高考数学专题复习——求解圆锥曲线离心率的取值范围
专题06 圆锥曲线离心率及范围问题(解析版)
专题6 圆锥曲线离心率及范围问题离心率在圆锥曲线问题中有着重要应用，它的变化会直接导致曲线类型和形状的变化，同时它又是圆锥曲线统一定义中的三要素之一．有关求解圆锥曲线离心率的试题在历年高考试卷中均有出现．关于圆锥曲线离心率（范围）问题处理的主体思想是：建立关于一个,,a b c的方程（或不等式），然后再解方程或不等式，要注意的是建立的方程或不等式应该是齐次式．一般建立方程有两种办法：○1利用圆锥曲线的定义解决；○2利用题中的几何关系来解决问题。
另外，不能忽略了圆锥曲线离心率的自身限制条件(椭圆、双曲线离心率的取值范围不一致)，否则很容易产生增根或者扩大所求离心率的取值范围．一、圆锥曲线的离心率方法1：利用定义法求离心率知识储备：椭圆和双曲线的第一定义。
方法技巧：一般情况题中出现圆锥曲线上的点与焦点联系在一起时，尽量转化为定义去考虑，会更简单！例1.（2015年浙江15题）椭圆22221x ya b+=（0a b>>）的右焦点(),0F c关于直线by xc=的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是．法一：（当时网上的主流解法）大家上网看到的基本上就是这种解法，此方法入手很容易，但是后期的运算量会很大，并且此题高次方程的因式分解要求很高（对大部分学生来说高次方程分解本来就是一个盲区）。
【解析】设左焦点为1F ，由F 关于直线by x c=的对称点Q 在椭圆上， 得到OM QF ⊥且M 为QF 中点，又O 为F 1F 的中点，所以OM 为中位线，且1F Q QF ⊥。
由点到线的距离公式计算得到:,bc MF a=再由tan b FOM c ∠=得到：2c OM a =. 所以2,bcQF a=212c QF a =, 据椭圆定义：12QF QF a +=得到：2222bc c a a a+=，化简得： b c =，即22e =．通过比较我们发现法二（定义法）计算过程更加简洁，不易出错。
我在给学生讲题的时候学生经常会问我，哪个时候用定义法，其实大家只要看到有曲线上的点和焦点有联系时，就可以往定义法多思考一些。
高三数学备考冲刺140分问题求圆锥曲线离心率或离心率范围含解析
问题33求圆锥曲线离心率或离心率范围一、考情分析离心率的范围问题是高考的热点问题,各种题型均有涉及,因联系的知识点较多,且处理的思路和方法比较灵活,关键在于如何找到不等关系式,从而得到关于离心率的不等式,进而求其范围.很多同学掌握起来比较困难,本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳. 二、经验分享离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．2.要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a ，c 的齐次式，进而求解.(2)要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征||PF 1＋||PF 2≥2c的运用 三、知识拓展1.在求椭圆()222210x y a b a b+=>>离心率范围时常用的不等关系：,x a y b ≤≤，a c FP a c -≤≤+，b OP a ≤≤（P 为椭圆上一点）2.在双曲线()222210,0x y a b a b +=>>中，c e a == 四、题型分析(一) 借助平面几何图形中的不等关系根据平面图形的关系,如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值 等得到不等关系,然后将这些量结合曲线的几何性质用,,a b c 进行表示,进而得到不等式,从而确定离心率 的范围.【例1】已知两定点()1,0A -和()1,0B ,动点(),P x y 在直线:3l y x =+上移动,椭圆C 以,A B 为焦点且经过点P ,则椭圆C 的离心率的最大值为（ ）A D【答案】A【解析】()1,0A -关于直线:3l y x =+的对称点为()3,2A '-,连接A B '交直线l 于点P ,则椭圆C 的长轴长的最小值为25A B '=,所以椭圆C 的离心率的最大值为1555c a ==,故选A. 【点评】求解本题的关键是利用对称性求距离的最小值【小试牛刀】已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=,若在椭圆1C 上存在点P,使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直,则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ） A ．1[,1)2B ．23[,]C ．2[,1)D ．3[,1) 【答案】C【解析】椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA,PB,则两切线形成的角APB ∠最小,若椭圆1C 上存在点P 令切线互相垂直,则只需090APB ∠≤,即045APO α=∠≤, ∴02sin sin 452b a α=≤=解得222a c ≤,∴212e ≥,即22e ≥,而01e <<, ∴212e ≤<,即2,1)2e ∈. (二) 借助题目中给出的不等信息根据试题本身给出的不等条件,如已知某些量的范围,存在点或直线使方程成立,∆的范围等,进一步得到离心率的不等关系式,从而求解.【例2】 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点O 的对称点为,B F 为其右焦点,若,AF BF ⊥设,ABF α∠=且,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则椭圆离心率的取值范围是 .【答案】26[【解析】左焦点为1F .连结11,AF BF 可得四边形1AF BF 是矩形,所以AO OF OB c ===.所以2AB c =又,AF BF ⊥所以. 2sin ,2cos AF c BF c αα==.又因为1AF BF =,12AF AF a +=.所以2sin 2cos 2c c a αα+=.即11sin cos 2)4c a πααα==++.因为,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以62)224πα≤+≤所以262326c a =≤≤=.故填26[23.【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式2sin 2cos 2c c a αα+=,然后借助已知条件,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦利用三角函数的图象求解离心率的范围. 【小试牛刀】【百校联盟2018届TOP202018届高三三月联考】．已知平行四边形ABCD 内接于椭圆()2222:10x y a b a bΩ+=>>，且AB ， AD 斜率之积的范围为32,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则椭圆Ω离心率的取值范围是（ ） A. 132⎛⎝⎭ B. 322⎝⎭ C. 134⎛ ⎝⎭D. 11,43⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】A【解析】由题意， ,D B 关于原点对称，设()()()0000,,,,,D x y B x y A x y --， AD AB k k ∴⋅=22220222220002222000011x x b b a a y y y y y y b x x x x x x x x a⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭⨯===--+--， 2222321,,43b c a a ⎛⎫∴-=-∈-- ⎪⎝⎭ 221113,,432c e a ⎛⎛⎫∴∈∴∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，故选A.(三) 借助函数的值域求解范围根据题设条件,如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式,通过确定函数的定义域后,利用函数求值域的方法求解离心率的范围.【例3】已知椭圆221:12x y C m n -=+与双曲线222:1x y C m n+=有相同的焦点,则椭圆1C 的离心率e 的取值范围为（ ） A ．2(,1)2 B ．2(0,)2C ．(0,1)D ．1(0,)2【答案】A【解析】∵椭圆221:12x y C m n-=+,∴212a m =+,21b n =-,212c m n =++,212122m n n e m m ++==+++,∵双曲线222:1x y C m n+=,22a m =,22b n =-,22c m n =-,∴由条件有2m n m n ++=-,则1n =-,∴21112e m =-+,由0m >,有22m +>,1122m <+,1122m ->-+,∴11122m ->+,即2112e >,而101e <<,∴1212e <<. 【点评】本题根据题设“相同的焦点”建立等量关系,得到函数关系式21112e m =-+,进而根据m 的范围,借助反比例函数求解离心率的范围.【小试牛刀】已知二次曲线2214x y m+=,则当[]2,1m ∈--时,该曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．2322⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．26,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．56,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．36,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由当[]2,1m ∈--时,二次曲线为双曲线,双曲线2214x y m +=即为2214x y m-=-,且224,a b m ==-,则24c m =-,即有456,222c m e a ⎡⎤-==∈⎢⎥⎣⎦,故选C.(四) 根据椭圆或双曲线自身的性质求范围在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质,如椭圆()2222100x y a b a b+=>>，中,a x a -≤≤,P 是椭圆上任意一点,则1a c PF a c -≤≤+等.【例4】设12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,且12||2F F c =,若椭圆上存在点P 使得212||||2PF PF c ⋅=,则椭圆的离心率的最小值为（ ）A ．12 B ．13 C ．22 D ．33【答案】D【解析】设),(00y x P ,由圆锥曲线的共同特征可得()2202200212)(c x e a ex a ex a PF PF =-=-+=,所以222222a e c a x ≤-=,即22222212e e a c a ≤-=-,所以312≥e ,又01e <<,解得133<≤e ,所以离心率的最小值为33,故选D ． 【点评】P 为椭圆上的一点是本题的关键条件,根据圆锥曲线的共同特征把212||||2PF PF c ⋅=转化成基本量a ,c ,e 与0x 的关系式,结合椭圆的范围,即可得到e 的不等式,从而求出其最小值． 【小试牛刀】【天津市南开区2019届高三上数学期末】已知双曲线的左、右焦点分别为、，点M 在双曲线的左支上，且，则此双曲线离心率的最大值为A ．B ．C ．2D ．【答案】A【分析】先由双曲线的定义得到，再由点M 在双曲线左支上，即可得出结果. 【解析】由双曲线的定义可得，根据点M 在双曲线的左支上，可得，，双曲线离心率的最大值为，故选A ． 四、迁移运用1．【湖南省怀化市2019届高三3月第一次模拟】两正数的等差中项为，等比中项为，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为两正数的等差中项为，等比中项为，所以，解得或，因为，所以，所以.故选D2．【江西省上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考】设双曲线的右焦点为，过且斜率为1的直线与的右支相交不同的两点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】要使直线与双曲线的右支相交不同的两点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线即，所以，所以，故选A3．【江西省高安中学2019届高三上学期期中】如图，点在以为焦点的双曲线上，过作轴的垂线，垂足为，若四边形为菱形，则该双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】解：由题意得：四边形的边长为2c, 连接,由对称性可知, ||=||=2c,则三角形为等边三角形.过点P作PH⊥x轴于点H, 则∠=60，||=2c,在直角三角形中, ||=, ||=,则P(2c,), 连接, 则||=.由双曲线的定义知,2a=||-||=-2c=,所以双曲线的离心率为e===，故选C.4．【宁夏银川一中2019届高三第一次模拟】双曲线和直线，若过的左焦点和点的直线与平行，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】过的左焦点和点的直线可写为：，即与平行又本题正确选项：5．【辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第五次模拟】如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线交于两点，若，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，，则，，根据双曲线的定义，得，即，解之得：；因为，所以三角形是以为直角的直角三角形，所以，因此；在三角形中，，可得，因此，该双曲线的离心率为.故选A6．【广东省韶关市2019届高三1月调研】设点为双曲线和圆的一个交点，若，其中为双曲线的两焦点，则双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】圆是以原点为圆心，以为半径的圆，则，从而有，∴|M|＝c，c，，由双曲线的定义得，得离心率为，故选：B.7．【广东省华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考】设，分别是椭圆的左、右焦点，若在直线其中上存在点P，使线段的垂直平分线经过点，则椭圆离心率的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，，设点，则由中点公式可得线段的中点，线段的斜率与的斜率之积等于，即，，，，，或舍去，．又椭圆的离心率，故，故选：C．8．【陕西省西安市西北工业大学附属中学2019届第一次适应性训练】设，是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若，且的最小内角为，则C的离心率为A． B． C． D．【答案】C【解析】解：因为、是双曲线的两个焦点，是双曲线上一点，且满足，不妨设是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知所以，，，,,为△最小边,△的最小内角，根据余弦定理，，即，，所以．故选：C．9．【北京市丰台区2019届高三上学期期末】已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为A．2 B． C． D．【答案】D【解析】易知抛物线的焦点（2，0），准线x=-2，即椭圆的c=2，因为抛物线的准线恰好过椭圆的焦点，即相交的线段为椭圆的通径；即通径为，又因为c=2解得a=4所以离心率故选D.10．【四川省绵阳市2019上学期期末】若双曲线与双曲线有公共点，则双曲线离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得的渐近线方程为，由得的渐近线方程为，因为双曲线与双曲线有公共点，所以只需，即，即，即，解得.故选C11．【河北省武邑中学2019届高三下学期第一次质检】已知直线与双曲线的斜率为正的渐近线交于点，曲线的左、右焦点分别为，若，则双曲线的离心率为（）A．4或B．C．D．【答案】D【解析】由渐近线方程与直线求出点A的坐标为,过A点作轴于点B，则由已知可得当时，则故舍去，综上故选D12．【贵州省贵阳市普通中学2019届高三年级第一学期期末】已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，，是钝角三角形，是钝角，即有，为左焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，，，即，由，可得，解得或，舍去，则双曲线的离心率的范围是．故选：D．13．【山东省临沂市2019届高三2月教学质量检测】点A、B分别为椭圆的左、右顶点，F为右焦点，C为短轴上不同于原点O的一点，D为OC的中点，直线AD与BC交于点M，且MF⊥AB，则该椭圆的离心率为A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意如图：MF⊥AB，且OC⊥AB，∴MF OC，同理MF OD，∴①，，②①②得到：===,∴2（a﹣c）＝c+a，∴a＝3c，∴e．故选：B．14．【吉林省长春市2019届高三质量监测（二)】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和轴相交于，两点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】由题意，取双曲线的一条渐近线，即，则过右焦点与渐近线垂直的直线方程为，即，又由焦点到渐近线的距离为，又由，所以，即，又由原点到的距离为，在直角中，由射影定理得，即，又由，整理得，所以，故选B.15．【2019年四川省达州市一诊】已知椭圆的左右焦点分别为、，抛物线与椭圆C在第一象限的交点为P，若，则椭圆C的离心率为A． B．或C． D．或【答案】D【解析】作抛物线的准线l，则直线l过点，过点P作PE垂直于直线l，垂足为点E，由抛物线的定义知，易知，轴，则，，设，则，由椭圆定义可知，，在中，由余弦定理可得，整理得，解得或．当时，；当时，离心率为．综上所述，椭圆C的离心率为或．故选：D．16．【山西省吕梁市2019届高三上学期第一次模拟】已知椭圆：，过左焦点作斜率为1的直线与交于，两点，若线段的中垂线与轴交于（为椭圆的半焦距），则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，，则中点.直线的方程为，与椭圆联立得，所以.可得.所以，因为，即，所以，，故选B.17．【浙江省名校新高考研究联盟（Z20)2019届高三第一次联考】已知，是椭圆与的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且满足，，则该椭圆的离心率是A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得：，，可得，，，，，，,可得，可得．故选B．18．【山东省菏泽市2019届高三下学期第一次模拟】已知椭圆的左右焦点分别为，为坐标原点，为椭圆上一点，且，直线交轴于点，若，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】结合题意，可知，故，结合，可知故，设，所以，，所以，故选D。
罗贤旭离心率
高考数学专题复习——求解圆锥曲线离心率的值或取值范围求圆锥曲线离心率的值或取值范围是浙江高考的一个热点，也是一个难点，求离心率的难点在于如何如何列出一个与a,b,c,e 有关的等式或不等关系.1、常见题型：求离心率的值（浙江省9年考了求值）；求离心率的取值范围2、常用方法:（1）直接求出a,c（2）构造a,c 的齐次式或a,b 齐次式的等式或不等式 （3）利用圆锥曲线相关性质建立a,c 不等关系求解 （4）利用平面几何性质求解离心率的相关问题 (5) 运用数形结合建立a,c 关系求解一、直接求出a ，c例1：过双曲线C ：)0(1222>=-b by x 的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（ ） A.10 B. 5 C.310 D.25 变式练习1、已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ），点P （-3，1）在直线2a x c =-上，过点P 且方向为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A33 B 31 C 22D 21 二、构造a,c 的齐次式或a 、b 齐次式的等式或不等式根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
例2、设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为（ ） A.34 B.35 C.49D.3 变式练习1设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得2212(||||)3,PF PF b ab -=-则该双曲线的离心率为( )2 B.15 C.4 D.17变式练习2、设双曲线12222=-by a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 43，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 2 D.332 变式练习3、(2014浙江理科16，文科17)设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________三、利用圆锥曲线相关性质建立a,c 关系求解.例3、(2013浙江，文理9)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：24x ＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )．A ．2B ．3C ．32D ．62变式练习1、设椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的左右焦点为21F F ，，作2F 作x 轴的垂线与C 交于 B A ，两点，B F 1与y 轴交于点D ，若B F AD 1⊥，则椭圆C 的离心率等于________. 变式练习2、（2010浙江理科第8题）设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 （ ）（A ）340x y ±= （B ）350x y ±= （C ）430x y ±= （D ）540x y ±=变式练习3、设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足021=⋅PF PF ，则2212221)(e e e e +的值为四、利用平面几何性质求解离心率的相关问题例4、已知双曲线)0(12222>>=-a b by a x 的两条渐近线为21,l l ，过右焦点F 作垂直1l 的直线交21,l l 于B A ,两点。
一题多解,思维开花——浅谈离心率取值范围的多种求法
32 福建中学数学 2020年第6期一题多解，思维开花——浅谈离心率取值范围的多种求法郑 婕 华南师范大学（510631）离心率e 是圆锥曲线的重要特征量，求离心率的取值范围是数学高考和数学竞赛中经常考察的热点问题之一，解决这类问题的关键是构造a c ，或者e 的不等式．本文拟通过一题多解的形式，浅谈如何通过构造不等式求圆锥曲线离心率的取值范围．1 题目展示 如图1，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12F F ，，若椭圆上存在点P ，使1260F PF ∠= ，求椭圆离心率e 的取值范围．2 解法赏析2.1 利用圆锥曲线上点的坐标范围构造不等式 解法1 设00()P x y ，，由椭圆焦半径公式有：10||PF a ex =+，20||PF a ex =−．由焦点三角形面积公式可得：212601tan ||||sin 6022S b PF PF ==⋅⋅ ，化简得2222243a b x e e =−． 又因为2200x a ≤<，所以2222403a b a e ≤−<，将222b a c =−代入，解得1[1)2e ∈，． 2.2 利用焦半径取值范围构造不等式解法2 设2||PF x =，由椭圆的定义可知1||2PF a x =−， 同样由面积公式得：212601tan ||||sin 6022S b PF PF ==⋅⋅ ，可得23(2)4b x a x =−．因为a c x a c −<<+，所以222233)44a cb a (−<≤，解得1[1)2e ∈，．2.3 利用焦点三角形顶角范围构造不等式解法3 P 为椭圆上任意一点，当P 点移动到椭圆的短轴端点B 时，12F PF ∠最大．由已知椭圆上存在点P ，使1260F PF ∠= ，所以一定有1260F BF ∠≥ ，230OBF ∠≥ （O 为坐标原点）．在2t OBF ∆R 中，21sin sin 302c OBF a ∠=≥=，故1[1)2e ∈，．2.4 利用均值不等式构造不等式解法4 由余弦定理得2221212||||||PF PF F F +− 122||||cos 60PF PF =⋅⋅⋅ ，即22121212(||||)||3||||PF PF F F PF PF +−=⋅⋅， 由椭圆定义有12||||2PF PF a +=，12||2F F c =，于是22124||||()3PF PF a c ⋅=−．又由均值不等式12||||PF PF ⋅2212||||()2PF PF a +≤=， 所以2224()3a c a −≤，解得1[1)2e ∈，．2.5 利用二次方程有实根的条件构造不等式 解法5 由解法4可知12||||2PF PF a +=，22124||||()3PF PF a c ⋅=−． 所以12||||PF PF ，可以看成方程2242(3x ax a −+−2)0c =的两个根，于是有222164()03a a c ∆=−−≥， 整理得22214c e a=≥，即1[1)2e ∈，． 3 小结通过上述解法可以看出，合理建立不等关系是求解圆锥曲线离心率的取值范围的关键，而构造不等式大致可分为利用几何关系以及利用代数关系两xx2020年第6期 福建中学数学 33 种思路．即在求解这类问题时，一方面可以将所求量离心率e 与已知范围的量如圆锥曲线上点的坐标、焦半径、焦点三角形顶角建立联系，利用已知取值范围求解；另一方面也可以从代数关系如均值不等式、二次方程有实根的条件入手，灵活运用余弦定理、焦点三角形面积公式等知识辅助解题，同样可求出离心率的取值范围．这类题目凸显了知识之间的综合性、联系性，能较好地考察学生思维的全面性、缜密性，具有训练价值．事实上，进行一题多解的训练可以提升思维水平和应试技巧，思维开花，下笔如有神．但重要的是，在做题时应不断总结，择优解题，才能真正在习题训练中提升解题技巧，开拓解题思路．参考文献[1]包建民．圆锥曲线离心率取值范围的九种求法[J]．数学大世界（教师适用），2011（1）：54圆锥曲线问题解决中引入参数需要厘清的问题雷雄军 广东省东莞市第六高级中学（523420）圆锥曲线作为高考解答题必考内容，考查的范围比较广，难度比较大，是提升学生数学抽象，直观想象，逻辑推理，数学运算等数学核心素养的很好的载体．因此，一线高三数学教师在一轮复习和二轮专题复习中都会在这块知识上花很多的时间和精力，但是效果很多时候并不理想．很多的学生还是仅满足于做出第（Ⅰ）问，对第（Ⅱ）问不敢深入涉及．第（Ⅱ）问主要涉及定点、定值、范围、最值、存在性问题等等下文称作圆锥曲线热点问题．在热点问题的解答过程中，经常会涉及参数的问题．学生正是因为对参数使用把控不到位，所以对第（Ⅱ）问解答只能望而却步．笔者结合近年圆锥曲线的高考题，阐释参数引入过程中需要厘清的几个问题．1 问题1：引入什么变量作为参数圆锥曲线中的热点问题破解的基本思路是建立求解目标与参数的关系（不等关系、函数关系等），最后通过参数的恰当处理，使得热点问题得以解决．这里有一个很重要步骤就是引入恰当的参数．例1 （2016年高考北京卷·理20）已知椭圆:C 22221x y a b +=(0)a b >>(0)A a ，，(0B ，)b ，(00)O ，，OAB ∆的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于N ．求证：||||AN BM ⋅ 为定值．解析 （Ⅰ）椭圆C 的方程是2214x y +=．（Ⅱ）涉及的是热点问题中的定值问题，这类问题求解的基本思想是求解目标与某个变量（参数）无关．而题目中没有给出直接参数，这就需要我们引入参数． 由于问题中需要解决的是当椭圆C 上点P 动的时候||||AN BM ⋅为定值．因此就自然选择动点P 的坐标作为参数．解答过程如下： （Ⅱ）由（Ⅰ）知(20)A ，，(01)B ，． 设00()P x y ，，则22004x y +=． （ⅰ）当00x ≠时，直线PA 的方程为00(2y y x x =− 2)−．令0x =，得0022M y y x =−−， 从而002|||1||1|2M y BM y x =−=+−． 在直线PB 的方程0011y y x x −=+中令0y =， 得001N x x y =−−， 从而00|||2||2|1N x AN x y =−=+−． 所以00002|||||2||1|12x y AN BM y x ⋅=+⋅+−−． 22000000000044484||22x y x y x y x y x y ++−−+=−−+=000000004484||22x y x y x y x y −−+−−+4=．。
圆锥曲线微专题----求离心率的取值范围
圆锥曲线离心率的取值范围 专题一、知识纵横1. 求离心率的取值范围基本方法：通过对已知几何条件的代数化翻译，得到关于a ，b ，c 的齐次不等式，最后除以a 相应的次数，得到e 的不等式，解之即可.解决问题的关键在于获知取值范围的来源，也即不等关系的产生原因，常见的范围来源总结如下. ①题中给出：即题目中已经明确给出某个变量的范围，则只需找到e 与此变量的关系即可；②焦半径范围：注意椭圆焦半径范围[],a c a c -+，双曲线中焦半径范围为[),c a -+∞或[),c a ++∞； ③存在性问题：即由几何存在性问题对某个变量的约束所产生的范围.二、典型例题【题型1 题中给出范围】例1. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．3(0,]4C ．D ．3[,1)4例2. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，左顶点为A .若点P 为椭圆C 上的点，PF x ⊥轴，且sin PAF ∠C 的离心率的取值范围是（ ） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭例3. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，过原点的直线交椭圆于,A B 两点，以AB 为直径的圆过右焦点F ，若,123FAB ππα⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．1⎤⎥⎣⎦B ．⎢⎥⎣⎦C ．⎛ ⎝⎦D ．⎫⎪⎪⎣⎭【题型2 焦半径范围】例4. 已知P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，12F F ，为椭圆焦点，且213PF PF =，则椭圆离心率的范围是（ ）A ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭例5. 已知F 1，F 2分别是椭圆C :22221x y a b+= (a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．13⎡⎢⎢⎥⎣⎦C ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦例6. 已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点为(c,0)F ，上顶点为(0,)A b ，直线2a x c =上存在一点P 满足()0FP FA AP +⋅=，则椭圆的离心率取值范围为（ ）A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．⎫⎪⎪⎣⎭C ．⎫⎪⎪⎣⎭D ．⎛ ⎝⎦例7. 设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点为(1,0)F ，点(1,1)A -为椭圆E 内一点，若椭圆E 上存在一点P ，使得9PA PF +=，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ．1[,1)2B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【题型3 存在性问题】例8. 若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与直线y =没有公共点，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．(]1,2B ．()1,2C ．(D ．(例9. 设椭圆22221x y a b+=()0a b >>的两焦点为1F ，2F ，若椭圆上存在点P ，使12120F PF ∠=︒，则椭圆的离心率e 的最小值为（ ）A ．12 B C D例10. 已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与圆22223:4b x y C +=，若在椭圆1C 上不存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．。
圆锥曲线离心率的取值范围的解题方法(精选课件)
圆锥曲线离心率的取值范围的解题方法一、利用曲线的范围，建立不等关系ﻫ例1．设椭圆的左右焦点分别为、,如果椭圆上存在点P，使，求离心率e的取值范围。
ﻫ解:设因为,所以ﻫ将这个方程与椭圆方程联立，消去y,可解得二、利用曲线的几何性质数形结合，构造不等关系例2．直线L过双曲线的右焦点,斜率k=2。
若Ｌ与双曲线的两个交点分别在左、右两支上,求双曲线离心率的取值范围。
ﻫ解：如图1,若,则L与双曲线只有一个交点；若,则L与双曲线的两交点均在右支上，ﻫ例3。
已知F１、F２分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于Ａ、B两点。
若△ＡＢＦ2是锐角三角形,求双曲线的离心率的取值范围.ﻫ解：如图２，因为△ABF2是等腰三角形,所以只要∠ＡF２B是锐角即可,即∠AF2F1＜４5°。
则ﻫ三、利用定义及圆锥曲线共同的性质，寻求不等关系ﻫ例４.已知双曲线的左右焦点分别为、,点P在双曲线的右支上,且，求此双曲线的离心率e的取值范围。
解:因为P在右支上，所以又得所以又ﻫ所以ﻫ例5．已知双曲线的左、右焦点分别是F１、F2，Ｐ是双曲线右支上一点，P到右准线的距离为d，若d、|PF２｜、|ＰF1｜依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值范围。
ﻫ解:由题意得因为，所以，从而，。
又因为P在右支上，所以。
.。
ﻫ四、利用判断式确定不等关系例6。
例１的解法一：解：由椭圆定义知ﻫ例7。
设双曲线与直线相交于不同的点A、B.求双曲线的离心率e的取值范围。
解:..·····谢阅。
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2023年新高考数学大一轮复习专题28 轻松搞定圆锥曲线离心率十九大模型(原卷版)
专题28 轻松搞定圆锥曲线离心率十九大模型【考点预测】 求离心率范围的方法 一、建立不等式法：1、利用曲线的范围建立不等关系．2、利用线段长度的大小建立不等关系．12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，[]1,PF a c a c ∈-+；12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，1PF c a ≥-．3、利用角度长度的大小建立不等关系．12,F F 为椭圆22221x y a b +=的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，若12F PF θ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围为sin12e θ≤<．4、利用题目不等关系建立不等关系．5、利用判别式建立不等关系．6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7、利用基本不等式，建立不等关系． 二、函数法：1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；2、通过确定函数的定义域；3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围． 三、坐标法：由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系． 【题型归纳目录】题型一：建立关于a 和c 的一次或二次方程与不等式 题型二：圆锥曲线第一定义 题型三：圆锥曲线第二定义题型四：圆锥曲线第三定义（斜率之积） 题型五：利用数形结合求解 题型六：利用正弦定理 题型七：利用余弦定理 题型八：内切圆问题 题型九：椭圆与双曲线共焦点题型十：利用最大顶角θ 题型十一：基本不等式 题型十二：已知12PF PF ⋅范围 题型十三：12=PF PF λ 题型十四：中点弦题型十五：已知焦点三角形两底角 题型十六：利用渐近线的斜率 题型十七：坐标法题型十八：利用焦半径的取值范围 题型十九：四心问题 【典例例题】题型一：建立关于a 和c 的一次或二次方程与不等式例1．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且2BF AF =，则双曲线C 的离心率是________．例2．（2022·四川·高三阶段练习（理））已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是1F ，2F ，过右焦点2F 且不与x 轴垂直的直线交C 的右支于A ，B 两点，若1AF AB ⊥，且12AB AF =，则C 的离心率为（ ）AB ．1CD ．1例3．（2022·湖北·高三开学考试）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作直线l 与C 的左、右两支分别交于,M N 两点，且2MNF 是以2MNF ∠为顶角的等腰直角三角形，若C 的离心率为e ，则2e =（ ）A．533B ．5+C ．5+D ．5+例4．（2022·甘肃·瓜州一中高三期中（文））若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（ ）A B C D例5．（2022·江西·高三开学考试（文））设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M ，N 在C 上（M 位于第一象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若12MN F F =，22NF =，则C 的离心率为（ ）A B ．12C D题型二：圆锥曲线第一定义例6．（2022·重庆八中高三开学考试（理））设椭圆E :2222x y a b+=1(a >b >0)的一个焦点为F (c ,0)(c >0),点A (﹣c ,c )为椭圆E 内一点,若椭圆E 上存在一点P ,使得|P A |+|PF |=9c ,则椭圆E 的离心率取值范围为（ ） A ．[12,1)B ．[13,12]C ．[12,23]D ．[15,14]例7．（2022·浙江·高三开学考试）已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左､右焦点，过1F 的直线与C 交于,P Q 两点，若12125PF PF FQ ==，则C 的离心率是（ ）A B C D例8．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）设双曲线222:1y C x b-=的左､右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上一点，且12F P F P ⊥，若12PF F △的面积为4，则双曲线C 的离心率为（ ）A B ．2 C ．3 D例9．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知双曲线222:1(0)5x y C a a -=>的左焦点为(,0)F c -， 点P 在双曲线C 的右支上， (0,4)A ．若 ||||PA PF +的最小值是 9 ， 则双曲线C 的离心率是_____．例10．（2022·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x yC a b ab-=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线C 有一个交点P ，设12PF F △的面积为S ，若()21212PF PF S +=，则双曲线C 的离心率为（ ）A．2 B C D ．题型三：圆锥曲线第二定义例11．（2022·全国·高三专题练习（文））古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线；当01e <<时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e >时，轨迹为双曲线.则15=表示的圆锥曲线的离心率e 等于（ ） A ．15B ．45C ．54D ．5例12．（2022·北京石景山·高三专题练习）已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左、右焦点分别为12F F ，P 为左支上一点，P 到左准线的距离为d ，若d 、1||PF 、2||PF 成等比数列，则其离心率的取值范围是（ ）A．)+∞ B ．(1C ．[1)+∞D ．(1，1例13．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线交C 于A 、B 两点，若4AF FB =，则C 的离心率为（ ） A ．58B ．65C ．75D ．95例14．（2022·四川遂宁·二模（理））已知双曲线22221x y a b -=（0,0a b >> ）的离心率为4，过右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于点H ，若10MN =，则HF =（ ） A ．14 B ．16 C ．18 D ．20例15．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C ：22x a －22y b＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 且斜率为C 于A 、B 两点，若5AF FB =，则C 的离心率为( )A ．43B ．53C ．2D ．85题型四：圆锥曲线第三定义（斜率之积）例16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>），点A ，B 为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P ，使1,03AP BP k k ⎛⎫⋅∈- ⎪⎝⎭，则椭圆的离心率e 的取值范围是______．例17．（2022·全国·高三专题练习）已知点A 、B 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的长轴顶点，P 为椭圆上一点，若直线P A ，PB 的斜率之积的范围为32,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ．12⎛ ⎝⎭B ．2⎝⎭C ．41⎛ ⎝⎭D ．11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭例18．（2022·全国·高三专题练习（理））椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A B C ．12D ．13例19．（2022·湖南郴州·高二期末）双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左右顶点为,A B ，过原点的直线l 与双曲线C 交于,M N 两点，若,AM AN 的斜率满足2AM AN k k ⋅=，则双曲线C 的离心率为_________．例20．（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个顶点分别为A ，B ，点P 为双曲线上除A ，B 外任意一点，且点P 与点A ，B 连线的斜率为1k ，2k ，若128k k ⋅=，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2D ．3例21．（2022·全国·高二课时练习）已知A ，B ，P 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）上不同的三点，且点A ，B 连线经过坐标原点，若直线P A ，PB 的斜率乘积为43，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D题型五：利用数形结合求解例22．（2022·广西·模拟预测（文））如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，从2F 发出的光线经过图2中的,A B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且12tan 5CAB ∠=-，2||?BD AD BD =，则双曲线E 的离心率为（ ）A ．65B C D ．3例23．（2022·广西柳州·模拟预测（理））如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，从2F 发出的光线经过图2中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且3cos 5BAC ∠=-，AB BD ⊥，则E 的离心率为（ ）ABCD例24．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））已知双曲线22221x y C a b-=：（0a >，0b >）的左，右焦点分别是1F ，2F ，点P 是双曲线C 右支上异于顶点的点，点H 在直线x a =上，且满足1212PF PF PH PF PF λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，R λ∈.若215430HP HF HF ++=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6例25．（2022·全国·二模（理））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>与椭圆22143x y +=．过椭圆上一点31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭作椭圆的切线l ，l 与x 轴交于M 点，l与双曲线C 的两条渐近线分别交于N 、Q ，且N 为MQ 的中点，则双曲线C 的离心率为（ ） ABC D例26．（2022·全国·模拟预测（文））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，过2F 的直线l 交双曲线C 于P ，Q 两点且使得()2201PF F Q λλ=<<．A 为左支上一点且满足120F A F P +=，1222133F F AFAQ =+，2AF P △的面积为2b ，则双曲线C 的离心率为（ ） ABC D例27．（2022·山东潍坊·三模）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左，右顶点分别是1A ，2A ，圆222x y a +=与C 的渐近线在第一象限的交点为M ，直线1A M 交C 的右支于点P ，若△2MPA 是等腰三角形，且2PA M ∠的内角平分线与y 轴平行，则C 的离心率为（ ）A ．2 BC D例28．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 左、右支分别交于A ，B 两点，若2||AB BF =，12BF F △2，双曲线C 的离心率为e ，则2e =（ ） AB ．2C ．2+D ．5+题型六：利用正弦定理例29．（2022·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x yE a b a b+=>>的两个焦点，P 是椭圆E 上的点，12PF PF ⊥，且2112sin 3sin PF F PF F ，则椭圆E 的离心率为（ ）A B CD例30．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点1F ，2F 作倾斜角分别为6π和3π的两条直线1l ，2l ．若两条直线的交点P 恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A B 1C D例31．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）已知椭圆()222210,0x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，若椭圆上存在点P （异于长轴的端点），使得1221sin sin c PF F a PF F ∠=∠，则该椭圆离心率e 的取值范围是______．例32．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点1F ，2F 作倾斜角分别为6π和3π的两条直线1l ，2l ．若两条直线的交点P 恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A B 1C D题型七：利用余弦定理例33．（2022·全国·高三专题练习）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若122||||F F AF =，112AF F B =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．57B 2C D ．13例34．（2022·河北廊坊·高三开学考试）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P为C 上一点，且127cos 9F PF ∠=，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点Q 在C 上，则C 的离心率为________.例35．（2022·全国·高三专题练习）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若122||||F F AF =，112AF F B =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．57B C D ．13例36．（2022·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x yC a b ab-=>>的左、右焦点，过1F的直线l 与双曲线C 左、右支分别交于A ，B 两点，若2||AB BF =，12BF F △2，双曲线C 的离心率为e ，则2e =（ ） AB ．2C ．2+D ．5+例37．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于点,A B ，若2ABF 是边长为4的等边三角形，则C 的离心率为（ ）A ．3BCD ．2题型八：内切圆问题例38．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线上一点，且22()0OP OF F P +⋅=（O 为坐标原点），若12PF F △内切圆的半径为2a，则C 的离心率是（ ）A 1BCD 1例39．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，经过1F 的直线交椭圆于A ，B ，2ABF 的内切圆的圆心为I ，若23450++=IB IA IF ，则该椭圆的离心率是（ ）A B ．23C D ．12例40．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知12,F F 是椭圆221(1)1x y m m m +=>-的左､右焦点，点A 是椭圆上的一个动点，若12AF F △ ）A 1B ．12C D 1例41．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知双曲线C ：()222104x y a a -=>的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线右支上运动（不与顶点重合），设1PF 与双曲线的左支交于点Q ，2PQF 的内切圆与2QF 相切于点M .若4QM =，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C ．2D例42．（2022·浙江·模拟预测）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，M 为右支上一点，2112120,MF F MF F ∠=︒的内切圆圆心为Q ，直线MQ 交x 轴于点N ，||2||MQ QN =，则双曲线的离心率为（ ） A．54B ．43C D例43．（2022·内蒙古·赤峰二中模拟预测（文））已知1F 、2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，12F F P 是y 轴正半轴上一点，线段1PF 交双曲线左支于点A ，若21AF PF ⊥，且2APF 的内切圆半径为1，则双曲线的离心率是（ ）A B C D例44．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>一点（点P 在第一象限），点12,F F 分别为双曲线的左，右焦点，12PF F △的内切圆的半径为1．圆心为点I ，若123,4F O F I I π∠== ）AB C D例45．（2022·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xoy 中，12,F F 分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b ab-=>>的左，右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左，右两支分别交于点,A B ，点T 在x 轴上，满足23BT AF =，且2BF 经过1BFT 的内切圆圆心，则双曲线C 的离心率为（ ）AB ．2C D题型九：椭圆与双曲线共焦点例46．（2022·甘肃省民乐县第一中学三模（理））设1F ，2F 为椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，1F ，2F 分别为左､右焦点，1C 与2C 在第一象限的交点为M .若12MF F △是以线段1MF 为底边的等腰三角形，且双曲线2C 的离心率72,2e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则椭圆1C 离心率的取值范围是（ ）A ．45,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．70,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．27,516⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦例47．（2022·重庆·模拟预测）如图，F 1，F 2是椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1与C 2在第二､四象限的公共点，若AF 1⊥BF 1，设C 1与C 2的离心率分别为e 1，e 2，则8e 1+e 2的最小值为（ ）A ．6+2B ．C D例48．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知椭圆1C 与双曲线2C 的焦点相同，离心率分别为1e ，2e ，且满足21e =，1F ，2F 是它们的公共焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若12120F PF ∠=︒，则双曲线2C 的离心率为（ ）AB C ．2 D例49．（2022·河南郑州·一模（文））已知12,F F 知是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A 是12,C C 在第二象限的公共点.若12AF AF ⊥，则双曲线2C 的离心率为（ ）A ．65B C D例50．（2022·河南郑州·一模（理））已知 12,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF 2 |>| PF 1 |，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，112||||PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ） A ．4 B ．6C．D ．8例51．（2022·江西·模拟预测（理））已知12,F F 为椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的公共点，且1212,,3F PF e e π∠=的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4例52．（2022·云南·一模（理））已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则1212e e 的最大值为（ ） A ．32BCD ．1例53．（2022·甘肃白银·模拟预测（理））已知1F ，2F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A 是1C ，2C 在第二象限的公共点.若12AF AF ⊥，则2C 的离心率为 A ．45BCD例54．（2022·山东日照·二模）已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则221213e e +的值为（ ） A ．1 B ．2512C ．4D ．16例55．（2022·陕西省榆林中学三模（理））椭圆与双曲线共焦点1F ，2F ，它们在第一象限的交点为P ，设122F PF θ∠=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则（ ）A ．222212cos sin 1e e θθ+= B ．222212sin cos 1e e θθ+= C ．2212221cos sin e e θθ+=D ．2212221sin cos e e θθ+=题型十：利用最大顶角θ例56．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得120APB ∠=︒，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．⎫⎪⎪⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦例57．（2022·全国·高二专题练习）设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．1)C ．D ．例58．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，点P 是C 上任意一点，若圆222:O x y b +=上存在点M 、N ，使得120MPN ∠=︒，则C 的离心率的取值范围是( )A ．⎛ ⎝⎦B ．⎫⎪⎪⎣⎭C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭例59．（2022·全国·高三专题练习）设1F 、2F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，若椭圆外存在点P 使得120PF PF ⋅=，则椭圆的离心率的取值范围______．例60．（2022·北京丰台二中高三阶段练习）已知1F ，2F 分别是某椭圆的两个焦点，若该椭圆上存在点P 使得122F PF θ∠=（02πθ<<，θ是已知数），则该椭圆离心率的取值范围是________.例61．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上存在一点P 使得122π3F PF ∠=，则该椭圆离心率的取值范围是________．题型十一：基本不等式例62．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B关于原点对你，且满足0FA FB ⋅=，FB FA ≤，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1⎤⎥⎣⎦C ．)1,1D ．⎣⎦例63．（2022·江苏南京·高三阶段练习）设1F 、2F 分别是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，M是椭圆E 准线上一点，12F MF ∠的最大值为60°，则椭圆E 的离心率为（ ）A 2B C 2D例64．（2022·山西运城·高三期末（理））已知点A 为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点，O 为坐标原点，过椭圆的右焦点F 作垂直于x 轴的直线l ，若直线l 上存在点P 满足30APO ∠=︒，则椭圆离心率的最大值______________.例65．（2022·四川成都·高三开学考试（文））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，F 为右焦点，过点F作FA x ⊥轴交双曲线于第一象限内的点A ，点B 与点A 关于原点对称，连接AB ，BF ，当ABF ∠取得最大值时，双曲线的离心率为______．例66．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点为A 、B ，若该双曲线上存在点P ，使得直线PA 、PB 的斜率之和为1，则该双曲线离心率的取值范围为__________．题型十二：已知12PF PF ⋅范围例67．（2022·四川省南充市白塔中学高三开学考试（理））已知1F 、2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，A 为右顶点，B 为上顶点，若在线段AB 上（不含端点）存在不同的两点()1,2i P i =，使得2123i i c PF PF ⋅=-，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎝⎭例68．（2022·全国·高二专题练习）已知1()0F c -，，2(0)F c ，是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆上存在一点P 使得212PF PF c ⋅=，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A． B． C．1D．1)例69．（2022·全国·高三开学考试（理））设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左､右焦点，若椭圆E 上存在点P 满足2122a PF PF ⋅=，则椭圆E 离心率的取值范围（ ）A．12⎛ ⎝⎭B．12⎡⎢⎣⎦ C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦例70．（2022·四川·高二期末（文））设1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，若椭圆C 上存在一点P ，使得2122c PF PF ⋅=，则椭圆C 的离心率e 的取值范围为（ ）A．2⎣⎦B．⎣⎦ C．⎣⎦ D．⎣⎦例71．（2022·吉林·长春市第二实验中学高二阶段练习）已知()1,0F c -、()2,0F c 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆C 上存在一点P 使得2123PF PF c ⋅=，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是______．题型十三：12=PF PF λ例72．（2022·江苏·海安县实验中学高二阶段练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，若椭圆C 上存在一点P ，使得2112sin sin PF F cPF F a∠=∠，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A．⎛ ⎝⎭B．()1C．)1,1D．⎫⎪⎪⎝⎭例73．（2022·浙江湖州·高二期中）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得12PF e PF =，则该离心率e 的取值范围是（ ） A．)1,1 B．⎫⎪⎪⎣⎭C．(1⎤⎦D．⎛ ⎝⎦例74．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上存在点P ，使得213PF PF =，其中1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭题型十四：中点弦例75．（2022·全国·高三开学考试（理））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>与斜率为1的直线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为(4,1)，则C 的离心率e =（ ） ABCD例76．（2022·福建·晋江市第一中学高三阶段练习）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，()0,2P ，()0,2Q -过点P 的直线1l 与椭圆交于A ，B ，过点Q 的直线2l 与椭圆交于C ，D ，且满足12l l ∕∕，设AB 和CD 的中点分别为M ，N ，若四边形PMQN为矩形，且面积为 ） A ．13B ．23CD例77．（2022·全国·高三开学考试（理））以原点为对称中心的椭圆12,C C 焦点分别在x 轴，y 轴，离心率分别为12,e e ，直线l 交12,C C 所得的弦中点分别为11(,)M x y ，22(,)N x y ，若121220x x y y =≠，221221e e -=，则直线l 的斜率为( ) A ．±1 B．C ．2± D．±例78．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过F 作一条倾斜角为60︒的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，若3FM OF =（O 为坐标原点），则椭圆C 的离心率为（ ）A B C D ．2例79．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点为F F的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点为()1,1，则直线l 的斜率为（ ） A ．14-B ．34-C ．12-D ．1例80．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的焦点且斜率不为0的直线交C 于A ，B 两点，D 为AB 中点，若12AB OD k k ⋅=，则C 的离心率为（ ）A B ．2 CD例81．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C 的中心在坐标原点，其中一个焦点为()2,0F -，过F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,1N --，则C 的离心率为( )AB CD例82．（2022·广西·高三阶段练习（理））已知双曲线2222:1x y C a b -=的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，过1F 的直线l 交双曲线C 的渐近线于A ，B 两点，若22F A F B =，1212285AF F BF F S S c +=△△（12AF F S表示12AF F △的面积），则双曲线C 的离心率的值为（ ）AB C D例83．（2022·全国·高三专题练习）设直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，直线l 与直线OM （O 是坐标原点）的斜率的乘积等于2，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．3 CD题型十五：已知焦点三角形两底角例84．（2022·广西·江南中学高二阶段练习（文））已知1F ，2F 分别是椭圆D ：()222210x y a b a b +=>>的左右两个焦点，若在D 上存在点P 使1290F PF ∠=︒，且满足12212PF F PF F ∠=∠，则椭圆的离心率为（ ） AB1CD例85．（多选题）（2022·湖南·高二期末）已知双曲线()2222:10x y C b a a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，双曲线上存在点P （点P 不与左、右顶点重合），使得21123PF F PF F ∠∠=，则双曲线C 的离心率的可能取值为 （ ） ABCD ．2例86．（2022·全国·高三专题练习（理））已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，M为双曲线右支上的一点，若M 在以12F F 为直径的圆上，且215,312MF F ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A．(B．)+∞C．()1D．1⎤⎦例87．（2022·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（文））已知1F 、2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，O 为原点，双曲线上的点P 满足OP b =，且1221sin 3sin PF F PF F ∠=∠，则该双曲线C 的离心率为（ ） AB2C ．2 D例88．（2022·全国·高三专题练习（理））已知椭圆2222x y a b+＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得12MF F △中，1221sin sin MF F MF F a c∠∠=，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．(01) B．⎫⎪⎪⎝⎭C．⎛ ⎝⎭D ．1,1)题型十六：利用渐近线的斜率例89．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知点P 是双曲线22221x y a b -=（a >0，b >0）的渐近线上一点，F 是双曲线的右焦点，若|PF |的最小值为2a ，则该双曲线的离心率为（ ）AB CD例90．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（文））定义：双曲线22221x y a b-=为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的“伴随曲线”.已知点2-⎭在椭圆C 上，且椭圆C 的伴随曲线的渐近线方程为12y x =±，则椭圆C 的离心率为（ ）A B 2C ．12D ．3例91．（2022·天津市新华中学模拟预测）已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>，抛物线22:2(0)C y px p =>的准线经过1C 的焦点且与1C 交,A B 两点，8AB =，若抛物线2C 的焦点到1C 的渐近线的距离为2，则双曲线1C 的离心率是（ ）A BCD例92．（2022·江西·赣州市第三中学模拟预测（文））已知椭圆()222104x y b b +=>与双曲线()22210x y a a-=>有公共的焦点，F 为右焦点，O 为坐标原点，双曲线的一条渐近线交椭圆于P 点，且点P 在第一象限，若OP FP ⊥，则椭圆的离心率等于（ ）A ．12B C D例93．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知点1F 和2F 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，过点1F 作双曲线C 的渐近线的垂线，垂足为H ，且213F H F H =，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C D例94．（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校三模（文））已知双曲线22122:1y x C a b-=及双曲线()22222:10,0x y C a b b a-=>>，且1C ()0y kx k =>与双曲线1C 、2C 都无交点，则k 的值是（ ）A ．2B ．12C D ．1例95．（2022·江西·二模（文））已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为(),0F c -，点P 在圆F '：2220x y cx +-=上，若C 的一条渐近线恰为线段FP 的垂直平分线，则C 的离心率为（ ）A ．3B ．2C D例96．（2022·山西吕梁·模拟预测（文））已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上顶点为P ，3OQ OP=（O 为坐标原点），若在双曲线的渐近线上存在点M ，使得90PMQ ∠=︒，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎛ ⎝⎦C ．⎫+∞⎪⎪⎣⎭D ．⎫+∞⎪⎣⎭例97．（2022·新疆·二模（理））如图．已知椭圆221:110x C y +=，双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>，若以椭圆1C 的长轴为直径的圆与双曲线2C 的一条渐近线交于A ，B 两点，且椭圆1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则双曲线2C 的离心率为（ ）A ．3BC ．2 D题型十七：坐标法例98．（2022·全国·高三专题练习）双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上.当BF AF ⊥时，AF BF =.求双曲线C 的离心率.例99．（2022·全国·高三专题练习）已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，A 是其左顶点.若双曲线上存在点P 满足1232PA PF PF =+，则该双曲线的离心率为___________.例100．（2022·河南·宝丰县第一高级中学高三开学考试（理））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，P 为C 右支上一点，P 与x 轴切于点F ，与y 轴交于A ，B 两点，若APB △为直角三角形，则C 的离心率为______.例101．（2022·山东青岛·高三开学考试）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左､右焦点分别为1212,,4F F F F =，若线段()4028x y x -+=-≤≤上存在点M ，使得线段2MF 与E 的一条渐近线的交点N 满足：2214F N F M =，则E 的离心率的取值范围是___________.例102．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，直线3a x =与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为原点，若三角形AOB 是等腰直角三角形，则椭圆C 的离心率为（ ） ABCD例103．（2022·河南洛阳·三模（文））已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，过2F 且垂直于x 轴的直线与椭圆在第一象限的交点为M ，12F MF ∠的平分线与y 轴交于点P ，若四边形12MF PF2，则椭圆的离心率e =___________.题型十八：利用焦半径的取值范围例104．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的左､右焦点分别为1212,,2F F F F c =.若双曲线M 的右支上存在点P ，使12213sin sin a cPF F PF F =∠∠，则双曲线M 的离心率的取值范围为___________.例105．（2022·吉林长春·二模（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．5,23⎛⎤⎥⎝⎦B ．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]1,2D ．5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭例106．（2022·江苏·金沙中学高二阶段练习）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2(0)c c >，左、右焦点分别是1F ，2F ，点P 在C 的右支上，且21c PF a PF =，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．(B ．)+∞C ．(1,1D ．)1⎡+∞⎣例107．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()222210x y a b a b+=>>上存在点P ，使得213PF PF =，其中1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是________．例108．（2022·河南·信阳高中高三期末（文））若椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上存在一点P ，使得128PF PF =，其中12,F F 分别C 是的左、右焦点，则C 的离心率的取值范围为______.例109．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．110,,132⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭题型十九：四心问题例110．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>）的左､右焦点分别为()1,0F c -和()212,0,,b F c M x c ⎛⎫⎪⎝⎭为C 上一点，且12MF F △的内心为()2,1I x ，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．13B ．25C ．12D ．35例111．（2022·河北衡水·高三阶段练习（理））已知坐标平面xOy 中，点1F ，2F 分别为双曲线222:1x C y a-=（0a >）的左、右焦点，点M 在双曲线C 的左支上，2MF 与双曲线C 的一条渐近线交于点D ，且D 为2MF 的中点，点I 为2OMF △的外心，若O 、I 、D 三点共线，则双曲线C 的离心率为（ ）AB ．3CD ．5例112．（2022·江苏·高二单元测试）设(),0F c 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点，以F 为圆心，b 为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，线段FP 的中点为D ，∆POF 的外心为I ，且满足()0OD OI λλ=≠，则双曲线E 的离心率为（ ）AB C ．2 D例113．（2022·江西南昌·三模（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，P是双曲线右支上一点，且212PF F F ⊥，I 和G 分别是12PF F △的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则双曲线的离心率为（ ） AB ．2C ．3D ．4例114．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））已知双曲线222:1(0)2x y C a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P为C 右支上一点，若12PF F △的重心为11,33G ⎛⎫⎪⎝⎭，则C 的离心率为（ ）AB ．2CD ．3例115．（2022·全国·高三专题练习（理））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，P 是椭圆上的动点，I 和G 分别是12PF F △的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则椭圆的离心率为( )A ．12B C D例116．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）已知1F ，2F 分别为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在第一象限内，2PF a =，G 为12PF F △重心，且满足11112GF F P GF F F ⋅=⋅，线段2PF 交椭圆C 于点M ，若24F M MP =，则椭圆C 的离心率为（ ）。
2025高考数学总复习离心率的范围问题
由题意知 a＝1，b＝ 1－m2，c＝m，
椭圆E上存在点P满足|OP|＝m，等价于以O为原点，以c为半径的圆与
椭圆有交点，得c≥b，
所以
c2≥b2＝a2－c2，解得ac22≥12，所以
e＝ac≥
2 2.
又
0<e<1，所以椭圆
E
的离心率的取值范围为
22，1.
(2)已知 P 为椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)上一点，F1，F2 为椭圆焦点，且|PF1|
题型二 利用圆锥曲线的性质求离心率的范围
例 2 (1)(2023·张掖模拟)若椭圆 E：x2＋1－y2m2＝1(0<m<1)上存在点 P，
满足|OP|＝m(O 为坐标原点)，则椭圆 E 的离心率的取值范围为
A.0，12
C.0，
2
2
B.12，1
√
D.
22，1
设椭圆E的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a，b，c，
该双曲线的右顶点，过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，
若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是
A.(1，＋∞) C.(2,1＋ 2)
√B.(1,2)
D.(1,1＋ 2)
由题意可知|AE|＝|BE|，即△ABE为等腰三角形， ∵△ABE是锐角三角形， ∴∠AEB<90°，∴∠AEF<45°， 将 x＝－c 代入ax22－by22＝1，可得 y＝±ba2， 故在 Rt△AFE 中，|AF|＝ba2，|FE|＝a＋c， ∵∠AEF<45°，
第八章
§8.7 离心率的范围问题
重点解读
圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知 特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘 应用也可使问题求解更简洁.
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高考数学专题复习——求解圆锥曲线离心率的
取值范围
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高考数学专题复习——求解圆锥曲线离心率的取值范围
求圆锥曲线离心率的取值范围是高考的一个热点，也是一个难点，求离心率的难点在于如何建立不等关系定离心率的取值范围.
一、直接根据题意建立,a c 不等关系求解.
例1：（08湖南）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32
a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是
A.(1,2)
B.(2,+∞)
C.(1,5)
D. (5,+∞)
备选（07北京）椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F ≤2，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） Ａ．1(0]2， Ｂ．2(02， Ｃ．1[1)2，
Ｄ．21) 二、借助平面几何关系建立,a c 不等关系求解
例2：（07湖南）设12F F ，分别是椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A ．2(0，
B ．3(0]，
C ．21) D.31)
三、利用圆锥曲线相关性质建立,a c 不等关系求解.
例3：（2008福建）双曲线22
221x y a b
==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为
A.(1,3)
B.(]1,3
C.(3,+∞)
D.[)3,+∞
备选（04重庆）已知双曲线22
221,(0,0)x y a b a b
-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：( ) A 43 B 53 C 2 D 73
备选已知1F ，2F 分别为22
221x y a b
-= (0,0)a b >>的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点，若21
2PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A (1,2]
B (1,3]
C [2,3]
D [3,)+∞
例5：已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>右顶为A,点P 在椭圆上，O 为坐标原点，且OP 垂直于PA ，求椭圆的离心率e 的取值范围。
例6：椭圆G ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的两焦点为12(,0),(,0)F c F c -，椭圆上存在点M 使1
20FM F M ⋅=. 求椭圆离心率e 的取值范围； 四、运用数形结合建立,a c 不等关系求解
例7：（06福建）已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
（A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞
五、运用函数思想求解离心率
例8：（08全国卷Ⅱ）设1>a ，则双曲线22
22
1(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是 A ．)2,2( B. )5,2( C. )5,2( D. )5,2(
六、运用判别式建立不等关系求解离心率
例9：在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上有一点M ，12,F F 是椭圆的两个焦点，若2212MF MF b ⋅=，求椭圆的离心率.
例10：（04全国Ⅰ）设双曲线C ：1:)0(1222
=+>=-y x l a y a
x 与直线相交于两个不同的点A 、B.求双曲线C 的离心率e 的取值范围：
1. 双曲线122
22=-b
y a x 的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为______ 2. 已知双曲线122
22=-b
y a x 的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则其离心率等于3。
双曲线122
22=-b
y a x 的左顶点和右焦点分别是A 、F ，点B 的坐标是（0，b ），若,90︒=∠ABF 则双曲线的离心率是________
4．已知F 1、F 2是双曲线122
22=-b
y a x 的两个焦点，AB 是经过焦点F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，若∠AF 2B=90º，则双曲线的离心率为__________
5。
双曲线12222=-b y a x 的离心率为e 1,双曲线122
22=-a
x b y 的离心率为e 2, 则 =+22
2111e e ________, e 1+e 2 的最小值为 . e 1·e 2的最小值为 __ . 6．设双曲线122
22=-b
y a x 的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应的焦点为F ，若以AB 为直径的圆恰过点F ，则双曲线的离心率为_________
7．已知双曲线的一条准线与渐近线的交点为A 、B ，这条准线的相应焦点为F ，如果△ABF 是等边三角形，则双曲线的离心率为 _________
8．双曲线的两条渐近线的夹角为4
3arctan 2则双曲线的离心率是_______ 9. 双曲线122
22=-b
y a x （0,0>>b a ）的右焦点2F 到过点),0()0,(b B a A 、的直线的距离等于双曲线虚半轴长的一半，则双曲线的离心率e 等于________
10. 双曲线122
22=-b
y a x （0<a ≤b ）的半焦距为c ，直线L 过点（a,0）、（0，b ）两点，已知原点到直线L 的距离为c 4
3，那么双曲线的离心率是_______ 11．设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为x y 2
1±
=，则该双曲线的离心率=e （ ） A ．5 B ． 5 C ．25 D ．45 12．椭圆和双曲线有相同的中心和准线，椭圆焦点F 1、F 2 三等分以双曲线焦点''2
1F F 、为端点的线段，则双曲线的离心率/e 与椭圆的离心率e 的比值是 （ ）
A ． 2 Ｂ． 3 Ｃ．２ Ｄ．３
13．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且c=d ，则双曲线的离心率是（ ）
A ． 2 Ｂ． 3 Ｃ．２ Ｄ．３
14．已知双曲线122
22=-b
y a x （0,0>>b a ）的半焦距为ｃ，若 042<-ac b ， 则双曲线的离心率范围是 （ ）
Ａ． 521+<<e Ｂ． 522+<<e
Ｃ． 5252+<<-e Ｄ． 22
3<<e
15．双曲线122
22=-b
y a x ，一直线经过A(a ，0)和B （0，b ）两点，若原点到直线AB 的距离为222
1b a +，则双曲线的离心率是 （ ） A ．２ Ｂ．2 Ｃ． 22或 Ｄ．
3 16．若双曲线122
22=-b
y a x )0(>>a b 的渐近线所夹锐角为 α2，则它的离心率为（） A ．αcsc Ｂ．αcsc - Ｃ．αcos Ｄ．αsec
17．双曲线)2(,12222>=-a y a x 的两条渐近线的夹角为3
π，则双曲线的离心率是（） Ａ．332 Ｂ．3
62 Ｃ．3 Ｄ．2 18．已知双曲线122
22=-b
y a x （0,0>>b a ）的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为060的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）
A ．（1，2] Ｂ．（1，2） Ｃ． [)+∞,2 Ｄ．（2，+∞）。