反比例函数与几何图形面积 课件 人教版
做一做
1.如图,点P是反比例函数 y ?图2象上的 x
一点,PD⊥x轴于 D.则△POD的面积为 .
1
y
P (m,n)
oD
x
9.如图, P是反比例函数y ? k 图像上的一点,由P分别 x
向x轴, y轴引垂线,阴影部分面积为3,则这个反比
函数的解析式是 ____ .
解:由性质(2)可得
S矩形APCO ? | k |,? | k |? 3.
反比例函数与几何图形面积
（1）
回顾与思考1
挑战“记忆”
?你还记得一次函数的图象与性质吗?
? 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线 ,
称直线y=kx+b.
?当k>0时,
?当k<0时,
y
y
b>0
b=0
o
x
b<0
b<0
b=0
o
x
b<0
? y随x的增大而增大 ;
? y随x的增大而减小 .
?反比例函数的图象和性质：
y
又 ?图像在二,四象限 ,
PC
? k ? ?3 ? 解析式为y ? ? 3 .
x
A ox
7.如图, A, B是函数y ? 1 的图像上关于原点O对称 x
的任意两 点AC平行于y轴, BC平行于x 轴,ΔABC的
面积为 S,则_C__.
y
A.S = 1 C.S = 2
B.1<S<2 D.S>2
解:由上述性质 (3)可知, S△ABC = 2|k| = 2
C.S1 = S2
S2
B
x
D.S1和S2的大小关系不能确定. C D
由上述性质 1可知选C
8.如图, 在y ? 1 ( x ? 0)的图像上有三点 A, B, C, x
经过三点分别向 x轴引垂线 ,交x轴于A1, B1,C1三点,
边结OA,OB,OC ,记? OAA1, ? OBB1, ? OCC1的
?
1 2
| m | ? | n |?
1 2
|k
|
(2)过P分别作 x轴, y轴的垂线,垂足分别 A, B, 则S矩形OAPB ? OA ?AP ? | m | ? | n |? | k | (如图所 ).
面积性质（二）
y
y
B
P(m,n)
oA
x
B
P(m,n)
oA
x
(3)设P (m, n)关于原点的对称点是 P?(? m,? n), 过P作x轴的垂线
k x
（k<0）分别交于点C、D，且C点坐标
1.反比例函数的图象是双曲线;
2.图象性质见下表：
y= k
K>0
K<0
x
图 象
当k＞0时，函数图象 当k＜0时，函数图象
性 的两个分支分别在第 的两个分支分别在第
质
一、三象限，在每个 二、四象限，在每个 象限内，y随x的增大 象限内，y随x的增大
而减小 .
而增大 .
设P(m,n)是双曲线 y ? k (k ? 0)上任意一点,有 : x
与过P作y轴的垂线交于 A点,则
SΔPAP??
1 2
|
AP ?AP?|?
1 2
| 2m
|?| 2n |?
2|
k
| (如图所
).
面积性质（三）
y
o
P/
P(m,n)
x
A
y
o
P/
P(m,n)
x
y
o
P/
P(m,n)
x
以上几点揭示了双曲线上的点构成的几 何图形的一类性质.掌握好这些性质,对 解题十分有益.(上面图仅以P点在第一象 限为例).
(1)过P作x轴的垂线,垂足为A,则 面积性质
1
1
1
S? OAP
?
?OA ?AP 2
?
2
| m | ? | n |?
2
|k
|
（一）
y
P(m,n)
y
oA
x
P(m,n)
oA
x
想一想
若将此题改为过 P点 作y轴的垂线段 ,其结
论成立吗 ?
y
P(m,n) oA x
y A P(m,n)
o
x
S? OAP
?
1 ?OA ?AP 2
A
o
x
B
C
6.(武 汉市2000年) 如图:A 、C是函数 y
?
1 x
的图象上任意两点，
过A作x 轴的垂 线, 垂足 为B. 过C作y 轴的垂 线,
垂足 为D. 记Rt ΔAOB 的面 积为 S 1 , y
Rt ΔOCD 的面 积为 S 2 , 则__C_.
A.S1>S2 B.S1<S2
o S1 A
, 2
S? OOC1
?
1 |k 2
|?
1 2
,
即S1
?
S2
?
S3 , 故选A.
交点问题：
? 1、与坐标轴的交点问题： 无限趋近于 x、y轴， 与x、y轴无交点。 ? 2、与正比例函数的交点问题： 可以利用反比例函数的中心对称性。 ? 3、与一次函数的交点问题： 列方程组，求公共解，即交点坐标。
2.已知如图,反比例函数y ? ? 8 与一次函数y ? ? x ? 2的图 x
交于A, B两点.求(1) A, B两点的坐标;(2)? AOB的面积.
解
:
(1)???
y
?
?
8 x
,
?? y ? ? x ? 2.
解得?? ?
x y
? ?
4?,2;或???
x y
? ?
? 2, 4.
y A
N M
O
x
B
? A(? 2,4), B(4,? 2).
5.
如图 : Rt? ABO的顶点A是双曲线y ? k 与直线y ? －x? (k ? 1)
x
在第二象限的交点 , AB ?
x轴于点B,且S? ABO
?
3, 2
(1)求这两个函数的解析式 ;
(2)求直线与双曲线的两个 交点A、、 的坐标和? AOC的面积.
y A
D
BO
x
C
4.
如图,已知反比例函数y ? 12的图象与一次函数 x
y ? kx ? 4的图象相交于P,Q两点,并且P点的 纵坐标是6.
面积分别为 S1, S2 , S3,则有 __A.
y
A.S1 = S2 = S3
B. S1 < S2 < S3
A
C. S3 < S1 < S2 D. S1 > S2 >S3
解:由性质(1)得
S1
B C
S2 S3
o A1 B1 C1
x
11
11
S? AOA1
?
| k |? 2
2 , S? BOB1
?
| k |? 2
(1)求这个一次函数的解析式; y
(2)求? POQ的面积.ห้องสมุดไป่ตู้
P
o Q
x
3. 如图,已知一次函数y ? kx ? b的图象与反比例函数
y ? ? 8 的图象交于A, B两点,且点A的横坐标和点B x
的纵坐标都是 ? 2.
y
求 : (1)一次函数的解析式;
A
(2)? AOB的面积.
O
x
B
6.
如图,O是坐标原点, 直线OA与双曲线y ? k 在第一象限内 x
点A, 过A作AB ? x轴,垂足为B,如果OB ? 4( AB : OB) ? 1 . 2
(1)求双曲线的解析式;
( 2)直线 AC与y轴交于点 C (0,1), 与x轴交于点D.求? AOD的面积.
y
DC
o
A Bx
7．如图所示，已知直线 y1=x+m 与x轴、
y?轴分别交于点A、B，与双曲线y2=
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反比例函数与几何图形变换PPT
反比例函数与几 何图形变换
目录
• 反比例函数的基本概念 • 反比例函数与几何图形的关系 • 反比例函数在几何图形变换中的
应用 • 反比例函数在解决几何问题中的
应用 • 反比例函数在实际生活中的应用
01
反比例函数的基本概念
反比例函数的定义
01
反比例函数：形如$f(x)
=
frac{k}{x}$（其中$k neq 0$）的
总结词
总结词
在圆中，面积与半径之间也存在反比例关系。当圆的 半径增加时，其面积会减小；反之亦然。反比例函数
同样可以用来描述这种关系。
详细描述
反比例函数可以用于描述圆面积与半径之间的关系。
03
反比例函数在几何图形变 换中的应用
平移变换
平移变换
将图形在平面内沿某一方向移动一定的距离，而不改变其形状和大小。
函数被称为反比例函数。
02
反比例函数的定义域为$x neq 0$， 值域为全体实数。
反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，位于第 一和第三象限或第二和第四象限。
当$k > 0$时，图像位于第一和第三象 限；当$k < 0$时，图像位于第二和第 四象限。
反比例函数的性质
01
02
03
奇函数
由于$f(-x) = frac{k}{-x} = -frac{k}{x} = -f(x)$， 反比例函数是奇函数。
在经济学中的应用
供需关系
在经济学中，供给与需求之间存在反比关系。当一种商品的需求增加时，供给会 相应减少，反之亦然。这种关系决定了市场价格的形成和变化。
投资回报率
投资回报率与投资风险之间也存在反比关系。高回报往往伴随着高风险，而低风 险则可能带来较低的回报。这一关系在个人理财和投资决策中具有指导意义。
目录
• 反比例函数的基本概念 • 反比例函数与几何图形的关系 • 反比例函数在几何图形变换中的
应用 • 反比例函数在解决几何问题中的
应用 • 反比例函数在实际生活中的应用
01
反比例函数的基本概念
反比例函数的定义
01
反比例函数：形如$f(x)
=
frac{k}{x}$（其中$k neq 0$）的
总结词
总结词
在圆中，面积与半径之间也存在反比例关系。当圆的 半径增加时，其面积会减小；反之亦然。反比例函数
同样可以用来描述这种关系。
详细描述
反比例函数可以用于描述圆面积与半径之间的关系。
03
反比例函数在几何图形变 换中的应用
平移变换
平移变换
将图形在平面内沿某一方向移动一定的距离，而不改变其形状和大小。
函数被称为反比例函数。
02
反比例函数的定义域为$x neq 0$， 值域为全体实数。
反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，位于第 一和第三象限或第二和第四象限。
当$k > 0$时，图像位于第一和第三象 限；当$k < 0$时，图像位于第二和第 四象限。
反比例函数的性质
01
02
03
奇函数
由于$f(-x) = frac{k}{-x} = -frac{k}{x} = -f(x)$， 反比例函数是奇函数。
在经济学中的应用
供需关系
在经济学中，供给与需求之间存在反比关系。当一种商品的需求增加时，供给会 相应减少，反之亦然。这种关系决定了市场价格的形成和变化。
投资回报率
投资回报率与投资风险之间也存在反比关系。高回报往往伴随着高风险，而低风 险则可能带来较低的回报。这一关系在个人理财和投资决策中具有指导意义。
2024九年级数学下册第26章用反比例函数比例系数k的几何意义解与面积相关的应用课件新版新人教版
【解】∵直线 AB 交 y 轴于点 C，∴点 C(0，2)， ∴S 四边形 COMN＝S△OMN＋S△OCN＝32＋12×2×t. ∵S 四边形 COMN>3，∴32＋12×2×t>3，∴t＞32.
【点方法】 当反比例函数图象中的几何图形的面积无法直接
求出时，可将其转化为与比例系数k相关的矩形或直 角三角形的面积，通过面积的和或差进行计算．
在 Rt△ ACE 中，CE＝ AC2－AE2＝3， ∴OE＝8，∴A(8，4)，∴k＝4×8＝32， ∴反比例函数的解析式为 y＝3x2. 将 A 和 C 的坐标代入一次函数解析式中， 得85aa＋＋bb＝＝40，，解得ab＝ ＝－43，230. ∴一次函数的解析式为 y＝43x－230.
(2)请直接写出不等式 ax＋b>kx的解集. 【解】不等式 ax＋b＞kx的解集为 x>8 或－3<x<0.
(2)若y轴上有一点C(0，n)，△ABC的面积为4，求点C的 坐标. 【解】解方程组yy＝＝2x2，x，得xy11＝＝21，，xy22＝＝－－21.， ∴点 B 的坐标为(－1，－2)．
如图，过点 A，B 分别作 y 轴
的垂线，垂足分别为 E，F，
∵A(1，2)，B(－1，－2)，C(0，n)， ∴AE＝BF＝1，OC＝|n|. ∵S△ ABC＝S△ AOC＋S△ BOC＝4， ∴12OC·AE＋12OC·BF＝4， 即|n|×1＋|n|×1＝8，∴|n|＝4，∴n＝±4， ∴点 C 的坐标为(0，4)或(0，－4)．
【点方法】 一次函数与反比例函数常常放在一起考查，所以
要牢牢掌握它们各自的性质与图象特征，综合考虑， 解题时要关注两种函数图象的交点.
5 [2023·乐山]如图，一次函数 ym，4)，与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C(0，3).
人教版九年级下册数学课件：反比例函数与面积问题(共31张PPT)
点拨：点 P 的坐标为(a，1a)，则 A(a，－3a)，B(－3a，1a)，S△PAB＝ 12×[1a－(－3a)]×[a－(－3a)]＝12×4a×4a＝8.
变式10
S△AOB=S△AOC -S△BOC =63 22 =3 2
三、反比例函数与其他几何图形 变式 10.(2014·滨州)如图，菱形 OABC 的顶点 O 是原点，顶点 B 在 y 轴上，菱形的两条 对角线的长分别是6和4.反比例函数y＝kx(x＜0)的图象经过顶点C，则k的值为_ －_6.
思考：用含k的代数式表示下列阴影部分的面积
4k
2k
k
4k
2k
k
图中面积相等的图形有哪些？
一、反比例函数与矩形的面积
变式 1.如图，点 A 在双曲线 y＝4x上，点 B 在双曲线 y＝kx(k≠0)上，AB∥x 轴，分别过 点 A，B 向 x 轴作垂线，垂足分别为 D，C.若矩形 ABCD 的面积是 8，则 k 的值为( A)
再 见
两点，BC⊥x 轴于点 C，则△ABC 的面积为( A)
A．1
B．2
3 C.2
5 D.2
变式 9.(2014·东营)如图，函数 y＝1x和 y＝－3x的图象分别是 l1和 l2.设点 P 在 l1上，PC⊥x 轴，垂足为 C，交 l2于点 A，PD⊥y 轴，垂足为 D，交 l2于点 B， 则三角形 PAB 的面积为_ 8 _．
y
复习引入：
y 4x 1.如图,点P是反比例函数
图象上的一点,PD⊥xP
轴于D.则△POD的面积为 .
2
oD x
2.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分
别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这
变式10
S△AOB=S△AOC -S△BOC =63 22 =3 2
三、反比例函数与其他几何图形 变式 10.(2014·滨州)如图，菱形 OABC 的顶点 O 是原点，顶点 B 在 y 轴上，菱形的两条 对角线的长分别是6和4.反比例函数y＝kx(x＜0)的图象经过顶点C，则k的值为_ －_6.
思考：用含k的代数式表示下列阴影部分的面积
4k
2k
k
4k
2k
k
图中面积相等的图形有哪些？
一、反比例函数与矩形的面积
变式 1.如图，点 A 在双曲线 y＝4x上，点 B 在双曲线 y＝kx(k≠0)上，AB∥x 轴，分别过 点 A，B 向 x 轴作垂线，垂足分别为 D，C.若矩形 ABCD 的面积是 8，则 k 的值为( A)
再 见
两点，BC⊥x 轴于点 C，则△ABC 的面积为( A)
A．1
B．2
3 C.2
5 D.2
变式 9.(2014·东营)如图，函数 y＝1x和 y＝－3x的图象分别是 l1和 l2.设点 P 在 l1上，PC⊥x 轴，垂足为 C，交 l2于点 A，PD⊥y 轴，垂足为 D，交 l2于点 B， 则三角形 PAB 的面积为_ 8 _．
y
复习引入：
y 4x 1.如图,点P是反比例函数
图象上的一点,PD⊥xP
轴于D.则△POD的面积为 .
2
oD x
2.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分
别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这
反比例函数中的面积问题(共26张PPT)
课后精练
解：(1)如图，过点 D 作 DH⊥x 轴于点 H， ∵直线 AB 的解析式为 y＝－2x＋4，∴B 点坐标为(0，4)， A 点坐标为(2，0)． ∵∠OAB＋∠DAH＝90°，∠ADH＋∠DAH＝90°， ∴∠BAO＝∠ADH. 又∵∠BOA＝∠AHD，∴△AOB∽△DHA. ∴ADOH＝ABOH＝AADB＝12.∴D2H＝A4H＝12，解得 DH＝4，AH＝8. ∴D(10，4)，则 k＝10×4＝40. 故答案为：40.
③若 M 点的横坐标为 1，△OAM 为等边三角形，则 k＝2＋ 3；
7.如图，函数 y＝kx(k 为常数，k＞0)的图象与过原点的 O 的直线 相交于 A，B 两点，点 M 是第一象限内双曲线上的动点(点 M 在点 A 的左侧)，直线 AM 分别交 x 轴，y 轴于 C，D 两点，连接 BM 分别 交 x 轴，y 轴于点 E，F.现有以下四个结论：
课后精练
∵D(10，4)，∴D′(10，－4)． 设直线 CD′的解析式为 y＝ax＋d， 则180a＋a＋dd＝＝8－ ，4，解得da＝＝－566. ， 故直线 CD′的解析式为 y＝－6x＋56. 当 y＝0 时，x＝238，故 P 点坐标为238，0. 延长 CD 交 x 轴于 Q，此时|QC－QD|的值最大， ∵CD∥AB，D(10，4)，∴直线 CD 的解析式为 y＝－2x＋24. ∴Q(12，0)．∴PQ＝12－238＝83. 故 P 点坐标为238，0，Q 点坐标为(12，0)，线段 PQ 的长为83.
专题2 反比例函数中的面积问题
考点解读
反比例函数中的面积类问题是最能体现数形结合思想 方法的一类问题，几何中的函数问题使图形性质代数 化，函数中的几何问题使代数知识图形化，利用“数”
新人教版九年级数学下册第26章《反比例函数的图像和性质及面积问题》精品课件
3.函数y=kx与 y k k 0在同一条直角坐标系中的 图象可能
是（ ）
x
面积问题
1.函数y
6 x
的图像上取一点p（1
3,
2），过p1分别作P1
A1
x轴于A1,
P1B1 y轴于B1,则P1A1 ___, P1B1 ___, S矩形OA1P1B1 ____.
2.函数y
6 x
的图像上取一点p（2 1,
一三象限
增
减 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
性
位 置
二四象限
二四象限
增 减 y随x的增大而减小 性
y随x的增大而增大
例1:已知反比例函数的图象经过点A(2，6).
(1)这个函数的图象分布在哪些象限?y随x的增大如何变化?
(这2)个点函解B：(数3（，的１4图)）、象设C上这( ？个2反12比,例4函54数）为和yD（k2，，5）是否在
∵函数的图象在第一、第三象限
∴ ｍ－５＞０ 解得 ｍ＞５
（２）∵ｍ－５＞０，在这个函数图象 的任一支上，ｙ随ｘ的增大而减小，
∴当ａ＞ａ′时ｂ＜ｂ′
考考你
1.若关于x、y的函数 范围是_______.
y
k＋x 1图象位于第一、三象限，则k的取值
2(x.在3，反y3比)，例若函x数1>xy 2>0>ax2 x3，1则的下图列象各上式有中三正点确(x的1，是y（1)、(x2），y2)、 A.y3>y1>y2 B.y3>y2>y1 C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2
例2：如图是反比例函数
y
m x
5
的图象一支，
（1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？
剖析反比例函数综合运用之面积问题初中九年级数学教学课件人教版
作为一名数学教师，我一直不希望学生们是为了学习而学习，而更希望学 生们将数学这门学科用到生活中去，透过数学关注疫情，让孩子懂得守护家 园，懂得为国事担忧，更是难能可贵的成长，让我们用数学的眼光来重新审 视我们目前所面临的这场疫情，“数”说疫情， 打造学生自主探究的空中课 堂！！！
中考链接 近四年的新疆中考试题
试卷时间 2016年 2017年 2018年 2019年
题号+题型
分值
第9题 选择题 5分
第11题 填空题 5分
第18题 解答题 8分
第15题 填空题 5分
03 PART THREE
解题思路及方法指导
活动三代：数代与数几与何几一何体一方体法方与法能与力能共力生共生
如图，点A（1，2）在反比例函数 y k (x 0)的一个分支上.
（1）求反比例函数解析式；
y2ห้องสมุดไป่ตู้
x
（2）点B（2，n）是反比例函数 在x轴上是否存在一点P，使得
y
xk x
(
x
最 0小) ，图若象存上在的，点试．求出
点P的坐标，若不存在，请说明理由P；A PB
抽象建模
将军饮马问题
.
P
如何确定点P 的具体位置 ？
在素质教育不断发展的今天，
作为教师，我们应该不断更新自 己的教学观念，要有崭新的科学 指导思想，以创造性的教学劳动 唤起学生的学习数学的创新意识， 提高学生学习数学的积极性，让 学生充分从事数学探究活动，发 挥学生学习的自主性、主动性， 让学生在探索中不断地发展。
1、早晚量体温时要会看数轴、会读小数 2、戴口罩时要知道正反、上下及方向 3、戴口罩是为了降低被传染的可能性（概率） 4、新型冠状病毒直径大约在10nm....... 还有每天报道疫情的许多统计表和统计图，无处不体现数学的存在及重要性！
中考链接 近四年的新疆中考试题
试卷时间 2016年 2017年 2018年 2019年
题号+题型
分值
第9题 选择题 5分
第11题 填空题 5分
第18题 解答题 8分
第15题 填空题 5分
03 PART THREE
解题思路及方法指导
活动三代：数代与数几与何几一何体一方体法方与法能与力能共力生共生
如图，点A（1，2）在反比例函数 y k (x 0)的一个分支上.
（1）求反比例函数解析式；
y2ห้องสมุดไป่ตู้
x
（2）点B（2，n）是反比例函数 在x轴上是否存在一点P，使得
y
xk x
(
x
最 0小) ，图若象存上在的，点试．求出
点P的坐标，若不存在，请说明理由P；A PB
抽象建模
将军饮马问题
.
P
如何确定点P 的具体位置 ？
在素质教育不断发展的今天，
作为教师，我们应该不断更新自 己的教学观念，要有崭新的科学 指导思想，以创造性的教学劳动 唤起学生的学习数学的创新意识， 提高学生学习数学的积极性，让 学生充分从事数学探究活动，发 挥学生学习的自主性、主动性， 让学生在探索中不断地发展。
1、早晚量体温时要会看数轴、会读小数 2、戴口罩时要知道正反、上下及方向 3、戴口罩是为了降低被传染的可能性（概率） 4、新型冠状病毒直径大约在10nm....... 还有每天报道疫情的许多统计表和统计图，无处不体现数学的存在及重要性！
六年级数学下册《反比例》PPT课件人教版
一次函数的一般形式为y=kx+b，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。因 此，一次函数的斜率决定了函数的增减性。
反比例与几何图形的面积关系
在几何图形中，如果两个量成反比例关系，那么它们的乘积是一个常数。例如，在矩形中，如果长和 宽成反比例关系，那么它们的乘积是一个常数，这个常数等于矩形的面积。
考察反比例的应用和实际问题 的解决
题目1
一个圆柱形水桶装满水，倒出 水的1/2后还剩25.12升，水桶 的容积是多少升？
题目2
一个圆锥形沙堆，底面积是16 平方米，高是3米，如果每立方 米沙重1.7吨，这堆沙重多少吨 ？
题目3
一个长方形的周长是20厘米， 长是a厘米，宽是多少厘米？
综合练习题
总结词
如何判断两个量是否成反比例？
解答1
如果两个量乘积一定，则它们成反比例。 例如，速度一定时，路程与时间成反比。
问题2
如何应用反比例解决实际问题？
解答2
结合具体情境，利用反比例关系解决实际 问题。例如，计算最省时的路线、最省力 的方法等。
下节课预告与预习建议
下节课内容
正比例与反比例的联系与区别。
预习建议
总结与回顾
05
本节课的重点回顾
01
02
03
反比例的概念
反比例是一种数学关系， 其中两个变量互为倒数， 一个变量增大时，另一个 变量减小。
反比例的意义
理解反比例在生活中的应 用，如速度一定时，路程 与时间成反比。
反比例的图像
学会绘制反比例的图像， 理解图像的特征和意义。
学生的常见问题与解答
问题1
随着使用时间的增加，电池电量逐渐减少，当电量减少到一定程度时，电池将无法继续供电。
反比例与几何图形的面积关系
在几何图形中，如果两个量成反比例关系，那么它们的乘积是一个常数。例如，在矩形中，如果长和 宽成反比例关系，那么它们的乘积是一个常数，这个常数等于矩形的面积。
考察反比例的应用和实际问题 的解决
题目1
一个圆柱形水桶装满水，倒出 水的1/2后还剩25.12升，水桶 的容积是多少升？
题目2
一个圆锥形沙堆，底面积是16 平方米，高是3米，如果每立方 米沙重1.7吨，这堆沙重多少吨 ？
题目3
一个长方形的周长是20厘米， 长是a厘米，宽是多少厘米？
综合练习题
总结词
如何判断两个量是否成反比例？
解答1
如果两个量乘积一定，则它们成反比例。 例如，速度一定时，路程与时间成反比。
问题2
如何应用反比例解决实际问题？
解答2
结合具体情境，利用反比例关系解决实际 问题。例如，计算最省时的路线、最省力 的方法等。
下节课预告与预习建议
下节课内容
正比例与反比例的联系与区别。
预习建议
总结与回顾
05
本节课的重点回顾
01
02
03
反比例的概念
反比例是一种数学关系， 其中两个变量互为倒数， 一个变量增大时，另一个 变量减小。
反比例的意义
理解反比例在生活中的应 用，如速度一定时，路程 与时间成反比。
反比例的图像
学会绘制反比例的图像， 理解图像的特征和意义。
学生的常见问题与解答
问题1
随着使用时间的增加，电池电量逐渐减少，当电量减少到一定程度时，电池将无法继续供电。
人教版初三数学9年级下册 第26章(反比例函数)反比例函数k的几何意义 课件(17张ppt)
(3)若点(a,y)在该函数图象上,且a＞－2,求y的取值范围.
7.【例 4】如图,在平面直角坐标系中,反比例函数 y＝k(k＞0)的
x
图象经过点 A(2,m),过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B,且△AOB 的面积
为 5. (1)求k和m的值; (2)当x≥8时,求函数值y的取值范围.
解:(1)∵A(2,m),
第二十六章 反比例函数 与反比例函数有关的面积问题
k 的几何意义及应用
函数
图象形状 图象位置 增减性 延伸性 对称性
y
函数图象的 在每一支
双曲线既
k＞0
两支分支分 曲线上,y 双曲线向 是轴对称
O x 别位于第一、都随x的增 四边无限 图形(对称
三象限
大而减小 延伸,与 轴:y=±x),
y 函数图象的 在每一支 坐标轴没 又是中心
自主归纳
y
P(m,n) B
oA
x
K与图形面积
S矩形OAPB OA• AP
m•n
k
反比例函数图像上任意一点向x轴和y轴作垂线，
得到矩形的面积为 S矩形OAPB k
如图:连接OP，则
SOAP
1 • OA • AP 2
y
1 m•n
2
P(m,n) B
oA
x
1 k 2
反比例函数图像上任意一点向x轴或y轴作垂线，
5.若D、E、F是此反比例函数在第三象限图像上的三个点，
过D、E、F分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N、K，连接
OD、OE、OF，设△ ODM、△OEN、 △OFK 的面积分别
为S1、S2、S3，则下列结论成立的是( D )
y A（1，4）A S1﹤S2 Nhomakorabea﹤ S3
反比例函数与几何图形的面积公开课课件
，它们与坐标轴形成的矩形面积是不变的。
y
y
B
P(m,n)
oA
x
B
P(m,n)
oA
x
现在学习的是第6页，共21页
推广：反比例函数与三角形面积
例2. 如图，点A在反比例函数 足为B.求⊿OAB的面积。
y 图 象8 上，AB垂直于x轴，垂 x
解：设A点坐标为（x，y），
∵点A在 y 图8 象上 x
O
x
现在学习的是第15页，共21页
如图，在反比例函数
y
2 x（x>0) 的图象上，有点
P1，P2，P3，P4
，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作 x 轴与 y
轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为
S1，S2，S3 ，则
3
S1S2 S3 2 ．
y
y 2 （x>0) x
P1
现在学习的是第10页，共21页
规律总结
y k (k 0) 的面积不变性
x
y
P（ x , y ）
K S
2
0Q x
k (k 0) 2
y P（ x , y ）
x 0
S K k(k0)
注意：（1）面积与P的位置无关
（2）当k符号不确定的情况 下须分类讨论
现在学习的是第11页，共21页
3、在双曲线 y k (X>0上)
E
D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的
面积为
.
2.如图，过反比例函数 y 1(x 0) 的图象上任意 x
两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，
连结OA、OB。设AC与OB的交点为E，AOE与
y
y
B
P(m,n)
oA
x
B
P(m,n)
oA
x
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推广：反比例函数与三角形面积
例2. 如图，点A在反比例函数 足为B.求⊿OAB的面积。
y 图 象8 上，AB垂直于x轴，垂 x
解：设A点坐标为（x，y），
∵点A在 y 图8 象上 x
O
x
现在学习的是第15页，共21页
如图，在反比例函数
y
2 x（x>0) 的图象上，有点
P1，P2，P3，P4
，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作 x 轴与 y
轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为
S1，S2，S3 ，则
3
S1S2 S3 2 ．
y
y 2 （x>0) x
P1
现在学习的是第10页，共21页
规律总结
y k (k 0) 的面积不变性
x
y
P（ x , y ）
K S
2
0Q x
k (k 0) 2
y P（ x , y ）
x 0
S K k(k0)
注意：（1）面积与P的位置无关
（2）当k符号不确定的情况 下须分类讨论
现在学习的是第11页，共21页
3、在双曲线 y k (X>0上)
E
D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的
面积为
.
2.如图，过反比例函数 y 1(x 0) 的图象上任意 x
两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，
连结OA、OB。设AC与OB的交点为E，AOE与
反比例函数的图像和性质ppt课件
增大而增大.
探究新知
k
一般地，反比例函数 y 的图象是双曲线，它具有以下性质：
x
(1)当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在
每一象限内，y的值随x值的增大而减小；
(2)当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在
每一象限内，y的值随x值的增大而增大．
k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性
大而减小.
探究新知
k
当k=－2，－4，－6时，反比例函数 y
的图象(如图)，它们有哪
x
些共同特征？
y
6
2
y=
x
6
4
y=
4
x
2
–6
–4
–2 O
–2
y
y
y=
4
6
x
2
4
6
–6
–4
–2 O
–2
4
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
6
x
2
4
6
–6
–4
–2 O
–2
–4
–4
–4
–6
–6
–6
追问（1）：函数图象分别位于哪几个象限内？
函数的图象都位于二、四象限.
随堂练习
1.（1）已知点（-6，y1）, （-4，y2）在反比例函数 =
试比较 y1， y2的大小
（2）已知点（6，y3）, （4，y4）在反比例函数 =
比较 y3， y4的大小
函数 =
−6
的图像上，试
y
（3）已知点（-4，y5）, （6，y6）在反比例
−6
的图像上，试比较
探究新知
k
一般地，反比例函数 y 的图象是双曲线，它具有以下性质：
x
(1)当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在
每一象限内，y的值随x值的增大而减小；
(2)当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在
每一象限内，y的值随x值的增大而增大．
k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性
大而减小.
探究新知
k
当k=－2，－4，－6时，反比例函数 y
的图象(如图)，它们有哪
x
些共同特征？
y
6
2
y=
x
6
4
y=
4
x
2
–6
–4
–2 O
–2
y
y
y=
4
6
x
2
4
6
–6
–4
–2 O
–2
4
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
6
x
2
4
6
–6
–4
–2 O
–2
–4
–4
–4
–6
–6
–6
追问（1）：函数图象分别位于哪几个象限内？
函数的图象都位于二、四象限.
随堂练习
1.（1）已知点（-6，y1）, （-4，y2）在反比例函数 =
试比较 y1， y2的大小
（2）已知点（6，y3）, （4，y4）在反比例函数 =
比较 y3， y4的大小
函数 =
−6
的图像上，试
y
（3）已知点（-4，y5）, （6，y6）在反比例
−6
的图像上，试比较