吉林大学《高等数学(文专)》期末考试学习资料(七)
吉大《高等数学（文专）》（七）
一、求二阶常系数齐次线性微分方程'''0
++=的通解的步骤？
y py qy
第一步：写出微分方程(1)的特征方程 r2 + pr + q = 0.
第二步：求出特征方程的两个根r1,r2 .
第三步：根据特征方程两个根的不同情形，写出微分方程(1)的通解.
根据特征方程的根,可以写出其对应的微分方程的解如下:
二、n阶常系数齐次线性微分方程的解法及通解的形式？
n阶常系数齐次线性微分方程的一般形式是：
其中，p1,p2,...pn都是常数.
n 次代数方程
称为方程(3)的特征方程.
根据特征方程的根,可以写出其对应的微分方程的解如下:
从代数学知道, n次代数方程有n个根.而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每项各含一个任意常数.这样就得到n阶常系数齐次线性微分方程的通解.
三、镭的衰变有如下的规律:镭的衰变速度与它的现存量R成正比,由经验材料得知,镭经过1600年后,只剩余原始量R0的一半,试求镭的量R与时间t 的函数关系.
解由题意建立镭衰变的数学模型:
四、求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点（x,y）处的切线斜率等于2x + y
解由题意，得初值问题:
五、求常系数齐次线性方程的通解和给定条件下的特解.
六、应用微分方程解决实际问题的思路？
应用微分方程解决实际问题，首先要分析问题，建立方程，并提出初始条件；其次求微分方程的通解，再根据初始条件确定所要的特解.。
吉林省长春市吉大中学2021-2022学年高三数学文下学期期末试卷含解析
吉林省长春市吉大中学2021-2022学年高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设命题p：?x∈R，e x≥x+1，则￢p为（）A．?x∈R，e x＜x+1 B．?x0∈R，e x0＜x0+1C．?x0∈R，e x0≤x0+1 D．?x∈R，e x0≥x0+1参考答案：B【考点】2J：命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：?x∈R，e x≥x+1，则￢p为?x0∈R，e x0＜x0+1，故选：B【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．2. 已知映射.设点，，点是线段上一动点，.当点在线段上从点开始运动到点结束时，点的对应点所经过的路线长度为A． B． C．D．参考答案：B3. 定义在R上的奇函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且当x[0，1]时，f(x)＝x(3－2x)，则A.－1B.C.D.1参考答案：A 4. 等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a5=8，S3=6，则S10﹣S7的值是（）A．24 B．48 C．60 D．72参考答案：B【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】利用条件a5=8，S3=6，计算等差数列的首项，公差，进而可求S10﹣S7的值【解答】解：设等差数列的首项为a1，公差为d∵a5=8，S3=6，∴∴∴S10﹣S7=a8+a9+a10=3a1+24d=48故选B．5. 定义：“回文”是指正读反读都能读通的句子，它是古今中外都有的一种修辞方式和文字游戏，如“我为人人，人人为我”等．在数学中也有这样一类数字有这样的特征，称为回文数．设n是一任意自然数．若将n的各位数字反向排列所得自然数n1与n相等，则称n为一回文数．例如，若n=1234321，则称n为一回文数；但若n=1234567，则n不是回文数．则下列数中不是回文数的是（）A．187×16B．1112 C．45×42D．2304×21参考答案：C【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】分别求出结果，利用回文数的定义进行判断．【解答】解：在A中，187×16=2992，是回文数；在B中，1112=12321，是回文数；在C中，45×42=1890，不是回文数；在D中，2304×21=48384，是回文数．故选：C．6. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440 B．330 C．220 D．110参考答案：A设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．设第组的项数为，则组的项数和为由题，，令→且，即出现在第13组之后第组的和为组总共的和为若要使前项和为2的整数幂，则项的和应与互为相反数即→则故选A7. 函数，函数，若存在，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数m的取值范围是（）DC分析：本先分别确定函数的值域，再利用存在，使得f（x1）=g（x2）成立，建立不等式，即可求得实数m的取值范围．解答：解：=2sin（2x+）∵∴∴f（x1）∈[1，2]∵∴∴∵m＞0∴∈∵存在，使得f（x1）=g（x2）成立∴∴故选C ．点评：本题考查三角函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，正确求函数的值域是关键．A ．B ．C ．D ．参考答案：D【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换． 【专题】压轴题．【分析】先根据图象求出函数的最小正周期，从而可得w 的值，再根据正弦函数的平移变化确定函数的解析式为，最后根据诱导公式可确定答案．【解答】解：从图象看出，T=，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=sin2x 向左平移了个单位，即=，故选D ．【点评】本题考查正弦函数平移变换和最小正周期的求法、根据图象求函数解析式．考查学生的看图能力．9. 已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B 等于（ ） A ．{0} B ．{1} C ．{0，1}D ．[0，1]参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】由A 与B ，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|0≤x≤1}， ∴A∩B={0，1}， 故选：C ．10. 若a ，b 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列四个命题： ①若a //α，b //β，a ⊥b ，则α⊥β； ②若a //α，b //β，a //b ，则α//β；③若a ⊥α，b ⊥β，a //b ，则α//β； ④若a //α，b ⊥β，a ⊥b ，则α//β；正确的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的值域为，则实数的取值范围是_____________. 参考答案：略12. 已知满足，则的最大值为____________。
吉大19年5月《高等数学(文专)》作业考核试题
(单选题)1: 函数y=|sinx|在x=0处( )A: 无定义B: 有定义，但不连续C: 连续D: 无定义，但连续正确答案:(单选题)2: 以下数列中是无穷大量的为（）A: 数列{Xn=n}B: 数列{Yn=cos(n)}C: 数列{Zn=sin(n)}D: 数列{Wn=tan(n)}正确答案:(单选题)3: 设函数f(x)=x(x-1)(x-3)，则f ＇( 0 ) = ( )A: 0B: 1C: 3D: 2正确答案:(单选题)4: 设函数f(x)是在[-m,m]上的连续偶函数，且f(x)≠0,F(x)=∫f(t)dt,{积分区间是a->x}则F(x)（）A: 必是奇函数B: 必是偶函数C: 不可能是奇函数D: 不可能是偶函数正确答案:(单选题)5: 下列集合中为空集的是( )A: {x|e^x=1}B: {0}C: {(x, y)|x^2+y^2=0}D: {x| x^2+1=0,x∈R}正确答案:(单选题)6: 设函数f(x)连续，则积分区间（0->x）, d/dx{∫tf(x^2-t^2)dt} = （）A: 2xf(x^2)B: -2xf(x^2)C: xf(x^2)D: -xf(x^2)正确答案:(单选题)7: 直线 y=2x, y=x/2, x+y=2 所围成图形的面积为 ( )A: 3/2B: 2/3C: 3/4D: 4/3正确答案:(单选题)8: 已知f(x)的原函数是cosx,则f '(x)的一个原函数是（）A: sinxB: -sinxC: cosxD: -cosx正确答案:(单选题)9: 设函数f(x)在[-a, a](a>0)上是偶函数，则 |f(-x)| 在[-a, a]上是 ( ) A: 奇函数B: 偶函数C: 非奇非偶函数D: 可能是奇函数，也可能是偶函数正确答案:(单选题)10: 设f(x)的一个原函数是xlnx,则∫xf(x)dx等于( )A: x^2(1/2+lnx/4)+CB: x^2(1/4+lnx/2)+CC: x^2(1/4-lnx/2)+CD: x^2(1/2-lnx/4)+C正确答案:(单选题)11: y=x+arctanx的单调增区间为A: (0,+∞)B: (-∞,+∞)C: (-∞,0)D: (0,1)正确答案:(单选题)12: f(x)是给定的连续函数，t>0,则t∫f(tx)dx , 积分区间（0->s/t）的值（）A: 依赖于s，不依赖于t和xB: 依赖于s和t，不依赖于xC: 依赖于x和t，不依赖于sD: 依赖于s和x，不依赖于t正确答案:(单选题)13: 设F(x)=∫e^(sint) sint dt,{积分区间是x->x+2π},则F（x）为（）A: 正常数B: 负常数C: 正值，但不是常数D: 负值，但不是常数正确答案:(单选题)14: 下列函数中（）是奇函数A: xsinxB: x+cosxC: x+sinxD: |x|+cosx正确答案:(单选题)15: ∫{lnx/x^2}dx 等于( )A: lnx/x+1/x+CB: -lnx/x+1/x+CC: lnx/x-1/x+CD: -lnx/x-1/x+C正确答案:(判断题)16: 极值点一定包含在区间的内部驻点或导数不存在的点之中。
吉林大学19秋学期《高等数学(文专)》在线作业一(1)答案
【奥鹏】吉大19秋学期《高等数学（文专）》在线作业一试卷总分:100 得分:100一、单选题（共15题，60分）1、∫(1/(√x (1+x))) dxA等于arccot√x+CB等于1/((2/3)x^(3/2)+(2/5)x^(5/2))+CC等于(1/2)arctan√x+CD等于2√xln(1+x)+C[分析上述题目，并完成选择]参考选择是：A2、下列集合中为空集的是( )A{x|e^x=1}B{0}C{(x, y)|x^2+y^2=0}D{x| x^2+1=0,x∈R}[分析上述题目，并完成选择]参考选择是：D3、设f(x)=e^(2+x),则当△x→0时，f(x+△x)-f(x)→( )A△xBe2+△xCe2D0[分析上述题目，并完成选择]参考选择是：D4、一枚硬币前后掷两次所出现可能结果的全部所组成的集合，可表示为A{正面，反面}B{(正面，正面)、(反面，反面)}C{(正面，反面)、(反面，正面)}D{(正面，正面)、(反面，正面)、(正面，反面)、(反面，反面)}[分析上述题目，并完成选择]参考选择是：D5、函数在一点附近有界是函数在该点有极限的( )A必要条件B充分条件C充分必要条件D在一定条件下存在[分析上述题目，并完成选择]参考选择是：D6、设f(x)的一个原函数是xlnx,则∫xf(x)dx等于( )Ax^2(1/2+lnx/4)+CBx^2(1/4+lnx/2)+CCx^2(1/4-lnx/2)+CDx^2(1/2-lnx/4)+C。
【经典期末卷】大学高数(下)期末单元测试卷及详细解答
学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 审题： 审批： ------------------------------------------------ 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ----------------------------------------------------------- （答题不能超出密封装订线）班级（学生填写）： 姓名： 学号： ---------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封--------------------------- 线 ------------------------------------------------ （答题不能超出密封线）4．求方程y y y y '='+''2)(的通解．(4分)5. 求微分方程 2d 22d x yxy xe x -+=的通解。
(4分)6. 求微分方程09422=+y dxyd 满足初始条件23,20====x x dxdy y的特解。
（4分）班级（学生填写）： 姓名： 学号： ------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封--------------------------- 线 ------------------------------------------------ （答题不能超出密封线）)7. 求x e y dx dy-=+微分方程的通解。
(4分)8. 求微分方程的一条积分曲线，使其在原点处与直线相切. (4分)9. 求微分方程x y y x sin =+'满足0)(=πy 的特解．(4分)10. 求微分方程430,(0)6,(0)10y y yy y ''''-+===的特解.(4分)11. 求微分方程0)(22=-+xydy dx y x 的通解。
吉大19秋学期《高等数学(文专)》在线作业二【第1组】答案
[提示：仔细阅读以上试题，并作答]
正确答案是：B
14、∫(1/(√x (1+x))) dx
A等于arccot√x+C
B等于1/((2/3)x^(3/2)+(2/5)x^(5/2))+C
C等于(1/2)arctan√x+C
D等于2√xln(1+x)+C
[提示：仔细阅读以上试题，并作答]
正确答案是：A
15、函数y=|x|+2的极小值点是( )
A0
B1
C2
D3
[提示：仔细阅读以上试题，并作答]
正确答案是：B
二、判断题（共10题，40分）
1、函数y=6x-5-sin(e^x)的一个原函数是6x-cos(e^x)
A错误
B正确
[提示：仔细阅读ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ上试题，并作答]
正确答案是：A
2、闭区间上函数可积与函数可导之间既非充分也非必要条件
正确答案是：D
2、设f(x)是可导函数，则（）
A∫f(x)dx=f'(x)+C
B∫[f'(x)+C]dx=f(x)
C[∫f(x)dx]'=f(x)
D[∫f(x)dx]'=f(x)+C
[提示：仔细阅读以上试题，并作答]
正确答案是：C
3、设I=∫{a^(bx)}dx,则（）
AI=a^(bx)/(b ln a)+C
BI=a^(bx)/b+C
CI=a^(bx)/(ln a)+C
DI={b a^(bx)}/(ln a)+C
[提示：仔细阅读以上试题，并作答]
(完整版)大一高等数学期末考试试卷及答案详解
一、1 B;2 C; 3 D;4 A.
二、1 2 3 0; 4 0.
三、1解原式 6分
2 解 2分
4分
3解原式 3分
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2分
1分
4 解令 则2分
5 1分
6 1分
1分
1分
7 两边求导得 2分
8 1分
1分
2分
9 解 2分
10 4分
11 解原式= = 6分
四、1解令 则 3分
= 2分
2分
1分
2 解 3分
-----------3
3．求摆线 在 处的切线的方程.
解：切点为 -------2
-------2
切线方程为 即 . -------2
4.设 ，则 .
5．设 ，求 .
解： ---------2
--------------2
= ------------2
故 =
四．应用题（每小题9分，3题共27分）
1．求由曲线 与该曲线过坐标原点的切线及 轴所围图形的面积.
(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限
二、填空题（共12分）
1．（3分） 平面上过点 ，且在任意一点 处的切线斜率为 的曲线方程为.
2. （3分） .
3. （3分） =.
4. （3分） 的极大值为.
三、计算题（共42分）
1.（6分）求
2.（6分）设 求
3.（6分）求不定积分
4.（6分）求 其中
(D)(D)若可积函数 为奇函数,则 也为奇函数.
4.设 ,则 是 的（C）.
(A)连续点;(B)可去间断点;
(C)跳跃间断点;(D)无穷间断点.
高等数学学期期末考试题(含答案_全)
高数(2-3)下学期期末试题 (A 卷)专业 ____________ 姓名 ______________ 学号 ________________《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位”一,填空题 (每题4分,共32分)1. 213______4x y kx y z k π+-=-==若平面与平面成角,则 1/42. 曲线20cos ,sin cos ,1tu tx e udu y t t z e ==+=+⎰ 在t = 0处的切线方程为________________3. 方程z e xyz =确定隐函数z = f (x,y )则z x∂∂为____________4.(),dy f x y dx ⎰1交换的积分次序为_________________________5．()2221,L x y x y ds +=-=⎰L 已知是圆周则 _________π-6. 收敛7. 设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径是2,则幂级数210n n n a x ∞+=∑的收敛半径是8. ()211x y ''+=微分方程的通解是()2121arctan ln 12y x x c x c =-+++_______________________ 二．计算题 (每题7分,共63分)1．讨论函数 f ( x, y ) = 221,x y+ 220x y +≠, f ( 0 , 0 ) = 0在点（ 0 , 0 ）处的连续性，可导性及可微性。
P 。
3302．求函数2222z y x u ++=在点)1,1,1(0P 处沿O P 0方向的方向导数，其中O 为坐标原点。
3．212.1n n n n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑判别级数的敛散性 P ．544 012112x y z ---==zz yz x e xy ∂=∂-211sin ____________1n n n ∞=++∑级数的敛散性为4．设u=),(z y xy f +，),(t s f 可微，求du dzf dy f x f dx y f '+⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'+⋅'2211.5．,,3622欲造一无盖长方形容器,已知其底部造价为3元/m 側面造价为1元/m 现想用元造一容积最大的容器,求它的尺寸.答：长宽为2M ，高为3M 。
大一高等数学期末考试试卷及复习资料详解
大一高等数学期末考试试卷及复习资料详解大一高等数学期末考试试卷（一）一、选择题（共12分）1.（3分）若/3= 2XXV0,为连续函数,则d的值为（）.a+ x,x>0（A）I （B） 2 （C）3 （D）-I2.（3分）已知厂⑶=2,则Ii y "7⑶的值为（）.λ→0 2hOOl （B） 3 （C）-I （D）I23.（3分）定积分∫>Λ∕1-COS23Xdx的值为（）•■⑷ 0 （B）-2 （C）I （D） 24.（3分）若/⑴在“勺处不连续,则/3在该点处（）・（A）必不可导（B）—定可导（C）可能可导（D）必无极限二、填空题（共12分）1.（3分）平面上过点（0,1）,且在任意一点（Λ∙,y）处的切线斜率为3疋的曲线方程为_________________________ .2.（ 3 分）∫ ι（x2+x4 Sin XyIX = _______ 1-3.（3 分）IilnX2 Sin丄= ・.r→υX4.（3分）y = 2√ -3√的极大值为________________ —2 （6分）设尸冕,求*JT + 1三、计算题（共42分）1.（6 分）求Iim史S.∙*→υ Sin 3x^3.（6分）求不定积分JXIn（I+十）厶.x .v<ι4.（6 分）求J /（X-1）JΛ∖其中/（x）= < l + cosχ,e' +l,x> 1.5.（6分）设函数y = f（x）由方程JO e,M + ［cos∕d∕ = 0所确定,求dy.6.（ 6 分）设 f f{x）dx = Sin + C,求j + 3）dx.7.（6 分）求极限IinJI÷-Γn→30k 2/7 7四、解答题（共28分）1.（7 分）设,Γ（lnx） = l+x,且/（0） = 1,求32.（7分）求由曲线y = cosx［-^-<x<^及X轴所围成图形绕着X轴旋I 2 2）转一周所得旋转体的体积.3.（7分）求曲线y = x3-3√÷24x-19在拐点处的切线方程•4.（7分）求函数y = x + √∏7在［-5,1］上的最小值和最大值.五、证明题（6分）设厂（X）在区间［“］上连续,证明i a f^dx = ¥ ［/（“） + f（b）］+1 ［（X - a）（x - b）fj）dx.（二）一、填空题（每小题3分，共18分）1.设函数/（χ）= 2χ2~1 ,则"1是心）的第_________ 类间断点.X -3x + 23.=∙v→∞V X)4・ 曲线 V 在点(扣)处的切线方程 为 ・5 .函数J = 2X 3-3X 2在［-1,4］上的最大值 _________________ ,最小值 __________ .二、 单项选择题(每小题4分，共20分)1.数列&”｝有界是它收敛的( )•(A)必要但非充分条件； (C)充分必要条件； 2.下列各式正确的是((B)充分但非必要条件; (D)无关条件.)・(A) je-χdx=e"x+C i(B) J In X(IX = _ + C ; (C)JI 2∕x=2hl (l 2x)+C ；(D) f —5—JX = Inlllx+ C ・' ,J XInX3-设/(x)在RM 上，广(x)>O 且厂(x)>0,则曲线y = f(x)在［“问上•6.∣∙arctanx J l +x 2(IX(小沿X轴正向上升且为凹(B)沿兀轴正向下降且为凹的；的；(D)沿X轴正向下降且为凸(C)沿兀轴正向上升且为凸的；的.则/(x)在兀=0处的导? :( )•4. 设/(*)=XInX ’⑷等于1;（C）等于O ；（D）不存在•5.已知Ihn/（x）= 2,以下结论正确的是（）•G）函数在工=1处有定义且/（1）=2 ; （B）函数在；V = I处的某去心邻域内有定义；（C）函数在2 1处的左侧某邻域内有定义；（D）函数在21处的右侧某邻域内有定义.三、计算（每小题6分，共36分）1.求极限:HlnX2 sinx→0X2.已知y = ln（l + χ2）,求几3.求函数J = >0）的导数.5.J X COS XdX ・丄 16.方程y x =X y确定函数y = f（x）f求八四、（H）分）已知/为/（X）的一个原函数，求∫x2∕（x}∕x.五、（6分）求曲线,=壮7的拐点及凹凸区间.六、（10 分）设J广（√∑）/X = X（e、' +1）+C ,求/（X）・（三）填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）・±J_(1)⅛(COSX)r = ________ 石________ .(2)曲线A = Xlnx上及直线X-y + l= °平行的切线方程为y =x-∖(3 )已知f f(e x) = xe~x,且/(D = O ,则大一高等数学期末考试试卷及复习资料详解/(X)= _________ /Cv)= 2(In X)________ .X 211(4)曲线V =3777的斜渐近线方程为 _______ V= 3Λ^9,二、选择题(本题共5小题，每小题4分，共20分)・(1)下列积分结果正确的是(D )(2)函数/W 在［恥］内有定义，其导数广⑴的图形如图1-1所示, 则(D ) •(A)刁宀都是极值点.⑻ g ，/3))，(£，/(£))都是拐点.(C) F 是极值点.，U 是拐点. (D) WJy))是拐点，勺是极值点.(3) 函数y = qe v ÷C 2e-÷A -e'满足的一个微分方程是(D ).(A) /-y-2>∙ = 3xe t . (B) /-y-2y = 3e v . (C) / + y-2y = 3Λ∙e c .(D) / + y~2y = 3e r .lim∕(⅞)-∕(⅞~z0 (4) 设/W 在％处可导，则I h 为(A ) •⑷ 广仇). (B) -f ,M.(C) O. (D)不存在.(5)下列等式中正确的结果是((A) (J* /(x)"∙χ)'Z=/W-(C) 町 /(χ)"χ]=/W -) 微分方程= (V+1)-的通解为三、计算J (本 共4小题，每小题6分，共24分).y =3 _5 "3 O(或令 √Γ+χ = r)四、解答题（本题共4小题，共29分）•1. （本题6分）解微分方程r-5∕÷6j = xe -.解：特征方程r 2-5r + 6 = 0 ------------- 1分 特征解斤=2,r 2 =3. ------------ 1分 3x大一高等数学期末考试试卷及复习资料详解 恤（丄—丄）1∙求极限j X-I In —X 11. xlnx-x+1Iim (—— _ ——)IIm ---------In XIUn I XTl x-1 I---- + In xh ∖x Iim x →,X -1 + xln1.1 + In X 1 IUn -------- =— j 1 + In X +1 2Λ = In Sin t2.方程尸COSWSinf 确定V 为X 的函数,dy y ,(f)-=-一 =∕sm∕, 解 JX 十⑴求dx 及Jx 2 .（3分） (6分)arctan JX3. 4.计算不定积分J石(1+『. arctanA∕√7—— (i + χ)=21 arctan √7t∕ arctan y ∕x ——解 Hatan 仇=2 J √x(l + x)=(arctan2+C ——「一 dx4.计算定积分如+曲.'3χ(l -VTTX) 0解 分）oT7⅛7_ V dx = 一J(：(I-、/i+x)〃X（6分）LL i∖l4/1 «\ ? r V 八2.(本题7分)一个横放着的圆柱形水桶(如图4-1),桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R ,水的比重为乙计算桶的一端面上所受的压力.解：建立坐标系如图3.(本题8分)设/B在S】上有连续的导数，f(u) = f(b) = θ9且∫O∕2(X)JΛ =1^试求∫>∕ω∕解:J：Xf(X)f∖x)dx = £ Xf(X)df(x) 2 分= -∫n^^W ------------ 2 分=IV 2(Λ-)⅛-|£72(X)厶一一2 分4.(本题8分)过坐标原点作曲线＞, = h^的切线，该切线及曲线y =lnx及X轴围成平面图形D.⑴(3) 求D的面积A;⑵(4) 求D绕直线X = e旋转一周所得旋转体的体积V.解:(1)设切点的横坐标为"，则曲线y = In Λ在点(⅞Jn ⅞)处的切线方程y = Inx0 + —(X-X0).氐__I分由该切线过原点知山心-1 = 0,从而心=匕所以该切线的方程为1y = -X.平面图形D的面积1V = -X(2)切线"及X轴及直线Xe所围成的三角形绕直线Xe旋转V I = -7te1所得的圆锥体积为,3 2分曲线尸IZ及X轴及直线所围成的图形绕直线Xe旋转所得的旋转体体积为V2=(oπ(e-e>)2dy9】分因此所求旋转体的体积为V=V l-V2=-^2-e y)2dy = -(5e2-∖2e + 3).五、证明题(本题共1小题，共7分)•1.证明对于任意的实数Y , eJl + x.e x = l + x + —Λ2≥l + x2解法二设fM = e x-x~^则/(0) = 0.因为f f M = e x-∖. 1 分当Xno时，f,M≥o.f(χ)单调增加，/(χ)≥∕(θ)=o.当x≤0时，∕,ω≤0.∕(Λ∙)单调增加，/(X)≥/(0) =0. 所以对于任意的实数X, ∕3≥°∙即e'≥l + I 解法三：由微分中值定理得，R -1 = “ -60 =^(X-O) = ^Xt 其中§位于0 到X 之一1分2分A = V -ey)dy = ~e~^∙解法一:2分2分1分2分间。
吉大《高等数学(理专)》作业考核试题满分答案
答案：C
1
函数y=sinx没有拐点存在。（）
A错误
B正确
答案：A
2
一元函数可导的充要条件是左右导数都存在且相等。
A错误
B正确
答案：B
3
函数y=sinx没有拐点存在。（）
A错误
B正确
答案：A
4
复合函数对自变量的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对
3
下列函数中（）是奇函数
A xsinx
B x+cosx
C x+sinx
D |x|+cosx
答案：C
设f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3),则f’(0)=( )
A -6
B -2
C 3
D -3
答案：A
5
已知函数y= 2cos3x-5e2x,则x=0时的微分dy=（）
A 10
B 10dx
C -10
答案：A
13
已知f(x)的一个原函数是e^(-x),则∫xf'(x)dx等于（）
A xe^(-x)+e^(-x)+C
B xe^(-x)-e^(-x)+C
C -xe^(-x)-e^(-x)+C
D -xe^(-x)+e^(-x)+C
答案：C
14
集合B是由能被3除尽的全部整数组成的，则B可表示成
A {3，6，…，3n}
D -10dx
答案：D
6
集合A={±2，±3，±4，±5，±6}表示
A A是由绝对值小于等于6的全体整数组成的集合
B A是由绝对值大于等于2，小于等于6的全体整数组成的集合
高等数学下期末试题(七套附答案)
高等数学（下）试卷一一、 填空题（每空3分，共15分）（1）函数z =的定义域为 （2）已知函数arctany z x =，则zx ∂=∂（3）交换积分次序，2220(,)y y dy f x y dx⎰⎰＝（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰（5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩，平面π为4220x y z -+-=，则（ ） A. L 平行于π B. L 在π上 C. L 垂直于π D. L 与π斜交（2）设是由方程xyz =(1,0,1)-处的dz =（ ）A.dx dy +B.dx ++D.dx （3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将22()x y dv Ω+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为（ ） A.2253d r dr dzπθ⎰⎰⎰ B.2453d r dr dzπθ⎰⎰⎰ C.2253502rd r dr dzπθ⎰⎰⎰ D. 22520d r dr dzπθ⎰⎰⎰（4）已知幂级数，则其收敛半径（ ）A. 2B. 1C. 12D.（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *=（ ）A.B.()x ax b xe +C.()xax b ce ++D.()xax b cxe ++三、计算题（每题8分，共48分）1、 求过直线1L :123101x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z+-==的平面方程 2、 已知22(,)z f xy x y =，求zx ∂∂， z y ∂∂3、 设22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求2Dx dxdy ⎰⎰4、 求函数22(,)(2)x f x y e x y y =++的极值5、计算曲线积分2(23sin )()yL xy x dx x e dy ++-⎰， 其中L 为摆线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩从点(0,0)O 到(,2)A π的一段弧6、求微分方程 xxy y xe '+=满足 11x y ==的特解四.解答题（共22分）1、利用高斯公式计算22xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰，其中∑由圆锥面z =与上半球面z =所围成的立体表面的外侧 (10)' 2、（1）判别级数111(1)3n n n n∞--=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6'）（2）在(1,1)x ∈-求幂级数1nn nx∞=∑的和函数（6'）高等数学（下）试卷二一．填空题（每空3分，共15分）（1）函数z =的定义域为 ； （2）已知函数xyz e =，则在(2,1)处的全微分dz = ；（3）交换积分次序，ln 1(,)e x dx f x y dy⎰⎰＝ ；（4）已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧，则=⎰；（5）已知微分方程20y y y '''-+=，则其通解为 .二．选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，平面π为10x y z --+=，则L 与π的夹角为（ ）；A. 0B. 2πC. 3πD. 4π（2）设是由方程333z xyz a -=确定，则z x ∂=∂（ ）；A. 2yz xy z -B. 2yz z xy -C. 2xz xy z -D. 2xy z xy -（3）微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *=（ ）；A.2()x ax b e +B.2()x ax b xe +C.2()x ax b ce ++D.2()xax b cxe ++ （4）已知Ω是由球面2222x y z a++=所围成的闭区域, 将dv Ω⎰⎰⎰在球面坐标系下化成三次积分为（ ）； A222sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰ B.220ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰C.20ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰ D.220sin a d d r drππθϕϕ⎰⎰⎰（5）已知幂级数1212nnn n x ∞=-∑，则其收敛半径（ ）.B. 1C. 12 D.三．计算题（每题8分，共48分）5、 求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .6、 已知(sin cos ,)x yz f x y e +=，求zx ∂∂， z y ∂∂ .7、 设22{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤，利用极坐标计算arctanDydxdy x ⎰⎰ .8、 求函数22(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 9、 利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)xx Ley y dx e y dy-+-⎰，其中L 为沿上半圆周222(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段.6、求微分方程 32(1)1y y x x '-=++的通解.四．解答题（共22分）1、（1）（6'）判别级数11(1)2sin3n n n n π∞-=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（2）（4'）在区间(1,1)-内求幂级数1nn x n ∞=∑的和函数 .2、(12)'利用高斯公式计算2xdydz ydzdx zdxdy∑++⎰⎰，∑为抛物面22z x y =+(01)z ≤≤的下侧高等数学（下）模拟试卷三一． 填空题（每空3分，共15分）1、 函数arcsin(3)y x =-的定义域为 .2、22(2)lim 332n n n n →∞++-= .3、已知2ln(1)y x =+，在1x =处的微分dy = . 4、定积分1200621(sin )x x x dx -+=⎰.5、求由方程57230y y x x +--=所确定的隐函数的导数dydx =.二．选择题（每空3分，共15分）1、2x =是函数22132x y x x -=-+的 间断点 （A ）可去 （B ）跳跃 （C ）无穷 （D ）振荡2、积分1⎰= .(A) ∞ (B)-∞(C) 0 (D) 13、函数1xy e x =-+在(,0]-∞内的单调性是 。