8曲线与曲面—基本概念
曲面论复习(一)
1.1 简单曲面及参数表示 一 简单曲面 1 约当(Jordan)曲线: 平面上不自交的闭曲线。 2 初等区域：约当曲线把平面分成为两部分，有限的那部分区域 初等区域 叫初等区域。(约当曲线的内部) 3 简单曲面：平面上初等区域到三维空间的一一的、双方连续的 简单曲面 映射的像叫简单曲面。 二 （简单） 简单）曲面的参数方程 1 曲面的参数方程、 曲面的参数方程、曲纹坐标 设 G 是初等区域， G 中点的笛氏坐标是 (u,v) ,G 在空间的一一的 双方连续的像是曲面 S，S 上的点笛氏坐标为（x,y,z), 则 x,y,z 都是
r
r
r
r r r r ( ρ − r (u0 , v0 ), ru (u0 , v0 ), rv (u0 , v0 )) = 0
切平面方程用行列式表示为：
。
x − x(u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) xv (u0 , v0 )
y − y (u0 , v0 ) z − z (u0 , v0 ) yu (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 ) = 0 yv (u0 , v0 )
是什么曲线?
θ -曲线：是垂直于 z 轴 的平面与旋转面的交线（纬线）
t - 曲线：是旋转面的母线（经线）
1.2 光滑曲面 曲面的切平面和法线 一 光滑曲面,正常点,正规坐标网 1 C k 类曲面: 如果曲面的分量函数有直到 k 阶的连续偏导数,则 称为 k 阶正则曲面或称为 C k 类曲面.
2
2 光滑曲面: C 类曲面叫做光滑曲面.以后假定讨论的曲面都是 光滑曲面. 3 正常点: 对曲面 S 上一点 P0 (u0 , v0 ) , 过 P0 的 u-曲线: r = r (u , v0 ) ,其切向量为 ru (u0 , v0 ) ； 过 P0 的 v-曲线: r = r (u0 , v) ,其切向量为 如果
曲线积分与曲面积分复习
第8章 曲线积分与曲面积分8.1 向量值函数在有向曲线上的积分 第二型曲线积分概念与形式恒力沿直线方向做功 →→→→⋅=⋅=l F l F w θcos ||||变力沿曲线运动⇒取微元 Qdy Pdx ds F dw +=⋅=→||，则⎰++=LQdy Pdx W 。
平面曲线⎰++LQdy Pdx ，空间曲线⎰+++LRdz Qdy Pdx ，性质⎰⎰-+=LL一、计算方法1．设参数，化定积分⎰Ldx y x P ),(＋dy y x Q ),(＝dt t y t y t x Q t x t y t x P t t })()](),([)()](),([{1⎰'+'2．平面闭曲线上积分－用格林公式⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂L D Qdy Pdx dxdy y P x Q ，其中L 是D 的取正向的边界曲线，D 为单连通区域，P ，Q 与L D ⋃上有连续一阶偏导数。
3．对于积分与路径无关的可自选路径 4．积分与路径无关),(),,(y x Q y x P 及偏导数于L D ⋃上连续。
下列四个命题等价 （1）⎰+CQdy Pdx ＝0，对D 内任意闭曲线C .（2）⎰+LQdy Pdx 积分与路径无关（3）存在),(y x u 使du ＝dy y x Q dx y x P ),(),(+BA LLu du Qdy Pdx |==+⇒⎰⎰（4）x Qy P∂∂=∂∂ 在D 内恒成立.常以（4）为条件，（2）作为结论，自选路径积分 二、例题1．基础题目，设参数，化定积分（1） 计算⎰-=Lydx xdyI ，:L 如图ABCDEA 解 （1）设参数法⎰∑⎰==Li L i51于1L 上 设t x cos =，t y sin =⎰⎰-=+=-02222)sin (cos 1ππdt t t ydx xdy L于2L 上 设t x cos =，t y sin 2=⎰⎰=⋅+⋅=-2)sin sin 2cos 2(cos 2ππdt t t t t ydx xdy L于3L 上 以x 为参数，xdxdy 2-=⎰⎰-=---=-22238)]2()2([3dx x x x ydx xdy L于4L 上 以y 诶参数 2-=x ，0=dx ⎰⎰-=-=-1224dy ydx xdy L 于5L 上 1-=y ，以x 为参数(0=dy ) ⎰⎰-=--=-022)1(5dx ydx xdy L综上231423+=-⎰πLydx xdy解（2）（用格林公式）)(224321S S S S dxdyydx xdy DL+++==-⎰⎰⎰231423222232212141412+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅+⋅⋅+=πππ（2） 计算 ⎰++=Cdz x dy z dx y I 222。
曲面与曲线知识点总结
曲面与曲线知识点总结一、曲线与曲面的基本概念曲线是在平面上的点按照特定的规则所组成的图形，而曲面则是在三维空间内的点按照特定的规则所组成的图形。
在数学上，我们可以用函数来描述曲线和曲面，从而研究它们的性质和特点。
1.1 曲线的性质曲线可以是直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等不同类型的图形。
我们可以通过曲线的方程以及参数方程来描述它的形状和位置。
曲线的长短、曲率、切线、法线等性质对于描述曲线的形态和特点至关重要。
1.2 曲面的性质曲面可以是球面、圆柱面、圆锥面、双曲面、抛物面等不同类型的图形。
我们可以用二元函数或者参数方程来描述曲面的形状和位置。
曲面的曲率、切线、法线等性质是研究曲面形态的重要工具。
1.3 直角坐标系和参数方程在研究曲线和曲面的性质时，我们可以使用直角坐标系、参数方程和极坐标系等不同的数学工具来描述它们的形态和位置关系。
不同的描述方法可以帮助我们更好地理解曲线和曲面的性质。
二、曲线的方程与性质曲线方程是研究曲线性质的重要工具，通过曲线方程我们可以得到曲线的形状、位置、长度、曲率等重要信息。
2.1 一元曲线的方程一元曲线的方程可以用直角坐标系的方程或者参数方程来表示。
常见的一元曲线包括直线、圆和椭圆、抛物线、双曲线等。
这些曲线都有各自的特点和性质，通过曲线方程我们可以了解它们的形状和位置关系。
2.2 二元曲线的方程二元曲线的方程可以用参数方程或者隐式方程来表示。
常见的二元曲线包括螺线、双曲线、阿基米德螺线等。
通过曲线方程我们可以了解二元曲线的性质和特点。
2.3 曲线的性质曲线的性质包括长度、曲率、切线、法线等重要内容。
通过曲线方程和导数的求解，我们可以求得曲线的长度、曲率和切线、法线等相关信息，从而了解曲线的形态和特点。
三、曲面的方程与性质曲面方程是研究曲面性质的重要工具，通过曲面方程我们可以得到曲面的形状、位置、曲率等重要信息。
3.1 一元曲面的方程一元曲面的方程可以用隐式方程或者参数方程来表示。
空间曲线与曲面的基本概念与性质
空间曲线与曲面的基本概念与性质空间曲线和曲面是微积分中的基本概念。
在数学中，空间曲线是通过空间中移动的点定义的对象，而曲面则是由空间中移动的曲线定义的对象。
一、空间曲线的基本概念空间曲线是通过空间中一条路径上的点定义的。
例如，考虑一条简单的曲线，如y = sin(x)，该曲线在二维平面上表示为点的集合。
然而，在三维空间中，我们可以考虑该曲线如何在不同的方向上弯曲，这就是空间曲线的概念。
空间曲线还可以用参数方程来表示，例如，对于一条平面上的曲线y = sin(x)，我们可以将其表示为 z = f(x, y) = sin(x) 的空间曲线，其中 z 表示曲线在第三个维度上的高度。
许多重要的数学对象和算法都依赖于空间曲线，例如微积分中的积分曲线、微分几何中的切向量和曲率等。
二、空间曲线的性质空间曲线有许多重要的性质，这些性质是微积分中的基本概念。
1. 方向性：空间曲线沿某个方向运动时有所不同，这是由于空间曲线的切向量在不同方向上的变化不同。
2. 曲率：空间曲线的曲率表示曲线在某一点处的弯曲程度。
曲线的曲率越大，说明该点处曲线的弯曲程度越大。
3. 弧长：空间曲线的弧长是曲线的长度。
计算曲线弧长可以方便计算曲线上的其他性质。
三、曲面的基本概念曲面是经过空间中一条路径上的所有点的集合定义的对象。
曲面可以通过约束曲线（例如，平面或抛物线）的运动来定义。
例如，考虑一个平面曲线 y = sin(x)，我们可以对其进行旋转来构建一个圆柱体的曲面。
类似的，我们可以通过旋转一个椭圆来构建一个椭球体的曲面。
曲面也可以用参数方程来表示，例如，对于一个平面曲线 y = sin(x)，我们可以将其表示为 z = f(x, y) = sin(x) 的曲面，其中 z 表示曲面在第三个维度上的高度。
四、曲面的性质曲面是微积分中的基本概念，具有许多重要的性质。
1. 切向量：曲面在某个点处的切向量是曲面在该点处切线的方向向量。
2. 法向量：曲面在某个点处的法向量是垂直于曲面切线的向量。
高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)
ds L ( L 表示曲线 L 的弧长 ) ．
L
积函数可用积分曲线方程作变换．
（ 6） 奇偶性与对称性 如果积分弧段 L (AB ) 关于 y 轴对称，
f (x, y)ds 存在，则
L( AB )
f ( x, y)ds
L ( AB )
0,
f ( x, y) 关于 x是奇函数 ,
2
f ( x, y)ds，f ( x, y) 关于 x是偶函数 .
切线的方向余弦是一个常量。 所以， 当积分曲线是直线时， 可能采用两类不同的曲线积分的
转换。
定理 4 （格林公式）
设 D 是由分段光滑的曲线 L 围成，函数 P( x, y), Q (x, y) 及其一阶偏导数在 D 上连续，
则有
P(x, y)dx Q (x, y)d y
Q P dxdy
L
Dx x
设 L (AB ) 的平面曲线： 其参数方程： x
分别是 和 ，则
(t), y
(t) ，起点和终点对应的参数取值
Pdx Qdy
L ( AB)
{ P( (t ), (t)] (t) Q[( (t), (t )] (t )}dt
设 L (AB ) 的空间曲线 ：其参数方程： x (t), y (t ), z w(t ) ，起点和终点对应的
表示曲线的线密度。 定义 2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）
（ 1）平面曲线 L( AB) 的积分：
P(x, y)dx Q( x, y)dy
L ( AB )
（ 2）空间曲线 L( AB) 的积分：
n
lim
(T ) 0
[ f ( k , k ) xk
k1
f ( k , k ) yk ]
一曲面的概念
一 曲面的概念1 简单曲面以及参数表示（1） 主要概念若尔当曲线，初等区域、简单曲曲面的参数表示、区纹坐标、坐标曲线、区纹坐标网。
（2） 主要公式曲面的参数方程：曲面S),(v x x μ=，),(v y μ=，),(v z μ=，G v ∈),(μ 曲面的向量参数表示：曲面S==),(v u r r),,({v u x ),,(v u y )},(v u z其中G v u ∈),(，u ，v 曲面上的点的曲纹坐标。
（3） 实例：圆柱面的参数表示),(z r θ={}z R ,cos θ=即,θμ=G z v ,=是一个长方形的区域：,20πθ<<.∞<<-∞z 坐标曲线是：-θ曲线（z=常数）即=),(0z r θ{}z R R 0,sin ,cos θθ.它是垂直于轴的平面和原柱面的交线，它们都是圆。
-z 曲线（θ是常数）即:{}z R R z r ,sin ,cos ),(000θθθ= 它是原柱面上的直母线。
球面的参数表示为：),(θφr r =,cos cos {φθR = }sin ,sin cos θφθR R ， G ∈),(θφ是一个长方形区域：22πθπ<<-；.20θφ<<即φ=u ，θ=v 。
坐标曲线是-ϕ曲线（θ=常数），即),(0θϕr =ϕθcos cos {0R ，ϕθsin cos 0R ，}sin 0θR 是球面上等纬度的圆——纬线，-θ曲线，（θ=常数），即==),(0θϕr ϕθ0cos cos {R ，}sin ,sin cos 0θθϕR 它是球面上过两极的半圆——纬线（子午线）。
2光滑曲面（1）主要概念k 阶正则曲面、光滑曲面、曲面的正常点、曲面的正规坐标网、曲面的特殊参数表示、曲面的切方向、曲面的切平面、曲面的法方向、曲面的法线、曲面的正侧。
（2）主要定理命题 1 曲面在正常点的邻域中可以有形式为),(y x z z =的特殊参数表示。
曲线积分与曲面积分的概念与计算
曲线积分与曲面积分的概念与计算在数学中，曲线积分和曲面积分是两个重要的概念，用于描述曲线和曲面上的各种物理量的计算。
本文将详细介绍这两个概念的定义以及计算方法。
1. 曲线积分的概念与计算曲线积分用于计算曲线上的矢量场或标量场沿曲线的积分值，常用于求解沿路径的功、电磁感应等问题。
曲线积分可以分为第一类和第二类，下面将分别介绍。
1.1 第一类曲线积分第一类曲线积分可以用于计算矢量场沿曲线的积分值，其计算公式如下：∮C F·ds其中，C表示曲线，F表示矢量场，ds表示曲线C上的一小段投影长度，F·ds表示矢量场F与ds的点积。
要计算第一类曲线积分，首先需要确定曲线C的参数方程，并对其进行参数化。
然后，将参数方程代入上述公式，并对参数范围进行积分即可得到结果。
1.2 第二类曲线积分第二类曲线积分用于计算标量场沿曲线的积分值，其计算公式如下：∮C f ds其中，C表示曲线，f表示标量场，ds表示曲线C上的一小段投影长度。
要计算第二类曲线积分，同样需要确定曲线C的参数方程，并对其进行参数化。
然后，将参数方程代入上述公式，并对参数范围进行积分即可得到结果。
2. 曲面积分的概念与计算曲面积分用于计算曲面上的矢量场或标量场通过曲面的通量或质量的计算。
曲面积分同样可以分为第一类和第二类，下面将一一介绍。
2.1 第一类曲面积分第一类曲面积分用于计算矢量场通过曲面的通量，其计算公式如下：∬S F·dS其中，S表示曲面，F表示矢量场，dS表示曲面S上的一小块面积，F·dS表示矢量场F与dS的点积。
要计算第一类曲面积分，首先需要确定曲面S的参数方程，并对其进行参数化。
然后，将参数方程代入上述公式，并对参数范围进行积分即可得到结果。
2.2 第二类曲面积分第二类曲面积分用于计算标量场通过曲面的质量，其计算公式如下：∬S f dS其中，S表示曲面，f表示标量场，dS表示曲面S上的一小块面积。
解析几何中的曲线与曲面
解析几何中的曲线与曲面在数学的几何学中，曲线和曲面算是比较基本的概念。
它们分别是二维和三维空间中的图形，而在解析几何中，这两个概念被用于描述函数和方程。
本文将对解析几何中曲线和曲面的定义、性质、分类和应用进行介绍和分析。
一、曲线的定义和性质在二维空间中，曲线被定义为一条连续的、有限的、平面上的线段。
而在三维空间中，曲线也被定义为一条连续的、有限的、在空间中的线段。
曲线的性质通常包括弧长、曲率和切线等。
1、弧长弧长是曲线上两点之间的距离之和，也可以被认为是曲线的长度。
在二维和三维空间中，根据弧长的计算，曲线可以被分为直线和曲线两类。
弧长可以表示为：2、曲率曲率是描述曲线弯曲程度的参数。
简单地说，曲率越大，曲线越弯曲。
曲率可以用以下公式计算：其中，r为曲率半径。
3、切线切线是曲线在任意一点处的切线。
切线的方向和曲线在该点处的切线方向一致。
在二维空间中，曲线的切线可以用导数表示。
在三维空间中，曲线的切线可以用切向量表示。
二、曲线的分类在解析几何中，曲线按照其方程和性质可以被分为多种类型，包括直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等。
以下分别对这些类型进行介绍。
1、直线直线是最简单最基本的曲线，由无数个点组成。
直线的方程一般为y=ax+b或y=kx，其中a、b、k均为实数。
2、圆圆是平面内到给定点距离相等的所有点的集合。
图像是一个半径为r的圆心为(a,b)的圆。
圆的方程可以表示为(x-a)²+(y-b)²=r²。
3、椭圆椭圆是平面内到两个给定点距离之和为常数的所有点的集合。
图像呈现为一个狭长的圆形，由两个焦点确定。
椭圆的方程可以表示为(x/a)² + (y/b)² = 1。
4、抛物线抛物线是一种二次曲线，由平面上各点到定点距离与各点到定直线距离的差的平方成正比的轨迹。
抛物线图像特征是平面上一个开口朝上或朝下的弧形。
抛物线的方程可以表示为y=ax² + bx+c。
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通过每个点的分段三次多项式曲线方程：
x(t) axt3 bxt 2 cxt dx y(t) ayt3 byt 2 cyt d y
t [0,1]
z(t) azt3 bzt 2 czt dz
20
三次样条的参数方程
P(t)=at3+bt2+ct+d
其中p(t)是三次参数曲线上任意一点的位置向量，a,b,c,d是待定系数
d k P(t) dt k
t t0
d k P(t) dt k
, k tt0
0,1,n
记号 C n
13
几何连续性
直观的、易于交互控制的连续性
0阶几何连续
称曲线P=P(t)在 t t0 处0阶几何连续，如果它在 t0 处位置连续，即
P(t0 ) P(t0 ) 记为 GC0
1阶几何连续
称曲线P=P(t)在 t t0 处1阶几何连续，如果它在该 处 GC0 ,并且切矢量方向连续
表示最简单 理论和应用最成熟
定义--n次多项式曲线
x(t) x0 x1 t xn tn
y(t
)
y0
y1
t
yn
tn
z(t)
z0
z1
t
zn
tn
t [0,1]
19
三次样条
三次多项式在灵活性和计算速度之间提供了一个合理的 折中方案。与更高次的多项式相比，三次样条只需要较少的 计算且存储较稳定；与低次多项式相比，三次样条又具有更 多的灵活性。（事实上，大多数形状表示与设计都是采用三 次多项式来实现的）
2
概 述-工业产品形状
工业产品的形状大致可分为： 1. 由初等解析曲线曲面组成 2. 由自由曲线曲面组成
初等解析曲面包括平面、圆柱面、圆锥面、球面等表 面，如大多数机械零件的表面；
自由曲线曲面就是以复杂方式自由地变化的曲线曲面， 如飞机、汽车、轮船等具有复杂外形产品的表面。
如何由离散点来近似地决定曲线和曲面，即通过测量或实验 得到一系列有序点列，根据这些点列构造出一条光滑曲线， 以直观地反映出实验特性、变化规律和趋势等，是工程中必 须解决的问题
自由曲线与曲面（基本概念）
东华大学 机械工程学院
1
概 述-分类
工程应用中曲线和曲面的分类
1. 最终生成的曲线或曲面通过所有给定型值点， 比如抛物样条曲线和三次参数样条曲线，这样 的曲线用于插值放样。
2. 最终生成的曲线或曲面不一定通过给定的型值 点，而只是比较好地接近这些点，这类曲线或 曲面比较适合于外形设计。
3
研究内容
研究内容
对几何外形信息的计算机表示 对几何外形信息的分析与综合 对几何外形信息的控制与显示
4
概述
从形状表示与设计的角度来看 （1）丰富的表达能力：表达两类曲线曲面 （2）易于实现光滑连接 （3）形状易于预测、控制和修改 （4）几何意义直观，设计不必考虑其数学表达
5
自由曲线曲面的发展过程
2 -2 1 1
TMh =(t3 t2 t 1) 3 -3 -2 -1
0 01 0 1 00 0
Hermite基函数的各分量：
H0(t)= 2t3-3t2+1
利用基函数表达的三次Hermite样条曲线方程：
H1(t)= -2t3+3t2
P(t)=P0H0(t)+P1H1(t)+p0’H2(t)+p1’H3(t)
H2(t)= t3-2t2+t
H0(t)和H1(t)专门控制端点的函数值对曲线的影响，同 端点的导数值无关；
H3(t)= t3-t2
H2(t)和H3(t)专门控制端点的一阶导数对曲线形状的影 响，同点的函数值无关；
23
参数多项式曲线
矢量表示形式
x(t) x0
P(t
)
y(t)
y0
z(t) z0
21
三次参数曲线-Hermite样条曲线
ax ay az P(t)=(t3 t2 t 1) bx by bz
cx cy cz dx dy dz
a
=(t3 t2 t 1) b
c d
=TC
2 -2 1 1 P0
C= =M G 3 -3 -2 -1 P1 0 0 1 0 p0’
hh
1 0 0 0 p1’
记为 GC1
P(t0 ) P(t0 ) 0为任一常数
14
2阶几何连续
2阶几何连续
称曲线P=P(t)在 t t0处2阶几何连续，如果它在 t0处
（1） GC1
（2）副法矢量方向连续 B(t0 ) B(t0 )
（3）曲率连续
k(t0 ) k(t0 )
15
参数表示的好处
1. 有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状； 2. 易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算； 3. 被描述的自由曲线的形状本质上与坐标系的选取无关； 4. 规格化的参数变量t[0,1], 使其相应的几何分量是有界的，不必用其他
p(t)=p1+(p2-p1)t=(1,2)+[(4,3)-(1,2)]t
P(t)=(1,2)+(3,1)t
X(t)=x1+(x2-x1)t=1+3t
Y(t)=y1+(y2-y1)t=2+t
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=3
10
参数曲线---圆
第1象限单位圆： 1）y=(1-x2)-1/2 2) x=cosθ, y=sin θ 3)x=(I-t2)/(1+t2)
加权和形式
x1 y1
xn yn
1 t
记为
C
T
z1 zn t n
P(t) C T P0 t P1t n Pn t [0,1]
t [0,1]
24
参数多项式曲线
矩阵表示
矩阵分解
C G•M P(t) C •T G • M •T t [0,1]
几何矩阵
G G0 G1 Gn
边界
插值
点点通过型值点
插值算法：线性插值、抛物样条插值、Hermite插值
逼近
提供的是存在误差的实验数据
最小二乘法、回归分析
提供的是构造曲线的轮廓线用的控制点
Bezier曲线、B样条曲线等
光顺 拟合
18
参数多项式曲线
为什么采用参数多项式曲线
的参数去定义边界； 5. 参数方程中，变量完全分离，而且对变量的个数不限，从而方便用户
把低维空间中的曲线、曲面扩展到高维空间； 6. 设计或表示形状更直观，许多参数表示的基函数如Bernstein基和B样
条函数，有明显的几何意义；
16
曲线曲面拟合方法
已知条件的表示方法
一系列有序的离散数据点
型值点 控制点
8
参数曲线基础
参数表示
x x(t)
y
y(t)
z z(t)
参数的含义
t [a,b]
时间，距离，角度，比例等等
规范参数区间[0，1]
9
参数曲线---直线
参数矢量表示形式
例子：直线段的参数表示
P P(t) P0 t(P1 P0) (1 t)P0 tP1 t [0,1]
EXAMPLE: 已知直线段的端点坐标分别是p1(1,2), p2(4,3), 该直线段的参数表达式为
描述参数曲线的条件有端点位置向量、端点切线向 量及曲率等。对于三次参数曲线，可以用其端点向 量P(0),P(1)和端点切向量P’(0)和P’(1)表示。
（简记p0,p1,p0’,p1’）
计算得 a=2p0-2p1+p0’+p1’ b=-3p0+3p1-2p0’-p1’ c=p0’ d=p0
P(t)=(2t3-3t2+1)p0+(-2t3+3t2)p1+(t3-2t2+t)p0’+(t3-t2)p1’
y=2t/(1+t2)
11
曲线的连续性
设计一条复杂曲线时，常常通过多段曲线组合 而成， 这需要解决曲线段之间如何实现光滑连 接的问题。 曲线间连接的光滑度的度量：函数的可微性， 几何连续性
12
函数的可微性
曲线P = P(t)在 t t0处n阶参数连续，如果它 在 t0 处n阶左右导数存在，并且满足
控制顶点 Gi 基矩阵M
M •T 确定了一组基函数
25
6
曲线的表示形式
非参数表示
显式表示
隐式表示
y f (x)
z
g
(
x)
f (x, y, z) 0 g(x, y, z) 0
显示方程不能表示封闭或多值曲线（如椭圆）
7
非参数表示法的缺点
1. 与坐标轴相关； 2. 会出现斜率无穷大的情况； 3. 对于非平面曲线或曲面，难以用常系数 的非参数化函数表示； 4. 不便于计算机编程；
目标：美观，且物理性能最佳
1963年，美国波音飞机公司，Ferguson双三次曲 面片 1964~1967年，美国MIT，Coons双三次曲面片 1971年，法国雷诺汽车公司，Bezier曲线曲面 1974年，美国通用汽车公司，Cordon和 Riesenfeld, Forrest, B样条曲线曲面 1975年，美国Syracuse大学，Versprille有理B样条 80年代，Piegl和Tiller, NURBS方法
Mh是Hermite矩阵（边界约束），通常为常数；Gh 是Hermite几何向量
则p(t)=TMhGh
22
Hermite样条曲线
p(t)=TMhGh 式中，只要给定Gh，就可以求出p(t)
对于不同的初始条件Gh 是不同的，但T和Mh都是相同的. 因此可将TMh称为Hermite基函数（也称调和函数）