概率统计习题课
概率论与数理统计 习题课1-1
P( A B C ) =
事件的关系 互斥： 互斥：AB = φ 对立事件， 对立事件，样本空间的划分
P ( B A) = P ( B )
n个事件两两互斥，就称这n个事件互斥 个事件两两互斥，就称这n
独立
P ( A B ) = P ( A)
P ( AB ) = P ( A) P ( B )
n个事件独立的要求很高
3 1 1 2 4未中， 3 或者1、、未中， 伤 L因此总的概率为 C 4 6 2 3
3 4
1 3 1 1 ∴ P ( A) = 1 − P ( A ) = 1 − − C 4 6 6 2
4
3
1 n k k
条件概率
乘法公式
全概公式和贝叶斯公式
n个独立事件至少发生其一的概率
伯努利概型
在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率 重伯努利试验中，事件A恰好发生k
k Pn (k ) = Cn p k q n − k , k = 0,1,2, L , n
1. B
掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为7 2. 掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为7，求其中 一颗为1的概率。 一颗为1的概率。 解：
3. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因此他随意地拨号， 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因此他随意地拨号， 求他拨号不超过3次而接通电话的概率； （1）求他拨号不超过3次而接通电话的概率； 若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ （2）若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？
解：设A = {第 i 次拨号拨对 }, i = 1,2,3 i
1 3
表示施放4枚深水炸弹击沉潜水艇的事件 解 设A表示施放 枚深水炸弹击沉潜水艇的事件，则 表示施放 枚深水炸弹击沉潜水艇的事件，
经济数学基础——概率统计课后习题答案
经济数学基础——概率统计课后习题答案1⽬录习题⼀ (1)习题⼆ (16)习题三 (44)习题四 (73)习题五 (97)习题六 (113)习题七 (133)1习题⼀写出下列事件的样本空间：(1) 把⼀枚硬币抛掷⼀次；(2) 把⼀枚硬币连续抛掷两次；(3) 掷⼀枚硬币，直到⾸次出现正⾯为⽌；(4) ⼀个库房在某⼀个时刻的库存量(假定最⼤容量为M ).解 (1) Ω={正⾯，反⾯} △ {正，反}(2) Ω={(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反)}(3) Ω={(正)，(反，正)，(反，反，正)，…}(4) Ω={x ；0 ≤x ≤ m }掷⼀颗骰⼦的试验，观察其出现的点数，事件A ＝“偶数点”，B ＝“奇数点”，C ＝“点数⼩于5”，D ＝“⼩于5的偶数点”，讨论上述各事件间的关系.解 {}{}{}{}{}.4,2,4,3,2,1,5,3,1,6,4,2,6,5,4,3,2,1=====D C B A ΩA 与B 为对⽴事件，即B ＝A ；B 与D 互不相容；A ?D ，C ?D.3. 事件A i 表⽰某个⽣产单位第i 车间完成⽣产任务，i ＝1，2，3，B 表⽰⾄少有两个车间完成⽣产任务，C 表⽰最多只有两个车间完成⽣产任务，说明事件B 及B －C 的含义，并且⽤A i (i ＝1，2，3)表⽰出来. 解 B 表⽰最多有⼀个车间完成⽣产任务，即⾄少有两个车间没有完成⽣产任务.313221A A A A A A B ++=B －C 表⽰三个车间都完成⽣产任务321321321321＋＋＋A A A A A A A A A A A A B =321321321321321321321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A C ++++++= 321A A A C B =-4. 如图1－1，事件A 、B 、C 都相容，即ABC ≠Φ，把事件A ＋B ，A ＋B ＋C ，AC ＋B ，C －AB ⽤⼀些互不相容事件的和表⽰出来.解 B A A B A +=+C B A B A A C B A ++=++C B A B B AC +=+BC A C B A C B A AB C ++=- 5.两个事件互不相容与两个事件对⽴的区别何在，举例说明.解两个对⽴的事件⼀定互不相容，它们不可能同时发⽣，也不可能同时不发⽣；两个互不相容的事件不⼀定是对⽴事件，它们只是不可能同时发⽣，但不⼀定同时不发⽣. 在本书第6页例2中A 与D 是对⽴事件，C 与D 是互不相容事件. 6.三个事件A 、B 、C 的积是不可能事件，即ABC ＝Φ，问这三个事件是否⼀定互不相容?画图说明.解不⼀定. A 、B 、C 三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容，即两两互不相容.如图1－2，事件ABC ＝Φ，但是A 与B 相容.7. 事件A 与B 相容，记C ＝AB ，D ＝A+B ，F ＝A －B. 说明事件A 、C 、D 、F 的关系.解由于AB ?A ?A+B ，A －B ?A ?A+B ，AB 与A －B 互不相容，且A ＝AB ＋(A －B).因此有A ＝C +F ，C 与F 互不相容，D ?A ?F ，A ?C.8. 袋内装有5个⽩球，3个⿊球，从中⼀次任取两个，求取到的两个球颜⾊不同的概率.解记事件A 表⽰“取到的两个球颜⾊不同”. 则有利于事件A 的样本点数⽬＃A ＝1315C C .⽽组成试验的样本点总数为＃Ω＝235+C ，由古典概率公式有图1－1 图1－22P (A )＝=Ω##A 2815281315=C C C (其中＃A ，＃Ω分别表⽰有利于A 的样本点数⽬与样本空间的样本点总数，余下同)9. 计算上题中取到的两个球中有⿊球的概率.解设事件B 表⽰“取到的两个球中有⿊球”则有利于事件B 的样本点数为＃25C B =.1491)(1)(2825=-==C C B P B P － 10. 抛掷⼀枚硬币，连续3次，求既有正⾯⼜有反⾯出现的概率.解设事件A 表⽰“三次中既有正⾯⼜有反⾯出现”, 则A 表⽰三次均为正⾯或三次均为反⾯出现. ⽽抛掷三次硬币共有8种不同的等可能结果，即＃Ω＝8，因此43821#1)(1)(=-=Ω-=-=A A P A P ＃ 11. 10把钥匙中有3把能打开⼀个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率.解设事件A 表⽰“门锁能被打开”. 则事件A 发⽣就是取的两把钥匙都不能打开门锁.15811)(1)(21027==Ω-=-=C C A A P A P －＃＃从9题－11题解中可以看到，有些时候计算所求事件的对⽴事件概率⽐较⽅便.12. ⼀副扑克牌有52张，不放回抽样，每次⼀张，连续抽取4张，计算下列事件的概率：(1)四张花⾊各异；(2)四张中只有两种花⾊.解设事件A 表⽰“四张花⾊各异”；B 表⽰“四张中只有两种花⾊”.，113113113113452##C C C C A ， C Ω==）＋#2132131133131224C C C C C C B （= 105013##)(4524.C ΩA A P === 30006048＋74366##)(452 ）（.C ΩB B P === 13. ⼝袋内装有2个伍分、3个贰分，5个壹分的硬币共10枚，从中任取5枚，求总值超过壹⾓的概率. 解设事件A 表⽰“取出的5枚硬币总值超过壹⾓”.)＋(＋C ＝##25231533123822510C C C C C C A C Ω ， = 50252126)(.ΩA A P ＝＝＃＃＝ 14. 袋中有红、黄、⿊⾊球各⼀个，每次任取⼀球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率：A ＝“三次都是红球” △ “全红”，B ＝“全⽩”，C ＝“全⿊”，D ＝“⽆红”，E ＝“⽆⽩”，F ＝“⽆⿊”，G ＝“三次颜⾊全相同”，H ＝“颜⾊全不相同”，I ＝“颜⾊不全相同”.解＃Ω＝33＝27，＃A ＝＃B ＝＃C ＝1，＃D ＝＃E ＝＃F ＝23＝8，＃G ＝＃A ＋＃B ＋＃C ＝3，＃H ＝3！＝6，＃I ＝＃Ω－＃G ＝243271)()()(===C P B P A P 278)()()(===F P E P D P 982724)(,92276)(,91273)(======I P H P G P 15. ⼀间宿舍内住有6位同学，求他们中有4个⼈的⽣⽇在同⼀个⽉份的概率.解设事件A 表⽰“有4个⼈的⽣⽇在同⼀个⽉份”.＃Ω＝126，＃A ＝21124611C C 0073.01221780##)(6＝＝ΩA A P = 16. 事件A 与B 互不相容，计算P )(B A +.解由于A 与B 互不相容，有AB ＝Φ，P (AB )＝0.1)(1)()(=-==+AB P AB P B A P17. 设事件B ?A ，求证P (B )≥P (A ）.证∵B ?A∴P (B -A )＝P (B ) - P (A )∵P (B -A )≥0∴P (B )≥P (A )18. 已知P (A )＝a ，P (B )＝b ，ab ≠0 (b ＞0.3a )，P (A －B )＝0.7a ，求P (B +A )，P (B -A )，P (B ＋A ).解由于A －B 与AB 互不相容，且A ＝(A -B )＋AB ，因此有P (AB )＝P (A )-P (A -B )＝0.3aP (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝0.7a ＋bP (B -A )＝P (B )-P (AB )＝b -0.3a P(B ＋A )＝1-P (AB )＝1-0.3a19. 50个产品中有46个合格品与4个废品，从中⼀次抽取三个，计算取到废品的概率.解设事件A 表⽰“取到废品”，则A 表⽰没有取到废品，有利于事件A 的样本点数⽬为＃A ＝346C ，因此P (A )＝1-P (A )＝1-3503461C C ΩA －＝＃＃＝0.225520. 已知事件B ?A ，P (A )＝ln b ≠ 0，P (B )＝ln a ，求a 的取值范围.解因B ?A ，故P (B )≥P (A )，即ln a ≥ln b ,?a ≥b ，⼜因P (A )＞0，P (B )≤1，可得b ＞1，a ≤e ，综上分析a 的取值范围是：1＜b ≤a ≤e21. 设事件A 与B 的概率都⼤于0，⽐较概率P (A )，P (AB )，P (A +B )，P (A )+P (B )的⼤⼩(⽤不等号把它们连接起来).解由于对任何事件A ，B ，均有AB ?A ?A +B且P (A +B )＝P (A )＋P (B )-P (AB )，P (AB )≥0，因此有P (AB )≤P (A )≤P (A +B )≤P (A )＋P (B )22. ⼀个教室中有100名学⽣，求其中⾄少有⼀⼈的⽣⽇是在元旦的概率(设⼀年以365天计算).解设事件A 表⽰“100名学⽣的⽣⽇都不在元旦”，则有利于A 的样本点数⽬为＃A ＝364100，⽽样本空间中样本点总数为＃Ω＝365100，所求概率为1001003653641##1)(1)(-=Ω-=-=A A P A P = 0.239923. 从5副不同⼿套中任取4只⼿套，求其中⾄少有两只⼿套配成⼀副的概率.解设事件A 表⽰“取出的四只⼿套⾄少有两只配成⼀副”，则A 表⽰“四只⼿套中任何两只均不能配成⼀副”.21080##)(4101212121245===C C C C C C ΩA A P 62.0)(1)(=-=A P A P24. 某单位有92％的职⼯订阅报纸，93％的⼈订阅杂志，在不订阅报纸的⼈中仍有85％的职⼯订阅杂志，从单位中任找⼀名职⼯求下列事件的概率：(1)该职⼯⾄少订阅⼀种报纸或期刊；(2)该职⼯不订阅杂志，但是订阅报纸.解设事件A 表⽰“任找的⼀名职⼯订阅报纸”，B 表⽰“订阅杂志”，依题意P (A )＝0.92，P (B )＝0.93，P (B ｜A )＝0.85P (A ＋B )＝P (A )＋P (A B )＝P (A )＋P (A )P (B ｜A )＝0.92＋0.08×0.85＝0.988P (A B )＝P (A ＋B )-P (B )＝0.988－0.93＝0.05825. 分析学⽣们的数学与外语两科考试成绩，抽查⼀名学⽣，记事件A 表⽰数学成绩优秀，B 表⽰外语成绩优秀，若P (A )＝P (B )＝0.4，P (AB )＝0.28，求P(A ｜B )，P (B ｜A )，P (A ＋B ).解 P (A ｜B )＝7.04.028.0)()(==B P AB P P (B ｜A)＝7.0)()(=A P AB P P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )-P (AB )＝0.5226. 设A 、B 是两个随机事件. 0＜P (A )＜1，0＜P (B )＜1，P (A ｜B )＋P (A ｜B )＝1. 求证P (AB )＝P (A )P (B ).证∵P ( A ｜B )＋P (A ｜B )＝1且P ( A ｜B )＋P (A ｜B )＝1∴P ( A ｜B )＝P (A ｜B ))(1)()()()()()(B P AB P A P B P B A P B P AB P --== P (AB )［1-P (B )］＝P ( B )［P ( A )-P ( AB )］整理可得P (AB )＝P ( A ) P ( B )27. 设A 与B 独⽴，P ( A )＝0.4，P ( A ＋B )＝0.7，求概率P (B ).解 P ( A ＋B )＝P (A )＋P (A B )＝P ( A )＋P (A ) P ( B ) ? 0.7＝0.4＋0.6P ( B )P ( B )＝0.528. 设事件A 与B 的概率都⼤于0，如果A 与B 独⽴，问它们是否互不相容，为什么?解因P ( A )，P ( B )均⼤于0，⼜因A 与B 独⽴，因此P ( AB )＝P ( A ) P ( B )＞0，故A 与B 不可能互不相容.29. 某种电⼦元件的寿命在1000⼩时以上的概率为0.8，求3个这种元件使⽤1000⼩时后，最多只坏了⼀个的概率.解设事件A i 表⽰“使⽤1000⼩时后第i 个元件没有坏”， i ＝1，2，3，显然A 1，A 2，A 3相互独⽴，事件A 表⽰“三个元件中最多只坏了⼀个”，则A ＝A 1A 2A 3＋1A A 2A 3＋A 12A A 3＋A 1A 23A ，上⾯等式右边是四个两两互不相容事件的和，且P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝0.8P ( A )＝[][])()(3)(12131A P A P A P +＝0.83＋3×0.82×0.2＝0.89630. 加⼯某种零件，需经过三道⼯序，假定第⼀、⼆、三道⼯序的废品率分别为0.3，0.2，0.2，并且任何⼀道⼯序是否出现废品与其他各道⼯序⽆关，求零件的合格率.解设事件A 表⽰“任取⼀个零件为合格品”，依题意A 表⽰三道⼯序都合格.P (A )＝(1－0.3)(1－0.2)(1－0.2)＝0.44831. 某单位电话总机的占线率为0.4，其中某车间分机的占线率为0.3，假定⼆者独⽴，现在从外部打电话给该车间，求⼀次能打通的概率；第⼆次才能打通的概率以及第m 次才能打通的概率(m 为任何正整数). 解设事件A i 表⽰“第i 次能打通”，i ＝1，2，…，m ，则P (A 1)＝(1－0.4)(1－0.3)＝0.42P (A 2)＝0.58 × 0.42＝0.2436P (A m )＝0.58m －1 × 0.4232. ⼀间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每⼈任取⼀副眼镜，求每个⼈都没有拿到⾃⼰眼镜的概率.解设A i 表⽰“第i ⼈拿到⾃⼰眼镜”，i ＝1,2,3,4. P ( A i )＝41，设事件B 表⽰“每个⼈都没有拿到⾃⼰的眼镜”. 显然B 则表⽰“⾄少有⼀⼈拿到⾃⼰的眼镜”. 且B ＝A 1＋A 2＋A 3＋A 4.P (B )＝P (A 1＋A 2＋A 3＋A 4)＝∑∑∑-+-=≤≤≤≤4141414321)()()()(i j i k j i k j i i i i A A A A P A A A P A A P A p ＜＜＜P (A i A j )=P (A i )P (A j ｜A i ) =)41(1213141≤≤=?j i ＜ P (A i A j A k )=P (A i )P (A j ｜A i )P (A k ｜A i A j ) =41×31×21=241（1≤i ＜j ＜k ≤4） P (A 1A 2A 3A 4) =P (A 1)P (A 2|A 1)P (A 3|A 1A 2)×P (A 4｜A 1A 2A 3) =2411213141= 85241241121414)(3424=-?+?-?=C C B P 83)(1)(=-=B P B P 33. 在1，2，…，3000这3000个数中任取⼀个数，设A m ＝“该数可以被m 整除”，m ＝2，3，求概率P (A2A 3)，P (A 2＋A 3)，P (A 2－A 3).解依题意P (A 2)＝21，P (A 3)＝31 P (A 2A 3)＝P (A 6)＝61 P (A 2＋A 3)＝P (A 2)＋P (A 3)－P (A 2A 3) ＝32613121=-+ P (A 2－A 3)＝P (A 2)－P (A 2A 3)＝316121=- 34. 甲、⼄、丙三⼈进⾏投篮练习，每⼈⼀次，如果他们的命中率分别为0.8，0.7，0.6，计算下列事件的概率：(1)只有⼀⼈投中；(2)最多有⼀⼈投中；(3)最少有⼀⼈投中.解设事件A 、B 、C 分别表⽰“甲投中”、“⼄投中”、“丙投中”，显然A 、B 、C 相互独⽴.设A i 表⽰“三⼈中有i ⼈投中”，i ＝0,1,2,3,依题意，)()()() ()(0C P B P A P C B A P A P ===0.2×0.3×0.4×=0.024P ( A 3 )=P ( ABC )=P ( A ) P ( B ) P ( C )=0.8×0.7×0.6=0.336P (A 2)=P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )=0.8×0.7×0.4＋0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6=0.452(1) P (A 1)＝1－P (A 0)－P (A 2)－P (A 3)＝1－0.024－0.452－0.336＝0.188(2) P (A 0＋A 1)＝P (A 0)＋P (A 1)＝0.024＋0.188＝0.212(3) P (A ＋B ＋C )＝P (0A )＝1－P (A 0)＝0.97635. 甲、⼄⼆⼈轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为0.4及0.5，问谁先投中的概率较⼤，为什么?解设事件A 2n -1B 2n 分别表⽰“甲在第2n －1次投中”与“⼄在第2n 次投中”，显然A 1，B 2，A 3，B 4，…相互独⽴.设事件A 表⽰“甲先投中”.+++=)()()()(543213211A B A B A P A B A P A P A P=＋＋＋0.40.5)(0.60.40.50.60.42743.014.0=-= 计算得知P (A )＞0.5，P (A )＜0.5，因此甲先投中的概率较⼤.36. 某⾼校新⽣中，北京考⽣占30％，京外其他各地考⽣占70％，已知在北京学⽣中，以英语为第⼀外语的占80％，⽽京外学⽣以英语为第⼀外语的占95％，今从全校新⽣中任选⼀名学⽣，求该⽣以英语为第⼀外语的概率.解设事件A 表⽰“任选⼀名学⽣为北京考⽣”，B 表⽰“任选⼀名学⽣，以英语为第⼀外语”. 依题意P (A )＝0.3，P (A )＝0.7，P (B ｜A)＝0.8，P (B ｜A )＝0.95. 由全概率公式有P (B )＝P (A )P (B ｜A )＋P (A )P (B ｜A )＝0.3×0.8＋0.7×0.95＝0.90537. A 地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个⾏政⼩区，其⼈⼝⽐为9 : 7 : 4，据统计资料，甲种疾病在该地三个⼩区内的发病率依次为4‰，2‰，5‰，求A 地的甲种疾病的发病率.解设事件A 1，A 2，A 3分别表⽰从A 地任选⼀名居民其为南、北、中⾏政⼩区，易见A 1，A 2，A 3两两互不相容，其和为Ω.设事件B 表⽰“任选⼀名居民其患有甲种疾病”，依题意：P (A 1)＝0.45，P (A 2)＝0.35，P (A 3)＝0.2，P (B ｜A 1)＝0.004，P (B ｜A 2)＝0.002，P (B ｜A 3)＝0.005＝∑=31)|()(i i i A B P A P＝ 0.45 × 0.004 + 0.35 × 0.002 + 0.2 × 0.005＝0.003538. ⼀个机床有三分之⼀的时间加⼯零件A ，其余时间加⼯零件B ，加⼯零件A 时，停机的概率为0.3，加⼯零件B 时停机的概率为0.4，求这个机床停机的概率.解设事件A 表⽰“机床加⼯零件A ”，则A 表⽰“机床加⼯零件B ”，设事件B 表⽰“机床停⼯”.)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=37.0324.0313.0=?+?= 39. 有编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3个⼝袋，其中Ⅰ号袋内装有两个1号球，1个2号球与1个3号球，Ⅱ号袋内装有两个1号球和1个3号球，Ⅲ号袋内装有3个1号球与两个2号球，现在先从Ⅰ号袋内随机地抽取⼀个球，放⼊与球上号数相同的⼝袋中，第⼆次从该⼝袋中任取⼀个球，计算第⼆次取到⼏号球的概率最⼤，为什么?解设事件A i 表⽰“第⼀次取到i 号球”，B i 表⽰第⼆次取到i 号球，i ＝1，2，3.依题意，A 1，A 2，A 3构成⼀个完全事件组.41)()(,21)(321===A P A P A P 41)|()|(,21)|(131211===A B P A B P A B P 41)|()|(,21)|(232221===A B P A B P A B P 61)|(,31)|(,21)|(333231===A B P A B P A B P 应⽤全概率公式∑==31)|()()(i i j i j A B P A P B P 可以依次计算出4811)(,4813)(,21)(321===B P B P B P . 因此第⼆次取到1号球的概率最⼤.40. 接37题，⽤⼀种检验⽅法，其效果是：对甲种疾病的漏查率为5％(即⼀个甲种疾病患者，经此检验法未查出的概率为5％)；对⽆甲种疾病的⼈⽤此检验法误诊为甲种疾病患者的概率为1％，在⼀次健康普查中，某⼈经此检验法查为患有甲种疾病，计算该⼈确实患有此病的概率.解设事件A 表⽰“受检⼈患有甲种疾病”，B 表⽰“受检⼈被查有甲种疾病”，由37题计算可知P (A )＝0.0035，应⽤贝叶斯公式)|()()|()()|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P += 01.09965.095.00035.095.00035.0=＋ 25.0=41. 甲、⼄、丙三个机床加⼯⼀批同⼀种零件，其各机床加⼯的零件数量之⽐为5 : 3 : 2，各机床所加⼯的零件合格率，依次为94％，90％，95％，现在从加⼯好的整批零件中检查出⼀个废品，判断它不是甲机床加⼯的概率.解设事件A 1，A 2，A 3分别表⽰“受检零件为甲机床加⼯”，“⼄机床加⼯”，“丙机床加⼯”，B 表⽰“废品”，应⽤贝叶斯公式有∑==31111)|()()|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P 7305020＋1030＋06.05.006.05.0== (7)4)|(1)|(11=-=B A P B A P 42. 某⼈外出可以乘坐飞机、⽕车、轮船、汽车4种交通⼯具，其概率分别为5％，15％，30％，50％，乘坐这⼏种交通⼯具能如期到达的概率依次为100％，70％，60％与90％，已知该旅⾏者误期到达，求他是乘坐⽕车的概率.解设事件A 1，A 2，A 3，A 4分别表⽰外出⼈“乘坐飞机”，“乘坐⽕车”，“乘坐轮船”，“乘坐汽车”，B 表⽰“外出⼈如期到达”.∑==41222)|()()|()()|(i i i A B P A P A B P A P B A P 1.05.04.03.03.015.0005.03.015.0?+?+?+??==0.20943. 接39题，若第⼆次取到的是1号球，计算它恰好取⾃Ⅰ号袋的概率.解 39题计算知P (B 1)＝21，应⽤贝叶斯公式 21212121)()|()()|(111111=?==B P A B P A P B A P 44. ⼀箱产品100件，其次品个数从0到2是等可能的，开箱检验时，从中随机地抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求⽽拒收，若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率. 解设事件A i 表⽰⼀箱中有i 件次品，i ＝0, 1, 2. B 表⽰“抽取的10件中⽆次品”，先计算P ( B )∑++?===20101001098101001099)1(31)|()()(i i i C C C C A B P A P B P 37.0)(31)|(0==B P B A P 45. 设⼀条昆⾍⽣产n 个卵的概率为λλ-=e !n p nn n =0, 1, 2, … 其中λ＞0，⼜设⼀个⾍卵能孵化为昆⾍的概率等于p (0＜p ＜1). 如果卵的孵化是相互独⽴的，问此⾍的下⼀代有k 条⾍的概率是多少?解设事件A n ＝“⼀个⾍产下⼏个卵”，n ＝0，1，2….B R ＝“该⾍下⼀代有k 条⾍”，k ＝0，1，….依题意λλ-==e !)(n p A P nn n ≤≤=-n k q p C n k A B P k n k k nn k 00)|(＞其中q =1－p . 应⽤全概率公式有∑∑∞=∞===k n n k n n n k n k A B P A P A B P A P B P )|()()|()()(0∑∞=-λ--λ=l n k n k n q p k n k n n !)(!!e !∑∞=-λ--λλk n k n k k n q k p !)()(e !)( 由于q k n kn k n k n k n q k n q λ∞=--∞=-∑∑=-λ=-λe !)()(!)()(0，所以有,2,1,0e )(e e !)()(===--k k p k p B P p pq kk λλλλλ习题⼆1. 已知随机变量X 服从0－1分布，并且P {X ≤0}＝0.2，求X 的概率分布.解 X 只取0与1两个值，P {X ＝0}＝P {X ≤0}－P {X ＜0}＝0.2，P {X ＝1}＝1－P {X ＝0}＝0.8.2. ⼀箱产品20件，其中有5件优质品，不放回地抽取，每次⼀件，共抽取两次，求取到的优质品件数X的概率分布.解 X 可以取0, 1, 2三个值. 由古典概型公式可知{})2,1,0(2202155===-m C C C m X P m m 依次计算得X 的概率分布如下表所⽰：3. 上题中若采⽤重复抽取，其他条件不变，设抽取的两件产品中，优质品为X 件，求随机变量X 的概率分布.解 X 的取值仍是0, 1, 2.每次抽取⼀件取到优质品的概率是1/4，取到⾮优质品的概率是3/4,且各次抽取结果互不影响，应⽤伯努利公式有{}1694302=??? ??==X P {}1664341112=??==C X P {}1614122=??? ??==X P 4. 第2题中若改为重复抽取，每次⼀件，直到取得优质品为⽌，求抽取次数X 的概率分布.解 X 可以取1, 2, …可列个值. 且事件{X = n }表⽰抽取n 次，前n －1次均未取到优质品且第n 次取到优质品，其概率为41431???? ??-n .因此X 的概率分布为{}?=??==-,2,143411n n X P n 5. 盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个为旧球，采取不放回抽取，每次⼀个直到取得新球为⽌，求下列随机变量的概率分布.(1)抽取次数X ； (2)取到的旧球个数Y .解 (1)X 可以取1, 2, 3, 4各值.{}{}4491191232431=?====X P X P {}22091091121233=??==X P {}2201991011121234===X P (2) Y 可以取0, 1, 2, 3各值 .{}{}4310====X P Y P{}{}44921====X P Y P {}{}220932====X P Y P {}{}220143====X P Y P 6. 上题盒中球的组成不变，若⼀次取出3个，求取到的新球数⽬X 的概率分布.解 X 可以取0, 1, 2, 3各值.{}2201031233===C C X P {}2202713122319===C C C X P {}22010823121329===C C C X P {}22084331239===C C X P 7. 已知P {X ＝n }＝p n ，n ＝1, 2, 3, …, 求p 的值.解根据{}∑=∞=11n n X P ＝, 有 ∑-==∞=111n n pp P 解上⾯关于p 的⽅程，得p ＝0.5.8. 已知P {X ＝n }=p n ， n ＝2, 4, 6, …，求p 的值.解 1122642=-=?+++p p p p p 解⽅程，得p =2±/29. 已知P {X ＝n }=cn , n =1, 2, …, 100, 求c 的值.解 ∑=+?++==10015050)10021(1n cc cn ＝解得 c ＝1/5050 .10. 如果p n ＝cn ＿2，n =1, 2, …, 问它是否能成为⼀个离散型概率分布，为什么?解 ,1121∑=∑∞=∞=n n n n c p 由于级数∑∞=121n n 收敛, 若记∑∞=121n n =a ,只要取ac 1=, 则有∑∞=1n n p =1, 且p n ＞0. 所以它可以是⼀个离散型概率分布.11. 随机变量X 只取1, 2, 3共三个值，其取各个值的概率均⼤于零且不相等并⼜组成等差数列，求X 的概率分布. 解设P {X ＝2}＝a ，P {X ＝1}＝a －d , P {X =3}=a +d . 由概率函数的和为1，可知a =31, 但是a －d 与a +d 均需⼤于零,因此｜d ｜＜31, X 的概率分布为其中d 应满⾜条件：0＜｜d ｜＜312. 已知{}λ-==e !m c λm X P m ,m =1, 2, …, 且λ＞0, 求常数c .解 {}∑∑∞=-∞====11e !1m mm m c m X p λλ由于∑∑∞=∞==+=10e !1!m mm m m m λλλ, 所以有∑∞=---=-=-=11)e 1(e )1e (e !m m c c m c λλλλλ解得λ--=e 11c 13. 甲、⼄⼆⼈轮流投篮，甲先开始，直到有⼀⼈投中为⽌，假定甲、⼄⼆⼈投篮的命中率分别为0.4及0.5，求：(1)⼆⼈投篮总次数Z 的概率分布；(2)甲投篮次数X 的概率分布；(3)⼄投篮次数Y 的概率分布.解设事件A i 表⽰在第i 次投篮中甲投中，j 表⽰在第j 次投篮中⼄投中，i =1, 3, 5, …, j =2, 4, 6,…,且A 1, B 2, A 3, B 4，…相互独⽴.(1){}{}1222321112---=-=k k k A B A B A p k Z P = (0.6×0.5)1-k ·0.4= 0.4(0.3)1-k k=1, 2, …{})(2212223211k k k k B A B A B A p k Z P ---===0.5×0.6×(0.6×0.5)1-k =0.3kk=1, 2, …(2) {}{}12223211---==n n n A B A B A p n X P{}n n n n B A B A B A p 212223211---+)5.06.04.0()5.06.0(1?+?=-n,2,13.07.01=?=-n n (3) {}4.0)(01===A P Y P{}{}{}122121121211+--+==n n n n n A B A B A P B A B A P n Y P)4.05.05.0(6.0)5.06.0(1?+=-n，2,13.042.01=?=-n n 14. ⼀条公共汽车路线的两个站之间，有四个路⼝处设有信号灯，假定汽车经过每个路⼝时遇到绿灯可顺利通过，其概率为0.6，遇到红灯或黄灯则停⽌前进，其概率为0.4，求汽车开出站后，在第⼀次停车之前已通过的路⼝信号灯数⽬X 的概率分布(不计其他因素停车).解 X 可以取0, 1, 2, 3, 4 .P { X ＝0 } ＝0.4 P { X ＝1 }＝0.6×0.4＝0.24P { X ＝2 } ＝0.62×0.4＝0.144P { X ＝3 } ＝0.63×0.4＝0.0864P { X ＝4 } ＝0.64＝0.1296 15. ∈=.,0],[,sin )(其他，b a x x x f 问f (x )是否为⼀个概率密度函数，为什么?如果 (1).π23 ,)3( ;π,0)2( ;2π,0======b a b a b a π解在［0, 2π］与［0, π］上，sin x ≥0,但是,1d sin π0≠?x x ,1d sin 2π0=?x x ⽽在??π23,π上,sin x ≤0.因此只有(1)中的a , b 可以使f (x )是⼀个概率密度函数.16. ≤=-.0,00e )(,22x x c x x f c x ，＞其中c ＞0，问f (x )是否为密度函数，为什么?解易见对任何x ∈(－∞ , ＋∞) , f ( x ) ≥ 0，⼜1d e 202=?-∞+x c x c x f (x )是⼀个密度函数 .17. +=.0.2＜＜,2)(其他，a x a x x f 问f ( x )是否为密度函数，若是，确定a 的值；若不是，说明理由.解如果f ( x )是密度函数，则f ( x )≥0，因此a ≥0，但是，当a ≥0时，444|d 2222≥+==??++a x x a a a a由于x x f d )(?+∞∞-不是1，因此f ( x )不是密度函数.18. 设随机变量X ～f ( x )∞++=.,0,,)1(π2)(2其他＜＜x a x x f 确定常数a 的值，如果P { a ＜ x ＜ b } ＝0.5，求b 的值.解 )arctan 2π(2arctan π2d )1(π22a x x x a a -π==+??+∞+∞ 解⽅程π2??a arctan － 2π=1 得 a = 0{}b x x x f b x P b b arctan π2|arctan π2d )(000==?=＜＜解关于b 的⽅程：π2arctan b =0.5 得 b =1.19. 某种电⼦元件的寿命X 是随机变量，概率密度为≥=.100,0,100100)(2＜x x x x f 3个这种元件串联在⼀个线路中，计算这3个元件使⽤了150⼩时后仍能使线路正常⼯作的概率. 解串联线路正常⼯作的充分必要条件是3个元件都能正常⼯作. ⽽三个元件的寿命是三个相互独⽴同分布的随机变量，因此若⽤事件A 表⽰“线路正常⼯作”，则3])150([)(＞X P A P ={}32d 1001502150=?∞+x x X P ＝＞ 278)(=A P 20. 设随机变量X ～f ( x )，f ( x )＝A e －|x|，确定系数A ；计算P { |X | ≤1 }.解 A x A x A x x 2d e 2d e 10||=?=?=∞+-∞+∞--解得 A ＝21 {}??---==≤10||11d e d e 211||x x X P x x632.0e 11≈-=-21. 设随机变量Y 服从［0, 5］上的均匀分布，求关于x 的⼆次⽅程4x 2＋4xY +Y +2=0有实数根的概率. 解 4x 2+4xY +Y +2=0.有实根的充分必要条件是△＝b 2－4ac =16Y 2－16(Y +2)=16Y 2－16Y －32≥0设事件P (A )为所求概率.则{}{}{}120321616)(2-≤+≥=≥--=Y P Y P Y Y P A P=0.622. 设随机变量X ～ f ( x )，-=.,01||,1)(2其他，＜x x cx f确定常数c ，计算.21||≤X P解π|arcsin d 1111211c x c x x c==-?=--c =π131arcsin 2d 1121||0212121 2=π=-π=≤?-x x x X P23. 设随机变量X 的分布函数F ( x )为≥=.1,1,10,0,0)(x x x A x x F ＜＜，＜确定系数A ，计算{}25.00≤≤X P ，求概率密度f ( x ).解连续型随机变量X 的分布函数是连续函数，F (1)＝ F (1－0)，有A ＝1. =.,0,10,21)(其他＜＜x x x f{}5.0)0()25.0(25.00=-=≤≤F F X P24. 求第20题中X 的分布函数F ( x ) .解 {}t x X P x F t x d e 21)(||-∞-?=≤=当t ≤ 0时，x t x t x F e 21d e 21)(=?=∞-当t ＞0时，t t t x F tx t t x d e 21d e 21d e 21)(-00||?+?=?=-∞--∞-x x ---=-+=e 211)e 1(212125. 函数(1+x 2)－1可否为连续型随机变量的分布函数，为什么?解不能是分布函数，因F (－∞)＝ 1 ≠ 0.26. 随机变量X ～f ( x )，并且)1(π)(2x ax f +=,确定a 的值；求分布函数F ( x )；计算{}1||＜X P .解 a x a x x a ==?+=∞+∞-∞+∞-arctan πd )1(π12 因此a =1x x t t t x F ∞-∞-=?+=arctan π1d )1(π1)(2 x arctan π121+= {}?+=?+=-102112d )1(π12d )1(π11||x x x x X P ＜ 21arctan π210==x 27. 随机变量X 的分布函数F ( x ) 为：≤-=.2,02,1)(2x x x A x F ，＞确定常数A 的值，计算{}40≤≤X P .解由F ( 2＋0 )＝F ( 2 )，可得4,041==-A A {}{})0()4(4X 040F F P X P -=≤=≤≤＜28. 随机变量X ～f ( x )，f ( x )＝,ee x x A -+确定A 的值；求分布函数F ( x ) . 解 ?+=?+=∞∞-∞∞--x A x A x x x x d e 1e d e e 12 A A x 2πe a r c t a n ==∞∞- 因此 A ＝π2， xtx t t t x F ∞-∞--=+=?e arctan π2d )e e (π2)(x e arctan π2= 29. 随机变量X ～f ( x )，=.,00,π2)(2其他＜＜a x x x f确定a 的值并求分布函数F ( x ) .解 220222ππd π21a x x x a a ==?= 因此，a = π当0＜x ＜π时，=x x t t x F 0222πd π2)( 其他≥≤=π1,π0,π0,0)(22x x xx x F ＜＜30. 随机变量X 的分布函数为)0(0,e 22210,0)(22＞＞a x ax x a x x F ax ++-≤=-求X 的概率密度并计算a X P 10＜＜.解当x ≤ 0时，X 的概率密度f ( x ) ＝0；当x ＞ 0时，f ( x ) ＝F′ ( x )≤=-.0,e 2,0,0)(23＞ x x a x x f ax(1010F a F a x P a x P -=≤=?＜＜＜08.0e 2511≈-=-31. 随机变量X 服从参数为0.7的0－1分布，求X 2，X 2－2X 的概率分布.解 X 2仍服从0－1分布，且P { X 2＝0 } ＝P { X ＝0 } ＝0.3，P {X 2＝1}＝P {X ＝1}＝0.7X 2－2X 的取值为－1与0 , P {X 2－2X ＝0}＝P { X ＝0 } ＝0.3P { X 2－2X ＝－1 } ＝1－P { X ＝0 } ＝0.732. 已知P { X ＝10n } ＝P { X ＝10-n }＝,,2,1,31=n nY =l gX ，求Y 的概率分布.解 Y 的取值为±1, ±2 , …P { Y =n } =P { l gX =n } =P { X =10n } =31P { Y =－n } =P { l gX =－n } =P { x =10-n } ＝31n ＝1 , 2 , …33. X 服从［a , b ］上的均匀分布，Y =ax +b (a ≠0)，求证Y 也服从均匀分布.证设Y 的概率密度为f Y ( y ) ，X 的概率密度为f X ( x )，只要a ≠ 0，y = ax + b 都是x 的单调函数. 当a ＞0时，Y 的取值为［a 2+b , ab +b ］,a x y hb y a y h x y 1)(,)(1)(='='-==],,[,)(1])([)()(2b ab b a y a b a y h f y h y f X Y ++∈-='=当],[2b ab b a y ++∈时，f Y ( y ) =0.类似地，若a ＜0，则Y 的取值为［ ab +b , a 2+b ］+≤≤+--=.,0,,)(1)(2其他b a y b ab a b a y f Y因此，⽆论a ＞0还是a ＜0，ax +b 均服从均匀分布.34. 随机变量X 服从［0 ,2π］上的均匀分布Y =cos X , 求Y 的概率密度f Y ( y ). 解 y =cos x 在［0, 2π］上单调，在(0 , 1)上，h ( y ) = x =arccos y h′ ( y ) = 211y -- , f x ( x ) = π2 , 0 ≤ x ≤ 2π . 因此 -=.0,10,1π2)(2其他，＜＜y yy f Y35. 随机变量X 服从(0 , 1)上的均匀分布，Y =e x , Z =｜ln X ｜，分别求随机变量Y 与Z 的概率密度f Y ( y ) 及f Z ( z ) .解 y = e x 在(0 , 1)内单调 , x =ln y 可导，且x′y = y1 , f X ( x ) =1 0 ＜ x ＜ 1 , 因此有.,0,e 1,1)(其他 ＜＜y y y f Y在(0 , 1)内ln x ＜ 0｜ln x ｜=-ln x 单调，且x = e z -，x′z ＝－e z -，因此有∞+=-.,0,0e )(其他＜＜，z z f z z 36. 随机变量X ～f ( x ) ，≤=-0,00,e )(x x x f x ＞ Y = X , Z = X 2 , 分别计算随机变量Y 与Z 的概率密度f y ( y ) 与f Z ( z ) .解当x ＞ 0时，y =x 单调，其反函数为x = y 2 , x′y = 2y≤=-.0,0,0,e 2)(2y y y y f y Y ＞当x ＞ 0时z ＝x 2也是单调函数，其反函数为x =z , x′ z =z 21 ≤=-.0,00e 21)(z ，z z z f z z ＞ 37.随机变量X ～f ( x )，当x ≥ 0时,)1(2)(2x x f +=π, Y =arctan X , Z = X1,分别计算随机变量Y 与Z 的概率密度f Y ( y ) 与fz ( z ) . 解由于y = arctan x 是单调函数，其反函数x =tan y , x′ y =sec 2y 在?? -2π,0内恒不为零，因此，当0 ＜ y ＜π2时，π2)tan 1(π2sec )(22=+=y yy f Y 即Y 服从区间(0 , 2π)上的均匀分布. z = x 1在x ＞0时也是x 的单调函数，其反函数x =z 1, x′ z =21z-. 因此当z ＞0时， )1(π2])1(1[π21)(222z zz z fz +=+-= ??≤+=0,00,)1(π2)(2z z z z f z ＞即Z = X1 与X 同分布. 38. ⼀个质点在半径为R ，圆⼼在原点的圆的上半圆周上随机游动. 求该质点横坐标X 的密度函数f X ( x ) . 解如图，设质点在圆周位置为M ，弧MA 的长记为L ，显然L 是⼀个连续型随机变量，L 服从［0，πR ］上的均匀分布.≤≤=.,0π0,π1)(其他，R l R l f L M 点的横坐标X 也是⼀个随机变量，它是弧长L 的函数，且 X ＝ R cos θ＝ R cos RL 函数x = R cos l / R 是l 的单调函数 ( 0＜ l ＜πR ) ,其反函数为 l ＝ R arccos Rx 22xR R l x --=' 当－R ＜ x ＜ R 时，L′x ≠ 0，此时有2222π1π1)(xR R x R R x f X -=?--= 当x ≤ －R 或x ≥ R 时，f X ( x ) ＝0 .39. 计算第2 , 3 , 5 , 6 , 11各题中的随机变量的期望.解根据第2题中所求出的X 概率分布，有2138223815138210=?+?+?=EX 亦可从X 服从超⼏何分布，直接计算2120521=?==N N n EX 在第3题中21161216611690=?+?+?=EX 亦可从X 服从⼆项分布(2，41)，直接⽤期望公式计算： 21412=?==np EX 在第5题中图2-1(1) 3.122014220934492431=?+?+?+?=EX (2) 3.022013220924491430=?+?+?+?=EY 在第6题中，25.2220843220108222027122010=?+?+?+?=EX 在第11题中，??+++ -=d 313312d 311EX 31 ｜＜d ＜｜0 d 22+= 40. P { X = n } =nc , n =1, 2, 3, 4, 5, 确定C 的值并计算EX . 解 160137543251==++++=∑=c c c c c c n c n13760=C 137300551==∑?==C n c n EX n 41. 随机变量X 只取－1, 0, 1三个值，且相应概率的⽐为1 : 2 : 3，计算EX . 解设P { X ＝－1 } ＝ a ，则P { X ＝0 } ＝2a , P { X ＝1 }＝3a ( a ＞0 ) ，因a + 2a + 3a = 1 , 故a ＝1/631631620611=?+?+?-=EX 42. 随机变量X 服从参数为0.8的0－1分布，通过计算说明EX 2是否等于( EX )2 ? 解 EX ＝P { X ＝1 } ＝0.8，( EX )2 ＝0.64EX 2＝1×0.8＝0.8＞( EX )243. 随机变量X ～f ( x ) ，f ( x ) ＝0.5e - | x |，计算EX n ，n 为正整数. 解当n 为奇数时，)(x f x n 是奇函数，且积分x x x n d e 0-∞?收敛，因此0d e 5.0||=?=-∞+∞-x x EX x n n 当n 为偶数时，x x x x EX x n x n n d e 5.02d e 5.00||-∞+-∞+∞-?=?=!)1(d e 0n n x x x n =+Γ=?=-∞+44. 随机变量X ～f ( x ) ，-≤≤=.,0,21,2,10,)(＜＜x x x x x f计算EX n (n 为正整数) .解 x x x x x x x f x EX n n n n d )2(d d )(21101?-+?=?=+∞+∞-1)2(21)12(122121-+--+++=++n n n n n )2()1(222++-=+n n n 45. 随机变量X ～f ( x ) ，≤≤=.,0,10,)(其他x cx x f b b ,c 均⼤于0，问EX 可否等于1，为什么?其他其他。
概率论第一章习题课
概率论与数理统计第一章习题课1. 掷3枚硬币, 求出现3个正面的概率. 解: 设事件A ={出现3个正面}基本事件总数n =23, 有利于A 的基本事件数n A =1, 即A 为一基本事件,则125.08121)(3====n n A P A .2. 10把钥匙中有3把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率. 解: 设事件A ={能打开门}, 则A 为不能打开门基本事件总数210C n =, 有利于A 的基本事件数27C n A =, 467.0157910212167)(21027==⨯⨯⋅⨯⨯==C C A P因此, 533.0467.01)(1)(=-=-=A P A P .3. 100个产品中有3个次品,任取5个, 求其次品数分别为0,1,2,3的概率.解: 设A i 为取到i 个次品, i =0,1,2,3,基本事件总数5100C n =, 有利于A i 的基本事件数为3,2,1,0,5973==-i C C n i i i则138.09833209495432194959697396979899100543213)(856.0334920314719969798991009394959697)(510049711510059700=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯===⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C n n A P C C n n A P00006.09833512196979697989910054321)(006.0983359532195969739697989910054321)(51002973351003972322=⨯⨯==⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C n n A P C C C n n A P4. 一个袋内有5个红球, 3个白球, 2个黑球, 计算任取3个球恰为一红, 一白, 一黑的概率.解: 设A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件,则基本事件总数310C n =, 有利于A 的基本事件数为121315C C C n A =, 则25.0412358910321)(310121315==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C C C n n A P A5. 两封信随机地投入四个邮筒, 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率.解: 设A 为前两个邮筒没有信的事件, B 为第一个邮筒内只有一封信的事件,则基本事件总数1644=⨯=n , 有利于A 的基本事件数422=⨯=A n , 有利于B 的基本事件数632=⨯=B n , 则25.041164)(====n n A P A 375.083166)(====n n B P B . 6. 为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A 与B , 每种系统单独使用时, 其有效的概率系统A 为0.92, 系统B 为0.93, 在A 失灵的条件下, B 有效的概率为0.85, 求(1) 发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率 (2) B 失灵的条件下, A 有效的概率解: 设A 为系统A 有效, B 为系统B 有效, 则根据题意有P (A )=0.92, P (B )=0.93, 85.0)|(=A B P(1) 两个系统至少一个有效的事件为A ∪B , 其对立事件为两个系统都失效, 即B A B A = , 而15.085.01)|(1)|(=-=-=A B P A B P , 则988.0012.01)(1)(012.015.008.015.0)92.01()|()()(=-=-==⨯=⨯-==B A P B A P A B P A P B A P(2) B 失灵条件下A 有效的概率为)|(B A P , 则829.093.01012.01)()(1)|(1)|(=--=-=-=B P B A P B A P B A P 7. 用3个机床加工同一种零件, 零件由各机床加工的概率分别为0.5, 0.3, 0.2, 各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94, 0.9, 0.95, 求全部产品中的合格率.解: 设A 1,A 2,A 3零件由第1,2,3个机床加工, B 为产品合格,A 1,A 2,A 3构成完备事件组.则根据题意有P (A 1)=0.5, P (A 2)=0.3, P (A 3)=0.2, P (B |A 1)=0.94, P (B |A 2)=0.9, P (B |A 3)=0.95,由全概率公式得全部产品的合格率P (B )为93.095.02.09.03.094.05.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P8. 12个乒乓球中有9个新的3个旧的, 第一次比赛取出了3个, 用完后放回去, 第二次比赛又取出3个, 求第二次取到的3个球中有2个新球的概率.解: 设A 0,A 1,A 2,A 3为第一次比赛取到了0,1,2,3个新球, A 0,A 1,A 2,A 3构成完备事件组.设B 为第二次取到的3个球中有2个新球. 则有22962156101112321)|(,552132101112789321)(,442152167101112321)|(,55272101112389321)(,552842178101112321)|(,2202710111239321)(,552732189101112321)|(,2201101112321)(312162633123933121527231213292312142813122319131213290312330=⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯==C C C A B P C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C A P根据全概率公式有455.01562.02341.00625.00022.022955214421552755282202755272201)|()()(30=+++=⋅+⋅+⋅+⋅==∑=i i i A B P A P B P9. 某商店收进甲厂生产的产品30箱, 乙厂生产的同种产品20箱, 甲厂每箱100个, 废品率为0.06, 乙厂每箱装120个, 废品率是0.05, 求:(1)任取一箱, 从中任取一个为废品的概率;(2)若将所有产品开箱混放, 求任取一个为废品的概率. 解: (1) 设B 为任取一箱, 从中任取一个为废品的事件. 设A 为取到甲厂的箱, 则A 与A 构成完备事件组4.05020)(,6.05030)(====A P A P 05.0)|(,06.0)|(==AB P A B P 056.005.04.006.06.0)|()()|()()(=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P(2) 设B 为开箱混放后任取一个为废品的事件.则甲厂产品的总数为30×100=3000个, 其中废品总数为3000×0.06=180个,乙厂产品的总数为20×120=2400个, 其中废品总数为2400×0.05=120个, 因此...055555555.0540030024003000120180)(==++=B P10. 有两个口袋, 甲袋中盛有两个白球, 一个黑球, 乙袋中盛有一个白球两个黑球. 由甲袋中任取一个球放入乙袋, 再从乙袋中取出一个球, 求取到白球的概率.解: 设事件A 为从甲袋中取出的是白球, 则A 为从甲袋中取出的是黑球, A 与A 构成完备事件组. 设事件B 为从乙袋中取到的是白球. 则P (A )=2/3, P (A )=1/3, P (B |A )=2/4=1/2, P (B |A )=1/4, 则根据全概率公式有417.012541312132)|()()|()()(==⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P11. 上题中若发现从乙袋中取出的是白球, 问从甲袋中取出放入乙袋的球, 黑白哪种颜色可能性大?解: 事件假设如上题, 而现在要求的是在事件B 已经发生条件下, 事件A 和A 发生的条件概率P (A |B )和P (A |B )哪个大, 可以套用贝叶斯公式进行计算, 而计算时分母为P (B )已上题算出为0.417, 因此2.0417.04131)()|()()|(8.0417.02132)()|()()|(=⨯===⨯==B P A B P A P B A P B P A B P A P B A PP (A |B )>P (A |B ), 因此在乙袋取出的是白球的情况下, 甲袋放入乙袋的球是白球的可能性大.12. 假设有3箱同种型号的零件, 里面分别装有50件, 30件和40件, 而一等品分别有20件, 12件及24件. 现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件(第一次取到的零件不放回). 试求先取出的零件是一等品的概率; 并计算两次都取出一等品的概率.解: 称这三箱分别为甲,乙,丙箱, 假设A 1,A 2,A 3分别为取到甲,乙,丙箱的事件, 则A 1,A 2,A 3构成完备事件组. 易知P (A 1)=P (A 2)=P (A 3)=1/3. 设B 为先取出的是一等品的事件. 则6.04024)|(,4.03012)|(,4.05020)|(321======A B P A B P A B P 根据全概率公式有467.036.04.04.0)|()()(31=++==∑=i i i A B P A P B P 设C 为两次都取到一等品的事件, 则38.039402324)|(1517.029301112)|(1551.049501920)|(240224323021222502201=⨯⨯===⨯⨯===⨯⨯==C C A C P C C A C P C C A C P根据全概率公式有22.033538.01517.01551.0)|()()(31=++==∑=i i i A C P A P C P13. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“·”和“—”。
概率与数理统计第四版(简明版)课后习题答案
随机变量的函数及其分布
总结词
描述通过函数变换得到的随机变量的概率分 布情况。
详细描述
对于一个或多个随机变量，通过函数变换可 以得到新的随机变量。这些新随机变量的概 率分布可以通过对原随机变量的概率分布进 行函数变换得到。例如，如果X是一个随机 变量，f(X)是关于X的函数，那么f(X)的概率 分布可以通过对X的概率分布进行函数变换 得到。常见的函数变换包括线性变换、幂函 数变换等。在得到新随机变量的概率分布后， 可以进一步分析其性质和特征。
多元线性回归分析的假设包括线性关系、误差项独立同分 布以及误差项的无偏性。
详细描述
在进行多元线性回归分析之前，需要检验各因变量与自变 量之间的线性关系，并确保误差项独立且服从相同的分布 ，同时误差项的均值为零，以保证估计的回归系数是无偏 和有效的。
总结词
多元线性回归分析的应用范围广泛，包括经济、金融、生 物、医学和社会科学等领域。
随机变量的定义与性质
随机变量是定义在样本 空间上的一个实值函数 ，其取值随试验结果的 变化而变化。
随机变量具有可加性、 独立性、有限可加性等 性质，这些性质在随机 变量的计算和推导中有 着重要的应用。
离散型随机变量是取有 限个或可数个值的随机 变量，其分布律是一个 离散的概率分布。常见 的离散型随机变量包括 二项分布、泊松分布等 。
边缘概率分布与条件概率分布
总结词
描述随机变量的边缘概率分布和条件概 率分布，即考虑某些变量的取值对其他 变量的概率分布的影响。
VS
详细描述
边缘概率分布是指考虑某些随机变量的取 值后，其他随机变量的概率分布情况。对 于两个随机变量X和Y，X的边缘概率分布 表示为P(X)，表示在给定Y取某个值的条件 下，X的概率分布。条件概率分布则表示在 给定某个事件发生的条件下，其他随机变 量的概率分布情况。条件概率分布表示为 P(X|Y)，表示在Y取某个值的条件下，X的 概率分布。
概率论与数理统计习题课1
（2）机床因无人照管而停工的概率.
解：设 A 机床甲不需要工人照顾， B 机床乙不需要工人照顾， C 机床丙不需要工人照顾，
依题意，A、B、C 相互独立。
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第1章 习 题 课
（1） P( A B C ) P( ABC )
)
1
29 90
61 90
.
3
P(B1B2 ) P( Ai )P(B1B2 | Ai )
i 1
1 ( 3 7 7 8 5 20) 2 . 3 10 9 15 14 25 24 9
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第1章 习 题 课
从而
P ( B1
|
B2 )
P(B1B2 ) P(B2 )
于是 P( A) p 0.25(1 p) p [0.25(1 p)]2 p .
这是一个几何级数求和问题。由于公比
0 0.25(1 p) 1，该级数收敛。
P( A)
p
.
1 0.25(1 p)
若甲乙胜率相同，则
p
0.5 p 3 .
1 0.25(1 p)
i 1,2,3,.
A 甲获胜，
B 乙获胜，
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第1章 习 题 课
则 A A1 A1B2B3 A4 A1B2B3 A4B5B6 A7 ;
P( A1 ) p ; P( A1B2B3 A4 ) 0.25(1 p) p ; P( A1B2B3 A4B5B6 A7 ) [0.25(1 p)]2 p ;
概率统计习题课1
大卫: 大卫:思索者
例1:设A,B是相互独立的事件,P(A∪B)=0.6,P(A)=0.4, 是相互独立的事件,P(A∪B)=0.6,P(A)=0.4, 求P(B). P(B).
P( A ∪ B ) = P( A) + P ( B ) P( AB )
P( A ∪ B) = P( A) + P( B) P( A) P( B)
∫
bHale Waihona Puke af ( x)dx = ∫ cos xdx = sin b sin a
a
b
练习5 下面那个函数不可作为随机变量X的分布函数? 练习5:下面那个函数不可作为随机变量X的分布函数?( )
0 x < 0 2 x ( A) F ( x) = 0 ≤ x <1 2 1 x ≥ 1
ln(1 + x) (C ) F ( x) = 1 + x 0
X 1 ~ b ( 20, 0.01) .
P{ X 1 ≥ 2} = 1 P{ X < 2} = 1 P{ X = 0} P{ X = 1} = 0.0169
80台设备不能得到及时维护 P"80台设备不能得到及时维护" 80台设备不能得到及时维护" = P( A ∪ A ∪ A ∪
1 2 3
(1 P( A) ) P( B) = P( A ∪ B) P( A)
P ( A ∪ B ) P ( A) 1 P( B) = = 1 P ( A) 3
概率统计同济课后习题答案
概率统计同济课后习题答案在学习概率统计这门课程时，课后习题的练习与解答对于巩固知识、加深理解起着至关重要的作用。
同济大学出版的概率统计教材以其严谨的体系和丰富的内容备受青睐，然而，课后习题的答案却常常让同学们感到困惑。
接下来，我将为大家详细解析部分概率统计同济课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
首先，我们来看一道关于随机变量概率分布的题目。
题目：设随机变量 X 的概率分布为 P(X ＝ k) ＝Cλ^k ／ k!，k ＝ 0, 1, 2, ，其中λ ＞ 0 为常数，求常数 C 的值。
解答：因为随机变量的概率分布之和必须为 1，所以有：∑k=0 到∞ P(X ＝ k) ＝ 1即：∑k=0 到∞ Cλ^k ／ k! ＝ 1我们知道e^λ ＝∑k=0 到∞ λ^k ／ k!所以C × e^λ ＝ 1，解得 C ＝ e^（λ)接下来，看一道关于期望和方差的题目。
题目：已知随机变量 X 的概率密度函数为 f(x) ＝ 2x，0 ＜ x ＜ 1 ，求 E(X) 和 D(X)。
解答：首先计算期望 E(X)：E(X) ＝∫0 到 1 x × f(x) dx ＝∫0 到 1 2x^2 dx ＝ 2/3然后计算方差 D(X)：D(X) ＝ E(X^2) E(X)＾2E(X^2) ＝∫0 到 1 x^2 × f(x) dx ＝∫0 到 1 2x^3 dx ＝ 1/2所以 D(X) ＝ 1/2 （2/3)＾2 ＝ 1/18再看一道关于正态分布的题目。
题目：设随机变量 X 服从正态分布N(μ, σ^2)，已知 P(X ＜ 2) ＝ 08，求 P(0 ＜ X ＜ 4)。
解答：因为正态分布是关于均值μ 对称的，所以 P(X ＜μ) ＝ 05 。
又因为 P(X ＜ 2) ＝ 08 ，所以μ ＞ 2 。
P(X ＞ 2) ＝ 1 08 ＝ 02由于正态分布的对称性，P(X ＜μ 2) ＝ P(X ＞μ ＋ 2) ＝ 02所以 P(0 ＜ X ＜ 4) ＝P(μ 2 ＜ X ＜μ ＋ 2) ＝ 1 2 × 02 ＝ 06下面是一道关于条件概率的题目。
第4,5章习题课1概率统计
第四、五章习题1、 已知连续型随机变量X 的概率密度为1221)(---=x x e x f π试求X 的数学期望和方差。
2. 设随机变量X 与Y 相互独立，且X ~N (1,2)，Y ~N (0,1)，求Z =2X -Y +3的概率密度。
3. 已知随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>+=--⨯-0202)(822222x e a x ae e a x f x x xππλ 其中常数a >0，λ>0未知，且知E (X )=1。
求常数a ，λ。
4. 设X ，Y 是两个互相独立且均服从正态分布))21(,0(2N 的随机变量，求E (|X -Y |)，D (|X -Y |)。
5. 现有n 个袋子，每袋装有a 只白球和b 只黑球(a >0，b >0)，先从第一个袋中摸出一球，记下颜色后就把它放入第二个袋中，照这种办法依次摸下去，最后从第n 个袋中摸出一球，并记下颜色。
若在这n 次摸球中所得的白球总数为S n ，求E (S n )。
6．袋中有N 个球，其中白球数X 是随机变量，且知其数学期望E (X)=n ，(n ≤N )。
今从袋中随机摸一球，求获得白球的概率。
7．设随机变量X 在[0,2]上服从均匀分布，Y 服从参数为1的指数分布，且X 与Y 相互独立，试求E (XY )，D (XY )。
8. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，求E (X +e -2X )9. 设随机变量X 在[-1,2]上服从均匀分布, 随机变量⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=01000,1X X X Y 求D ( Y ).10．已知随机变量⎩⎨⎧>>=+-其他 000, y x e )y ,x (f ~)Y ,X ()y x ( 求：E (X )，E (XY )，P (X <Y )，又问X 与Y 是否相关？11. 设二维随机变量（X ，Y ）的密度函数为)],(),([21),(21y x y x y x p ϕϕ+= 其中),(1y x ϕ，),(2y x ϕ都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为1/3和-1/3，它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是0，方差都是1。
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一 随机事件及其概率1. ,,A B C 为三个随机事件，事件“,,A B C 不同时发生”可表示为 ， 事件“,,A B C 都不发生”可表示为 ，事件“,,A B C 至少发生两件”可表示为 。
2．从1，2，3，4中随机取出两个数，则组成的两位数是奇数的概率是 ， 事件“其中一个数是另一个数的两倍”的概率是 。
3. 有r 个球，随机地放在n 个盒子中(r n ≤)，则某指定的r 个盒子中各有一球的概率为_ __ __。
4．把3个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子(每个盒子能容纳多个球)，则三个盒子各放入一球的概率是___________。
5. 设,A B 为随机事件，()0.7P A =, ()0.3P A B -=,则()P A B =U __ ___。
6．事件A 发生必然导致事件B 发生，且()0.1,()0.2,P A P B ==，则()P A B =____。
7. 盒中有6个大小相同的球，4个黑球2个白球，甲乙丙三人先后从盒中各任取一球，取后不放回，则至少有一人取到白球的概率为___________。
8. 甲乙两个盒子，甲盒中有2个白球1个黑球，乙盒中有1个白球2个黑球，从甲盒中任取一球放入乙盒，再从乙盒中任取一球，取出白球的概率是 。
9．某球员进行投篮练习，设各次进球与否相互独立，且每次进球的概率相同，已知他三次投篮至少投中一次的概率是，则他的投篮命中率是 。
10. 将一枚硬币抛掷3次，观察出现正面（记为H ）还是反面（记为T ），事件A ={恰有一次出现正面}，B ={至少有一次出现正面}，以集合的形式写出试验的样本空间Ω和事件,A B ，并求(),(),()P A P B P A B11. 已知()0.1,()0.2P A P B ==，在下列两种情况下分别计算()P A B U 和()P A B ：(1) 如果事件,A B 互不相容； (2) 如果事件,A B 相互独立。
12. 盒中有3个黑球7个白球，从中任取一球，不放回，再任取一球，(1)若第一次取出的是白球，求第二次取出白球的概率 (2) 两次都取出白球的概率 (3) 第二次取出白球的概率 (4) 若第二次取出的是白球，求第一次取出白球的概率。
二 一维随机变量1．向平面区域{(,):1}x y x y +≤内随机投3个点，则3个点中恰有2个点落在第一象限内的概率是 。
2．设随机变量X 服从二项分布(3,0.3)B ，且2Y X =，{4}P Y == 。
3．设圆形区域的半径X 服从区间[0,2]上的均匀分布，则圆形区域的面积2Y X π=的数学期望()E Y =________。
4．设随机变量X 的密度函数()f x 对x R ∀∈，有()()f c x f c x +=- , c 是常数，则{}P X c >= ，()E X = 。
5．设随机变量X 的密度函数221(),()x x f x x R-+-=∈，则2()E X = 。
6．抽样调查结果表明：某地区考生的外语成绩X 服从正态分布2(,)N μσ， 平均成绩72μ=，已知80分以上者占总人数的20%，则考生的外语成绩在64分至80分之间的概率是 。
7．一袋中装有六只球，编号是1,2,3,4,5,6，从中随机取出三个球，X 表示取出的球的最小号码，求X 的分布律，数学期望和方差。
8. 试验E 只有两种结果：A 和A ，且(),01P A p p =<<，试验E 独立重复地进行，(1) X 表示事件A 首次发生时的试验次数，求X 的分布律和数学期望； (2) Y 表示事件A 第r 次发生时的试验次数(r 是任一正整数), 求Y 的分布律和数学期望。
9. 盒中有3个黑球2个白球，每次从中任取一球，直到取到白球为止，X 表示抽取次数，(1) 如果每次取出的球不放回，求X 的分布律和数学期望；(2) 如果每次取出的球放回盒中，求X 的分布律和数学期望。
10. 设连续型随机变量X 的密度函数,01()0,ax b x f x +≤≤⎧=⎨⎩其他，{0.5}0.625P X >=，(1) 确定常数,a b (2) 计算{10.5}P X -<< (3) 求()E X11. 设随机变量X 的分布函数是()arctan F x A B x =+，求(1) 常数,A B (2)X 的概率密度()f x （3）(1P X -≤≤12. 乘客在某公交车站等车的时间X 服从正态分布2(7,2)N ，（单位：分钟）(1) 求乘客的等车时间超过11分钟的概率((1)0.84Φ=,(2)0.98Φ=)(2) 若一小时内有100位乘客在此车站等车，其中等车时间超过11分钟的人数是Y ，写出Y 的分布律，并求一小时内至少有两人等车时间超过11分钟的概率。
13. 在某次200米游泳比赛中，运动员的成绩2(180,20)X N :（单位：秒），(1)成绩位于前40%的运动员直接晋级，则用时低于多少秒(设为a )的运动员得以晋级 (2)成绩位于后20%的运动员直接淘汰，则用时超过多少秒(设为b )的运动员被淘汰((0.25)0.6,(0.84)0.8Φ=Φ=)14. 某人家住市区东郊，工作单位在西郊，上班有两条路线可选择：一条直穿市区，但可能塞车，所需时间(单位:分钟)服从正态分布2(30,10)N ；另一条环城高架，路程远但很少塞车，所需时间服从正态分布2(40,4)N ，为保证以较大概率上班不迟到，问：(1) 如果上班前50分钟出发，应选哪条路线(2) 如果上班前45分钟出发，应选哪条路线((1.25)0.8944,(1.5)0.9332,(2)0.9772,(2.5)0.9938)Φ=Φ=Φ=Φ=15. 设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，证明：(1) ()Y a b a X =+-服从[,]a b 上的均匀分布；(2) ln Y X =-服从参数为1的指数分布。
16. 射箭比赛中的圆靶半径为米, 设击中靶上任一同心圆内的概率与该圆的面积成正比,并设箭支都能中靶, (1) 以X 表示箭支落点与圆心的距离，证明：X 的分布函数200()400.510.5x F x x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩； (2) 如图，从圆心起每米为一环，Y 表示射箭得到的环数，求Y 的分布律和数学期望。
17. (1) 设随机变量12,X X 相互独立，都服从参数为λ的泊松分布， 证明：12X X +服从参数为2λ的泊松分布；(2) 假设在一分钟内进入商场的顾客数X 服从参数为λ的泊松分布，相邻两位顾客进入商场的间隔时间是T ，求T 的分布函数(){}F t P T t =≤和密度函数()f t 。
(提示：由(1)可知，在t 分钟内进入商场的顾客数服从参数为t λ的泊松分布)三 二维随机变量1.设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数(,)(1)(1),0,0ax by F x y e e x y --=-->>，则其联合密度函数(,)f x y = 。
2.设二维随机变量),(Y X 的联合密度,01(,)0,A y x f x y ≤≤≤⎧=⎨⎩其他, 则=A ，11{,}22P X Y ><= 。
3. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度2,(,)0,c x y x f x y else ⎧≤≤=⎨⎩，则常数c = 5 4 3 2 14. 已知随机变量X 和Y 的分布律分别为0101~~0.750.250.50.5X Y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且{0}1P XY ==，则{0,0}P X Y === 。
5. 设随机变量X 和Y 相互独立，具有相同的分布律：11~1/21/2X -⎛⎫ ⎪⎝⎭则{}P X Y == ，{0}P X Y +== 。
6. 设随机变量(1,4)X N :，(0,16)Y N :，,X Y 相互独立，则21Z X Y =--服从的分布是 。
(需注明参数)7．甲乙两人约在7点到8点之间在车站碰头，设两人的到达时刻是随机的，记为),(Y X ，0,60X Y ≤≤，(1) 写出),(Y X 的联合密度函数(,)f x y ； (2) 在7:15，7:30，7:45，8:00各有一班车到站，如果两人见车就乘，求他们能乘坐同一班车的概率1p ，如果先到者最多等一班车，求他们能乘坐同一班车的概率2p 。
8．设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为,02,0(,)0,y Ae x y f x y -⎧≤≤>=⎨⎩其他 求 (1) 常数A ；(2) 关于X 和Y 的边缘密度函数)(),(y f x f Y X ，并判断X 和Y 是否相互独立(3) 求()E XY9. 在区间(0,1)上随机取两个数X 和Y ，(1)写出(,)X Y 的联合密度函数(,)f x y ；(2) 求两数之和小于6/5的概率。
10. 盒中有5个大小相同的球，其中1个黑球2个白球2个红球，从中任取两个球，X 和Y 分别表示取出的白球数和红球数，(1) 求(,)X Y 的联合分布律与边缘分布律； (2) 求取出的白球数和红球数的数学期望。
四 大数定律与中心极限定理1. 设A n 是n 次独立重复试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 发生的概率，则对任意正数ε，有lim A n n P p n ε→∞⎧⎫-≥=⎨⎬⎩⎭。
2. 测量一个零件的长度，测量n 次，得到一组测量值12,,,n X X X ⋯⋯，设零件的实际长度是a ，则对任意正数ε，有11lim n i n i P X a n ε→∞=⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑ 。
3. 设12,,,n X X X ⋯是来自于正态总体2(0,)N σ的样本，则对任意正数ε，2211lim n i n i P x n σε→∞=⎧⎫-≥=⎨⎬⎩⎭∑ 。
4. 设12,,,,n X X X ⋯⋯是相互独立的随机变量序列，(),()i i E X D X 存在，且(),1,2,i D X C i ≤=L ，则对任意正数ε，1111lim ()n ni i n i i P X E X n n ε→∞==⎧⎫-≥=⎨⎬⎩⎭∑∑ 5. 计算器在进行加法时，将每个加数舍入最近的整数，设所有的舍入误差X 都服从[,]上的均匀分布且相互独立。
(1) 写出X 的密度函数，数学期望和方差；(2) 计算器将1200个数相加，用中心极限定理计算误差总和的绝对值小于10的概率。
((1)0.84Φ=)6. 抛掷一枚均匀硬币100次，其中正面向上的次数是X ，(1)写出X 的分布律，数学期望和方差 (2) 用中心极限定理计算正面向上的频率在到之间的概率((1)0.84Φ=)7. 从区间(0,1)中任取一个实数X ,称为随机数，(1) 证明：两个独立随机数的和12X X +的密度函数是,01()2,120x x f x x x else ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩， (2) 将1200个独立随机数相加，用中心极限定理计算总和在590到610之间的概率((1)0.84Φ=)五 数理统计1. 某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料，则样本均值X = 。