3.4函数的应用(Ⅱ) 课件(人教B版必修1)
1＋lg 2 则 n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，故 n≥ ≈7.4，考虑 lg 3－lg 2 到 n∈N，即至少要过滤 8 次才能达到市场要求．
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题型二 对数函数模型的应用 【例 2】 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕 子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 v ＝ Q 5log2 ，单位是 m/s，其中 Q 表示燕子的耗氧量． 10 (1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？ (2)当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时， 它的飞行速度是多 少？ [思路探索] 属于已知对数函数模型，待定系数求解．
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自学导引 三种函数模型的性质
函数 性质 在(0，＋∞)上 的增减性 增长的速度 y＝ax(a>1) 增函数 增长速度越 来越快 y＝logax(a>1) 增函数 y＝xn(n>0) 增函数 相对平衡
增长速度越 来越慢
图象的变化
随n值而不 随x的增大逐渐 随x的增大逐渐 同 变“陡” 趋于稳定
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(3)令 y＝120，则有 100×(1＋1.2%)x＝120，解方程可得 x ＝16. 即大约 16 年后该城市人口总数将达到 120 万人．
规律方法 平均增长率问题常用关系式 y＝N(1＋P)x，其中 基础数为 N，平均增长率为 P，时间为 x，产值为 y.
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2．实际应用问题 建立数学模型是解决数学问题的主要方法，数学建模一般 分为识模、析模、建模、解模、验模五个步骤.
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题型一 指数函数型 【例 1】 某城市现有人口总数为 100 万人，如果年自然增 长率为 1.2%，试解答下面的问题： (1)写出该城市的人口总数 y(万人)与年份 x(年)的函数关系 式； (2)计算 10 年以后该城市人口总数(精确到 0.1 万人)； (3)计算大约多少年以后该城市人口总数将达到 120 万人 (精确到 1 年)((1 ＋1.2%)10≈1.127， (1 ＋1.2%)15≈1.195 ， (1 ＋ 1.2%)16≈1.21)．
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试一试：比较在区间(0，＋∞)上，函数 y＝ax(a>1)，y＝ logax(a>1)与 y＝xα(α>0)的增大差异
提示
在区间 (0 ，＋ ∞) 上，尽管函数 y ＝ ax(a>1) 、 y ＝
logax(a>1)和 y＝xα(α>0)都是增函数，但它们的增长速度不同， 而且不在同一个“档次”上．随着 x 的增大，y＝ax(a>1)的增长 速度越来越快，会超过并远远大于 y＝xα(α>0)的增长速度，而 y ＝logax(a>1)的增长则会越来越慢， 因此总会存在一个 x0， 当 x>x0 时，就有 logax<xα<ax.
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想一想：解实际应用题的基本步骤是什么？
提示 (1)阅读审； (2)引入数学符号，建立数学模型； (3)转化为基本初等函数问题； (4)得出结论．
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名师点睛 1．常用函数模型及问题 (1)平均增长率问题：如果原来产值的基础数为 N，平均增 长率为 p，则对于时间 x 的产值或产量为 y＝N(1＋p)x. (2)储蓄中的复利问题：如果本金为 a 元，每期利率为 r， 本利和为 y，存期为 x，则 y＝a(1＋r)x. (3)幂函数模型： f(x)＝axn＋b， (a， b， n 为常数， a≠0， n≠1)
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解 (1)由题知，当燕子静止时，它的速度 v＝0， Q Q 代入 v＝5log2 可得：0＝5log2 ，解得 Q＝10. 10 10 即燕子静止时的耗氧量是 10 个单位． Q (2)将耗氧量 Q＝80 代入 v＝5log2 得： 10 80 v＝5log2 ＝5log28＝15(m/s)． 10 即当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时，它的飞行速度为 15 m/s. 规律方法 已知题目中给出了具体的函数表达式， 应用已知
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【训练 1】 某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含 量不能超过 0.1%，若初时含杂质 2%，每过滤一次可使杂质含 1 量减少 ， 问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求(已知： lg 3 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)? 2 2n 1 2n 1 解 依题意，得 · ( )≤ ，即( ) ≤ . 100 3 1 000 3 20
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[思路探索] 属于平均增长率问题，用指数型函数．
解 (1)1 年后该城市人口总数为 y ＝ 100 ＋ 100×1.2% ＝
100×(1＋1.2%)； 2 年后该城市人口总数为 y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋ 1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2； 3 年后该城市人口总数为 100×(1＋1.2%)3； x 年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x. (2)10 年 后 该 城 市 人 口 总 数 为 y ＝ 100×(1 ＋ 1.2%)10 ＝ 100×1.01210＝112.7(万人)．
函数模型利用函数性质求解．
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【训练 2】 衡量地震级别的“里氏”是指地震强度(即地震 时震源释放的能量)的常用对数值，显然里氏级别越高，地震的 强度也就越大．如日本 1923 年的地震是里氏 8.9 级，美国旧金 山 1906 年的地震是里氏 8.3 级，试计算一下，日本 1923 年的 地震强度是美国旧金山 1906 年的地震强度的多少倍？
3.4
【课标要求】
函数的应用(Ⅱ)
1．运用函数性质，解决简单的实际问题． 2．能够根据实际问题构建适当的函数模型，了解和体会函 数模型的广泛应用． 3．培养应用数学的意识以及分析问题、解决问题的能力． 【核心扫描】 1．建立数学模型分析解决问题．(重点、难点) 2．常见的函数模型：直线模型、反比例函数模型、指数函 数模型、对数函数模型、幂函数模型(二次函数)等．(重点)
2024-2025学年高一数学必修第一册(人教B版)函数的奇偶性(综合)-课件
例 8 已知函数 = 2 + 4 + 6, 求证: 的图像关于直线 = −2对称.
y
分析 只需要证明图像上所有的点关于直线的
对称点还在图像上即可.
O
x ＝ －2
x
例 8 已知函数 = 2 + 4 + 6, 求证: 的图像关于直线 = −2对称.
证明 在 的图像上任取点 0, 0 , 设 P 关于 = −2对
图所示, 若 f (2) = 0, 则使得 ≥ 0的 x 的取值范围是____________.
y
5
－5
－2
O
2
x
例 1′ 已知函数()是定义在 −5,5 上的奇函数, 它在 −5,0 上是增函数,
−2,0 ⋃ 2,5
若 2 = 0, 则使得 ≥ 0的 x 的取值范围是____________.
y
称的点为 1, 1 .
由
0+1
= −2,得
2
1
1 = 0
= −4 − 0, 即 −4 − 0, 0 .
Q(－4 －x0 ,y0 )
P(x0 ,y0 )
∵ −4 − 0 = −4 − 0 2 + 4 −4 − 0 + 6 = 20 + 40 + 6,
而0 = 0 =
分析 先将不等式变形成 1 > 2 的形式, 再利用函数 的单调性
去掉 “f ”, 得到1和2的大小关系, 即关于 m的不等式.
例 4 设函数 定义域为 −2,2 , 且在区间 0,2 上为减函数.
(1) 若 为奇函数, 且 + − 1 > 0, 则实数 m的范围为_______;
高一上学期数学人教B版()必修第二册第四章4.6函数的应用-课件
归纳
f (3) a(1 r)2 a(1 r)2 r a(1 r)3,
一般
…… 因此 f (x) a(1 r)x , x N. 指数模型
由 f (x) 2a，可得 a(1 r)x 2a ，解得 x ln 2 .
ln(1 r)
设不小于
ln 2 ln(1 r)
的最小整数为
x0 ， 则至少经过
（1）求等级为0 dB的声音的强度； （2）计算出90 dB的声音与60 dB的声音 强度之比.
x 10 lg 11012
0,
可得 x 11012 ,
函数值
方程思想
自变量的值
所以 等级为0 dB的声音的强度为 11012.
（2）设 f (x1) 90, f (x2 ) 60 ，
你能建立本息和与存期之间的函数关系吗？至少 经过多少期后本息和才能不小于本金的2倍？
本息和与最开始的本金、每期的利率及存期有关.
解：设最开始本金为 a 元，每期的利率为 r ，存 x
期后本息和为 f (x) ，则
f (1) a ar a(1 r),
特殊
f (2) a(1 r) a(1 r)r a(1 r)2,
函数的应用（2）
高一年级 数学
我们已经学习了哪些具体函数？它们之间有什么 联系？我们是按照什么思路研究这些函数的？
我们学习了指数函数、对数函数、幂函数，它们 都与指数运算有关. 我们按照研究一类函数的定义、 性质和图像的思路来研究具体函数.
这些函数在实际生活中有什么应用呢？
例1 有些银行存款是按复利的方式计算利息的，即把 上一期的利息与本金加在一起作为本金，再计算下一 期的利息. 本息和与哪些量有关？
x0
期后，本息和才能不小于本金的2倍.
高中数学人教B版 必修第二册 函数的应用(二) 课件1
,
a 4
5
2
4
2
经过了k-5=10-5=5秒,即m=5.
答案: 1ln 51
5
2
【内化·悟】 本题中用来求参数隐含的条件是什么? 提示:假设过5秒后甲桶和乙桶的水量 相等.
【类题·通】 怎样求应用性问题解析式中的参数? 应用性问题变量间的关系式中往往含有参数, 需要先确定参数值,解题中要认真审题,条件中 会给出特殊情况下的一对参数的对应值,用来 确定参数的值,这是解题的前提.
360
(1)此次行车最经济的车速是________. (2)如果不考虑其他费用,这次行车的总费用最 小值为________. 【思维·引】表示出行车的时间、总费用后利 用基本不等式求最小值及取最小值时的车速.
【解析】(1)总费用为y=36× 120 120 (4 x2 )6
＝7 200 2x 240.
类型三 幂函数、对数型函数模型的应用 角度1 幂函数模型的应用 【典例】已知A,B两地的距离是120 km,按交通法规规 定,A,B两地之间的公路车速应限制在50～100 km/h, 假设汽油的价格是6元/L,以x km/h速度行驶时,汽车 的耗油率为 (4 x2 ) L/h,支付司机每小时的工资36元.
殖地产卵,科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表
示为函数v=
1 2
log3
x 100
lg
x0
,单位是km/min,其中x表
示候鸟每分钟耗氧量的单位数,x0代表测量过程中某类
候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据:lg 2=0.30,
31.2=3.74,31.4=4.66).
(1)当x0=2,候鸟每分钟的耗氧量为8 100个单位时,候鸟的飞行速度是多少 km/min? (2)当x0=5,候鸟停下休息时,它每分 钟的耗氧量为多少单位?
新教材人教版B版必修一 函数与方程 课件(10张)
x m, 其中m>0.若
x m,
存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是
. 解题导引
解析 f(x)的大致图象如图所示:
若存在b∈R,使得方程f(x)=b有三个不同的根,只需A点在B点的下 方,即4m-m2<m,又m>0,所以m>3. 答案 (3,+∞)
2
∴f(1)·f(2)<0,
根据零点存在性定理知f(x)=ln
x-
2 x2
的零点所在的区间为(1,2).故选B.
答案 B
考向二 函数零点的应用
例2 (2017江西赣州一模,11)已知函数f(x)=|2x-2|+b的两个零点分别为x
1,x2(x1>x2),则下列结论正确的是 ( )
A.1<x1<2,x1+x2<2
第三步,计算f(x1): (i)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点; (ii)若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1)); (iii)若f(x1)·f(b)<0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)); 第四步,判断是否达到精确度ε,即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否 则,重复第二、三、四步.
与方程的根
1.函数的零点
(1)函数零点的定义:对于函数y=f(x),把使① f(x)=0 的实数x叫做函数
y=f(x)的零点.
(2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与② x轴
有交点⇔函数y=f(x)有③ 零点 .
2.函数零点存在性定理
注意 零点存在性定理只能判断函数在某区间上是否存在零点,并不能 判断零点的个数,但如果函数在区间上是单调函数,则该函数在区间上 至多有一个零点. 3.二分法 (1)对于区间[a,b]上连续不断的,且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把 函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点, 从而得到零点近似值的方法,叫做二分法. (2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 第一步,确定区间[a,b],验证④ f(a)·f(b)<0 ,给定精确度ε; 第二步,求区间(a,b)的中点x1;
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(人教B版)教学课件第三章-3.3函数的应用(一)
1.5, ≥ 100,∈+ .
其中代表拟录用人数,代表面试人数,若应聘的面试人数为60,则该公司拟录用人数为( C )
A.15
B.40
C.25
D.130
解析 令 =60,若4 =60,则 = 15 > 10,不合题意;若2 + 10 = 60,则 = 25,满足题意;若1.5 = 60,则
468 000
又(100×450−1 200×20−13 200)×12=93 600, 93 600 =5,
∴当定价为55元时,最早5年后能还清贷款.
高中数学
必修第一册
RJ·B
4.有, 两城相距100 km,在, 两城之间距城 km的地建一核电站给这两城供电.为保证城市安
全,核电站与城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系
高中数学
必修第一册
RJ·B
随堂小测
1.一辆汽车在某段路上的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示,
则图象所对应的函数模型是( A )
A.分段函数
B.二次函数
C.一次函数
D.对勾函数
函数.
高中数学
必修第一册
RJ·B
4,1 ≤ < 10,∈+ ,
后还清贷款.
高中数学
解
必修第一册
RJ·B
(1)设该企业职工人数为,依题意 = 52时, = 36时,
则(52 − 40) × 36 × 100 = 1 200 + 13 200, ∴ = 25.
《 3.3 函数的应用(一)》学历案-高中数学人教B版19必修第一册
《3.3 函数的应用（一）》学历案（第一课时）一、学习主题本课学习主题为“高中数学课程《3.3 函数的应用（一）》”，主要围绕函数的基本概念、性质及其在现实生活中的应用展开，通过具体实例分析，让学生掌握函数的基本应用方法，提高解决实际问题的能力。
二、学习目标1. 知识与技能：掌握函数的基本概念和性质，能够运用函数知识解决简单的实际问题。
2. 过程与方法：通过实例分析，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生的学习兴趣，培养学生的数学应用意识，提高学生的学习自信心。
三、评价任务1. 知识理解评价：通过课堂提问和随堂小测验，评价学生对函数基本概念和性质的理解程度。
2. 应用能力评价：通过布置实际问题的解决作业，评价学生运用函数知识解决实际问题的能力。
3. 学习过程评价：通过观察学生的学习态度、参与课堂活动的积极性以及小组合作情况，评价学生的学习过程。
四、学习过程1. 导入新课：通过回顾之前学习的函数知识，引出本课学习主题，激发学生的学习兴趣。
2. 知识讲解：讲解函数的基本概念、性质及其在现实生活中的应用，重点强调函数的概念、定义域、值域以及函数的图象。
3. 实例分析：通过具体实例，让学生分析函数的性质，加深对函数概念的理解。
4. 小组合作：学生分组进行实际问题解决，小组内交流讨论，培养学生的合作精神和团队意识。
5. 总结归纳：总结本课学习的重点和难点，强调函数的应用价值和实际意义。
五、检测与作业1. 课堂检测：通过随堂小测验，检测学生对函数基本概念和性质的理解程度。
2. 作业布置：布置实际问题的解决作业，要求学生运用所学知识解决实际问题，加强知识的应用能力。
3. 作业评价：教师批改作业，评价学生运用函数知识解决实际问题的能力，针对学生的不足之处进行指导。
六、学后反思1. 教师反思：教师对本课教学进行反思，总结教学过程中的优点和不足，为今后的教学提供借鉴。
2. 学生反思：学生回顾本课学习内容，反思自己的学习过程和成果，找出自己的不足之处，为今后的学习制定改进措施。
新教材人教版B版必修一 函数及其表示 课件(53张)
[变式 1] (1)已知函数 f(x)的定义域为(0,1)，求 f(x2)的定义 域；
(2)已知函数 f(2x＋1)的定义域为(0,1)，求 f(x)的定义域； (3)已知函数 f(x＋1)的定义域为[－2,3]，求 f(2x2－2)的定义 域． 解：(1)∵f(x)的定义域为(0,1)， ∴要使 f(x2)有意义，需使 0＜x2＜1， 即－1＜x＜0 或 0＜x＜1， ∴函数 f(x2)的定义域为{x|－1＜x＜0 或 0＜x＜1}．
[解] (1)令 t＝2x＋1，则 x＝t－2 1， ∴f(t)＝lgt－2 1，即 f(x)＝lgx－2 1. (2)设 f(x)＝ax＋b，则 3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋ b＝2x＋17， 则有 a＝2，b＋5a＝17， ∴a＝2，b＝7，故 f(x)＝2x＋7.
[ 变 式 3] 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x) 满 足 f(x) ＝
log21－x，x≤0， fx－1－fx－2，x＞0，
则 f(2 013)的值为(
)
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：通过计算得 f(－1)＝1，f(0)＝0，f(1)＝－1，f(2)＝－1， f(3)＝0，f(4)＝1，f(5)＝1，f(6)＝0，f(7)＝－1，∴f(x)的值在 x＞ 0 时以－1，－1,0,1,1,0 循环，∴f(2 013)＝f(335×6＋3)＝f(3)＝0.
f(x)的解析式为( )
A．－1x
B.x＋1 2
C．－x＋1 2
1 D.2－x
解析：因为函数 y＝f(x)的图象关于点(－1,0)对称，则－y＝ f(－2－x)．设 x∈(－∞，－2)，则－2－x＞0，故－y＝f(－2－x) ＝－x＋1 2，即 y＝x＋1 2.
2016新课标三维人教B版数学必修1 3.4 函数的应用(Ⅱ)
函数的应用(Ⅱ)(1)常见函数模型有哪几种？(2)函数y ＝a x (a ＞1)，y ＝log a x (a ＞1)和y ＝x n (n ＞0)的增长速度有什么不同？[新知初探]1．几类不同增长速度的函数模型(1)指数函数模型：f (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b ＞0，且b ≠1)； (2)对数函数模型：f (x )＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，m ≠0，a ＞0，且a ≠1)； (3)幂函数模型：y ＝ax m ＋n (m ，n ，a 为常数，a ≠0)． 2．指数函数、对数函数和幂函数的增长差异一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a >1)，y ＝log a x (a >1)和y ＝x n (n >0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x 的增大，y ＝a x (a >1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n >0)的增长速度，而y ＝log a x (a >1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x 0，使得当x >x 0时，就有log a x <x n <a x (a >1，n >0)．[小试身手]1．判断．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x 2比y ＝2x 增长的速度更快些．( )(2)当a ＞1，n ＞0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x ，总有log a x ＜x n ＜a x成立．( ) 答案：(1)× (2)×2．我国工农业总产值从1996年到2016年的20年间翻了两番，设平均每年的增长率为x ，则有( )A ．(1＋x )19＝4B ．(1＋x )20＝3C ．(1＋x )20＝2D ．(1＋x )20＝4预习课本P112～113，思考并完成以下问题答案：D3．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为_____________________________．答案：y＝－14x＋50(0＜x＜200)[典例]某林区2015年木材蓄积量为200万立方米．由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域．(2)作出函数y＝f(x)的图象，并应用图象求多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．[解](1)现有木材蓄积量为200万立方米；1年后，木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)(万立方米)；2年后，木材蓄积量为200(1＋5%)2(万立方米)；……x年后，木材蓄积量为200(1＋5%)x(万立方米)．∴y＝f(x)＝200(1＋5%)x.∵x虽然以年为单位，但木材每时每刻都在生长，∴x≥0且x∈R.∴函数的定义域为x∈[0，＋∞)．(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)的图象，列表如下：图象如图所示．作直线y＝300，与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量为300万立方米时)，所经过的时间x.∵8<x0<9，∴取x＝9.∴9年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．指数函数模型的应用在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．[活学活用]某种产品的年产量为a，在今后m年内，计划使产量平均每年比上年增加p%.(1)写出产量y随年数x变化的函数解析式；(2)若使年产量两年内实现翻两番的目标，求p.解：(1)设年产量为y，年数为x，则y＝a(1＋p%)x，定义域为{x|0≤x≤m，且x∈N＋}．(2)y＝a(1＋p%)2＝4a，解得p＝100.对数函数模型[典例]燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．研究燕子的科学家发现，2岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2Q10，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？[解](1)当燕子静止时，它的速度v＝0.代入v＝5log2Q10，可得0＝5log2Q10，解得Q＝10，即燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)将耗氧量Q＝80代入v＝5log2Q10得，v ＝5log 28010＝5 log 28＝15(m/s)，即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.本题是直接以对数函数为模型的应用题，解答本题首先要分清条件和结论，理顺数量关系，此题运用了对数的运算性质进行求解．[活学活用]里氏震级M 的计算公式为M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的________倍．解析：根据题意，由lg 1 000－lg 0.001＝6得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震的最大振幅为A 9，则lg A 9－lg 0.001＝9，解得A 9＝106，同理5级地震的最大振幅A 5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍．答案：6 10 000函数模型的选择问题[典例] 某汽车制造商在2016年初公告：公司计划2016年生产目标定为43万辆．已知该公司近三年汽车生产量如下表所示：年份 2013 2014 2015 产量8(万)18(万)30(万)如果我们分别将2013,2014,2015,2016定义为第一、二、三、四年．现在你有两个函数模型：二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，指数函数模型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b ＞0，b ≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年产量y 与年份x 的关系？[解] 建立年产量y 与年份x 的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)． ①构造二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 将点坐标代入， 可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得a ＝1，b ＝7，c ＝0，则f (x )＝x 2＋7x ，故f (4)＝44，与计划误差为1.②构造指数函数模型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b ＞0，b ≠1)，将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得a ＝1253，b ＝65，c ＝－42. 则g (x )＝1253·⎝⎛⎭⎫65x－42， 故g (4)＝1253·⎝⎛⎭⎫654－42＝44.4，与计划误差为1.4. 由①②可得，f (x )＝x 2＋7x 模型能更好地反映公司年产量y 与年份x 的关系．不同函数模型的选取标准(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律； (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律； (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律； (4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．[活学应用]某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，测得最近三年沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y 万公顷关于年数x 的函数关系式大致可以是( )A ．y ＝0.2xB ．y ＝110(x 2＋2x ) C ．y ＝2x10D ．y ＝0.2＋log 16x解析：选C 对于A ，x ＝1,2时，符合题意，x ＝3时，y ＝0.6，与0.76相差0.16； 对于B ，x ＝1时，y ＝0.3；x ＝2时，y ＝0.8；x ＝3时，y ＝1.5，相差较大，不符合题意； 对于C ，x ＝1,2时，符合题意，x ＝3时，y ＝0.8，与0.76相差0.04，与A 比较，符合题意；对于D ，x ＝1时，y ＝0.2；x ＝2时，y ＝0.45；x ＝3时，y ≈0.6＜0.7，相差较大，不符合题意.层级一 学业水平达标1．某种动物的数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的函数关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为( )A．300只B．400只C．500只D．600只解析：选A由题意，知100＝a log2(1＋1)，得a＝100，则当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300.2．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：则x，y)A．y＝a＋bx B．y＝a＋b xC．y＝ax2＋b D．y＝a＋b x解析：选B在坐标系中描出各点，知模拟函数为y＝a＋b x. 3．下列函数中，随着x的增大，增长速度最快的是() A．y＝50 B．y＝1 000xC．y＝0.4·2x－1D．y＝11 000ex解析：选D指数函数y＝a x，在a＞1时呈爆炸式增长，而且a越大，增长速度越快，选D.4．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用()A．一次函数B．二次函数C．指数型函数D．对数型函数解析：选D由于一次函数、二次函数、指数函数的增长不会后来增长越来越慢，只有对数函数的增长符合．5．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有()A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2D．y2＞y3＞y1解析：选B在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.6．小明2015年用7 200元买一台笔记本．电子技术的飞速发展，笔记本成本不断降低，每过一年笔记本的价格降低三分之一．三年后小明这台笔记本还值________元．解析：三年后的价格为7 200×23×23×23＝6 4003元．答案：6 400 37．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v 米/秒和燃料的质量M 千克、火箭(除燃料外)的质量m 千克的函数关系式是v ＝2 000·ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm .当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．解析：当v ＝12 000时，2 000·ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm ＝12 000， ∴ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ＝6，∴Mm ＝e 6－1. 答案：e 6－18．已知某工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y ＝a ·(0.5)x ＋b ，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件．解析：∵y ＝a ·(0.5)x＋b ，且当x ＝1时，y ＝1，当x ＝2时，y ＝1.5，则有⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ×0.5＋b ，1.5＝a ×0.25＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2.∴y ＝－2×(0.5)x ＋2.当x ＝3时，y ＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)． 答案：1.759．画出函数f (x )＝x 与函数g (x )＝14x 2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．解：函数f (x )与g (x )的图象如图所示． 根据图象易得：当0≤x ＜4时，f (x )＞g (x )； 当x ＝4时，f (x )＝g (x )； 当x ＞4时，f (x )＜g (x )．10．一种放射性元素，最初的质量为500 g ，按每年10%衰减． (1)求t 年后，这种放射性元素的质量w 的表达式；(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)． 解析：(1)最初的质量为500 g.经过1年，w ＝500(1－10%)＝500×0.9；经过2年，w ＝500×0.92； 由此推知，t 年后，w ＝500×0.9t . (2)由题意得500×0.9t ＝250，即0．9t ＝0.5，两边取以10为底的对数，得 lg 0.9t ＝lg 0.5，即t lg 0.9＝lg 0.5， ∴t ＝lg 0.5lg 0.9≈6.6.即这种放射性元素的半衰期为6.6年．层级二 应试能力达标1．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )解析：选D 设该林区的森林原有蓄积量为a ，由题意可得ax ＝a (1＋0.104)y ，故y ＝log 1.104x (x ≥1)，函数为对数函数，所以函数y ＝f (x )的图象大致为D 中图象，故选D.2．三个变量y 1，y 2，y 3，随着变量x 的变化情况如下表：则关于x A ．y 1，y 2，y 3 B ．y 2，y 1，y 3 C ．y 3，y 2，y 1D ．y 1，y 3，y 2解析：选C 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y 3随x 的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长，y 2随x 的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y 1随x 的变化符合此规律，故选C.3．四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(其中i ∈{1,2,3,4})和时间x (x >1)的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x ，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x解析：选D 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f 4(x )＝2x ，故选D.4．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：V ＝a ·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为49a .若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为( )A ．125B ．100C ．75D ．50解析：选C 由已知，得49a ＝a ·e －50k ，∴e －k ＝⎝⎛⎭⎫49150. 设经过t 1天后，一个新丸体积变为827a ，则827a ＝a ·e －kt 1， ∴827＝(e －k )t 1＝⎝⎛⎭⎫49t 150， ∴t 150＝32，t 1＝75. 5．某工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系式y ＝a ·0.5x ＋b ，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此工厂3月份该产品的产量为________万件．解析：由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝0.5a ＋b ，1.5＝0.25a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2.∴y ＝－2×0.5x ＋2.∴3月份产量为y ＝－2×0.53＋2＝1.75万件． 答案：1.756．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A 对应______；B 对应_____；C 对应______；D 对应______．解析：A 容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B 容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C ，D 容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C 容器细，D 容器粗，故水高度的变化为：C 容器快，与(3)对应，D 容器慢，与(2)对应．答案：(4) (1) (3) (2)7．函数f (x )＝1.1x ，g (x )＝ln x ＋1，h (x )＝x 12的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a ，b ，c ，d ，e 为分界点)．解：由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C 1对应的函数是f (x )＝1.1x ，曲线C 2对应的函数是h (x )＝x 12，曲线C 3对应的函数是g (x )＝ln x ＋1.由题图知，当x <1时，f (x )>h (x )>g (x )； 当1<x <e 时，f (x )>g (x )>h (x )； 当e <x <a 时，g (x )>f (x )>h (x )； 当a <x <b 时，g (x )>h (x )>f (x )； 当b <x <c 时，h (x )>g (x )>f (x )； 当c <x <d 时，h (x )>f (x )>g (x )； 当x >d 时，f (x )>h (x )>g (x )．8．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52,54,58.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y ＝ax 2＋bx ＋c ，乙选择了模型y ＝p ·q x ＋r ，其中y 为患病人数，x 为月份数，a ，b ，c ，p ，q ，r 都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66,82,115，你认为谁选择的模型较好？解：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ·12＋b ·1＋c ＝52，a ·22＋b ·2＋c ＝54，a ·32＋b ·3＋c ＝58，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝52，4a ＋2b ＋c ＝54，9a ＋3b ＋c ＝58，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝52，所以甲：y 1＝x 2－x ＋52，版权所有:中国好课堂 又⎩⎪⎨⎪⎧ p ·q 1＋r ＝52 ①，p ·q 2＋r ＝54 ②，p ·q 3＋r ＝58 ③，②－①，得p ·q 2－p ·q 1＝2， ④ ③－②，得p ·q 3－p ·q 2＝4， ⑤ ⑤÷④，得q ＝2.将q ＝2代入④式，得p ＝1.将q ＝2，p ＝1代入①式，得r ＝50， 所以乙：y 2＝2x ＋50.计算当x ＝4时，y 1＝64，y 2＝66； 当x ＝5时，y 1＝72，y 2＝82； 当x ＝6时，y 1＝82，y 2＝114. 可见，乙选择的模型较好．。
人教B版高中数学必修一 《函数的单调性》函数的概念与性质PPT课件(第1课时单调性的定义与证明)
2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是( )
A．y＝－1x
B．y＝x
C．y＝x2
D．y＝1－x
D [函数y＝1－x在区间(0，＋∞)上是减函数，其余函数在(0， ＋∞)上均为增函数，故选D.]
13
3．函数 y＝f(x)在[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、
最大值分别是( )
[解] 函数在[－1,0]，[2,4]上是减函数，在[0,2]，[4,5]上是增函 数．
27
3．写出y＝|x2－2x－3|的单调区间． [解] 先画出 f(x)＝x－2－x22－x－2x3－，3x<，－－1或1≤x>x3≤，3 的图像，如图．
28
所以y＝|x2－2x－3|的单调减区间为(－∞，－1]，[1,3]；单调增 区间为[－1,1]，[3，＋∞)．
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提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式 乘积的形式.
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1．证明：函数y＝x＋x 1在(－1，＋∞)上是增函数． [证明] 设x1>x2>－1，则 y1－y2＝x1x＋1 1－x2x＋2 1＝x1＋x11－xx22＋1.
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∵x1>x2>－1，∴x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0， ∴x1＋x11－xx22＋1>0，即y1－y2>0，y1>y2， ∴y＝x＋x 1在(－1，＋∞)上是增函数．
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3．求函数的最值与求函数的值域类似，常用的方法是： (1)图像法，即画出函数的图像，根据图像的最高点或最低点写出 最值； (2)单调性法，一般需要先确定函数的单调性，然后根据单调性的 意义求出最值； 4．通过函数最值的学习，渗透数形结合思想，树立以形识数的解 题意识．
人教数学B版必修一《函数及其表示方法》函数的概念与性质PPT课件(第2课时函数的表示方法)
(4)函数 f(x)＝x－＋x1＋，3，x≤x>1，1 是分段函数．(3)× (4)√
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x2＋1，x≤1，
2．设函数 f(x)＝2x，x>1，
则 f(f(3))＝( )
A.15
B．3
2
13
C.3
D. 9
D [∵f(3)＝23≤1，
∴f(f(3))＝232＋1＝193.]
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1．若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则给出的下列图形 表示为定义在A上的函数图像的是( )
A
B
C
D
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(2)由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于( )
x12345
y45321
A.1
B．2
C．4
D．5
(1)D (2)B [(1)A中的对应不满足函数的存在性，即存在x∈A，
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1．函数有三种常用的表示方法，可以适时的选择，以最佳的方式 表示函数，解析式后不注明定义域即可视为该函数的定义域为使此解 析式有意义的实数集 R 或 R 的子集．
2．作函数图像必须要让作出的图像反映出图像的伸展方向，与 x 轴、y 轴有无交点，图像有无对称性，并标明特殊点．
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[解] (1)列表
x2345 …
y
1
2 3
1 2
2 5
…
当 x∈[2，＋∞)时，图像是反比例函数 y＝2x的一部分，观察图像
可知其值域为(0,1]．
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(2)设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]． 由题意得函数的解析式如下：