苏科版-数学-九年级上册- 一元二次方程的解法—配方法(1)
法
用配方法解下列方程
(1)x2 6x 7 0;
(2)x2 3x 1 0.
解 : (1)移项,得
x2 6x 7.
配方,得
x2 6x 32 7 32. （x-3）2 =16.
解这个方程,得
x-3= 4.
所以
x1 7, x2 1.
用配方法解下列方程
(1)x2 6x 7 0;
（2）移项，合并同类项，得（x-5）2=9． ∵x-5是9的平方根， ∴x-5=±3．
即x1=8，x2=2．
如何解下列方程? (1)x2 4x 4 16;(2)x2 10x 25 9.
解：（1）原方程可化为（x-2）2=16．
∵x-2是16的平方根， ∴x-2=±4． 即x1=6，x2=-2．
24
代数式x2 3x 3的值不小于 15 .
2
4
试用配方法证明：代数式x2+3x 3 的值不小于 15 ．
2
4
证明: (x2 3x 3) ( 15) x2 3x 3 15
24
24
x2 3x 9 (x 3)2 0,
4
2
x2 3x 3 15 . 24
代数式x2 3x 3的值不小于 15 .
x2 4x 3.
配方,得
x2 4x 22 3 22. （x-2）2 =1.
解这个方程,得
x-2= 1.
所以
x1 3, x2 1.
例1：用配方法解下列方程
(1)x2 4x 3 0; (2)x2 3x 1 0.
解 : (2)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ项,得
x2 3x 1.
配方,得
x2 3x ( 3)2 1 ( 3)2. （x 3）2 = 13 .
2
4
试用配方法证明：代数式x2+3x 3 的值不小于 15 ．
2
4
证明: x2 3x 3 x2 3x ( 3)2 ( 3)2 3
2
2 22
(x 3)2 9 3 (x 3)2 15 .
2 42
24
(x 3)2 0, (x 3)2 15 15 .
2
24 4
即x2 3x 3 15 .
1.2 一元二次方程的解法
(2)
数学是思维的体操 ——培根
形如 (x h)2 k(k 0)
完全平方式
常数
的一元二次方程可用直接开平方
法求解．
用直接开平方法解下列方程 : (1)(x 3)2 5;(2)(x 5)2 4 13.
解：（1）∵x+3是5的平方根， ∴x+3= 5.
即x1=-3+ 5 ，x2=-3- 5.
(2) x2 8x _1_6___ (x_4__)2
(3) y2 5 y __2_45__ ( y__52_)2
(4)
y2
1 2
y
1
__16__
(
y __14_)2
它们之间有什么关系?
解一元二次方程的基本思路
二次方程
一次方程
把原方程变为(x+h)2＝k的形式(其中 h、k是常数）;
当k≥0时，两边同时开平方，这样原方 程就转化为两个一元一次方程。
左边写成完全平方的形式
( x 3)2 5
变成了(x+h)2=k的 形式
开平方
x3 5
x 3 5,或x 3 5
得 : x1 3 5, x2 3 5.
像上面那样,只要先把一个一元二次方程变形 为(x+h)2=k的形式(其中h,k都是常数)，若k≥0, 再通过直接开平方法求出方程的解,这种解一 元二次方程的方法叫做配方法.
第一步骤:变形为(x+h)2=k的形式(其中h,k都是常数)
若k≥0
第二步骤:直接开平方法
如何变形?
因式分解的完全平方公式
a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2 (a b)2
完全平方式
填一填
一次项系 数一半的
一次项系 数的一半
平方
(1) x2 2x __1___ (x_1__)2
（2）原方程可化为（x-5）2=9． ∵x-5是9的平方根， ∴x-5=±3． 即x1=8，x2=2．
如何解下列方程? (3)x2 6x 4 0.
如何将(3)转化成(x h)2 k(k 0)的形式?
x2 6x 4 0
移项
x2 6x 4
两边加上 32 ,使左边配
成完全平方式
x2 6x 32 4 32
课堂小结
你有什么收获？
当k<0时，原方程的解又如何？
将下列各式进行配方：
（1）x2+8x+ 42 =(x+ 4)2;
（2）x2－5x+(5)2=(x－ 5 )2;
2
2
（3）x2－6x+ 32 =(x－ 3 )2.
例1：用配方法解下列方程
(1)x2 4x 3 0; (2)x2 3x 1 0.
解 : (1)移项,得
2
4
用拼图表示配方法解一元二次方程 x2 2x 24 0中的配方过程.
x2 2x 24 0 移项 : x2 2x 24
x(x 2) 24
x
24
左边配成完全平方
割补后拼成正方形
x
x2
xx
x+2
25
x+1
(x 1)2 25
x+1
x
11
1
x
?1
x2
x
配方 : x2 2x 12 24 12
2.用配方法解下列方程
(1)x2 8x 2 0; (2)x2 5x 6 0.
解 : (2)移项,得
x2 5x 6.
配方,得
x2 5x ( 5)2 6 ( 5)2. （x 5）2 = 49 .
解这个方程,得 2
2
24
所以
x 5 = 7. 22
x1 6, x2 1.
试用配方法证明：代数式x2+3x 3 的值不小于 15 ．
(2)x2 3x 1 0.
解 : (2)移项,得
x2 3x 1.
配方,得
x2 3x ( 3)2 1 ( 3)2. （x 3）2 = 5 .
解这个方程,得 2
2
24
所以
x3= 5. 22
x1
3 2
5 2
,
x2
3 2
5. 2
1.填空：
（1）x2+6x+ 32 =( x 3 )2;
（2）x2－8x+ 42 =( x 4 )2;
解这个方程,得 2
2
24
所以
x 3 = 13 . 22
x1
3 2
13 2
,
x2
3 2
13 . 2
用配方法解二次项系数为1的一元 二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边;
配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
开方:根据平方根意义,方程两边开平方,化为
直 接
两个一元一次方程;
开 平 方
求解:解这两个一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
（3）x2+x+(
1 2
)2=(
x
1 2
)2.
2.用配方法解下列方程
(1)x2 8x 2 0; (2)x2 5x 6 0.
解 : (1)移项,得
x2 8x 2.
配方,得
x2 8x 42 2 42. （x 4）2 =18.
解这个方程,得
x 4= 3 2.
所以
x1 4 3 2, x2 4 3 2.
1.1一元二次方程的解法(2)配方法(1)课件 苏科版数学九年级上册
.
3、解方程. （1）x2-6x-40=0
（2）x2-10x+25=0
（3）x2-x-1=0
（4）(x-3)2=2x+6
例题讲解
例2：求代数式 x2-4x-8的最值.
过程展示： 解：原式=x2-4x+22-22-8
=(x-2)2-12 ∵(x-2)2≥0 ∴(x-2)2-12≥-12 ∴（x2-4x-8）min= -12
.
4、17.已知a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0．
(1)求a，b，c的值； (2)判断三角形的形状．
课堂练习
谢谢
1.1 一元二次方程的解法（2）
——配方法（1）
九年级数学备课组
知识回顾
用直接开平方法解方程： （1）2x2 - 3 = 5 （2）(x-1)2 - 9=0 （3）(x-4)2 =(2x+5)2
讲授新知
你会不会解这个方程 x2 - 4x + 4 = 9
方程变成这样呢？
x2 - 4x = 5
这样呢？
牛刀小试
1、求代数式 x2+10x-13的最值.
2、求代数式 -x2+10x-13的最值.
课堂小结
通过本节课的学习你有哪些收获？
1、用配方法解一元二次方程 2、用配方法求代数式最值
课堂练习
1、若关于x 的一元二次方程x2-8x+m=0配方后得到方程(x--n)²=6，则关于x 的一元二次方程x2+8x+m=5配方后得到方程 ( )
x2 - 4x - 5 = 0
讲授新知
x2 - 4x - 5 = 0的步骤
苏科版数学九年级上册教学设计 一元二次方程的解法 配方法
苏科版数学九年级上册教学设计一元二次方程的解法配方法一. 教材分析苏科版数学九年级上册的教学内容是围绕一元二次方程的解法进行展开。
本节课的教学内容主要是配方法，配方法是一种解决一元二次方程的常用方法，通过配方将一元二次方程转化为完全平方形式，从而使问题得到简化。
教材中通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握配方法的步骤和技巧。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对一元二次方程有一定的了解。
但是在解决实际问题时，往往对配方法的应用不够熟练，对于如何将方程转化为完全平方形式存在困惑。
因此，在教学过程中需要注重引导学生理解和掌握配方法的步骤，并通过大量的练习来提高学生的解题能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握配方法解一元二次方程的步骤和技巧。
2.过程与方法：培养学生运用配方法解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和自信心。
四. 教学重难点1.重点：配方法解一元二次方程的步骤和技巧。
2.难点：如何将一元二次方程转化为完全平方形式。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题，引导学生运用配方法解决问题。
2.案例教学法：通过分析典型例题，让学生理解和掌握配方法。
3.练习法：通过大量的练习题，提高学生的解题能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作教学PPT，展示教材中的例题和练习题。
2.练习题：准备一些有关配方法的练习题，用于课堂练习和课后作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何解决一元二次方程。
例如：一个长方形的长是10cm，宽是5cm，求长方形的面积。
2.呈现（15分钟）展示教材中的例题，引导学生观察和分析例题中的解题步骤。
例如：解方程x^2 - 4x + 3 = 0。
3.操练（15分钟）让学生独立解决教材中的练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
例如：解方程x^2 - 3x - 4 = 0。
4.巩固（10分钟）让学生分组讨论，总结配方法解一元二次方程的步骤和技巧。
第1章 一元二次方程 苏科版九年级数学上册单元复习(解析版)
【单元复习】第1章一元二次方程知识精讲第1章一元二次方程一、一元二次方程的概念1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。
2、一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
二、一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。
3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程的求根公式：4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
三、一元二次方程根的判别式根的判别式：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即四、一元二次方程根与系数的关系如果方程的两个实数根是，那么，。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
根与系数的关系的应用：①验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；②求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.③求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于和的代数式的值，如④求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式. 一元二次方程的应用：方程是解决实际问题的有效模型和工具.利用方程解决。
苏科版九上4.2一元二次方程的解法--配方法(1)课件
1：用配方法解下列方程(检测) (1) x2＋12x =－9
(2) －x2＋4x－3=0
用配方法解一元二次方 程 x 2 x 24 0
2
1.一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得 x a ,x a 1 2 这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
1、书P93习题4.2
2
2、《数学补充习题》P41
思考：先用配方法解下列方程： （1） x2－2x－1＝0 （2） x2－2x＋4＝0 （3） x2－2x＋1＝0 然后回答下列问题： （1）你在求解过程中遇到什么问题？你是 怎样处理所遇到的问题的？ （2）对于形如x2＋px＋q＝0这样的方 程，在什么条件下才有实数根？
2
X2－4x＋1＝0
变 形 为
变形为
x2-4x+4=-1+4 （x－2）2=3
这个方程 怎样解？
2
a
的形式．（ａ为非负常数）
解一元二次方程的基本思路
二次方程 一次方程
把原方程变为(x+h)2＝k的形式 (其中h、k是常数）。 当k≥0时，两边同时开平方，这 样原方程就转化为两个一元一次方程。 当k<0时，原方程的解又如何？
例1：用配方法解下列方程 (1)x2 － 4x ＋3 =0
(2)x2 ＋ 3x －1=0
把一元二次方程的左边配成一个 完全平方式,然后用开平方法求解,这 种解一元二次方程的方法叫做配方法.
配方时, 等式两边同时加上的是一 次项系数一半的平方
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
苏科版数学九年级知识点
苏科版数学九年级上册的知识点包括：
- 第一章《一元二次方程》
- 1.1 一元二次方程
- 1.2 解一元二次方程（一）——配方法
- 1.3 解一元二次方程（二）——公式法
- 1.4 解一元二次方程（三）——因式分解法 - 1.5 实际问题与一元二次方程
- 第二章《二次函数》
- 2.1 二次函数的定义
- 2.2 二次函数图象上点的坐标特征
- 2.3 二次函数图象的绘制
- 2.4 二次函数的性质
- 2.5 二次函数与一元二次方程
- 第三章《旋转》
- 3.1 图形的旋转
- 3.2 中心对称
- 3.3 课题学习设计图案
- 第四章《圆》
- 4.1 圆的相关概念
- 4.2 圆心角、弧、弦的关系
- 4.3 圆周角定理
- 4.4 确定圆的条件
- 4.5 直线和圆的位置关系判断
- 4.6 课题学习设计图案。
九年级数学上册1-2一元二次方程的解法第2课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程新版苏科版
课程讲授
1 配方法的概念
问题1：根据前面的内容，试着解方程x2+6x+4=0.
降次
x2+6x+4=0
移项
x+3= 5
x2+6x=-4
两边加9，使得左边配 成完全平方公式
配方法
解二次项系数为1 的一元二次方程
1.移项 2.配平方 3.开平方（降次） 4.解一次方程
2 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
(2)x2 ＋ 3x －1=0
解：（2）移项，得 x2+3x=1.
配方，得
x2
2
x
3 2
3 2
2
1
3 2
2
x
3 2
2
13 4
解这个方程，得 x 3 13 ,
22
x1
3 2
13 2
,
x2
3 2
13 . 2
课程讲授
2 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
归纳：把方程化为（x+h)2=k的形式，将一元二次方程 降次，转化为一元一次方程求解．
课程讲授
1 配方法的概念
试一试：填上适当的数或式,使下列各等式成立.
(1) x2 6x 32 =( x+3)2
(2) x2 8x 42 =(x4)2
(3) x2 4x 22 =(x 2 )2
x (4)
C.p=-4,q=2
D.p=-4,q=-2
3.将方程x2－2x＝2配方成(x＋a)2＝k的形式，则方程的两边需 加上____1_.
苏科版九年级上一元二次方程的解法复习课件
5.开平方，求解
★一除、二移、三配、四化、五解.
用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程:
ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
b b 4ac 2 x .b 4ac 0 . 2a
2
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程;
2 2
49 6 x(2x 7) 8 2x
7(2x 1) (3x 1) 8 (x 1)(x 1) 2
1、
ax2+c=0 ax2+bx=0
====> 直接开平方法 ====> 因式分解法 因式分解法
ax2+bx+c=0 ====> 公式法（配方法） 2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用， 但不一定 是最简单的，因此在解方程时我们首先考 虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简 单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方 法） 3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单 方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为 一般形式再选取合理的方法。
A x 2 y 1
3 C x 8 x
2
B x
2
5 0
D 3x 8 6x 2
3.若x=2是方程x2+ax-8=0的解，则a= 2
4.下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题， 其中答对的是（ C ） A、若x2=4，则x=2
苏科版九年级数学上册一元二次方程的解法——配方法课件
用配方法解二次项系数不为1的 一元二次方程
一、知识回顾
1、我们已经学习了哪几种解一元二次方程的方法？
（1）直接开平方法 （X+h)2=k（k≥0）
（2）配方法
x2 bx c 0
配方 转化
（X+h)2=k
新知导入
试一试：用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
用配方法解一元二次方程的步骤：
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
2、解下面的一元二次方程
x2 5 x 1 0 2
解：移项，得 x2 5 x 1， 2
二次项系数不是“１ ”，怎么办？
配方，得
x2
多项式k2－4k＋5 的值必定大于零.
课程讲授 2 配方法的应用
2、用配方法证明：不论x为何值，-2x2+8x-11的值总小于0.
解 -2x2+8x-11
=-2(x2-4x)-11 =-2(x2-4x+4)-11+8 =-2(x-2)2-3. ∵(x-2)2≥0, ∴-2(x-2)2≤0, ∴-2(x-2)2-3<0.
x2
5 2
x
5 4
2
1
5 4
2
x
5 4
2
9 16
开方，得 x 5 3 44
解得，x1 2,
x2
1 2
小结：
1．怎样用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程？
基本思想:
二次项系数不为1
二次项系数化为1
2.用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
121 一元二次方程的解法-2021-2022学年九年级数学上(苏科版)(解析版)
1.2.1 一元二次方程的解法-配方法与直接开平方法【基础知识】一、一元二次方程的解法1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O ；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根．②形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 .要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.2．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．【典例剖析】考点一：直接开平方法及其条件【典例1】．一元二次方程()229x -=的解为（ ）A ．121x x ==-B ．125x x ==C ．121,5x x ==-D ．121,5x x =-= 【答案】D【解析】 23x -=±，∴121,5x x =-=．【典例2】．关于x 的方程()2x a b +=能直接开平方求解的条件是（ ）A ．0,0a b ≥≥B ．0,0a ≥≤C ．a b ，为任意数D ．a 为任意数且0b ≥【答案】D【分析】根据一个数的平方是非负数，可得0b ≥．【解析】∵()20x a +≥，∴0b ≥，a 为任意数，故选：D ．【点睛】本题考查了用直接开方法求一元二次方程的解，基本形式有：2x a =（a≥0）．【典例3】．若（a 2+b 2﹣3）2＝25，则a 2+b 2＝（ ）A ．8或﹣2B ．﹣2C ．8D ．2或﹣8【答案】C【分析】 先直接开平方求得a 2+b 2﹣3＝±5，然后再整体求出a 2+b 2即可． 【解析】解：∵（a 2+b 2﹣3）2＝25，∴a 2+b 2﹣3＝±5，∴a 2+b 2＝3±5，∴ a 2+b 2＝8或a 2+b 2＝﹣2∵a 2+b 2≥0∴a 2+b 2＝8．故选：C ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法和代数式求值，掌握运用直接开平方法解一元二次方程和整体思想是解答本题的关键．【典例4】．对于方程()2ax b c +=，下列叙述正确的是（ ）A ．不论c 为何值，方程均有实数根B ．方程的根是c b x a-=C ．当0c ≥时，方程可化为ax b +=ax b +=D ．当0c 时，b x a= 【答案】C【解析】当0c <时，方程没有实数根；当0c ≥时，方程有实数根，则ax b +=，解得12x x ==；当0c 时，解得12b x x a==-． 【典例5】．用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-，做法正确的是（ ）A ．3125x x +=-B ．31(25)x x +=--C ．31(25)x x +=±-D ．3125x x +=±-【答案】C【分析】 一元二次方程22(31)(25)x x +=-，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．【解析】解：22(31)(25)x x +=-开方得31(25)x x +=±-，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．考点二：配方法【典例6】．用配方法解一元二次方程224x x -=，则下列配方正确的是（ ）A ．2(2)2x -=B ．2(22)x +=C ．2(26)x -=D ．2(2)6x +=【答案】C【解析】 2224,42x x x x -=∴-=．224424,(2)6x x x ∴-+=+∴-=．【典例7】．对于方程210a +-=，下列各配方式中，正确的是（ ）A ．(23a =B ．(23a =C ．(23a -=D ．(23a += 【答案】B【分析】根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方得出即可．【解析】 解：22210a +-=2=1a ∴+22+=1+2a ∴+∴(23a =故选：B ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的正确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．【典例8】．用配方法解方程23620x x -+=，则方程可变形为（ ）A ．()2133x -=B ．()2113x -=C ．()2311x -=D ．()2213x -= 【答案】B【解析】原方程为23620x x -+=，二次项系数化为1，得2223x x -=-．配方，得222113x x -+=-+，∴()2113x -=． 考点三：配方法的应用 【典例9】．已知a 、b 、c 为ABC 的三边长，且a 、b 满足2264130a a b b -+-+=，c 为奇数，则ABC 的周长为______．【答案】8利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可．【解析】22a b 4a 6b 130+--+=，()()22a 4a 4b 6b 90∴-++-+=， 22(a 2)(b 3)0∴-+-=，a 2∴=，b 3=，∴边长c 的范围为1c 5<<．边长c 的值为奇数，c 3∴=，ABC ∴的周长为2338++=．故答案为：8．【点睛】本题考查的是配方法的应用和三角形三边关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边关系是解题的关键．【典例10】0．当a =______，b =_______时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值，这个最小值是_____．【答案】4 3 15【分析】利用配方法将多项式22222425a ab b a b -+--+转化为22(1)(3)15a b b --+-+，然后利用非负数的性质进行解答．【解析】解：22222425a ab b a b -+--+=22222691152b a a b b b a b --+-+++++=2222(1)(1)(3)15a a b b b -++-+++=22(1)(3)15a b b --+-+∴当a=4，b=3时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值15．故答案为：4，3，15．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【典例11】．对于有理数,a b ，定义min{,}a b 的含义为：当a b ≥时，}{min ,a b b =；当a b ≤时，}{min ,a b a =.若}{22min 13,6413m n m n ---=，则n m 的值等于____． 【答案】19【分析】根据6m-4n-m 2-n 2与13的大小，确定m ，n 的值．【解析】解：∵min{13，6m-4n-m 2-n 2}=13，∴13≤6m -4n-m 2-n 2．整理，得（m-3）2+（n+2）2≤0，∴m-3=0，n+2=0．解得m=3，n=-2．∴m n =3-2=19． 故答案是：19． 【点睛】考查了配方法的应用和非负数的性质．根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．【典例12】．设实数x ，y ，z 满足1x y z ++=，则23M xy yz zx =++的最大值为__________． 【答案】34【分析】 先将已知等式变形可得1=--z x y ，然后代入M 中，利用配方法将右侧配方，最后利用平方的非负性即可求出结论．【解析】解：∵1x y z ++=∴1=--z x y∴23M xy yz zx =++=()()1312---+-+x y x y x x y y=22222333+--+--xy y xy y x x xy=2234223---++x xy y y x=()22224223----++x xy y x y x=()22222-++-x+y x y x +x=()()22111124444⎡⎤⎛⎫--++---+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭x+y x y x x =22111122224⎛⎫⎛⎫----++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x+y x =221132224⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x+y x ∵22112022⎛⎫⎛⎫----≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x+y x ∴221132224⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x+y x ≤34 ∴23M xy yz zx =++的最大值为34故答案为：34． 【点睛】 此题考查的是配方法的应用和非负性的应用，掌握完全平方公式和平方的非负性是解决此题的关键．【过关检测】一、单选题1．方程x 2﹣5＝0的实数解为（ ）A ．x 1x 2B ．x 1＝5，x 2＝﹣5C ．xD ．x 【答案】A【分析】先移项，再利用直接开平方法解一元二次方程．【解析】移项得，x 2＝5，两边开方得，x ＝所以方程的解为x 1x 2故选：A ．【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．22x = ）A ．120,x x ==B ．120,x x ==C ．12x x ==D ．12x x ==【答案】A【分析】利用直接开方法解一元二次方程即可得．【解析】 2x =(23x =，利用直接开方法得：x解得120,x x ==故选：A ．【点睛】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握直接开方法是解题关键．3．方程224(21)25(1)0x x --+=的解为（ ）A ．127x x ==-B ．1217,3x x =-=- C ．121,73x x == D ．1217,3x x =-= 【答案】B【分析】移项后利用直接开平方法解答即可．【解析】解：移项，得224(21)25(1)x x -=+，两边直接开平方，得2(21)5(1)x x -=±+，即2(21)5(1)x x -=+或2(21)5(1)x x -=-+，解得：17x =-，213x =-． 故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握直接开平方法是解题的关键． 4．如果方程()257x m -=-可以用直接开平方求解，那么m 的取值范围是（ ）. A ．0m > B ．7mC ．7m >D ．任意实数【答案】B【分析】根据70-≥m 时方程有实数解，可求出m 的取值范围．【解析】由题意可知70-≥m 时方程有实数解，解不等式得7m ，故选B ．【点睛】形如()2+m =a x 的一元二次方程当a≥0时方程有实数解．5．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）．A ．x 2-2x-99=0化为(x-1)2=100B ．x 2+8x+9=0化为(x+4)2=25C ．2t 2-7t-4=0化为2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ D ．3y 2-4y-2=0化为221039y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 【答案】B【分析】根据配方法，对各个选项分别计算，即可得到答案．【解析】()2222992110011000x x x x x --=-+-=--=即()21100x -=∴选项A 正确；()222898167470x x x x x ++=++-=+-=即()247x +=∴选项B 不正确； 222277498178127422=220221616416t t t t t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---+-=--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 即2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∴选项C 正确；22224244102103423=3+=303339939y y y y y y y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=------=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 即221039y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∴选项D 正确；故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程配方法的性质，从而完成求解． 6．将一元二次方程2850x x --=化成2()x a b +=（a ，b 为常数）的形式，则a ，b 的值分别是（ ） A ．4-，21B ．4-，11C ．4，21D ．8-，69【答案】A【分析】根据配方法步骤解题即可．【解析】解：2850x x --=移项得285x x -=，配方得2284516x x -+=+，即()2421x -=，∴a =-4，b =21．故选：A【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是配方：在二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方．7．形如2()(0)ax b p a +=≠的方程，下列说法错误的是（ ）A ．0p >时，原方程有两个不相等的实数根B ．0p =时，原方程有两个相等的实数根C ．0p <时，原方程无实数根D ．原方程的根为x =【答案】D【分析】 根据应用直接开平方法求解的条件逐项判断即得答案．【解析】解：A 、当0p >时，原方程有两个不相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；B 、当0p =时，原方程有两个相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；C 、当0p <时，原方程无实数根，故本选项说法正确，不符合题意；D 、当0p ≥时，原方程的根为x =，故本选项说法错误，符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题目，熟练掌握应用直接开平方法求解的条件是关键． 8．不论,a b 为任何实数，2261035a b a b +-++的值都是（ ）A ．非负数B ．正数C ．负数D ．非正数 【答案】B【分析】利用完全平方公式配方，进而利用偶次方的性质得出答案．【解析】 2261035a b a b +-++22(3)(5)10a b =-+++>，∴a 2＋b 2−6a ＋10b ＋35的值恒为正数．故选：B ．【点睛】此题主要考查了完全平方公式的应用以及偶次方的性质，正确配方得出是解题关键．9．《代数学》中记载，形如21039x x +=的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为2x 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为52x 的矩形，得到大正方形的面积为392564+=，则该方程的正数解为853-=．”小聪按此方法解关于x 的方程260x x m ++=时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（ ）A ．6B ．353C ．352D ．3352【答案】B【分析】 根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为32，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．【解析】x 2+6x+m=0，x 2+6x=-m ，∵阴影部分的面积为36，∴x 2+6x=36，4x=6，x=32， 同理：先构造一个面积为x 2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为32x 的矩形，得到大正方形的面积为36+（32）2×4=36+9=4533=． 故选：B ．【点睛】 此题考查了解一元二次方程的几何解法，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．10．新定义，若关于x 的一元二次方程：21()0a x m n -+=与22()0a x m n -+=，称为“同族二次方程”．如22(3)40x -+=与23(3)40x -+=是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程：22(1)10x -+=与2(2)(4)80a x b x ++-+=是“同族二次方程”．那么代数式22018ax bx ++能取的最小值是（ ） A ．2011B ．2013C ．2018D ．2023【答案】B【分析】 根据同族二次方程的定义，可得出a 和b 的值，从而解得代数式的最小值．【解析】解：22(1)10x -+=与2(2)(4)80a x b x ++-+=为同族二次方程．22(2)(4)8(2)(1)1a x b x a x ∴++-+=+-+，22(2)(4)8(2)2(2)3a x b x a x a x a ∴++-+=+-+++，∴42(2)83b a a -=-+⎧⎨=+⎩， 解得：510a b =⎧⎨=-⎩． 222201*********(1)2013ax bx x x x ∴++=-+=-+，∴当1x =时，22018ax bx ++取最小值为2013.故选：B.【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的定义是解答本题的关键．二、填空题11．已知方程20x m -=__________．【答案】【分析】把x =,m 再把m 的值代入原方程解方程即可得到答案．【解析】解：把x30,m -=3.m ∴=230,x ∴-=23,x ∴=x ∴=所以：方程的另一根为：故答案为：【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．12．方程（x-1）2=20202的根是________．【答案】1220212019x x ==-， 【分析】利用直接开平方法求解可得．【解析】∵(1x -)2=20202，∴12020x -=或12020x -=-，解得1220212019x x ==-，， 故答案为：1220212019x x ==-，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．13．方程20(1)x x =-的解为______．【答案】1x =-【分析】根据0指数幂的意义并利用直接开平方法解答即可．【解析】解：由原方程得21x =且10x -≠，解得1x =-．故答案为：1x =-．【点睛】本题考查了0指数幂的意义以及利用直接开平方法求解一元二次方程，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．14．一元二次方程24430x x --=的解为____________． 【答案】132x =，212x =- 【分析】先把-3移到方程的右边，然后方程两边都加1，最后把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，然后两边同时开平方即可.【解析】移项，得2443x x -=，配方，得244131x x -+=+，即2(21)4x -=，两边开平方，得212x -=±， 解得132x =，212x =-． 故答案为132x =，212x =-． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．15．如果关于x 的方程（x ﹣2）2＝m ﹣1没有实数根，那么m 的取值范围是____．【答案】m ＜1【分析】根据直接开平方法定义即可求得m 的取值范围．【解析】解：∵关于x 的方程（x ﹣2）2＝m ﹣1没有实数根，∴m ﹣1＜0，解得m ＜1，所以m 的取值范围是m ＜1．故答案为：m ＜1．【点睛】考查了解一元二次方程-直接开平方法，解决本题的关键是掌握直接开平方法．16．已知()(2)10a b a b ++-+=，则+a b 的值为__________．【答案】1.【分析】先把()(2)1a b a b ++-+化成完全平方式，然后直接开平方，即可求解．【解析】∵()(2)10a b a b ++-+=,∴2()2()10a b a b +-++=,∴2(1)0a b +-=,∴10a b +-=,∴1a b +=.故答案为1.【点睛】本题考查用直接开平方法解一元二次方程和完全平方公式，本题中对已知等式进行变形时，应把+a b 看成一个整体进行计算.17．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是____________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________.【答案】2110333x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭； 2或6. 【分析】把一元二次方程3x 2-2x-3=0提出3，然后再配方即可；多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则2a-3是2a 的平方，然后解方程即可值a 的值．【解析】 根据题意，一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3（x 2-23x-1）=0， 括号里面配方得，3（x-13）2-109×3=0，即3（x-13）2=103； ∵多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，∴2a-3=（2a ）2， ∴解得a=2或6．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，是基础题．18．已知223720336n m m n -+-+=，则56n m -的值为_______． 【答案】0【解析】【分析】已知等式左边配方变形后，利用非负数的性质求出m 与n 的值，即可确定出6n-m 5的值．【解析】 ∵223720336n m m n -+-+= =（m 2-2m+1）+（n 2-3n +136） =（m-1）2+（n-16）2=0， ∴m=1，n=16， 则6n-m 5=1-1=0．故答案为：0【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．19．已知x =y =则225x xy y -+的值为__________.【答案】5【分析】由于x +y =xy =1方便运算，故可考虑将代数式化为含（x +y ）和xy 的项，再整体代入（x +y ）和xy 的值，进行代数式的求值运算．【解析】解： ∵x =y =∴x +y =xy =1，∵225x xy y -+22(2)7x xy y xy =++-=2()7x y xy +-，∴原式=271-⨯=5,故答案为5.【点睛】本题考查了代数式求值和二次根式的运算．由于直接代入计算复杂容易出错，因此可考虑整体代入， 20．已知22143134m n m n =--+，则11m n +的值等于______． 【答案】13【分析】 利用配方法将已知等式转化为()()2212604m n -++=的形式，由非负数的性质求得,m n 的值，然后代入求值即可．【解析】 解：22143134m n m n =--+ 221(2)(6)04m n -++=， 则20m -=，60n +=，所以2m =，6n =-， 所以11111263m n +=-=． 故答案是：13．【点睛】考查了配方法的应用，非负数的性质以及分式的加减法，配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．21．关于x 的方程2()10(0)bx b -=≥的根是_________________． 【答案】无解或者x=±1b .【分析】先移项，然后利用直接开平方法解方程即可．【解析】解：∵（bx ）2-1=0∴（bx ）2=1∴bx=±1①当b=0时，该方程无解．②当b ＞0时，x=±1b综上所述，当b=0时原方程无解；当b ＞0时方程的解是x=±1b ．故答案是：无解或者x=±1b．【点睛】考查了解一元二次方程的解法-直接开平方法．形如x 2=p 或（nx+m ）2=p （p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解．22．设实数x ，y ，z 满足1x y z ++=，则23M xy yz zx =++的最大值为__________． 【答案】34【分析】 先将已知等式变形可得1=--z x y ，然后代入M 中，利用配方法将右侧配方，最后利用平方的非负性即可求出结论．【解析】解：∵1x y z ++=∴1=--z x y∴23M xy yz zx =++=()()1312---+-+x y x y x x y y=22222333+--+--xy y xy y x x xy=2234223---++x xy y y x=()22224223----++x xy y x y x=()22222-++-x+y x y x +x=()()22111124444⎡⎤⎛⎫--++---+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭x+y x y x x =22111122224⎛⎫⎛⎫----++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x+y x =221132224⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x+y x ∵22112022⎛⎫⎛⎫----≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x+y x ∴221132224⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x+y x ≤34 ∴23M xy yz zx =++的最大值为34故答案为：34． 【点睛】 此题考查的是配方法的应用和非负性的应用，掌握完全平方公式和平方的非负性是解决此题的关键．三、解答题23．用直接开平方法解下列方程：（1）222322x x +=-+；（2）(3)(3)7x x +-=．【答案】（1）无实数根；（2）14x =，24x =-．【解析】【分析】（1）先移项、合并同类项，可知该方程无解；（2）先去括号、移项、合并同类项，然后开平方即可.【解析】（1）移项、合并同类项，得241x =-，两边同除以4，得2104x =-<． 所以原方程没有实数根．（2）原方程可化为297x -=，移项、合并同类项，得216x =， 两边开平方，得4x =±．所以14x =，24x =-．【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，难度不是很大．其解法是先将一元二次方程整理成2(0)ax c ac =>，然后系数化为1，再两边开平方即可.24．用直接开平方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）【答案】（1），；（2），；（3），；（4），.【解析】【分析】根据直接开平方法解一元二次方程的步骤求解即可.【解析】解：（1），，，，；（2），，，；（3），，，；（4），，，，.【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程，形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法求解．25．用直接开平方法解下列方程：（1）（x﹣2）2=3；（2）2（x﹣3）2=72；（3）9（y+4）2﹣49=0；（4）4（2y﹣5）2=9（3y﹣1）2．【答案】（1）x13x2=232）x1=9，x2=﹣3；（3）y1=﹣53，y2=﹣193；（4）y1=﹣75，y2=1．【分析】（1）直接开方，再移项、合并同类项即可；（2）先方程两边都除以2，再直接开方；（3）先把-49移项到方程右边，再直接开方；（4）直接开方，再按解一元一次方程的方法求解．【解析】（1）x ﹣∴x 1x 2=2（2）（x ﹣3）2=36，x ﹣3=±6，∴x 1=9，x 2=﹣3；（3）9（y+4）2=49，∴（y+4）2=499， ∴y+4=±73， ∴y 1=﹣53，y 2=﹣193； （4）∵2（2y ﹣5）=±3（3y ﹣1）， ∴y 1=﹣75，y 2=1．【点睛】考查用直接开方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2=a （a≥0）的形式，利用数的开方直接求解． 26．用配方法解下列方程：（1）225x x -=；（2）22103x x -+=； （3）22360x x --=；（4）2212033x x +-=；（5）)3x x =；（6）(23)(6)16x x +-=．【答案】（1）1211x x ==2）原方程无实数根；（3）12x x ==4）123,22x x ==-；（5）12x x ==6）12==x x ． 【分析】（1）方程两边加上1，再进行配方即可求解；（2）移项后，方程两边都加上23一半的平方，再进行配方即可求解； （3）先将方程的二次项系数化为1，再进行配方即可求解；（4）先将方程的二次项系数化为1，再进行配方即可求解；（5）先将方程整理后，再进行配方即可求解；（6）先将方程整理后，再进行配方即可求解．【解析】（1）225x x -=22+15+1x x -=配方，得2(1)6x -=，1211x x ∴==（2）22103x x -+= 移项，得2213x x -=-． 配方，得21839x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． 809-<， ∴原方程无实数根．（3）22360x x --=移项，得2236x x -=．配方，得2357416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，12x x ∴==． （4）2212033x x +-= 移项，得221233x x +=． 配方，得2149416x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 123,22x x ∴==-．（5）)3x x =原方程化为一般形式为230x -+=．移项，得23x -=-．配方，得2(0x =，12x x ∴==（6）(23)(6)16x x +-=原方程化为一般形式为229340x x --=．二次项系数化为1得29172x x -=． 配方，得29353416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，12x x ∴== 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，即加上一次项系数一半的平方．27．解关于y 的方程：by 2﹣1＝y 2+2．【答案】当b＞1时，原方程的解为y＝；当b≤1时，原方程无实数解．【分析】把b看做常数根据解方程的步骤：先移项，再合并同类项，系数化为1，即可得出答案．【解析】解：移项得：by2﹣y2＝2+1，合并同类项得：（b﹣1）y2＝3，当b＝1时，原方程无解；当b＞1时，原方程的解为y＝±1b-；当b＜1时，原方程无实数解．【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是根据题意分类讨论．28．用直接开平方法解一元二次方程4（2x﹣1）2﹣25（x+1）2=0．解：移项得4（2x﹣1）2=25（x+1）2，①直接开平方得2（2x﹣1）=5（x+1），②∴x=﹣7．③上述解题过程，有无错误如有，错在第_____步，原因是_____，请写出正确的解答过程．【答案】②漏掉了2（2x-1）=-5(x+1) 见解析．【分析】先将方程化成ax2=b的形式，再根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，从而得出两个关于x的一元一次方程．【解析】第②步错了，直接开方应等于2（2x-1）=±5（x+1），漏掉了2（2x-1）=-5(x+1)正确的解答过程如下：移项得4（2x-1）2=25（x+1）2，直接开平方得2（2x-1）=±5（x+1），即2（2x-1）=5（x+1）或2（2x-1）=-5（x+1）．∴x1=-7，x2=-1 3 .【点睛】考查了用直接开平方法解一元二次方程，特别注意：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数． 29．试证：不论当x 为何值时，多项式42241x x --的值总大于4224x x --的值.【答案】证明见解析【分析】比较大小常用的方式：利用完全平方公式证明两个多项式的差恒大于零即可解答.【解析】因为()()()242424322412423120x x x x x x x -----=-+=-+>，所以原题得证.【点睛】本题考查利用完全平方公式比较多项式的大小，熟练掌握完全平方公式是解题关键.30．李老师在课上布置了一个如下的练习题：若()222316x y +-=，求22x y +的值．看到此题后，晓梅立马写出了如图所示的解题过程： (22x y +223y +-=227,y x +=晓梅上述的解题步骤哪一步出错了？请写出正确的解题步骤．【答案】晓梅的解题步骤在第③步出错了，正确解题步骤详见解析．【分析】根据22x y +的值非负即可判断出错的解题步骤，根据直接开平方法和22x y +的非负性解答即可．【解析】解：晓梅的解题步骤在第③步出错了．正确解题步骤如下：()222316x y +-=， 2234x y ∴+-=±，22227,1x y x y ∴+=+=-．不论,x y 为何值22x y +都不等于1-，227x y ∴+=．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和代数式求值，解决此类问题时，我们需要注意所求代数式的范围，本题容易忽略22x y +的值是非负的，所以要找出题干所隐含的条件再解题．31．有n 个方程：x 2+2x ﹣8=0；x 2+2×2x ﹣8×22=0；…x 2+2nx ﹣8n 2=0．小静同学解第一个方程x 2+2x ﹣8=0的步骤为：“①x 2+2x=8；②x 2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x 1=4，x 2=﹣2．”（1）小静的解法是从步骤 开始出现错误的．（2）用配方法解第n 个方程x 2+2nx ﹣8n 2=0．（用含有n 的式子表示方程的根）【答案】（1）⑤；（2）x 1=2n ，x 2=﹣4n ．【分析】（1）根据移项要变号，可判断；（2）先把常数项移到方程的右边，再把方程两边都加上一次项系数的一半，使左边是一个完全平方式，然后用直接开平方法求解.【解析】解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，故答案为⑤；（2）x 2+2nx ﹣8n 2=0，x 2+2nx=8n 2，x 2+2nx+n 2=8n 2+n 2，（x+n ）2=9n 2，x+n=±3n ，x 1=2n ，x 2=﹣4n ．32．选取二次三项式2(0)ax bx c a ++≠中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方：2242(2)2x x x -+=--；②选取二次项和常数项配方：2242(2)(224)x x x x -+=+或2242(2)(422)x x x x -+=-+；③选取一次项和常数项配方：22242x x x -+=-．根据上述材料解决下面问题：（1）写出284x x -+的两种不同形式的配方．（2）已知22330x y xy y ++-+=，求y x 的值．（3）已知a 、b 、c 为三条线段，且满足()222214(23)a b c a b c ++=++，试判断a 、b 、c 能否围成三角形，并说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）1；（3）不能围成三角形，理由详见解析．【分析】（1）根据配方的概念，分别对一次项和常数项进行配方；（2）根据22330x y xy y ++-+=求出x 、y 的值，代入求解即可；（3）将原式进行转换，得出a 、b 、c 之间的等量关系，从而进行判断．【解析】（1）22284816164(4)12x x x x x -+=-+-+=--或2284(2)4x x x x -+=--．（2）22330x y xy y ++-+=，223(2)024y x y ⎛⎫∴++-= ⎪⎝⎭． 1x ∴=-，2y =．2(1)1y x ∴=-=．（3）不能，理由如下：原式变形：(222222141414494612)0a b c a b c ab ac bc ++-+++++=． ()()()222222449691240a ab b a ac c b bc c ∴-++-++-+=．即222(2)(3)(32)0a b a c b c -+-+-=．2b a ∴=，3c a =，32b c =．3a b a c ∴+==．∴a 、b 、c 三条线段不能围成三角形．【点睛】本题考查了整式的运算，根据题意理解新概念并掌握整式的运算，求解出未知数或者他们之间的等量关系是解题的关键．33．我们把形如x 2=a （其中a 是常数且a≥0）这样的方程叫做x 的完全平方方程．如x 2=9，（3x ﹣2）2=25，21()43x x +-=…都是完全平方方程． 那么如何求解完全平方方程呢？探究思路：我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解．如：解完全平方方程x 2=9的思路是：由（+3）2=9，（﹣3）2=9可得x 1=3，x 2=﹣3．解决问题：（1）解方程：（3x ﹣2）2=25．解题思路：我们只要把 3x ﹣2 看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了．解：根据乘方运算，得3x ﹣2=5 或 3x ﹣2= ．分别解这两个一元一次方程，得x 1=73，x 2=﹣1． （2）解方程21()43x x +-=． 【答案】（1）﹣5；（2）x 1=52-，x 2=72． 【分析】（1）根据乘方运算求解；（2）根据题意给出的思路即可求出答案．【解析】（1）3x ﹣2=﹣5，（2）根据乘方运算， 得123x x +-=± ∴x 1=52-，x 2=72． 【点睛】考查一元二次方程的解法，解题的关键是正理解题意.34．阅读材料：把形如ax 2+bx +c 的二次三项式或(其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a 2+2ab +b 2=(a +b )2配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用．例如：①我们可以将代数式a 2+6a +10进行变形，其过程如下 a 2+6a +10=(a 2+6a )+10=(a 2+6a +9)+10-9=(a +3)2+1 ∵(a +3)2≥0∴(a +3)+1≥1，因此，该式有最小值1②已知：a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac =0将其变形， a 22ab +2ac +b 2++2bc +c 2=0 a 2+2a (b +c )+(b +c )2= 可得(a +b +c )2=0(1)按照上述方法，将代数式x 2+8x +20变形为a (x +h )2+k 的形式；(2)若p =-x 2+2x +5，求p 的最大值；(3)已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足a 2+2b 2+c 2-2b (a +c )=0，试判断此三角形的形状并说明理由；(4)已知：a =2020x +2019， b =2020x +2020，c =2020x +2021，直接写出a 2+b 2+c 2-ab -bc -ac 的值．【答案】(1)()244x ++； (2)6；（3）等边三角形；（4）3【分析】（1）根据材料步骤配方即可；（2）配方后即可求最大值；（3）先配方成几个平方的和为0的形式即可解题；（4）扩大两倍后平方即可.【解析】(1) x 2+8x +2=( x 2+8x )+20=( x 2+8x+16)+20-16=()244x ++(2)p =-x 2+2x +5=()222(2)5(211)615x x x x x --+=-+=---+-+∵(x -1)2≥0∴()2661x --+≤因此，该式有最大值6(3) 2222220a b c ab bc ++--= 2222220a ab b b c bc -+++-=22()()0a b b c -+-=∴0,0a b b c -=-=∴a b c ==∴三角形是等边三角形(4) 原式22212()2a b c ab bc ac =⨯⨯++--- 2221(222222)2a b c ab bc ac =⨯++--- 2222221(222)2a ab bc c ab bc ac =⨯+++++--- 2222221(222)2a ab b a ac c b bc c =⨯-++-++-+ 2221[()()()]2a b a c b c =-+-+- ∵a =2020x +2019， b =2020x +2020，c =2020x +2021∴a-b=-1,a-c=-2,b-c=-1∴原式2221[(1)(2)(1)]2=-+-+-=3 【点睛】本题考查完全平方公式的运用，熟读阅读材料并理解运用是解题的关键.。
苏教版-九年级数学一元二次方程及解法
一元二次方程1.知识.能力聚焦1.一元二次方程的概念只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
判断一个方程是否是一元二次方程：（1）方程是整式方程；（2）方程中只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.2.方法.技巧平台2.一元二次方程的解〔根〕使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解〔根〕例题1把以下方程化为一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项，假设方程不是一元二次方程，请说明理由。
〔1〕()226923x x x ++=-〔2〕()()222127x x x --=+例题2以下哪些数时一元二次方程243xx -=-的根？-3，-2，-1,0,1,2,3,43一元二次方程的判定假设方程无法确定为一元二次方程时，我们常将方程化为一般形式，并确定未知数是否只有1个，未知数最高次数为2，最高次数的项的系数为非零实数。
如()()22112x x +=-+化为一般形式为42x =，不是一元二次方程 ()()22221x x -=+化为一般形式为2820x x +-=是一元二次方程。
【规律】任何一个一元二次方程经过整理〔去括号、去分母、移项、合并同类项〕都可化成一元二次方程的一般形式。
3.创新.思维拓展易错点1：对一元二次方程的定义理解不透一元二次方程的定义包括三方面内容：〔1〕是整式方程；〔2〕只含有一个未知数；〔3〕未知数的最高次数是2.这三个条件必须同时满足，缺一不可。
例 以下关于x 的方程：①20ax bx c ++=；②2223x x +=; ③2250x x --=；④2332x x -=，其中一定是一元二次方程的有〔 〕A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个易错点 2：写一元二次方程的各项时易错假设要指出一元二次方程的各项，必须先把一元二次方程写成一般形式，即各项是在方程为一般形式的前提下定义的，在写时一定要注意符号问题。
假设二次项系数为负数，一般把方程两边都乘以 -1，化为正数。