跑路程之和为100米，甲和乙第二次相遇时，两人所跑路程之和为100×2+100=300（米），甲和乙第三次相遇时，两人所跑路程之和为200×2+100=500（米），甲和乙第四次相遇时，两人所跑路程之和为300×2+100=700（米），…甲和乙第n次相遇时，两人所跑路程之和为（n﹣1）×100×2+100=200n﹣100（米），故答案为：500，700，200n﹣100；（3）①s甲=5t（0≤t＜20），s乙=4t（0≤t≤25）．。
2021年江西省中考数学试卷及答案解析
2021年江西省中考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项）1．﹣2的相反数是（ ）A ．2B ．﹣2C ．12D ．−12 【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的两个数互为相反数．【解答】解：根据相反数的定义，﹣2的相反数是2．故选：A ．【点评】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．2．如图，几何体的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据简单组合体的三视图的画法得出该组合体的主视图即可．【解答】解：从正面看该组合体，长方体的主视图为长方形，圆柱体的主视图是长方形， 因此选项C 中的图形符合题意，故选：C ．【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是正确判断的前提．3．计算a+1a −1a 的结果为（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．a+2a D ．a−2a【分析】根据分式的加减运算法则即可求出答案．【解答】解：原式=a+1−1a=a a＝1，故选：A ．【点评】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．4．如图是2020年中国新能源汽车购买用户地区分布图，由图可知下列说法错误的是（ ）A ．一线城市购买新能源汽车的用户最多B ．二线城市购买新能源汽车用户达37%C ．三四线城市购买新能源汽车用户达到11万D ．四线城市以下购买新能源汽车用户最少【分析】根据扇形统计图中的数据一一分析即可判断．【解答】解：A 、一线城市购买新能源汽车的用户最多，故本选项正确，不符合题意；B 、二线城市购买新能源汽车用户达37%，故本选项正确，不符合题意；C 、由扇形统计图中的数据不能得出三四线城市购买新能源汽车用户达到11万，故本选项错误，符合题意；D 、四线城市以下购买新能源汽车用户最少，故本选项正确，不符合题意；故选：C ．【点评】本题考查了扇形统计图．关键是根据扇形统计图中的数据进行分析，解题时要细心．5．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象，即可得出a＞0、b＞0、c＜0，由此即可得出：二次函数y＝ax﹣+bx+c的图象开口向上，对称轴x=−b2a＜0，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．【解答】解：观察函数图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴x=−b2a＜0，与y轴的交点在y轴负半轴．故选：D．【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象和一次函数图象经过的象限，找出a＞0、b＞0、c＜0是解题的关键．6．如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线）小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左，下，右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（）A．2B．3C．4D．5【分析】能拼剪为等腰梯形，等腰直角三角形，矩形，由此即可判断．【解答】解：观察图象可知，能拼接成不同轴对称图形的个数为3个．故选：B．【点评】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解轴对称图形的性质，属于中考常考题型．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．国务院第七次全国人口普查领导小组办公室5月11日发布，江西人口数约为45100000人，将45100000用科学记数法表示为 4.51×107．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：45100000＝4.51×107，故答案为：4.51×107．【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．8．因式分解：x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）．【分析】直接运用平方差公式进行因式分解．【解答】解：x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）．【点评】本题考查了平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．9．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根，则x1+x1﹣x1x2＝1．【分析】直接根据根与系数的关系得出x1+x2、x1x2的值，再代入计算即可．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根，∴x1+x2＝4，x1x2＝3．则x1+x2﹣x1x2＝4﹣3＝1．故答案是：1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系，关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1•x2=ca．10．如表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全表第四行空缺的数字是3．【分析】根据表中的数据和数据的变化特点，可以发现：每一行中间的数字都等于这个数字上一行左上角和右上角的数字之和，然后即可写出第四行空缺的数字．【解答】解：由表可知，每一行中间的数字都等于这个数字上一行左上角和右上角的数字之和，故第四行空缺的数字是1+2＝3，故答案为：3．【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是发现数字的变化特点，写出相应的数字．11．如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则▱ABCD的周长为4a+2b．【分析】由∠B＝80°，四边形ABCD为平行四边形，折叠的性质可证明△AFC为等腰三角形．所以AF＝FC＝a．设∠ECD＝x，则∠ACE＝2x，在△ADC中，由三角形内角和定理可知，2x+2x+x+80°＝180°，解得x＝20°，由外角定理可证明△DFC为等腰三角形．所以DC＝FC＝a．故平行四边形ABCD的周长为2（DC+AD）＝2（a+a+b）＝2＝4a+2b．【解答】解：∵∠B＝80°，四边形ABCD为平行四边形．∴∠D＝80°．由折叠可知∠ACB＝∠ACE，又AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠ACE＝∠DAC，∴△AFC为等腰三角形．∴AF＝FC＝a．设∠ECD＝x，则∠ACE＝2x，∴∠DAC＝2x，在△ADC中，由三角形内角和定理可知，2x+2x+x+80°＝180°，解得：x＝20°．∴由三角形外角定理可得∠DFC＝4x＝80°，故△DFC为等腰三角形．∴DC＝FC＝a．∴AD＝AF+FD＝a+b，故平行四边形ABCD的周长为2（DC+AD）＝2（a+a+b）＝2＝4a+2b．故答案为：4a+2b．【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角形内角和定理、外角定理、图形的翻折变换，证明△AFC和△DFC为等腰三角形是解题关键．12．如图，在边长为6√3的正六边形ABCDEF中，连接BE，CF，其中点M，N分别为BE 和CF上的动点．若以M，N，D为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为9或10或18．【分析】连接DF,DB,BF．则△DBF是等边三角形．解直角三角形求出DF,可得结论．当点N在OC上，点M在OE上时，求出等边三角形的边长的最大值，最小值，可得结论．【解答】解：连接DF,DB,BF．则△DBF是等边三角形．设BE交DF于J．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴由对称性可知，DF⊥BE,∠JEF＝60°,EF＝ED＝6√3,∴FJ＝DJ＝EF•sin60°＝6√3×√32=9,∴DF＝18,∴当点M与B重合，点N与F重合时，满足条件，∴△DMN的边长为18，如图，当点N在OC上，点M在OE上时，等边△DMN的边长的最大值为6√3≈10.39，最小值为9，∴△DMN的边长为整数时，边长为10或9，综上所述，等边△DMN的边长为9或10或18．故答案为：9或10或18．【点评】本题考查正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是判断出△BDF是等边三角形，属于中考常考题型．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）计算：（﹣1）2﹣（π﹣2021）0+|−12|；（2）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC＝80°，BE平分∠ABC交AC于点E，ED ⊥AB于点D，求证：AD＝BD．【分析】(1)根据乘方的意义、零指数幂和绝对值的意义计算；（2）先证明∠A＝∠ABE得到△ABE为等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质得到结论．【解答】（1）解：原式＝1﹣1+1 2=12；(2)证明：∵BE平分∠ABC交AC于点E，∴∠ABE=12∠ABC=12×80°＝40°，∵∠A＝40°，∴∠A＝∠ABE，∴△ABE 为等腰三角形，∵ED ⊥AB ，∴AD ＝BD ．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了等腰三角形的判断与性质和实数的运算．14．（6分）解不等式组：{2x −3≤1x+13＞−1并将解集在数轴上表示出来．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2x ﹣3≤1，得：x ≤2，解不等式x+13＞−1，得：x ＞﹣4，则不等式组的解集为﹣4＜x ≤2，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．15．（6分）为庆祝建党100周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从A ，B ，C ，D 四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．（1）“A 志愿者被选中”是 随机 事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）；（2）请你用列表法或画树状图法表示出这次抽签所有可能的结果，并求出A ，B 两名志愿者被选中的概率．【分析】（1）根据随机事件、不可能事件及必然事件的概念求解即可；（2）列表得出所有等可能结果数，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解即可．【解答】解：（1）“A 志愿者被选中”是随机事件，故答案为：随机；（2）列表如下：A B C DA﹣﹣﹣（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）﹣﹣﹣（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）﹣﹣﹣（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）﹣﹣﹣由表可知，共有12种等可能结果，其中A，B两名志愿者被选中的有2种结果，所以A，B两名志愿者被选中的概率为212=16．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．16．（6分）已知正方形ABCD的边长为4个单位长度，点E是CD的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，将直线AC绕着正方形ABCD的中心顺时针旋转45°；（2）在图2中，将直线AC向上平移1个单位长度．【分析】（1）根据正方形的性质和旋转的性质即可作出图形；（2）根据平移的性质即可作出图形．【解答】解：（1）如图1，直线l即为所求；（2）如图2中，直线a即为所求．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，作图﹣平移变换，正方形的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质和平移的性质．17．（6分）如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于点A（1，a）在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点C坐标为（﹣2，0）．（1）求k的值；（2）求AB所在直线的解析式．【分析】(1)先求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值；（2）作AD⊥x轴于D,BE⊥x轴于E,通过证得△BCE≌△CAD，求得B(﹣3,3),然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式．【解答】解：（1）∵正比例函数y＝x的图象经过点A（1，a），∴a＝1,∴A(1,1),∵点A 在反比例函数y =k x（x ＞0）的图象上， ∴k ＝1×1＝1；(2)作AD ⊥x 轴于D ,BE ⊥x 轴于E , ∵A (1,1),C (﹣2,0), ∴AD ＝1,CD ＝3, ∵∠ACB ＝90°， ∴∠ACD +∠BCE ＝90°, ∵∠ACD +∠CAD ＝90°, ∴∠BCE ＝∠CAD , 在△BCE 和△CAD 中， {∠BCE =∠CAD∠BEC =∠CDA =90°CB =AC, ∴△BCE ≌△CAD (AAS ), ∴CE ＝AD ＝1,BE ＝CD ＝3, ∴B (﹣3,3),设直线AB 的解析式为y ＝mx +n , ∴{m +n =1−3m +n =3,解得{m =−12n =32, ∴直线AB 的解析式为y =−12x +32．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，求得B 的坐标是解题的关键．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件． （1）求这种商品的单价；（2）甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价比上次少了20元/件，甲购买商品的总价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相同，则甲两次购买这种商品的平均单价是 48 元/件，乙两次购买这种商品的平均单价是 50 元/件．（3）生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合（2）的计算结果，建议按相同 金额 加油更合算（填“金额”或“油量”）． 【分析】(1)设这种商品的单价为x 元/件．根据“甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件”找到相等关系，列出方程,解出方程即可得出答案； (2)先计算出第二次购买该商品时甲购买的数量和乙购买的总价，再用两次总价和除以两次的数量和即可得出两次的平均单价； （3）通过比较（2）的计算结果即可得出答案． 【解答】(1)解：设这种商品的单价为x 元/件． 由题意得：3000x−2400x=10,解得：x ＝60,经检验：x ＝60是原方程的根． 答：这种商品的单价为60元/件．（2）解：第二次购买该商品时的单价为：60﹣20＝40（元/件），第二次购买该商品时甲购买的件数为：2400÷40＝60（件），第二次购买该商品时乙购买的总价为：（3000÷60）×40＝2000（元）， ∴甲两次购买这种商品的平均单价是：2400×2÷（240060+60）＝48（元/件），乙两次购买这种商品的平均单价是：（3000+2000）÷（300060×2）＝50（元/件）．故答案为：48；50． （3）解：∵48＜50, ∴按相同金额加油更合算． 故答案为：金额．【点评】本题考查了方式方程的应用，找到题目中的相等关系是解决问题的关键，计算平均单价的关键是能够正确的得出总价和数量，再思考从特殊到一般的规律．19．（8分）为了提高农副产品的国际竞争力，我国一些行业协会对农副产品的规格进行了划分．某外贸公司要出口一批规格为75g的鸡腿，现有两个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿的品质相近质检员分别从两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，它们的质量（单位：g）如下：甲厂：76，74，74，76，73，76，76，77，78，74，76，70，76，76，73，70，77，79，78，71；乙厂：75，76，77，77，78，77，76，71，74，75，79，71，72，74，73，74，70，79，75，77．甲厂鸡腿质量频数统计表质量x（g）频数频率20.168≤x＜7130.1571≤x＜7410a74≤x＜7750.2577≤x＜80合计201分析上述数据，得到下表：平均数中位数众数方差统计量厂家甲厂7576b 6.3乙厂757577 6.6请你根据图表中的信息完成下列问题：（1）a＝0.5，b＝76；（2）补全频数分布直方图；（3）如果只考虑出口鸡腿规格，请结合表中的某个统计量，为外贸公司选购鸡腿提供参考建议；（4）某外贸公司从甲厂采购了20000只鸡腿，并将质量（单位：g）在71≤x＜77的鸡腿加工成优等品，请估计可以加工成优等品的鸡腿有多少只？【分析】（1）根据频数、频率、总数之间的关系可求出a的值，根据众数的意义可求出b 的值；（2）求出乙厂鸡腿质量在74≤x＜77的频数，即可补全频数分布直方图；（3）根据中位数、众数、平均数综合进行判断即可；（4）求出甲厂鸡腿质量在71≤x＜77的鸡腿数量所占的百分比即可．【解答】解：（1）2÷0.1＝20（个），a＝10÷20＝0.5，甲厂鸡腿质量出现次数最多的是76g，因此众数是76，即b＝76，故答案为：0.5，76；（2）20﹣1﹣4﹣7＝8（个），补全频数分布直方图如下：（3）两个厂的平均数相同，都是75g，而甲厂的中位数、众数都是76g，接近平均数且方差较小，数据的比较稳定，因此选择甲厂；（4）20000×0.15＝3000（只），答：从甲厂采购了20000只鸡腿中，可以加工成优等品的大约有3000只．【点评】本题考查频数分布表、频数分布直方图，掌握频数、频率、总数之间的关系是解决问题的前提．20．（8分）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5cm．（1）求∠ABC的度数；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3~5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，√2≈1.414）【分析】(1)过点B作BH⊥MP,垂足为H,根据解直角三角形cos∠BMH=MHBM=16.842=0.4,即可计算出∠BMH的度数，再根据平行线的性质即可算出∠ABC的度数；（2）根据（1）中的结论和已知条件可计算出∠NMI的度数，根据三角函数即可算出MI 的长度，再根据已知条件即可算出PK的长度，即可得出答案．【解答】解：(1)过点B作BH⊥MP,垂足为H,过点M作MI⊥FG,垂足为I，过点P作PK ⊥DE,垂足为K,∵MP＝25.3cm，BA＝HP＝8.5cm，∴MH＝MP﹣HP＝25.3﹣8.5＝16.8(cm)，在Rt△BMH中，cos∠BMH=MHBM=16.842=0.4,∴∠BMH＝66.4°，∵AB∥MP,∴∠BMH+∠ABC＝180°,∴∠ABC＝180°﹣66.4°＝113.6°；(2)∴∠ABC＝180°﹣∠BMH＝180°﹣66.4°＝113.6°．∵∠BMN＝68.6°,∠BMH＝66.4°,∴∠NMI＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝180°﹣68.6°﹣66.4°＝45°,∵MN＝28cm，∴cos45°=MIMN=MI28,∴MI≈19.74cm，∵KI＝50cm,∴PK＝KI﹣MI﹣MP＝50﹣19.74﹣25.3＝4.96≈5.0(cm），∴此时枪身端点A与小红额头的距离是在规定范围内．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC．（1）求证：∠CAD＝∠ECB；（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；̂围成阴影部分的面积．②当AB＝2时，求AD，AC与CD【分析】（1）先判断出∠CBE＝∠D,再用等角的余角相等，即可得出结论；（2）①先判断出OC∥AB，再判断出BC∥OA，进而得出四边形ABCO是平行四边形，即可得出结论；②先求出AC，BC，再用面积的和，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CBE＝∠D，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠D+∠CAD＝90°，∴∠CBE+∠CAD＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CBE+∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE；(2)①四边形ABCO是菱形，理由：∵∠CAD＝30°，∴∠COD＝2∠CAD＝60°，∠D＝90°﹣∠CAD＝60°，∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE，∴CE ⊥AB ， ∴OC ∥AB ，∴∠DAB ＝∠COD ＝60°， 由（1）知，∠CBE +∠CAD ＝90°， ∴∠CBE ＝90°﹣∠CAD ＝60°＝∠DAB ， ∴BC ∥OA ，∴四边形ABCO 是平行四边形， ∵OA ＝OC ， ∴▱ABCO 是菱形；②由①知，四边形ABCO 是菱形， ∴OA ＝OC ＝AB ＝2， ∴AD ＝2OA ＝4， 由①知，∠COD ＝60°， 在Rt △ACD 中，∠CAD ＝30°， ∴CD ＝2，AC ＝2√3，∴AD ，AC 与CD ̂围成阴影部分的面积为S △AOC +S 扇形COD =12S △ACD +S 扇形COD=12×12×2×2√3+60π×22360=√3+23π．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了同角的余角相等，切线的性质，菱形的判定，扇形的面积公式，判断出BC ∥OA 是解本题的关键．22．（9分）二次函数y ＝x 2﹣2mx 的图象交x 轴于原点O 及点A ． 感知特例（1）当m ＝1时，如图1，抛物线L ：y ＝x 2﹣2x 上的点B ，O ，C ，A ，D 分别关于点A 中心对称的点为B ′，O ′，C ′，A ′，D ′，如表： … B （﹣1，3） O （0，0） C （1，﹣1） A （ 2 ， 0 ）D （3，3） … … B '（5，﹣3） O ′（4，0） C '（3，1）A ′（2，0）D '（1，﹣3）…①补全表格；②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L'．形成概念我们发现形如（1）中的图象L'上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L'是L 的“孔像抛物线”．例如，当m＝﹣2时，图2中的抛物线L'是抛物线L的“孔像抛物线”．探究问题（2）①当m＝﹣1时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为﹣3≤x≤﹣1；②在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y＝x2﹣2mx的所有“孔像抛物线”L'都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是y ＝ax2（填“y＝ax2+bx+c”或“y＝ax2+bx”或“y＝ax2+c”或“y＝ax2”，其中abc≠0）；③若二次函数y＝x2﹣2mx及它的“孔像抛物线”与直线y＝m有且只有三个交点，求m 的值．【分析】（1）①根据中点公式即可求得答案；②根据题意先描点，再用平滑的曲线从左到右依次连接即可；（2）①当m＝﹣1时，抛物线L：y＝x2+2x＝(x+1)2﹣1，当x≤﹣1时，L的函数值随着x的增大而减小，抛物线L′：y＝﹣x2﹣6x﹣8＝﹣(x+3)2+1，当x≥﹣3时，L′的函数值随着x的增大而减小，找出公共部分即可；②先观察图1和图2，可以看出随着m的变化，二次函数y＝x2﹣2mx的所有“孔像抛物线”L'：y＝﹣(x﹣3m)2+m2，顶点坐标为N（3m，m2），顶点在抛物线y=19x2上，根据这条抛物线与二次函数y＝x2﹣2mx的所有“孔像抛物线”L'都有唯一交点，可知这条抛物线顶点为原点，即y＝ax2；③观察图1和图2，可知直线y＝m与抛物线y＝x2﹣2mx及“孔像抛物线”L'有且只有三个交点，即直线y＝m经过抛物线L的顶点或经过抛物线L′的顶点或经过公共点A,分别建立方程求解即可．【解答】解：（1）①∵B（﹣1，3）、B'（5，﹣3）关于点A中心对称，∴点A为BB′的中点，设点A(m，n)，∴m=−1+52=2，n=3−32=0，故答案为：（2，0）；②所画图象如图1所示，（2）①当m＝﹣1时，抛物线L：y＝x2+2x＝(x+1)2﹣1，对称轴为直线x＝﹣1，开口向上，当x≤﹣1时，L的函数值随着x的增大而减小，抛物线L′：y＝﹣x2﹣6x﹣8＝﹣(x+3)2+1，对称轴为直线x＝﹣3，开口向下，当x≥﹣3时，L′的函数值随着x的增大而减小，∴当﹣3≤x≤﹣1时，抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小，故答案为：﹣3≤x≤﹣1；②通过观察图1和图2，抛物线L：y＝x2﹣2mx的“孔像抛物线”L'：y＝﹣(x﹣3m)2+m2，顶点坐标为N（3m，m2），顶点在抛物线y=19x2上，∴与二次函数y＝x2﹣2mx的所有“孔像抛物线”L'都有唯一交点的抛物线一定满足顶点在原点，开口向上；∴这条抛物线的解析式为y＝ax2，故答案为：y＝ax2；③抛物线L：y＝x2﹣2mx＝(x﹣m)2﹣m2，顶点坐标为M（m，﹣m2），其“孔像抛物线”L'为：y＝﹣(x﹣3m)2+m2，顶点坐标为N（3m，m2），抛物线L与其“孔像抛物线”L'有一个公共点A(2m，0)，∴二次函数y＝x2﹣2mx及它的“孔像抛物线”与直线y＝m有且只有三个交点时，有三种情况：①直线y＝m经过M（m，﹣m2），∴m＝﹣m2，解得：m＝﹣1或m＝0（舍去），②直线y＝m经过N（3m，m2），∴m＝m2，解得：m＝1或m＝0(舍去)，③直线y＝m经过A(2m，0)，∴m＝0，但当m＝0时，y＝x2与y＝﹣x2只有一个交点，不符合题意，舍去，综上所述，m＝±1．【点评】本题是关于二次函数综合题，主要考查了二次函数图象和性质，中心对称性质及应用，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，新定义理解及应用等，解题关键是理解题意，运用数形结合思想和分类讨论思想、方程思想思考解决问题．六、（本大题共12分）23．（12分）课本再现（1）在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与∠A相等的角是∠DCA′；类比迁移（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC互余，小明发现四边形ABCD中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作∠CDF＝∠ABC，再过点C作CE⊥DF于点E，连接AE，发现AD，DE，AE之间的数量关系是AD2+DE2＝AE2；方法运用（3）如图3，在四边形ABCD中，连接AC，∠BAC＝90°，点O是△ACD两边垂直平分线的交点，连接OA，∠OAC＝∠ABC．①求证：∠ABC+∠ADC＝90°；②连接BD ，如图4，已知AD ＝m ，DC ＝n ，AB AC =2，求BD 的长（用含m ，n 的式子表示）．【分析】(1)根据图形的拼剪可得结论．（2）利用勾股定理解决问题即可．（3）①如图3中，连接OC ,作△ADC 的外接圆⊙O ．利用圆周角定理以及三角形内角和定理，即可解决问题．②如图4中，在射线DC 的下方作∠CDT ＝∠ABC ,过点C 作CT ⊥DT 于T ．利用相似三角形的性质证明BD =√5AT ,求出AT ,可得结论．【解答】（1）解：如图1中，由图形的拼剪可知，∠A ＝∠DCA ′,故答案为：∠DCA ′．（2）解：如图2中，∵∠ADC +∠ABC ＝90°,∠CDE ＝∠ABC ,∴∠ADE ＝∠ADC +∠CDE ＝90°,∴AD 2+DE 2＝AE 2．故答案为：AD 2+DE 2＝AE 2．（3）①证明：如图3中，连接OC ,作△ADC 的外接圆⊙O ．∵点O 是△ACD 两边垂直平分线的交点∴点O 是△ADC 的外心，∴∠AOC ＝2∠ADC ,∵OA ＝OC ,∴∠OAC ＝∠OCA ,∵∠AOC +∠OAC +∠OCA ＝180°,∠OAC ＝∠ABC ,∴2∠ADC +2∠ABC ＝180°,∴∠ADC +∠ABC ＝90°．②解：如图4中，在射线DC 的下方作∠CDT ＝∠ABC ,过点C 作CT ⊥DT 于T ．∵∠CTD ＝∠CAB ＝90°,∠CDT ＝∠ABC ,∴△CTD ∽△CAB ,∴∠DCT ＝∠ACB ,CD CB =CT CA , ∴CD CT =CB CA ,∠DCB ＝∠TCA∴△DCB ∽△TCA ,∴BD AT =CB CA , ∵AB AC =2,∴AC :BC :BC ＝CT :DT :CD ＝1:2:√5,∴BD =√5AT ,∵∠ADT＝∠ADC+∠CDT＝∠ADC+∠ABC＝90°,DT=2√55n,AD＝m,∴AT=√AD2+DT2=m2+(2√55n)2=√m2+45n2,∴BD=√5m2+4n2．【点评】本题属于四边形综合题，考查了三角形的外心，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．。
2021年江西省南昌市中考数学二调试卷(附答案详解)
2021年江西省南昌市中考数学二调试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.−15的倒数是()A. −5B. 5C. 15D. −152.江西省面积大约为16.69万平方公里，数据16.69万用科学记数法表示为()A. 1.669×106B. 1.669×105C. 16.69×105D. 0.1669×1063.下列图形中，不是正方体表面展开图的是()A. B.C. D.4.如图，点A和点B恰好分别在GH和EF上，GH//EF且BA平分∠DBE，若∠C=90°，∠CAD=32°，则∠BAD的度数为()A. 28°B. 29°C. 30°D. 31°5.若一元二次方程x2−8x+3=0的两个实数根分别是a、b，则关于x的一次函数y=abx−a−b的图象一定不经过()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6.如图，函数图象C1与C2都经过x轴上的点B并关于垂直于x轴的直线l对称，已知C1是抛物线y=−2x2+8x−6在x轴上方的部分，若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是()A. −2<m<18B. −3<m<−74C. −3<m<−2D. −3<m<−158二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）7.计算：−32+12=______ ．8.函数y=√x+4中，自变量x的取值范围是______．9.吴老师将本校体育训练队甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛的成绩整理成了如下表格：甲乙丙丁平均数375350375350方差s212.513.5 2.4 5.4根据表中数据，要从甲、乙、丙、丁中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加决赛，应该选择______ ．10.数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分10元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数.设第二次分钱的人数为x，则可列方程为______ ．11.如图，点C在DE上，∠B=∠E，AB=AE，∠CAD=∠BAE=45°，则∠ACB=______ °.12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，D是边AC的中点，CE⊥BD于E.若F是边AB上的点，且使△AEF为等腰三角形，则AF的长为______．三、解答题（本大题共11小题，共84.0分）13.(1)解不等式组：{−2x+1>11①3x+12−1≥x②．(2)化简：(x−2x+2−x2+2xx2+4x+4)÷x−4x+2．14.如图，在△ABC中，AB=AC，AE⊥BC，AD平分∠FAC，CD⊥AD于点D.求证：四边形AECD是矩形．15.今年三八妇女节期间，某公司决定对公司女职工发放礼品进行慰问，慰问品实行弹性选择的方法，每位女职工可从小电器购物卡、化妆品打折券、床上用品、旅游年票中任选两种.(所选的两种礼品不能相同)(1)若李丽已经选择了小电器购物卡，则她再选择床上用品的概率是______ ．(2)用列表或画树状图的方法求李丽选了化妆品打折券和旅游年票的概率．16.请按以下要求用无刻度直尺作图：(1)如图1，将△ABC绕点O逆时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1．(2)如图2，设∠BAC=α，将△ABC绕点C顺时针旋转α得△A′B′C，画出△A′B′C．17.某超市购进甲、乙两种型号的空气加湿器进行销售，已知购进4台甲型号空气加湿器和6台乙型号空气加湿器共用1820元，购进6台甲型号空气加湿器比购进4台乙型号空气加湿器多用520元．(1)求甲、乙两种型号的空气加湿器每台的进价．(2)超市根据市场需求，决定购进这两种型号的空气加湿器共60台进行销售，甲种型号每台售价260元，乙种型号每台售价190元，若超市购进的这两种空气加湿器全部售出后，共获利2800元，则该超市本次购进甲、乙两种型号的空气加湿器各多少台？18.为增强学生体质，某学校推行大课间跳绳活动，通过一段时间的锻炼后，该校七年级采用随机抽签的方式选出了40名同学，并对这40名同学一分钟跳绳的成绩进行了统计，绘制了如下统计图和统计表：等级次数频数不合格100≤x<1204合格120≤x<140a良好140≤x<16012优秀160≤x<180b请结合上述信息完成下列问题：(1)a=______ ，b=______ ；(2)请补全频数分布直方图；(3)在扇形统计图中，“合格”等级对应的圆心角的度数是______ ；(4)若该校有3000名学生，根据抽样调查结果，请估计该校学生一分钟跳绳成绩达到良好及以上的人数．19.如图1，将一个直角三角形形状的楔子(Rt△ABC)从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩台底下，可以使木桩向上运动.如果楔子底面的倾斜角∠ABC为10°，其高度AC为1.8厘米，楔子沿水平方向前进一段距离(如箭头所示)，如图2，留在外面的楔子长度HC为3厘米.(参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18)(1)求BH的长．(2)木桩上升了多少厘米？20.如图，直线BC与两坐标轴的正半轴分别交于点B、C(5,0)，与反比例函数y=−6的图象交于点A(−1,m)，xD是反比例函数位于第二象限内的图象上一点．(1)求m的值及直线BC的解析式．(2)将点D绕原点O顺时针旋转90°后的对应点D′恰好落在直线BC上，求D点的坐标．21.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，过点A、B的⊙O分别交AC、BC于点DE，AB=AE，CD的垂直平分线交BC于点F，连接DF．(1)求证：DF是⊙O的切线．(2)已知EF=3，DE=4，求BE和AB的长．22.如图，在正方形ABCD中，E为BC边上任意一点(点E不与B、C重合)，点F在线段AE上，过点F的直线MN⊥AE，分别交AB、CD于点M、N．(1)如图1，当点N与点D重合时，求证：MN=AE．(2)如图2，当F为AE的中点时，连接正方形的对角线BD，分别交MN于点G，交AE于点O，连接BF.求证：BF=FG．(3)在(2)的条件下，若正方形ABCD的边长为4，BE=1，求OG的长度．23.定义：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴的交点坐标为(0,c)，那么我们把经过点(0,c)且平行于x轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．[特例感知](1)抛物线y=x2+2x+1的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______ ．[研究深入]x2+mx+n与y轴交于点C，(2)经过点A(−1,0)和B(x,0)(x>−1)的抛物线y=−12它的极限分割线与该抛物线的另一个交点为D，请用含m的代数式表示点D的坐标．[深入拓展]x2+mx+n的顶点为P，直线EF垂直平分(3)在(2)的条件下，设抛物线y=−12OC，垂足为E，交该抛物线的对称轴于点F．①当∠CDF=45°时，求点P的坐标．②若直线EF与直线MN关于极限分割线对称，是否存在使点P到直线MN的距离与点B到直线EF的距离相等的m的值？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】A的倒数是−5．【解析】解：−15故选：A．根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．2.【答案】B【解析】解：16.69万=166900=1.669×105．故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】C【解析】解：根据正方体的展开图的11种情况可得，C选项中的图形不是它的展开图．故选：C．正方体的展开图的11种情况可分为“1−4−1型”6种，“2−3−1型”的3种，“2−2−2型”的1种，“3−3型”的1种，综合判断即可．本题考查正方体的展开图的特征，掌握正方体展开图的11种情况是正确判断的前提．4.【答案】B【解析】解：∵∠C=90°，∠CAD=32°，∴∠ADC=90°−32°=58°，∴∠HDB=∠ADC=58°，∵直线EF//直线GH，∴∠DBE=∠HDB=58°，∵BA平分∠DBE，∴∠ABE=1∠DBE=29°，2∵直线EF//直线GH，∴∠BAD=∠ABE=29°，故选：B．根据三角形的内角和定理，平行线的性质以及角平分线的定义即可得到结论．本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，解题时注意：两直线平行，内错角相等．5.【答案】B【解析】解：∵方程x2−8x+3=0的两个实数根分别是a、b，∴a+b=8、ab=3，则一次函数的解析式为y=3x−8，∴该一次函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故选：B．根据根与系数的关系可得出a+b=8、ab=3，再结合一次函数图象与系数的关系，即可找出一次函数y=abx−a−b的图象经过的象限，此题得解．本题考查了根与系数的关系以及一次函数图象与系数的关系，利用根与系数的关系结合一次函数图象与系数的关系，找出一次函数图象经过的象限是解题的关键．6.【答案】D【解析】解：令y=−2x2+8x−6=0，即x2−4x+3=0，解得x=1或3，∴点A(1,0)，B(3,0)，∵函数图象C1与C2关于直线l对称，∴C2解析式为y=−2(x−4)2+2(3≤x≤5)，当y=x+m1与C2相切时，令y=x+m1=y=−2(x−4)2+2，即2x2−15x+30+m1=0，∴△=−8m1−15=0，解得m1=−158，当y=−x+m2过点B时，即0=3+m2，∴m2=−3，当−3<m<−158时直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，故选：D．首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y=x+m与抛物线C2相切时m的值以及直线y=x+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案．本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．7.【答案】−1【解析】解：原式=−3+12=−22=−1．因为|−32|>12，所以−32+12=−(32−12)=−1．本题利用了加法法则计算：绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．8.【答案】x≥−4【解析】解：根据题意得：x+4≥0，解得：x≥−4．故答案为：x≥−4．根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．9.【答案】丙【解析】解：∵乙和丁的平均数最小，∴从甲和丙中选择一人参加比赛，∵丙的方差最小，∴选择丙参赛；故答案为：丙．首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．10.【答案】10x−6=40x【解析】解：根据题意得，10x−6=40x，故答案为：10x−6=40x．根据“第二次每人所得与第一次相同，”列方程即可得到结论．本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确的理解题意是解题的关键．11.【答案】67.5【解析】解：∵∠CAD=∠BAE=45°，∴∠BAC=∠DAE，在△ABC和△AED中，{∠BAC=∠EAD AB=AE∠B=∠E，∴△ABC≌△EAD(ASA)，∴AD=AC，∠ACB=∠D，∴∠D=∠ACD=67.5°，∴∠ACB=67.5°，故答案为67.5．由“ASA”可证△ABC≌△EAD，可得AD=AC，∠ACB=∠D，由等腰三角形的性质可求解．本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．12.【答案】2√105或8√25或√22【解析】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=2，∴AB=2√2，∵∠DCB=90°，CE⊥BD，∴△CDE∽△BDC，∴CD2=DE⋅DB，∵AD=CD，∴AD2=DE⋅DB，∴ADDE =DBAD，∵∠ADE∠ADB，△DAE∽△DBA；∴AEAB =ADBD=√55，∴AE=2√105，∵DE=√55，BD=√5，∴BE=4√55，如图1中，若AE=AF时，∴AF=2√105，如图2中，若FE=AE时，过点E作EJ⊥AB于J，∵JE2=AE2−AJ2=EB2−BJ2，∴4025−AJ2=8025−(2√2−AJ)2，∴AJ=4√25，∵AE=EF，EJ⊥AF，∴AF=2AJ=8√25，如图3中，若EF=AF时，过点E作EJ⊥AB于J，∵EJ2=AE2−AJ2=EF2−FJ2，∴4025−3225=AF2−(4√25−AF)2，∴AF=√22，综上所述：AD的长为2√105或8√25或√22．故答案为2√105或8√25或√22．由相似三角形的性质可求AH的长，BH的长，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．本题考查等腰直角三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．13.【答案】解：(1)由①得：x<−5，由②得：x≥1，则该不等式组无解；(2)原式=[x−2x+2−x(x+2)(x+2)2]⋅x+2x−4=(x−2x+2−xx+2)⋅x+2x−4=x−2−xx+2⋅x+2x−4=−2x+2⋅x+2x−4=−2x−4．【解析】(1)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可；(2)原式括号中第二项约分后利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．此题考查了分式的混合运算，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14.【答案】证明：∵AB=AC，AE⊥BC，∴AE⊥BC，AE平分∠BAC，∴∠AEC=90°，∠BAE=∠CAE=12∠BAC，∵AD平分∠FAC，∴∠DAC=12∠FAC，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=12∠BAC+12∠FAC=12(∠BAC+∠FAC)=12×180°=90°，又∵CD⊥AD，∴∠ADC=90°，∴四边形AECD是矩形．【解析】由等腰三角形的性质得AE⊥BC，AE平分∠BAC，再证出∠DAE=∠ADC=90°，即可得出结论．本题考查了矩形的判定、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定和等腰三角形的性质是解题的关键．15.【答案】13【解析】解：(1)李丽已经选择了小电器购物卡，则她再选择床上用品的概率是13，故答案为：13；(2)将小电器购物卡、化妆品打折券、床上用品、旅游年票分别记为A、B、C、D，列表如下：所有等可能的情况有12种，其中选了化妆品打折券和旅游年票的有2种结果，所以选了化妆品打折券和旅游年票的概率为212=16．(1)直接利用概率公式求解即可；(2)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式求解即可．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；(2)如图，△A′B′C为所作．【解析】(1)利用网格特点和旋转的性质画出A 、B 、C 的对应点A 1、B 1、C 1即可； (2)先利用平行线的性质和旋转的性质画出A 点的对称点A′，再找出格点D 、E ，连接CE 、A′D ，它们的交点为B′，则△A′B′C 满足条件．本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．17.【答案】解：(1)设甲种型号的空气加湿器每台的进价为x 元，乙种型号的空气加湿器每台的进价为y 元， 依题意得：{4x +6y =18206x −4y =520，解得：{x =200y =170．答：甲种型号的空气加湿器每台的进价为200元，乙种型号的空气加湿器每台的进价为170元．(2)设该超市本次购进甲种型号的空气加湿器m 台，则购进乙种型号的空气加湿器(60−m)台，依题意得：(260−200)m +(190−170)(60−m)=2800， 解得：m =40， ∴60−m =20(台)．答：该超市本次购进甲种型号的空气加湿器40台，乙种型号的空气加湿器20台．【解析】(1)设甲种型号的空气加湿器每台的进价为x 元，乙种型号的空气加湿器每台的进价为y 元，根据“购进4台甲型号空气加湿器和6台乙型号空气加湿器共用1820元，购进6台甲型号空气加湿器比购进4台乙型号空气加湿器多用520元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)设该超市本次购进甲种型号的空气加湿器m 台，则购进乙种型号的空气加湿器(60−m)台，根据总利润=每台的利润×销售数量(购进数量)，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出一元一次方程．18.【答案】14 10 126°【解析】解：(1)b=40×25%=10(人)，a=40−4−12−10=14(人)．故答案为：14，10；(2)根据(1)得出的数据补图如下：=126°；(3)“合格”等级对应的圆心角的度数是360°×1440故答案为：126°；(4)3000×12+10=1650(人)，40答：该校学生一分钟跳绳成绩达到良好及以上的人数有1650人．(1)用总人数乘以优秀人数所占百分比求出b的值，再根据四个等级人数之和等于总人数求出a的值即可；(2)根据以上所求结果即可补全图形；(3)用360°乘以合格等级人数所占比例即可；(4)用总人数乘以样本中成绩达到良好及以上的人数所占比例即可．此题主要考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．解题的关键是根据直方图得到进一步解题的有关信息．19.【答案】解：(1)在Rt△ABC中，∠ABC=10°，tan∠ABC=AC，BC则BC =AC tan∠ABC ≈ 1.80.18=10(厘米)， ∴BH =BC −HC =7(厘米)；(2)在Rt △ABC 中，∠ABC =10°，tan∠ABC =PHBH ， 则PH =BH ⋅tan∠ABC ≈7×0.18≈1.26(厘米)， 答：木桩上升了大约1.26厘米．【解析】(1)根据正切的定义求出BC ，即可得出答案； (2)根据正切的定义得出PH =BH ⋅tan∠ABC ，即可得到答案．本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．20.【答案】解：(1)直线BC 与函数y =−6x 的图象交于点A(−1,m)，∴m =−6−1=6， ∴A(−1,6)，设直线BC 的解析式为y =kx +b ， 把A(−1,6)，C(5,0)代人得{−k +b =65k +b =0，解得{k =−1b =5，∴直线BC 的解析式为y =−x +5；(2)如图，设点D 落在D′处，连接OD 、OD′，过点D 、D′分别作x 轴的垂线，垂足为E 、F ，∵∠DOD′=90°， ∴∠DOE +∠D′OF =90°， 又∵∠DOE +∠ODE =90°， ∴∠DOF =∠ODE ，又∵OD =OD′，∠DFO =∠D′FO =90°， ∴△DEO≌△OFD′(AAS)， ∴DE =OF ，OE =D′F ，设D 点的坐标为(x,−6x )，则D′点的坐标为(−6x ,−x)， ∵对应点D′恰好落在直线BC 上，∴6x+5=−x，解得x=−2或x=−3，当x=−2时，y=−6x =3；当x=−3时，y=−6x=2，∴D点的坐标为(−2,3)或(−3,2)．【解析】(1)先求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线BC的解析式；(2)设点D落在D′处，连接OD、OD′，过点D、D′分别作x轴的垂线，垂足为E、F，易证得△DEO≌△OFD′，得到DE=OF，OE=D′F，设D点的坐标为(x,−6x)，则D′点的坐标为(−6x,−x)，把D′的坐标代入BC的解析式，求得x的值，即可求得D的坐标．本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．21.【答案】解：(1)证明：连接BD，如图：∵∠BAD=90°．∴BD是直径，∠ADB+∠C=90°．∵AB=BE．∴∠ABE=∠AEB．∴∠ADB+∠C=90°．∵CD的垂直平分线交BC．∴∠C=∠CDF．∴∠ADB+∠CDF=90°．∴∠BDF=90°．∵点D在圆上．∴DF是⊙O的切线．(2)∵BD是直径．∴∠BED=90°=∠DEF．∵EF=3、DE=4．∴DF=5,DC=√DE2+EC2=4√5．∵∠BDF=90°．∴∠DBF+∠DFB=90°.∠DBF+∠EDB=90°．∴∠DFB=∠EDB．∴△DEF∽△BED．∴DEBE =EFDE，即：4BE=34．∴BE=163．∴BC=163+3+5=403．∵∠DEC=∠BAC=90°．∴△DEC∽△BAC．∴DEAB =DCBC.即：4AB=4√5403．∴AB=83√5．【解析】(1)根据∠BAD=90°.得到BD是直径，利用锐减三角形性质和垂直平分线性质，即可得到∠ADB+∠CDF=90°.即可求证结论．(2)先证明△DEF∽△BED.和△DEC∽△BAC.利用相似对应边成比例即可求解．本题考查了三角形相似判断，直线与圆的位置关系、以及线段的垂直平分线性质等知识，关键在于利用性质，进行角的转化，从而证明结论，本题在于找到三角形形相似是关键．考查了学生视图能力，逻辑推理能力，属于中档题．22.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，AB//DC，∠DAB=∠ABC=90°，∴∠BAE+∠BEA=90°，∵MN⊥AE于F，∴∠BAE+∠AMN=90°，∴∠BEA=∠AMN，又∵AB=AD，∠ABC=∠DAM=90°，∴△ABE≌△DAM(AAS)，∴AE=MN．(2)在图2中，连接AG、EG、CG，由正方形的轴对称性△ABG≌△CBG，∴AG=CG，∠GAB=∠GCB，∵MN⊥AE于F，F为AE中点，∴AG=EG，∴EG=CG，∠GEC=∠GCE，∴∠GAB=∠GEC，由图可知∠GEB+∠GEC=180°，∴∠GEB+∠GAB=180°，又∵四边形ABEG的内角和为360°，∠ABE=90°，∴∠AGE=90°，在Rt△ABE和Rt△AGE中，AE为斜边，F为AE的中点，∴BF=12AE，FG=12AE，∴BF=FG．(3)解：∵AB=AD=4，BE=1，∠ABE=∠BAD=90°，∴AE=√AB2+BE2=√42+12=√17，BD=4√2，∵BE//AD，∴EOOA =BEAD=BOOD=14，∴EO=√175，OA=4√175，BO=4√25，DO=16√25，∵AG=GE，∠AGE=90°，四边形ABCD是正方形，∴∠AEG=∠ABG=45°，又∵∠AOB=∠GOE，∴△ABO∽△GEO，∴BOEO =AOOG，∴BO⋅OG=EO⋅AO，即4√25×OG=√175×4√175，解得OG =17√210． 【解析】(1)由正方形的性质得出AB =AD ，AB//DC ，∠DAB =∠ABC =90°，证明△ABE≌△DAM(AAS)，由全等三角形的性质得出结论；(2)连接AG 、EG 、CG ，构建全等三角形和直角三角形，证明AG =EG =CG ，再根据四边形的内角和定理得∠AGE =90°，在Rt △ABE 和Rt △AGE 中，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BF =12AE ，FG =12AE ，则BF =FG ；(3)由勾股定理求出AE 的长，由平行线得出比例线段EO OA =BE AD =BO OD =14，得出EO =√175，OA =4√175，BO =4√25，DO =16√25，证明△ABO∽△GEO ，由相似三角形的性质得出BO EO =AO OG ，则可求出答案．本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，在有中点和直角三角形的前提条件下，可以利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证明两条线段相等．23.【答案】(0,1)和(−2,1)【解析】解：(1)∵抛物线y =x 2+2x +1的对称轴为直线x =−1，极限分割线为y =1，∴极限分割线与这条抛物线的一个交点坐标为(0,1)，则另一个交点坐标为(−2,1)． 故答案为：(0,1)和(−2,1)．(2)∵抛物线经过点A(−1,0)，∴−12×(−1)2+m ×(−1)+n =0，∴n =m +12． ∵y =−12x 2+mx +n =−12(x −m)2+12m 2+n =−12(x −m)2+12m 2+m +12， ∴对称轴为直线x =m ，∴点D 的坐标为(2m,m +12).(3)①设CD 与对称轴交于点G ，若∠CDF =45°，则DG =GF ．∴|m|=12|m +12|， ∴m =12或m =−16． ∴当m =12时，y =12×(12)2+12+12=98，点P 的坐标为(12,98)；当m =−16时，y =12×(−16)2+(−16)+12=2572，点P 的坐标为(−16,2572). ∴点P 的坐标为(12,98)或(−16,2572).②存在，m 的值为0或1+√2或1−√2．如图，设MN 与对称轴的交点为H ．由(2)知，n =m +12，y =−12(x −m)2+12m 2+m +12，∴P(m,12m 2+m +12)，∴抛物线y =−12x 2+mx +n 的极限分割线CD ：y =m +12，∵直线EF 垂直平分OC ，∴直线EF ：y =12m +14．∴点B 到直线EF 的距离为|12m +14|.∵直线EF 与直线MN 关于极限分割线CD 对称，∴直线MN ：y =m +12+12m +14=32m +34．∵P(m,12m2+m+12)，∴点P到直线MN的距离为|12m2+m+12−(32m+34)|=|12m2−12m−14|，∵点P到直线MN的距离与点B到直线EF的距离相等，∴|12m2−12m−14|=|12m+14|，∴m=0或m=1+√2或m=1−√2．(1)由抛物线y=x2+2x+1与y轴的交点可知其极限分割线，求得抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性可得极限分割线与这条抛物线的另一个交点坐标．(2)由抛物线经过点A(−1,0)，代入抛物线的解析式，可用m表示出n，将函数解析式中的n用m表示，再对解析式配方，则可得抛物线的对称轴，然后由抛物线的对称性可得点D的坐标．(3)①设CD与对称轴交于点G，若∠CDF=45°，则DG=GF，由此可得关于m的绝对值方程，解得m的值，再求得相应的y值即可得出答案．②设MN与对称轴的交点为H，用含m的式子表示出点P的坐标，分别写出极限分割线CD、直线EF及直线MN的解析式，用含m的式子分别表示出点B到直线EF的距离和点P到直线MN的距离，根据点P到直线MN的距离与点B到直线EF的距离相等，得出关于m的绝对值方程，解方程即可．本题属于二次函数综合题，考查了抛物线与坐标轴的交点坐标和直线与抛物线的交点坐标等知识点，明确题中的定义、熟练掌握二次函数的图象与性质及绝对值方程是解题的关键．。
2021年江西省南昌市中考数学第二次调研试卷(附详解)
2021年江西省南昌市中考数学第二次调研试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.(−1)0的结果是()A. 1B. 0C. −1D. 无意义2.下列运算正确的是()A. a6÷a3=a2B. (3ab2)2=6a2b4C. a2⋅a3=a6D. 2ab+3ba=5ab3.中国国家统计局近日发布数据，2020年，中国国内生产总值(GDP)为1015986亿元，首次突破100万亿元大关，按可比价格计算，比上年增长2.3%.1015986亿用科学记数法表示为()A. 1.015986×1012B. 1.015986×1013C. 1.015986×1014D. 1.015986×10154.2021年某校对学生到校方式进行调查，如图，若该校骑车到校的学生有150人，则步行到校的学生有()A. 600人B. 270人C. 280人D. 260人5.如图，把ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为(x,y)，那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为()A. (−x,y−2)B. (−x,y+2)C. (−x+2,−y)D. (−x+2,y+2)6.在校运动会上，三位同学用绳子将四根同样大小的接力棒分别按横截面如图(1)，(2)，(3)所示的方式进行捆绑，三个图中的四个圆心的连线(虚线)分别构成菱形，正方形，菱形，如果把三种方式所用绳子的长度分别用x，y，z来表示，则()A. z>x>yB. x>z>yC. x>y>zD. x=y=z二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）7.分解因式：x2−2x=________．8.不等式−2x−1>3的解集是______ ．9.若α，β是方程x2−4x−2021=0的两个实数根，则α+β−αβ−4=______ ．10.已知直线y=m与一次函数y=mx+m和y=−mx−m的图象分别相交于A，B两点，则AB=______ ．11.著名数学教育家张景中院士在他的著作《新概念几何》中这样定义“共边三角形”：有一条公共边的三角形，叫做共边三角形.如图1，△ABC与△ABD有一条公共边AB，则称△ABC与△ABD叫做共边三角形.直线AB与直线CD交点E，则△ABD 与△ABC的面积之比为DE：CE，这个性质也叫共边定理.根据共边定理和已学知识，解决下面的问题：如图2，在四边形ACBD中，AC//BD.AC=12BD，则S△ABDS△ABC=______ ．12.如图，在矩形ABCD中，AB=5cm，AD=9cm，点E在边AD上运动，将△DEC沿EC翻折，使D落在D′处，若△DEC有两条边存在2倍的数关系，则D′到AD的距离为______ ．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）13.(1)计算：(−1)5+|−4|+(√83−3)．(2)如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD.E，F为对角线AC上的点，且AE=CF，求证：BE=DF．四、解答题（本大题共9小题，共66.0分）14.先化简，再求值：(1x2−x +1x)÷xx−1.请从−2<x<2中选择一个合适的整数代入求值．15.如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=BD，∠A=45°，边AB是半圆O的直径，AD与平圆O交于E点，请仅用无刻度的直尺，画半圆O的切线(保留作图痕迹，不写作法)．(1)在图1中画切线EF；(2)在图2中画切线AG．16.疫情防控期间，任何人进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校，甲、乙两位同学进校时可以从学校大门A，B，C，D四个入口处中的任意一处测址体温后进校．(1)甲同学由A入口进入校园的概率为______ ．(2)请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位同学从同一入口处测放体温后进校的概率．17.某同学到书店购买笔记本和钢笔，书店老板告诉他买1本笔记本和1支钢笔需要12元，买2本笔记本和3支钢笔需要31元．(1)分别求笔记本和钢笔的单价；(2)若该同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，求该同学最多购买钢笔多少支？18.身高1.62米的小付同学在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上.在如图所示的平面图形中，矩形CDEF代表建筑物，小付同学位于建筑物前点B处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G处(点G在FE的延长线上).经测量，小付同学与建筑物的距离BC=2米，建筑物底部宽FC=4米，风筝所在点G与建筑物顶点D及风筝线在手中的点A在同一条直线上，点A距地面的高度AB=1.4米，风筝线与水平线夹角为37°．(1)求风筝距地面的高度GF；(2)在建筑物后面有长2.5米的梯子MN，梯脚M在距墙1.5米处固定摆放，通过计算说明：若小付同学充分利用梯子和一根3米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)19.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A(2,0)，B(0,1)，(x>0)的图象于点C(3,n)，点E是反比例函数图象上的一动点，交反比例函数y=mx横坐标为t(0<t<3)，EF//y轴交直线AB于点F，D是y轴上任意一点，连接DE，DF．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)当t为何值时，△DEF为等腰直角三角形．20.为了调查全校学生对垃圾分类知识的了解情况，小胡和小叶同学分别随机抽取了20名男生和20名女生进行了相关知识测试，获得了数据(成绩)(百分制，单位：分)，并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．收集数据：20名男生的成绩统计(单位：分)76827886609276809872789675100828770548778；20名女生的成绩统计(单位：分)9795906878806894868087925975938656768670．整理数据：(成绩得分用x表示)成绩0≤x<6060≤x<7070≤x<8080≤x<9090≤x<100男生(人数)11864女生(人数)2a b66分析数据：平均分中位数众数男生80.357978女生80.8c d请回答下列问题：(1)上述两表中，a=______ ，b=______ ，c=______ ，d=______ ；(2)你认为男生和女生对垃圾分类知识的了解情况哪个更好一些，并利用数据说明理由；(3)若此次成绩不低于80分为优秀，请估计全校800人中优秀人数为多少？21.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O在斜边AB上，且AO=AC，连接CO，并延长至D，使∠D=∠OCB，以O为圆心，OD为半径画圆，交DB延长线于E点．(1)求证：BD=BE；(2)已知AC=1cm，BC=√3cm．①连接CE，过B作BF⊥EC于F点，求线段BF的长；②求图中阴影部分面积．22.【问题情境】如图1，将△ADC绕点A旋转到△ABF，且∠BAD+∠BCD=90°，AC=2√2AD，连接BD，BC，CF．(1)①求证：△ACF∽△ADB，∠CBF=90°；②猜想BC2，CD2，BD2的数量关系，并说明理由；【数学思考】(2)若AC=nAD，其他条件不变，则BC2，CD2，BD2的数量关系为______ ；(不需要说明理由)【类比探究】(3)如图2，若∠BAD+∠BCD=120°.AD=AB，AC=nAD，则BC，CD，BD的数量关系为______ .(不需要说明理由)答案和解析1.【答案】A【解析】解：(−1)0=1，故选：A．直接利用零指数幂的性质化简得出答案．此题主要考查了零指数幂的性质，正确掌握相关定义是解题关键．2.【答案】D【解析】解：A、a6÷a3=a3，故本选项不合题意；B、(3ab2)2=9a2b4，故本选项不合题意；C、a2⋅a3=a5，故本选项不合题意；D、2ab+3ba=5ab，故本选项符合题意；故选：D．分别根据同底数幂的除法法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则逐一判断即可．本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及积的乘方，熟记相关定义与运算法则是解答本题的关键．3.【答案】C【解析】解：1015986亿=101598600000000=1.015986×1014．故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.【答案】B【解析】解：总人数为：150÷25%=600(人)，步行到校的学生所占的百分比为：1−25%−20%−10%=45%，步行到校的学生人数是：600×45%=270(人)，故选：B．根据骑车到校的学生有150人，可以求得总人数，求出步行到校的学生所占的百分比，即可求得步行到校的学生人数．本题考查扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了坐标的平移与轴对称的性质．先观察△ABC和△A′B′C′，得到把△ABC向上平移2个单位，再关于y轴对称可得到△A′B′C′，然后把点P(x,y)向上平移2个单位，再关于y轴对称得到点的坐标为(−x,y+2)，即为P′点的坐标．【解答】解：∵把△ABC向上平移2个单位，再关于y轴对称可得到△A′B′C′，∴点P(x,y)的对应点P′的坐标为(−x,y+2)．故选：B．6.【答案】D【解析】解：∵四根同样大小的接力棒，∴横截面四个圆相同，设圆的半径为r，则AB=BC=CD=AD=2r，分别与圆心A、B、C、D向外连接各切点AE、AQ、BF、BG、CH、CM、DN、DP，则四边形ABFE、四边形BCHG、四边形CDNM、四边形ADPQ都是矩形，∴AB=EF=BC=GH=CD=MN=AD=QP=2r，(1)当四边形ABCD为菱形时，①如图(1)所示：则∠BAD+∠ABC=180°，∵∠EAB=∠ABF=∠GBC=∠DAQ=90°，∴∠EAQ+∠FBG=720°=180°−4×90°=180°，∴EQ⏜的长+FG⏜的长为圆A周长的一半，⏜的长+NP⏜的长也为圆A周长的一半，同理：HM⏜的长+NP⏜的长=4×2r+2πr=∴x=EF+GH+MN+QP+EQ⏜的长+FG⏜的长+HM8r+2πr；②如图(3)所示：⏜的长+NP⏜的长=4×2r+同理：z=EF+GH+MN+QP+EQ⏜的长+FG⏜的长+HM2πr=8r+2πr；(2)四边形ABCD为正方形时，如图(2)所示：同理：∠EAQ=∠FBG=∠HCM=∠NDP=90°，⏜的长+NP⏜的长=2πr，∴EQ⏜的长+FG⏜的长+HM∴y=EF+GH+MN+QP+2πr=8r+2πr；∴x=y=z，故选：D．设圆的半径为r，则AB=BC=CD=AD=2r，分别与圆心A、B、C、D向外连接各切点AE、AQ、BF、BG、CH、CM、DN、DP，则四边形ABFE、四边形BCHG、四边形CDNM、四边形ADPQ都是矩形，得出AB=EF=BC=GH=CD=MN=AD=⏜的长+NP⏜QP=2r，再由四边形为菱形、正方形时，分别计算出EQ⏜的长+FG⏜的长+HM的长，即可得出结果．本题考查了圆与圆之间的位置关系、切线的性质和圆周长等知识；熟练掌握相切两圆的性质是解题的关键．7.【答案】x(x−2)【解析】解：x2−2x=x(x−2)．故答案为：x(x−2)．提取公因式x，整理即可．本题考查了提公因式法分解因式，因式分解的第一步：有公因式的首先提取公因式．8.【答案】x<−2【解析】解：−2x−1>3，则−2x>4，解得：x<−2．故答案为：x<−2．直接利用一元一次不等式的解法得出答案．此题主要考查了解一元一次不等式，正确解不等式是解题关键．9.【答案】2021【解析】解：∵α，β是方程x2−4x−2021=0的两个实数根，∴α+β=4，αβ=−2021，∴α+β−αβ−4=4+2021−4=2021．故答案为：2021．利用一元二次方程根与系数的关系，可得出α+β=4，αβ=−2021，将其代入α+β−αβ−4中即可求出结论．本题考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为：x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca．10.【答案】2【解析】解：把y=m代入y=mx+m得，m=mx+m，解得m=0，∴A(0,m)，把y=m代入y=−mx−m得，m=−mx−m，解得x=−2，∴B(−2,m)，∴AB=|−2−0|=2，故答案为2．把y=m分别代入两个解析式求得A、B的坐标，进而即可求得AB．本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，求得A、B的坐标是解题的关键．11.【答案】2【解析】解：如右图，作DM ⊥AB 于M ，作CN ⊥AB 于N ， ∵AC//BD ， ∴∠DBA =∠BAC ，∴DN =BD ⋅sin∠DBA ，CM =AC ⋅sin∠BAC ， ∴S △ABD S △ABC=12AB⋅DN 12AB⋅CM =BD⋅sin∠DBA AC⋅sin∠BAC=BD AC，又∵AC =12BD ， ∴S △ABD S △ABC=BDAC =2，故答案为：2．作DM ⊥AB 于M ，作CN ⊥AB 于N ，由AC//BD ，得∠DBA =∠BAC ，又AC =12BD ，可得两三角形高的关系，即可得出面积比值．本题主要考查三角形的面积，确定两三角形高的关系是解题的关键．12.【答案】52或2或152【解析】解：①当DE =12CE 时，作D′H ⊥AD 于H ，如图：∵矩形ABCD ，AB =5， ∴∠D =90°，CD =5，Rt △DCE 中，DE 2+CD 2=CE 2，CD =5，DE =12CE ， ∴DE 2+52=(2DE)2， ∴DE =5√33， ∵DE =12CE ，∠D =90°， ∴∠DCE =30°，∠DEC =60°，∵△DEC 沿EC 翻折，使D 落在D′处， ∴∠D′EC =∠DEC =60°，D′E =5√33， ∴∠D′EH =180°−∠D′EC −∠DEC =60°， Rt △D′HE 中，D′H =D′E ⋅sin∠D′EH =5√33×sin60°=52；②当DE =12DC 时，作D′H ⊥AD 于H ，延长HD′交BC 于F ，如图：Rt △DCE 中，DE 2+CD 2=CE 2，CD =5，DE =12CD ， ∴DE =52，CE =5√52，∵△DEC 沿EC 翻折，使D 落在D′处，∴∠ED′C =∠D =90°，DE =D′E ，CD =CD′， ∴∠HD′E =90°−∠FD′C =∠FCD′， 且∠D′HE =∠CFD′=90°， ∴△D′HE∽△CFD′， ∴HE D′F=D′H CF =D′E CD′，∵DE =12DC ， ∴DE DC =12， ∴HED′F =D′H CF=D′E CD′=12，设HE =x ，D′H =y ，则D′F =2x ，CF =2y ， ∵D′H ⊥AD ，矩形ABCD ， ∴四边形HFCD 是矩形，∴HF =CD =5，CF =DH =DE +HE ，∴{2x +y =52y =52+x解得y =2， ∴D′H =2，③当DC =12CE 时，作D′H ⊥AD 于H ，如图：Rt △DCE 中，DE 2+CD 2=CE 2，CD =5，DC =12CE ， ∴CE =10，DE 2+52=102， ∴DE =5√3，∵CD =12CE ，∠D =90°，∴∠DEC =30°，∵△DEC 沿EC 翻折，使D 落在D′处， ∴∠DEC =∠D′EC =30°，D′E =DE =5√3， ∴∠DED′=60°，Rt △ED′H 中，D′H =D′E ⋅sin60°=152，综上所述，△DEC 有两条边存在2倍关系，则D′到AD 的距离为52或2或152． 故答案为：52或2或152．分三种情况：①当DE =12CE 时，作D′H ⊥AD 于H ，求出∠D′EC =∠DEC =60°，D′E =DE =5√33，Rt △D′HE 中可解得D′H ，②当DE =12DC 时，作D′H ⊥AD 于H ，延长HD′交BC 于F ，由△D′HE∽△CFD′，得HE D′F=D′H CF=D′E CD′=12，设HE =x ，D′H =y ，则D′F =2x ，CF =2y ，根据四边形HFCD 是矩形，HF =CD =5，CF =DH =DE +HE ，可得{2x +y =52y =52+x，即可解得D′H ，③当DC =12CE 时，作D′H ⊥AD 于H ，可得∠DED′=60°，Rt △ED′H 中，解得D′H 即可．本题考查矩形性质及应用，涉及翻折、相似三角形判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是分类画出图形，综合应用相关知识解决问题．13.【答案】(1)解：原式=−1+4+2−3=2；(2)证明：∵AB =CD ，BC =AD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形．∴AB//CD．∴∠BAE=∠DCF．在△ABE和△CDF中，{AE=CF∠BAE=∠DCF AB=CD，∴△ABE≌△CDF(SAS)．∴BE=DF．【解析】(1)根据负数的奇次幂是负数，负数的绝对值是它的相反数，三次根号8等于2，然后进行有理数加减运算即可；(2)根据AB=CD，BC=AD，可得四边形ABCD是平行四边形．利用SAS证明△ABE≌△CDF，即可得结论．此题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定，实数的运算，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．14.【答案】解：(1x2−x +1x)÷xx−1=[1x(x−1)+x−1x(x−1)]⋅x−1x =1+x−1x(x−1)⋅x−1x=xx2=1x，∵−2<x<2，x为整数，x(x−1)≠0，∴x=−1，当x=−1时，原式=−1．【解析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后从−2<x<2中选择一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可即解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．15.【答案】解：(1)如图1中，直线EF即为所求作．(2)如图2中，直线AG即为所求作．【解析】(1)连接AC交BD于F，作直线EF即可．(2)连接BE，延长BE交CD的延长线于G，作直线AG即可．本题考查作图−复杂作图，平行四边形的性质和判定，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16.【答案】14【解析】解：(1)∵学校有A、B、C、D四个大门入口，∴甲同学在A入口处测量体温的概率是14；故答案为：14；(2)根据题意画图如下：由图可知共有16种等情况数，其中甲、乙两位同学在同一入口处测量体温的情况有4种，则P(甲、乙两位同学在同一入口处测量体温)=416=14．(1)直接根据概率公式求解即可；(2)根据题意画出树状图得出所有等情况数和甲、乙两位同学在同一入口处测量体温的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．此题考查的是列表法与树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17.【答案】解：(1)设笔记本的单价为x元，钢笔的单价为y元，依题意有{x +y =122x +3y =31， 解得{x =5y =7．故笔记本的单价为5元，钢笔的单价为7元； (2)设购买钢笔m 支，则购买笔记本的钱数为(100−7m)， 则购买笔记本的本数为100−7m5，∵购买钢笔的支数和购买笔记本的本数都为正整数， ∴m 最大为10．故该同学最多购买钢笔10支．【解析】(1)设笔记本的单价为x 元，钢笔的单价为y 元，根据买1本笔记本和1支钢笔需要12元，买2本笔记本和3支钢笔需要31元，列方程组求解；(2)设购买钢笔m 支，求出购买笔记本的钱数，再根据正整数的性质求解即可． 本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的不等关系，列方程和不等式求解．18.【答案】解：(1)过A 作AP ⊥GF 于点P ，则AP =BF =BC +FC =2+4=6(米)，AB =PF =1.4米，∠GAP =37°， 在Rt △PAG 中，tan∠PAG =GPAP ，∴GP =AP ⋅tan37°≈6×0.75=4.5(米)． ∴GF =GP +PF =4.5+1.4=5.9(米)． (2)由题意可知MN =2.5，MF =1.5，在Rt △MNF 中，NF =√MN 2−MF 2=√2．52−1．52=2(米)， ∵2+1.62+3=6.62>5.9，∴能触到挂在树上的风筝．【解析】(1)过A 作AP ⊥GF 于点P.在Rt △PAG 中利用三角函数求得GP 的长，进而求得GF 的长；(2)在直角△MNF 中，利用勾股定理求得NF 的长度，NF 的长加上身高再加上竹竿长，与GF 比较大小即可．本题考查了勾股定理，解直角三角形，锐角三角函数等知识、解题的关键学会添加常用辅助线，正确求得GF 的长度．19.【答案】解：(1)将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式得：{2k +b =0b =1，解得{k =−12b =1， 故一次函数表达式为y =−12x +1；将点C 的坐标代入上式得：n =−12×3+1=−12，故点C 的坐标为(3,−12)，32t 将点C 的坐标代入反比例函数表达式得：m =3×(−12)=−32， 故反比例函数表达式为y =−32x ；(2)设点E 的坐标为(t,−32t )，则点F(t,−12t +1)， 当∠FDE 为直角时，如下图，过点D 作DH ⊥EF 于点H ，∵△DEF 为等腰直角三角形，故DH =HE =HF =12EF ， 即t =12(−12t +1+32t )，解得t =−35(舍去)或1； 当∠FDE(∠FD′E)为直角时，同理可得，D′F =EF ，即t =−12t +1+32t ，(舍去负值)；解得t=1±√103当∠FED为直角时，和∠FDE为直角时得到的等式相同，故t值也相同；．综上，t=1或1+√103【解析】(1)用待定系数法即可求解；EF，即可求(2)当∠FDE为直角时，则△DEF为等腰直角三角形，故DH=HE=HF=12解；当∠FDE(∠FD′E)为直角时，同理可得，D′F=EF，即可求解；当∠FED为直角时，和∠FDE为直角时得到的等式相同，故t值也相同．本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、待定系数法求函数表达式等，其中(2)，要注意分类求解，避免遗漏．20.【答案】2 4 83 86【解析】解：(1)由表中的数据得：a=2，b=4，∵20名女生的成绩从小到大排列为：56 59 68 68 70 75 76 78 80 80 86 86 86 87 90 92 93 94 95 97.排在中间的两个数是88和89，=83；∴c=80+862出现次数最多的是86分，因此众数是86，即d=86，故答案为：2，4，83，86；(2)女生对垃圾分类知识的了解情况更好一些．理由如下：∵从平均数、中位数和众数上看女生的较高，∴女生对垃圾分类知识的了解情况更好一些；=440(人)，(3)800×6+4+6+620+20答：估计全校800人中优秀人数为440人．(1)根据表中20名女生的成绩统计即可直接得到a、b的值，将20名女生的成绩从小到大排列，根据中位数和众数的定义求解可得c、d的值；(2)从平均数、中位数和众数方面进行分析，即可得出女生对垃圾分类知识的了解情况更好一些；(3)样本估计总体，求出样本中优秀率即可求解．本题主要考查频数分布表、中位数和众数及样本估计总体，解题的关键是根据表格得出解题所需数据及中位数和众数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．21.【答案】(1)证明：∵AO=AC，∴∠ACO=∠AOC，∵∠D=∠OCB，∠BOD=∠AOC，∴∠ACO+∠OCB=∠BOD+∠D，∵∠ACB=90°，∴∠BOD+∠D=90°，∴OB⊥DE，∴BD=BE；(2)解：①在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1cm，BC=√3cm．∴tan∠ABC=ACBC =1√3=√33，∴∠ABC=30°，∴AB=2AC=2，∠A=60°，∵OA=AC，∴△AOC为等边三角形，∴OC=AC=1cm，∠AOC=60°，∴∠D=∠OCB=30°，OB=AB−OA=1，∴OD=2OB=2，∴CD=OD+OC=3，∵∠D=∠OCB，∴BD=BC，∵BD=BE，∴BC=BE，∴∠BCE=∠BEC，∴∠D+∠BEC=∠DCE=90°，∵BF⊥CE，∴BF//CD，∵BD=BE，∴BF=12CD=32；②解：连接OE，∵OD=OE，∴∠D=∠OE=30°，∴∠DOE=120°，S阴影=S扇形ODE−S△ODE=120π×22360−√3×1=43π−√3．【解析】(1)只要证得OB⊥DE即可；(2)①证得BF是△DCE的中位线，得到BF=12CD，即可求得BF的长；②由S阴影=S扇形ODE−S△ODE求得即可．本题考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数，垂径定理，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，熟练掌握性质定理是解题的关键．22.【答案】BC2+CD2=n2BD2BC2+BC⋅CD+CD2=n2BD2【解析】(1)①证明：由旋转得△ADC≌△ABF，∴AD=AB，CE=FB，AC=AF，∠DAC=∠BAF，∠ADC=∠ABF，∴∠DAB=∠CAF，∵AC=2√2AD，∴ACAD =AFAB=2√2，∴△ACF∽△ADB，∵∠ABC+∠ADC+∠BAD+∠BCD=360°，∠BAD+∠BCD=90°，∴∠ABC+∠ADC=270°，∴∠ADC=∠ABF，∴∠ABC+∠ABF=270°，∴∠CBF=90°；②解：BC2+CD2=8BD2．理由：由①得△ACF∽△ADB，∴FCBD =ACAD=2√2，∴FC=2√2BD，在Rt△CBF中，BC2+BF2=FC2，由旋转可得CD=BF，∴BC2+CD2=8BD2；(2)解：∵AC=nAD，∴ACAD=n，由①得△ACF∽△ADB，∴FCBD =ACAD=n，∴FC=nBD，在Rt△CBF中，BC2+BF2=FC2，由旋转可得CD=BF，∴BC2+CD2=n2BD2，故答案为：BC2+CD2=n2BD2；(3)解：∵AD=AB可得，∴△ADC绕点A旋转到∠DAB的度数得到△ABF，连接CF，∵AC=nAD，∴ACAD=n，由①得△ACF∽△ADB，∴FCBD =ACAD=n，∴FC=nBD，∵∠ABC+∠ADC+∠BAD+∠BCD=360°，∠BAD+∠BCD=120°，∴∠ABC+∠ADC=240°，∴∠ADC=∠ABF，∴∠ABC+∠ABF=240°，∴∠CBF=120°，过点F作EF⊥BC交CB的延长线于点E，∴∠EBF=60°，∠EFB=30°，∵EF⊥BC，∴BE=12BF=12CD，EF=√3BE=√32CD，在Rt△CEF中，EC2+EF2=FC2，∴(BC+12CD)2+(√32CD)2=(nBD)2，∴BC2+BC⋅CD+CD2=n2BD2．故答案为：BC2+BC⋅CD+CD2=n2BD2．(1)①由旋转△ADC≌△ABF，根据全等三角形的性质得AD=AB，CE=FB，AC=AF，∠DAC=∠BAF，∠ADC=∠ABF，可得出∠DAB=∠CAF，ACAD =AFAB=2√2，根据两边对应成比例且夹角相等可得△ACF∽△ADB，根据四边形的内角和是360°可得∠ABC+∠ADC=270°，由∠ADC=∠ABF得∠ABC+∠ABF=270°，由圆周角的定义可得∠CBF=90°；②由①得△ACF∽△ADB，根据相似三角形的性质得FCBD =ACAD=2√2，则FC=2√2BD，在Rt△CBF中，由勾股定理得BC2+BF2=FC2，由旋转可得CD=BF，等量代换即可得出BC2+CD2=8BD2；(2)若AC=nAD，利用(1)②的方法即可得出结论；(3)由AD=AB可得，△ADC绕点A旋转到∠DAB的度数得到△ABF，连接CF，由(1)①得△ACF∽△ADB，可求出∠CBF=120°，过点F作EF⊥BC交CB的延长线于点E，可得∠EBF=60°，∠EFB=30°，根据含30°角的直角三角形的性质得BE=12BF=12CD，EF=√3BE=√32CD，在Rt△CEF中，由勾股定理即可得出结论．本题是相似形的综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的性质和判定，四边形内角和定理、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是(3)中，需要通过作辅助线构造直角三角形，本题的难点是作辅助线．。
2021年江西省南昌市中考数学试卷(解析版)
2021年江西省南昌市中考数学试卷一．选择题〔共12小题〕1．〔2021江西〕﹣1的绝对值是〔〕A． 1 B． 0 C．﹣1 D．±1考点：绝对值。
分析：根据绝对值的性质进行解答即可．解答：解：∵﹣1＜0，∴|﹣1|=1．应选A．点评：此题考查的是绝对值的性质，即一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是零．2．〔2021南昌〕在以下表述中，不能表示代数式“4a〞的意义的是〔〕A． 4的a倍B． a的4倍C． 4个a相加D． 4个a相乘考点：代数式。
分析：说出代数式的意义，实际上就是把代数式用语言表达出来．表达时，要求既要说明运算的顺序，又要说出运算的最终结果．解答：解：A．4的a倍用代数式表示4a，故本选项正确；B．a的4倍用代数式表示4a，故本选项正确；C．4个a相加用代数式表示a+a+a+a=4a，故本选项正确；D．4个a相乘用代数式表示a•a•a•a=a4，故本选项错误；应选D．点评：此题考查了用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序．具体说法没有统一规定，以简明而不引起误会为出发点．3．〔2021江西〕等腰三角形的顶角为80°，那么它的底角是〔〕A． 20°B． 50°C． 60°D． 80°考点：等腰三角形的性质。
分析：根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其底角的度数．解答：解：∵等腰三角形的一个顶角为80°∴底角=〔180°﹣80°〕÷2=50°．应选B．点评：考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质的运用，比拟简单．4．〔2021江西〕以下运算正确的选项是〔〕A． a3+a3=2a6B． a6÷a﹣3=a3C． a3a3=2a3D．〔﹣2a2〕3=﹣8a6考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。
2021年江西省南昌市中考数学模拟试卷解析版
2021年江西省南昌市中考数学模拟试卷解析版
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项）
1．下列标志中，是中心对称图形的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．在不透明的袋子中装有9个白球和1个红球，它们除颜色外其余都相同，现从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球，则该事件是（）
A．必然事件B．不可能事件
C．随机事件D．以上都有可能
【分析】根据不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件即可得出答案．
【解答】解：“在不透明的袋子中装有9个白球和1个红球，它们除颜色外其余都相同，现从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球”这一事件是随机事件，
故选：C．
【点评】本题主要考查了必然事件、随机事件、不可能事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
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江西省南昌市2021版中考数学试卷A卷
江西省南昌市2021版中考数学试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共6题；共12分)1. （2分）(2020·昆明) 下列运算中，正确的是（）A . ﹣2 ＝﹣2B . 6a4b÷2a3b＝3abC . （﹣2a2b）3＝﹣8a6b3D .2. （2分）下列说法正确的是（）A . 圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等B . 在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点C . 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）一定有实数根D . 将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE不全等3. （2分）若正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y=mx2+m的图象大致是（）A .B .C .D .4. （2分）某学习小组7位同学，为玉树地震灾区捐款，捐款金额分别为5元、6元、6元、7元、8元、9元，10元则这组数据的中位数与众数分别为（）A . 6,6B . 7,6C . 7,8D . 6,85. （2分） (2019八下·方城期末) 如图，在中，对角线与交于点，添加下列条件不能判定为矩形的只有（）A .B . ，，C .D .6. （2分） (2019九下·东莞月考) 如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A，与y轴交于B、C 两点，M的坐标为(3，5)，则B的坐标为（）A . (0，5)B . (0，7)C . (0，8)D . (0，9)二、填空题 (共12题；共12分)7. （1分） (2017七上·秀洲期中) 计算 =________．8. （1分）已知x2n=2，则（x3n）2﹣（x2）2n的值为________9. （1分） (2019七下·长沙期末) 已知二元一次方程组，则2a+3b＝________．10. （1分） (2017七上·杭州期中) a与b的两倍的差可表示为________.11. （1分）(2019·福建) 如图,菱形ABCD顶点A在例函数y= (x>0)的图象上，函数 y= (k>3，x>0)的图象关于直线AC对称，且经过点B、D两点，若AB＝2，∠DAB＝30°，则k的值为________.12. （1分）(2020·高邮模拟) 某校九年级班名学生的血型统计如下表：血型型型型型频率则该班学生型血的有________名13. （1分）若无理数a满足：﹣4＜a＜﹣1，请写出两个你熟悉的无理数：________14. （1分） (2019八上·灌云期末) 一次函数的图象经过的象限为________.15. （1分） (2020九上·商河期末) 如图，E，G，F，H分别是矩形ABCD四条边上的点，EF⊥GH，若AB＝2，BC＝3，则EF︰GH＝________．16. （1分） (2017八下·临泽期末) 一个多边形的每一个内角都是108°，你们这个多边形的边数是________．17. （1分） (2020九上·温州期末) 如图，AB是半圆O的直径，D是半圆O上一点，C是的中点，连结AC变BD于点E，连结AD，若BE=4DE，CE=6，则AB的长为________。
2021年江西省中考数学解析
2小时以上30分钟至1小时20%1至2小时10%30分钟以下 40%2021年江西中考数学解析一、选择题（本大题6分，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 2的相反数是 （ B ）A. 2B.-2C.12D.12【考点】：相反数的定义 【解析】：只有符号不同的两个数叫做互为相反数 【答案】：B 2.计算的结果为 （B ）A.aB. -aC.21aD.21a【考点】：分式的计算 【答案】B3.如图是手提水果篮的几何体，以箭头所指方向为主视图方向，则它的俯视图为（A ）考点：三视图解析：该几何体由手提部分和圆柱组成，俯视图的手提部分为实线，圆柱部分为圆形，故选A ，该题以我们生活中的提桶为原型，体现了生活中处处有数学。
4．根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数据制成扇形统计图，由图可知，下列说法错误的是（ C ）A.扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比B.每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过50%C.每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占20%D.每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是108° 考点：统计图中的扇形统计图解析：本题是七年级上册第六章第四节《统计图的选择》的内容，根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数据制成扇形统计图，体现亲子阅读的重要性，灌输阅读要从娃娃抓起的思想.选项分别从扇形统计图的的特点、不同阅读时间所占百分比、通过扇形所占百分比来求扇形圆心角的度数.学生得分率会很高.5.已知正比例函数1y 的图象与反比例函数2y 的图象相交于点(2,4)A ，下列说法正确的是（ C ）A.反比例函数2y 的解析式是28y x =- B.两个函数图象的另一交点坐标为(2,4)- C.当2x <-或02x <<时，12y y < D.正比例函数1y 与反比例函数2y都随x 的增大而增大【解析】CA.反比例函数2y 的解析式是28y x =，故A 选项错误B.根据对称性可知，两个函数图象的另一交点坐标为(2,4)--，故B 选项错误C.当2x <-或02x <<时，12y y <，故C 选项正确D.正比例函数1y 随x 的增大而增大，反比例函数2y 在每一个象限内随x 的增大而减小，故D 选项错误6.如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有（ D ）A. 3种B. 4种C. 5种D. 6种【解析】D共有如下6种拼接方法：二、填空题（本大题6分，每小题3分，共18分）7.因式分解：21x = (1)(1)x x . 【答案】(1)(1)x x 【考点】因式分解【解析】直接使用平方差公式即可得到结果为：(1)(1)x x③②①⑥⑤④8.我国古代数学名著《孙子算经》有估算方法：“方五，邪（通“斜”）七。
2021年江西省南昌市中考数学第二次调研试卷(附详解)
2021年江西省南昌市中考数学第二次调研试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.(−1)0的结果是()A. 1B. 0C. −1D. 无意义2.下列运算正确的是()A. a6÷a3=a2B. (3ab2)2=6a2b4C. a2⋅a3=a6D. 2ab+3ba=5ab3.中国国家统计局近日发布数据，2020年，中国国内生产总值(GDP)为1015986亿元，首次突破100万亿元大关，按可比价格计算，比上年增长2.3%.1015986亿用科学记数法表示为()A. 1.015986×1012B. 1.015986×1013C. 1.015986×1014D. 1.015986×10154.2021年某校对学生到校方式进行调查，如图，若该校骑车到校的学生有150人，则步行到校的学生有()A. 600人B. 270人C. 280人D. 260人5.如图，把ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为(x,y)，那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为()A. (−x,y−2)B. (−x,y+2)C. (−x+2,−y)D. (−x+2,y+2)6.在校运动会上，三位同学用绳子将四根同样大小的接力棒分别按横截面如图(1)，(2)，(3)所示的方式进行捆绑，三个图中的四个圆心的连线(虚线)分别构成菱形，正方形，菱形，如果把三种方式所用绳子的长度分别用x，y，z来表示，则()A. z>x>yB. x>z>yC. x>y>zD. x=y=z二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）7.分解因式：x2−2x=________．8.不等式−2x−1>3的解集是______ ．9.若α，β是方程x2−4x−2021=0的两个实数根，则α+β−αβ−4=______ ．10.已知直线y=m与一次函数y=mx+m和y=−mx−m的图象分别相交于A，B两点，则AB=______ ．11.著名数学教育家张景中院士在他的著作《新概念几何》中这样定义“共边三角形”：有一条公共边的三角形，叫做共边三角形.如图1，△ABC与△ABD有一条公共边AB，则称△ABC与△ABD叫做共边三角形.直线AB与直线CD交点E，则△ABD 与△ABC的面积之比为DE：CE，这个性质也叫共边定理.根据共边定理和已学知识，解决下面的问题：如图2，在四边形ACBD中，AC//BD.AC=12BD，则S△ABDS△ABC=______ ．12.如图，在矩形ABCD中，AB=5cm，AD=9cm，点E在边AD上运动，将△DEC沿EC翻折，使D落在D′处，若△DEC有两条边存在2倍的数关系，则D′到AD的距离为______ ．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）13.(1)计算：(−1)5+|−4|+(√83−3)．(2)如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD.E，F为对角线AC上的点，且AE=CF，求证：BE=DF．四、解答题（本大题共9小题，共66.0分）14.先化简，再求值：(1x2−x +1x)÷xx−1.请从−2<x<2中选择一个合适的整数代入求值．15.如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=BD，∠A=45°，边AB是半圆O的直径，AD与平圆O交于E点，请仅用无刻度的直尺，画半圆O的切线(保留作图痕迹，不写作法)．(1)在图1中画切线EF；(2)在图2中画切线AG．16.疫情防控期间，任何人进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校，甲、乙两位同学进校时可以从学校大门A，B，C，D四个入口处中的任意一处测址体温后进校．(1)甲同学由A入口进入校园的概率为______ ．(2)请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位同学从同一入口处测放体温后进校的概率．17.某同学到书店购买笔记本和钢笔，书店老板告诉他买1本笔记本和1支钢笔需要12元，买2本笔记本和3支钢笔需要31元．(1)分别求笔记本和钢笔的单价；(2)若该同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，求该同学最多购买钢笔多少支？18.身高1.62米的小付同学在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上.在如图所示的平面图形中，矩形CDEF代表建筑物，小付同学位于建筑物前点B处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G处(点G在FE的延长线上).经测量，小付同学与建筑物的距离BC=2米，建筑物底部宽FC=4米，风筝所在点G与建筑物顶点D及风筝线在手中的点A在同一条直线上，点A距地面的高度AB=1.4米，风筝线与水平线夹角为37°．(1)求风筝距地面的高度GF；(2)在建筑物后面有长2.5米的梯子MN，梯脚M在距墙1.5米处固定摆放，通过计算说明：若小付同学充分利用梯子和一根3米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)19.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A(2,0)，B(0,1)，(x>0)的图象于点C(3,n)，点E是反比例函数图象上的一动点，交反比例函数y=mx横坐标为t(0<t<3)，EF//y轴交直线AB于点F，D是y轴上任意一点，连接DE，DF．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)当t为何值时，△DEF为等腰直角三角形．20.为了调查全校学生对垃圾分类知识的了解情况，小胡和小叶同学分别随机抽取了20名男生和20名女生进行了相关知识测试，获得了数据(成绩)(百分制，单位：分)，并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．收集数据：20名男生的成绩统计(单位：分)76827886609276809872789675100828770548778；20名女生的成绩统计(单位：分)9795906878806894868087925975938656768670．整理数据：(成绩得分用x表示)成绩0≤x<6060≤x<7070≤x<8080≤x<9090≤x<100男生(人数)11864女生(人数)2a b66分析数据：平均分中位数众数男生80.357978女生80.8c d请回答下列问题：(1)上述两表中，a=______ ，b=______ ，c=______ ，d=______ ；(2)你认为男生和女生对垃圾分类知识的了解情况哪个更好一些，并利用数据说明理由；(3)若此次成绩不低于80分为优秀，请估计全校800人中优秀人数为多少？21.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O在斜边AB上，且AO=AC，连接CO，并延长至D，使∠D=∠OCB，以O为圆心，OD为半径画圆，交DB延长线于E点．(1)求证：BD=BE；(2)已知AC=1cm，BC=√3cm．①连接CE，过B作BF⊥EC于F点，求线段BF的长；②求图中阴影部分面积．22.【问题情境】如图1，将△ADC绕点A旋转到△ABF，且∠BAD+∠BCD=90°，AC=2√2AD，连接BD，BC，CF．(1)①求证：△ACF∽△ADB，∠CBF=90°；②猜想BC2，CD2，BD2的数量关系，并说明理由；【数学思考】(2)若AC=nAD，其他条件不变，则BC2，CD2，BD2的数量关系为______ ；(不需要说明理由)【类比探究】(3)如图2，若∠BAD+∠BCD=120°.AD=AB，AC=nAD，则BC，CD，BD的数量关系为______ .(不需要说明理由)答案和解析1.【答案】A【解析】解：(−1)0=1，故选：A．直接利用零指数幂的性质化简得出答案．此题主要考查了零指数幂的性质，正确掌握相关定义是解题关键．2.【答案】D【解析】解：A、a6÷a3=a3，故本选项不合题意；B、(3ab2)2=9a2b4，故本选项不合题意；C、a2⋅a3=a5，故本选项不合题意；D、2ab+3ba=5ab，故本选项符合题意；故选：D．分别根据同底数幂的除法法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则逐一判断即可．本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及积的乘方，熟记相关定义与运算法则是解答本题的关键．3.【答案】C【解析】解：1015986亿=101598600000000=1.015986×1014．故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.【答案】B【解析】解：总人数为：150÷25%=600(人)，步行到校的学生所占的百分比为：1−25%−20%−10%=45%，步行到校的学生人数是：600×45%=270(人)，故选：B．根据骑车到校的学生有150人，可以求得总人数，求出步行到校的学生所占的百分比，即可求得步行到校的学生人数．本题考查扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了坐标的平移与轴对称的性质．先观察△ABC和△A′B′C′，得到把△ABC向上平移2个单位，再关于y轴对称可得到△A′B′C′，然后把点P(x,y)向上平移2个单位，再关于y轴对称得到点的坐标为(−x,y+2)，即为P′点的坐标．【解答】解：∵把△ABC向上平移2个单位，再关于y轴对称可得到△A′B′C′，∴点P(x,y)的对应点P′的坐标为(−x,y+2)．故选：B．6.【答案】D【解析】解：∵四根同样大小的接力棒，∴横截面四个圆相同，设圆的半径为r，则AB=BC=CD=AD=2r，分别与圆心A、B、C、D向外连接各切点AE、AQ、BF、BG、CH、CM、DN、DP，则四边形ABFE、四边形BCHG、四边形CDNM、四边形ADPQ都是矩形，∴AB=EF=BC=GH=CD=MN=AD=QP=2r，(1)当四边形ABCD为菱形时，①如图(1)所示：则∠BAD+∠ABC=180°，∵∠EAB=∠ABF=∠GBC=∠DAQ=90°，∴∠EAQ+∠FBG=720°=180°−4×90°=180°，∴EQ⏜的长+FG⏜的长为圆A周长的一半，⏜的长+NP⏜的长也为圆A周长的一半，同理：HM⏜的长+NP⏜的长=4×2r+2πr=∴x=EF+GH+MN+QP+EQ⏜的长+FG⏜的长+HM8r+2πr；②如图(3)所示：⏜的长+NP⏜的长=4×2r+同理：z=EF+GH+MN+QP+EQ⏜的长+FG⏜的长+HM2πr=8r+2πr；(2)四边形ABCD为正方形时，如图(2)所示：同理：∠EAQ=∠FBG=∠HCM=∠NDP=90°，⏜的长+NP⏜的长=2πr，∴EQ⏜的长+FG⏜的长+HM∴y=EF+GH+MN+QP+2πr=8r+2πr；∴x=y=z，故选：D．设圆的半径为r，则AB=BC=CD=AD=2r，分别与圆心A、B、C、D向外连接各切点AE、AQ、BF、BG、CH、CM、DN、DP，则四边形ABFE、四边形BCHG、四边形CDNM、四边形ADPQ都是矩形，得出AB=EF=BC=GH=CD=MN=AD=⏜的长+NP⏜QP=2r，再由四边形为菱形、正方形时，分别计算出EQ⏜的长+FG⏜的长+HM的长，即可得出结果．本题考查了圆与圆之间的位置关系、切线的性质和圆周长等知识；熟练掌握相切两圆的性质是解题的关键．7.【答案】x(x−2)【解析】解：x2−2x=x(x−2)．故答案为：x(x−2)．提取公因式x，整理即可．本题考查了提公因式法分解因式，因式分解的第一步：有公因式的首先提取公因式．8.【答案】x<−2【解析】解：−2x−1>3，则−2x>4，解得：x<−2．故答案为：x<−2．直接利用一元一次不等式的解法得出答案．此题主要考查了解一元一次不等式，正确解不等式是解题关键．9.【答案】2021【解析】解：∵α，β是方程x2−4x−2021=0的两个实数根，∴α+β=4，αβ=−2021，∴α+β−αβ−4=4+2021−4=2021．故答案为：2021．利用一元二次方程根与系数的关系，可得出α+β=4，αβ=−2021，将其代入α+β−αβ−4中即可求出结论．本题考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为：x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca．10.【答案】2【解析】解：把y=m代入y=mx+m得，m=mx+m，解得m=0，∴A(0,m)，把y=m代入y=−mx−m得，m=−mx−m，解得x=−2，∴B(−2,m)，∴AB=|−2−0|=2，故答案为2．把y=m分别代入两个解析式求得A、B的坐标，进而即可求得AB．本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，求得A、B的坐标是解题的关键．11.【答案】2【解析】解：如右图，作DM ⊥AB 于M ，作CN ⊥AB 于N ， ∵AC//BD ， ∴∠DBA =∠BAC ，∴DN =BD ⋅sin∠DBA ，CM =AC ⋅sin∠BAC ， ∴S △ABD S △ABC=12AB⋅DN 12AB⋅CM =BD⋅sin∠DBA AC⋅sin∠BAC=BD AC，又∵AC =12BD ， ∴S △ABD S △ABC=BDAC =2，故答案为：2．作DM ⊥AB 于M ，作CN ⊥AB 于N ，由AC//BD ，得∠DBA =∠BAC ，又AC =12BD ，可得两三角形高的关系，即可得出面积比值．本题主要考查三角形的面积，确定两三角形高的关系是解题的关键．12.【答案】52或2或152【解析】解：①当DE =12CE 时，作D′H ⊥AD 于H ，如图：∵矩形ABCD ，AB =5， ∴∠D =90°，CD =5，Rt △DCE 中，DE 2+CD 2=CE 2，CD =5，DE =12CE ， ∴DE 2+52=(2DE)2， ∴DE =5√33， ∵DE =12CE ，∠D =90°， ∴∠DCE =30°，∠DEC =60°，∵△DEC 沿EC 翻折，使D 落在D′处， ∴∠D′EC =∠DEC =60°，D′E =5√33， ∴∠D′EH =180°−∠D′EC −∠DEC =60°， Rt △D′HE 中，D′H =D′E ⋅sin∠D′EH =5√33×sin60°=52；②当DE =12DC 时，作D′H ⊥AD 于H ，延长HD′交BC 于F ，如图：Rt △DCE 中，DE 2+CD 2=CE 2，CD =5，DE =12CD ， ∴DE =52，CE =5√52，∵△DEC 沿EC 翻折，使D 落在D′处，∴∠ED′C =∠D =90°，DE =D′E ，CD =CD′， ∴∠HD′E =90°−∠FD′C =∠FCD′， 且∠D′HE =∠CFD′=90°， ∴△D′HE∽△CFD′， ∴HE D′F=D′H CF =D′E CD′，∵DE =12DC ， ∴DE DC =12， ∴HED′F =D′H CF=D′E CD′=12，设HE =x ，D′H =y ，则D′F =2x ，CF =2y ， ∵D′H ⊥AD ，矩形ABCD ， ∴四边形HFCD 是矩形，∴HF =CD =5，CF =DH =DE +HE ，∴{2x +y =52y =52+x解得y =2， ∴D′H =2，③当DC =12CE 时，作D′H ⊥AD 于H ，如图：Rt △DCE 中，DE 2+CD 2=CE 2，CD =5，DC =12CE ， ∴CE =10，DE 2+52=102， ∴DE =5√3，∵CD =12CE ，∠D =90°，∴∠DEC =30°，∵△DEC 沿EC 翻折，使D 落在D′处， ∴∠DEC =∠D′EC =30°，D′E =DE =5√3， ∴∠DED′=60°，Rt △ED′H 中，D′H =D′E ⋅sin60°=152，综上所述，△DEC 有两条边存在2倍关系，则D′到AD 的距离为52或2或152． 故答案为：52或2或152．分三种情况：①当DE =12CE 时，作D′H ⊥AD 于H ，求出∠D′EC =∠DEC =60°，D′E =DE =5√33，Rt △D′HE 中可解得D′H ，②当DE =12DC 时，作D′H ⊥AD 于H ，延长HD′交BC 于F ，由△D′HE∽△CFD′，得HE D′F=D′H CF=D′E CD′=12，设HE =x ，D′H =y ，则D′F =2x ，CF =2y ，根据四边形HFCD 是矩形，HF =CD =5，CF =DH =DE +HE ，可得{2x +y =52y =52+x，即可解得D′H ，③当DC =12CE 时，作D′H ⊥AD 于H ，可得∠DED′=60°，Rt △ED′H 中，解得D′H 即可．本题考查矩形性质及应用，涉及翻折、相似三角形判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是分类画出图形，综合应用相关知识解决问题．13.【答案】(1)解：原式=−1+4+2−3=2；(2)证明：∵AB =CD ，BC =AD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形．∴AB//CD．∴∠BAE=∠DCF．在△ABE和△CDF中，{AE=CF∠BAE=∠DCF AB=CD，∴△ABE≌△CDF(SAS)．∴BE=DF．【解析】(1)根据负数的奇次幂是负数，负数的绝对值是它的相反数，三次根号8等于2，然后进行有理数加减运算即可；(2)根据AB=CD，BC=AD，可得四边形ABCD是平行四边形．利用SAS证明△ABE≌△CDF，即可得结论．此题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定，实数的运算，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．14.【答案】解：(1x2−x +1x)÷xx−1=[1x(x−1)+x−1x(x−1)]⋅x−1x =1+x−1x(x−1)⋅x−1x=xx2=1x，∵−2<x<2，x为整数，x(x−1)≠0，∴x=−1，当x=−1时，原式=−1．【解析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后从−2<x<2中选择一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可即解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．15.【答案】解：(1)如图1中，直线EF即为所求作．(2)如图2中，直线AG即为所求作．【解析】(1)连接AC交BD于F，作直线EF即可．(2)连接BE，延长BE交CD的延长线于G，作直线AG即可．本题考查作图−复杂作图，平行四边形的性质和判定，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16.【答案】14【解析】解：(1)∵学校有A、B、C、D四个大门入口，∴甲同学在A入口处测量体温的概率是14；故答案为：14；(2)根据题意画图如下：由图可知共有16种等情况数，其中甲、乙两位同学在同一入口处测量体温的情况有4种，则P(甲、乙两位同学在同一入口处测量体温)=416=14．(1)直接根据概率公式求解即可；(2)根据题意画出树状图得出所有等情况数和甲、乙两位同学在同一入口处测量体温的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．此题考查的是列表法与树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17.【答案】解：(1)设笔记本的单价为x元，钢笔的单价为y元，依题意有{x +y =122x +3y =31， 解得{x =5y =7．故笔记本的单价为5元，钢笔的单价为7元； (2)设购买钢笔m 支，则购买笔记本的钱数为(100−7m)， 则购买笔记本的本数为100−7m5，∵购买钢笔的支数和购买笔记本的本数都为正整数， ∴m 最大为10．故该同学最多购买钢笔10支．【解析】(1)设笔记本的单价为x 元，钢笔的单价为y 元，根据买1本笔记本和1支钢笔需要12元，买2本笔记本和3支钢笔需要31元，列方程组求解；(2)设购买钢笔m 支，求出购买笔记本的钱数，再根据正整数的性质求解即可． 本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的不等关系，列方程和不等式求解．18.【答案】解：(1)过A 作AP ⊥GF 于点P ，则AP =BF =BC +FC =2+4=6(米)，AB =PF =1.4米，∠GAP =37°， 在Rt △PAG 中，tan∠PAG =GPAP ，∴GP =AP ⋅tan37°≈6×0.75=4.5(米)． ∴GF =GP +PF =4.5+1.4=5.9(米)． (2)由题意可知MN =2.5，MF =1.5，在Rt △MNF 中，NF =√MN 2−MF 2=√2．52−1．52=2(米)， ∵2+1.62+3=6.62>5.9，∴能触到挂在树上的风筝．【解析】(1)过A 作AP ⊥GF 于点P.在Rt △PAG 中利用三角函数求得GP 的长，进而求得GF 的长；(2)在直角△MNF 中，利用勾股定理求得NF 的长度，NF 的长加上身高再加上竹竿长，与GF 比较大小即可．本题考查了勾股定理，解直角三角形，锐角三角函数等知识、解题的关键学会添加常用辅助线，正确求得GF 的长度．19.【答案】解：(1)将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式得：{2k +b =0b =1，解得{k =−12b =1， 故一次函数表达式为y =−12x +1；将点C 的坐标代入上式得：n =−12×3+1=−12，故点C 的坐标为(3,−12)，32t 将点C 的坐标代入反比例函数表达式得：m =3×(−12)=−32， 故反比例函数表达式为y =−32x ；(2)设点E 的坐标为(t,−32t )，则点F(t,−12t +1)， 当∠FDE 为直角时，如下图，过点D 作DH ⊥EF 于点H ，∵△DEF 为等腰直角三角形，故DH =HE =HF =12EF ， 即t =12(−12t +1+32t )，解得t =−35(舍去)或1； 当∠FDE(∠FD′E)为直角时，同理可得，D′F =EF ，即t =−12t +1+32t ，(舍去负值)；解得t=1±√103当∠FED为直角时，和∠FDE为直角时得到的等式相同，故t值也相同；．综上，t=1或1+√103【解析】(1)用待定系数法即可求解；EF，即可求(2)当∠FDE为直角时，则△DEF为等腰直角三角形，故DH=HE=HF=12解；当∠FDE(∠FD′E)为直角时，同理可得，D′F=EF，即可求解；当∠FED为直角时，和∠FDE为直角时得到的等式相同，故t值也相同．本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、待定系数法求函数表达式等，其中(2)，要注意分类求解，避免遗漏．20.【答案】2 4 83 86【解析】解：(1)由表中的数据得：a=2，b=4，∵20名女生的成绩从小到大排列为：56 59 68 68 70 75 76 78 80 80 86 86 86 87 90 92 93 94 95 97.排在中间的两个数是88和89，=83；∴c=80+862出现次数最多的是86分，因此众数是86，即d=86，故答案为：2，4，83，86；(2)女生对垃圾分类知识的了解情况更好一些．理由如下：∵从平均数、中位数和众数上看女生的较高，∴女生对垃圾分类知识的了解情况更好一些；=440(人)，(3)800×6+4+6+620+20答：估计全校800人中优秀人数为440人．(1)根据表中20名女生的成绩统计即可直接得到a、b的值，将20名女生的成绩从小到大排列，根据中位数和众数的定义求解可得c、d的值；(2)从平均数、中位数和众数方面进行分析，即可得出女生对垃圾分类知识的了解情况更好一些；(3)样本估计总体，求出样本中优秀率即可求解．本题主要考查频数分布表、中位数和众数及样本估计总体，解题的关键是根据表格得出解题所需数据及中位数和众数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．21.【答案】(1)证明：∵AO=AC，∴∠ACO=∠AOC，∵∠D=∠OCB，∠BOD=∠AOC，∴∠ACO+∠OCB=∠BOD+∠D，∵∠ACB=90°，∴∠BOD+∠D=90°，∴OB⊥DE，∴BD=BE；(2)解：①在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1cm，BC=√3cm．∴tan∠ABC=ACBC =1√3=√33，∴∠ABC=30°，∴AB=2AC=2，∠A=60°，∵OA=AC，∴△AOC为等边三角形，∴OC=AC=1cm，∠AOC=60°，∴∠D=∠OCB=30°，OB=AB−OA=1，∴OD=2OB=2，∴CD=OD+OC=3，∵∠D=∠OCB，∴BD=BC，∵BD=BE，∴BC=BE，∴∠BCE=∠BEC，∴∠D+∠BEC=∠DCE=90°，∵BF⊥CE，∴BF//CD，∵BD=BE，∴BF=12CD=32；②解：连接OE，∵OD=OE，∴∠D=∠OE=30°，∴∠DOE=120°，S阴影=S扇形ODE−S△ODE=120π×22360−√3×1=43π−√3．【解析】(1)只要证得OB⊥DE即可；(2)①证得BF是△DCE的中位线，得到BF=12CD，即可求得BF的长；②由S阴影=S扇形ODE−S△ODE求得即可．本题考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数，垂径定理，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，熟练掌握性质定理是解题的关键．22.【答案】BC2+CD2=n2BD2BC2+BC⋅CD+CD2=n2BD2【解析】(1)①证明：由旋转得△ADC≌△ABF，∴AD=AB，CE=FB，AC=AF，∠DAC=∠BAF，∠ADC=∠ABF，∴∠DAB=∠CAF，∵AC=2√2AD，∴ACAD =AFAB=2√2，∴△ACF∽△ADB，∵∠ABC+∠ADC+∠BAD+∠BCD=360°，∠BAD+∠BCD=90°，∴∠ABC+∠ADC=270°，∴∠ADC=∠ABF，∴∠ABC+∠ABF=270°，∴∠CBF=90°；②解：BC2+CD2=8BD2．理由：由①得△ACF∽△ADB，∴FCBD =ACAD=2√2，∴FC=2√2BD，在Rt△CBF中，BC2+BF2=FC2，由旋转可得CD=BF，∴BC2+CD2=8BD2；(2)解：∵AC=nAD，∴ACAD=n，由①得△ACF∽△ADB，∴FCBD =ACAD=n，∴FC=nBD，在Rt△CBF中，BC2+BF2=FC2，由旋转可得CD=BF，∴BC2+CD2=n2BD2，故答案为：BC2+CD2=n2BD2；(3)解：∵AD=AB可得，∴△ADC绕点A旋转到∠DAB的度数得到△ABF，连接CF，∵AC=nAD，∴ACAD=n，由①得△ACF∽△ADB，∴FCBD =ACAD=n，∴FC=nBD，∵∠ABC+∠ADC+∠BAD+∠BCD=360°，∠BAD+∠BCD=120°，∴∠ABC+∠ADC=240°，∴∠ADC=∠ABF，∴∠ABC+∠ABF=240°，∴∠CBF=120°，过点F作EF⊥BC交CB的延长线于点E，∴∠EBF=60°，∠EFB=30°，∵EF⊥BC，∴BE=12BF=12CD，EF=√3BE=√32CD，在Rt△CEF中，EC2+EF2=FC2，∴(BC+12CD)2+(√32CD)2=(nBD)2，∴BC2+BC⋅CD+CD2=n2BD2．故答案为：BC2+BC⋅CD+CD2=n2BD2．(1)①由旋转△ADC≌△ABF，根据全等三角形的性质得AD=AB，CE=FB，AC=AF，∠DAC=∠BAF，∠ADC=∠ABF，可得出∠DAB=∠CAF，ACAD =AFAB=2√2，根据两边对应成比例且夹角相等可得△ACF∽△ADB，根据四边形的内角和是360°可得∠ABC+∠ADC=270°，由∠ADC=∠ABF得∠ABC+∠ABF=270°，由圆周角的定义可得∠CBF=90°；②由①得△ACF∽△ADB，根据相似三角形的性质得FCBD =ACAD=2√2，则FC=2√2BD，在Rt△CBF中，由勾股定理得BC2+BF2=FC2，由旋转可得CD=BF，等量代换即可得出BC2+CD2=8BD2；(2)若AC=nAD，利用(1)②的方法即可得出结论；(3)由AD=AB可得，△ADC绕点A旋转到∠DAB的度数得到△ABF，连接CF，由(1)①得△ACF∽△ADB，可求出∠CBF=120°，过点F作EF⊥BC交CB的延长线于点E，可得∠EBF=60°，∠EFB=30°，根据含30°角的直角三角形的性质得BE=12BF=12CD，EF=√3BE=√32CD，在Rt△CEF中，由勾股定理即可得出结论．本题是相似形的综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的性质和判定，四边形内角和定理、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是(3)中，需要通过作辅助线构造直角三角形，本题的难点是作辅助线．。
2021年江西省数学中考试题(含答案)
江西省2021年中等学校招生考试数学试卷(江西 毛庆云）说明：1．本卷共有六个大题,24个小题,全卷满分120分,考试时间120分钟．2．本卷分为试题卷和答题卷,答案要求写在答题卷上,不得在试题卷上作答,否则不给分．一、选择题（本大题共6个小题,每小题3分,共18分,每小题只有一个正确选项）1．下列四个数中,最小的数是（ ）．A ．－12B ．0C ．－2D ．2【答案】 C.【考点】 有理数大小比较．【分析】 根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0。
②负数都小于0。
③正数大于一切负数进行比较即可．【解答】 解：在－12,0,－2,2这四个数中,大小顺序为：﹣2＜－12＜0＜2,所以最小的数是－12．故选C ．【点评】 本题主要考查了有理数的大小的比较,解题的关键是熟练掌握有理数大小比较的 法则,属于基础题．2．某市６月份某周气温（单位：℃）为23,25,28,25,28,31,28,这给数据的众数和中位数分别是（ ）．A ．25,25B ．28,28C ．25,28D ．28,31【答案】 B .【考点】 众数和中位数.【分析】 根据中位数的定义“将一组数据从小到大或从大到小排序,处于中间（数据个数为奇数时）的数或中间两个数的平均数（数据为偶数个时）就是这组数据的中位数”。
众数是指一组数据中出现次数最多的那个数。
【解答】 这组数据中28出现4次,最多,所以众数为28。
由小到大排列为：23,25,25,28,28,28,31,所以中位数为28,选B 。
【点评】 本题考查的是统计初步中的基本概念——中位数和众数,要知道什么是中位数、众数．3．下列运算正确的是是（ ）．A ．a 2+a 3=a 5B ．(－2a 2)3=－6a 5C ．(2a+1)(2a-1)=2a 2-1D ．(2a 3-a 2)÷2a=2a-1【答案】 D.【考点】 代数式的运算。
【分析】 本题考查了代数式的有关运算,涉及单项式的加法、除法、完全平方公式、幂的运算性质中的同底数幂相除、积的乘方和幂的乘方等运算性质,正确掌握相关运算性质、法则是解题的前提．根据法则直接计算．【解答】 A 选项中与不是同类项,不能相加（合并）,与相乘才得。
2021年江西省南昌市中考数学一调试卷(含解析)
2021年江西省南昌市中考数学一调试卷一、选择题（共6小题）.1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（）A．y＝B．y＝5x C．x+y＝5D．y＝2．下列环保标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣x﹣2＝0B．x2﹣x+1＝0C．x2﹣2x+1＝0D．x2＝44．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若弦AB＝2，则⊙O的半径为（）A．B．C．D．25．下列关于反比例函数y＝（k＜0）的说法中，正确的是（）A．双曲线在第一、第三象限B．当x＞0时，函数值y＞0C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小6．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，线段AE，AF与对角线BD分别交于点G．设矩形ABCD的面积为S，则下列结论不正确的是（）A．AG：GE＝2：1B．BG：GH：HD＝1：1：1C．S1+S2+S3＝S D．S2：S4：S6＝1：3：4二、填空题（共6小题）.7．平面直角坐标系中，点P（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标是．8．若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a+b的值．9．若正多边形的一个中心角为40°，则这个正多边形的一个内角等于．10．如图，正方形ABCD和正方形EFOG是位似图形，其中点A与点E对应，点A的坐标为（﹣4，2），点E的坐标为（﹣1，1），则这两个正方形位似中心的坐标为．11．如图，反比例函数y＝（k≠0）图象经过A点，AC⊥x轴，CO＝BO，若△ACB的面积为6，则k的值为．12．已知关于x的函数y＝x2﹣2|x|﹣a2﹣2a的图象与x轴只有两个公共点，则a的取值范围是．三、（本大题共6小题，每小题6分，共30分）13．解方程：x2+10x+16＝0．14．已知y﹣1与x成反比例，当x＝1时，y＝﹣5，求y与x的函数表达式．15．如图，点D在△ABC的边AB上，AC2＝AD•AB，求证：△ACD∽△ABC．16．如图，将弧长为6π，圆心角为120°的扇形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合（接缝粘连部分忽略不计），求圆锥的底面圆半径及圆锥的侧面积．17．如图，在正方形ABCD中，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．（1）在图①中，将线段AB绕点O逆时针旋转一定角度，使点A与点B重合，点B与点C重合，作出点O的位置．（2）在图②中，E为AB的中点，将△ABD绕点D逆时针旋转某个角度，得到△CFD，使DA与DC重合，作出△CFD．18．某学校到红色景区开展红色研学活动，研学活动中有一个重温石林会议召开的场景活动，该活动需要派杨老师去领取四个灯笼，灯笼上分别写有“军”“民”“一”“家”（外观完全一样）．（1）杨老师从四个灯笼中任取一个，取到写有“一”的灯笼的概率是．（2）杨老师从四个灯笼中不放回地先后取出两个灯笼，请用列表或画树状图的方法求杨老师恰好取到写有“军”“民”的两个灯笼的概率．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19．李师傅驾驶出租车匀速地从南昌市送客到昌北国际机场，全程约30km，设小汽车的行驶时间为t（单位：h），行驶速度为v（单位：km/h），且全程速度限定为不超过10km/h．（1）求v关于t的函数关系式．（2）李师傅上午7点驾驶出租车从南昌市出发，在20分钟后将乘客送到了昌北国际机场，求小汽车行驶速度v．20．我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，如图是小然站在地面MN欣赏悬挂在墙壁PM上的油画AD（PM⊥MN）的示意图，设油画AD与墙壁的夹角∠PAD＝α，此时小然的眼睛与油画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位置E处，且与AD垂直．已知油画的长度AD为100cm．（1）视线∠ABD的度数为．（用含a的式子表示）（2）当小然到墙壁PM的距离AB＝250cm时，求油画顶部点D到墙壁PM的距离．（3）当油画底部A处位置不变，油画AD与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该更靠近墙壁PM，还是不动或者远离墙壁PM？（直接回答即可）21．如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连接OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若DE＝BC，⊙O的半径为2，求线段EA的长．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．如图，直线y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点，已知点A（m，4），B（n，2），AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC＝3．（1）求m，n的值及反比例函数的解析式．（2）结合图象，当k1x+b≤时，直接写出自变量x的取值范围．（3）若P是x轴上的一个动点，当△ABP的周长最小时，求点P的坐标．23．在平面直角坐标系xOy中，我们把函数图象上横坐标与纵坐标相等的点叫做这个图象上的“不动点”．已知抛物线y＝x2﹣2x，记为x轴的两交点中的右侧交点为M．（1）抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”的坐标为．（2）平移抛物线y＝x2﹣2x，使所得新抛物线的顶点是抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”，求新抛物线的解析式并说明具体的平移过程．（3）平移抛物线y＝x2﹣2x，使所得新抛物线的顶点B同时也是该新抛物线的“不动点”．若△OBM是以OB为腰的等腰三角形，求△OBM的面积．六、（本大题共12分）24．已知EF为⊙O的一条弦，OB⊥EF交⊙O于点B，A是弦EF上一点（不与E，F重合），连接BA并延长交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交EF的延长线于点D．（1）如图1，若EF在圆心O的上方，且与OB相交于点H，求证：△ACD是等腰三角形．（2）如图2，若EF是⊙O的直径，AB＝2，⊙O的半径为4，求线段DC的长．（3）如图3，若EF在圆心O的下方，且与BO的延长线相交于点H，试判断线段DA，DE，DF之间的数量关系，并说明理由．参考答案一、选择题（共6小题）.1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（）A．y＝B．y＝5x C．x+y＝5D．y＝解：A、y＝是反比例函数，故此选项合题意；B、y＝5x是正比例函数，故不符合题意．C、x+y＝5是二元一次方程，故此选项不合题意；D、y＝是正比例函数，故不合题意；故选：A．2．下列环保标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、是中心对称图形，故本选项符合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B．3．下列方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣x﹣2＝0B．x2﹣x+1＝0C．x2﹣2x+1＝0D．x2＝4解：A、∵△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，∴一元二次方程x2﹣x﹣2＝0有两个不相等的实数根；B、∵△＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，∴一元二次方程x2﹣x+1＝0没有实数根；C、∵△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴一元二次方程x2﹣4x+4＝0有两个相等的实数根；D、∵方程x2＝4的解为x＝±2，∴一元二次方程x2＝4有两个不相等的实数根；故选：B．4．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若弦AB＝2，则⊙O的半径为（）A．B．C．D．2解：连接OA，设OA＝OC＝r．∵弦AB垂直平分半径OC，∴OE＝OC＝r，AE＝BE＝，在Rt△AOE中，由勾股定理得：r2＝（r）2+（）2，解得r＝2或﹣2（舍弃）．故选：D．5．下列关于反比例函数y＝（k＜0）的说法中，正确的是（）A．双曲线在第一、第三象限B．当x＞0时，函数值y＞0C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小解：A、k＝＜0，图象在第二、四象限内，故错误；不符合题意．B、若x＞0，则y＜0，故错误；不符合题意．C、k＝＜0，每个象限内，y随x的增大而增大，说法正确，符合题意；D、k＝＜0，每个象限内，y随x的增大而增大，说法错误，不合题意；故选：C．6．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，线段AE，AF与对角线BD分别交于点G．设矩形ABCD的面积为S，则下列结论不正确的是（）A．AG：GE＝2：1B．BG：GH：HD＝1：1：1C．S1+S2+S3＝S D．S2：S4：S6＝1：3：4解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E是BC的中点，∴BE＝BC，∵AD∥BE，∴，即AG：GE＝2：1；故A正确；∵AD∥BE，∴，∴BG＝BD，同理得：DH＝BD，∴BG＝GH＝HD，∴BG：GH：HD＝1：1：1；故B正确；∵AD∥BE，∴△BEG∽△DAG，∴，∵BG＝GH＝HD，∴S5＝S3＝S4，设S1＝x，则S5＝S3＝S4＝2x，∴S＝12x，同理可得：S2＝x，∴S1+S2+S3＝x+x+2x＝4x＝S；故C正确；由C可知：S6＝6x﹣x﹣x＝4x，∴S2：S4：S6＝1：2：4，故D错误；故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．平面直角坐标系中，点P（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，3）．解：点P（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，3），故答案为：（﹣1，3）．8．若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a+b的值8或8±2．解：当a＝b时，由a2﹣8a+5＝0解得a＝4±，∴a+b＝8±2；当a≠b时，a、b可看作方程x2﹣8x+5＝0的两根，∴a+b＝8．故答案为8或8±2．9．若正多边形的一个中心角为40°，则这个正多边形的一个内角等于140°．解：∵正多边形的一个中心角为40°，∴360°÷40°＝9，∴这个正多边形是正九边形，∴这个正九边形的一个内角等于：＝140°．故答案为：140°．10．如图，正方形ABCD和正方形EFOG是位似图形，其中点A与点E对应，点A的坐标为（﹣4，2），点E的坐标为（﹣1，1），则这两个正方形位似中心的坐标为（2，0）．解：连接AE并延长交x轴于H，则点H为位似中心，∵点A的坐标为（﹣4，2）点E的坐标为（﹣1，1），∴OF＝1，OB＝4，EF＝1，AB＝2，∵正方形ABCD和正方形EFOG是位似图形，∴EF∥AB，∴△HEF∽△HAB，∴＝，即＝，解得：OH＝2，∴点H的坐标为（2，0），故答案为：（2，0）．11．如图，反比例函数y＝（k≠0）图象经过A点，AC⊥x轴，CO＝BO，若△ACB的面积为6，则k的值为﹣6．解：连接OA，∴CO＝BO，∴△AOC的面积＝△AOB的面积＝×6＝3，又∵A是反比例函数y＝（k≠0）图象上的点，且AC⊥x轴于点C，∴△AOC的面积＝|k|，∴|k|＝3，∵k＜0，∴k＝﹣6．故答案为﹣6．12．已知关于x的函数y＝x2﹣2|x|﹣a2﹣2a的图象与x轴只有两个公共点，则a的取值范围是a＜﹣2或a＞0或a＝﹣1．解：由x2﹣2|x|﹣a2﹣2a＝0可得：|x|＝﹣a或a+2，当﹣a＝a+2，即a＝﹣1时，符合题意；当﹣a与a+2异号，即a＜﹣2，或a＞0时，符合题意．故答案为：a＜﹣2或a＞0或a＝﹣1．三、（本大题共6小题，每小题6分，共30分）13．解方程：x2+10x+16＝0．解：x2+10x+16＝0，（x+2）（x+8）＝0，x+2＝0，x+8＝0，x1＝﹣2，x2＝﹣8．14．已知y﹣1与x成反比例，当x＝1时，y＝﹣5，求y与x的函数表达式．解：设y﹣1＝，根据题意得﹣5﹣1＝k，解得k＝﹣6，∴y﹣1＝﹣，即y＝．15．如图，点D在△ABC的边AB上，AC2＝AD•AB，求证：△ACD∽△ABC．【解答】证明：∵AC2＝AD⋅AB，∴AC：AB＝AD：AC．又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC．16．如图，将弧长为6π，圆心角为120°的扇形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合（接缝粘连部分忽略不计），求圆锥的底面圆半径及圆锥的侧面积．解：设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr＝6π，解得r＝3，设扇形AOB的半径为R，则，解得R＝9，∴圆锥的侧面积＝．17．如图，在正方形ABCD中，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．（1）在图①中，将线段AB绕点O逆时针旋转一定角度，使点A与点B重合，点B与点C重合，作出点O的位置．（2）在图②中，E为AB的中点，将△ABD绕点D逆时针旋转某个角度，得到△CFD，使DA与DC重合，作出△CFD．解：（1）如图所示，点O即为所求．（2）如图所示，△CFD即为所求．18．某学校到红色景区开展红色研学活动，研学活动中有一个重温石林会议召开的场景活动，该活动需要派杨老师去领取四个灯笼，灯笼上分别写有“军”“民”“一”“家”（外观完全一样）．（1）杨老师从四个灯笼中任取一个，取到写有“一”的灯笼的概率是．（2）杨老师从四个灯笼中不放回地先后取出两个灯笼，请用列表或画树状图的方法求杨老师恰好取到写有“军”“民”的两个灯笼的概率．解：（1）杨老师从四个灯笼中任取一个，取到写有“一”的灯笼的概率是，故答案为：；（2）画树状图如图：共有12个等可能的结果，杨老师恰好取到写有“军”“民”的两个灯笼的结果有2个，∴杨老师恰好取到写有“军”“民”的两个灯笼的概率为＝．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19．李师傅驾驶出租车匀速地从南昌市送客到昌北国际机场，全程约30km，设小汽车的行驶时间为t（单位：h），行驶速度为v（单位：km/h），且全程速度限定为不超过10km/h．（1）求v关于t的函数关系式．（2）李师傅上午7点驾驶出租车从南昌市出发，在20分钟后将乘客送到了昌北国际机场，求小汽车行驶速度v．解：（1）∵vt＝30，且全程速度限定为不超过100km/h，∴v关于t的函数关系式为（t≥0.3）．（2）∵20分钟＝小时，∴t＝，将代入，得：v＝90，∴小汽车行驶速度v是90km/h．20．我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，如图是小然站在地面MN欣赏悬挂在墙壁PM上的油画AD（PM⊥MN）的示意图，设油画AD与墙壁的夹角∠PAD＝α，此时小然的眼睛与油画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位置E处，且与AD垂直．已知油画的长度AD为100cm．（1）视线∠ABD的度数为2α．（用含a的式子表示）（2）当小然到墙壁PM的距离AB＝250cm时，求油画顶部点D到墙壁PM的距离．（3）当油画底部A处位置不变，油画AD与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该更靠近墙壁PM，还是不动或者远离墙壁PM？（直接回答即可）解：（1）连接BD，∵AE⊥BE，PM⊥MN，AB∥MN，∴AB⊥PM，∴∠PAB＝90°，∠AEB＝90°，∴∠ABE＝∠PAD＝90°﹣∠BAE＝α，∵AE＝DE，BE⊥AD，∴AB＝BD，∴∠ABE＝∠DBE，∴∠ABD＝∠DBE+∠ABE＝2α，故答案为：2α；（2）过点D作DC⊥PM交PM于点C，由题意得AB＝250cm，AD＝100cm，则AE＝50cm，∵∠CAD＝∠ABE＝α，∠ACD＝∠AEB＝90°，∴△ACD∽△BEA，∴＝，∴＝，∴CD＝20（cm），∴油画顶部到墙壁的距离CD是20cm；（3）当油画底部A处位置不变，油画AD与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该远离墙壁PM．21．如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连接OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若DE＝BC，⊙O的半径为2，求线段EA的长．【解答】（1）证明：如图，连接OD．∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD．又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB．在△COD和△COB中，，∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO＝90°．∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵△COD≌△COB，∴CD＝CB．∵，∴．∵AD∥OC，∴．∵⊙O的半径为2，∴，∴．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．如图，直线y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点，已知点A（m，4），B（n，2），AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC＝3．（1）求m，n的值及反比例函数的解析式．（2）结合图象，当k1x+b≤时，直接写出自变量x的取值范围．（3）若P是x轴上的一个动点，当△ABP的周长最小时，求点P的坐标．解：（1）∵点A（m，4），B（n，2）在反比例函数的图象上，∴k2＝4m＝2n，即n＝2m．∵DC＝3，∴n﹣m＝3，∴m＝3，n＝6，∴点A（3，4），点B（6，2），∴k2＝3×4＝12，∴反比例函数的解析式为．（2）当k1x+b≤时，自变量x的取值范围是0＜x≤3或x≥6．（3）如图，作点B关于x轴的对称点F（6，﹣2），连接AF交x轴于点P，此时△ABP 的周长最小．设直线AF的解析式为y＝kx+a，把A（3，4），点F（6，﹣2）代入得，解得，∴直线AF的解析式为y＝﹣2x+10，当y＝0时，x＝5，∴点P的坐标为（5，0）．23．在平面直角坐标系xOy中，我们把函数图象上横坐标与纵坐标相等的点叫做这个图象上的“不动点”．已知抛物线y＝x2﹣2x，记为x轴的两交点中的右侧交点为M．（1）抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”的坐标为（0，0），（3，3）．（2）平移抛物线y＝x2﹣2x，使所得新抛物线的顶点是抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”，求新抛物线的解析式并说明具体的平移过程．（3）平移抛物线y＝x2﹣2x，使所得新抛物线的顶点B同时也是该新抛物线的“不动点”．若△OBM是以OB为腰的等腰三角形，求△OBM的面积．解：（1）令x2﹣2x＝x，解得，x＝0或x＝3，∴抛物线上的不动点为（0，0），（3，3）；故答案为：（0，0），（3，3）．（2）当新抛物线的顶点的坐标为（0，0）时，新抛物线的解析式为y＝x2，此时将抛物线y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1先向左平移1个单位，再向上平移1个单位可得到；当新抛物线的顶点的坐标为（3，3）时，新抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2+3，此时将抛物线y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1先向右平移2个单位，再向上平移4个单位可得到．（3）过点B作BH⊥x轴于点H，如图1，令x2﹣2x＝0，解得x＝0或x＝2，∴M（2，0）．如图1，当OB＝BM时，∵B（a，a），∴∠BOM＝∠BMO＝45°．∵OM＝2，∴BH＝1，∴＝1．如图2、图3，当OB＝BM时，OB＝OM＝2，∴，∴＝．六、（本大题共12分）24．已知EF为⊙O的一条弦，OB⊥EF交⊙O于点B，A是弦EF上一点（不与E，F重合），连接BA并延长交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交EF的延长线于点D．（1）如图1，若EF在圆心O的上方，且与OB相交于点H，求证：△ACD是等腰三角形．（2）如图2，若EF是⊙O的直径，AB＝2，⊙O的半径为4，求线段DC的长．（3）如图3，若EF在圆心O的下方，且与BO的延长线相交于点H，试判断线段DA，DE，DF之间的数量关系，并说明理由．解：（1）证明：连接OC，如图：∵过点C作⊙O的切线交EF的延长线于点D，∴OC⊥DC，∴∠DCA＝90°﹣∠ACO∵OB＝OC，∴∠ACO＝∠B，∴∠DCA＝90°﹣∠B，∵OB⊥EF，∴∠BAH＝90°﹣∠B，∴∠DCA＝∠BAH，又∵∠DAC＝∠BAH，∴∠DAC＝∠DCA，∴DA＝DC，∴△ACD是等腰三角形．（2）连接OC，如图：∵过点C作⊙O的切线交EF的延长线于点D，∴OC⊥DC，∴∠AOB＝90°，∵，⊙O的半径为4，∴AO＝＝2，由（1）可得DA＝DC，设DC＝x，则DA＝x，OD＝x+2，∴在Rt△OCD中，OC2+DC2＝OD2，∴42+x2＝（x+2）2，∴x＝3，即线段DC的长为3．（3）线段DA，DE，DF之间的数量关系为DA2＝DE⋅DF，理由如下：连接CF，CE，连接CO并延长交⊙O于点G，连接GF，如图：∵DC为⊙O的切线，∴∠DCA＝90°﹣∠OCB＝90°﹣∠HBA．又∵∠BAH＝90°﹣∠HBA，∠CAD＝∠BAH，∴∠DCA＝∠CAD，∴DA＝DC．∵CG是⊙O的直径，∴∠CFG＝90°，∴∠CED＝∠CGF＝90°﹣∠GCF．又∵∠DCF＝90°﹣∠GCF，∴∠CED＝∠DCF．又∵∠D＝∠D，∴△CDF∽△EDC，∴，∴DC2＝DE•DF，∴DA2＝DE•DF．。