一元二次方程知识点总结
一元二次方程知识点总结
一元二次方程知识点总结一、 一元二次方程的定义1. 一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程. 二、 一元二次方程的解1. 方程解的含义解题方法：将方程的根带入方程求出参数.三、 解一元二次方程（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）1. 直接开平方法：适用于)0()()0(22≥=+≥=b b a x a a x 或形式的方程. 2. 配方法：2222244)2(0)0(0a ac b a b x b c x a b x a c bx ax -=+⇒=++⇒≠=++. 注意：用配方法解方程时必须注意在方程两边同时加上的是一次项系数一半的平方.3. 公式法：a ac b b x ac b c bx ax 24040222-±-=≥-=++时当. 4. 因式分解法：将一元二次方程化简成一般式后，把等号左边的多项式进行因式分解，再根据“如果，0=ab ，那么00==b a 或”进行求解.注意：利用因式分解法解方程时,将方程的一边分解因式而方程的另一边必须化为零;四、 判别式与一元二次方程解的个数的关系1. 一元二次方程解与判别式的关系：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的情况可由根的判别式△=ac b 42-的值来决定,它的值与一元二次方程的根的关系是:①042>-ac b ⇔方程有两个不等的实数根.②042=-ac b ⇔方程有两个相等的实数根.③042<-ac b ⇔方程没有实数根.五、 一元二次方程的应用题（增长率、面积、握手、传染）1. 增长率问题：设a 为原量，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量，则nx a b )1(+=.2. 面积问题：先通过平移变换，再根据面积公式列出方程.3. 握手问题：n 个人见面，任意两人都要握手一次，一共握手2)1(-n n 次. 4. 传染问题：一人感染，一人传染x 人，第一轮：1＋x ；第二轮：1＋x ＋x （1＋x ）.六、 根与系数的关系1. 根与系数的关系：若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根分别是21,x x 则a cx x a b x x ==+2121-，.注意：使用根与系数的关系时需要先检验△。
一元二次方程知识点
一元二次方程知识点一元二次方程，是指形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知常数且a ≠ 0，x为未知数。
一元二次方程是高中数学的重要内容之一，了解一元二次方程的知识点对于解决相关问题非常有帮助。
一、解的个数和性质：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的解的个数和性质与判别式有关。
判别式Δ = b^2 - 4ac，根据Δ的值可以得出以下结论：1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。
2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根。
3. 当Δ < 0时，方程没有实根。
二、求解过程：求解一元二次方程的过程包括以下几个步骤：1. 化简方程，将方程整理成标准形式：ax^2 + bx + c = 0。
2. 判断方程的根的个数。
根据判别式Δ的值可以判断根的个数。
3. 根据根的个数分别求解：(1) 当方程有两个不相等的实根时，可以应用求根公式：x = (-b ± √Δ) / 2a。
(2) 当方程有两个相等的实根时，可以将方程化简为(x -x1)^2 = 0的形式，解得x = x1。
(3) 当方程没有实根时，可应用虚数解的概念，解的形式为x = (-b ± i√|Δ|) / 2a，其中i是虚数单位。
三、一元二次方程的图像：一元二次方程的图像是抛物线，其开口的方向与二次项系数a的正负有关。
当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
抛物线的顶点坐标为(-b/2a, -Δ/4a)。
四、应用：一元二次方程的应用非常广泛，尤其在物理学和工程学中。
例如，在抛体运动中，物体的运动轨迹可以用一元二次方程描述；在工程设计中，一元二次方程可以用于求解最优化问题，如求解最大面积或最小成本等。
总之，掌握一元二次方程的知识点对于高中数学的学习非常重要。
需要熟练掌握求解一元二次方程的方法，并能灵活应用于实际问题的解决中。
同时，理解一元二次方程的图像及其性质，能够更好地理解方程的几何意义和应用背景。
第十七章_一元二次方程知识点
第十七章 一元二次方程知识点第一节 一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．三个条件：（１）是整式方程（２）含有一个未知数（３）未知数的最高次数是２，三个条件缺一不可。
一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．把一元二次方程化成一元二次方程的一般形式时，常要利用去括号、移项、合并同类项等步骤，同时注意项与项的系数。
一元二次方程的解叫做一元二次方程的根第二节 一元二次方程的解法知识点1 特殊的一元二次方程的解法直接开平方法运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．由应用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0），那么x=±mx+n ）2=p（p ≥0），那么mx+n=±因式分解法知识点2 一般的一元二次方程的解法1． 配方法：解方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的一般步骤是：2.一元二次方程的求根公式问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根x 1=2b a -，x 2=由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=2b a -就得到方程的根．（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．3 .一元二次方程根的判别式求根公式：b 2-4ac>0以一元一次方程的x 1=2b a -x 1=2b a-，即有两个不相等的实根．当b 2-4ac=0时，•，所以x 1=x 2=2b a-，即有两个相等的实根；当b 2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．因此，（结论）（1）当b 2-4ac>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）•有两个不相等实数根即x 1=2b a -，x 2=2b a -．（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=2b a．（3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．第三节一元二次方程的应用知识点1二次三项式的因式分解1、二次三项式形如ax2＋bx＋c(a≠0)的多项式叫做x的二次三项式2、二次三项式因式分解的公式如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两个实数根为x1、x2，则．从而得到二次三项式因式分解公式：ax2＋bx＋c=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)条件对于二次三项式当△=b2－4ac≥0时，能分解因式；当△=b2－4ac＜0时，不能分解因式．3、用公式法分解二次三项式的步骤(1)求二次三项式ax2＋bx＋c所对应的一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根x1、x2．(2)将求得的x1、x2的值代入因式分解的公式ax2＋bx＋c=a(x－x1)(x－x2)即可．说明：(1)在二次三项式的因式分解时，注意不要丢掉公式中的二次项系数a．(2)要注意公式中x1、x2前面的符号和x1、x2本身的符号不要混淆．(3)把x1、x2的值代入公式后，能化简整理的可以化简整理．1、二次三项式的因式分解例1、；(2)－4y2＋8y－1．分析：这两个二次三项式都需要用公式法分解因式．解：(1)方程的根是(2)方程－4y2＋8y－1=0的两根是点拨：(1)解方程时，如果二次项系数是负数，一般可将其化为正数再解，这样可提高解方程的准确性，如解－4y2＋8y－1=0可化为4x2－8y＋1=0再解；(2)写出二次三项式的分解因式时，不要漏掉第一个因数“－4”．(3)把4分解为2×2，两个2分别乘到每个括号内恰好能去掉两个括号内的分母，从而使分解式得到简化，要注意学习这种变形的技巧和变形过程中符号改变．2、形如Ax2＋Bxy＋Cy2的因式分解例2、分解因式5x2－2xy－y2分析：形如Ax2＋Bxy＋Cy2的多项式叫做关于x,y的二元二次多项式，我们可以选择其中一个变元作为未知数，另一个就看作已知数，这样一来，就可将多项式Ax2＋Bxy＋Cy2看作二次三项式来分解，如本题可看作关于x的二次三项式，其中a=5，b=－2y，c=－y2．解：关于x的方程5x2－2xy－y2=0的根是．．点拨：本题将y视为常数，是利用公式法分解因式的需要，即把x视为主元，称为“主元法”，这样便于用公式解题．例3、分解因式3x2y2－10xy＋4；分析：将3x2y2－10xy＋4转化为关于xy为元的二次三项式，实际上是利用换元法进行因式分解．解：关于xy的方程3(xy)2－10xy＋4=0的根是，．3、二次三项式因式分解的灵活运用例4、二次三项式3x2－4x＋2k，当k取何值时，(1)在实数范围内能分解；(2)不能分解；(3)能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？分析：(1)二次三项式在实数范围内能因式分解的条件是方程有实数根，即△=b2－4ac≥0；(2)不能分解的条件是△＜0；(3)△=0时，二次三项式是完全平方式．解：△=(－4)2－4×3×2k=16－24k(1)当△≥0时，即16－24k≥0，时，二次三项式3x2－4x＋2k在实数范围内能分解因式；(2)当△＜0时，即16－24k＜0，时，3x2－4x＋2k不能分解因式；(3)当△=0时，即16－24k=0，时，3x2－4x＋2k是一个完全平方式．当时，例5、已知二次三项式9x2－(m＋6)x＋m－2是一个完全平方式，试求m的值．分析：若二次三项式为一个完全平方式，则其判别式△=0．解：对于二次三项式9x2－(m＋6)x＋m－2，其中a=9，b=－(m＋6)，c=m－2，∴△=b2－4ac=[－(m＋6)]2－4×9×(m－2)=m2－24m＋108．∵原二次三项式是一个完全平方式，∴△=0，即m2－24m＋108=0，解得m1=6，m2=18．故当m=6或m=18时，二次三项式9x2－(m＋6)x＋m－2是一个完全平方式．点悟：解题规律是：若b2－4ac=0，则二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)是完全平方式；反之，若ax2＋bx ＋c(a≠0)是完全平方式，则b2－4ac=0．知识点2 实际应用。
一元二次方程知识点
一元二次方程知识点知识框架知识点、概念总结1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为 ax 2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
（4）将方程化为一般形式：ax 2+bx+c=0时，应满足（a≠0）3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）。
一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根． （3）公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程知识点总结(全章齐全)
一元二次方程知识点总结定义：两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项．注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.基本解法①直接开平方法:对于形如的方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解。
②配方法：(1)现将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．③公式法:(1)把一元二次方程化为一般式。
(2)确定a,b,c的值。
(3)代入中计算其值，判断方程是否有实数根。
(4)若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。
【小试牛刀】方程ax2+bx+c=0的根为④因式分解法·因式分解法解一元二次方程的依据:如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个0，即:若ab=0，则a=0或b=0。
·步骤：(1)将方程化为一元二次方程的一般形式。
(2)把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0。
(3)令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程。
(4)解出这两个一元一次方程的解，即可得到原方程的两个根。
根的判别情况判别式：b2-4ac的值x1、x2的关系根的具体值一元二次方程两根与系数的关系：。
一元二次方程知识点归纳和重难点精析
一元二次方程知识点归纳和重难点精析一、知识点归纳1.一元二次方程的基本概念一元二次方程是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。
其一般形式为ax²+bx+c=0(a≠0)。
2.一元二次方程的解法公式一元二次方程的解法公式为x=[-b ±sqrt(b²-4ac)] / (2a)。
其中，sqrt表示求平方根，x为未知数，a、b、c为方程的系数。
二、重难点精析九年级数学一元二次方程的重难点1.高次项：一元二次方程中，二次项的系数a不能为0.且最高次数为2.这是在解一元二次方程时需要特别注意的难点。
2.整体化简：在求解一元二次方程时，需要将方程进行整体化简，从而得到未知数的值。
这需要学生具备一定的化简和运算能力。
针对重难点的解决方法及相关思考题1.高次项注意事项：在一元二次方程中，要确保二次项的系数不为0.且最高次数不超过2.如有其他高次项，可将其合并或转化为二次项。
2.整体化简技巧：为了更好地求解一元二次方程，学生需要掌握整体化简的方法。
可以通过移项、合并同类项等方式，将方程化简为更易于求解的形式。
思考题：求解一元二次方程x²-6x+9=0时，有哪些方法可以解题?哪种方法更适合处理此类方程?三、扩展知识一元二次方程的历史背景及应用领域一元二次方程作为九年级数学的重要知识点，在实际生活和后续学习中有着广泛的应用。
例如，在解决实际问题时，一元二次方程可用于解决诸如最大化、最小化、平均值等优化问题。
此外，在物理、化学、生物等科学领域中，一元二次方程也常常用于描述现象和解决问题。
相关知识点补充在求解一元二次方程的过程中，可能会涉及到其他数学知识点，如三角函数、平移和缩放等。
这些知识点对于理解一元二次方程的解法和实际应用都有一定的帮助。
例如，三角函数可以用于求解一元二次方程的近似解；平移和缩放可以用于将复杂的一元二次方程转化为简单的形式，从而更容易求解。
因此，学生在学习的过程中需要注意知识点的联系与运用。
一元二次方程式知识点总结
一元二次方程式知识点总结1. 什么是一元二次方程式？一元二次方程式是一个以未知数的二次幂为最大次数的方程式。
一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
2. 一元二次方程的解法2.1 因式分解法如果一元二次方程可以通过因式分解为两个一次因式的乘积形式，那么方程的解可以直接从分解中得到。
例如：x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)，方程的解为x = -2和x = -3。
2.2 公式法一元二次方程的解可以通过求根公式得到。
求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
根据求根公式，可以计算方程的解。
2.3 完全平方法如果一元二次方程可以通过完全平方形式表示，那么可以直接从完全平方形式中得到方程的解。
例如：x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2，方程的解为x = -3。
3. 一元二次方程的判别式一元二次方程的判别式Δ = b^2 - 4ac可以用来判断方程的解的性质。
- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解。
- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解。
- 当Δ < 0时，方程没有实数解。
4. 一元二次方程的图像一元二次方程的图像是抛物线。
抛物线的开口方向和判别式的正负有关：当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
5. 一元二次方程的应用一元二次方程在实际问题中有广泛的应用。
例如，抛物线的运动轨迹、物体抛出和抛射问题等都可以用一元二次方程来描述和解决。
6. 注意事项- 在解一元二次方程时，要注意对方程进行整理和化简，以便于使用不同的解法。
- 在使用公式法求解时，需要注意判别式的值，以确定方程的解的类型和个数。
- 在实际应用中，要注意问题的具体条件和意义，避免得出没有实际意义的解。
以上是一元二次方程式的知识点总结，希望对你有帮助！。
一元二次方程知识点总结
例题：将方程 (x 3)(3x 1) x2 化成一元二次方程的一般形式.
解：
(x 3)(3x 1) x2
去括号，得：
3x2 8x 3 x2
移项、合并同类项，得： 2x2 8x 3 0
(一般形式的等号右边一定等于 0)
一元二次方程知识点总结 \3/
一元二次方程知识点总结
一、认识一元二次方程：
概念：只含有一个未知数，并且可以化为 ax2 bx c 0 ( a, b, c 为常数， a 0 )的整式方程
叫一元二次方程。
构成一元二次方程的三个重要条件：
①方程必须是整式方程(分母不含未知数的方程)。
如： x2 2 3 0 是分式方程，所以 x2 2 3 0 不是一元二次方程。
x2 2x 12 3 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 4
③配方.(两边都加上一次项系数绝对值一半的
(x 1)2 1 4
平方，把原方程化成 (x a)2 b 的形式)
x 1 1 2
∴x1=
1 2
+1=
3 2
,
x2=-
1 2
+1=
1 2
④求解.(用直接开方法求出方程的解.)
(3)公式法：（求根公式： x b b2 4ac ） 2a
x
x
②只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是 2 次。
二、一元二次方程的一般形式：
一般形式： ax2 bx c 0 ( a 0 )，系数 a, b, c 中， a 一定不能为 0， b 、 c 则可以为 0，
所以以下几种情形都是一元二次方程：
①如果 b 0, c 0 ，则得 ax2 c 0 ，例如： 3x2 2 0 ；
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一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2 的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：ax2bx c0(a0) ，它的特点是：等式左侧十一个对于未知数 x 的二次多项式，等式右侧是零，此中ax2叫做二次项， a 叫做二次项系数； bx 叫做一次项， b叫做一次项系数； c 叫做常数项。
3.一元二次方程的解法(1)直接开平方法 : 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法合用于解形如( x a)2 b 的一元二次方程。
依据平方根的定义可知，x a 是b 的平方根，当b0 时，x a b ， x a b ，当b<0 时，方程没有实数根。
(2) 配方法: 配方法的理论依据是完整平方公式a22ab b 2( a b) 2，把公式中的a看做未知数x，并用x 取代，则有x22bx b2(x b) 2。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右侧，再把二次项的系数化为1，再同时加上 1 次项的系数的一半的平方，最后配成完整平方公式(3)公式法 : 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程 ax 2bx c 0(a 0) 的求根公式：b b24ac2x2a(b4ac 0)公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为 b，常数项的系数为c(4)因式分解法 : 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这类方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右侧化为0，而后看看能否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，假如能够，便可以化为乘积的形式4. 一元二次方程根的鉴别式: 一元二次方程ax2bx c0(a0) 中， b 24ac 叫做一元二次方程 ax 2bx c0(a0) 的根的鉴别式，往常用“ ”来表示，即 b 24acI 当△ >0 时，一元二次方程有 2 个不相等的实数根；II当△ =0时，一元二次方程有 2 个同样的实数根；III当△ <0 时，一元二次方程没有实数根5.一元二次方程根与系数的关系如果方程 ax 2bx c 0( a0) 的两个实数根是 x1， x2，那么 x1 x2 b ，c。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，ax1 x2两根之和等于方程的a一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
6. 生活中的随机事件分为确立事件和不确立事件，确立事件又分为必定事件和不行能事件，此中，①必定事件发生的概率为1，即 P( 必定事件 )=1 ；②不行能事件发生的概率为0, 即 P（不行能事件） =0；③假如 A 为不确立事件，那么0<P(A)<17.随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：①理论计算又分为以下两种状况：第一种：只波及一步实验的随机事件发生的概率;第二种：经过列表法、列举法、树状图来计算波及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率 .一．旋转1、定义 : 把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，此中 O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
2、性质（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
（3）旋转前、后图形全等。
二、中心对称1、定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，假如旋转后的图形能够和本来的图形相互重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
2、性质：（ 1）对于中心对称的两个图形是全等形。
（2）对于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，而且被对称中心均分。
3、中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转180°，假如旋转后的图形能够和本来的图形相互重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
三、坐标系中对称点的特点1、对于原点对称的点的特点：两个点对于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点 P（ x， y）对于原点的对称点为P’（ -x ，-y ）2、对于 x 轴对称的点的特点：两个点对于x 轴对称时，它们的坐标中， x 相等， y的符号相反，即点 P（ x，y）对于 x 轴的对称点为 P’（ x， -y ）3、对于 y 轴对称的点的特点：两个点对于y 轴对称时，它们的坐标中， y 相等，x 的符号相反，即点P（ x，y）对于 y 轴的对称点为 P’（ -x ，y）一、圆的定义： 1、在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2、以点 O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”二、与圆相关的定义：（1）弦：连结圆上随意两点的线段叫做弦。
（如图中的 AB）；经过圆心的弦叫做直径。
（如图中的 CD）；直径等于半径的 2 倍。
（2）半圆：圆的随意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
圆上随意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”。
大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）三、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径均分这条弦，而且均分弦所对的弧。
推论 1：（ 1）均分弦（不是直径）的直径垂直于弦，而且均分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直均分线经过圆心，而且均分弦所对的两条弧。
（3）均分弦所对的一条弧的直径垂直均分弦，而且均分弦所对的另一条弧。
推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可归纳为：过圆心垂直于弦直径均分弦知二推三均分弦所对的优弧均分弦所对的劣弧四、圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角：极点在圆心的角叫做圆心角。
2、弦心距 : 从圆心到弦的距离叫做弦心距。
3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，假如两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其他各组量都分别相等。
六、圆周角定理及其推论1、圆周角 : 极点在圆上，而且两边都和圆订交的角叫做圆周角。
2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。
推论 3：假如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
七、点和圆的地点关系: 设⊙ O的半径是 r ，点 P 到圆心 O的距离为 d，则有：d<r点 P 在⊙ O内； d=r点P在⊙ O上；d>r点P在⊙ O外。
八、过三点的圆 : 不在同向来线上的三个点确立一个圆。
三角形的外接圆 : 经过三角形的三个极点的圆叫做三角形的外接圆。
三角形的外心 : 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直均分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
圆内接四边形性质（四点共圆的判断条件）: 圆内接四边形对角互补。
九、反证法：先假定命题中的结论不建立，而后由此经过推理，引出矛盾，判断所做的假定不正确，进而获得原命题建立，这类证明方法叫做反证法。
十、直线与圆的地点关系：（1）订交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（ 2）相切：直线和圆有独一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
（4）假如⊙ O 的半径为 r ，圆心 O到直线 l 的距离为 d, 那么d>r 。
直线 l 与⊙ O订交d<r ；直线 l 与⊙ O相切d=r ；直线 l与⊙ O相离十一、切线的判断和性质1、切线的判断定理：经过半径的外端而且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
十二、切线长定理1、切线长 : 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
2、切线长定理 : 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线均分两条切线的夹角。
十三、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
三角形的心里：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角均分线的交点，它叫做三角形的心里。
十四、圆和圆的地点关系：1、假如两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。
假如两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。
假如两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆订交。
2、圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。
3、圆和圆地点关系的性质与判断：设两圆的半径分别为R 和r ，圆心距为d，那么两圆外离d>R+r；两圆外切d=R+r；两圆订交R-r<d<R+r （R≥ r ）；两圆内切d=R-r （R>r）；两圆内含d<R-r （ R>r）。
4、两圆相切、订交的重要性质：假如两圆相切，那么切点必定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；订交的两个圆的连心线垂直均分两圆的公共弦。
十五、正多边形和圆1、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2、正多边形和圆的关系：只需把一个圆分红相等的一些弧，就能够做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
十六、与正多边形相关的观点1、正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
2、正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
3、正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
4、中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
十七、正多边形的对称性1、正多边形的轴对称性：正多边形都是轴对称图形。
一个正n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都经过正n 边形的中心。
2、正多边形的中心对称性：边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
3、正多边形的画法：先用量角器或尺规均分圆，再做正多边形。
十八、弧长和扇形面积1、弧长公式： n°的圆心角所对的弧长n r l 的计算公式为l1802、扇形面积公式：S扇n R21lR ；此中n是扇形的圆心角度数，R是扇形3602的半径， l 是扇形的弧长。