2014-2015学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研数学试题及答案
2014-2015学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)
数学Ⅰ试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．
1.已知集合A ＝{x |－1 < x < 1}，B ＝{x |x > 0}，则A∩B ＝____________．
2.若复数错误！未指定书签。
51-2m i + (i 为虚数单位)为纯虚数，则实数m ＝___________．
3.双曲线2
2
12y x -=的离心率为______________． 4.
5.函数()2ln -2y x = 的定义域为______________．
6.如图，四棱锥P A B C D -中，PA ⊥底面A B C D ，底面A B C D 是矩形，
2,3,4A B A D P A ===，E 为棱CD 上一点，则三棱锥E P A B -的体积为
______________．
7.右图是一个算法流程图，则输出的x 的值为___________．
8.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若2
42a a =，24516a a +=，则5a =________．
9.若曲线321:612C y ax x x =-+与曲线2:x C y e =在1x =处的两条切线互相垂直，
则实数a 的值为______________
10.设函数()sin())(0,)
2f x x x πωϕωϕωϕ=++><
的最小正周期为π，且满足()()f x f x -=，则函数()f x 的单调增区间为__________
11.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点， AE 与BD 交于点
E
，AB =AD=1，且
16MA MB ⋅=-u u u r u u u r ，则AB AD ⋅=uu u r uuu r _____________ 12.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆
22:(3)2C x y +-=，点A 是x 轴上的
13已知直线y=kx+1与曲线f(x)=
11
x x
x x
+--
恰有四个不同的交点，则实数k的取值范围为
_______________
14已知实数x，y满足x>y>0，且x+y≤2，则
21
3
x y x y
+
+-的最小值为____________．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （本小题满分14分）
已知向量
(sin(),3),(1,4cos)
6
αα
π
=+=
a b
，
(0,)
απ
∈．
（1）若a⊥b，求tanα的值；（2）若a∥b，求α的值．
16. （本小题满分14分）
如图，四边形A A1 C1C为矩形，四边形CC1B1 B为菱形，且平面CC1B1 B⊥A A1 C1C，D，E分别是A1 B1和C1C的中点．
求证：（1）BC1⊥平面AB1C；（2）DE∥平面AB1C．
17. （本小题满分14分）
如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心，半径为米的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的
河岸l，岸边有一烟囱AB（不计B离河岸的距离），且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧CD 的交点为E.经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45°，30°和60°．
（1）求烟囱AB的高度；
（2）如果要在CE间修一条直路，求CE的长．
18. （本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>
，
的离心率为2，且经过点
(1,)
2，
过椭圆的左顶点A作直线l⊥x轴，点M为直线l上的动点（点M与点A在不重合），点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点P．
（1）求椭圆C的方程；（2）求证：AP⊥OM；
（3）试问OP OM
⋅是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．
19. （本小题满分16分） 已知函数2()e (0)x f x x a a =-≥.
（1）当1a =时，求函数()f x 的单调减区间；
（2）若方程f(x)=m 的恰好有一个正根和一个负根，求实数m 的最大值.
20. （本小题满分16分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，设数列{}n b 满足
*112()()()n n n n n n b S S S n S S n N ++=--+∈． （1）若数列
{}n a 为等差数列，且0n b =，求数列{}n a 的通项公式； （2）若
121,3a a ==，且数列{}21n a -的，{}2n a 都是以2为公比的等比数列，求满足不等式221n n b b -< 的所有正整数的n 集合．。
2014-2015学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)参考答案
苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学参考答案一、填空题1．{}01x x << 2．1- 3 4．0.3 5．((),2,-∞+∞6．4 7．16 8．1329．13e - 10．π[π,π],()2k k k -+∈Z11．34 12． 13．11{,0,}88- 14 二、解答题15．解：（1）因为a ⊥b ，所以πsin()12cos 06αα++=， ……………………………2分1cos 12cos 02ααα++=25cos 02αα+=， …………………4分又cos 0α≠，所以tan α=． ………………………………………………6分 （2）若a ∥b ，则π4cos sin()36αα+=， ……………………………………………8分即14cos cos )32ααα+=，2cos22αα+=， ………………………………………………………10分所以πsin(2)16α+=， ………………………………………………………………11分因为(0,π)α∈，所以ππ13π2(,)666α+∈， ………………………………………13分 所以ππ262α+=，即π6α=． ……………………………………………………14分 16．证明：（1）∵四边形11AA C C 为矩形，∴AC ⊥1C C ，………………………………2分 又平面11CC B B ⊥平面11AA C C ，平面11CC B B平面11AA C C =1CC ，∴AC ⊥平面11CC B B ， ……………………………………………………………3分 ∵1C B ⊂平面11CC B B ，∴AC ⊥1C B ， ……………………………………………4分 又四边形11CC B B 为菱形，∴11B C BC ⊥， …………………………………………5分∵1B C AC C =，AC ⊂平面1AB C ，1B C ⊂平面1AB C ，∴1BC ⊥平面1AB C ．…………………………………………………………………7分 （2）取1AA 的中点F ，连DF ，EF ，∵四边形11AA C C 为矩形，E ，F 分别为1C C ，1AA 的中点， ∴EF ∥AC ，又EF ⊄平面1AB C ，AC ⊂平面1AB C ,∴EF ∥平面1AB C ， ………………………………………………………………10分 又∵D ，F 分别为边11A B ，1AA 的中点，∴DF ∥1AB ，又DF ⊄平面1AB C ，1AB ⊂平面1AB C , ∴DF ∥平面1AB C ，∵EFDF F =，EF ⊂平面DEF ，DF ⊂平面DEF ，∴平面DEF ∥平面1AB C ，…………………………………………………………12分 ∵DE ⊂平面DEF ，∴DE ∥平面1AB C ．…………………………………………14分 17．解：（1）设AB 的高度为h ，在△CAB 中，因为45ACB ∠=︒，所以CB h =， ………………………………1分 在△OAB 中，因为30AOB ∠=︒，60AEB ∠=︒， ………………………………2分所以OB =，EB =， ………………………………………………………4分-=15h =． ………………………………………6分 答：烟囱的高度为15米． ……………………………………………………………7分（2）在△OBC 中，222cos 2OC OB BC COB OC OB+-∠=⋅56==， …………………10分所以在△OCE 中，2222cos CE OC OE OC OE COE =+-⋅∠ 53003006001006=+-⨯=． …………………13分答：CE 的长为10米． ……………………………………………………………14分18．解：（1）∵椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>，∴222a c =，则222a b =，又椭圆C 过点，∴221312a b+=．…………2分∴24a =，22b =，则椭圆C 的方程22142x y +=． …………………………………………………4分（2）设直线BM 的斜率为k ，则直线BM 的方程为(2)y k x =-，设11(,)P x y ，将(2)y k x =-代入椭圆C 的方程22142x y +=中并化简得：2222(21)4840k x k x k +-+-=，………………………………………………………6分解之得2124221k x k -=+，22x =，∴1124(2)21ky k x k -=-=+，从而222424(,)2121k k P k k --++．………………………………８分令2x =-，得4y k =-，∴(2,4)M k --，(2,4)OM k =--． ………………………9分又222424(2,)2121k k AP k k --=+++＝22284(,)2121k kk k -++，…………………………………11分 ∴2222161602121k k AP OM k k -⋅=+=++，∴AP OM ⊥． ………………………………………………………………………13分 （3）222424(,)(2,4)2121k k OP OM k k k --⋅=⋅--++ =2222284168442121k k k k k -+++==++． ∴OP OM ⋅为定值4． …………………………………………………………16分19．解：（1）当1a =时，221,e (1),()1,e (1),x x x x f x x x ⎧>-⎪=⎨-⎪⎩… …………………………………1分 当1x >时，2()e (21)x f x x x '=+-，由()0f x '…，解得1x --，所以()f x 的单调减区间为[11]--， ………………………………………3分 当1x …时，2()e (21)x f x x x '=-+-，由()0f x '…，解得1x -…x -…所以()f x 的单调减区间为[-， ……………………………………………5分综上：()f x 的单调减区间为[-，[11]--． ………………………6分 （2） 当0a =时，2()e x f x x =⋅，则2()e 2e e (2)x x x f x x x x x '=⋅+⋅=+，令()0f x '=，得0x =或2x =-，所以()f x 有极大值24(2)e f -=，极小值(0)0f =，…………………………………7分当0a >时，22e (),()e (),x x x x af x a x x ⎧>-⎪=⎨-⎪⎩…同（1）的讨论可得，()f x 在(,1)-∞上增，在(1,上减，在(1)上增，在1上减，在)+∞上增，……………8分 且函数()y f x =有两个极大值点，1(1)2e 1)f ==，…………………………9分11)1)f ==，……………………………10分且当1x a =+时，12(1)e (1)1)a f a a a ++=++>>所以若方程()f x m =恰好有正根，则1)m f >（否则至少有二个正根）． ……………………………………11分又方程()f x m =恰好有一个负根，则(1)m f =． ………………………12分 令()e (1),1x g x x x -=+…，则()e 0x g x x -'=-<，所以()e (1)x g x x -=+在1x …时单调减，即2()(1)eg x g =…，………………………13分等号当且仅当1x =时取到．所以22(1)()ef …，等号当且仅当0a =时取到．且此时11)1)0f ==，………………………………………14分即(1)f>1)f ， …………………………………………………15分 所以要使方程()f x m =恰好有一个正根和一个负根，m 的最大值为24e ．………16分 20．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，所以11n a a nd +=+，1(1)2n n n S na d -=+， …………………………………………1分 由112()()()n n n n n n b S S S n S S n *++=--+∈N ，得112(2)n n n n n b a S n S a ++=-+，及由0n b =， 又由0n b =，得[]1111(1)2()2(1)02n n a nd na d n na n n d a nd -⎡⎤++-+-++=⎢⎥⎣⎦对一切n *∈N 都成立， ………………………………………………………………3分 即()222211111(32)20d d n a d d a n a a d a -+--+--=对一切n *∈N 都成立． 令1n =，2n =，解之得10,0,d a =⎧⎨=⎩或11,1,d a =⎧⎨=⎩ 经检验，符合题意，所以{}n a 的通项公式为0n a =或n a n =． …………………………………………5分 （2）由题意得1212n n a --=，1232n n a -=⨯，2213(21)424n n n n S =-+-=⨯-，11212242432524n n n n n n S S a ---=-=⨯--⨯=⨯-．…………………………………6分 221222122(2)n n n n n b a S n S a ++=-+22(424)2(8282)n n n n n =⨯⨯⨯--⨯-+122(294)16n n n n ++=--+． ……………………………………………………7分 212212122(21)(2)n n n n n b a S n S a ---=--+111162(524)(21)(102832)n n n n n ----=⨯⨯⨯---⨯-+⨯112(3022611)168n n n n --=⨯--+-． ………………………………………8分 12112212(294)16[2(3022611)168]n n n n n n b b n n n n ++----=--+-⨯--+-121552(25)8282(5)22n n n n n n --=--+=+-+． ………………………9分记215282)()2(5n n n f n -=+-+，即15()2[2(5)]228n n f n n =⨯-++， ……………10分记15()2(5)22n g n n =⨯-+，则111515(1)()2(5)252222n n g n g n n n ++-=⨯-+-⨯++1252n =⨯-，当1n =，2，3时，(1)()0g n g n +-<，当*n ∈N 时，4n ≥，(1)()g n g n +-12502n =⨯->， …………………………12分因为1n =时，13(1)02g =-<，所以(4)0g <；且1(6)02g =-<；53(7)02g =>． 所以15()2[2(5)]228n n f n n =⨯-++在7(*)n n ∈≥N 时也是单调递增， …………14分1n =时，(1)50f =-<； 2n =时，(2)340f =-<； 3n =时，(3)1000f =-<； 4n =时，(4)2240f =-<； 5n =时，(5)3600f =-<； 6n =时，(6)240f =-<； 7n =时，(7)34000f =>，所以满足条件的正整数n 的集合为｛1，2，3，4，5，6｝．………………………16分21、A ．证明：因为CA 为圆O 的切线，所以2CA CE CD =⋅， ………………………………………………………………3分 又CA CB =，所以2CB CE CD =⋅，即CB CDCE CB=， …………………………5分 又BCD BCD ∠=∠，所以BCE D ∽DCB D ， …………………………………8分 所以∠CBE =∠BDE ． ………………………………………………………………10分B ． 解：设点00(,)x y 为曲线1x y +=上的任一点，在矩阵10103M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的点为(,)x y ''，则由0010103x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦，………………………………………………………………3分得：00,1,3x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩ 即00,3,x x y y '=⎧⎨'=⎩ ………………………………………………………5分 所以曲线1x y +=在矩阵10103M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的曲线为31x y +=， ………………………………………………………………………………8分所围成的图形为菱形，其面积为1222233⨯⨯=． …………………………………10分C ．解：曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--=，圆心为(1,1)…………………………………………………………3分0y -=， ………………………………………5分所以圆心到直线的距离为12d ==， ………………………………8分所以弦长== ………………………………………………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲解：因为22= 120(3332)(1)33x x -+++=≤， ……………………………………………3分所以y =． ………………………………………………5分 等号当且仅当3332113x x -+=，即712x =时成立． ………………………………8分所以y…………………………………………………………10分 22．解：（1）设AC 与BD 交于点O ，以O 为顶点，向量OC ，OD 为x ，y 轴，平行于AP 且方向向上的向量为z 轴建立直角坐标系．………………………………………………1分则(1,0,0)A -，(1,0,0)C，(0,B，D，(P -，所以M，MD =，(1,PB =， ……………………3分cos ,0MD PA MD PA MD PA⋅<>===．…………………………………4分所以异面直线PB 与MD 所成的角为90︒． …………………………………………5分 （2）设平面PCD 的法向量为1111(,,)x y z=n ，平面P AD 的法向量为2222(,,)x y z =n ，因为(CD =-，(1PD =，(0,0,PA =，由11111110,0,CD x PD x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n 令11y =，得1=n ， ……………………7分 由22222260,0,PA PD x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩n n 令21y =-，得21,0)=-n ， …………………8分 所以121212cos ,⋅<>===n n n n n n 12sin ,<>=n n 10分23．解：（1）当2n =时，取数11a =，22a =，因为21312+=-∈-Z ，…………………1分 当3n =时，取数12a =，23a =，34a =，则12125a a a a +=-∈-Z ， 23237a a a a +=-∈-Z ，13133a a a a +=-∈-Z ，…………………………………………………3分 即12a =，23a =，34a =可构成三个好数． ………………………………………4分 （2）证：①由（1）知当2,3n =时均存在，②假设命题当(2,)n k k k Z =≥∈时，存在k 个不同的正整数12,,,k a a a ，其中12k a a a <<<，使得对任意1i jk <剟，都有i j i ja a a a +∈-Z 成立， …………………………………5分则当1n k =+时，构造1k +个数12,,,,k A A a A a A a +++，，（*）其中123k A a =⨯⨯⨯⨯，若在（*）中取到的是A 和()i A a i k +…，则21i i iA A a AA A a a ++=--∈--Z ，所以成立，若取到的是()i A a i k +…和()j A a j k +…，且i j <， 则2+i j i j i ji j i j A a A a a a AA a A a a a a a ++++=+----，由归纳假设得i j i ja a a a +∈-Z ，又j i k a a a -<，所以j i a a -是A 的一个因子，即2i jAa a ∈-Z ， 所以2+i j i j i ji j i jA a A a a a A A a A a a a a a ++++=∈+----Z ， ………………………………………8分 所以当1n k =+时也成立． ………………………………………………………9分 所以对任意正整数(2)n n …，均存在“n 个好数” ……………………………10分。
苏锡常镇高三数学一模试卷及参考答案纯word版
▲．
，若函数
C1
B1
A
O
（第 12 题）
C （第 16 题）
B
G D
D
A1
C
A
17．（本小题满分 14 分） 一个圆柱形圆木的底面半径为 1m，长为 10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中 一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形 ABCD （如图所示，其中 O 为圆心， C, D 在半圆上），设 BOC q ，木梁的体积为 V（单位：m3），表面积为 S（单位：m2）． （1）求 V 关于 θ 的函数表达式； （2）求 q 的值，使体积 V 最大； （3）问当木梁的体积 V 最大时，其表面积 S 是否也最大？请说明理由．
且 PA = 4，则 PC 与底面 ABCD 所成角的正切值为 ▲ ．
8．从甲，乙，丙，丁 4 个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为 ▲ ．
9．已知
tan(a
b)
10．设等差数列an的前 n 项和为 Sn
2 5
，
tan
b
1 3
，则
tan
，若 a1
a
+
p 4
AG
13．已知函数
，若
AD
f
(
x)
1
5
AB
(2x x 2
AC
(
x2 )ex , x ≤ 4x 3, x
g(x) 恰有两个不同的零点，则实数 k 的取值范围为 ▲ ．
14．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P(3, 0) 在圆
江苏省苏、锡、常、镇四市2014届高三下学期教学情况调查数学(文)试题Word版含解析
2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）文科数学一、填空题：1.已知集合{}1,2,3,4A =，{},4,7B m =，若{}1,4AB =，则AB = ▲ ．2.若复数z =13i1i+-（i 为虚数单位），则 | z | = ▲ ．【解析】 试题分析：因为13i 1i +-,21242i i+-=+-=所以.5||=z 也可利用复数模的性质求解，即.5210|1||31|||==-+=i i z考点：复数的模3.已知双曲线2218x y m -=m 的值为 ▲ ．4.一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别如下：(]10,20，2；(]20,30，3；(]30,40，4；(]40,50，5；(]50,60，4；(]60,70，2．则样本在(]10,50上的频率是 ▲ ． 【答案】710【解析】试题分析：因为样本在(]10,50上的频数共有 145432=+++，所以样本在(]10,50上的频率是1072014=.也可从反面求解，即样本不在(]10,50上的频数共有 624=+，所以样本在(]10,50上的频率是107206-1=. 考点：样本频率5.执行如图所示的算法流程图，则最后输出的y 等于 ▲ ．6.设函数2()sin f x a x x =+，若(1)0f =，则(1)f -的值为 ▲ ． 【答案】2 【解析】试题分析：因为(1)0f =，所以1sin 1-=a .因此(1)f -.211sin =+-=a 本题也可应用函数性质求解，因为2)()(=-+x f x f ，所以,2)1()1(=-+f f .2)1(=-f 考点：函数性质7.四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD 且PA = 4，则PC 与底面ABCD 所成角的正切值为 ▲ ．8.从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为 ▲ ．9.已知2tan()5a b +=，1tan 3b =，则tan +4p a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为 ▲ ．【答案】98【解析】试题分析：因为171315213152tan )tan(1tan )tan()tan(tan =⋅+-=++-+=-+=bb a b b a b b a a ，所以8917111711tan 1tan 1)4tan(=-+=-+=+a a a π. 考点：两角和与差正切10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =-，132k a +=，12k S =-，则正整数k = ▲ ．11.已知正数,x y满足22x y+=，则8x yxy+的最小值为▲．12.如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，2BG GO=，设CD∥AG，若15AD AB AC=+λ()∈Rλ，则λ的值为▲．【答案】6 513.已知函数22(2)e ,0,()43,0,x x x x f x x x x ⎧-=⎨-++>⎩≤()()2g x f x k =+，若函数()g x 恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为 ▲ ．考点：利用导数研究函数图像14.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,0)P 在圆222:24280C x y mx y m +--+-=内，动直线AB 过点P 且交圆C 于,A B 两点，若△ABC 的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围为 ▲ ．二、解答题15.（本小题满分14分）设函数2()6cos cos f x x x x =-． （1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）在锐角△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()0f B =且2b =，4cos 5A =，求a 和sin C ．16.（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为菱形， 且160A AB ∠=︒，AC BC =，D 是AB 的中点． （1）求证：平面1A DC ⊥平面ABC ； （2）求证：1BC ∥平面1A DC ．【答案】（1）详见解析，（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）证明面面垂直，关键找出线面垂直.因为侧面11AA B B 为菱形， 且160A AB ∠=︒,所以△17.（本小题满分14分）一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD（如图所示，其中O为圆心，,C D在半圆上），设BOC q∠=，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．（1）求V关于θ的函数表达式；（2）求q的值，使体积V最大；（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．【答案】（1）()10(sin cos sin ),(0,)2V p q q q q q =+∈，（2）3pq =，（3）当木梁的体积V 最大时，其表面积S也最大．18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B ，C 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上不同的三点，A ，(3,3)B --，C 在第三象限，线段BC 的中点在直线OA 上．（1）求椭圆的标准方程； （2）求点C 的坐标；（3）设动点P 在椭圆上（异于点A ，B ，C ）且直线PB ，PC 分别交直线OA 于M ，N 两点，证明OM ON ⋅为定值并求出该定值．【答案】（1）求椭圆方程一般用待定系数法.本题已知椭圆过两点，列两个方程222291821,991,a b ab ⎧⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎩，解出b a ,的值,（2）求点(,)C m n 的坐标，需列出两个方程.一是点C 在椭圆上，即22227m n +=，二是BC 的中点在直线OA 上，即23m n =-.注意到C 在第三象限，舍去正值.（3）题意明确，思路简洁，就是求出点N M ,的坐标，算出ON OM ⋅为定值.难点是如何消去参数.因为点N M ,在直线OA ： 20x y -=上，所以可设11(2,)M y y ，22(2,)N y y ．选择00(,)P x y 作为参数，即用00(,)P x y 表示点N M ,的坐标.由,,P B M 三点共线，解得001003()23y x y x y -=--，同理解得00200523y x y x y -=-+.从而有22200000001222200000003(56)3(3627)393449241822x y x y y x y y y x y x y y x y +--+===⨯=+---+，这里主要用到2200227x y +=代入化简.本题也可利用椭圆参数方程或三角表示揭示21y y 为定值.∵,,P C N 三点共线，∴022011255y y y x ++=++，整理，得00200523y x y x y -=-+．…………………10分∵点C 在椭圆上，∴2200227x y +=，2200272x y =-．从而22200000001222200000003(56)3(3627)393449241822x y x y y x y y y x y x y y x y +--+===⨯=+---+． …………………14分 所以124552OM ON y y ⋅==． …………………15分 ∴OM ON ⋅为定值，定值为452． …………………16分考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系19.（本小题满分16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为S n ,已知11a =，且11()(1)n n n n S a S a λ+++=+对一切*n ∈N 都成立． （1）若λ = 1，求数列{}n a 的通项公式； （2）求λ的值，使数列{}n a 是等差数列．∴当2n ≥时，12n n S a +=．② ② - ①，得12n n a a +=， ∴12n na a +=（2n ≥）． ………………… 6分 ∵当n = 1时， 22a =，∴n = 1时上式也成立，∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列， an = 2n -1（*n ∈N ）． …………………8分20.（本小题满分16分）已知函数e ()ln ,()e xxf x mx a x mg x =--=，其中m ，a 均为实数． （1）求()g x 的极值；（2）设1,0m a =<，若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠，212111()()()()f x f xg x g x -<-恒成立，求a 的最小值；（3）设2a =，若对任意给定的0(0,e]x ∈，在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠，使得120()()()f t f t g x == 成立，求m 的取值范围．【答案】（1）极大值为1，无极小值．（2）3 -22e 3．（3）3[,)e 1+∞-． 【解析】试题解析：（1）e(1)()e xx g x -'=，令()0g x '=，得x = 1． ………………… 1分 列表如下：∵g(1) = 1，∴y =()g x 的极大值为1，无极小值． …………………3分 （2）当1,0m a =<时，()ln 1f x x a x =--，(0,)x ∈+∞．∵()0x af x x -'=>在[3,4]恒成立，∴()f x 在[3,4]上为增函数． …………………4分 设1e ()()e x h x g x x ==，∵12e (1)()x x h x x --'=> 0在[3,4]恒成立， ∴()h x 在[3,4]上为增函数． …………………5分 设21x x >，则212111()()()()f x f xg x g x -<-等价于2121()()()()f x f x h x h x -<-， 即2211()()()()f x h x f x h x -<-．设1e ()()()ln 1e xu x f x h x x a x x=-=---⋅，则u(x)在[3,4]为减函数．∴21e (1)()10e x a x u x x x -'=--⋅≤在（3，4）上恒成立． …………………6分 ∴11e ex x a x x---+≥恒成立． 设11e ()e x x v x x x --=-+，∵112e (1)()1e x x x v x x ---'=-+=121131e [()]24x x ---+，x ∈[3，4]， ∴1221133e [()]e 1244x x --+>>，∴()v x '< 0，()v x 为减函数．∴()v x 在 [3，4]上的最大值为v(3) = 3 -22e 3． ………………… 8分∴a ≥3 -22e 3，∴a 的最小值为3 -22e 3． …………………9分∵e e 3()1e 1m mf m m m --+=>>-≥，∴3e 1m -≥时，命题成立． 综上所述，m 的取值范围为3[,)e 1+∞-． …………………16分 考点：函数极值，不等式恒成立。
2014年苏锡常镇高三数学一模试卷及参考答案(纯word版)
2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅰ试题命题单位：常州市教育科学研究院 2014．3参考公式：柱体的体积公式：V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是高．直棱柱的侧面积公式：S 直棱柱侧=ch ，其中c 是直棱柱的底面周长，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}1,2,3,4A =，{},4,7B m =，若{}1,4A B =，则AB = ．2．若复数z =13i1i+-（i 为虚数单位），则 | z | = ． 3．已知双曲线2218x y m -=m 的值为 ．4．一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别如下：(]10,20，2； (]20,30，3；(]30,40，4；(]40,50，5；(]50,60，4；(]60,70，2．则样本在(]10,50上的频率是 ．5．执行如图所示的算法流程图，则最后输出的y 等于 ． 6．设函数2()sin f x a x x =+，若(1)0f =，则(1)f -的值为 ．7．四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，P A ⊥底面ABCD 且P A = 4， 则PC 与底面ABCD 所成角的正切值为 ．8．从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为 ．9．已知2tan()5+=，1tan 3=，则)4tan(π+a 的值为 ． 10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =-，132k a +=，12k S =-，则正整数k = ．11．已知正数,x y 满足22x y +=，则8x yxy+的最小值为 ．12．如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，2BG GO =，设CD ∥AG ，若15AD AB AC =+λ()∈R λ，则λ的值为 ．13．已知函数22(2)e ,0,()43,0,x x x x f x x x x ⎧-=⎨-++>⎩≤()()2g x f x k =+，若函数()g x 恰有两个不（第5题）（第12题）ABCDOG同的零点，则实数k 的取值范围为 ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,0)P 在圆222:24280C x y mx y m +--+-=内，动直线AB 过点P 且交圆C 于,A B 两点，若△ABC 的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）设函数2()6cos cos f x x x x =-． （1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）在锐角△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()0f B =且2b =，4cos 5A =，求a 和sin C ．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为菱形， 且160A AB ∠=︒，AC BC =，D 是AB 的中点．（1）求证：平面1A DC ⊥平面ABC ； （2）求证：1BC ∥平面1A DC ．17．（本小题满分14分）一个圆柱形圆木的底面半径为1m ，长为10m ，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中111DC B AC BA （第16题）一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD（如图所示，其中O为圆心，,C D 在半圆上），设BOC∠=，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．（1）求V关于θ的函数表达式；（2）求的值，使体积V最大；（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C是椭圆22221(0)x ya ba b+=>>上不同的三点，θD CB A O（第17题）2A，(3,3)B--，C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上．（1）求椭圆的标准方程；（2）求点C的坐标；（3）设动点P在椭圆上（异于点A，B，C）且直线PB，PC分别交直线OA于M，N两点，证明OM ON⋅为定值并求出该定值．19．（本小题满分16分）设各项均为正数的数列{}n a的前n项和为S n，已知11a=，且11()(1)n n n nS a S aλ+++=+对一切*n∈N 都成立．（第18题）（1）若λ = 1，求数列{}n a的通项公式；（2）求λ的值，使数列{}n a是等差数列．20．（本小题满分16分）已知函数e()ln,()e xxf x mx a x mg x=--=，其中m，a均为实数．（1）求()g x的极值；（2）设1,0m a =<，若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠，212111()()()()f x f xg x g x -<-恒成立， 求a 的最小值；（3）设2a =，若对任意给定的0(0,e]x ∈，在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠，使得120()()()f t f t g x == 成立，求m 的取值范围．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区．．．．．．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，且AB AD=，E是CB延长线上一点，直线EA与圆O相切．求证：CD AB AB BE=．B．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M，17⎡⎤=⎢⎥⎣⎦β，计算6Mβ．C．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，圆的参数方程为22cos,()2sinxy=+⎧⎨=⎩为参数，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求：（1）圆的直角坐标方程；（2）圆的极坐标方程．D．选修4—5：不等式选讲已知函数2()122f x x x a a=++---，若函数()f x的图象恒在x轴上方，求实数a的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．（本小题满分10分）甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为23，且各次投篮的结果互不影E （第21-A题）响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次． （1）求甲同学至少有4次投中的概率； （2）求乙同学投篮次数的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）设01212(1)m m n n n n n m S C C C C ---=-+-+-，*,m n ∈N 且m n <，其中当n 为偶数时，2nm =； 当n 为奇数时，12n m -=． （1）证明：当*n ∈N ，2n ≥时，11n n n S S S +-=-； （2）记01231007201420132012201110071111120142013201220111007S C C C C C =-+-+-，求S 的值．2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{}1,2,3,4,7 2 3. 4 4.710 5．63 6．2 7 8. 23 9． 9810．13 11．9 12．6513.27321,{0,22e+⎛⎫--⎪⎝⎭14. [3(327,3++--二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 解：（1）1+cos2()622xf x x=⨯=3cos223x x+=)36x++．…………………3分所以()f x的最小正周期为22T==，…………………4分值域为[3-+．…………………6分（2）由()0f B=，得πcos(2)6B+=．B为锐角，∴ππ7π2666B<+<，π5π266B+=，∴π3B=． (9)分∵4cos5A=，(0,)A∈，∴3sin5A==．…………………10分在△ABC中，由正弦定理得32sinsinb AaB⨯===．…………………12分∴21sin sin()=sin()sin322C A B A A A=---=+=．…………………14分16．（1）证明：∵11ABB A为菱形，且160A AB∠=︒，∴△1A AB为正三角形．…………………2分D是AB的中点，∴1AB A D⊥．∵AC BC=，D是AB的中点，∴AB CD⊥．…………………4分1A D CD D=，∴AB⊥平面1A DC．…………………6分∵AB⊂平面ABC，∴平面1A DC⊥平面ABC．…………………8分（2）证明：连结1C A，设11AC AC E=，连结DE．∵三棱柱的侧面11AA C C是平行四边形，∴E为1AC中点．…………………10分在△1ABC中，又∵D是AB的中点，∴DE∥1BC．…………………12分∵DE⊂平面1A DC，1BC⊄平面1A DC，∴1BC∥平面1A DC．…………………14分17．解：（1）梯形ABCD的面积2cos 2sin 2ABCD S +=⋅=sin cos sin +，(0,)2∈． …………………2分 体积()10(sin cos sin ),(0,)2V =+∈． …………………3分（2）2()10(2cos cos 1)10(2cos 1)(cos 1)V '=+-=-+． 令()0V '=，得1cos 2=，或cos 1=-（舍）． ∵(0,)2∈，∴3=． …………………5分当(0,)3∈时，1cos 12<<，()0,()V V '>为增函数；当(,)32∈时，10cos 2<<，()0,()V V '<为减函数． …………………7分∴当3=时，体积V 最大． …………………8分（3）木梁的侧面积210S AB BC CD =++⋅侧（）=20(cos 2sin 1)2++，(0,)2∈． 2ABCD S S S =+侧=2(sin cos sin )20(cos 2sin 1)2++++，(0,)2∈．…………………10分设()cos 2sin 12g =++，(0,)2∈．∵2()2sin 2sin 222g =-++，∴当1sin22=，即3=时，()g 最大． …………………12分 又由（2）知3=时，sin cos sin +取得最大值，所以3=时，木梁的表面积S 最大． …………………13分综上，当木梁的体积V 最大时，其表面积S 也最大． …………………14分 18．解：（1）由已知，得222291821,991,a b a b ⎧⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得2227,27.2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ …………………2分所以椭圆的标准方程为22127272x y +=． …………………3分 （2）设点(,)C m n (0,0)m n <<，则BC 中点为33(,)22m n --． 由已知，求得直线OA 的方程为20x y -=，从而23m n =-．① 又∵点C 在椭圆上，∴22227m n +=．②由①②，解得3n =（舍），1n =-，从而5m =-． …………………5分 所以点C 的坐标为(5,1)--． …………………6分 （3）设00(,)P x y ，11(2,)M y y ，22(2,)N y y ．∵,,P B M 三点共线，∴011033233y y y x ++=++，整理，得001003()23y x y x y -=--．…………………8分 ∵,,P C N 三点共线，∴22011255y y y x ++=++，整理，得00200523y x y x y -=-+．…………………10分 ∵点C 在椭圆上，∴2200227x y +=，2200272x y =-．从而22200000001222200000003(56)3(3627)393449241822x y x y y x y y y x y x y y x y +--+===⨯=+---+． …………………14分 所以124552OM ON y y ⋅==． …………………15分 ∴OM ON ⋅为定值，定值为452． …………………16分 19．解：（1）若λ = 1，则11(1)(1)n n n n S a S a +++=+，111a S ==．又∵00n n a S >>，， ∴1111n n n nS a S a +++=+， ………………… 2分 ∴3131221212111111n n n nS S a a S a S S S a a a +++++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+++， 化简，得1112n n S a +++=．① ………………… 4分 ∴当2n ≥时，12n n S a +=．②② - ①，得12n n a a +=， ∴12n na a +=（2n ≥）． ………………… 6分 ∵当n = 1时， 22a =，∴n = 1时上式也成立，∴数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， a n = 2n -1（*n ∈N ）． …………………8分 （2）令n = 1，得21a λ=+．令n = 2，得23(1)a λ=+． ………………… 10分要使数列{}n a 是等差数列，必须有2132a a a =+，解得λ = 0． ………………… 11分 当λ = 0时，11(1)n n n n S a S a ++=+，且211a a ==． 当n ≥2时，111()(1)()n n n n n n S S S S S S +-+-=+-， 整理，得2111n n n n n S S S S S +-++=+，1111n n n nS S S S +-+=+， ………………… 13分 从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+++， 化简，得11n n S S ++=，所以11n a +=． ……………… 15分 综上所述，1n a =（*n ∈N ），所以λ = 0时，数列{}n a 是等差数列． ………………… 16分20．解：（1）e(1)()exx g x -'=，令()0g x '=，得x = 1． ………………… 1分 列表如下：∵g (1) = 1，∴y =()g x 的极大值为1，无极小值． …………………3分 （2）当1,0m a =<时，()ln 1f x x a x =--，(0,)x ∈+∞．∵()0x af x x -'=>在[3,4]恒成立，∴()f x 在[3,4]上为增函数． …………………4分 设1e ()()e x h x g x x ==，∵12e (1)()x x h x x --'=> 0在[3,4]恒成立， ∴()h x 在[3,4]上为增函数． …………………5分 设21x x >，则212111()()()()f x f xg x g x -<-等价于2121()()()()f x f x h x h x -<-， 即2211()()()()f x h x f x h x -<-．设1e ()()()ln 1e xu x f x h x x a x x=-=---⋅，则u (x )在[3,4]为减函数．∴21e (1)()10e x a x u x x x -'=--⋅≤在（3，4）上恒成立． …………………6分∴11e ex x a x x---+≥恒成立． 设11e ()e x x v x x x --=-+，∵112e (1)()1e x x x v x x ---'=-+=121131e [()]24x x ---+，x ∈[3，4]，∴1221133e [()]e 1244x x --+>>，∴()v x '< 0，()v x 为减函数．∴()v x 在[3，4]上的最大值为v (3) = 3 -22e 3． ………………… 8分∴a ≥3 -22e 3，∴a 的最小值为3 -22e 3． …………………9分（3）由（1）知()g x 在(0,e]上的值域为(0,1]． …………………10分 ∵()2ln f x mx x m =--，(0,)x ∈+∞，当0m =时，()2ln f x x =-在(0,e]为减函数，不合题意． ………………… 11分当0m ≠时，2()()m x m f x x-'=，由题意知()f x 在(0,e]不单调，所以20e m <<，即2em >．① …………………12分此时()f x 在2(0,)m 上递减，在2(,e)m上递增， ∴(e)1f ≥，即(e)e 21f m m =--≥，解得3e 1m -≥．② 由①②，得3e 1m -≥． …………………13分 ∵1(0,e]∈，∴2()(1)0f f m =≤成立． …………………14分下证存在2(0,]t m ∈，使得()f t ≥1．取e m t -=，先证e 2m m-<，即证2e 0m m ->．③ 设()2e x w x x =-，则()2e 10x w x '=->在3[,)e 1+∞-时恒成立． ∴()w x 在3[,)e 1+∞-时为增函数．∴3e ))01((w x w ->≥，∴③成立． 再证()e m f -≥1． ∵e e 3()1e 1m m f m m m --+=>>-≥，∴3e 1m -≥时，命题成立． 综上所述，m 的取值范围为3[,)e 1+∞-． …………………16分21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结AC ．EA 是圆O 的切线，∴EAB ACB ∠=∠． …………………2分AB AD =，∴ACD ACB ∠=∠． ∴ACD EAB ∠=∠． …………………4分圆O 是四边形ABCD 的外接圆，∴D ABE ∠=∠． …………………6分∴CDA ∆∽ABE ∆． …………………8分 ∴CD DAAB BE=， AB AD =，∴CD ABAB BE=． …………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换 解：矩阵M 的特征多项式为212()2321f λλλλλ--==----．令12()031f λλλ===-，解得，，对应的一个特征向量分别为111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，211⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α． …5分令12m n =+βαα，得4,3m n ==-．6666661212112913(43)4()3()433(1)112919⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=-=⨯--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦M βM ααM αM α．……………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：（1）圆的直角坐标方程为22(2)4x y -+=． …………………5分 （2）把cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上述方程，得圆的极坐标方程为4cos ρθ=．…………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：()f x 的最小值为232a a --， …………………5分由题设，得223a a -<，解得(1,3)a ∈-． …………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）设甲同学在5次投篮中，有x 次投中，“至少有4次投中”的概率为P ，则(4)(5)P P x P x ==+= …………………2分=441550552222()(1)()(1)3333C C -+-=112243． …………………4分 （2）由题意1,2,3,4,5=．2(1)3P ==，122(2)339P ==⨯=，1122(3)33327P ==⨯⨯=，3122(4)3381P ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 411(5)381P ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．的分布表为…………………8分的数学期望22221121123453927818181E =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． …………………10分23．解：（1）当n 为奇数时，1n +为偶数，1n -为偶数， ∵1101221112(1)n n n n nn S CC C+++++=-++-，110122112(1)n n n n n n S C C C---+=-++-，11012211212(1)n n n n n n S C CC------=-++-，∴1111110011222221111111222()()(1)()(1)n n n n n n n n n n n n n n S S C C C C CCC-+-++-++-++++-=---++--+-=11012212112((1))n n n n n n CCCS --------++-=-．∴当n 为奇数时，11n n n S S S +-=-成立． …………………5分 同理可证，当n 为偶数时， 11n n n S S S +-=-也成立． …………………6分 （2）由01231007201420132012201110071111120142013201220111007S C C C C C =-+-+-，得 0123100720142013201220111007201420142014201420142013201220111007S C C C C C =-+-+-=0112233100710072014201320132012201220112011100710071231007()()()()2013201220111007C C C C C C C C C -+++-++-+=0121007012100620142013201210072012201120101006()()C C C C C C C C -+----+-+=20142012S S -． …………………9分 又由11n n n S S S +-=-，得6n n S S +=， 所以20142012421S S S S -=-=-，12014S =-． …………………10分。
苏南四市(苏锡常镇)~高三教学情况调研(二)数学试题(WORD版答案))
2015/05/042015年苏锡常镇·高三数学（二模）试卷一．填空题（5×14=70分）1．已知集合{}{}{}1,1,3,2,21,1a A B A B =-=-=I ，则实数a 的值是 ▲ 2．设12a b +i=2i(+i)(i 为虚数单位，,a b ∈R ），则a b +的值是 ▲3．某工厂生产某种产品5000件，它们来自甲、乙、丙3条不同的生产线．为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样．若从甲、乙、丙3条生产线抽取的件数之比为::122，则乙生产线生产了 ▲ 件产品4．根据如图所示的伪代码，若输入的x 值为1-，则输出的y 值为 ▲5．从3名男生和1名女生中随机选取两人，则两人恰好是一名男生和一名女生的概率为 ▲ 6．已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的离心率等于2，它的焦点 到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 ▲ 7．已知向量()()()1,2,0,1,,2a b c k ==-=-r r r ，若()2c a b -⊥r r r ，则实数k = ▲ 8．已知常数0a >，函数()(1)1a f x x x x =+>-的最小值为3，则a 的值为 ▲ 9．函数3sin(2)4y x π=+的图象向左平移(0)2πϕϕ<<个单位后，所得函数图象关于原点成中心对称，则ϕ= ▲ 10．已知等差数列{}n a 满足：128,6a a =-=-．若将145,,a a a 都加上同一个数m ，所得的三个数依此成等比数列，则m 的值为 ▲ 11．已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为42π，过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为 ▲12．已知A 为椭圆22195x y +=上的动点，MN 为圆22(1)1x y -+=的一条直径，则AM AN ⋅u u u u r u u u r 的最大值为 ▲13．已知函数()342f x x x ax =-+-恰有2个零点，则实数a 的取值范围为 ▲14．已知,,0a b a ∈≠R ，曲线2,21a y y ax b x +==++，若两条曲线在区间[3,4]上至少有一个公共点，则22a b +的最小值为 ▲二．解答题（14×3+16×3=90分）15．已知函数()sin()cos 6f x x x π=++（1）求函数()f x 的最大值，并写出当()f x 取得最大值时x 的取值集合；（2）若33(0,),()26f ππαα∈+=，求()2f α的值16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，2,2AB AD ==，PD ⊥平面ABCD ，,E F 分别为,CD PB 的中点求证：（1）//CF 平面PAE ；（2）AE ⊥平面PBD17．如图，甲船从A 处以每小时30海里的速度沿正北方向航行，乙船在B 处沿固定方向匀速航行，B 在A 北偏西0105方向用与B 相距102海里处．当甲船航行20分钟到达C处时，乙船航行到甲船的北偏西0120方向的D 处，此时两船相距10海里（1）求乙船每小时航行多少海里？（2）在C 处的北偏西030方向且与C 相距83海里处有一个暗礁E ，暗礁E 周围2海里范围内为航行危险区域．问：甲、乙两船按原航向和速度航行有无危险？如果有危险，从有危险开始多少小时后能脱离危险？如无危险，请说明理由18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的顶点都在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，对角线AC 与BD 分别过椭圆的左焦点1(1,0)F -和右焦点2(1,0)F ，且AC BD ⊥，椭圆的一条准线方程为4x =（1）求椭圆方程；（2）求四边形ABCD 面积的取值范围19．已知函数()x ex f x e=，其导数记为()f x '（e 为自然对数的底数） （1）求函数()f x 的极大值；（2）解方程()()f f x x =；（3）若存在实数1212,()x x x x ≠使得12()()f x f x =，求证：1202x x f +⎛⎫'<⎪⎝⎭20．已知,λμ为常数，且为正整数，1λ≠，无穷数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ，对任意正整数n ，n n S a λμ=-．数列{}n a 中任意两不同项的和构成集合A（1）证明无穷数列{}n a 为等比数列，并求λ的值；（2）如果2015A ∈，求μ的值；（3）当1n ≥时，设集合{}13232,n n n B x x x A μμ-=⋅<<⋅∈中元素的个数记为n b 求数列{}n b 的通项公式。
2014年苏锡常镇四市高三数学情况调查(一)附加题
2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅱ（附加题）命题单位：常州市教育科学研究院21．【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，且AB AD=，E是CB延长线上一点，直线EA与圆O相切．求证：CD AB AB BE=．B．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M，17⎡⎤=⎢⎥⎣⎦β，计算6Mβ．E （第21-A题）C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆的参数方程为22cos ,()2sin x y a a a =+⎧⎨=⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求：（1）圆的直角坐标方程；（2）圆的极坐标方程．D ．选修4—5：不等式选讲已知函数2()122f x x x a a =++---，若函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为23，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．（1）求甲同学至少有4次投中的概率；（2）求乙同学投篮次数x 的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）设01212(1)m m n n n n n m S C C C C ---=-+-+- ，*,m n ∈N 且m n <，其中当n 为偶数时，2n m =；当n 为奇数时，12n m -=． （1）证明：当*n ∈N ，2n ≥时，11n n n S S S +-=-；（2）记01231007201420132012201110071111120142013201220111007S C C C C C =-+-+- ，求S 的值．。
江苏省苏、锡、常、镇四市2014届高三数学下学期教学情况调查试题 文(含解析)苏教版
2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）文科数学一、填空题： 1.已知集合{}1,2,3,4A =，{},4,7B m =，若{}1,4AB =，则A B = ▲ ．2.若复数z =13i1i +-（i 为虚数单位），则 | z | = ▲ ． 【答案】5 【解析】试题分析：因为13i1i +-,21242i i +-=+-=所以.5||=z 也可利用复数模的性质求解，即.5210|1||31|||==-+=i i z考点：复数的模3.已知双曲线2218x y m -=的离心率为3，则实数m 的值为 ▲ ．4.一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别如下：(]10,20，2；(]20,30，3；(]30,40，4；(]40,50，5；(]50,60，4；(]60,70，2．则样本在(]10,50上的频率是 ▲ ．【答案】710【解析】试题分析：因为样本在(]10,50上的频数共有 145432=+++，所以样本在(]10,50上的频率是1072014=.也可从反面求解，即样本不在(]10,50上的频数共有 624=+，所以样本在(]10,50上的频率是107206-1=.考点：样本频率5.执行如图所示的算法流程图，则最后输出的y 等于 ▲ ．6.设函数2()sin f x a x x =+，若(1)0f =，则(1)f -的值为 ▲ ．【答案】2【解析】试题分析：因为(1)0f =，所以1sin 1-=a .因此(1)f -.211sin =+-=a 本题也可应用函数性质求解，因为2)()(=-+x f x f ，所以,2)1()1(=-+f f .2)1(=-f 考点：函数性质7.四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD 且PA = 4，则PC 与底面ABCD 所成角的正切值为 ▲ ．8.从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为 ▲ ．9.已知2tan()5+=，1tan 3=，则tan +4⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为 ▲ ． 【答案】98 【解析】试题分析：因为171315213152tan )tan(1tan )tan()tan(tan =⋅+-=++-+=-+=bb a b b a b b a a ，所以8917111711tan 1tan 1)4tan(=-+=-+=+a a a π.考点：两角和与差正切10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =-，132k a +=，12k S =-，则正整数k = ▲ ．11.已知正数,x y 满足22x y +=，则8x yxy +的最小值为 ▲ ．12.如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，2BG GO =，设CD ∥AG ，若15AD AB AC=+λ()∈R λ，则λ的值为 ▲ ．【答案】6513.已知函数22(2)e ,0,()43,0,x x x x f x x x x ⎧-=⎨-++>⎩≤()()2g x f x k =+，若函数()g x 恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为 ▲ ．考点：利用导数研究函数图像14.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,0)P 在圆222:24280C x y mx y m +--+-=内，动直线AB 过点P 且交圆C 于,A B 两点，若△ABC 的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围为 ▲ ．二、解答题15.（本小题满分14分） 设函数2()6cos 23sin cos f x x x x=-．（1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）在锐角△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()0f B =且2b =，4cos 5A =，求a 和sin C ．16.（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为菱形， 且160A AB ∠=︒，AC BC =，D 是AB 的中点． （1）求证：平面1A DC ⊥平面ABC ； （2）求证：1BC ∥平面1A DC ．【答案】（1）详见解析，（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）证明面面垂直，关键找出线面垂直.因为侧面11AA B B 为菱形， 且160A AB ∠=︒,所以△17.（本小题满分14分）一个圆柱形圆木的底面半径为1m ，长为10m ，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD （如图所示，其中O 为圆心，,C D 在半圆上），设BOC ∠=，木梁的体积为V （单位：m3），表面积为S （单位：m2）． （1）求V 关于θ的函数表达式；（2）求的值，使体积V 最大；（3）问当木梁的体积V 最大时，其表面积S 是否也最大？请说明理由．【答案】（1）()10(sin cos sin ),(0,)2V =+∈，（2）3=，（3）当木梁的体积V 最大时，其表面积S也最大．18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B ，C 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上不同的三点，32(32,)2A ，(3,3)B --，C 在第三象限，线段BC 的中点在直线OA 上．（1）求椭圆的标准方程；（2）求点C 的坐标；（3）设动点P 在椭圆上（异于点A ，B ，C ）且直线PB ，PC 分别交直线OA 于M ，N 两点，证明OM ON ⋅为定值并求出该定值．【答案】（1）求椭圆方程一般用待定系数法.本题已知椭圆过两点，列两个方程222291821,991,a b a b ⎧⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎩，解出b a ,的值,（2）求点(,)C m n 的坐标，需列出两个方程.一是点C 在椭圆上，即22227m n +=，二是BC 的中点在直线OA 上，即23m n =-.注意到C 在第三象限，舍去正值.（3）题意明确，思路简洁，就是求出点N M ,的坐标，算出ON OM ⋅为定值.难点是如何消去参数.因为点N M ,在直线OA ： 20x y -=上，所以可设11(2,)M y y ，22(2,)N y y ．选择00(,)P x y 作为参数，即用00(,)P x y 表示点N M ,的坐标.由,,P B M 三点共线，解得001003()23y x y x y -=--，同理解得00200523y x y x y -=-+.从而有22200000001222200000003(56)3(3627)393449241822x y x y y x y y y x y x y y x y +--+===⨯=+---+，这里主要用到2200227x y +=代入化简.本题也可利用椭圆参数方程或三角表示揭示21y y 为定值.∵,,P C N 三点共线，∴22011255y y y x ++=++，整理，得00200523y x y x y -=-+．…………………10分∵点C 在椭圆上，∴2200227x y +=，2200272x y =-．从而22200000001222200000003(56)3(3627)393449241822x y x y y x y y y x y x y y x y +--+===⨯=+---+． …………………14分所以124552OM ON y y ⋅==． …………………15分∴OM ON ⋅为定值，定值为452． …………………16分 考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系19.（本小题满分16分） 设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为Sn,已知11a =，且11()(1)n n n n S a S a λ+++=+对一切*n ∈N 都成立． （1）若λ = 1，求数列{}n a 的通项公式； （2）求λ的值，使数列{}n a 是等差数列．∴当2n ≥时，12n n S a +=．②② - ①，得12n n a a +=， ∴12n na a +=（2n ≥）． ………………… 6分∵当n = 1时， 22a =，∴n = 1时上式也成立，∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列， an = 2n -1（*n ∈N ）． …………………8分20.（本小题满分16分） 已知函数e ()ln ,()e x xf x mx a x mg x =--=，其中m ，a 均为实数．（1）求()g x 的极值；（2）设1,0m a =<，若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠，212111()()()()f x f xg x g x -<-恒成立，求a 的最小值；（3）设2a =，若对任意给定的0(0,e]x ∈，在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠，使得120()()()f t f t g x == 成立，求m 的取值范围．【答案】（1）极大值为1，无极小值．（2）3 -22e 3．（3）3[,)e 1+∞-．【解析】试题解析：（1）e(1)()e x x g x -'=，令()0g x '=，得x = 1． ………………… 1分列表如下：∵g(1) = 1，∴y=()g x 的极大值为1，无极小值． …………………3分 （2）当1,0m a =<时，()ln 1f x x a x =--，(0,)x ∈+∞．∵()0x af x x -'=>在[3,4]恒成立，∴()f x 在[3,4]上为增函数． …………………4分设1e ()()e x h x g x x ==，∵12e (1)()x x h x x --'=> 0在[3,4]恒成立，∴()h x 在[3,4]上为增函数． …………………5分设21x x >，则212111()()()()f x f xg x g x -<-等价于2121()()()()f x f x h x h x -<-，即2211()()()()f x h x f x h x -<-．x （-∞，1） 1 （1，+∞） ()g x '+ 0 - g(x)↗极大值↘设1e ()()()ln 1e xu x f x h x x a x x =-=---⋅，则u(x)在[3,4]为减函数． ∴21e (1)()10e x a x u x x x -'=--⋅≤在（3，4）上恒成立． …………………6分 ∴11e ex x a x x ---+≥恒成立．设11e ()ex x v x x x --=-+，∵112e (1)()1e x x x v x x ---'=-+=121131e [()]24x x ---+，x ∈[3，4]， ∴1221133e [()]e 1244x x --+>>，∴()v x '< 0，()v x 为减函数．∴()v x 在 [3，4]上的最大值为v(3) = 3 -22e3． ………………… 8分 ∴a ≥3 -22e 3，∴a 的最小值为3 -22e3． …………………9分∵e e 3()1e 1m mf m m m --+=>>-≥，∴3e 1m -≥时，命题成立．综上所述，m 的取值范围为3[,)e 1+∞-． …………………16分考点：函数极值，不等式恒成立。
2014—2015学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)
2014—2015学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)物 理 2015．3注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项1．本试卷包含选择题和非选择题两部分．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．本次考试时间为100分钟，满分值为120分．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号(考试号)用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B 铅笔将对应的数字标号涂黑．3．答选择题必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置答题一律无效．一、单项选择题：本大题共5小题，每小题3分，共计15分．每小题只有—个选项符合题意．1．两根相互靠近的长直导线1、2中通有相同的电流，相互作用力为F ．若在两根导线所在空间内加一匀强磁场后，导线2所受安培力的合力恰好为零．则所加磁场的方向是A ．垂直纸面向里B ．垂直纸面向外C ．垂直导线向右D ．每直导线向左2．如图所示为空间站中模拟地球上重力的装置．环形实验装置的外侧壁相当于“地板”．让环形实验装置绕O 点旋转，能使“地板”上可视为质点的物体与在地球表面处有同样的“重力”，则旋转角速度应为(地球表面重力加速度为g ，装置的外半径为R )A ．R gB ．gR C ．2R g D ．g R 2 3．如图所示，边长为a 的导线框abcd 处于磁感应强度为B 0的匀强磁场中，bc 边与磁场右边界重合．现发生以下两个过程：一是仅让线框以垂直于边界的速度移匀速向右运动；二是仅使磁感应强度随时间均匀变化．若导线框在上述两个过程中产生的感应电流大小相等，则磁感应强度随时间的变化率为A ．a vB 02 B ．a v B 0C ．av B 20 D ．a v B 04 4．已知月球半径为R ，飞船在距月球表面高度为R 的圆轨道上飞行，周期为T ，万有引力常量为G ，下列说法正确的是A ．月球第一宇宙速度为T R π4B ．月球表面重力加速度为R T228π C ．月球密度为23GT π D ．月球质量为23232GTR π 5．汽车从静止开始先做匀加速直线运动，然后做匀速运动．汽车所受阻力恒定，下列汽车功率P 与时间t 的关系图像中，能描述上述过程的是二、多项选择题：本大题共4小题，每小题4分，共计16分．每小题有多个选项符合题意．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，错选或不选的得0分：6．如图所示，轻质弹簧上端固定，下端系一物体．物体在A 处时，弹簧处于原长状态．现用手托住物体使它从A 处缓慢下降，到达B 处时，手和物体自然分开．此过程中，物体克服手的支持力所做的功为W ．不考虑空气阻力．关于此过程，下列说法正确的有A ．物体重力势能减小量一定大于WB ．弹簧弹性势能增加量一定小于WC．物体与弹簧组成的系统机械能增加量为WD．若将物体从A处由静止释放，则物体到达B处时的动能为W7．图中理想变压器的原、副线圈匝数之比为2：1，电阻R1=R2=10Ω，电表A、V均为理想交流电表．若R1两端电压u1=102sinl00πt(V)，则下列说法正确的有A．电压表示数为14.14VB．电流表的示数为0.5 AC．R l消耗的功率为20WD．原线圈输入交流电频率为50Hz8．如图所示，从同一竖直线上不同高度A、B两点处，分别以速率v 1、v2同向水平抛出两个小球，P为它们运动轨迹的交点．则下列说法正确的有A．两球在P点一定具有相同的速率B．若同时抛出，两球不可能在P点相碰C．若同时抛出，落地前两球竖直方向的距离逐渐变大D．若同时抛出，落地前两球之间的距离逐渐变大9．沿电场中某条直线电场线方向建立x轴，该电场线上各点电场强度E随x的变化规律如图所示，坐标点O、x l、x2和x3分别与x轴上O、A、B、C四点相对应，相邻两点间距相等．一个带正电的粒子从O点附近由静止释放，运动到A点处的动能为E k，仅考虑电场力作用．则A．从O点到C点，电势先升高后降低B．粒子先做匀加速运动，后做变加速运动C．粒子在AB段电势能变化量大于BC段的D．粒子运动到C点时动能小于3E k三、简答题；本题分必做题(第10、11题)和选做题(第12题)两部分，共计42分．请将解答填写在答题卡相应的位置．【必做题】10．(8分)在测量某电源电动势和内电阻的实验中：(1) 图1是实验中得到的U—I图像，由此可得该电源电动势和内电阻的测量值分别是V和Ω；(以上结果均保留两位有效数字)(2) 某同学在完成上述实验之后，又进行了下述探究实验．他将相同器材分别按图2和图3所示电路进行连接，在每次保持电压表(可视为理想电表)示数相同的情形下，读出电流表的示数分别为和I1和I2．调节滑动变阻器R，测得多组数据，得到I1与I2的关系为I1=kI2 (k为已知)．则电流表与电源的内阻之比为．11．(10分)某研究性学习小组用图示装置来测定当地重力加速度，主要操作如下：①安装实验器材，调节试管夹(小铁球)、光电门和纸杯在同一竖直线上；②打开试管夹，由静止释放小铁球，用光电计时器记录小铁球在两个光电门间的运动时间t，并用刻度尺(图上未画出)测量出两个光电门之间的高度h，计算出小铁球通过两光电门间的平均速度移；③保持光电门1的位置不变，改变光电门2的位置，重复②的操作．测出多组(h，t)，计算出对应的平均速度v；④画出v-t图像请根据实验，回答如下问题：(1)设小铁球到达光电门1时的速度为v0，当地的重力加速度为g．则小铁球通过两光电门间平均速度v 的表达式为．(用v0、g和t表示)(2)(3)根据v一t图像，可以求得当地重力加速度g= m/s2，试管夹到光电门1的距离约为cm．(以上结果均保留两位有效数字)12．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若三题都做，则按A、B两题评分．A．(选修模块3-3)(12分)(1)下列说法中正确的是A．在较暗的房间里，看到透过窗户的“阳光柱”里粉尘的运动不是布朗运动B．随着分子间距离增大，分子间作用力减小，分子势能也减小C．“第一类永动机”不可能制成，是因为它违反了能量守恒定律D．一定量理想气体发生绝热膨胀时，其内能不变(2)如图所示是一定质量的理想气体沿直线ABC发生状态变化的p—V图像．已知A→B的过程中，理想气体内能变化量为250J，吸收的热量为500J，则由B→C的过程中，气体温度．(选填“升高”或“降低”)，放出热量J．(3)在latm、0℃下，1mol理想气体的体积均为22.4L．若题(2)中气体在C时的温度为27℃，求该气体的分子数(结果取两位有效数字)．阿伏伽德罗常数取6.0× 1023mol-1．B．(选修模块3-4)(12分)(1)下列说法中正确的是A．光速不变原理指出光在真空中传播速度在不同惯性参考系中都是相同的B．变化的电场一定产生变化的磁场，变化的磁场一定产生变化的电场C．在光的双缝干涉实验中，若仅将入射光由红光改为绿光，则干涉条纹间距变宽D．声源与观察者相对靠近时，观察者所接收的频率大于声源振动的频率(2)如图所示，实线是一列简谐横波在t时刻的波形图，虚线是在t时刻后△t=0.2s时刻的波形图．已知△t <T．若该简谐波的波速为5m/s，则质点M在t时刻的振动方向为，质点M在位时间内通过的路程为m．(3)如图所示，一艘赛艇停在平静的水面上，赛艇前部上端有一标记P ，在其正前方A 处有一浮标．潜水员从P 前方S =4m 处开始下潜，当下潜至深度为H =27m 的B 处时，才能看到赛艇尾端后方水面上的景物，且看到P 刚好被浮标挡住．测得PA 、BA 与竖直方向的夹角分别为530和370．忽略赛艇吃水深度，求赛艇的长度L ．sin530=0.8，cos530=0.6．C ．(选修模块3-5)(12分)(1)在光电效应实验中，用同一种单色光，先后照射锌和银的表面，都能发生光电效应现象．对于这两个过程，下列四个物理量中，一定不同的是A ．单位时间内逸出的光电子数B ．反向截止电压C ．饱和光电流D ．光电子的最大初动能(2)电子俘获是指原子核俘获一个核外轨道电子，使核内一个质子转变为一个中子．一种理论认为地热是镍58(5828Ni)在地球内部的高温高压环境下发生电子俘获核反应生成钴57(Co)时产生的．则镍58电子俘获的核反应方程为 ：若该核反应中释放出的能量与一个频率为ν的光子能量相等，已知真空中光速和普朗克常量分别是c 和h ，则该核反应中质量亏损△m 为 ．(3)如图所示，位于光滑水平桌面上的小滑块P 和Q 均可视为质点，质量均为m ，Q 与轻质弹簧相连并处于静止状态，P 以初速度移向Q 运动并与弹簧发生作用．求整个过程中弹簧的最大弹性势能．四、计算题：本题共3小题，计47分．解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤．只有最后答案的不能得分．有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位．13．(15分)如图是某学习小组在空旷的场地上做“摇绳发电实验”的示意图．他们将一铜芯线像甩跳绳一样匀速摇动，铜芯线的两端分别通过细铜线与灵敏交流电流表相连．摇绳的两位同学的连线与所在处的地磁场(可视为匀强磁场)垂直．摇动时，铜芯线所围成半圆周的面积S =2m 2，转动角速度ω=102rad/s ，用电表测得电路中电流I =40µA ，电路总电阻R =10Ω，取2=2.25．(1)求该处地磁场的磁感应强度B ；(2)从铜芯线所在平面与该处地磁场平行开始计时，求其转过四分之一周的过程中，通过电流表的电量q ；(3)求铜芯线转动一周的过程中，电路产生的焦耳热Q ．14．(16分)如图所示为仓储公司常采用的“自动化”货物装卸装置，两个相互垂直的斜面固定在地面上，货箱A(含货物)和配重B通过与斜面平行的轻绳跨过光滑滑轮相连．A装载货物后从h=8.0 m高处由静止释放，运动到底端时，A和B同时被锁定，卸货后解除锁定，A在B的牵引下被拉回原高度处，再次被锁定．已知θ=530，B的质量M为1.0×103 kg，A、B与斜面间的动摩擦因数均为µ=0.5，滑动摩擦力与最大静摩擦力相等，g取10 rn/s2，sin530=0.8，cos530=0.6．(1)为使A由静止释放后能沿斜面下滑，其质量m需要满足什么条件?(2)若A的质量m=4.0×103kg，求它到达底端时的速度v；(3)为了保证能被安全锁定，A到达底端的速率不能大于12 m/s．请通过计算判断：当A的质量m不断增加时，该装置能否被安全锁定．15．(16分)如图1所示，在xoy平面的第Ⅰ象限内有沿x轴正方向的匀强电场E1；第Ⅱ、Ⅲ象限内同时存在着竖直向上的匀强电场E2和垂直纸面的匀强磁场B，E2=2.5N/C，磁场B随时间t周期性变化的规律如图2所示，B0=0.5T，垂直纸面向外为磁场正方向．一个质量为m、电荷量为q的带正电液滴从P点(0.6m，0.8m)处以速度v0=3m/s沿x轴负方向入射，恰好以指向y轴负方向的速度v经过原点O后进入x≤0的区域．己知：m=5×10-5kg，q=2×10-4C，t=0时液滴恰好通过O点，g取10m/s2．(1)求电场强度E1和液滴到达O点时速度v的大小；(2)液滴从P点开始运动到第二次经过x轴所需的时间；(3)若从某时刻起磁场突然消失，发现液滴恰好以与y轴正方向成300角的方向穿过y轴后进入x>0的区域，试确定液滴穿过y轴时的位置．。
2015年苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)
2015年苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）一、填空题（共14小题；共70分）1. 已知集合，，则．2. 若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数3. 双曲线的离心率为．4. 在一次满分为分的数学考试中，某班名学生的考试成绩分布如下：在该班随机抽取一名学生，则该学生在这次考试中成绩在分以上的概率为．5. 函数的定义域为．6. 如图，四棱锥中，底面，底面是矩形，，，，点为棱上一点，则三棱锥的体积为．7. 如图是一个算法流程图，则输出的的值为．8. 已知等比数列的各项均为正数，若，，则 = ．9. 若曲线：与曲线：在处的两条切线互相垂直，则实数的值为．10. 设函数的最小正周期为，且满足，则函数的单调增区间为．11. 如图，在平面四边形中，为的中点，与交于点，，，且，则．12. 在平面直角坐标系中，已知圆，点是轴上的一个动点，，分别切圆于，两点，则线段长的取值范围为．13. 已知直线与曲线恰有四个不同的交点，则实数的取值范围为．14. 已知实数，满足，且，则的最小值为．二、解答题（共12小题；共156分）15. 已知向量，，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．16. 如图，四边形为矩形，四边形为菱形，且平面平面．，分别为，的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面．17. 如图，有一段河流，河的一侧是以为圆心，半径为米的扇形区域，河的另一侧是一段笔直的河岸，岸边有一烟囱（不计离河岸的距离），且，的连线恰好与河岸垂直，设与圆弧的交点为．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点，点和点处测得烟囱的仰角分别为，和．（1）求烟囱的高度；（2）如果要在，间修一条直路，求的长．18. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且过点，过椭圆左顶点作直线轴，点为直线上的动点（点与点不重合），点为椭圆右顶点，直线交椭圆于点．（1）求椭圆的方程．（2）求证：．（3）试问是否为定值?若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．19. 已知函数．（1）当时，求的单调减区间；（2）若方程恰好有一正根和一负根，求实数的最大值．20. 已知数列的前项和为，设数列满足．（1）若数列为等差数列，且，求数列的通项公式；（2）若，，且数列，都是以为公比的等比数列，求满足不等式的所有正整数的集合．21. 如图，为圆的切线，为切点，为线段的中点，过作圆的割线（在，之间），求证：．22. 求曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．23. 在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被曲线所截得的弦长．24. 求函数的最大值．25. 如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为的菱形，，，为的中点．（1）求异面直线与所成的角的大小；（2）求平面与平面所成的二面角的正弦值．26. 若存在各不同的正整数，，，，对于任意，都有，则称这个不同的正整数，，，为" 个好数"．（1）请分别对，构造一组"好数"；（2）证明：对任意的正整数（），均存在" 个好数"．答案第一部分1.2.【解析】，因为该复数为纯虚数，所以实部，．3.4.5.6. 4【解析】（等体积转换）根据题意，7.【解析】执行程序可得，，，，，，故输出的．8.【解析】设等比数列的公比为，因为，所以．又且等比数列的各项均为正数，所以，，．9.【解析】对于曲线：，，得曲线在处切线的斜率为；同理，曲线：，，曲线在处切线的斜率为．因为曲线、在处的切线互相垂直，所以，得．10.【解析】由函数的最小正周期，得．又函数为偶函数，所以，，又，所以．则．当，，得函数的单调增区间为：11.【解析】由为的中点，且，所以．所以，，．同理．由从而解得：．12.【解析】根据题中条件，如图所示：、分别为圆的切线，设，则．由图可知：越大，越长；反之，越小，越短．所以当在轴上无穷远处，接近于直径，所以．当与原点重合时，最短，最小，则最短．此时，，，而．解得：．故长的取值范围为．13.【解析】由，得．作出函数的图象：直线恒过点，当直线与曲线图象相切时，即（）只有一根，得；同理，与（）相切时，．所以，由图观察可得：．14.【解析】设，，得．，，又有，得．，当且仅当即取等号．第二部分15. （1）因为，所以，即，即．又，所以．（2）若，则．即．所以．所以．因为，所以，所以，即．16. （1）四边形为矩形，，又平面平面，平面平面 =平面，平面，，又四边形为菱形，，，平面，平面，平面．（2）取的中点，连，．四边形为矩形，，分别是，的中点，，又平面，平面，平面，又，分别为边，的中点，，又平面，平面．平面，，平面，平面．平面平面．平面，平面．17. （1）设的高度为，在中，因为，所以，在中，因为，，所以，，由题意得，解得．答：烟囱的高度为米．（2）在中，，所以在中，．答：的长为米．18. （1）椭圆的离心率为，则，，又椭圆过点，所以．所以，，则椭圆的方程．（2）设直线的斜率为，则直线的方程为，设，将代入椭圆的方程中并化简得：，解之得，，所以，从而．令，得，所以，．又，所以，所以．（3）．所以为定值．19. （1）当时，当时，，由，解得．所以的单调减区间为，当，，由，解得或，所以的单调减区间为，综上：的单调减区间为，．（2）当时，，则，令，得或，所以有极大值，极小值，当时，同（1）的讨论可得：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．且函数有两个极大值点，．．且当时，．所以若方程恰好有正根，则（否则至少有两个正根）．又方程恰好有一负根，则．令，，则，所以在上单调递减，即．等号当且仅当时取到．所以，等号当且仅当时取到．且此时，即，所以要使方程恰好有一个正根和一个负根，的最大值为．20. （1）设等差数列的公差是，所以，，由，得，及由，又由，得对于一切的都成立．令，，解之得或经检验，符合题意．所以通项公式为或．（2）由题意可得：，，，．记，即，记，则当，，时，，当，且时，，因为时，，所以，又，．所以，在时也是单调递增．时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，．所以满足条件的正整数的集合为．21. 因为是圆的切线，所以，又，所以，即，又，所以，所以．22. 设点为曲线上的任意一点，在矩阵对应的变换作用下得到的点为，则由，得：即所以曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线为，所围成的图形为菱形，其面积为．23. 曲线的直角坐标方程为，得．圆心为，半径为．直线的直角坐标方程，所以圆心到直线距离，所以弦长为．24. 因为所以．等号成立的条件当且仅当，即，的最大值为．25. （1）由底面是边长为的菱形，为的中点．设与交于点，以为顶点，向量，为，轴，平行于且方向向上的向量为轴（过点）建立空间直角坐标系．则，，，，，所以，，，．所以异面直线与所成的角为．（2）设平面的法向量为，平面的法向量为，因为，，，由令得，由令得，所以．所以．26. （1）当时，取数，，因为，当时，取数，，则，，，即，，可构成三个好数．（2）假设命题当时，存在个不同的正整数，，，，，其中．使得对任意的，都有成立，则当时构造个数，，，，，，其中．若在取到的是和，则，所以成立．若取到的是和，且则，有归纳假设得．又，所以是的一个因子，即，所以，所以当时也成立．所以对任意正整数，均存在" 个好数"．。
江苏省苏、锡、常、镇四市2014届高三下学期教学情况调查数学(理)试题Word版含解析
2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）理科数学一、填空题：1.已知集合{}1,2,3,4A =，{},4,7B m =，若{}1,4AB =，则AB = ▲ ．2.若复数z =13i1i+-（i 为虚数单位），则 | z | = ▲ ．3.已知双曲线2218x y m -=m 的值为 ▲ ．4.一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别如下：(]10,20，2；(]20,30，3；(]30,40，4；(]40,50，5；(]50,60，4；(]60,70，2．则样本在(]10,50上的频率是 ▲ ．5.执行如图所示的算法流程图，则最后输出的y 等于 ▲ ．6.设函数2()sin f x a x x =+，若(1)0f =，则(1)f -的值为 ▲ ． 【答案】2 【解析】试题分析：因为(1)0f =，所以1sin 1-=a .因此(1)f -.211sin =+-=a 本题也可应用函数性质求解，因为2)()(=-+x f x f ，所以,2)1()1(=-+f f .2)1(=-f 考点：函数性质7.四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD 且PA = 4，则PC 与底面ABCD 所成角的正切值为 ▲ ．8.从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为 ▲ ．9.已知2tan()5a b +=，1tan 3b =，则tan +4p a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为 ▲ ．10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =-，132k a +=，12k S =-，则正整数k = ▲ ．11.已知正数,x y满足22x y+=，则8x yxy+的最小值为▲．12.如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，2BG GO=，设CD∥AG，若15AD AB AC=+λ()∈Rλ，则λ的值为▲．考点：向量共线表示13.已知函数22(2)e,0,()43,0,xx x xf xx x x⎧-=⎨-++>⎩≤()()2g x f x k=+，若函数()g x恰有两个不同的零点，则实数k的取值范围为 ▲ ．【答案】27321,{0,22e+⎛⎫-- ⎪⎝⎭考点：利用导数研究函数图像14.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,0)P 在圆222:24280C x y mx y m +--+-=内，动直线AB 过点P 且交圆C 于,A B 两点，若△ABC 的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围为 ▲ ．【答案】[3(327,3++--【解析】试题分析：由题意得圆心(,2),C m 半径r =因为点(3,0)P 在圆222:24280C x y mx y m +--+-=内，所以223060280m m +--+-<，解得33m -<+设C 到直线距离为d ,则.d CP ≤又222211162222ABCd r d r S d AB d ∆+-=⋅=⋅≤==，当且仅当222d r d =-，即216,4d d ==时取等号，因此4CP ≥≥，即3m ≥+3m ≤-综上实数m 的取值范围为[3(327,3++--.考点：直线与圆位置关系二、解答题15.（本小题满分14分）设函数2()6cos cos f x x x x =-． （1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）在锐角△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()0f B =且2b =，4cos 5A =，求a 和sin C ．（2）由()0f B =，得πcos(2)6B +=．B 为锐角，∴ππ7π2666B <+<，π5π266B +=，∴π3B =． …………………9分 ∵4cos 5A =，(0,)A p ∈，∴3sin 5A ． …………………10分 在△ABC中，由正弦定理得32sin sin b Aa B⨯=== …………………12分∴21sin sin()=sin()sin 32C A B A A A p p =---=+=． …………………14分 考点：倍角公式，正余弦定理16.（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为菱形， 且160A AB ∠=︒，AC BC =，D 是AB 的中点． （1）求证：平面1A DC ⊥平面ABC ；（2）求证：1BC ∥平面1A DC ．17.（本小题满分14分）一个圆柱形圆木的底面半径为1m ，长为10m ，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD （如图所示，其中O 为圆心，,C D 在半圆上），设BOC q ∠=，木梁的体积为V （单位：m 3），表面积为S （单位：m 2）． （1）求V 关于θ的函数表达式； （2）求q 的值，使体积V 最大；（3）问当木梁的体积V 最大时，其表面积S 是否也最大？请说明理由．【答案】（1）()10(sin cos sin ),(0,)2V p q q q q q =+∈，（2）3p q =，（3）当木梁的体积V 最大时，其表面积S也最大．（3）木梁的侧面积210S AB BC CD =++⋅侧（）=20(cos 2sin 1)2q q ++，(0,)2pq ∈． 2ABCD S S S =+侧=2(sin cos sin )20(cos 2sin 1)2q q q q q ++++，(0,)2pq ∈．…………………10分设()cos 2sin 12g q q q =++，(0,)2p q ∈．∵2()2sin 2sin 222g qq q =-++，∴当1sin22q =，即3pq =时，()g q 最大． …………………12分 又由（2）知3pq =时，sin cos sin q q q +取得最大值， 所以3pq =时，木梁的表面积S 最大． …………………13分 综上，当木梁的体积V 最大时，其表面积S 也最大． …………………14分 考点：利用导数求函数最值18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B ，C 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上不同的三点，)2A ，(3,3)B --，C 在第三象限，线段BC 的中点在直线OA 上．（1）求椭圆的标准方程； （2）求点C 的坐标；（3）设动点P 在椭圆上（异于点A ，B ，C ）且直线PB ，PC 分别交直线OA 于M ，N 两点，证明OM ON ⋅为定值并求出该定值．可利用椭圆参数方程或三角表示揭示21y y 为定值.【解析】试题分析：（1）22127272x y +=,（2）(5,1)--,（3）452.试题解析：（1）由已知，得222291821,991,a b a b ⎧⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得2227,27.2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ …………………2分所以椭圆的标准方程为22127272x y +=． …………………3分19.（本小题满分16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为S n ,已知11a =，且11()(1)n n n n S a S a λ+++=+对一切*n ∈N 都成立． （1）若λ = 1，求数列{}n a 的通项公式； （2）求λ的值，使数列{}n a 是等差数列． 【答案】（1）an = 2n -1（2）λ = 0. 【解析】（2）令n = 1，得21a λ=+．令n = 2，得23(1)a λ=+． ………………… 10分 要使数列{}n a 是等差数列，必须有2132a a a =+，解得λ = 0． ………………… 11分 当λ = 0时，11(1)n n n n S a S a ++=+，且211a a ==． 当n ≥2时，111()(1)()n n n n n n S S S S S S +-+-=+-， 整理，得2111n n n n n S S S S S +-++=+，1111n n n nS S S S +-+=+， ………………… 13分从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+++， 化简，得11n n S S ++=，所以11n a +=． ……………… 15分 综上所述，1n a =（*n ∈N ），所以λ = 0时，数列{}n a 是等差数列． ………………… 16分 考点：已知n S 求n a20.（本小题满分16分）已知函数e ()ln ,()e xxf x mx a x mg x =--=，其中m ，a 均为实数． （1）求()g x 的极值；（2）设1,0m a =<，若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠，212111()()()()f x f xg x g x -<-恒成立，求a 的最小值；（3）设2a =，若对任意给定的0(0,e]x ∈，在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠，使得120()()()f t f t g x == 成立，求m 的取值范围．对于函数()y g x =在(0,e]上值域中每一个值，函数()y f x =在(0,e]上总有两个不同自变量与之对应相等．首先求出函数()y g x =在(0,e]上值域(0,1]，然后根据函数()y f x =在(0,e]上必须不为单调函数且每段单调区间对应的值域都需包含(0,1].由()f x 在(0,e]不单调得2em >，由每段单调区间对应的值域都需包含(0,1]得(e)1f ≥，3e 1m -≥. 试题解析：（1）e(1)()exx g x -'=，令()0g x '=，得x = 1． ………………… 1分 列表如下：附加题21．【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.A．选修4—1：几何证明选讲如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，且AB AD=，E是CB延长线上一点，直线EA与圆O相切．求证：CD AB AB BE=．【答案】详见解析 【解析】21.B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，17⎡⎤=⎢⎥⎣⎦β，计算6M β． 【答案】 【解析】试题分析：利用矩阵特征值λ及其对应特征向量α性质：n n M αλα=进行化简.先根据矩阵M 的特征多项式求出其特征值123,1λλ==-，进而求出对应的特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，211⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α.再将17⎡⎤=⎢⎥⎣⎦β分解成特征向量，即1243=-βαα，最后利用性质求结果，即21.C．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，圆的参数方程为22cos,()2sinxyaaa=+⎧⎨=⎩为参数，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求：（1）圆的直角坐标方程；（2）圆的极坐标方程．21.D．选修4—5：不等式选讲已知函数2()122f x x x a a=++---，若函数()f x的图象恒在x轴上方，求实数a的取值范围．22.（本小题满分10分）甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为23，且各次投篮的结果互不影响．甲 同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次． （1）求甲同学至少有4次投中的概率； （2）求乙同学投篮次数x 的分布列和数学期望．（2）由题意1,2,3,4,5=x ．2(1)3P ==x ，122(2)339P ==⨯=x ，1122(3)33327P ==⨯⨯=x ，3122(4)3381P x ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，411(5)381P x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．x 的分布表为…………………8分x 的数学期望22221121123453927818181E =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x ． …………………10分考点：概率分布，数学期望值23.（本小题满分10分）设01212(1)m mn n n n n m S C C C C ---=-+-+-，*,m n ∈N 且m n <，其中当n 为偶数时，2nm =；当n 为奇数时，12n m -=． （1）证明：当*n ∈N ，2n ≥时，11n n n S S S +-=-；。