求离心率取值范围—常见6法_

所以
又
，所以
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，
即
得
，即
又
，故 的取值范围
是
二、利用圆锥曲线的焦点和曲线上一点构成的“焦三角形”三边大小关系，构造关于
a,b,c 不等式
例 2 已知双曲线 是双曲线左支上一点，并且
左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 l, P
，由双曲线第二定义得
，
所以
. ①由又曲线第一定义得
②由①-②得
在
中，
所以
求离心率取值范围—常见 6 法
在圆锥曲线的诸多性质中，离心率经常渗透在各类题型中。离心率是描述圆锥曲线“扁 平程度”或“张口大小”的一个重要数据，在每年的高考中它常与“定义”、“焦点三角形”等联 系在一起。因此求离心率的取值范围，综合性强，是解析几何复习的一个难点。笔者从事高 中数学教学二十余载，积累了六种求解这类问题的通法，供同仁研讨。
一、利用椭圆上一点 P(x,y)坐标的取值范围，构造关于 a,b,c 的不等式
例 1 若椭圆
上存在一点 P，使
为椭圆的右顶点，求椭圆离心率 e 的取值范围。
解：设
为椭圆上一点，则
，其中 0 为原点，A
P，所以
.
① 因为
，所以以 OA 为直径的圆经过点
.
② 联立①、②消去 并整理得
当
时，P 与 A 重合，不合题意，舍去。
，
即
.又 ，从而解得 的取值范围是
。
三、利用圆锥曲线的“焦三角形”+余弦定理+均值不等式
例 3 设椭圆 取值时，椭圆上存在点 P，使
的两焦点为 F1、F2，问当离心率 E 在什么范围内 =120°.
解：设椭圆的焦距为 2c，由椭圆的定义知
.
在
中，由余弦定理得
= 所以
=（
所以
.
又
，故 的取值范围是
四、利用圆锥曲线的定义，结合完全平方数（式）非负的属性构造关于 a,b,c 的不等式
例 4 如图 1，已知椭圆长轴长为 4，以 y 轴为准线，且左顶点在抛物线
求椭圆离心率 e 的取值范围。
上，
解：设椭圆的中心为 ，并延长交 y 轴于 N，则 =
因为
，所以
。所以
所以椭圆离心率 的取值范围为 五、将题中已知不等关系巧妙转化为关于 a,b,c 的不等式
例 5 已知椭圆
的两焦点为 F1、F2，斜率为 K 的直线 过右焦
上存在一点 P，使
A 为椭圆的右顶点，求椭圆离心率 e 的取值范围。
解：设 P（
），由
，
，其中 O 为原点，
得
，
即（
①
解得
当
因此要使①有解，需
，
即
.
又
，故 e 的取值范围是
总之，求圆锥曲线的离心率范围首先从定义出发，利用圆锥曲线上点坐标的范围和焦三 角形的三边大小 关系，结合参数方程中三角函数有界性和均值不等式，有时也常常转化为 一元二次方程利用判别式或者完全平方数（式），具体问题具体对待，贵在划归转化。
点 F2，与椭圆交于 A、B，与 Y 轴交于 C，B 为 CF2 的中点，若 的取值范围。
，求椭圆离心率 e
解 ： 设 F2 (C,0),直 线
则
，代入椭圆方程得
.
又
所以
，所以
，
解得
因为
，所以
解
得
，所以
六、利用圆锥曲线参数方程设点，结合正余弦函数的有界性，构造关于 a,b,c 的不等式
例 6 若椭圆