福建省福州市八县一中2016-2017学年高中二年级上学期期中考试数学理试卷
2016-2017学年省市八县（市）一中联考高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（2013春•越秀区期末）数列的一个通项公式可能是（）A．（﹣1）n B．（﹣1）n C．（﹣1）n﹣1D．（﹣1）【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据已知中数列各项的符号是一个摆动数列，我们可以用（﹣1）n﹣1来控制各项的符号，再由各项绝对值为一等比数列，由此可得数列的通项公式．【解答】解：由已知中数列，…可得数列各项的绝对值是一个以为首项，以公比的等比数列又∵数列所有的奇数项为正，偶数项为负故可用（﹣1）n﹣1来控制各项的符号，故数列，…的一个通项公式为（﹣1）n﹣1故选D【点评】本题考查的知识点是等比数列的通项公式，其中根据已知数列的前几项分析各项的共同特点是解答本题的关键．2．（2011•一模）已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=，b=，B=60°，那么∠A等于（）A．135°B．45°C．135°或45°D．60°【考点】正弦定理．【专题】计算题．【分析】结合已知条件a=，b=，B=60°，由正弦定理可得，可求出sinA，结合大边对大角可求得A【解答】解：a=，b=，B=60°，由正弦定理可得，a＜b A＜B=60°A=45°故选B【点评】本题考查正弦定理和大边对大角定理解三角形，属于容易题3．（2012•乌兰察布学业考试）设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b【考点】不等关系与不等式．【专题】计算题．【分析】通过举反例说明选项A，B，D错误，通过不等式的性质判断出C正确．【解答】解：对于A，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故A错对于B，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故B错对于C，∵﹣1＜b＜1∴0≤b2＜1∵a＞1∴a＞b2故C正确对于D，例如a=此时满足a＞1＞b＞﹣1，a2＜2b故D错故选C【点评】想说明一个命题是假命题，常用举反例的方法加以论证．4．（2016秋•期中）已知点A（2，0），B（﹣1，3）在直线l：x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值围是（）A．a＜﹣2，或a＞7 B．﹣2＜a＜7 C．﹣7＜a＜2 D．a=﹣2，或a=7 【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】计算题；函数思想；转化思想；不等式的解法及应用．【分析】点A（2，0），B（﹣1，3）在直线l：x﹣2y+a=0的两侧，那么把这两个点代入x ﹣2y+a，它们的符号相反，乘积小于0，即可求出a的取值围．【解答】解：∵点A（2，0），B（﹣1，3）在直线l：x﹣2y+a=0的两侧，∴（2+a）（﹣1﹣6+a）＜0，即：（a+2）（a﹣7）＜0，解得﹣2＜a＜7．故选：B．【点评】本题考查二元一次不等式组与平面区域问题，是基础题．准确把握点与直线的位置关系，找到图中的“界”，是解决此类问题的关键．5．（2011•）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值围是（）A．（0，] B．[，π）C．（0，] D．[，π）【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】三角函数的求值．【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得cosA的围，进而求得A的围．【解答】解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，∴a2≤b2+c2﹣bc，∴bc≤b2+c2﹣a2∴cosA=≥∴A≤∵A＞0∴A的取值围是（0，]故选C【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．作为解三角形中常用的两个定理，考生应能熟练记忆．6．（2016秋•期中）设等比数列{a n}的前n项和记为S n，若S4=2，S8=6，则S12等于（）A．8 B．10 C．12 D．14【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】直接利用等比数列的性质，化简求解即可．【解答】解：等比数列{a n}的前n项和记为S n，若S4=2，S8=6，可得S4，S8﹣S4，S12﹣S8，也是等比数列，S12﹣S8===8．S12=14．故选：D．【点评】本题考查等比数列的简单性质的应用，考查计算能力．7．（2016秋•期中）如图，在限速为90km/h的公路AB旁有一测速站P，已知点P距测速区起点A的距离为80m，距测速区终点B的距离为50m，且∠APB=60°．现测得某辆汽车从A 点行驶到B点所用的时间为3s，则此车的速度介于（）A．16～19m/s B．19～22m/s C．22～25m/s D．25～28m/s【考点】函数模型的选择与应用．【专题】计算题；方程思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】求出AB，可得车的速度，即可得出结论．【解答】解：由题意，AB==70m，70÷3≈23.3m/s，故选C．【点评】此题考查了解三角形的应用，考查余弦定理，比较基础．8．（2016秋•期中）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，且4sinA=3sinB 则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．钝角三角形【考点】三角形的形状判断．【专题】计算题；分类讨论；转化思想；综合法；解三角形．【分析】由已知利用正弦定理可得4a=3b，由，利用余弦定理整理可得（a2+b2）（a2﹣b2）=c2（a2﹣b2），从而可求a2+b2=c2，利用勾股定理即可得解．【解答】解：∵4sinA=3sinB，∴4a=3b，∵，可得：=，整理可得：（a2+b2）（a2﹣b2）=c2（a2﹣b2），∴a2﹣b2=0，或a2+b2=c2，∴a2+b2=c2，或a=b（舍去）∴△ABC的形状是直角三角形．故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想和转化思想的应用，属于中档题．9．（2015•）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨） 3 2 12B（吨） 1 2 8A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元【考点】简单线性规划的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．【解答】解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，则，目标函数为 z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由z=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，解方程组，解得，即B的坐标为x=2，y=3，∴z max=3x+4y=6+12=18．即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键．10．（2016秋•期中）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5=5，S5=15，则数列的前2016项和为（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可知：S5==15，求得a1=1，则a5=a1+4d=5，即可求得d=1，根据等差数列前n项和公式即可求得a n=n，则==﹣，采用“裂项法”即可求得数列的前2016项和．【解答】解：设等差数列{a n}公差为d，∵a5=5，S5=15，由S5==15，解得：a1=1，a5=a1+4d=5，则d=1，等差数列{a n}首项为1，公差为1，a n=a1+（n﹣1）d=n，==﹣，∴数列的前2016项和S2016，S2016=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣），=1﹣，=，故选A．【点评】本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式，“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．11．（2013秋•期末）定义算式⊗：x⊗y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，则实数a的取值围是（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．D．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】由已知中算式⊗：x⊗y=x（1﹣y），我们可得不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，转化为一个关于x的二次不等式恒成立，进而根据二次不等式恒成立的充要条件，构造一个关于a的不等式，解不等式求出实数a的取值围．【解答】解：∵x⊗y=x（1﹣y），∴若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，则（x﹣a）•（1﹣x﹣a）﹣1＜0恒成立即﹣x2+x+a2﹣a﹣1＜0恒成立则△=1+4（a2﹣a﹣1）=4a2﹣4a﹣3＜0恒成立解得故选D【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据二次不等式ax2+bx+c＜0恒成立充要条件是a＜0，△＜0构造一个关于a的不等式，是解答本题的关键．12．（2016•模拟）等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，且，则使得为整数的正整数的n的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】由等差数列{a n}、{b n}，利用等差数列的性质表示出a n和b n，将分子分母同时乘以n，将表示出的a n与b n代入，再利用等差数列的前n项和公式变形，根据已知的等式化简，整理后将正整数n代入进行检验，即可得到为整数的正整数的n的个数．【解答】解：∵等差数列{a n}、{b n}，∴a n=，b n=，∴===，又=，∴==7+，经验证，当n=1，3，5，13，35时，为整数，则使得为整数的正整数的n的个数是5．故选C．【点评】此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（2016秋•期中）已知△ABC中，AC=，AB=2，∠B=60°，则BC= 1 ．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】由已知利用余弦定理可得BC2﹣2BC+1=0，进而即可解得BC的值．【解答】解：∵AC=，AB=2，∠B=60°，∴由余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB，可得：3=4+BC2﹣2BC，即：BC2﹣2BC+1=0，∴解得：BC=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握余弦定理是解题的关键，属于基础题．14．（2016秋•期中）在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1=2，且a2，a4+2，a5成等差数列，记S n是数列{a n}的前n项和，则S5= 62 ．【考点】数列的求和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】a2，a4+2，a5成等差数列，可得a2+a5=2（a4+2），把已知代入解得q．再利用求和公式即可得出．【解答】解：设正数的等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a2，a4+2，a5成等差数列，∴a2+a5=2（a4+2），∴2q+2q4=2（2q3+2），解得q=2．∵S5==62．故答案为：62．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（2016秋•期中）设实数x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；转化法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用基本不等式求的最小值．【解答】解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=，作出可行域如图：∵a＞0，b＞0，∴直线y=的斜率为负，且截距最大时，z也最大．平移直线y=，由图象可知当y=经过点A时，直线的截距最大，此时z也最大．由，解得，即A（6，8）．此时z=6a+8b=12，即+=1，则=（）（+）=+++≥+2=+4=，当且仅当=时取=号，故答案为：【点评】本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．16．（2014•模拟）设S n为数列{a n}的前n项和，若（n∈N+）是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列{C n}是首项为2，公差为d（d≠0）的等差数列，且数列{C n}是“和等比数列”，则d= 4 ．【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【专题】新定义；等差数列与等比数列．【分析】由题意设数列{C n}的前n项和为T n，可得==k，对于n∈N*都成立，化简得，（k﹣4）dn+（k﹣2）（4﹣d）=0，由题意可得4﹣d=0，解之即可．【解答】解：由题意设数列{C n}的前n项和为T n，则T n=2n+，T2n=4n+，因为数列{C n}是“和等比数列”，所以===k，对于n∈N*都成立，化简得，（k﹣4）dn+（k﹣2）（4﹣d）=0，因为d≠0，故只需4﹣d=0，解得d=4故答案为：4【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，涉及新定义，属基础题．三、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（2016秋•期中）如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°．（1）求BD的长；（2）求∠ADC的度数．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】综合题；综合法；解三角形．【分析】（1）方法一：在△BCD中，由题意和正弦定理求出BD；方法二：由∠BDC=30°求出BC，利用条件和余弦定理列出方程，求出BD；（2）在△ABD中，利用条件和余弦定理求出cos∠ADB的值，结合图象求出∠ADC的度数．【解答】解：（1）方法一：在△BCD中，由正弦定理得：，即…（3分）解得BD=3…（4分）方法二：由已知得∠BDC=30°，故…（1分）由余弦定理得：BD2=CD2+BC2﹣2CD•BC•cos∠BCD=…（4分）∴BD=3…（2）在△ABD中，由余弦定理得：…（7分）∴∠ADB=45° …（8分）由已知∠BDC=30°…（9分）∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=45°+30°=75°…（10分）【点评】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查一题多解，化简、计算能力．18．（12分）（2016秋•期中）连江一中第49届田径运动会提出了“我运动、我、我健康、我快乐”的口号，某同学要设计一如图所示的竖向贴的长方形海报进行宣传，要求版心面积为162dm2（版心是指图中的长方形阴影部分，dm为长度单位分米），上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm．（1）若设版心的高为xdm，求海报四周空白面积关于x的函数S（x）的解析式；（2）要使海报四周空白面积最小，版心的高和宽该如何设计？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】计算题；函数思想；解题方法；函数的性质及应用．【分析】（1）由已知版心的高为xdm，则版心的宽为dm，求出海报四周空白面积．（2）利用基本不等式求解即可．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由已知版心的高为xdm，则版心的宽为dm…（1分）故海报四周空白面积为，…（4分）即S（x）=2x++8，x＞0…（6分）（2）由基本不等式得：…（9分）当且仅当时取等号…（11分）∴要使海报四周空白面积最小，版心的高应该为18 dm、宽为9 dm…（12分）【点评】本题考查实际问题选择函数的模型，基本不等式的应用，考查计算能力．19．（12分）（2016秋•期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若a+b=4，当c取最小值时，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】函数思想；综合法；解三角形．【分析】方法一：（Ⅰ）利用正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简已知的式子，由角的围和特殊角的三角函数值求出角C；（Ⅱ）利用余弦定理列出方程，由条件和完全平方公式化简后，利用基本不等式求出c的最小值，由面积公式求出△ABC的面积；方法二：（Ⅰ）利用余弦定理化简已知的式子得到边的关系，由余弦定理求出cosC的值，由角的围和特殊角的三角函数值求出角C；（Ⅱ）利用余弦定理列出方程，结合条件消元后，利用一元二次函数的性质求出c的最小值，由面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：方法一：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，∴2sinCcosA+sinA=2sinB，…（1分）∵A+B+C=π，∴2sinCcosA+sinA=2sin（A+C），…（2分）即 2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，…（3分）∴sinA=2sinAcosC，…（4分）∵sinA≠0，∴cosC=，…又∵C是三角形的角，∴C=．…（6分）（Ⅱ）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，…（7分）∵a+b=4，故c2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=16﹣3ab，…（8分）∴（当且仅当a=b=2时等号成立），…（10分）∴c的最小值为2，故．…（12分）方法二：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，∴，…（1分）∴b2+c2﹣a2+ab=2b2，即 c2=a2+b2﹣ab，…（3分）∴，…又∵C是三角形的角，∴c=．…（6分）（Ⅱ）由已知，a+b=4，即b=4﹣a，由余弦定理得，c2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，…（8分）∴c2=16﹣3a（4﹣a）=3（a﹣2）2+4，…（10分）∴当a=2时，c的最小值为2，故．…（12分）【点评】本题考查正弦、余弦定理，三角恒等变换中的公式，以及求最值的方法：基本不等式、一元二次函数的性质，考查一题多解，化简、变形能力．20．（12分）（2016秋•期中）已知f（x）=ax2+x﹣a．a∈R（1）若不等式f（x）＜b的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），求a，b的值；（2）若a＜0，解不等式f（x）＞1．【考点】二次函数的性质．【专题】分类讨论；方程思想；分类法；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意可得方程ax2+x﹣a﹣b=0的两根分别为﹣1、3，且a＜0，利用韦达定理，可得a，b的值；（2）若a＜0，等式为ax2+x﹣（a+1）＞0，即，分类讨论，可得不同情况下不等式的解集．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由题意可得方程ax2+x﹣a﹣b=0的两根分别为﹣1、3，且a＜0 …（1分）∴解得…（4分）（2）若a＜0，不等式为ax2+x﹣（a+1）＞0，即…（6分）∵．∴当时，，不等式的解集为；…（8分）当时，，不等式的解集为∅；…（10分）当时，，不等式的解集为…（12分）（如上，没有“综上所述…”，不扣分，但解集表达不规每处扣（1分），最多累计扣2分）【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．21．（12分）（2016秋•期中）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列（要指出首项、公比）；（2）若c n=nb n，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】综合题；函数思想；定义法；等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知数列递推式可得当n≥2时，S n=4a n﹣1+2，与原递推式联立可得a n+1=4a n ﹣4a n﹣1，然后利用定义证明数列{b n}是等比数列；（2）由数列{b n}的通项公式求出数列{c n}的通项公式，再由错位相减法求数列{c n}的前n项和T n．【解答】（1）证明：∵S n+1=4a n+2，∴当n≥2时，S n=4a n﹣1+2，两式相减得：a n+1=4a n﹣4a n﹣1，∴，∵当n=1时，S2=4a1+2，a1=1，∴a2=5，从而b1=3，∴数列{b n}是以b1=3为首项，2为公比的等比数列；（2）解：由（1）知，从而，∴T n=c1+c2+c3+…+c n﹣1+c n=3×20+6×21+9×22+…+3（n﹣1）×2n﹣2+3n×2n﹣1，2T n=3×21+6×22+9×23+…+3（n﹣1）×2n﹣1+3n×2n，两式相减得：=，∴．【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．22．（12分）（2016秋•期中）已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意的n∈N*，点（n，S n）恒在函数y=x的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记T n=，若对于一切的正整数n，总有T n≤m成立，数m的取值围；（3）设K n为数列{b n}的前n项和，其中b n=2an，问是否存在正整数n，t，使成立？若存在，求出正整数n，t；若不存在，请说明理由．【考点】数列与函数的综合；数列的应用．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用a n=S n﹣S n﹣1求解；（2）要使T n≤m对于一切的正整数n恒成立，只需m≥{T n}中的最大值即可；（3）求解有关正整数n的不等式．【解答】解：（1）由已知，得…（1分）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1==3n…（2分）当n=1时，a1=S1=3．∴a n=3n…（3分）（2）解法一：．（4分）当n=1时，T n+1＞T n，即T2＞T1；当n=2时，T n+1=T n，即T3=T2；当n≥3时，T n+1＜T n，即T n＜T n﹣1＜…＜T4＜T3…（6分）∴{T n}中的最大值为，要使T n≤m对于一切的正整数n恒成立，只需∴…（7分）解法二：…（4分）当n=1，2时，T n+1≥T n；当n≥3时，n+2＜2n⇒T n+1＜T n∴n=1时，T1=9；n=2，3时，n≥4时，T n＜T3…（6分）∴{T n}中的最大值为，要使T n≤m对于一切的正整数n恒成立，只需∴…（7分）（3）…（8分）将K n代入，化简得，（﹡）…（9分）若t=1时，，显然n=1时成立；…（10分）若t＞1时，（﹡）式化简为不可能成立…（11分）综上，存在正整数n=1，t=1使成立…（12分）【点评】本题考察了数列中a n和s n的转换关系式，数列中恒成立问题的处理方法，属于难题．。
数学---福建省福州市八县一中(福州一中、长乐一中等)2016-2017学年高二(上)期末试卷(文)(解析版)
2016-2017学年福建省福州市八县一中（福州一中、长乐一中等）高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）命题“∃x0∈R，x02+x0﹣1＜0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+x﹣1≥0 B．∀x∈R，x2+x﹣1＜0C．∃x0∈R，x02+x0﹣1≥0 D．∃x0∈R，x02+x0﹣1＞02．（5分）抛物线x2=4y的准线方程是（）A．y=B．y=﹣C．y=x D．y=﹣1 3．（5分）函数的导数是（）A．B．﹣sin xC．D．4．（5分）若命题￢（p或q）为假命题，则（）A．p、q中至少有一个为真命题B．p、q中至多有一个为真命题C．p、q均为真命题D．p、q均为假命题5．（5分）一质点做直线运动，由始点经过t秒后的距离为s=t3﹣t2+2t，则t=2秒时的瞬时速度为（）A．8m/s B．10m/s C．16m/s D．18m/s 6．（5分）设p：x＜3，q：﹣1＜x＜2，则p是q成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）曲线y=x2+1在点P（﹣1，2）处的切线方程为（）A．y=﹣x+3 B．y=﹣2x+4 C．y=﹣x+1 D．y=﹣2x8．（5分）设椭圆（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）=x ln x的单调递减区间为（）A．B．C．（﹣∞，﹣e）D．10．（5分）函数y=f（x）导函数f'（x）的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．函数y=f（x）在（﹣∞，0）上单调递增B．函数y=f（x）的递减区间为（3，5）C．函数y=f（x）在x=0处取得极大值D．函数y=f（x）在x=5处取得极小值11．（5分）设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|=（）A．B．8 C．D．1612．（5分）有下列四个命题，①若点P在椭圆=1上，左焦点为F，则|PF|长的取值范围为[1，5]；②方程x=表示双曲线的一部分；③过点（0，2）的直线l与抛物线y2=4x有且只有一个公共点，则这样的直线l共有3条；④函数f（x）=x3﹣2x2+1在（﹣1，2）上有最小值，也有最大值．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）给出命题：“若b=3，则b2=9”．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是．14．（5分）双曲线﹣=1的渐近线方程是．15．（5分）设函数f（x）的导数为f'（x），且f（x）=e x+2x•f'（1），则f'（0）=．16．（5分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线P A，PB，切点为A，B使得∠BP A=，则椭圆C1的离心率的取值范围是．三、解答题（本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中的双曲线C，它的中心在原点，焦点在x轴上，F1，F2分别为左、右焦点，F1（﹣5，0），离心率为5．（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）在双曲线右支上一点P满足|PF1|+|PF2|=14，试判定△PF1F2的形状．18．（12分）已知命题p：（x﹣3）（x+2）＜0，命题q：＞0，若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，求实数x的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=mx3+nx（x∈R）．若函数f（x）的图象在点x=3处的切线与直线24x﹣y+1=0平行，函数f（x）在x=1处取得极值，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣2，3]的最值．20．（12分）已知抛物线y2=2px的准线经过点（﹣1，1），（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）已知过抛物线焦点的直线交抛物线于A，B两点，且|AB|长为5，求直线AB的方程．21．（12分）已知椭圆C的两焦点分别为，长轴长为6，（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，试探究原点O是否在以线段AB为直径的圆上．22．（12分）已知函数f（x）=ln x﹣2x，g（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），若函数h（x）存在单调递减区间，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题1．A【解析】命题“∃x0∈R，x02+x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x﹣1≥0”，故选：A2．D【解析】因为抛物线的标准方程为：x2=4y，焦点在y轴正半轴上；所以：2p=4，即=1，则其准线方程是y=﹣1；故选：D．3．C【解析】根据导数的运算法则可得，y′===故选C4．A【解析】由￢（pvq）为假命题，可知P或q为真，p，q至少一个为真故选A．5．B【解析】s′=3t2﹣2t+2∴s′（2）=12﹣4+2=10∴t=2时的瞬时速度为10m/s．故选：B6．C【解析】令A=（﹣∞，3），B=（﹣1，2），由B⊊A，得p是q的必要不充分条件，故选：C．7．D【解析】∵y=x2+1，∴y′=2x，∴k=f′（﹣1）=﹣2，得切线的斜率为﹣2，所以k=﹣2；所以曲线y=f（x）在点（﹣1，2）处的切线方程为：y﹣2=﹣2（x+1），即y=﹣2x，故选D．8．B【解析】∵抛物线的焦点为（2，0），椭圆焦点在x轴上，排除A、C，由排除D，故选B9．A【解析】函数的定义域为x＞0∵f′（x）=ln x+1令ln x+1＜0得0＜x＜，∴函数f（x）=x ln x的单调递减区间是（0，），故选：A．10．D【解析】由函数y=f（x）导函数的图象可知：当x＜﹣1及3＜x＜5时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当﹣1＜x＜3及x＞5时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣1），（3，5）；单调增区间为（﹣1，3），（5，+∞），f（x）在x=﹣1，5取得极小值，在x=3处取得极大值．故选D．11．B【解析】抛物线的焦点F（2，0），准线方程为x=﹣2，直线AF的方程为，所以点、，从而|PF|=6+2=8故选B．12．C【解析】椭圆=1的a=3．c=2，若点P在椭圆=1上，左焦点为F，|PF|长的最小值为a﹣c=1，最大值为a+c=5，则|PF|长的取值范围为[1，5]，故①正确；②方程x=可化为：x2﹣y2=1，x≥0，表示双曲线的一部分，故②正确；③过点（0，2）的直线l与抛物线y2=4x有且只有一个公共点，则直线与抛物线相切，或与对称轴平行，则这样的直线l共有3条，故③正确；④函数f（x）=x3﹣2x2+1的导数f′（x）=3x2﹣4x2，令f′（x）=0，则x=0，或x=，由f（﹣1）=﹣2，f（）=；f（0）=1，f（2）=1，故在（﹣1，2）上无最小值，有最大值．故④错误；故选：C二、填空题13．1【解析】命题：“若b=3，则b2=9”，故其逆否命题为真命题，其逆命题为：“若b2=9，则b=3”，为假命题，故其否命题为假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是1个，故答案为：1；14．y=±x【解析】双曲线，∴a=2，b=3，焦点在x轴上，故渐近线方程为y=±x=±x，故答案为y=±．15．1﹣2e【解析】f'（x）=e x+2f'（1），则f′（1）=e+2f'（1），则f'（1）=﹣e，则f′（0）=1﹣2e，故答案为：1﹣2e．16．[，1）【解析】连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，∵∠BP A=，∠APO=∠BPO=，在直角三角形OAP中，∠AOP=，∴cos∠AOP==，得|OP|==2b，∴b＜|OP|≤a，∴2b≤a，∴4b2≤a2，即4（a2﹣c2）≤a2，∴3a2≤4c2，即≥，∴e，又0＜e＜1，∴≤e＜1，∴椭圆C的离心率的取值范围是[，1），故答案为：[，1）．三、解答题17．解：（Ⅰ）设双曲线的方程为，由题可知c=5，∵，∴a=1，∴b2=c2﹣a2=24，∴双曲线的方程为；（Ⅱ）根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a=2；∵|PF1|+|PF2|=14∴|PF1|=8，|PF2|=6，又∵|F1F2|=2c=10，∴，∴△PF1F2是直角三角形．18．解：当命题p为真命题时：（x﹣3）（x+2）＜0，即﹣2＜x＜3；当命题q为真命题时：，即x＞5；又p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴命题p、q一真一假，即p真q假或p假q真；当p真q假时，则，∴﹣2＜x＜3，当p假q真时，则，∴x＞5，∴综上所述，实数x的取值范围为（﹣2，3）∪（5，+∞）．19．解：（Ⅰ）∵f（x）=mx3+nx（x∈R），∴f'（x）=3mx2+n，由题意得，即，解得，经检验符合题意，∴f（x）=x3﹣3x；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）=3x2﹣3，令f'（x）=0得x=±1，列表如下：由表可知x∈[﹣2，3]时，f（x）min=﹣2，f（x）max=18．20．解：（Ⅰ）根据题意可知抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣1，则，p=2，∴抛物线的方程为y2=4x；（Ⅱ）当过焦点的直线斜率不存在时，|AB|=4，不合题意；故可设直线AB方程为y=k（x﹣1）（k≠0），，由得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，则，由抛物线的定义可知，|AB|=x1+x2+p，∴，解得k=±2，∴所求直线方程为2x﹣y﹣2=0或2x+y﹣2=0．21．解：（Ⅰ）根据题意得：，所以b=1，∴椭圆方程为；（Ⅱ）设，直线AB的方程为y=x+2，由得：10x2+36x+27=0，△＞0则，∴，∴原点O不在以线段AB为直径的圆上．22．解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，令f′（x）=0得，列表如下：由表可知f（x）的极大值为，无极小值；（Ⅱ）解法一：∵函数，∴，∵函数f（x）存在单调递减区间，∴h'（x）＜0有解，又∵函数h（x）的定义域为（0，+∞），∴ax2+2x﹣1＞0在（0，+∞）上有解，∴在（0，+∞）上有解，即，又∵，∴，∴a的取值范围为（﹣1，+∞）．解法二：∵函数，∴，∵函数f（x）存在单调递减区间，所以h'（x）＜0有解，又∵函数h（x）的定义域为（0，+∞），∴ax2+2x﹣1＞0在（0，+∞）上有解，（1）当a=0时，显然符合题意；（2）当a＞0时，y=ax2+2x﹣1为开口向上的抛物线，ax2+2x﹣1＞0在（0，+∞）上恒有解；（3）当a＜0时，y=ax2+2x﹣1为开口向下的抛物线，而ax2+2x﹣1＞0在（0，+∞）上恒有解，则，解得﹣1＜a＜0；综上：a的取值范围为（﹣1，+∞）．。
数学---福建省福州市八县一中(福清一中长乐一中等)2016-2017学年高二下学期期中联考(理)
福建省福州市八县一中（福清一中长乐一中等） 2016-2017学年高二下学期期中联考（理）第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设i 为虚数单位，复数(1)z i i =-则复数z 的共轭复数z 对应的点位于（ ）。
A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限2、下列值等于1的是（ ）。
A 、 B 、 C 、 D 、3、在平面上，如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，若两个相似三角形的边长比为1:2.则它们的面积之比为1:4。
类似地，在空间中，如果面数相同的多面体的对应面相似，有相同的相似比且对应多面角相等，那么这两个多面体叫相似多面体；若两个相似四面体的棱长比为1:2，则它们的体积比为（ ）。
A 、1:2B 、1:4C 、1:6D 、1:84、函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极大值点个数为（ ）。
A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 5、已知和式2123...........nn S ++++=,当+∞→n 时,S 无限趋近于一个常数A,则A 可用定积分表示为( ) A 、 B 、 C 、D 、6，在验证0n n =（0n 为起始值）时，不等式左边为( )。
A 、1 B C 1012dx ⎰10xdx⎰10(1)x dx+⎰101dx⎰10xdx⎰110Xdx⎰0⎰120x dx⎰7、一物体在力()2x F x e x =+ (单位:N)的作用下,沿着与力F 相同的方向,从x=0处运动到x=3处(单位:m),则力F(x)所作的功为( )。
A 、39e + B 、38e + C 、32e + D 、31e +8、若函数21()ln 12f x x x ax =+-+在区间)3,21(上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）。
福建省福州市八县一中高二数学上学期期中试题理
福建省福州市八县一中2017-2018学年高二数学上学期期中试题理完卷时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1．已知数列1,54,43,32,21+n n，则96.0是该数列的( ) A .第20项 B .第22项 C .第24项 D .第26项2．已知：10<<x ，则函数)1(x x y -=的最大值为（ ）A .21 B . 41 C .81 D .91 3．若,,a b c 为实数，则下列命题正确的是（ ）A .若0a b <<，则22a ab b >>B .若0a b <<，则11a b< C .若0a b <<，则b aa b> D .若a b >，则22ac bc > 4. 已知数列{}n a 的通项公式为325n a n =-，当n S 取到最小值时，n =( )A .5B .6C .7D .85．某观察站C 与两灯塔B A ,的距离分别为km 2和km 3，测得灯塔A 在观察站C 北偏西︒30，灯塔B 在观察站C 北偏东︒30，则两灯塔B A ,间的距离为（ ）A .km 345- B .km 4 C .km 7D .km 136．在等比数列{}n a 中，已知11a =，48a =，若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第2项和第6项，则数列{}n b 的前7项和为（ ）A .49B .70C .98D .1407．在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，B a c cos 2=,则ABC ∆的形状为（ ）A . 等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D .等腰直角三角形8．设R x ∈，对于使22x x M -≥恒成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值1-叫做22x x -的下确界．若,a b R *∈，且1a b +=，则114a b+的下确界为（ ） A .415 B .4 C .2 D .49 9．若不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围 是（ ）A .)2,(-∞B .)2,2(-C .]2,2(-D .)2,(--∞10．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理。
福建省福州市八县一中(福清一中,长乐一中等)2017届高三上学期期中联考数学(理)试题.doc
2016---2017学年度第一学期八县（市）一中期中联考高中三年数学科（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．。
1.．．设集合．．．2{3,log }P a =，．{,}Q a b =，若．．{0}P Q = ，则．．P Q = （． ）． A.．．{3,0} B.．．{3,0,1} C.．．{3,0,2} D.．．{3,0,1,2} 2.．．已知复数．．．．131iz i +=-，则下列说法正确的是（．．．．．．．．．．． ）． A.．．z 的共轭复数为．．．．．．12i -- B.．．z 的虚部为．．．．2iC.．．5z =D.．．z 在复平面内对应的点在第三象限．．．．．．．．．．．．．．34.．．直线．．4y x =与曲线．．．3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（．．．．．．．．．．．．．．．．．． ）．A.．．2B.．．4C.．．22D.．．24 5.．．下列命题中正确的是（．．．．．．．．．． ）．A.命题p ：“0x R ∃∈，200210x x -+<”，则命题p ⌝：x R ∀∈，2210x x -+> B ．“ln ln a b >”是“22a b>”的充要条件C.．．命题“若．．．．22x =，则．．x =．x =的逆否命题是“若．．．．．．．．．x ≠．x ≠则．．22x ≠”．D.命题p ：0x R ∃∈，001ln x x -<；命题q ：对x R ∀∈，总有20x>；则p q ∧是真命题6.如图，,,D C B 在地平面同一直线上，10DC m =，从,D C 两地测得A 点的仰角分别为30︒和45︒，则A 点离地面的高AB 等于( )A.10mB.C.1)mD.1)m7.．．已知数列．．．．{}n a 是等比数列，数列．．．．．．．．{}n b 是等差数列，若．．．．．．．1598a a a ⋅⋅=-，．2586b b b π++=，．则．4637cos1b b a a +-⋅的值是（．．．． ）．A.．．12．．12-D.．．8．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0OA AB AC ++= 且OA AB =，则向量CA 在CB方向上的投影为（ ）A.12 B.12-9.．．若函数．．．()f x 同时满足以下三个性质；①．．．．．．．．．．．．()f x 的最小正周期为．．．．．．．π；②对任意的．．．．．．x R ∈，都．．有．()()4f x f x π-=-；③．．()f x 在．3(,)82ππ上是减函数，则．．．．．．．()f x 的解析式可能是．．．．．．． A.()cos()8f x x π=+B.()sin 2cos 2f x x x =+C.()sin cos f x x x =D.()sin 2cos 2f x x x =-10.．．．已知数列．．．．{}n a ，．{}n b ，满足．．．11a =且．1,n n a a +是函数．．．2()2nn f x x b x =-+的两个零点，．．．．．．则．10b 等于．．(． )．A.．．64B.．．48C.．．32D.．．24 11.已知函数)(x f 是R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，当[0,1]x ∈时，()21x f x =-，则方程6()log (3)f x x =-在),0(+∞解的个数是（ ）A.6B.5C.4D.312.设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，x R ∀∈，有2()()f x f x x -+=，在(0,)+∞上()f x x '<，若(4)()84f m f m m --≥-．则实数m 的取值范围为( )A.[2,2]-B.[2,)+∞C.[0,)+∞D.(,2][2,)-∞-+∞二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．．．．．．．．．．．．．。
【数学】福建省福州市八县一中2016届高三上学期期中考试(理).docx
福州市八县一中 2016届高三上学期期中考试数学试卷（理）一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。
、设集合 Ax | 2 x4 ，集合Bx | y lg( x1)，则 A B 等于（）1A ． (1,2)B ． (1,2]C ． [1,2)D ． [1,2]2、已知 a(1, x) 和 b (x2, 2) ，若 a b ，则 ab（）A ． 5B ． 8C ． 10D ． 643、等比数列 { a n } 的各项为正数， 且 a 5a 6a 4a 7 18,则log 3 a 1log 3 a 2 log 3 a 10 （）A ． 12B ． 10C ． 8D ． 2+ log 3 54、如图，已知 ABCDEF 是边长为1 的正六边形，则 BA (BC CF ) 的DE值为（）CF3B.3C.3 3BAA.2D.2425、将函数 y3 cos x sin x,( x R) 的图象向右平移(0) 个单位长度后，所得到的图象关于 y 轴对称，则的最小值是（ ）A ．B ．C ．5D ．126366、已知定义域为R 的函数 f (x) 不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（）A ．x R, f ( x)f ( x)B. x R, f ( x) f (x)C ． x 0 R, f ( x 0 )f ( x 0 ) D ． x 0 R ，f ( x 0 ) f ( x 0 )7、下列四个结论：①设a ，b 为向量，若 |a ·b |＝ |a ||b |，则 a ∥ b 恒成立；②命题 “若 x sin x 0, 则 x 0 ”的逆命题为 “若 x 0，则 x sin x 0 ”；③ “命题 pq 为真 ”是 “命题 p q 为真 ”的充分不必要条件；其中正确结论的个数是（）A ．1 个B ． 2 个C ． 3 个D ．0 个8、对于函数 yg (x) ，部分 x 与 y 的对应关系如下表：x1 2 3 4 5 6y247518上，则 x1x2x2015()A ．4054B． 5046C． 5075D． 60479、设函数 f x x sin x cosx 的图像在点t, f t处切线的斜率为k ，则函数k g t 的部分图像为（）满足 a 2 2 b0 ，且关于的函数2332710、已知向量a,bxf x x a x a bx( )6在实数集 R 上单调递增，则向量 a ,b的夹角的取值范围是()A ．0,6B ．0,C．0,4D．, 36411、如图，是函数 f ( x)Asin(2x), (A 0,) 图像的一部分，对不同的2x1 , x2 a, b，若 f ( x1 ) f ( x2 ) ，有f ( x1x2 ) 2 ，则（）A ．f ( x)在(3,) 上是增函数88B ．f ( x)在(3,) 上是减函数88C．f ( x)在(5,) 上是增函数1212D．f ( x)在(5,) 上是减函数121212、若关于x的不等式a3x2 3x 4 b 的解集恰好是a, b，则 a b 的值为（）48B．416D ．5A ．C．33二、填空题：本大题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分 .13、若z sin3i cos4是纯虚数，则 tan的值为。
福建省福州市八县(市)协作校2016-2017学年高二上学期期末联考数学(理)试题(含精品解析)
福州市八县（市）协作校2016—2017学年第一学期期末联考高二理科数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 双曲线的焦距为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由双曲线方程得即焦距为，答案为D考点：双曲线的应用.2. “”是“”的（）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】试题分析：时一定有成立，但当时有，故“”是“”的必要不充分条件，选B．考点：充分必要条件．3. 已知向量分别是直线的方向向量，若，则 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，利用列方程组求解即可.【详解】，存在实数使得,即,，解得，故选D.【点睛】本题主要考查空间向量共线的性质，意在考查对基本性质的掌握情况，属于简单题.4. 对抛物线，下列描述正确的是（）A. 开口向上，焦点为B. 开口向上，焦点为C. 开口向右，焦点为D. 开口向右，焦点为【答案】A【解析】试题分析：由抛物线的定义可知：开口向上，焦点坐标为，所以C为正确答案.考点：抛物线的定义.5. 下列有关命题的说法正确的是（）A. 命题“若”的否命题为：“若”B. “”是“”的必要不充分条件C. 命题“”的否定是：“”D. 命题“若”的逆否命题为真命题【答案】D【解析】【分析】写出原命题的否命题，可判断；由充分条件与必要条件的定义，可判断；写出原命题的否定命题，可判断；判断原命题的真假，根据互为逆否的两个命题真假性相同可判断.【详解】命题“若则的否命题为：“若则，故错误；“”是“”的充分不必要条件，故错误；命题“存在使得”的否定是：对任意“均有”，故错误；命题“若则”是真命题，故其逆否命题为真命题，故正确，故选D.【点睛】本题通过判断命题的真假综合考查四种命题及其关系以及充分条件与必要条件、全称命题与特称命题，判断命题的真假应注意以下几个方面：(l)首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系；(2)要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地确定了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”，注意利用“原命题”与“逆否命题”同真假；(3)判断命题真假时，可直接依据定义、定理、性质直接判断，也可使用特值进行排除.6. 已知两点，，且是与的等差中项，则动点的轨迹方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知c=1，=2，则=4，所以b2=3；所以选C7. 如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成的角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以为原点，为轴、为轴、为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成的角大小.【详解】以为原点，为轴、为轴、为轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为，则，，，异面直线与所成的角为，故选D.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.8. 斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A,B两点,则=（）A. 8B. 6C. 12D.【答案】A【解析】【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线方程，与抛物线方程联立，消去，根据韦达定理求得的值，进而根据抛物线的定义可知，从而可得结果.【详解】由抛物线方程可得抛物线的焦点为，因为斜率为1，所以直线方程为，代入抛物线方程得，，设，，根据抛物线的定义可知，故选A.【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.9. 在四面体中，点为棱的中点. 设, ，，那么向量用基底可表示为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据点为棱的中点，则，然后利用空间向量的基本定理，用表示向量即可. 【详解】点为棱的中点，，，又，，故选B.【点睛】本题主要考查空间向量的基本定理，以及向量的中点公式，要求熟练掌握，同时考查了转化与划归的思想的应用，属于基础题.10. 下列三图中的多边形均为正多边形，分别为正三角形、正四边形、正六边形，、是多边形的顶点，椭圆过且均以图中的为焦点，设图①、②、③中椭圆的离心率分别为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知图形把的坐标用含有的代数式表示，把的坐标代入椭圆方程，结合椭圆的定义与性质分别求出离心率后比较大小可得结论.【详解】由图①知，，由图②知，点在椭圆上，，则，整理得，解得，由图③知，在椭圆上，，则，整理得，，故选B.【点睛】本题主要考查椭圆的定义、离心率及简单性质，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．11. 设、是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（为坐标原点）且则的值为（）A. B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】【分析】由已知中，可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得是以直角的直角三角形，进而根据是双曲线右支上的点，及双曲线的性质结合勾股定理构造方程可得的值，进而求出的值.【详解】由双曲线方程，可得，，又，，，，故是以直角的直角三角形，又是双曲线右支上的点，，由勾股定理可得，解得，故，故选B.【点睛】本题主要平面向量的几何运算，考查双曲线的标准方程，双曲线的定义与简单性质，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.12. 如右图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为正方形，侧面，为底面内的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹为下图中的（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先找符合条件的特殊位置，然后根据符合条件的轨迹为线段的垂直平分面与平面的交线得到结论. 【详解】根据题意可知，则点符合“为底面内的一个动点，且满足”，设的中点为，根据题目条件可知，，点也符合“为底面内的一个动点，且满足”，故动点的轨迹肯定过点和点，可排除，而到点与到点的距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分面，线段的垂直平分面与平面的交线是一直线，故选A.【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及公理二等有关知识，同时考查了空间想象能力，推理能力，属于难题.二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡相应横线上.13. 在空间直角坐标系中，已知，.若，则______________.【答案】【解析】试题分析：因为，所以，解得。
福建省福州市数学高二上学期理数期中考试试卷
福建省福州市数学高二上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·南阳模拟) 命题“∀m∈[0，1]，x+ ”的否定形式是（）A .B .C .D .2. （2分）(2018·朝阳模拟) 庙会是我国古老的传统民俗文化活动,又称“庙市”或“节场”.庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动,如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋,如果有奖品,则“中奖”）.今年春节期间,某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会,每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前,甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测,预测结果如下:甲说:“我或乙能中奖”；乙说:“丁能中奖”；丙说:“我或乙能中奖”；丁说:“甲不能中奖”.游戏结束后,这四位同学中只有一位同学中奖,且只有一位同学的预测结果是正确的,则中奖的同学是（）A . 甲B . 乙C . 丙D . 丁3. （2分） ac2＞bc2是a＞b的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）条件P：“x＜1”，条件q：“（x+2）（x﹣1）＜0”，则P是q的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）已知等差数列，为其前项和，若，且，则（）A .B .C .D .6. （2分）关于x的不等式的解集为,且,则（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高二上·城关期中) 在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（）A .B .C .D .8. （2分）若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC（）A . 是锐角△B . 是直角△C . 是钝角△D . 是锐角△或钝角△9. （2分）(2018高二上·阜阳月考) 在中，角的对边分别为，已知，则（）A . 1B . 2C .D .10. （2分）设变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A . 8B . 6C . 4D . -211. （2分）设集合，则= （）A . {2,3}B . {1,4,5}C . {4,5}D . {1,5}12. （2分） (2016高二上·高青期中) 已知数列{an}的前项n和Sn=n2+2n，则数列的前项n和为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一上·海淀期中) 能够说明“设x是实数，若x＞1，则”是假命题的一个实数x的值为________．14. （1分）(2020·邵阳模拟) 为了解某地区的“微信健步走”活动情况,现用分层抽样的方法从中抽取老、中、青三个年龄段人员进行问卷调查.已知抽取的样本同时满足以下三个条件:（i）老年人的人数多于中年人的人数;（ii）中年人的人数多于青年人的人数;（iii）青年人的人数的两倍多于老年人的人数.①若青年人的人数为4,则中年人的人数的最大值为________.②抽取的总人数的最小值为________．15. （1分）设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1+b1=7，a5+b5=35，则a3+b3=________．16. （1分） (2020高三上·浦东期末) 在△ 中，边、、满足，，则边的最小值为________三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2016高一下·河源期中) 制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损分别为30%和10%．投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？18. （5分）(2018·台州模拟) 已知函数．（1）当时，若存在，使得，求实数的取值范围；（2）若为正整数，方程的两个实数根满足，求的最小值．19. （10分） (2018高二上·莆田月考) 本公司计划2018年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？20. （10分） (2016高二上·郑州期中) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 =（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．21. （10分）(2017·邵阳模拟) 已知等比数列{an}的前n项和为Sn ，且6Sn=3n+1+a（n∈N+）（1）求a的值及数列{an}的通项公式；（2）设bn=（1﹣an）log3（an2•an+1），求的前n项和为Tn．22. （5分） (2017高一下·南昌期末) 按如图所示的程序框图操作：（Ⅰ）写出输出的数所组成的数集．若将输出的数按照输出的顺序从前往后依次排列，则得到数列{an}，请写出数列{an}的通项公式；（Ⅱ）如何变更A框内的赋值语句，使得根据这个程序框图所输出的数恰好是数列{2n}的前7项？（Ⅲ）如何变更B框内的赋值语句，使得根据这个程序框图所输出的数恰好是数列{3n﹣2}的前7项？参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。
福建省八县一中高二上学期期中考试数学(理)试题
2015-2016学年第一学期八县（市）一中期中联考高中 二 年 数学（理） 科试卷一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1．已知数列1，，，，…，，…，则是它的( )A ．第22项B ．第23项C ．第24项D ．第28项2．下列命题正确的是( )A ．若,则B ．若,则C ．若,则D ．若,,则3. 在中,35,20,30b c C ︒===,则此三角形解的情况是（ ） A.两解 B. 一解 C. 一解或两解 D.无解 4．不等式的解集为（ ） A ． B ． C ． D ．5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 25＝100，则a 12＋a 14为( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．不确定6．在△ABC 中，，则该三角形为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 7．已知等比数列{a n }中，a 1，a 99为方程x 2－10x ＋4＝0的两根，则a 20·a 50·a 80的值为( ) A ．8 B ．8 C ．±8 D ．±648. 已知，不等式组00(2)x y y a x ≥⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域的面积为1，则的值为（ ）A ．B ．C ．1D ．29．福州青运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后 一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米 （如下图所示），则旗杆的高度为（ ）米． A ． B ．C ．20D ．3010．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和， 则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．1811．已知实数，且满足，则的最小值是（ ） A ．B ．C ．D ．412. 已知四个数成等差数列，四个数成等比数列，则点， 与直线的位置关系是（ ） A ．，都在直线的下方B ．在直线的下方，在直线上方C ．在直线的上方，在直线下方D ．，都在直线的上方二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．设变量x ，y 满足约束条件311x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩，则的最小值为 .14．在中，已知角75,45,A B AB ===_______． 15．若关于的不等式解集不是空集，则实数的取值范围是________．16. 已知数列错误！未找到引用源。
福州市高二上学期期中数学试卷(I)卷
福州市高二上学期期中数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2017高三上·唐山期末) 现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为（）A .B .C .D .2. （2分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为正方形ABCD中心，则A1O与平面ABCD所成角的正切值为（）A .B .C . 1D .3. （2分）已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是（）A . 16B . 64C . 16或64D . 无法确定4. （2分）设点O（0，0，0），A（2，﹣1，3），B（﹣1，4，﹣2），C（3，1，λ），若O，A，B，C四点共面，则实数λ等于（）A .B .C . 4D .5. （2分）函数在一点的导数值为0是函数在这点取极值的（）A . 充分条件B . 必要条件C . 必要非充分条件D . 充要条件6. （2分） (2016高二上·宣化期中) 下列命题中正确的是（）①“若x2+y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m＞0，则x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题；④“若x﹣是有理数，则x是无理数”的逆否命题．A . ①②③④B . ①③④C . ②③④D . ①④7. （2分）如图，设平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B，D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选项中的（）A . AC⊥βB . AC⊥EFC . AC与BD在β内的射影在同一条直线上D . AC与α，β所成的角相等8. （2分）在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 不能确定9. （2分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，四面体S﹣ABC各顶点坐标分别是S（1，1，2），A（3，3，2），B （3，3，0），C（1，3，2），则该四面体外接球的表面积是（）A . 16πB . 12πC . 4 πD . 6π10. （2分）已知四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥的四个侧面中面积最大的是A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分）(2017·泉州模拟) 已知在体积为12π的圆柱中，AB，CD分别是上、下底面两条不平行的直径，则三棱锥A﹣BCD的体积最大值等于________．12. （1分）空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交线有________条．13. （1分）在空间直角坐标系中，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的其中四个顶点的坐标分别是D（0，0，0），A（6，0，0），C（0，6，0），D（0，0，6），若一个球与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面都相切，则该球的体积是________ ．14. （1分） (2016高二下·姜堰期中) 设点C（2a+1，a+1，2）在点设P（2，0，0），A（1，﹣3，2），B（8，﹣1，4）确定的平面上，则a的值为________．15. （1分） (2019高一上·延边月考) 已知的三边长分别为 , , ,M是AB边上的点,P是平面ABC外一点.给出下列四个命题：①若平面ABC,则三棱锥的四个面都是直角三角形；②若平面ABC,且M是边AB的中点,则有；③若 ,平面ABC,则面积的最小值为；④若 ,P在平面ABC上的射影是内切圆的圆心,则点P到平面ABC的距离为 .其中正确命题的序号是________.（把你认为正确命题的序号都填上）16. （1分） (2016高一上·德州期中) 下列几个命题：①函数y= + 是偶函数，但不是奇函数；②方程x2+（a﹣3）x+a=0的有一个正实根，一个负实根，则a＜0；③f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=2x2+x﹣1，则x≥0时，f（x）=﹣2x2+x+1④函数y= 的值域是（﹣1，）．其中正确命题的序号有________．17. （1分） (2015高二下·黑龙江期中) 给出下列5种说法：①标准差越小，样本数据的波动也越小；②回归分析研究的是两个相关事件的独立性；③在回归分析中，预报变量是由解释变量和随机误差共同确定的；④相关指数R2是用来刻画回归效果的，R2的值越大，说明回归模型的拟合效果越好．⑤对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握越小．其中说法正确的是________（请将正确说法的序号写在横线上）．三、解答题 (共5题；共50分)18. （10分） (2017高一上·济南月考) 如图，是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点．（1）求证：平面；（2）设为的中点，为的重心，求证：平面．19. （10分）(2020·厦门模拟) 在直角坐标系xOy下，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C1在变换T：的作用下变成曲线C2 ．（1）求曲线C2的普通方程；（2）若m>1，求曲线C2与曲线C3：y=m|x|-m的公共点的个数．20. （5分） (2017高一上·张掖期末) 已知p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．若“非p”是“非q”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．21. （10分） (2018高二上·成都月考) 如图，在三棱锥中，、分别是、的中点，平面平面，求证：（1）平面；（2） .22. （15分） (2018高一下·黑龙江期末) 如图，在三棱柱中，平面ABC，，，E是BC的中点．（1）求证：；（2）求异面直线AE与所成的角的大小；（3）若G为中点，求二面角的正切值．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共7题；共7分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共50分)18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
福建省福州市八县一中(福州一中、长乐一中等)2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
2016-2017学年福建省福州市八县一中（福州一中、长乐一中等）高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设x∈R，则“x＞1”是“x2＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．抛物线y=﹣4x2的准线方程为（）A．x=1 B．y=1 C．x=D．y=3．已知a，b∈R，则命题“若a+b=1，则a2+b2≥”的逆否命题是（）A．若a+b≠1，则a2+b2＜ B．若a+b=1，则a2+b2＜C．若a2+b2＜，则a+b≠1 D．若a2+b2≥，则a+b=14．若双曲线与椭圆有共同的焦点，且a＞0，则a的值为（）A．5 B．C． D．5．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若=，=，=，则=（）A．B． C．D．6．如图，在二面角α﹣l﹣β的棱l上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，若二面角α﹣l﹣β的大小为，AB=AC=2，BD=3，则CD=（）A． B． C． D．7．已知点P（x，y）在椭圆x2+4y2=4上，则的最大值为（）A．8 B．7 C．2 D．﹣18．已知方程（m﹣3）x2+（5﹣m）y2=（m﹣3）（5﹣m），其中m∈R，对m的不同取值，该方程不可能表示的曲线是（）A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线9．已知抛物线C：y2=12x，过点P（2，0）且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A、B两点，则线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为（）A．22 B．14 C．11 D．810．给出以下命题：①若cos＜，＞=﹣，则异面直线MN与PQ所成角的余弦值为﹣；②若平面α与β的法向量分别是与，则平面α⊥β；③已知A、B、C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足，则点M∈平面ABC；④若向量、、是空间的一个基底，则向量、、也是空间的一个基底；则其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．411．如图，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线与双曲线的左、右两支分别相交于B、A两点，若△ABF2为等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．312．已知A、B为椭圆=1和双曲线=1的公共顶点，P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于两点A、B的动点，且有+=λ（+）（λ∈R，|λ|＞1），设直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k1、k2、k3、k4，则k1+k2+k3+k4的值（）A．大于0B．等于0C．小于0D．大于0，等于0，小于0都有可能二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知命题p：∀x∈R，x＜﹣1，则该命题的否定是￢p：．14．直线l与双曲线x2﹣4y2=4相交于A、B两点，若点P（4，1）为线段AB的中点，则直线l的方程是．15．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0），q：2＜x≤3．若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是．16．在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，∠BAC=，AB=AC=AA1=1，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD ⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为．三、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设命题p：∀x∈R，x2﹣2x＞a，其中a∈R，命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0．如果“x2＞1p”为假命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．18．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，且经过点（2，3）．（Ⅰ）求双曲线C的标准方程和其渐近线方程；（Ⅱ）设直线l经过点（0，﹣1），且斜率为k．求直线l与双曲线C有两个公共点时k的取值范围．19．如图，直角梯形OABC中，∠COA=∠OAB=，OC=2，OA=AB=1，SO⊥平面OABC，且SO=1，点M为SC的中点．（Ⅰ）求证：BM∥平面SOA；（Ⅱ）求二面角O﹣SC﹣B的余弦值．20．已知点P在抛物线x2=y上运动，过点P作y轴的垂线段PD，垂足为D．动点M（x，y）满足，设点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=﹣1，若经过点F（0，1）的直线与曲线C相交于A、B两点，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为A1、B1，试判断直线A1F与B1F的位置关系，并证明你的结论．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC=45°，PA⊥底面ABCD，AB=AC=PA=2，E、F分别为BC、AD的中点，点M在线段PD上．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；（Ⅱ）设，若直线ME与平面PBC所成的角θ的正弦值为，求λ的值．22．设椭圆的离心率为，左顶点到直线x+2y﹣2=0的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点O，试探究：点O到直线AB的距离是否为定值？若是，求出这个定值；否则，请说明理由；（Ⅲ）在（2）的条件下，试求△AOB面积S的最小值．2016-2017学年福建省福州市八县一中（福州一中、长乐一中等）高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设x∈R，则“x＞1”是“x2＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】直接利用充要条件的判定判断方法判断即可．【解答】解：因为“x＞1”，则“x2＞1”；但是“x2＞1”不一定有“x＞1”，所以“x＞1”，是“x2＞1”成立的充分不必要条件．故选A．2．抛物线y=﹣4x2的准线方程为（）A．x=1 B．y=1 C．x=D．y=【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线y=﹣4x2的方程化为：，可得p=，即可得出．【解答】解：抛物线y=﹣4x2的方程化为：，可得p=，∴准线方程为y=．故选：D．3．已知a，b∈R，则命题“若a+b=1，则a2+b2≥”的逆否命题是（）A．若a+b≠1，则a2+b2＜ B．若a+b=1，则a2+b2＜C．若a2+b2＜，则a+b≠1 D．若a2+b2≥，则a+b=1【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】根据已知中的原命题，结合逆否命题的定义，可得答案．【解答】解：命题“若a+b=1，则a2+b2≥”的逆否命题是“若a2+b2＜，则a+b ≠1”，故选：C4．若双曲线与椭圆有共同的焦点，且a＞0，则a的值为（）A．5 B．C． D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由双曲线方程求出双曲线的焦点坐标，得到椭圆的焦点坐标，再结合隐含条件求得a值．【解答】解：由双曲线，得c2=4+5=9，c=3．∴双曲线的焦点坐标为F1（﹣3，0），F2（3，0），则椭圆的交点坐标也为F1（﹣3，0），F2（3，0），即椭圆的半焦距c=3，∴a2=b2+c2=16+9=25，得a=5．故选：A．5．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若=，=，=，则=（）A．B． C．D．【考点】空间向量的加减法．【分析】利用空间向量加法法则求解．【解答】解：∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，=，=，=，∴=（）=﹣+（）=﹣++=﹣+（﹣）+（﹣）=﹣++=﹣+．故选：C．6．如图，在二面角α﹣l﹣β的棱l上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，若二面角α﹣l﹣β的大小为，AB=AC=2，BD=3，则CD=（）A． B． C． D．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】由已知可得=++，利用数量积的性质即可得出．【解答】解：∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴==0，∵＜，＞=60°，∴＜，＞=120°∵=++，∴2=2+2+2+2•+2•+2•=22+22+32+0+2×2×3×cos120°+0=11，∴CD=．故选A．7．已知点P（x，y）在椭圆x2+4y2=4上，则的最大值为（）A．8 B．7 C．2 D．﹣1【考点】椭圆的简单性质；椭圆的应用．【分析】利用椭圆方程，转化所求的表达式为二次函数，通过二次函数的最值求解即可．【解答】解：点P（x，y）在椭圆x2+4y2=4上，可得x∈[﹣2，2]．可得y2=1﹣x2．则=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2≤9﹣2=7，当且仅当x=2时表达式取得最大值7．故选：B．8．已知方程（m﹣3）x2+（5﹣m）y2=（m﹣3）（5﹣m），其中m∈R，对m的不同取值，该方程不可能表示的曲线是（）A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线【考点】曲线与方程．【分析】由题意，m∈R，对m的不同取值，该方程不可能出现一次项，故方程不表示抛物线．【解答】解：由题意，m∈R，对m的不同取值，该方程不可能出现一次项，故方程不表示抛物线．故选D．9．已知抛物线C：y2=12x，过点P（2，0）且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A、B两点，则线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为（）A．22 B．14 C．11 D．8【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】求出抛物线的准线方程，然后求解准线方程，求出线段AB的中点的横坐标，然后求解即可．【解答】解：抛物线C：y2=12x，可得准线方程为：x=﹣3，过点P（2，0）且斜率为1的直线l：y=x﹣2，由题意可得：，可得x2﹣16x+4=0，直线l与抛物线C相交于A、B两点，则线段AB的中点的横坐标为：8，则线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为：8+3=11．故选：C．10．给出以下命题：①若cos＜，＞=﹣，则异面直线MN与PQ所成角的余弦值为﹣；②若平面α与β的法向量分别是与，则平面α⊥β；③已知A、B、C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足，则点M∈平面ABC；④若向量、、是空间的一个基底，则向量、、也是空间的一个基底；则其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由两条异面直线所成的角的取值范围可以判断①，由平面向量数量积的运算可以判断②，在空间，点M在平面ABC内的充要条件是存在α、β、γ，使=α+β+γ且α+β+γ=1可以判断③，由三个向量非零不共线可以判断④，从而可得到正确的命题个数．【解答】解：对于①：∵两条异面直线所成的角的取值范围是（0°，90°]，∴异面直线MN与PQ所成角的余弦值不能为负值，故①不正确；对于②：∵•=（2，4，﹣3）（﹣1，2，2）=﹣2+8﹣6=0，∴⊥．∴平面α与平面β垂直，故②正确；对于③：∵，且∴M点不在平面ABC内，故③不正确；对于④：∵向量、、是空间的一个基底，则向量、、也是空间的一个基底，∵三个向量非零不共线，故④正确．∴其中正确的命题个数是：2．故选：B．11．如图，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线与双曲线的左、右两支分别相交于B、A两点，若△ABF2为等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率．【解答】解：根据双曲线的定义，可得|BF1|﹣|BF2|=2a，∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|=|AB|，∴|BF1|﹣|BF2|=2a，即|BF1|﹣|AB|=|AF1|=2a又∵|AF2|﹣|AF1|=2a，∴|AF2|=|AF1|+2a=4a，∵△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，∠F1AF2=120°，∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1|•|AF2|cos120°，即4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）=28a2，解之得c=a，由此可得双曲线C的离心率e==．故选：C．12．已知A、B为椭圆=1和双曲线=1的公共顶点，P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于两点A、B的动点，且有+=λ（+）（λ∈R，|λ|＞1），设直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k1、k2、k3、k4，则k1+k2+k3+k4的值（）A．大于0B．等于0C．小于0D．大于0，等于0，小于0都有可能【考点】圆锥曲线的综合．【分析】设P（x1，y1）、Q（x2，y2），利用斜率公式得到k1+k2=+=；同理可得k3+k4=﹣，结合O、P、Q三点共线即可得出k1+k2+k3+k4的值．【解答】解：由题意，O、P、Q三点共线．设P（x1，y1）、Q（x2，y2），点P在双曲线=1上，有x12﹣4=4y12．所以k1+k2=+=．①又由点Q在椭圆=1上，有x22﹣4=﹣2y22．同理可得k3+k4=﹣②∵O、P、Q三点共线．∴=．由①、②得k1+k2+k3+k4=0．故选B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知命题p：∀x∈R，x＜﹣1，则该命题的否定是￢p：∃x∈R，x≥﹣1．【考点】命题的否定．【分析】由全称命题的否定为特称命题，即可得到所求命题的否定．【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，可得命题p：∀x∈R，x＜﹣1，则该命题的否定是￢p：∃x∈R，x≥﹣1．故答案为：∃x∈R，x≥﹣1．14．直线l与双曲线x2﹣4y2=4相交于A、B两点，若点P（4，1）为线段AB的中点，则直线l的方程是x﹣y﹣3=0．【考点】直线与双曲线的位置关系．【分析】设出A，B的坐标，代入双曲线方程，两式相减，根据中点的坐标可知x1+x2和y1+y2的值，进而求得直线AB的斜率，根据点斜式求得直线的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=8，y1+y2=2，∵x12﹣4y12=4，x22﹣4y22=4，两式相减可得：（x1+x2）（x1﹣x2）﹣4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴8（x1﹣x2）﹣8（y1﹣y2）=0，∴k AB=1，∴直线的方程为y﹣1=1（x﹣4），即x﹣y﹣3=0．故答案为：x﹣y﹣3=0．15．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0），q：2＜x≤3．若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（1，2] ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0），解得a＜x＜3a．根据p是q的必要不充分条件，可得，解出即可得出．【解答】解：p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0），解得a＜x＜3a．q：2＜x≤3．∵p是q的必要不充分条件，∴，解得1＜a≤2．则实数a的取值范围是（1，2]，故答案为：（1，2]．16．在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，∠BAC=，AB=AC=AA1=1，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为．【考点】棱柱的结构特征；点、线、面间的距离计算．【分析】根据直三棱柱中三条棱两两垂直，本题考虑利用空间坐标系解决．建立如图所示的空间直角坐标系，设出F、D的坐标，求出向量，利用GD ⊥EF求得关系式，写出DF的表达式，然后利用二次函数求最值即可．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，1，），G（，0，1），F（x，0，0），D（0，y，0）由于GD⊥EF，所以x+2y﹣1=0DF===当y=时，线段DF长度的最小值是当y=1时，线段DF长度的最大值是1而不包括端点，故y=1不能取；故答案为：．三、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设命题p：∀x∈R，x2﹣2x＞a，其中a∈R，命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0．如果“x2＞1p”为假命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】求出两个命题是真命题时的a的范围，判断复合命题的真假，然后求解实数a的取值范围．【解答】（本小题满分10分）解：命题p：∀x∈R，x2﹣2x＞a，即x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1＞a恒成立⇔a＜﹣1…命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，即方程x2+2ax+2﹣a=0有实数根，…故△=（2a）2﹣4（2﹣a）≥0⇔a2+a﹣2≥0⇔a≤﹣2或a≥1…因为“¬p”为假命题，“p∧q”为假命题，故p为真命题，q为假命题…所以…故﹣2＜a＜﹣1，即实数a的取值范围是（﹣2，﹣1）…18．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，且经过点（2，3）．（Ⅰ）求双曲线C的标准方程和其渐近线方程；（Ⅱ）设直线l经过点（0，﹣1），且斜率为k．求直线l与双曲线C有两个公共点时k的取值范围．【考点】圆锥曲线的范围问题；双曲线的标准方程；直线与双曲线的位置关系．【分析】（Ⅰ）法一：求出双曲线的焦点坐标，利用双曲线定义求出a，然后求双曲线C的方程，渐近线方程．法二：利用已知条件列出方程组，求出a，b，然后求双曲线C的方程，渐近线方程．（Ⅱ）联立利用△＞0，求出﹣2＜k＜2，结合渐近线求解k的范围即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）法一：由已知，双曲线的焦点为（﹣2，0）和（2，0）…据定义有：…故a2=1，c2=4，b2=3，从而所求双曲线C的方程为．…其渐近线方程为：…法二：由，故所求双曲线C的方程为…其渐近线方程为：…（Ⅱ）由得：（3﹣k2）x2+2kx﹣4=0…当3﹣k2≠0，即时，…若△＞0，即△=4k2﹣4（﹣4）（3﹣k2）=12（4﹣k2）＞0⇒4﹣k2＞0⇒﹣2＜k＜2时，直线与双曲线相交，有两个公共点；…所以，当﹣2＜k＜2，且时，直线与双曲线有两个公共点．…19．如图，直角梯形OABC中，∠COA=∠OAB=，OC=2，OA=AB=1，SO⊥平面OABC，且SO=1，点M为SC的中点．（Ⅰ）求证：BM∥平面SOA；（Ⅱ）求二面角O﹣SC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】解法一：（Ⅰ）取SO的中点G，连接MG、AG．说明MG∥OC，推出MG∥AB，得到BM∥AG，然后证明BM∥平面SOA．（Ⅱ）以OC，OA，OS所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．求出平面SOC的一个法向量，平面SCB的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角O﹣SC﹣B的余弦值．解法二：（Ⅰ）以OC，OA，OS所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，求出，求出平面SOA的一个法向量，利用，推出BM∥平面SOA．（Ⅱ）求出平面SOC的一个法向量，平面SCB的一个法向量，利用空间向量的数量积，求解即可．【解答】（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）取SO的中点G，连接MG、AG．故MG∥OC，且，…又由已知，AB∥OC，且，所以MG∥AB，且MG=AB，即四边形MGAB为平行四边形…故BM∥AG…又因为BM⊄平面SOA，AG⊂平面SOA，…所以BM∥平面SOA．…（Ⅱ）由SO⊥平面OABC，，故OS，OC，OA两两垂直，分别以OC，OA，OS所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．…则O（0，0，0），B（1，1，0），C（2，0，0），S（0，0，1），A（0，1，0）因为OA⊥平面SOC，故即为平面SOC的一个法向量，…设平面SCB的一个法向量为=（x，y，z），由，得，令x=1，得=（1，1，2）．…故．…即二面角O﹣SC﹣B的余弦值为…解法二：（Ⅰ）由SO⊥平面OABC，，故OS，OC，OA两两垂直，分别以OC，OA，OS所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz…则，故，…因为OC⊥平面SOA，故是平面SOA的一个法向量．…因为，故，…而BM⊄平面SOA，所以BM∥平面SOA．…（Ⅱ）因OA⊥平面SOC，故即为平面SOC的一个法向量…设平面SCB的一个法向量为=（x，y，z），由，得，令x=1，得=（1，1，2）．…故．…即二面角O﹣SC﹣B的余弦值为．…20．已知点P在抛物线x2=y上运动，过点P作y轴的垂线段PD，垂足为D．动点M（x，y）满足，设点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=﹣1，若经过点F（0，1）的直线与曲线C相交于A、B两点，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为A1、B1，试判断直线A1F与B1F的位置关系，并证明你的结论．【考点】直线与抛物线的位置关系；轨迹方程．【分析】（Ⅰ）设P（x0，y0），由知点P为线段DM的中点，，利用点P在抛物线x2=y上，然后求解曲线C的方程．（Ⅱ）判断：直线A1F与B1F垂直，证明如下：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（x1，﹣1），B1（x2，﹣1），由已知，直线AB的斜率k存在，设其方程为y=kx+1，联立，通过计算的数量积，推出结果．【解答】（本小题满分12分）解（Ⅰ）设P（x0，y0），由知点P为线段DM的中点，故…因为点P在抛物线x2=y上，故，从而…即曲线C的方程为x2=4y…（Ⅱ）判断：直线A1F与B1F垂直，…证明如下：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（x1，﹣1），B1（x2，﹣1），由已知，直线AB的斜率k存在，设其方程为y=kx+1．…由得：x2﹣4kx﹣4=0…所以x1x2=﹣4，…因为，，…故…所以直线A1F与B1F垂直．…（其它解法参照给分）21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC=45°，PA⊥底面ABCD，AB=AC=PA=2，E、F分别为BC、AD的中点，点M在线段PD上．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；（Ⅱ）设，若直线ME与平面PBC所成的角θ的正弦值为，求λ的值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明AB⊥AC．EF⊥AC，推出PA⊥EF．然后证明EF⊥平面PAC．（Ⅱ）以AB，AC，AP所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．求出相关点的坐标，求出，平面PBC的一个法向量，利用向量的数量积求解即可．【解答】（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中，因为AB=AC，∠ABC=45°，所以∠ACB=45°，故AB⊥AC．…由E、F分别为BC、AD的中点，得EF∥AB，所以EF⊥AC…因为PA⊥底面ABCD，EF⊂底面ABCD，所以PA⊥EF．…又因为PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，…所以EF⊥平面PAC．…（向量法参照给分，建立空间直角坐标系时没有证明AB⊥AC扣1分）（Ⅱ）解：因为PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，所以AP，AB，AC两两垂直，分别以AB，AC，AP所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A ﹣xyz．则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（﹣2，2，0），E（1，1，0）．所以，，…由已知，，故，所以M（﹣2λ，2λ，2﹣2λ），，…设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），由，得令x=1，得=（1，1，1）．…所以=，…化简得4λ2+4λ﹣3=0，…故或（舍）…22．设椭圆的离心率为，左顶点到直线x+2y﹣2=0的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点O，试探究：点O到直线AB的距离是否为定值？若是，求出这个定值；否则，请说明理由；（Ⅲ）在（2）的条件下，试求△AOB面积S的最小值．【考点】圆锥曲线的最值问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用距离公式求出a，离心率求出c，得到b后即可求出椭圆方程．（Ⅱ）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），①当直线l的斜率不存在时，求解点O 到直线AB的距离．②当直线l的斜率存在时，设其方程为l：y=kx+m．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合数量积，求出m，k关系式，然后求解距离即可．法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），①当直线l的斜率为0时，求解点O到直线AB的距离，②当直线l的斜率不为0，或斜率不存在时，设其方程为l：x=my+c．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及数量积，求解距离即可．（Ⅲ）法一：当直线OA、直线OB中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，易知S=1；当直线OA、直线OB斜率存在且不为0时，设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为，利用平方差法以及弦长公式表示三角形的面积，利用基本不等式求出最值．法二：由（Ⅱ），①当直线l的斜率不存在时，求出面积；②当直线l的斜率存在时，求出写出以及点到直线的距离，得到面积的表达式，利用二次函数的性质求解面积的最值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知，…因为…故所求椭圆的方程为…（Ⅱ）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），①当直线l的斜率不存在时，由椭圆对称性知x1=x2，y1=﹣y2，因为以AB为直径的圆经过坐标原点O，故，即又因为点A（x1，y1）在椭圆上，故，解得，此时点O到直线AB的距离为…②当直线l的斜率存在时，设其方程为l：y=kx+m．联立得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0…所以，…由已知，以AB为直径的圆经过坐标原点O，则，且…故化简得5m2=4（1+k2），…故点O到直线AB的距离为综上，点O到直线AB的距离为定值…法二：（若设直线方程为l：x=my+c，也要对直线斜率为0进行讨论）设A（x1，y1），B（x2，y2），①当直线l的斜率为0时，由椭圆对称性知x1=﹣x2，y1=y2，因为以AB为直径的圆经过坐标原点O，故，即又因为点A（x1，y1）在椭圆上，故，解得，此时点O到直线AB的距离为…②当直线l的斜率不为0，或斜率不存在时，设其方程为l：x=my+c．联立得：（m2+4）y2+2cmy+c2﹣4=0…所以，……化简得5c2=4（1+m2），故点O到直线AB的距离为综上，点O到直线AB的距离为定值…（Ⅲ）法一：当直线OA、直线OB中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，易知S=1；当直线OA、直线OB斜率存在且不为0时，设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为，由得，同理…故令1+k2=t（t＞1），则故…综上，△AOB面积S的最小值为．…法二：由（Ⅱ），①当直线l 的斜率不存在时，，②当直线l 的斜率存在时，5m 2=4（1+k 2），且点O 到直线AB 的距离为，=故，…令1+4k 2=t （t ≥1），则，因为，故．…综上，△AOB 面积S 的最小值为．…2017年2月27日。