初三一元二次方程知识点总结及基础题型
(完整版)一元二次方程知识点和经典例题
一元二次方程一.基本概念定义：形如：02=++c bx ax （0≠a ）的方程,叫做一元二次方程的一般式. 例题：若方程32)1(1=--+x x m m 是关于x 的一元二次方程，求m 的值.二.一元二次方程的解法（1）直接开方法： 02=+c ax , 开平方求出未知数的值：ac x -±= （2）因式分解法：0)(2=++-mn x n m x ,因式分解得：0))((=--n x m x ∴m x =1，n 2=x（3）配方法:061232=-+x x ,得：242=+x x ,∴222)2(2)2(4+=++x x 即：6)2(2=+x ∴621+-=x ，622--=x（4）公式法：解法步骤：○1先把一元二次方程化为一般式； ○2找出方程中a 、b 、c 等各项系数和常数的值；○3计算出ac b 42-的值；○4把a,b, ac b 42-的值代入公式;○5求出方程的两个根.例题：解方程： x(x+12)=8x+12解：原方程化简得：01242=-+x x ,方程中：a=1,b=4,c=-12∆=ac b 42-=(4)2-4×1×（-12）=16+48=64.∴28412644±-=⨯±-=x =42±- ∴原方程根为：21=x ，=2x -6.一元二次方程解法练习题：（1）用直接开方法解一元二次方程： ○1 (2x-1)2=7 ○222)43()43(x x -=- ○30144)3(2=--x（2）用因式分解法解一元二次方程：○11)1(3-=-x x x ○25x(x-3)=6-2x ○32(x +2)(x -1)=(x +2)(x +4)○4025)2(10)2(2=++-+x x ○542)2)(1(+=++x x x ○60)4()52(22=+--x x（3）用配方法解一元二次方程：○1x(x+4)=8x+12 ○226120x x --= ○30223)12(22=-+-+x x（4）用公式法解一元二次方程：○123520x x -+= ○5(3)(1)2x x +-=- ○112x 2-33x+130=0（5）选择适当的方法解下列方程:○122(2)9x x -= ○22299990x x +-= ○32(101)10(101)90x x +-++=○42690x x -+= ○5x(37)2x x -= ○6}113111[1()]222323x x x x ⎧--+-+=⎨⎩三.一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式：把ac b 42-=∆叫做一元二次方程：02=++c bx ax （0≠a ）的根的判别式.利用根的判别式可以不解方程判别一元二次方程跟的情况：20(1)00(2)400.b ac ∆>⇔⎧∆≥⇔⎨∆=⇔⎩∆=-∆<⇔当时方程有两个不相等的实根；当时方程有两个实数根；当时方程有两个相等的实数根；当的值小于时，即：时方程无实数根例1.不解方程判断下列方程跟的情况：（1）08822=+-x x （2）24120x x +-= （3）20232=+-x x解：（1）方程中：a=2,b=-8,c=8，∆=ac b 42-=(-8)2-4×2×8=64-64=0∵∆=0 ∴原方程有两个相等的实数根.（2）方程中：a=1,b=4,c=-12，∆=ac b 42-=(4)2-4×1×（-12）=16+48=64 ∵∆>0 ∴原方程有两个不相等的实数根.（3）方程中：a=2,b=-3,c=2，∆=ac b 42-=(-3)2-4×2×2=9-16=-7∵∆<0 ∴原方程无实数根.例2.关于x 的一元二次方程（m －1）x 2－2（m －3）x ＋m ＋2＝0有实数根，求m 的取值范围.解：当m －1≠0时, 即：m 1≠时，该方程是关于x 一元二次方程.∵原方程有实数根∴0≥∆，即：Δ＝［－2（m －3）］2－4（m －1）（m ＋2）＝－28m ＋440≥ 解得：711≤m ∴m 的取值范围是711≤m 且m 1≠. 例3. 求证：关于x 的一元二次方程2(2)2(1)10k x k x k --+－＋＝(k 3)≤总有实数根. 证明：∵224=[2(1)]4(2)(1)4(3)b ac k k k k ∆=-----+=-且k 3≤，∴总有0≥∆ ∴关于x 的一元二次方程2(2)2(1)10k x k x k --+－＋＝(k 3)≤总有实数根.四.一元二次方程根与系数的关系1.定理：设一元二次方程02=++c bx ax (0≠a 且042≥-ac b )的两个根分别为1x 和2x ，则：ab 2x 1x -=+； a 2x 1xc =• 特别地：对于一元二次方程20x px q ++=，根与系数的关系为：12x x p +=-； 12x x q =注：○1此定理成立的前提是0∆≥．也就是说必须在方程有实．．数根．．时才可使用. ○2此定理在其他一些数学书籍中也叫做韦达定理。
《一元二次方程》总复习、练习、中考真题【题型解析】
一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0〕。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a〕2=b〔b≥0〕的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
x+a= ± b ∴ x1 =-a+ b x2 =-a- b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0〕的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a〕2=b 的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，那么原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是x = - b ± b 2 - 4ac (b2－4ac≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形2a式；②确定 a，b，c 的值；③求出 b2－4ac 的值，当 b2－4ac≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：假设ab=0，那么 a=0 或b=0。
步骤是：①将方程右边化为 0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的考前须知：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c 的值；②假设b2－4ac＜0，那么方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4) 2 =3〔x＋4〕中，不能随便约去 x＋4。
(完整版)一元二次方程知识点总结
一元二次方程1.一元二次方程的定义及一般形式：（1）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（2）一元二次方程的一般形式：20(0)++=≠。
其中a为ax bx c a二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。
2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：形如2+=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接()(0)x a b b开平方得=-。
x a+=或者x a+=∴x a注意：若b<0，方程无解（2）因式分解法：一般步骤如下：①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。
（3）配方法:用配方法解一元二次方程20(0)++=≠的一般步骤ax bx c a①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； ③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为2()(0)x m n n +=≥的形式；④用直接开平方法解变形后的方程。
注意：当0n <时，方程无解（4） 公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 根的判别式：24b ac ∆=-0∆>⇔方程有两个不相等的实根:x =240b ac -≥）⇔()f x 的图像与x 轴有两个交点 0∆=⇔方程有两个相等的实根⇔()f x 的图像与x 轴有一个交点 0∆<⇔方程无实根⇔()f x 的图像与x 轴没有交点3. 韦达定理（根与系数关系）我们将一元二次方程化成一般式ax 2+bx+c ＝0之后，设它的两个根是1x 和2x ，则1x 和2x 与方程的系数a ，b ，c 之间有如下关系：1x +2x ＝b a -； 1x •2x ＝c a4.一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系； ②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
人教版九年级上册数学第21章一元二次方程知识点复习总结
一元二次方程知识点复习总结1. 一元二次方程的一般形式:a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、c ；其中 a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式:当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：Δ＞0 <=> 有两个不等的实根；Δ=0 <=> 有两个相等的实根；Δ＜0 <=> 无实根；Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.4. 一元二次方程的根系关系：当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：.ac x x ab x x )2(a2ac4bbx )1(212122,1，；※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题：(以下等价关系要求会用公式acx x a bx x 2121，；Δ=b 2-4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数ab = 0且Δ≥0 b = 0且Δ≥0；（2）两根互为倒数a c =1且Δ≥0 a = c 且Δ≥0；（3）只有一个零根a c = 0且a b ≠0 c = 0且b ≠0；（4）有两个零根a c = 0且a b = 0c = 0且b=0；（5）至少有一个零根a c =0 c=0；（6）两根异号a c ＜0 a 、c 异号；（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值a c ＜0且a b ＞0a 、c 异号且a 、b 异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值a c ＜0且a b ＜0a 、c 异号且a 、b 同号；（9）有两个正根a c ＞0，ab ＞0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；（10）有两个负根ac ＞0，ab ＜0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 同号且Δ≥0.6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.ax 2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 或 ax 2+bx+c=a2ac4bb xa2ac4bb xa 22.7．求一元二次方程的公式：x 2-（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0.注意：所求出方程的系数应化为整数.8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x ）：(1)第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.（2）常利用以下相等关系列方程：第一年+第二年+第三年=总和.9．分式方程的解法：.0)1(），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母两边同乘最简去分母法.0.2分母，值验增根代入原方程每个换元凑元，设元，换元法）（10. 二元二次方程组的解法：.0)3(0)2(0)4(0)1(0)4(0)2(0)3(0)1(0)4)(3(0)2)(1()3(;02;1分组为应注意：的方程）（）（中含有能分解为方程组）分解降次法（程中含有一个二元一次方方程组法）代入消元（※11．几个常见转化：；；或；；；)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x1x(x1x2)x1x(x1xx x 4)x x ()x x (x x 2)x x (xx )1(2121221221212122122121222222212212212122122214x x .22x x 2x x .12x x )2(221212121）两边平方为（和分类为；.,)2(34x x 34x x )1()916x x (34x x )3(2121222121因为增加次数两边平方一般不用和分类为或；.0x ,0x :.1x x Bsin A cos ,1Acos Asin ,90BAB sin x ,A sin x )4(2122212221注意隐含条件可推出由公式时且如.0x ,0x :.x ,x ),,(,x ,x )5(212121注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式面积例如几何定理，相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长.k ,)6(”辅助未知元“引入些线段的比，并且可把它们转化为某比例式、等积式等条件角三角形、三角函数、如题目中给出特殊的直.,;,)7(知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值少一个时，一方程个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个。
初中数学一元二次方程知识点汇总,基础全面考前必掌握
初中数学一元二次方程知识点汇总，基础全面考前必掌握一、一元二次方程的定义及一般形式：只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程。
一元二次方程的一般形式：ax^{2}＋bx+c =0 (a≠0)，其中a 为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
因此，一元二次方程必须满足以下3个条件：① 方程两边都是关于未知数的等式② 只含有一个未知数③ 未知数的最高次数为2如： 2x^{2}-4x+3=0 ， 3x^{2}=5 为一元二次方程，而像就不是一元二次方程。
二、一元二次方程的特殊形式（1）当b=0，c=0时，有： ax^{2} =0，∴ x^{2} =0，∴x=0（2）当b=0，0≠0时，有： ax^{2}+c=0 ，∵a≠0，此方程可转化为：①当a与c异号时， -\frac{c}{a}>0 ，根据平方根的定义可知，x=±\sqrt{-\frac{c}{a}} ，即当b=0，c≠0，且a与c 异号时，一元二次方程有两个不相等的实数根，这两个实数根互为相反数。
②当a与c同号时， -\frac{c}{a}<0 ，∵负数没有平方根，∴方程没有实数根。
（3）当b≠0，c＝0时，有 ax^{2}+bx=0 ，此方程左边可以因式分解，使方程转化为x（ax+b）=0，即x=0或ax+b=0，所以x1=0，x2=-b/a。
由此可见，当b≠0，c＝0时，一元二次方程 ax^{2}+bx=0 有两个不相等的实数根，且两实数根中必有一个为0。
三、一元二次方程解法：1.第一步:解一元二次方程时，如果没有给出一元二次方程的通式，先将其化为一元二次方程的通式，再确定求解的方法。
2. 解一元二次方程的常用方法：（1）直接开方法：把一元二次方程化为一般式后，如果方程中缺少一次项，是一个形如ax2+c=0的方程时，可以用此方法求解。
解法步骤：①把常数项移到等号右边， ax^{2}=-c ；②方程中每项都除以二次项系数， x^{2}=-\frac{c}{a} ；③开平方求出未知数的值：x=±\sqrt{-\frac{c}{a}}(2)因式分解法:将一元二次方程化为通式后，如果方程左边的多项式可以因式分解，就可以用这种方法求解。
初中数学一元二次方程知识点总结(含习题)
初中数学一元二次方程知识点总结(含习题)一元二次方程知识点的总结知识结构梳理：1、概念1) 一元二次方程含有一个未知数。
2) 未知数的最高次数是2.3) 是方程。
4) 一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0.2、解法1) 因式分解法，适用于能化为(x+m)(x+n)=0的一元二次方程。
2) 公式法，即把方程变形为ax²+bx+c=0的形式，一元二次方程的解为x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)。
3) 完全平方式，其中求根公式是(x±a)²=b，当时，方程有两个不相等的实数根。
4) 配方法，其中求根公式是(x±a)(x±b)=0，当时，方程有两个实数根。
5) 二次函数图像法，当时，方程有没有实数根。
3、应用1) 一元二次方程可用于解某些求值题。
2) 一元二次方程可用于解决实际问题的步骤包括：列方程、化简方程、解方程、检验答案。
知识点归类：考点一：一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2.考点二：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
考点三：解一元二次方程的方法一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
解一元二次方程的方法包括因式分解法、公式法、完全平方式、配方法和二次函数图像法。
解一元二次方程有四种常用方法：直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法。
选择哪种方法要根据具体情况而定。
直接开平方法是解形如x²=a的方程的方法，解为x=±√a。
配方法是将方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，然后用因式分解法或直接开平方法解方程。
人教版九年级数学：一元二次方程知识点总结及基础题型
一元二次方程知识点一：一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数〔一元〕，并且未知数的最高次数是2〔二次〕的方程叫做一元二次方程，一般形式是),,,0(02为常数c b a a c bx ax ≠=++类型：()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠=++≠=+≠=+≠=000000002222a c bx ax a c ax a bx axa ax ④③②①判断一元二次方程的步骤例1：1.以下方程时一元二次方程的是 ①2032=+x x ；①04322=+-xy x ；①412=-x x ；①02=x ；①0332=+-xx ⑥x 2﹣1=y ⑦〔x+2〕〔x+1〕=x 2 ⑧ 6x 2=5 ⑨⑩2x +3x +y=0 ；⑪ x+y+1=0 ；⑫ 213122+=+x x ； ⑬ 0512=++x x⑭；⑮3y 2﹣2y=﹣1；⑯2x 2﹣5xy+3y 2=0；⑰⑱ 2x 2+3=3；⑲ x 2+5x =0；⑳ x 2+4xy?10=0；① √x +2x =3；① 2x (x −3)=2x 2+1； ① 1x +2x =x?6；① 2x 2+1=12x ；① abx 2+(a +b )x +1=0；① x 2−3√3x +4=0；1.把方程化成一般形式),,,0(02为常数c b a a c bx ax ≠=++2.最高次数=2① px 2+qx +m =0〔p ≠0〕．2．关于x 的方程mx 2+3x=x 2+4是一元二次方程，那么m 应满足条件是 _________ ．3．关于x 的一元二次方程ax 2﹣3x+2=0中，a 的取值范围是 _________ ．4．当m= _________ 时，方程〔m 2﹣1〕x 2﹣mx+5=0不是一元二次方程．5．假设关于x 的方程〔k ﹣1〕x 2﹣4x ﹣5=0是一元二次方程，那么k 的取值范围是__________ 例2：当=m 时，方程072)1(1=-+-+x x m m 为一元二次方程 6．假设是关于x 的一元二次方程，那么a= _________ ．7．假设关于x 的方程〔m ﹣1〕﹣mx ﹣3=0是一元二次方程，那么m= _________ ．8．当k= _________ 时，〔k ﹣1〕﹣〔2k ﹣1〕x ﹣3=0是关于x 的一元二次方程．9．方程〔m+2〕x |m|+3mx+1=0是关于x 的一元二次方程，那么m=__________10．关于x 的方程〔m ﹣2〕x |m|﹣mx+1=0是一元二次方程，那么m=___________ 知识点二：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是),,,0(02为常数c b a a c bx ax ≠=++，其中2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项①0≠a ；①指出二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号 ①一元二次方程化为一般形式时，假设没出现一次项bx ，并不是没有，而是0=b 例3： 把方程〔1〕()()1231=+-x x 〔2〕x (x −2)=4x 2−3x 〔3〕(x +8)2=4x +(2x −1)2〔4〕x23−x+12=−x−12化为一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是_______________ 142=+xx的二次项系数，一次项系数，常数项分别是3.一元二次方程2x－3x = 4的一般形式是，一次项系数为。
一元二次方程中考考点
一元二次方程中考考点
一、基本形式和定义
一元二次方程的基本形式是ax²+bx+c=0（a，b，c 是常数，且a≠0）。
一元二次方程的定义是指只有一个未知数，且未知数的最高次数为2 的整式方程。
二、解法
直接开平方法：对于形如ax²=b（a，b 是常数，a≠0）的方程，可以使用直接开平方法求解。
方程两边同时开平方，即可得到x 的值。
因式分解法：将方程右边化为0，左边分解因式，然后利用两数相乘积为0，则两因式中至少有一个为0 的规律，再进一步求解。
公式法：利用求根公式x=（-b±√（b²-4ac）/2a）求解。
求根公式是解决一元二次方程问题的核心，要熟练掌握。
三、根的判别式
根的判别式Δ=b²-4ac，它可以帮助我们判断方程的根的情况。
当Δ>0 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0 时，方程有两个相等的实数根；当Δ
<0 时，方程没有实数根。
四、应用
一元二次方程在中考中多以实际问题的形式出现，如距离、面积、商品定价等问题。
解决这类问题时，需要将实际问题转化为数学问题，再利用数学方法进行求解。
在解题过程中，要充分理解题意，找出等量关系，列出方程并求解。
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一元二次方程
1.一元二次方程的定义及一般形式：
（1）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（2）一元二次方程的一般形式：20(0)
++=≠。
其中a为
ax bx c a
二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。
2.一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：
形如2
+=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接
()(0)
x a b b
开平方得
+=或者x a+=∴x a
x a
=-。
注意：若b<0，方程无解
（2）因式分解法：
一般步骤如下：
①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；
②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；
③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。
（3）配方法:
用配方法解一元二次方程20(0)
++=≠的一般步骤
ax bx c a
①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； ③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程
化为2()(0)x m n n +=≥的形式；
④用直接开平方法解变形后的方程。
注意：当0n <时，方程无解
（4） 公式法：
一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 根的判别式：24b ac ∆=-
0∆>⇔方程有两个不相等的实根:x =240b ac -≥）
⇔()f x 的图像与x 轴有两个交点 0∆=⇔方程有两个相等的实根⇔()f x 的图像与x 轴有一个交点 0∆<⇔方程无实根⇔
()f x 的图像与x 轴没有交点
3. 韦达定理（根与系数关系）
我们将一元二次方程化成一般式ax 2+bx+c ＝0之后，设它的两个根是1x 和2x ，则1x 和2x 与方程的系数a ，b ，c 之间有如下关系：
1x +2x ＝b a -； 1x •2x ＝c a
4.一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似
①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系； ②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；
③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
④“解”就是求出说列方程的解；
⑤“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。
注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。
五．典型例题
1、下列方程中，是一元二次方程的是：（ ）
A 、2x +3x +y=0 ；
B 、 x+y+1=0 ；
C 、 213122+=+x x ；
D 、0512=++x x
2、关于x 的方程（2a +a －2）2x +ax+b=0是一元二次方程的条件是（ ）
A 、a ≠0 ；
B 、 a ≠－2 ；
C 、 a ≠－2且 a ≠1 ；
D 、a ≠1
3、一元二次方程2x －3x = 4的一般形式是 ，一次项系数为 。
4、方程2x = 225的根是 。
5、方程32x －5 x=0的根是 。
6、（2x －24x + ） =（x － ）2。
7、一元二次方程a 2x +bx +c=0（a ≠0）有一个根为1，则a+b +c= 。
8、关于x 的一元二次方程m 2x －2x +1= 0有两个相等实数根，则m= 。
9、已知1x ,2x 是方程22x +3x －4=0的两个根，那么1x + 2x = , 1x × 2x = 。
10、若三角形其中一边为5cm ，另两边长是01272=+-x x
两根，则
三角形面积为 。
11、用适当的方法接下列方程。
（1）、（x+3）（x－1） = 5
（2）、（3x－2）2 =（2x－3）（3)、（2x－1）2 =3（2x + 1）
(4)、 32x－10x +6=0
12、若两个连续偶数的积是288，求这两个偶数。
13、从一块长80cm ，宽60cm 的长方形铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方形四周宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度？
14、已知关于x 的方程
03522=-++p x x 的一个根是4-，求方程的另一个根和p 的值．。