计算机图形学 第八章 自由曲线和曲面

27
Chapter 8曲线和曲面
Hermite基函数
⎡t 3 t 2 ⎣ ⎡ 2 −2 1 1 ⎤ ⎢ −3 3 −2 −1⎥ ⎥ t 1⎤ ⎢ ⎦ ⎢0 0 1 0⎥ ⎢ ⎥ 1 0 0 0⎦ ⎣
H(t)
1 0.8
H0(t)
H1(t)
H1 ( t ) = −2t + 3t
3
2
0.4 0.2 0.2
自然三次样条
P4 P5 R5 P2 P3
P 1 R0 P0
Chapter 8曲线和曲面
四种方法中的第三种
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自然三次样条
不能局部控制（任一点对整条曲线有有影响） 只适应于型值点分布均匀的情况 不好构造……
Chapter 8曲线和曲面
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三次样条
很多型值点时，都是分段构造 局部修改性很重要……
分而治之
22
Chapter 8曲线和曲面
三次样条
三次Hermite样条 三次自然样条
⎧ x ( t ) = a3t 3 + a2t 2 + a1t + a0 ⎪ ⎪ y ( t ) = b3t 3 + b2t 2 + b1t + b0 ⎨ ⎪ z ( t ) = c3t 3 + c2t 2 + c1t + c0 ⎪ ⎩ p (t ) = ⎡ a3 ⎢a t 1⎤ • ⎢ 2 ⎦ ⎢a 1 ⎢ ⎣ a0 b3 b2 b1 b0 c3 ⎤ c2 ⎥ ⎥ c1 ⎥ ⎥ c0 ⎦
参数连续性
0阶C 0： pi ( ti1 ) = pi +1 t( i +1)0
几何连续性
(
1阶C1：p 'i ( ti1 ) = p 'i +1 t( i +1)0
(
)
0阶G 0： pi ( ti1 ) = pi +1 t( i +1)0
2阶C 2：p ''i ( ti1 ) = p ''i +1 t( i +1)0
4
曲线和曲面
Chapter 8曲线和曲面
5
曲线和曲面
样条曲线曲面 Bezier曲线曲面 B样条曲线曲面 有理样条曲线曲面 ……
•讨论原理 •讨论性质 •……
Chapter 8曲线和曲面
6
目 录
曲线曲面基础 自由曲线
三次样条曲线 Bezier曲线 B样条曲线 有理样条曲线
自由曲面的表示
Chapter 8曲线和曲面
Rk PK +1 Pk Rk
⎡t 3 ⎣
t2
p ( 0 ) = Pk p′ ( 0 ) = Rk
p (1) = Pk +1 p ′ (1) = Rk +1
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Chapter 8曲线和曲面
三次Hermite样条
⎡ p ( 0 ) ⎤ ⎡ Pk ⎤ ⎡0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 p (1) ⎥ ⎢ Pk +1 ⎥ ⎢ = =⎢ ⎢ p ' ( 0 ) ⎥ ⎢ Rk ⎥ ⎢0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ p ' (1) ⎥ ⎣ Rk +1 ⎦ ⎣ 3 ⎣ ⎦
曲线不一定完全通过 给定的点序列
点：控制点 控制多边形
图8-2 曲线的逼近
逼近8曲线和曲面 Chapter
15
曲线曲面表示方法的性能指标
描 述 性 计算代价 易操作性
Chapter 8曲线和曲面
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目 录
曲线曲面基础 自由曲线
三次样条曲线 Bezier曲线 B样条曲线 有理样条曲线
自由曲面的表示
Chapter 8曲线和曲面
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目 录
曲线曲面基础 自由曲线
三次样条曲线 Bezier曲线 B样条曲线 有理样条曲线
自由曲面的表示
Chapter 8曲线和曲面
37
Bezier曲线
逼近曲线 控制方便、直观
控制多边形反应曲线 形状 控制点的数目确定阶 次
由工程师发明的……
Chapter 8曲线和曲面
Chapter 8曲线和曲面
0 1 0 2
0 1 1 1
1⎤ ⎥ 1⎥ ⋅C 0⎥ ⎥ 0⎦
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三次样条
⎡0 ⎢1 C=⎢ ⎢0 ⎢ ⎣3 0 0 1⎤ ⎥ 1 1 1⎥ 0 1 0⎥ ⎥ 2 1 0⎦
−1
⎡ P ⎤ ⎡2 k ⎢P ⎥ ⎢−3 ⎢ k+1 ⎥ = ⎢ ⋅ ⎢ Rk ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣Rk+1⎦ ⎣ 1
Chapter 8曲线和曲面
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样条描述
⎧ x ( t ) = ant n + ⋅⋅⋅ + a2t 2 + a1t + a0 ⎪ ⎪ y ( t ) = bnt n + ⋅⋅⋅ + b2t 2 + b1t + b0 如何根据已知条 ⎨ ⎪ n 2 件求C? ⎪ z ( t ) = cnt + ⋅⋅⋅ + c2t + c1t + c0 ⎩ p (t ) = ( x (t ) y (t ) z (t )) ⎡ an ⎢ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ t 1⎤ ⎢ ⎦ ⎢a 1 ⎢ ⎣ a0 bn cn ⎤ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⎥ ⎥ = T ⋅C b1 c1 ⎥ ⎥ b0 c0 ⎦
7
曲线曲面基础
曲线、曲面数学描述的发展 曲线、曲面的表示 连续性条件
Chapter 8曲线和曲面
8
曲线与曲面数学描述的发展
早期：
y = y(x) F(x,y) = 0
现代：
1963年波音公司提出矢函数的方法 1964年，MIT的Conns——孔斯双三次曲面片 Bezier…… ……
Chapter 8曲线和曲面
9
曲线曲面表示的要求
唯一性(给定已知信息，形状唯一） 几何不变性（点相对位置确定，几何形状确定； 不同坐标系；标量函数不具备；） 易于定界（参数方程描述能确定边界） 统一性（统一的数学形式表示不同曲线曲面） 易于实现光滑连接（曲线、曲面片间连接） 几何直观（几何意义明显，易被工程人员接受）
Chapter 8曲线和曲面
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⎡t 3 ⎣
t2
Chapter 8曲线和曲面
三次Hermite样条
⎧ x ( t ) = a3t 3 + a2t 2 + a1t + a0 ⎪ ⎪ y ( t ) = b3t 3 + b2t 2 + b1t + b0 ⎨ ⎪ z ( t ) = c3t 3 + c2t 2 + c1t + c0 ⎪ ⎩ p (t ) = ⎡ a3 ⎢a t 1⎤ • ⎢ 2 ⎦ ⎢a 1 ⎢ ⎣ a0 b3 b2 b1 b0 c3 ⎤ c2 ⎥ ⎥ c1 ⎥ ⎥ c0 ⎦
Chapter 8曲线和曲面
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自然三次样条的一段 t∈[0,1]
⎧ x ( t ) = a3t + a2t + a1t + a0 ⎪ ⎪ 3 2 ⎨ y ( t ) = b3t + b2t + b1t + b0 ⎪ 3 2 ⎪ z ( t ) = c3t + c2t + c1t + c0 ⎩
3 2
计算机图形学
第八章：曲线和曲面
王晓华 合肥工业大学，计算机与信息学院
曲线和曲面
Chapter 8曲线和曲面
2
曲线和曲面
直线
圆弧
自 由 曲 线
Chapter 8曲线和曲面
3
曲线和曲面
基本原则：
用一组点表示、记录 曲线
关键问题：
如何“连接”这些点生 成线？
自 由 曲 线
Chapter 8曲线和曲面
Chapter 8曲线和曲面
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n段自然三次样条
x(t)未知数：4n 可联立的方程数：
内 点：2(n-1) (一内点分别在左右两条曲线上） 一阶导数：n-1（两侧两条曲线在内点上相等） 二阶导数：n-1 P0 ，P1 分别在起点和终点曲线上：2
还少两个方程，有多种方法
Chapter 8曲线和曲面
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非参数形式
曲线曲面的表示
B(x1,y1)
参数形式
B(x1,y1)
A(x0,y0)
A(x0,y0)
y = kx + b f ( x, y ) = 0;
Chapter 8曲线和曲面
⎧ x = x(t ) , t ∈ [ a, b ] ⎨ ⎩ y = y (t )
曲线曲面的参数表示
⎧ x = x(t ) ⎪ ⎨ y = y (t ) ⎪ z = z (t ) ⎩ t ∈ [a, b] → t ∈ [0,1]
p (t ) = ∑ Pk BEN k ,1 (t ) = (1 − t ) P0 + tP 1
k =0 1
t ∈ [0,1]
Chapter 8曲线和曲面
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p (t ) = ∑ Pk BEN k , 2 (t )
k =0
2
二次Bezier曲线
2 2
= (1 − t ) P0 + 2t (1 − t ) P + t P2 1 = ( P2 − 2 P + P0 )t 2 + 2( P − P0 )t + P0 1 1
H2(t)
0.4 0.6 0.8 1
t
H 2 ( t ) = t 3 − 2t 2 + t H3 (t ) = t − t
3 2
-0.2
H3(t)
图8-4 Hermite基函数
Chapter 8曲线和曲面
`
H 0 ( t ) = 2t 3 − 3t 2 + 1