专题5.2 解析几何与平面向量相结合问题 高考数学选填题压轴题突破讲义(原卷版)

一．方法综述

向量具有代数与几何形式的双重身份，平面向量与解析几何的交汇是新课程高考命题改革的发展方向和必然趋势.

平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算.或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题. 二．解题策略

类型一 利用向量垂直的充要条件，化解解析几何中的垂直问题 【例1】【河北省石家庄市2019届高三3月检测】已知双曲线的左，右焦点分别是，，若双

曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则实数的值为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【指点迷津】由向量加法法则结合三角形中位线性质，可得△MF 1F 2是以为F 1F 2斜边的直角三角形．由此设

运用勾股定理算出

与

，得到结论．

【举一反三】

1.【山东省济南市2019届高三3月模拟】设，分别是椭圆的左、右焦点，过

的直线交椭圆于，两点，且

，

，则椭圆的离心率为( )

A ．

B ．

C ．

D ．

2.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的右顶点为A ，抛物线2

:8C y ax =的焦点为F ．若在E 的渐近

线上存在点P ，使得AP FP ⊥u u u r u u u r

，则E 的离心率的取值范围是 （ ）

A ． ()1,2

B ． 321,4⎛ ⎝⎦

C ． 324⎡⎫

+∞⎪⎢⎪⎣⎭

D ． ()2,+∞ 【指点迷津】本题主要考查了双曲线的基本性质的应用，抛物线基本性质的应用，向量数量积坐标运算以及一元二次方程根的判别式的运用，属于中档题，首先可画一张草图，分析其中的几何关系，然后将

AP FP ⊥u u u r u u u r

系用代数形式表示出来，

即可得到一个一元二次方程，若要使得一元二次方程有实数解， 0∆≥，

水到渠成，即可得到答案，因此将几何关系转化成方程是解题的关键． 类型二 利用向量平行的充要条件，灵活转换解析几何中的平行或共线问题

【例2】过双曲线22221x y a b

-=（0a >，0b >）的右焦点(),0F c 作圆222

x y a +=的切线，切点为M ．直

线FM 交抛物线2

4y cx =-于点N ，若2OF ON OM +=u u u r u u u r u u u u r

（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）

A ．

5

B ． 51

+ C ． 5 D ． 15+

【指点迷津】本题主要考查利用抛物线及双曲线的定义、双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题．求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．求离心率问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的等式，从而求出e 的值．本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于e 的等式，最后解出e 的值． 【举一反三】

1.【江西省上饶市2019届高三二模】设抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、

两点，满足，若，则（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

2.已知,,A B P 为双曲线2

2

14

y x -=上不同三点，且满足2PA PB PO +=u u u r u u u r u u u r （O 为坐标原点），直线,PA PB 的斜率记为,m n ，则2

2

4

n m +的最小值为（ ）

A ． 8

B ． 4

C ． 2

D ． 1

【指点迷津】涉及到的知识点有平面向量共线定理，直线斜率的计算公式，基本不等式等． 首先得出原点为线段AB 的中点，再求出直线PA ，PB 斜率的表达式， 算出mn 为定值，再由基本不等式求出最小值． 类型三 将向量的坐标表示和运算转化为点的坐标和曲线的方程

【例3】已知对任意平面向量(),AB x y =u u u r ，把AB u u u r

绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量

()cos sin ,sin cos AP x y x y θθθθ=-+u u u r

，叫做把点B 绕点A 逆时针方向旋转θ角得到点P ．设平面内曲线

C 上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转

4

π后得到点的轨迹是曲线22

2x y -=，则原来曲线C 的方程是

（ ）

A ． 1xy =-

B ． 1xy =

C ． 2

2

2y x -= D ． 2

2

1y x -=

【指点迷津】求轨迹方程是解析几何中的重要内容，是高考命题的热点和重点．主要考查学生的数形结合思想、等价转化思想、逻辑推理能力、分类讨论及创新思维，属于较高的能力考查．求轨迹方程常用的方法有：直接法、定义法、几何法、相关点法、参数法、交轨法、点差法等．本题主要是考查几何法中的三角形重心的向量表示及重心坐标公式，然后根据相关点法可以求出点P 的轨迹方程． 【举一反三】【广东省江门市2019届高考一模】直角坐标系

中，已知两点

，

，点满足

，其中

，且．则点的轨迹方程为（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

类型四 利用向量相等的关系，把几何问题代数化

【例4】【福建省莆田市2019届高三下学期检测】已知直线过抛物线：的焦点，交于

两点，交的准线于点.若，且

，则（）

A ．

B ．

C ．

D ．

【指点迷津】本题主要结合题意，绘制图形，利用抛物线的性质，建立方程，将几何问题代数化，计算p 值.求解此类问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．

【举一反三】已知双曲线C ：22

221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作圆Ω：

2

2

2

4

a x y +=的切线l ，切点为M ，且直线l 与双曲线C 的一个交点N 满足122NF NF a -=，设O 为坐

标原点，若12QN OF OM +=u u u v u u u v u u u u v

，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）

A ． 32y x =±

B ． 3y x =

C ． 6

2

y x =± D ． 6y x =

类型五 利用向量夹角，化解解析几何中的角度问题

【例5】已知点F 是双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于