现代信号处理复习要点总结

《信号处理技术及应用》复习要点总结题型：10个简答题，无分析题。

前5个为必做题，后面出7个题，选做5个，每个题10分。

要点：第一章：几种变换的特点，正交分解，内积，基函数；第二章：信号采样中的窗函数与泄露，时频分辨率，相关分析及应用（能举个例子最好）第三章：傅里叶级数、傅里叶变换、离散傅里叶变换（DFT）的思想及公式，FFT校正算法、功率谱密度函数的定义，频谱细化分析，倒频谱、解调分析、时间序列的基本原理（可能考其中两个）第四章：一阶和二阶循环统计量的定义和计算过程，怎么应用？第五章：多分辨分析，正交小波基的构造，小波包的基本概念第六章：三种小波各自的优点，奇异点怎么选取第七章：二代小波提出的背景及其优点，预测器和更新器系数计算方法，二代小波的分解和重构，定量识别的步骤第八章：EMD基本概念（瞬时频率和基本模式分量）、基本原理，HHT的基本原理和算法。

看8.3小节。

信号的时域分析信号的预处理传感器获取的信号往往比较微弱，并伴随着各种噪声。

不同类型的传感器，其输出信号的形式也不尽相同。

为了抑制信号中的噪声，提高检测信号的信噪比，便于信息提取，须对传感器检测到的信号进行预处理。

所谓信号预处理，是指在对信号进行变换、提取、识别或评估之前，对检测信号进行的转换、滤波、放大等处理。

常用的信号预处理方法信号类型转换信号放大信号滤波去除均值去除趋势项理想低通滤波器具有矩形幅频特性和线性相位特性。

经典滤波器定义：当噪声和有用信号处于不同的频带时，噪声通过滤波器将被衰减或消除，而有用信号得以保留现代滤波器当噪声频带和有用信号频带相互重叠时，经典滤波器就无法实现滤波功能现代滤波器也称统计滤波器，从统计的概念出发对信号在时域进行估计，在统计指标最优的意义下，用估计值去逼近有用信号，相应的噪声也在统计最优的意义下得以减弱或消除将连续信号转换成离散的数字序列过程就是信号的采样，它包含了离散和量化两个主要步骤采样定理：为避免混叠，采样频率ωs必须不小于信号中最高频率ωmax的两倍,一般选取采样频率ωs为处理信号中最高频率的2.5～4倍量化是对信号采样点取值进行数字化转换的过程。

量化结果以一定位数的数字近似表示信号在采样点的取值。

信号采样过程须使用窗函数，将无限长信号截断成为有限长度的信号。

从理论上看，截断过程就是在时域将无限长信号乘以有限时间宽度的窗函数数字信号的分辨率包括时间分辨率和频率分辨率数字信号的时间分辨率即采样间隔ρt，它反映了数字信号在时域中取值点之间的细密程度数字信号的频率分辨率为ρω=2π/Tt e t x X t j d )()(ωω-+∞∞-⎰=频率分辨率表示了数字信号的频谱在频域中取值点之间的细密程度常用的时域参数和指标1) 均值；2) 均方值；3) 均方根值；4) 方差；5) 标准差；6) 概率密度函数；7) 概率分布函数；8) 联合概率密度函数等有量纲参数指标包括方根幅值、平均幅值、均方幅值和峰值四种无量纲参数指标包括了波形指标、峰值指标、脉冲指标和裕度指标有量纲参数指标不但与机器的状态有关，且与机器的运动参数如转速、载荷等有关。

而无量纲参数指标具有对信号幅值和频率变化均不敏感的特点。

这就意味着理论上它们与机器的运动条件无关，只依赖于概率密率函数的形状。

所谓相关，就是指变量之间的线性联系或相互依赖关系。

如果信号随自变量时间的取值相似，内积结果就大。

反之亦然。

可定义信号的相关性度量指标。

⎰+=∞→T T tt y t x T R 0d )()(1lim )(ττ 信号x (t )的自相关函数和自相关系数定义为 t t x t x T R TT x d )()(1lim )(0⎰±=∞→ττ自相关分析的应用信号中的周期性分量在相应的自相关函数中不会衰减，且保持了原来的周期。

因此，自相关函数可从被噪声干扰的信号中找出周期成分在用噪声诊断机器运行状态时，正常机器噪声是由大量、无序、大小近似相等的随机成分叠加的结果，因此正常机器噪声具有较宽而均匀的频谱。

当机器状态异常时，随机噪声中将出现有规则、周期性的信号，其幅度要比正常噪声的幅度大得多。

用噪声诊断机器故障时，依靠自相关函数 就可在噪声中发现隐藏的周期分量，确定机器的缺陷所在互相关函数可定义为 t t y t x TR T T xy d )()(1lim )(0 ⎰+=∞→ττ互相关函数 的性质如下信号的频域分析傅里叶变换傅里叶逆变换) (ωX)(ωφωωπωd)(21)(t j eXtx⎰∞+∞-=可写成)(|)(|)(ωφωωjeXX=| |为信号的连续幅值谱，为信号的连续相位谱非周期信号的幅值谱| X(w)|和周期信号的幅值谱Cn很相似，但两者是有差别的Cn|的量纲与信号幅值的量纲一样；| X(w)|的量纲与信号幅值的量纲不一样，它是单位频带dw上的幅值。

傅里叶变换的性质相干函数的工程应用(1) 判断系统输出与某特定输入的相关程度。

利用相干函数可发现系统是否还有其它输入干扰及系统的线性程度。

(2) 谱估计和系统动态特性的测量精度估计。

在计算传递函数的幅频特性及相频特性时，辅以相干函数分析，可以分析出机械系统和基础振动的传递特性，为结构动态分析提供依据。

得到新的长度为N的复序列{ Rn}对序列{Rn}进行FFT变换，得到中心频率为Wk 带宽W2-W1的细化谱信号调制与解调分析当机械出现故障时，信号中包含的故障信息往往以调制的形式出现，提取调制信号的过程就是信号的解调。

由于经典的频谱分辨率低，方差性不好，频谱能量泄露，需要较长的原始数据等不足，需要建立参数模型频谱估计随机信号Xt的参数模型频谱估计的步骤可以分为以下三步:（1）对给定的随机信号确定合理的参数模型；（2）根据信号的自相关函数估计所确定的模型的参数；（3）用估计出的模型参数计算信号的功率谱密度函数。

自回归(Auto-regressive，AR)模型AR模型的传递函数中只含有极点，不含有零点，是全极点模型滑动平均(Moving-average，MA)模型参数模型的输出是该时刻的输入和以前q个输入的线性组合，称为滑动平均模型，其传递函数中只含有零点，不含有极点，所以MA模型也叫作全零点模型。

自回归滑动平均(Auto-regressive & Moving-average，ARMA)模型ARMA模型的传递函数既包含零点，又包含极点，所以ARMA模型也叫作极零点模型。

由于AR模型的参数估计可以归结为求解一组线性方程组，计算简单。

因此，AR模型便成为研究最多且应用最广的一种参数模型。

循环平稳信号在非平稳信号中有一个重要的子类，它们的统计量随时间按周期或多周期规律变化，这类信号称为循环平稳信号严格意义上的循环平稳信号是指时间序列具有周期时变的联合概率密度函数011(,)(,)N N i i i i p x t p x t nT ===+∏∏ 对于一个循环平稳的时间序列来说，它的循环频率（包括零循环频率和非零循环频率）可能有多个，所有循环频率的总体构成循环频率集循环频率包括零值和非零值，其中零循环频率对应信号的平稳部分，非零循环频率则描述了信号的循环平稳特性一阶循环统计量—循环均值二阶循环统计量—循环自相关函数二阶循环密度函数将调制信号分成了低频调制频段和高频载波频段两个相互独立的循环频率域 若高频载波频带中对应的谱峰为最高值，两边的边频带数目较少，则可以确定为调幅信号 若循环频率中心处的谱峰不是最大值，切两边的边频带较多，则是调频信号窗口傅里叶变换，称为短时傅里叶变换STFT 时间分辨率 和频率分辨率 不可能同时任意小，根据Heisenberg 不确定性原理，上式中，当且仅当采用了高斯窗函数，等式成立短时傅里叶变换能够分析非平稳动态信号，其基础是傅里叶变换，更适合分析准平稳(quasi-stationary)信号。

反映信号高频成份需要用窄时窗，而反映信号低频成份需要用宽时窗。

短时傅里叶变换不能同时满足这些要求。

“小波”就是小的波形。

所谓“小”是指局部非零，波形具有衰减性；“波”则是指它具有波动性，包含有频率的特性。

小波分析的思想来源于伸缩和平移方法。

小波变换的实质就是以基函数 的形式将信号 X （t ）分解为不同频带的子信号。

对信号X （t ） 进行小波变换相当于通过小波的尺度因子和时移因子变化去观察信号。

小波变换的局部化是变化的，在高频处时间分辨率高，频率分辨率低；在低频处时间分辨率低，频率分辨率高，即具有“变焦”的性质，也就是具有自当机器发生故障时，信号所包含机器不同零部件的故障特征频率分布在不同的频带里。

如何提取这些被淹没的微弱信息而实现故障的早期诊断问题，往往使传统的信号分析技术无能为力。

小波变换能够实现信号在不同频带、不同时刻的合理分离。

这种分离相当于同时使用一个低通滤波器和若干个带通滤波器而不丢失任何原始信息。

为机器零部件故障特征频率的分离、微弱信息的提取以实现早期故障诊断提供了高效、有力的工具。

特别要强调，这些优点来自小波变换的多分辨分析和小波基函数的正交性。

适应窗的性质小波包小波变换对信号的分解都是对低频逼近信号进行再分解，不再对高频细节信号进行分解。

小波变换分解方式，高频频带信号的时间分辨率高而频率分辨率低，低频频带信号的时间分辨率低而频率分辨率高。

小波包(wavelet packet)提高高频频带信号的频率分辨率 即对高频频带信号进行再分解连续小波变换本章介绍三种在工程实际应用中取得了理想效果的连续小波基函数，它们都具有明确的解析表达式。

这三种连续小波分别是谐波小波、Laplace 小波和Hermitian 小波谐波小波是一种复小波，在频域紧支，有明确的函数表达式，其伸缩与平移构成了L2(R)空间的规范正交基。

谐波小波小波具有完全“盒形”的频谱。

谐波小波分解算法是通过信号的快速傅里叶变换（FFT ）及其逆变换（IFFT ）实现的，算法速度快，t∆f ∆π41≥∆∆f t ()a b t -ψ精度高，因而具有很好的工程应用价值谐波小波对信号的分析频宽从高频到低频是以1/2关系逐渐减小的，对信号的低频部分划分比较细，而高频部分划分比较粗，这说明谐波小波分解是一种小波分解为了保证谐波小波的优点，必须进行滤波算法，即谐波小波滤波，谐波小波滤波计算过程并未采用基于隔二抽取的Mallat 算法，因此保证了信号各频段成分点数不变，采样频率不变，这样就可以实现机组同一截面互相垂直两个方向振动信号的轴心轨迹合成。

Laplace 小波具有良好的单边衰减的特性，但是其正交性很差。

其频域盒形不好，故滤波特性较差。

Laplace 小波相关滤波法能够在强大噪声或其它干扰中准确捕捉到脉冲响应信号，识别出响应波形的参数。

点数较多的滤波器会平滑掉信号中的部分奇异性，所以，奇异性检测需要振荡次数较少的小波，这是选择Hermitian 小波的出发点 只需要少量离散点即可表达，具有很强的时域局部化能力。