试题精选之2012江苏南京中考01-01(含答案)

试题精选之2012江苏南京中考11、设a 是大于1的实数，若a 、32＋a 、312a ＋在数轴上对应的点分别记作A 、B 、C ，则A 、B 、C 三点在数轴上自左至右的顺序是（C ）（提示：可以取特殊值来解决，如当a ＝2时，只有B 才成立。

）A 、C 、B 、A B 、B 、C 、A C 、A 、B 、CD 、C 、A 、B2、规定一种新的运算：a △b ＝ab －a －b ＋1，如3△4＝3×4－3－4＋1，请比较大小： （－3）△4 ＝ 4△（－3）。

（提示：可直接将数字代入计算，也可将ab －a －b ＋1分解成(a －1)(b －1)后再代入数字计算。

）3、观察下列分母有理化运算：211+＝－1＋2，321＋＝－2＋3，431＋＝－3＋4，…利用上面的规律计算：()20031200320021 (3212)11＋＋＋＋＋＋＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （答案：2002）4、已知：a ＋a 1＝5，则224a 1a a ＋＋＝？（提示：原式＝2a ＋1＋21a ＝（2a ＋2＋21a ）－1＝（a ＋a1）2－1＝24）5、先化简再求值：1a 12－－a －a a 12a a 22－＋－，其中a ＝321＋。

(提示：∵a ＝2－3＜1，∴a －1＜0。

原式＝5。

＝6、如果x 2＋3x －3＝0，求代数式x 3＋3x 2－3x ＋3的值。

（分析：①用降次法,由已知x 2＝3－3x ，代入式子；②原式＝x(x 2＋3x －3)＋3。

值＝3。

）7、已知x 、y 是实数，且(x ＋y －1)2与4y 2＋－x 互为相反数，求实数y x的负倒数。

（提示：由题意得(x ＋y －1)2＋4y 2＋－x ＝0，结果为－2。

）8、若m 3＋3m 2－3m ＋k 分解因式后有一个因式为(m ＋3)，则k ＝？（提示：由题意(m ＋3)＝0时，m 3＋3m 2－3m ＋k ＝0。

k ＝－9。

）9、若关于x 的方程23x m3x 2＋－＝－－x 无解，则m 的值是多少？（提示：一个分式方程要无解，即化成整式方程后的解是原方程的增根。

整理化简原方程得x ＝4－m ，据题意，x ＝4－m 的解是x ＝3，代入后解得m ＝1。

）10、若x ＋2y+3z ＝10,4x ＋3y ＋2z ＝15，则x ＋y ＋z 的值是多少？（提示：三个未知数两个等式，x 、y 、z 的值不唯一确定，不妨视其中一个字母为常数，解关于另外两个字母的方程组，得x ＝z ，y ＝5－2z ，∴x ＋y ＋z ＝5。

）11、已知关于x 、y 的两个方程组⎩⎨⎧⎩⎨⎧===-=-11y 3x 95by 3ax 7222－－和y x by ax 具有相同的解，求a 、b 的值。

（提示：据题意，方程组⎩⎨⎧⎩⎨⎧==-==-95by 3ax 2211y 3x 72－的解是方程组－by ax y x 的解。

解得前面的方程组的解代入后面的方程组，再解得a ＝2，b ＝3。

）12、一元二次方程(m －1)x 2+2mx+m+2=0有两个实数根，求m 的取值范围。

（提示：“一元二次方程”意味着m －1≠0，“两个实数根”意味着△≥0。

答案，m ≤2且m ≠1。

）13、设x 1、x 2是x 的方程x 2＋px ＋q 的两根，x 1＋1、x 2＋1是x 的方程x 2＋qx ＋p 的两根，求p 、q 的值。

（提示：利用根与系数的关系列出4个等式，代入化简求得p ＝－1，q ＝－3，注意检验两方程是否都有实数根。

）14、已知方程x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2－2＝0的两个实数根的平方和等于11，求m 的值。

（提示：根据根与系数的关系和已知条件，解得m 1＝1，m 2＝－3，分别代入△求值，舍去－3，故m 的值为1。

）15、已知关于x 的方程x 2＋2(2－m)x ＋3－6m ＝0，①求证：无论m 取什么实数，方程总有实数根；②如果方程的两实根分别为x 1、x 2，满足x 1＝3x 2，求实数m 的值。

①证明：△＝4(m ＋1)2，∵m 无论取什么实数，(m ＋1)2 ≥0，即△≥0，∴无论m 取什么实数，原方程总有两个实数根。

②提示：由①题可知，本题不要验证m1＝0，m2＝－4。

16、已知方程组{　①＝＋＋－　②＝＋－02a y 01y x 2x 的两个解为{11x x y y ＝＝；{22x x y y ＝＝且x 1、x 2是两个不等的正数。

(1)求a 的取值范围；(2)若x 12＋x 22－3x 1x 2＝8a 2－6a －11，求a 的值。

(1)解：由②代入①得x 2－x ＋a ＋1＝0，∵x 1、x 2是两个不等的正数，∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝a ＋1＞0，△＝1－4a －4＞0，解得－1<a<－43。

(2)解：由(1)知x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝a ＋1，∴x 12＋x 22－3x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－5 x 1x 2＝1－5a －5＝－5a －4。

∴8a 2－6a －11＝－5a －4，解得a ＝1或a ＝－87。

由(1)知－1<a<－43，∴a ＝－87。

17、解方程：x 2＋24x ＝3⎪⎭⎫ ⎝⎛x 2＋x （提示：原方程可化为⎪⎭⎫ ⎝⎛x 2＋x 2－4－3⎪⎭⎫ ⎝⎛x 2＋x ＝0，设y ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛x 2＋x ，注意要检验，x ＝22±。

）18、知关于x 的不等式组⎩⎨⎧>≥(2) 0a x (1) 12x 5－－－无解，求a 的取值范围。

解：由(1)得x ≤3，由(,2)得x ＞a ，若不等式组有解，则a<x ≤3，即a<3。

∵不等式无解，∴a ≥3。

19、关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+>++-<)2(423)1(1)3(32 a x x x x ，有四个整数解，求a 的取值范围。

解：由(1)得x>8，由(2)得x<2－4a ，组不等式组的解集是8＜x ＜2－4a ，∵不等式组有四个整数解，∴12＜2－4a ≤13，解得： 25a 411－－<≤。

20、已知三个非负数a 、b 、c 满足3a+2b+c ＝5和2a+b －3c ＝1,若m=3a+b －7c ，求m 的最大值和最小值。

（提示：方程或不等式中，如果未知数个数多于方程的个数，往往把其中一个或几个未知数看作常数。

）解：解关于a 、b 的方程组⎩⎨⎧=-+=++1325c 2b 3a c b a 得⎩⎨⎧-=-=c b c a 11737，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥-0c 011c 7037－c ，解得117c 73≤≤。

m=3a+b －7c ＝21c －9＋7－11c －7c ＝3c －2，∴111m 75≤≤－。

4、某人将1，2，3，……，n 这n 个数输入电脑，求平均数，当他认为输入完毕时，电脑显示只输入了n －1个数，平均数为7535，假设这n －1个数输入无误，问未输入的一个数是多少？解：设未输入的数是k ，则1≤k ≤n ，据题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=+⋯⋯≥+⋯⋯++=+=+⋯⋯≤+⋯⋯++=2n 1-n n n 211-n k n 21753522n 1-n 1n 211-n k n 217535－＋＋－－＋＋－，解得7371n 7369≤≤，∵7535是n －1个整数的平均数，∴7535×(n －1)的结果是整数，即(n －1)能被7整除。

所以n ＝71，此时k=56。

答：……。

21、满足(1－3)x>1+3的最大整数是多少？ 解：∵1－3＜0∴x ＜23243131+=-+，∴x<－2－3，所以最大整数是－4。

22、正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且EF ＝AE ＋FC ，DH ⊥EF 于H ，求证：DH ＝DC 。

（分析：由于EF ＝AE ＋FC ，从而构造线段AE ＋FC 是解决本题的关键。

于是延长BC 至G ，使CG ＝AE ，连结DE 、DF 、DG 。

）23、以△ABC 的三边作如图所示的三个正三角形△ACD 、△ABE 、△BCF ，连接DF 、FE 。

①判断四边形AEFD 是什么四边形？为什么？ ②当∠BAC 满足什么条件时，平行四边形ADFE 为矩形？③当∠BAC 满足什么条件时，四边形ADFE 不存在？④当△ABC 分别满足什么条件时，平行四边形ADFE 是菱形、正方形？分析：①△ABC ≌△DFC ，AB ＝DF ，DF ＝AE ，同理AD ＝EF ，四边形AEFD 为平行四边形。

②要平行四边形ADEF 为矩形，则∠DAE ＝900，∴∠BAC ＝1500时，平行四边形ADFE 为矩形。

③四边形ADFE 不存在，此时D 、A 、E 三点共线，于是∠BAC ＝600。

④平行四边形ADFE 为菱形时，必有AD ＝AE ，此时AB ＝AC 且∠BAC ≠600；平行四边形ADFE 为正方形时，它必是菱形又是矩形，此时△ABC 为顶角∠BAC ＝1500的等腰三角形。

24、在直角梯形ABCD 中，如果AD ∥BC ，∠B ＝900，AD ＝24cm ，BC ＝26cm ，动点E 从A 处开始沿AD 边以1cm/s 的速度向D 运动，动点F 从G 点开始沿CB 边以3cm/s 的速度向B 运动。

E 、F 分别从A 、C 同时出发，当其中一个点到达端点时另一个点也随之停止运动。

设运动时间为t ，问当t 为何值时四边形CDEF 为：平行四边形？等腰梯形？分析：欲使四边形CDEF 为平行四边形，必须DE ＝CF ，即AD －AE ＝CF ，于是24－t ＝3t ，t ＝6。

由于四边形CDEF 为等腰梯形，则分别过E 、D 作EG ⊥BC 于G ，DH ⊥BC 于H ，CF ＝CH ＋HG ＋GF ＝2CH ＋GH ＝2CH ＋DE ，CH ＝BC －BH ＝26－24＝2，DE ＝AD －AE ＝24EC BA E DB F C－t ，3t ＝4＋24－t ，得t ＝7。

25、菱形ABCD 的边长为a ，∠A ＝600，E 、F 分别是边AD 、DC 上的动点（E 、F 异于菱形的顶点），且AE ＋CF ＝a 。

①E 、F 在移动时，△BEF 形状如何？②求△BEF 面积的最小值。

分析：①连结BD ，∵∠A ＝600，∴△ABD 与△BCD 都为等边三角形，BD ＝BC ，∠ADB ＝∠C ，AE ＋CF ＝a ＝AE ＋DE ，∴DE ＝CF ，∴△BDE ≌△BCF ，则BE ＝BF ，∠EBD ＝∠FBC ，∴∠EBF ＝600，于是△BEF 为正三角形。

②∵△BEF 为正三角形，∴△BEF 的面积＝243BE ，则当其边长最短时面积最小，又∵E 为动点，∴当BE ⊥AD 时，BE 最短，即BE ＝a 23，∴△BEF 的面积最小值为16332a 。