4-二次函数的最值问题专题

二次函数的最值问题

一、知识要点：

一元二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。

分析：将f x ()配方，得对称轴方程x b

a

=-2

当

a >0时，抛物线开口向上

若-∈b

a m n 2[]，必在顶点取得最小值，

离对称轴较远端点处取得最大值； 若-∉b

a

m n 2[]，

当a >0时，抛物线开口向上，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离

对称轴x b

a

=-2较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值。当a <0时，

如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当a >0时

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

+<-+≥-=)

)((212)())((2

12)()(21max 如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧

<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f

当a <0时

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎨⎧

<-≤-≤

->-=)(2)()(2)2()(2)()(876max 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f f x f m b a m n f n b a m n ()()()()()()()min =-≥+-<+⎧⎨

⎪⎪⎩

⎪⎪，，如图如图212212910

二、例题分析归类：

（一）、正向型

是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。 1. 轴定区间定

例 1.已知函数2()2tan 1,[3],f x x x x θ=+-∈-，当6

π

θ=-时，求函数f(x)

的最大值与最小值。

2. 轴定区间动

例2.设a 为实数，函数2()||1,,f x x x a a R =+-+∈，求f(x)的最小值。

评注：已知2

=++≠，按对称轴与定义域区间的位置关系，由

f x ax bx c a

()(0)

数形结合可得()

m n上的最大值或最小值。

f x在[,]

例3．求函数)

[-

∈

x上的最大值。

=在]1,1

(a

x

x

y-

-

例4. 已知24()(0),y a x a a =->，求22(3)u x y =-+的最小值。

（二）、逆向型

是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中的参数值。

例5. 已知函数2()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值。

例6. 已知函数2

()2

x f x x =-+在区间[,]m n 上的值域是[3,3]m n ，求m ，n 的值。

练习：

1、已知二次函数)(x f 满足条件1)0(=f 及x x f x f 2)()1(=-+ （1）求)(x f ；

（2）求)(x f 在区间]1,1[-上的最大值和最小值

2、已知二次函数2()(21)1f x ax a x =+-+在区间3

[,2]2

-上的最大值为3，求实数

a 的值。

3、已知函数21

sin sin 42

a y x a x =-+-+的最大值为2，求a 的值 ．

参考答案

例题答案：

例1.解析：6

π

θ=-时， 24()(3

f x x =-

所以x =

时，min 4

();13

f x x =-=-时，max ()f x =. 例2.（1）当x a ≥时，213

()()24

f x x a =++-

①若12a ≤-，则min 13

()()24f x f a =-=-;

②若1

2

a >-，则2min ()()1f x f a a ==+

（2）当x a <时，213

()()24

f x x a =-++

①若1

2a <，则2min ()()1f x f a a ==+;；

②若12a ≥，则min 13

()()24

f x f a ==+

综上所述，当12a ≤-时，min 3()4f x a =-；当11

22

a -<<时，2min ()1f x a =+；

当12a ≥时，min 3

()4

f x a =+。

例3．解析：函数4)2(22a a x y +--=图象的对称轴方程为2

a

x =，应分

121≤≤-a ，12-a

即22≤≤-a ，2-a 这三种情形讨论，

下列三图分别为

（1）2-

（2）a ≤-22≤；由图可知max ()()2

a

f x f =

（3） 2>a 时；由图可知max ()(1)f x f =