《计算导数》课件

也简称为导数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c f(x)＝xα(α∈R＋) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝tan x 导函数 f′(x)＝ 0 . f′(x)＝ αxα－1 f′(x)＝ cos x f′(x)＝ －sinx
1 2 f′(x)＝ cos x
. . .
(2011· 大纲全国卷，8)曲线 y＝e－2x＋1 在点(0,2)处的 切线与直线 y＝0 和 y＝x 围成的三角形的面积为( 1 A.3 2 C.3 1 B.2 D．1 )
解析： ∵y′＝(－2x)′e k＝y′|x＝0＝－2e0＝－2，
－2x
＝－2e
－2x
，
∴切线方程为 y－2＝－2(x－0)， 即 y＝－2x＋2. 如图，∵y＝－2x＋2 与 y＝x
求线
π y＝sin2－x在点
π 1 A－3，2处的切线方程．
先化简函数的解析式，再利用导数的几何意 义求切线方程．
[解题过程] ∴曲线在点
π ∵sin2－x＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx， π 1 A－3，2处的切线的斜率为
◎求曲线f(x)＝2x在点(0,1)处的切线方程． 【错解】 ∵f′(x)＝(2x)′＝2x， ∴f′(0)＝20＝1，即k＝1. ∴所求切线方程为y＝x＋1.
【错因】
若所求切线方程为y＝x＋1，而f(x)＝2x
与y＝x＋1均过定点(0,1)与(1,2)，此时f(x)＝2x与y＝x＋
1在点(0,1)和(1,2)处均相交，但并不相切．上面的解法
1 当且仅当 a＝a，即 a＝1 时， 直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积最小， 最小值为 1.
3.已知f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，又 f(2x＋1)＝4g(x)，且f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30.求g(4)． 解析： 题设中有四个参数a、b、c、d，为确定
它们的值需要四个方程． 由f(2x＋1)＝4g(x)，得 4x2＋2(a＋2)x＋a＋b＋1＝4x2＋4cx＋4d.
于是有
a＋2＝2c， a＋b＋1＝4d，
① ②
由 f′(x)＝g′(x)，得 2x＋a＝2x＋c，∴a＝c.③ 由 f(5)＝30，得 25＋5a＋b＝30.④ 1 由①③可得 a＝c＝2.由④得 b＝－5.再由②得 d＝－2. 1 1 47 ∴g(x)＝x ＋2x－2.故 g(4)＝16＋8－2＝ 2 .
fx＋Δx－fx Δx
； ；
(3)取极限，求导数 f′(x)＝Δt→0
lim
Δy Δx
.
1．导函数 一般地， 如果一个函数 f(x)在区间(a， b)上的
每一点x
处
lim fx＋Δx－fx 都有导数，导数值记为 f′(x)：f′(x)＝Δt→0 ， Δx 则
f′(x)
是关于 x 的函数， 称 f′(x)为 f(x)的导函数， 通常
切线方程，最后利用不等式性质求面积最值．
[解题过程]
2x 2 1 ∵f′(x)＝ a ，∴f′(1)＝a.又 f(1)＝a－1，
1 2 ∴f(x)在 x＝1 处的切线 l 的方程是 y－a＋1＝a(x－1)． ∴l 与坐标轴围成的三角形的面积
1 a＋1 1 1 1 1 S＝2－a－1· ＝4a＋a＋2≥4×(2＋2)＝1. 2
1 (4)y′＝(log3x)′＝ · log3e x 1 ＝ ； xln 3 (5)y′＝(sin x)′＝cos x； 1 2 x－ (6)y′＝ 5 ＝ ′ 5 2 x 2 2 2 7 ＝－5x－5－1＝－5x－5.
求下列函数的导数： 1 (1)y＝x ；(2)y＝ 4； x
§3
计算导数
1.理解导数的概念． 2.掌握导数的定义求法．
3.识记常见函数的导数公式.
1.基本初等函数的导函数求法．(难点)
2.基本初等函数的导函数公式．(重点)
3.指数函数和幂函数的导函数公式．(易混点)
求函数导数的一般步骤： (1)求函数的增量 Δy＝ Δy (2)求平均变化率Δx＝
f(x＋Δx)－f(x)
)
2．下列各式中正确的是( A．(lnx)′＝x C．(sinx)′＝cosx
答案： C
) B．(cosx)′＝sinx 1 －6 D．(x )′＝－5x
－5
3．若y＝10x，则y′|x＝1＝________.
解析： ∵y′＝10xln10，
∴y′|x＝1＝10ln10.
答案：
10ln10
4．求下列函数的导数： 1 4 (1)y＝x ；(2)y＝x3；(3)y＝ x；
错用了导数公式 (ax)′ ＝ axlna ，特别地，只有当 a ＝ e 时，
才有(ex)′＝ex成立．
【正解】 ∵f(x)＝2x，∴f′(x)＝2xln2，f′(0)＝ln2.
∴所求切线的方程为y＝xln 2＋1.
2
1．f′(x0)是一个具体实数值，f′(x)是一个函数；
2．f′(x0)是当x＝x0时，f′(x)的一个函数值；
3．求f′(x0)可以有两条途径： ①利用导数定义直接求； ②先求f′(x)，再把x＝x0代入f′(x)求．
常数函数的导数：①若 f(x)＝C，则 f′(x)＝0； 幂函数的导数：②若 f(x)＝xn(x∈N＋)，则 f′(x)＝nxn 1；
12
(3)y＝2x；(4)y＝log2x.
利用公式求函数的导数．
[解题过程]
序号 (1) 答案 12x11 4 －x5 2xln 2 1 xln 2 理由 利用(xα)′＝α· xα 1 得(x12)′＝12x11
－
(2)
1 －4 α α－1 1 首先x4＝x 再利用(x )′＝α· x x4′
2 2 的交点坐标为3，3，
y＝－2x＋2 与 x 轴的交点坐标为(1,0)， 1 2 1 ∴S＝2×1×3＝3.
答案：
A
x2 已知函数 f(x)＝ a －1(a>0)的图象在 x＝1 处的切线为 l， 求 l 与两坐标围成的三角形面积的最小值．
首先利用公式求出在x＝1处的切线斜率，然后求出
10 10－1
＝10x9；
1 －2 －2－1 －3 (4)y′＝( 2)′＝(x )′＝－2x ＝－2x . x
(2011· 江西卷， 4)曲线 y＝ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为( A．1 C．e B．2 1 D.e
)
解析：
由y′＝ex，得在点A(0,1)处的切线
的斜率k＝y′|x＝0＝e0＝1，∴选A. 答案： A
4 ＝(x )′＝－ 5 x
－4
(3) (4)
利用(ax)′＝axln a 得(2x)′＝2xln 2 1 1 利用(logax)′＝xln a得(log2x)′＝xln 2
1.求下列函数的导数 3π (1)y＝sin ；(2)y＝log27； 4 1 (3)y＝x ；(4)y＝ 2. x
10
3π 2 解析： (1)∵y＝sin 4 ＝ 2 ，∴y′＝0； (2)∵y＝log27，∴y′＝0； (3)y′＝(x )′＝10x
.
原函数 f(x)＝cot x
导函数 f ′( x) ＝ f ′( x) ＝
1 －sin2x
.
f(x)＝ax
f(x)＝ex f(x)＝logax
axlna(a>0) .
f′(x)＝
ex
.
1 (a>0 且 a≠1) x ln a f′(x)＝ .
f(x)＝lnx
f′(x)＝
1 x
.
1．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于( A．1 C．3 解析： ∵y′＝nxn－1， ∴y′|x＝2＝n·2n－1＝12. ∴n＝3. 答案： C B．2 D．4
－
三角函数的导数：③若 f(x)＝sinx，则 f′(x)＝cosx； ④若 f(x)＝cosx，则 f′(x)＝－sinx； 指数函数的导数：⑤若 f(x)＝ax，则 f′(x)＝axlna(a>0)； ⑥若 f(x)＝ex，则 f′(x)＝ex； 1 对数函数的导数：⑦若 f(x)＝logax，则 f′(x)＝xlna(a>0， 1 且 a≠1)；⑧若 f(x)＝lnx，则 f′(x)＝x .
13
(4)y＝log3x；(5)y＝sin x；(6)y＝
1 5 x2
.
12
解析： (1)y′＝(x )′＝13x
1 －3 (2)y′＝ x3 ′＝(x )′
13
13－1
＝13x ；
＝－3x
－3－1
＝－3x ；
－4
(3)y′＝(
4
1 1 1 1 3 x)′＝x4′＝4x4－1＝4x－4；
π k＝－sin－3＝
3 ， 2
1 3 π ∴其切线方程为 y－2＝ 2 x＋3， 即 3 3x－6y＋ 3π＋3＝0.
2.求曲线 y＝sin x 在点
π 1 A6，2的切线方程；
解析：
y′＝(sin x)′＝cos x，
π 3 ∴y′|x＝ ＝ ， 6 2 3 ∴切线斜率 k＝ 2 ， 1 3 π ∴切线方程为 y－ ＝ x－6， 2 2 化简得：6 3x－12y＋6－ 3π＝0.