【新教材】新人教B版 高中数学必修第二册 6.2.3 平面向量的坐标及其运算 课件
第6章 6.2 6.2.3 平面向量的坐标及其运算-(新教材)人教B版(2019)高中数学必修第二册
(1)A [以向量 a，b 公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系， 因为 e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，
所以 2a＝(2,1)，b＝(1,3)， 所以 2a＋b＝(2,1)＋(1,3)＝(3,4)，即 2a＋b 在平面直角坐标系中 的坐标为(3,4)，故选 A.
]
(2)[解] ①作 AM⊥x 轴于点 M(图略)，
3，即
b＝－32，3
2
3.
②由①知B→A＝－A→B＝－b＝32，－3
2
3.
③O→B＝O→A＋A→B＝(2
2，2
2)＋－32，3
2
3
＝2
2－32，2
2＋3
2
3，
所以点 B 的坐标为2
2－32，2
2＋3
2
3.
求向量坐标的三个步骤
[跟进训练] 1．在直角坐标系 xOy 中，向量 a，b，c 的方 向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算 出它们的坐标． [解] 设 a＝(x1，y1)， 则 x1＝2·cos 45°＝ 2，y1＝2·sin 45°＝ 2， ∴a＝( 2， 2)．
[解] (1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3) ＝(－7，－1)． (3)21a－13b＝12(－1,2)－13(2,1) ＝－12，1－23，13＝－76，23.
向量坐标运算的综合应用 [探究问题] 1．已知点 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及O→P＝O→A＋tA→B.当 t 为何值 时，点 P 在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？点 P 在第二象限？ [提示] ∵O→P＝O→A＋tA→B＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)． 若点 P 在 x 轴上，则 2＋3t＝0，
新课程必修第二册《6.2 平面向量的运算》核心素养教学设计(4课时)
6.2.1 向量的加法运算本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是本章第2课时，《向量的加法》是第六章平面向量的线性运算的第一节课。
本节内容有向量加法的平行四边形法则、三角形法则及应用,向量加法的运算律及应用,大约需要1课时。
向量的加法是向量的线性运算中最基本的一种运算，向量的加法为后面学习减法运算、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和,在空间向量与立体几何中有很普遍的应用。
所以本课在平面向量及空间向量中有很重要的地位。
A.理解向量加法的意义；B.掌握向量加法的几何表示法，理解向量加法的另两个运算法则；C.理解向量的运算律；D.理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强学生的应用意识。
1.教学重点：两个向量的和的概念及其几何意义；2.教学难点：向量加法的运算律。
多媒体一、复习回顾，温故知新1. 向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？ 【答案】向量：既有方向又有大小的量。
平行向量：方向相同或相反的向量。
相等向量：方向相同并且长度相等的向量。
2. 用有向线段表示向量，向量的大小和方向 是如何反映的？什么叫零向量和单位向量？【答案】向量的大小：有向线段的长度。
向量的方向：有向线段的方向。
零向量：长度为零的向量叫零向量；单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量。
二、探索新知思考1：如图，某质点从点A 经过点B 到点C ，则这个质点的位移怎么表示？【答案】 从运算的角度看， AC 可以认为是AB 与BC 的和，即位移、可以看作向量的加法。
1.已知向量a 和b ，如图在平面内任取一点O ，作b AB a OA ==,，则向量OB 叫做a 和b 的和，记作b a +．即OB AB OA b a =+=+。
求两个向量和的运算叫做向量的加法.根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．【口诀】首尾相连首尾连。
人教B版必修第二册6.2.3第1课时平面向量的坐标及其运算、两点间的距离公式与中点坐标公式学案
6.2.3平面向量的坐标及其运算第1课时平面向量的坐标及其运算、两点间的距离公式与中点坐标公式(教师独具内容)课程标准：1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.2.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.教学重点：1.了解正交基底，掌握向量的正交分解及坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.掌握平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式.教学难点：平面向量坐标运算的应用.知识点一平面向量的坐标(1)向量的垂直平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a与b□01垂直，记作□02a⊥b.(2)正交基底：如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为□03正交基底．(3)正交分解：在正交基底下向量的分解称为向量的□04正交分解．(4)坐标的定义①给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝x e1＋y e2，则称□05(x，y)为向量a的坐标，记作□06a＝(x，y)．②如图，在平面上指定一点O作为原点，以e1的方向为x轴的正方向，以e2的方向为y轴的正方向，以e1(或e2)的模为单位长度建立平面直角坐标系，对于平面上任意一个向量a，如果我们把它的始点平移到原点O，那么a的□07终点对应的坐标就是向量a的坐标．(5)向量的坐标表示若OA →＝x e 1＋y e 2＝(x ，y )，则□08OA →的坐标为(x ，y )⇔□09点A 的坐标为(x ，y )．知识点二 向量的运算与坐标的关系 (1)向量坐标的运算已知平面上的两个向量a ，b ，满足a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．①a ＝b ⇔□01x 1＝x 2且y 1＝y 2.即平面上两个向量相等的充要条件是□02它们的坐标对应相等．②a ＋b ＝□03(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． ③u a ＋v b ＝□04(ux 1＋v x 2，uy 1＋v y 2)． ④u a －v b ＝□05(ux 1－v x 2，uy 1－v y 2)． (2)向量的模向量a ＝(x ，y )，则|a |＝□06x 2＋y 2.知识点三 两点之间的距离公式与中点坐标公式 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为平面直角坐标系中的两点． (1)两点之间的距离公式 AB ＝|AB →|＝□01 (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)中点坐标公式设线段AB 的中点为M (x ，y )，则x ＝□02x 1＋x 22，y ＝□03y 1＋y 22.1．求平面上向量坐标的三种方法 (1)将向量用单位向量e 1，e 2表示出来；(2)将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标； (3)用向量终点的坐标减去始点的坐标． 2．向量的坐标与点的坐标的区别(1)当且仅当向量的始点为坐标原点时，向量坐标与终点坐标相同． (2)(x ，y )在直角坐标系中有双重含义，既可以表示一个点，也可以表示一个向量．为了区分，我们通常说点(x ，y )，向量(x ，y )．(3)向量坐标前带“＝”而点的坐标前不带． 注意：两个相等向量的始点和终点可以不同．3．向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．若a ＝(a 1，a 2)，则将a 任意平移后其坐标仍为(a 1，a 2)．4．通过平面直角坐标系，可以将平面内任一向量用一个有序实数对来表示；反过来，任一有序实数对也表示一个向量．也就是说，一个平面向量就是一个有序实数对．这样就可以把许多几何问题代数化．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)把一个向量分解成两个互相垂直的基向量，叫做向量的正交分解．( ) (2)AB→＝(－2，－1)即表示B (－2，－1)，A (0,0)．( ) (3)两个相等向量的始点和终点相同．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知AB→＝(x ，y )，B 的坐标是(－2,1)，那么OA →的坐标为________．(2)在平面直角坐标系内，已知i ，j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若a ＝i －2j ，则向量用坐标表示为a ＝________.(3)若点A (3,5)，B (2,1)，则向量AB→的坐标为________．(4)若a ＝(3,2)，b ＝(0，－1)，则2b －a 的坐标是________． 答案 (1)(－2－x,1－y ) (2)(1，－2) (3)(－1，－4) (4)(－3，－4)题型一 平面向量的坐标表示例1 已知向量e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论：①存在唯一的一对实数x ，y ，使得a ＝(x ，y )；②若x 1，x 2，y 1，y 2∈R ，a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2； ③若x ，y ∈R ，a ＝(x ，y )，且a ≠0，则a 的始点是原点O ； ④若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )． 其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 由平面向量基本定理，知①正确；例如，a ＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a ＝(x ，y )与a 的始点是不是原点无关，故③错误；当a 的终点坐标是(x ，y )时，a ＝(x ，y )是以a 的起点是原点为前提的，故④错误．[答案] A向量的坐标与其终点的坐标不一定相同．由于向量的起点可以任意选取，如果向量是以坐标原点为始点的，则向量的坐标就与其终点的坐标相同；如果向量不以坐标原点为始点，则向量的坐标就与其终点的坐标不同．如图，分别用单位正交基底{i ，j }表示向量a ，b ，c ，d ，并求出它们的坐标．解 由图可知a ＝AA 1→＋AA 2→＝2i ＋3j ，∴a ＝(2,3)． 同理可得b ＝－2i ＋3j ＝(－2,3)， c ＝－2i －3j ＝(－2，－3)， d ＝2i －3j ＝(2，－3).题型二 平面向量的坐标运算例2 设向量a ，b 的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求下列各向量的坐标． (1)a ＋b ；(2)a －b ；(3)3a ；(4)2a ＋5b .[解] (1)a ＋b ＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)． (2)a －b ＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)． (3)3a ＝3(－1,2)＝(－3,6)．(4)2a ＋5b ＝2(－1,2)＋5(3，－5)＝(－2,4)＋(15，－25)＝(13，－21)．平面向量坐标的线性运算(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及数乘的运算法则进行． (2)向量坐标的线性运算可完全类比数的运算进行．(1)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则|c |＝________； (2)已知向量a ＝(x 2－3x －4，x ＋3)，b ＝(0,2)，若a ＝b ，求x 的值． 答案 (1)1853 (2)见解析解析 (1)由已知得3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)，所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43， ∴|c |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1332＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝1853. (2)根据“两向量相等，则其对应坐标相等”列方程组求解．∵a ＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －4＝0，x ＋3＝2，解得x ＝－1.题型三 两点间的距离公式与中点坐标公式例3 已知平面内的三个点A (1，－2)，B (7,0)，C (－5,6)． (1)求AB→＋12AC →的坐标；(2)求AB ＋AC 的长．[解] (1)∵A (1，－2)，B (7,0)，C (－5,6)，∴AB→＝(7－1,0＋2)＝(6,2)，AC →＝(－5－1,6＋2)＝(－6,8)．∴12AC →＝(－3,4)，∴AB →＋12AC →＝(6,2)＋(－3,4)＝(3,6)． (2)由两点间的距离公式得， AB ＝(7－1)2＋(0＋2)2＝36＋4＝210. AC ＝(－5－1)2＋(6＋2)2＝36＋64＝10.∴AB ＋AC ＝10＋210. 故AB ＋AC 的长为10＋210.(1)在求一个向量的坐标时，可以先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再用终点坐标减去始点坐标即可得到该向量的坐标．(2)求线段的长度时，注意利用两点间的距离公式求解．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，点M 为BC 的中点．(1)求点M 的坐标； (2)求BC ＋2BM 的长．解 (1)设C (x ，y )，则AC →＝(x －0，y －1)＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y －1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，所以C (－4，－2)，由中点坐标公式知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－42，2－22， 即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.(2)由两点间的距离公式，可知 BC ＝(－4－3)2＋(－2－2)2＝49＋16＝65. BM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32＋(0－2)2＝494＋4＝652.∴BC ＋2BM ＝65＋65＝265. ∴BC ＋2BM 的长为265.题型四 平面向量坐标运算的应用例4 已知平面上三个点的坐标为A (3,7)，B (4,6)，C (1，－2)，求点D 的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．[解] 设点D 的坐标为(x ，y )，(1)当平行四边形为ABCD 时，AB →＝DC →，∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＝1，－2－y ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.∴D (0，－1)； (2)当平行四边形为ABDC 时，同(1)可得D (2，－3)； (3)当平行四边形为ADBC 时，同(1)可得D (6,15)． 综上所述，点D 可能为(0，－1)或(2，－3)或(6,15)．1.进行向量坐标运算的常见方法(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后进行向量的坐标运算，另外，解题过程中要注意方程思想的运用．(2)利用向量的坐标运算解题，主要是根据相等向量的坐标对应相等这一原则，通过列方程(组)进行求解．(3)利用坐标运算求向量的基底表示，一般是先求出基底向量和被表示向量的坐标，再利用待定系数法求出相应系数．2．利用向量的坐标运算求参数的思路已知含参数的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题，其本质是向量坐标运算的运用，用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用该点的位置确定其横、纵坐标应满足的条件，建立关于参数的方程(组)或不等式(组)进行求解．在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1,2)，B (4,3)，C (3,6)，AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )．(1)试求实数λ为何值时，点P 在第二、四象限的角平分线上； (2)试求实数λ为何值时，点P 在第三象限内．解 设P (x ，y )，因为AP→＝AB →＋λAC →，所以OP →＝O A →＋AP →＝O A →＋AB →＋λAC →＝OB →＋λAC →＝(4,3)＋λ(4,4)＝(4＋4λ，3＋4λ)．(1)因为点P 在第二、四象限的角平分线上，所以x ＝－y ，所以4＋4λ＝－(3＋4λ)，解得λ＝－78，所以当λ＝－78时，点P 在第二、四象限的角平分线上． (2)因为点P 在第三象限内，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，y <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＋4λ<0，3＋4λ<0，解得λ<－1.所以当λ<－1时，点P 在第三象限内．1．已知MA →＝(－2,4)，MB →＝(2,6)，则12AB →＝( ) A ．(0,5) B ．(0,1) C ．(2,5) D ．(2,1)答案 D解析 ∵AB →＝MB →－MA →＝(2,6)－(－2,4)＝(4,2)，∴12AB →＝(2,1)．2．若向量a ＝(x －2,3)与向量b ＝(1，y ＋2)相等，则x ＝________，y ＝________. 答案 3 1解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝1，3＝y ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.3．如下图，向量a ，b ，c 的坐标分别是________、________、________.答案 (－4,0) (0,6) (－2，－5)解析 解法一：将各向量向基底所在直线分解． a ＝－4i ＋0j ，∴a ＝(－4,0)． b ＝0i ＋6j ，∴b ＝(0,6)， c ＝－2i －5j ，∴c ＝(－2，－5)．解法二：分别将向量a ，b ，c 的始点平移到原点，则终点坐标即为向量的坐标，得a ＝(－4,0)，b ＝(0,6)，c ＝(－2，－5)．解法三：根据一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标，知a ＝(－6,2)－(－2,2)＝(－4,0)；b ＝(2,6)－(2,0)＝(0,6)；c ＝(－3，－6)－(－1，－1)＝(－2，－5)．4．设AB →＝(－2，－5)，B 点坐标为(－1,3)，则A 点坐标为________． 答案 (1,8)解析 设A (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧－1－x ＝－23－y ＝－5，解得x ＝1，y ＝8，即A (1,8)．5．已知a ＋b ＝(2，－8)，a －b ＝(－8,16)，求a 和b . 解 解法一：设a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，则有⎩⎨⎧m ＋p ＝2，n ＋q ＝－8，m －p ＝－8，n －q ＝16，解得⎩⎨⎧m ＝－3，n ＝4，p ＝5，q ＝－12.所以a ＝(－3,4)，b ＝(5，－12)． 解法二：a ＝12[(a ＋b )＋(a －b )]＝(－3,4)，1b＝2[(a＋b)－(a－b)]＝(5，－12)．。
2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.2.3平面向量的坐标及其运算课件新人教B版
类型二 向量的坐标运算(数学运算) 【典例】已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且 C M ＝ 3 C A ， C N ＝ 2 C B ， 求M,N及 M N 的坐标. 【思路导引】方法一:先求 C A , C B ,设出M,N的坐标,根据 C M ＝ 3 C A ， C N ＝ 2 C B 列方程求解. 方法二:设O为坐标原点,用向量线性运算的几何意义直接计算 O M , O N 的坐标.
2.平面上向量的运算与坐标的关系
(1)向量加法与减法运算
设a=(x1,y1), b=(x2,y2),则 ①a+b=_(_x_1+_x_2_,_y_1_+_y_2)_, ②a-b=_(_x_1-_x_2_,_y_1_-_y_2)_, ③λa=_(_λ__x_1,_λ__y_1_)_.
④向量相等的充要条件:a=b⇔_x_1=_x__2 且_y_1_=_y_2 . ⑤ua+vb=(u x1+v x2,u y1+v y2); ⑥ua-vb=(u x1-v x2,u y1-v y2). (2)模长公式:设a=(x,y),则|a|= x 2 y 2 .
3.如图,在平面直角坐标系xOy中,OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°,O A =a, A B =b.四边形OABC为平行四边形.
(1)求向量a,b的坐标; (2)求向量 B A 的坐标; (3)求点B的坐标.
【解题策略】 求向量坐标的方法 (1)定义法:将向量用两个相互垂直的单位向量e1,e2表示出来. (2)平移法:把向量的始点移至坐标原点,终点坐标即为向量的坐标. (3)求差法:先求出这个向量的始点、终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标 即得该向量的坐标.
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第章向量基本定理【新教材】人教B版高中数学必修第二册课件
思考 2：设 e1，e2 是平面向量的一组基底，则 e1，e2 中可能有零 向量吗？平面向量的基底唯一吗？
[提示] 平面向量基本定理的前提条件是 e1，e2 不共线，若 e1， e2 中有零向量，而零向量和任意向量共线，这与定理的前提矛盾， 故 e1，e2 中不可能有零向量；同一平面的基底可以不同，只要它们 不共线．
条件一 平面内任一向量 a 和同一平面内两个不共线向量 e1，e2
条件二
a＝λ1e1＋μ1e2 且 a＝λ2e1＋μ2e2
结论
λμ11＝＝λμ22，
2．任意一向量基底表示的唯一性的应用 平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平 面内两个不共线向量 e1，e2 的线性组合 λ1e1＋λ2e2.在具体求 λ1，λ2 时 有两种方法： (1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理． (2)利用待定系数法，即利用定理中 λ1，λ2 的唯一性列方程组求 解．
2．平面向量基本定理 如果平面内两个向量 a 与 b 不共线，则对该平面内任意一个向 量 c，存在唯一的实数对(x，y)，使得 c＝__xa＋yb______. 3．基底 平面内不共线的两个向量 a 与 b 组成的集合{a，b}，常称为该 平面上向量的一组基底，如果 c＝xa＋yb，则称___xa＋yb ______为 c 在基 底{a，b}下的分解式．
2．平面向量基本定理的实质是什么？ [提示] 平面向量基本定理的实质是把任一向量两个方向进行 分解．
【例 3】 平面内有一个△ABC 和一点 O(如图)， 线段 OA，OB，OC 的中点分别为 E，F，G，BC， CA，AB 的中点分别为 L，M，N，设O→A＝a，O→B＝ b，O→C＝c.
(1)试用 a，b，c 表示向量E→L，F→M，G→N； (2)求证：线段 EL，FM，GN 交于一点且互相平分．
人教B版(2019)高中数学必修第二册课程目录与教学计划表
人教B版（2019）高中数学必修第二册课程目录与教学计划表教材课本目录是一本书的纲领，是教与学的路线图。
不管是做教学计划、实施教学活动，还是做学习计划、复习安排、工作总结，都离不开目录。
目录是一本书的知识框架，要做到心中有书、胸有成竹，就从目录开始吧！课程目录教学计划、进度、课时安排第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1指数与指数函数4.1.1 实数指数幂及其运算4.1.2 指数函数的性质与图像本节综合与测试4.2对数与对数函数4.2.1对数运算4.2.2对数运算法则4.2.3对数函数的性质与图像本节综合与测试4.3指数函数与对数函数的关系4.4幂函数4.5增长速度的比较4.6函数的应用(二)4.7数学建模活动:生长规律的描述本章综合与测试第五章统计与概率5.1统计5.1.1 数据的收集5.1.2 数据的数字特征5.1.3 数据的直观表示5.1.4用样本估计总体本节综合与测试5.2数学探究活动:由编号样本估计总数及其模拟5.3概率5.3.1样本空间与事件5.3.2事件之间的关系与运算5.3.3古典概型5.3.4频率与概率5.3.5随机事件的独立性本节综合与测试5.4统计与概率的应用本章综合与测试第六章平面向量初步6.1平面向量及其线性运算6.1.1 向量的概念6.1.2向量的加法6.1.3向量的减法6.1.4 数乘向量6.1.5向量的线性运算本节综合与测试6.2向量基本定理与向量的坐标6.2.1 向量基本定理6.2.2 直线上向量的坐标及其运算6.2.3平面向量的坐标及其运算本节综合与测试6.3平面向量线性运算的应用本章综合与测试本册综合。
高中数学第6章6.2.3课时33平面向量的坐标及其运算两点间的距离公式与中点坐标公式人教B版必修第二册
课时33 平面向量的坐标及其运算、两点间的距离公式与中点坐标公式知识点一 平面向量的坐标1.如下图，向量a ，b ，c 的坐标分别是________、________、________.答案 (－4,0) (0,6) (－2，－5) 解析 将各向量向基底所在直线分解．a ＝－4i ＋0j ，∴a ＝(－4,0)，b ＝0i ＋6j ，∴b ＝(0,6)，c ＝－2i －5j ，∴c ＝(－2，－5)．2．在平面直角坐标系中，点A (2,3)，B (－3,4)，如图所示，x 轴、y 轴正方向上的两个单位向量分别为i 和j ，则下列说法正确的是________(只填序号)．①OA →＝2i ＋3j ； ②OB →＝3i ＋4j ； ③AB →＝－5i ＋j ； ④BA →＝5i －j . 答案 ①③④解析 i ，j 互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有OA →＝2i ＋3j ，OB →＝－3i ＋4j ，AB →＝OB →－OA →＝－5i ＋j ，BA →＝OA →－OB →＝5i －j ，故①③④正确．知识点二 平面上向量的运算与坐标的关系3.设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b ＝( ) A ．(7,3) B ．(7,7) C ．(1,7) D ．(1,3)答案 A解析 a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．4．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则a ＋b ( ) A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线答案 C解析 因为a ＋b ＝(0,1＋x 2)，所以a ＋b 平行于y 轴．5．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 相等，则m n＝________，|n a ＋m b |＝________.答案 －1241解析 m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧2m －n ＝4，3m ＋2n ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－2，∴m n ＝－12. n a ＋m b ＝－2a ＋b ＝(－5，－4)，∴|n a ＋m b |＝|－2a ＋b |＝(－5)2＋(－4)2＝25＋16＝41. 知识点三 两点之间的距离公式与中点坐标公式6.在△ABC 中，已知点A (3,7)，B (－2,5)，若线段AC ，BC 的中点都在坐标轴上． (1)求点C 的坐标； (2)求△ABC 的三边长．解 (1)①若AC 的中点在y 轴上，则BC 的中点在x 轴上，设点C 的坐标为(x ，y )，由中点坐标公式得3＋x 2＝0，y ＋52＝0，∴x ＝－3，y ＝－5，即C 点坐标为(－3，－5)．②若AC 的中点在x 轴上，则BC 的中点在y 轴上，则同理可得C 点坐标为(2，－7)． 综上C 点坐标为(－3，－5)或(2，－7)． (2)当C 点坐标为(－3，－5)时，AB ＝(－2－3)2＋(5－7)2＝29， AC ＝(－3－3)2＋(－5－7)2＝65， BC ＝(－3＋2)2＋(－5－5)2＝101.当C 点坐标为(2，－7)时，AB ＝29，AC ＝(2－3)2＋(－7－7)2＝197， BC ＝(2＋2)2＋(－7－5)2＝410.7．已知在△ABC 中，A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M ，N 是AB ，AC 的中点，D 是BC 的中点，MN 与AD 交于点F ，求DF →.解 因为A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)， 所以AB →＝(－4，－3)，AC →＝(－3，－5)． 又因为D 是BC 的中点，有AD →＝12(AB →＋AC →)＝(－3.5，－4)，而M ，N 分别为AB ，AC 的中点，所以F 为AD 的中点． 故有DF →＝12DA →＝－12AD →＝(1.75,2)．知识点四 向量的坐标运算的应用8.已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，且OP →＝OA →＋tAB →，试问：(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．解 由已知得OA →＝(1,2)，AB →＝(3,3)， OP →＝(1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t )．(1)若点P 在x 轴上，则有2＋3t ＝0，t ＝－23；若点P 在y 轴上，则有1＋3t ＝0，t ＝－13；若点P 在第二象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0，解得－23<t <－13.(2) PB →＝OB →－OP →＝(4,5)－(1＋3t,2＋3t )＝(3－3t ，3－3t )，若四边形OABP 是平行四边形，则有OA →＝P B →，即有3－3t ＝1，且3－3t ＝2，这显然是不可能的，因此，四边形OABP 不可能是平行四边形．9．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2B ．(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求点M ，N 的坐标及MN →的坐标．解 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝(5，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)∵CM →＝OM →－OC →＝3c ，∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M (0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)．∴MN →＝(9，－18). 易错点 转换向量关系失误10.平面上有A (2，－1)，B (1,4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC →＝12BC →，连接DC 并延长至点E ，使|CE →|＝14|ED →|，则点E 的坐标为________．易错分析 连接DC 并延长至E ，即E 在DC 的延长线上，注意向量的方向不要判断错误．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－7 正解 设坐标原点为O ，∵AC →＝12BC →，∴OC →－OA →＝12(OC →－OB →)．∴OC →＝2OA →－OB →＝(3，－6)． ∴点C 的坐标为(3，－6)．又∵|CE →|＝14|ED →|，且E 在DC 的延长线上，∴CE →＝－14ED →.设E (x ，y )，则(x －3，y ＋6)＝－14(4－x ，－3－y )，得⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－14(4－x )，y ＋6＝－14(－3－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝83，y ＝－7，∴点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－7.一、选择题1．已知向量a ＝(－2,3)，b ＝(2，－3)，则下列结论正确的是( ) A ．向量a 的终点坐标为(－2,3) B ．向量a 的起点坐标为(－2,3)C ．向量a 与b 互为相反向量D ．向量a 与b 关于原点对称 答案 C解析 a ＝(－2,3)，b ＝(2，－3)，故a ＝－B ．故选C ． 2．已知a ＝(－2,3)，b ＝(1,5)，则3a ＋b 等于( ) A ．(－5,14) B ．(5,14) C ．(7,4) D ．(5,9)答案 A解析 3a ＋b ＝3(－2,3)＋(1,5)＝(－5,14)，故选A ．3．如图所示，{e 1，e 2}为正交基底，则向量2a ＋b 的坐标为( )A ．(3,4)B ．(2,4)C ．(3,4)或(4,3)D ．(4,2)或(2,4)答案 A解析 由图可知2a ＝2e 1＋e 2，b ＝e 1＋3e 2，所以2a ＋b ＝3e 1＋4e 2＝(3,4)．4．设向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,5)，c ＝(4，x )，若a ＋b ＝λc (λ∈R )，则λ＋x 的值是( )A ．－112B ．112C ．－292D ．292答案 C解析 a ＋b ＝(1,2)＋(－3,5)＝(－2,7)，λc ＝(4λ，x λ)，又a ＋b ＝λc ，故⎩⎪⎨⎪⎧－2＝4λ，7＝x λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝－14，则λ＋x ＝－292.5．已知M (2，－1)，N (0,5)，且点P 在MN 的延长线上，|MP |＝2|PN |，则P 点坐标为( ) A ．(－2,11)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，3C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3 D ．(－2,12)答案 A解析 因为P 在MN 的延长线上且|MP |＝2|PN |，所以MP →＝2NP →，则OP →－OM →＝2(OP →－ON →)， 所以OP →＝2ON →－OM →＝2(0,5)－(2，－1)， 即OP →＝(－2,11)． 二、填空题6．如图，正方形ABCD 中，O 为中心，且OA →＝(1,1)，试用基底向量i ，j 表示下列向量：OB →＝________，OC →＝________，AB →＝________，AC →＝________.答案 －i ＋j －i －j －2i －2i －2j 解析 如题图所示，OA →＝(1,1)＝i ＋j ， ∴OE →＝i ，EA →＝j .∴OF →＝－OE →＝－i ，FB →＝EA →＝j ，FC →＝－FB →＝－j .∴OB →＝OF →＋FB →＝－i ＋j ；OC →＝OF →＋FC →＝－i －j ；AB →＝OB →－OA →＝－i ＋j －(i ＋j )＝－2i . 同理，BC →＝OC →－OB →＝－i －j －(－i ＋j )＝－2j ，AC →＝AB →＋BC →＝－2i ＋(－2j )＝－2i －2j .7．已知a ＋b ＝(2，－8)，a －b ＝(－8,16)，则|a |＋|b |＝________. 答案 18解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝(2，－8)， ①a －b ＝(－8，16)， ②由①＋②得，a ＝(－3,4)， 由①－②得，b ＝(5，－12)．故|a |＋|b |＝(－3)2＋42＋52＋(－12)2＝5＋13＝18.8．已知点A (－1，－1)，B (1,3)，C (x,5)，若对于平面上任意一点O ，都有OC →＝λOA →＋(1－λ) OB →，λ∈R ，则x ＝________.答案 2解析 取O (0,0)，由OC →＝λOA →＋(1－λ) OB →得，(x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－λ＋(1－λ)，5＝－λ＋3(1－λ).解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝2.9．已知边长为1的正方形ABCD ，若点A 与坐标原点重合，边AB ，AD 分别落在x 轴、y 轴的正方向上，则向量2AB →＋3BC →＋AC →的坐标为________．答案 (3,4)解析 根据题意建立坐标系如图，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)．∴AB →＝(1,0)，BC →＝(0,1)，AC →＝(1,1)．∴2AB →＋3BC →＋AC →＝(2,0)＋(0,3)＋(1,1)＝(3,4)． 三、解答题10．(1)已知平面上三个点A (4,6)，B (7,5)，C (1,8)，求AB →，AC →，AB →＋AC →，AB →－AC →，2AB →＋12AC →的坐标； (2)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)，求向量a ＋b ，a －b,3a －4b 的坐标． 解 (1)∵A (4,6)，B (7,5)，C (1,8)． ∴AB →＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)； AC →＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)；AB →＋AC →＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)； AB →－AC →＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)； 2AB →＋12AC →＝2(3，－1)＋12(－3,2)＝(6，－2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－1.(2)a ＋b ＝(1,2)＋(－3,4)＝(－2,6)；a －b ＝(1,2)－(－3,4)＝(4，－2)；3a －4b ＝3(1,2)－4(－3,4)＝(15，－10)．11．已知点A (6,3)，O 为坐标原点，点P 在直线OA 上，且OP →＝12PA →，若P 是线段OB 的中点，求点B 的坐标及PB 的长．解 设点P (x 1，y 1)，B (x ，y )，∵OP →＝12PA →，∴(x 1，y 1)＝12(6－x 1,3－y 1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝12(6－x 1)，y 1＝12(3－y 1)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，y 1＝1，∴点P 的坐标为(2,1)． ∵点P 是OB 的中点，∴2＝0＋x 2，1＝0＋y2⇒x ＝4，y ＝2，∴点B 的坐标为(4,2)．∴PB 的长为(4－2)2＋(2－1)2＝ 5.12．已知a ＝(2，－4)，b ＝(－1,3)，c ＝(6,5)，p ＝a ＋2b －c ， (1)求p 的坐标；(2)若以a ，b 为基底，求p 的表达式．解 (1)p ＝(2，－4)＋2(－1,3)－(6,5)＝(－6，－3)．(2)设p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1，3)＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ－μ＝－6，－4λ＋3μ＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－212，μ＝－15，∴p ＝－212a －15b ．。
人B版数学-必修第二册-第六章向量-§2.3平面向量的坐标及其运算
a＝xe1＋ye2， 则称(x,y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y)．
向量的坐标的直观理解：
平面上指定一点 O 作为原点，以 e1 的方向为 x 轴的正方向，以 e2 的
方向为 y 轴的正方向，以 e1 (或 e2 )的模为单位长度建立平面直角坐
一知半解的人，多不谦虚；见多识广有本
领的人，一定谦虚.
——谢觉哉
x2 x1
y2 y1
，
则有
x2
y2
x1 y1
；如果
x1 =0,
y1
0
，则有
x2
0，
设 y2
y1
同理： (x2, y2 ) = (x1, y1) 即 b a 因此 a//b ；
如果 x1 0, y1=0 ，类似可得 a//b ；
如果 x1=0, y1=0 ，即 a 0 ，因此 a//b .
6.2.3 平面向量的坐标及其运算
在物理的学习中我们知道:飞机沿仰角为α的方向起飞的速度v,可 分解为水平方向的速度vcos α和竖直方向的速度vsin α.
把一个向量分解到两个不同的方向,特别是在两个互相垂直的方 向分解,可使许多度量问题变得较为简单,这就是向量的正交分解. 有了向量的正交分解,向量就可用平面直角坐标表示,从此向量的计算 就转化为坐标的代数运算.
0,
7 3
B
MQ
P
A
A
MQ
P
A
例 5. 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A2,1, B2,2,C 3,4 ，
而且 A, B,C, D 按逆时针方向排列，求：⑴ AB, AD ; ⑵ D 点的坐标.
人教高中数学必修二B版《向量基本定理与向量的坐标》平面向量初步说课教学课件复习(向量基本定理)
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和 e1＋ke2
共线？
解：设 ke1＋e2 与 e1＋ke2 共线， 所以存在 λ 使 ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 则(k－λ)e1＝(λk－1)e2.
因为 e1 与 e2 不共线，所以只能有kλ－kλ－＝10＝，0，则 k＝±1.
栏目 导引
第六章 平面向量初步
用基底表示向量
＝a－23b.
第六章 平面向量初步
栏目 导引
第六章 平面向量初步
直线的向量参数方程式的应用
已知平面内两定点 A，B，对该平面内任一动点 C，总
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手抄报：课件/shouchaobao/
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第六章 平面向量初步
4．直线上向量的运算与坐标的关系
假设直线上两个向量 a，b 的坐标分别为 x1，x2，即
a＝x1e，b＝x2e，则 a＝b⇔__x_1_＝__x_2___; a＋b＝_(_x_1＋__x_2_)_e__．
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D→F＝D→E＋E→F＝－16b＋13b－a＝16b－a. 课件
人教版高中数学必修第二册 第六章 平面向量及其应用 平面向量基本定理及坐标表示 教学课件
平面向量基本定理 条件 结论
基底
e1，e2 是同一平面内的两个__不_共__线_向__量_____ 对于这一平面内的任一向量 a，有且只有 一对实数 λ1，λ2，使_a_＝__λ_1_e1_＋__λ_2_e2_ 若 e1，e2 不共线，把{e1，e2}叫做表示这一 平面内所有向量的一个基底
■名师点拨 (1)e1，e2 是同一平面内的两个不共线的向量，{e1，e2}的选取不唯一， 即一个平面可以有多个基底． (2)基底{e1，e2}确定后，实数 λ1，λ2 是唯一确定的．
1．[变问法]本例条件不变，试用基底{a，b}表示A→G.
解：由平面几何知识知 BG＝23BF， 故A→G＝A→B＋B→G＝A→B＋23B→F ＝a＋23b－12a ＝a＋23b－13a＝23a＋23b.
2．[变条件]若将本例中的向量“A→B，A→D”换为“C→E，C→F”， 即若C→E＝a，C→F＝b，试用基底{a，b}表示向量D→E，B→F. 解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a. B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F ＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b.
线，C→A与D→C不共线；而D→A∥B→C，O→D∥O→B，故①③可作为基底．
2．点 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，则可作为基底的一对向量是 ()
A.O→A，B→C
B.O→A，C→D
C.A→B，C→F
D.A→B，D→E
解析：选 B.由题图可知，O→A与B→C，A→B与C→F，A→B与D→E共线，不能
B.12(a＋b)
C.12(b－a)
D.12b＋a
解析：选 B.如图，AD 是△ABC 的中线，则 D 为线段
BC 的中点，从而B→D＝D→C，即A→D－A→B＝A→C－A→D，