求解离心率的范围问题

求解离心率的范围问题离心率的范围问题是高考的热点问题，各种题型均有涉及，因联系的知识点较多，且处理的思路和方法比较灵活，关键在于如何找到不等关系式，从而得到关于离心率的不等式，进而求其范围.很多同学掌握起来比较困难，本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳.一、【知识储备】求离心率的方法离心率是刻画圆锥曲线几何特点的一个重要尺度.常用的方法：（1）直接求出a 、c ，求解e ：已知标准方程或a 、c 易求时，可利用离心率公式ace =来求解； （2）变用公式，整体求出e ：以椭圆为例，如利用e ===e == （3）构造a 、c 的齐次式，解出e ：根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造出a 、c 的齐次式，进而得到关于e 的方程，通过解方程得出离心率e 的值. 二、求解离心率的范围的方法1 借助平面几何图形中的不等关系根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值 等得到不等关系，然后将这些量结合曲线的几何性质用,,a b c 进行表示，进而得到不等式，从而确定离心率 的范围.【例1】 已知椭圆的中心在O ,右焦点为F ，右准线为l ，若在l 上存在点M ，使线段OM 的垂直平分线经过点F ，则椭圆的离心率的取值范围是_____________.【答案】：⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 x【点评】离心率的范围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系可以利用方程和垂直平分线性质构建.利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化.【牛刀小试】已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是______________.【答案】2[,1)2【解析】椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA,PB ，则两切线形成的角APB ∠最小，若椭圆1C 上存在点P 令切线互相垂直，则只需090APB ∠≤，即045APO α=∠≤， ∴02sin sin 452b a α=≤=，解得222a c ≤，∴212e ≥，即22e ≥，而01e <<， ∴212e ≤<，即2[2e ∈. 2借助题目中给出的不等信息根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，∆的范围等，进一步得到离心率的不等关系式，从而求解.Bo F 1FAxy【例2】 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点O 的对称点为,B F 为其右焦点，若,AF BF ⊥设,ABF α∠=且,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则椭圆离心率的取值范围是 . 【答案】26[,]23【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式2sin 2cos 2c c a αα+=，然后借助已知条件,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦利用三角函数的图象求解离心率的范围. 【牛刀小试】过椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若31＜k ＜21, 则椭圆的离心率的取值范围是.【答案】(32,21)【解析】如图所示：2AF a c =+|，222a c BF a-=，()2222222tan a c BF a c a k BAF AF a c a a c --=∠===++， 又∵31＜k ＜21，∴()221132a c a a c -<<+，∴2111312e e -<<+，解得1223e <<．3 借助函数的值域求解范围根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式，通过确定函数的定义域后，利用函数求值域的方法求解离心率的范围.【例3】已知椭圆221:12x y C m n -=+与双曲线222:1x y C m n+=有相同的焦点，则椭圆1C 的离心率e 的取值范围为_________________. 【答案】2(,1)2【点评】本题根据题设“相同的焦点”建立等量关系，得到函数关系式21112e m =-+，进而根据m 的范围，借助反比例函数求解离心率的范围.【牛刀小试】已知两定点(2,0)A -和(2,0)B ，动点(,)P x y 在直线:3l y x =+上移动，椭圆C 以,A B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为______________.【答案】26【解析】由题意可知，2c =，由2c e a a==可知e 最大时需a 最小，由椭圆的定义||||2PA PB a +=，即使得||||PA PB +最小，如图，设(2,0)A -关于直线3y x =+的对称点(,)D x y ，由11202322y x y x -⎧⋅=-⎪⎪+⎨+-+⎪=+⎪⎩，可知(3,1)D -. 所以22||||||||||1526PA PB PD PB DB +=+≥=+=，即226a ≥，所以262a ≥，则2626c e a=≤=. 4 根据椭圆或双曲线自身的性质求范围在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质，如椭圆()2222100x y a b a b+=>>，中，a x a -≤≤，P 是椭圆上任意一点，则1a c PF a c -≤≤+等。

【例4】设12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，且12||2F F c =，若椭圆上存在点P 使得212||||2PF PF c ⋅=，则椭圆的离心率的最小值为______．【答案】33【点评】P 为椭圆上的一点是本题的关键条件，根据圆锥曲线的共同特征把212||||2PF PF c ⋅=转化成基本量a ，c ，e 与0x 的关系式，结合椭圆的范围，即可得到e 的不等式，从而求出其最小值．【牛刀小试】已知12,F F 分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若212PF PF 的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是__________.【答案】(]1,3【解析】本题以双曲线为素材，综合考查双曲线的离心率和函数的最值，难度中等．设2||PF t =，则1||2PF a t =+，t c a ≥-．又22212||(2)448||PF a t a t a a PF t t+==++≥，当且仅当2t a =时，等号成立．所以2c a a -≤，所以13e <≤．通过以上类型的分析，灵活多变的离心率范围问题是一个棘手问题，需要通过必要的练习进行方法和思路的寻找，并且培养对题目中的不等关系的灵敏的感知和转化.【迁移运用】1．【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，1B ，2B 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若21B F AB ⊥，则椭圆C 的离心率是 ．【答案】51-y（第10题） xO FA B 2B 12．【江西南昌市2017届摸底考试，10】若圆22(3)(1)3x y -+-=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为 。

【答案】233【解析】试题分析：由题意得|3|23332b a c a b c b e a +=⇒=⇒=⇒==. 考点：直线与圆相切，双曲线离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3．【河北省衡水中学2017届高三摸底联考，9】焦点在x 轴上的椭圆方程为 ()222210x y a b a b+=>>，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为3b，则椭圆的离心率为 . 【答案】12考点：椭圆的标准方程与几何性质.4.【山东省肥城市2017届高三上学期升级统测，14】在平面直角坐标系xOy 中, 若双曲线22214x y m m -=+5则m 的值为 ． 【答案】2 【解析】试题分析：由题意得245m m m m++>= 2.m =考点：双曲线离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.5．【云南省、四川省、贵州省2017届高三上学期百校大联考数学，11】如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，1A ，2A ，1B ，2B 为椭圆的顶点，2F 为右焦点，延长12B F 与22A B 交于点P ，若12B PB ∠为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是【答案】51(0,)- 【解析】考点：椭圆的性质. 学科网【思路点睛】根据12B PB ∠为22B A u u u u u r 与21F B u u u u r 的夹角，并分别表示出22B A u u u u u r 与21F B u u u u r，由∠B 1PB 2为钝角，222210B A F B ac b =-+>u u u u u r u u u u rg ，利用椭圆的性质，可得到210e e +-<，即可解得离心率的取值范围．6．【河北邯郸2017届9月联考，11】如图，1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右两个焦点，若直线y x =与双曲线C 交于P 、Q 两点，且四边形12PF QF 为矩形，则双曲线的离心率为 .【答案】22+考点：1、双曲线的简单几何性质；2、双曲线的概念．学科网【思路点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质和双曲线的概念，考查学生综合知识能力和图形识别能力， 数中档题.其解题的一般思路为：首先根据矩形的性质并将直线y x =代入双曲线C 方程中即可得出点P 的坐标，再由矩形的几何性质可得c ab b a =-⋅22222，最后可得出所求的结果.其解题的关键是正确地运用 矩形的几何性质求解双曲线的简单几何性质.7．【山东省实验中学2017届高三第一次诊，15】过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点F 作渐进线的垂线，设垂足为P （P 为第一象限的点），延长FP 交抛物线22y px =（0p >）于点Q ，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若1()2OP OF OQ =+u u u r u u u r u u u r，则双曲线的离心率的平方为 ．【答案】51+考点：双曲线定义【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.8．【河南百校联考2017届高三9月质检，16】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，,A B 是圆()2224x c y c ++=与C 位于x 轴上方的两个交点，且12//FA FB ，则双曲线C 的离心率为______________． 【答案】3174+考点：双曲线定义及离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.9．【2016届安徽省六安一中高三上第五次月考】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF BF ⊥，设ABF α∠=，且[,]126ππα∈，则该椭圆的离心率e的取值范围为________________.【答案】6[31,]3-【解析】把x c=代入椭圆方程解得2bya=±，取2(,)bA ca，则2(,)bB ca--；由图可知222,tan,tan22bb baOBF AOF OFB AOF OFBac c ac∠=∠-∠∠=∠==，所以tan tan OBFα=∠()2222441tan tan1tan tan21e eAOF OFB acbAOF OFB a c b e-∠-∠===+∠⋅∠++；又[,]126ππα∈，所以323tan3α-≤≤，即()24132313e ee--≤≤+，解得6313e-≤≤．10．【2016届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试】已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为21,FF，这两条曲线在第一象限的交点为P，21FPF∆是以1PF为底边的等腰三角形．若101=PF，椭圆与双曲线的离心率分别为21,ee，则21ee的取值范围是______________.【答案】（31，+∞）11．【2016届四川省成都市七中高三11月阶段测试】已知12,F F是双曲线22221x ya b-=(0,0)a b>>的左、右两个焦点，以线段12F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N （点M ，N 均在第一象限），当直线1MF 与直线ON 平行时，双曲线离心率取值为0e ，则0e 所在区间为______________. 【答案】(1,2)【解析】因为2220c c a b e a =+=， ，双曲线的渐近线方程为b y x a=，与圆222x y c += 联立，得()M a b ， ，与双曲线方程()222210b x y a b a ->>=联立，得交点222242222,a c a b c a c a b N c c ⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭， 即22222,a c a c a N c c ⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭，直线1MF 与直线ON 平行时，即有22222b c a a c a c a -=+- ，即()()()2222222a c ca a c a +-=- ，即有32232220c ac a c a +--= ，即有320002220e e e +--= ，令()32222f x x x x =+-- ，由于()()()()()1020302030f ff f f ＜，＞，＞，＞，＞ ，则()012e ∈，．学科网12．【2016届湖南师范大学附中高三上学期月考】如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，1212,,,A A B B 为椭圆顶点，2F 为右焦点，延长12B F 与22A B 交于点P ，若12B PA ∠为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是______________.【答案】51,12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭13．【2016届浙江省绍兴市一中高三上学期期中】若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上不存在点P 使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y轴上，则该双曲线离心率的取值范围为__________．【答案】(1,2]【解析】若点F关于直线OP的对称中心在y轴上，则1OPk=，根据题意，不存在这样的点P，∴双曲线渐近线的斜率2222222122(1,2]b cb a a b ac a ea a≤⇒≤⇒+≤⇒≤⇒=∈．14．椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且|PF1→|·|PF2→|的最大值的取值范围是[2c2,3c2]，其中c＝a2－b2，则椭圆M的离心率e的取值范围是_____________.【答案】[33，22]【解析】∵|PF1→|＋|PF2→|＝2a，∴|PF1→|·|PF2→|≤(|PF1→|＋|PF2→|2)2＝a2.当且仅当|PF1→|＝|PF2→|＝a时，等号成立，∴2c2≤a2≤3c2，∴2e2≤1≤3e2.∴13≤e2≤12，即33≤e≤22.15．已知点F1、F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是___________.【答案】(1＋2，＋∞)【解析】依题意，0<∠AF2F1<π4，故0<tan∠AF2F1<1，则b2a2c＝c2－a22ac<1，即e－1e<2，e2－2e－1<0，(e－1)2<2，所以1<e<1＋ 2.16．.从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b2,4b2]，则这一椭圆离心率e的取值范围是________．【答案】[53，32]17.【2016届安徽省六安一中高三上第五次月考】已知P是椭圆2222111x ya b+=11(0)a b>>和双曲线2222221xy a b -=22(0,0)a b >>的一个交点，12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，12,e e 分别为椭圆和双曲线的离心率，1223F PF π∠=，则1211e e ⋅的最大值为 ．【答案】2318．在平面直角坐标系中，已知点2,2)F 及直线:20l x y +-=，曲线1C 是满足下列两个条件的动点(,)P x y 的轨迹：①2,PF d =其中d 是P 到直线l 的距离；②00.225x y x y >⎧⎪>⎨⎪+<⎩(1) 求曲线1C 的方程;(2) 若存在直线m 与曲线1C 、椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>均相切于同一点，求椭圆2C 离心率e 的取值范围.【解析】（1）2222(2)(2)22()4PF x y x y x y =-+-=+-++22x y d +-=，由①2,PF d =得：222222()4222()2x y x y x y xy x y +-++=++-++，即 1.xy =将1xy =代入②得：1150,0,2x x x x >>+<， 解得：12.2x << 所以曲线1C 的方程为：1y x =1(2).2x << （2）(解法一)由题意，直线m 与曲线1C 相切，设切点为1(,)M t t， 12.2t << 则直线m 的方程为2111()()()y x t x t x t t x t'-=⨯-=--=，即212.y x t t =-+将212y x t t=-+代入椭圆2C 的方程222222b x a y a b +=，并整理得： 242222222()4(4)0.b t a x a tx a b t t +-+-=（2）(解法二)设直线m 与曲线111:(2)2C y x x =<<、椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>> 均相切于同一点1(,),M t t则22221 1.t a b t +=由1y x =知21y x'=-;由22221(0)x yya b+=>知221xy ba=-,222222222.211xb xaya yx xaa a-'==-=---。