直线的交点坐标和距离公式

第二节直线的交点坐标与距离公式

[备考方向要明了]

考什么怎么考

1.能用解方程组的方法求两

条相交直线的交点坐标．

2.掌握两点间的距离公式、

点到直线的距离公式、会求

两条平行直线间的距离.

1.两条直线的交点坐标一般是不单独命题的，常作为知识点出

现在相关的位置关系中．

2.两点间距离公式是解析几何的一个基本知识点，点到直线的

距离公式是高考考查的重点，一般将这两个知识点结合直线与

圆或圆锥曲线的问题中来考查.

[归纳·知识整合]

1．两条直线的交点

设两条直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则两条直线的交点坐标就是方程组

⎩⎪

⎨

⎪⎧A1x＋B1y＋C1＝0，

A2x＋B2y＋C 2＝0

的解，

(1)若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；

(2)若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行，反之，亦成立．

[探究] 1.如何用两直线的交点判断两直线的位置关系

提示：当两条直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两条直线平行，有无数个交点时，两条直线重合．

2．距离

点P1(x1，y1)，

P2(x2，y2)之间的距离

|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12

点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝

|Ax0＋By0＋C|

A2＋B2

两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离

d ＝

|C 1－C 2|

A 2＋

B 2

[探究] 2.使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么 提示：使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式．使用两条平行线间距离公式时，要将两直线方程化为一般式且x 、y 的系数对应相等．

[自测·牛刀小试]

1．(教材习题改编)原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是( ) A ．1 C ．2

解析：选D d ＝

|－5|12

＋2

2

＝ 5.

2．点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是(3,4)，则AB 的长为( ) A ．10 B ．5 C ．8

D ．6

解析：选A 设A (a,0)，B (0，b )，则a ＝6，b ＝8，即A (6,0)，B (0,8)．所以|AB |＝6－0

2

＋0－8

2

＝36＋64＝10.

3．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋by ＝0相交于一点，则b ＝( ) A ．－1 B ．－1

2

C ．2

解析：选B 由⎩

⎪⎨

⎪⎧

2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝－1，y ＝－2，

将其代入x ＋by ＝0，得b ＝－1

2

.

4．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为________．

解析：设直线l 1的方程为x ＋y ＋λ＝0，则

2＝|－1－λ|12＋12

＝|λ＋1|2，解得λ＝1或λ＝－3.即直线l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.

答案：x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0

5．点(2,3)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是________． 解析：设对称点为(a ，b )，则

⎩⎪⎨⎪⎧

b －3a －2＝1，a ＋22＋b ＋32＋1＝0，

解得⎩⎪⎨

⎪⎧

a ＝－4，

b ＝－3.

答案：(－4，－3)

两条直线的交点问题

[例1] (1)经过直线l 1：x ＋y ＋1＝0与直线l 2：x －y ＋3＝0的交点P ，且与直线l 3：2x －y ＋2＝0垂直的直线l 的方程是________________．

(2)已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0，若l 1与l 2相交，则实数m ，n 满足的条件是__________．

[自主解答] (1)法一：由方程组⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＋y ＋1＝0，

x －y ＋3＝0，

解得⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝－2，

y ＝1，即点P (－2,1)，

∵l 3⊥l ，∴k ＝－12

，

∴直线l 的方程为y －1＝－1

2(x ＋2)，即x ＋2y ＝0.

法二：∵直线l 过直线l 1和l 2的交点，

∴可设直线l 的方程为x ＋y ＋1＋λ(x －y ＋3)＝0， 即(1＋λ)x ＋(1－λ)y ＋1＋3λ＝0.

∵l 与l 3垂直，∴2(1＋λ)－(1－λ)＝0，解得λ＝－1

3.

∴直线l 的方程为23x ＋4

3

y ＝0，即x ＋2y ＝0.

(2)因为两直线l 1与l 2相交，所以当m ＝0时，l 1的方程为y ＝－n 8，l 2的方程为x ＝1

2

，

两直线相交，此时m ，n 满足条件m ＝0，n ∈R ；

当m ≠0时，由两直线相交．